Tesis Final Haov

8/3/2019 Tesis Final Haov

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Agradecimientos

A Dios por darme los dones, a mi familia por cultivarlos, a mis maestros por ayudarme a encontrarlos y a mis

amigos y compañeros por su apoyo desinteresado.



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Contenido

Contenido ...................................................................................................... i

Introducción.................................................................................................1

Capítulo 1 Lógica difusa aplicada..............................................................6 1.1 Conceptos básicos ................................................................................................. 7

1.1.1 Conjuntos......................................................................................................... 81.1.2 Relaciones, operaciones y propiedades ......................................................... 131.1.3 Variables lingüísticas..................................................................................... 16

1.2 Generalidades del control .................................................................................. 16 1.2.1 Sistema de control ......................................................................................... 171.2.2 Modelos matemáticos.................................................................................... 181.2.3 La respuesta transitoria .................................................................................. 19

1.3 Control difuso ..................................................................................................... 20 1.3.1 Estructura....................................................................................................... 201.3.2 Ejemplo, el péndulo invertido ....................................................................... 221.3.3 Tipos de controladores difusos...................................................................... 341.3.4 Sintonización de controladores difusos ......................................................... 361.3.5 Ventajas y desventajas................................................................................... 37

Capítulo 2 Metodología propuesta para el ASSCD ...............................38 2.1 Tipo de controlador difuso ................................................................................ 39 2.2 Selección de las variables de entrada y salida .................................................. 40 2.3 Dinámica del sistema.......................................................................................... 40 2.4 Matriz de reglas .................................................................................................. 42

2.5 Selección de rangos............................................................................................. 48 2.5.1 Error............................................................................................................... 482.5.2 Cambio del Error ........................................................................................... 492.5.3 Acción de Control.......................................................................................... 50

2.6 Desempeño de la matriz de reglas propuesta................................................... 50 2.7 Algoritmo Simple para Sintonización de Controladores Difusos (ASSCD).. 53

2.7.1 Curva característica ....................................................................................... 532.7.2 Factores de sintonización .............................................................................. 54

Capítulo 3 El controlador en campo, PID...............................................65 3.1 Criterios integrales de desempeño .................................................................... 66

3.1.1 Integral del error absoluto.............................................................................. 673.1.2 Integral del error cuadrático .......................................................................... 673.1.3 Integral del tiempo por el error absoluto ....................................................... 673.1.4 Integral del tiempo por el error cuadrático .................................................... 67

3.2 Controladores PID.............................................................................................. 68 3.2.1 Controlador Proporcional .............................................................................. 693.2.2 Controlador proporcional integral ................................................................. 713.2.3 Controlador PD.............................................................................................. 733.2.4 Controlador PID ............................................................................................ 743.2.5 Diferentes controladores PID ........................................................................ 75



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3.3 Métodos de Sintonización .................................................................................. 76 3.3.1 Manual........................................................................................................... 763.3.2 Ziegler-Nichols.............................................................................................. 773.3.3 Cohen-Coon................................................................................................... 793.3.4 Chien-Hrones-Reswick.................................................................................. 793.3.5 Wang-Juang-Chan ......................................................................................... 80

3.3.7 Optimización de criterios .............................................................................. 803.3.8 Otros métodos................................................................................................ 83

Capítulo 4 Resultados prácticos y simulaciones.....................................84 4.1 Diseño del Experimento ..................................................................................... 85

4.1.1 PID................................................................................................................. 864.1.2 PID con anti-desbordamiento integral (Anti-Reset Windup) ........................ 884.1.3 FLC................................................................................................................ 894.1.4 Procedimiento................................................................................................ 904.1.5 Presentación de resultados ............................................................................. 92

4.2 Plantas de segundo orden .................................................................................. 93 4.2.1 Sobre-amortiguada ........................................................................................ 944.2.2 Sub-amortiguada............................................................................................ 97

4.3 Modelo No Lineal ............................................................................................. 100 4.4 Plantas benchmark de Åström y Hägglund................................................... 105

4.4.1 Sistema con múltiples polos iguales............................................................ 1054.4.2 Sistema de cuarto orden............................................................................... 1114.4.3 Sistema con cero en el semiplano negativo ................................................. 1134.4.4 Sistemas con tiempo muerto........................................................................ 1154.4.5 Modo rápido y lento .................................................................................... 1204.4.6 Sistema condicionalmente estable ............................................................... 1224.4.7 Sistema oscilatorio....................................................................................... 1254.4.8 Sistemas con acción integral........................................................................ 129

4.5 Resumen de las pruebas................................................................................... 133 4.6 Sintonización práctica...................................................................................... 135

Conclusiones ............................................................................................139 Referencias...............................................................................................142 Apéndice...................................................................................................145

ASSCD.m................................................................................................................. 145 DATOS.m................................................................................................................ 146 SELPLAN.m ........................................................................................................... 147 CURVA.m ............................................................................................................... 150 selmod.m.................................................................................................................. 151

RANGOS.m............................................................................................................. 152 CALCULAPID.m................................................................................................... 155 EXPERIMENTO.m................................................................................................ 156 Vtun2.m................................................................................................................... 157 IMPR.m................................................................................................................... 166 getfod.m................................................................................................................... 169 ziegler.m .................................................................................................................. 170 chr.m........................................................................................................................ 171



Introducción

“…la tecnología no es en sí el fin sino el medio entre la sociedad del conocimiento y el desarrollo mundial…” Anónimo

“Las ciencias no tratan de explicar, inclusive apenas si tratan de interpretar, lo que hacen principalmente esmodelar. Un modelo se refiere a una construcciónmatemática la cual, con la ayuda de ciertasinterpretaciones verbales, describe un fenómenoobservable. La justificación de tal construcciónmatemática está dada única y exclusivamente porque seespera que ésta funcione.”

John von Neumann



2

La lógica difusa, surge en 1965 gracias a un profesor de Ingeniería Eléctrica dela Universidad de California en Berkeley, de nombre Lotfi Asker Zadeh, con supublicación “Fuzzy Sets” [1] donde se presenta el concepto de conjunto difuso. Aunqueésta es la base de una de las ramas de la computación inteligente, en su origen, comoocurre con otras tantas teorías innovadoras, en su mayoría estos conceptos fueronrecibidos con escepticismo y hostilidad, pero muchos otros aceptaron bien la nueva

teoría y decidieron trabajar en el tema. Entonces, surge un espacio avalado por la IEEE1 donde a la fecha se puede discutir sobre el tema,Computacional Intelligence,

International Journal of General Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems . Estenuevo paradigma, fue rápidamente asociado como parte de la computación inteligente2,con incidencia en muchas áreas como lo son: el control, el manejo de datos, visión porcomputadora, medicina, telecomunicaciones, economía, etcétera. La lógica difusa,permite expresar de forma lingüística los sistemas y sus leyes de control de la mismaforma que una persona sin perfil científico lo haría empleando palabras. Con estaherramienta las expresiones vagas con información limitada e imperfecta seránsuficientes para obtener buenos resultados, dejando a un lado la precisión, haciendo másentendible un problema y evitando que los sistemas parezcan sumamente complicados.

Como se discutirá más adelante, los conjuntos difusos y su lógica brindan laposibilidad de utilizar operadores lingüísticos. Con esto se logran umbrales ‘ambiguos’en lugar de umbrales tajantes y definitivos, como sucede con la lógica tradicional, por loque se considera una forma de tomar decisiones parecida a la que utiliza el ser humano.

A lo largo de la historia se puede observar como la ingeniería ha encontrado lamanera de dar solución a sus problemas gracias a las ciencias exactas y en concreto a lasmatemáticas, en donde la clave del éxito radica en la precisión que ofrece para describirlos fenómenos naturales que observamos así como su exactitud cuando buscamossoluciones.

Es aquí donde surgen preguntas como: ¿la precisión de las matemáticas es laúnica posibilidad para describir los fenómenos?, ¿qué sucede con las personas quecarecen de una educación matemática?, ¿son capaces de describir fenómenos ocomportamientos físicos? Respondiendo lo anterior, es posible concluir que los mayoresexpertos en cualquier técnica son definidos por su experiencia y no por sus habilidadesmentales, pues de no ser así, ¿cómo podría una persona sin conocimientos científicostransmitir su experiencia para ser reproducida? De hecho, los seres humanos cuando noscomunicamos no acostumbramos a ser tan precisos como las matemáticas. Cuando sequiere un poco más de agua, no se dice exactamente cuantos mililitros se quierenagregar al vaso, o cuando alguien desea más picante no indica cuantos miligramos másde chile en polvo queremos en nuestro platillo requiere. Para referir esto, simplementese usan expresiones lingüísticas vagas. Es aquí donde interviene la lógica difusa,

tratando de emular esta forma de comunicación, tomando oraciones del lenguaje naturalhumano para llevarlas a un lenguaje matemático formal.

1 Institute of Electrical and Electronics Engineers2 Antes llamada inteligencia artificial



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La lógica difusa se ha logrado aplicar con éxito en el problema de control parasistemas dinámicos, en particular donde no se conoce el modelo matemático del sistemao cuando se cuenta con no linealidades.

Ha sido difícil su aceptación en la industria, ya que no existe una técnicaespecífica o bien estructurada para su implementación, es decir que no existe un manual

o un conjunto de procedimientos que seguir, que aseguren los objetivos de control.Si no fuera suficiente, cuando se diseña un controlador difuso (FLC3), muchas

son las características que se deben elegir y se tienen que configurar, lo que obliga a quequien diseña tenga que ser un experto en control y en lógica difusa.

Con las características anteriores, el controlador difuso no es rentable existiendosoluciones bien estudiadas para la industria como los controladores proporcional-integral-derivativo (PID); sin embargo, estos controladores requieren de la sintonizaciónpor parte de un experto, lo que representa una desventaja.

A pesar de la posibilidad del uso de controladores autosintonizables, estos noson bienvenidos en todos los procesos de la industria ya que comúnmente requierenllevar a la planta4 a situaciones extremas. Para sintonizarse, es necesaria la obtención deciertos parámetros del sistema, estos son estimados gracias a múltiples respuestasobtenidas por medio de un conjunto predefinido de señales de entrada de diversascaracterísticas en amplitud y frecuencia. Esta prueba, puede provocar daños físicos en elsistema y desgaste excesivo de la maquinaria.

Una vez que un controlador difuso es bien diseñado para una aplicaciónparticular, resulta relativamente sencillo sintonizarlo en caso de que el proceso cambie,con lo que el experto ya no sería necesario.

Evitar que se tenga que hacer un diseño completamente nuevo para cadaproblema de control significaría una gran ventaja para la industria, con lo que se podríadiseñar un controlador universal, obviamente éste se tendría que sintonizar para cadacaso particular, lo que se convertiría en un problema.

Cuando en el diseño de un controlador difuso se mantienen fijas ciertascaracterísticas, se reducen los criterios de diseño, en [2] y [3] se propone la primeraversión del Algoritmo Simple para Sintonización de Controladores Difusos (ASSCD).Dicho algoritmo fundamenta este documento y propone la sintonización decontroladores variando sólo un parámetro de configuración.

La sintonización provoca una gran mejora en el tiempo de establecimiento, por

si fuera poco, este algoritmo ha sido ya comprobado de manera práctica [4] ycomparado con un controlador PID en [3] y [2]. Con estos resultados se abren nuevoscaminos.

En [3] [2] y [4] se proponen matrices de reglas5 diferentes que producenresultados equivalentes, pero en realidad ¿cuál es el efecto de la matriz de reglas?,

3 Controlador basado en lógica difusa, por su acrónimo en inglés Fuzzy Logic Controller4 La planta es cualquier tipo de sistema a controlar5 Conjunto de reglas difusas que determinan la respuesta de un sistema difuso a partir de sus entradas



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¿cualquier matriz de reglas es capaz de otorgar el mismo desempeño?, las matrices dereglas propuestas, ¿funcionan para cualquier tipo de sistema?

Por otra parte, la variable única de sintonización que utiliza el algoritmo enrealidad modifica dos características del controlador difuso, en particular nos referimosa las funciones de pertenencia del error y la derivada del error. ¿Cómo afectaría aplicar

la sintonización de forma independiente al error o al cambio del error?, ¿se lograríancaracterísticas diferentes?

Para el desarrollo de esta tesis, se realizaron diferentes experimentos tratando deresponder las preguntas anteriores. Se analizan los resultados que se consideraronsignificativos y se establece la forma en que la sintonización por medio del ASSCDmodificado logra controlar diferentes aspectos de la respuesta transitoria.

Se propondrá un procedimiento para establecer matrices de reglas que pudiesencontrolar la mayoría de los sistemas dinámicos, presentando especial atención en lossistemas estables de segundo orden, además de otros comúnmente citados en laliteratura.

En [3] y [2] no se establece como elegir el rango de las variables, este dato es desuma importancia para el buen desempeño del controlador, en esta tesis se establece unmétodo para la selección de dichos rangos que produce un buen desempeño de larespuesta para los diferentes sistemas de prueba.

Al finalizar el documento se contará con una serie de procedimientos quepermitirán simplificar el diseño de controladores difusos. Además se contará concomparaciones entre el desempeño del algoritmo propuesto y el controlador PID.

Para evaluar las diferentes respuestas transitorias que aquí se obtengan, losesquemas de control mantendrán las mismas características limitantes, como serían losbloques de saturación que limitan la energía disponible para las acciones de control.

En [3] [2] y [4] los objetivos de control se limitan al tiempo de establecimientode la respuesta transitoria, para seguir con la misma línea, las comparaciones aquí realizadas contemplan estos criterios además de los comúnmente empleados criteriosintegrales de desempeño.

Esta tesis pretende servir como guía para la sintonización de controladoresdifusos esperando fundamentar su uso en la industria resaltando que su sintonizaciónsería intuitiva para el operador. De ninguna manera se intenta probar que el controladorPID es superado por nuestra propuesta; sin embargo, al ser este el común en la industria,

se emplea como punto de comparación.Son cuatro los objetivos centrales de la tesis:

1. Mejorar el algoritmo de sintonización ASSCD que precede a este trabajo [3],[2]. En particular lograr que controle cualquier planta lineal que sea estable.

2. Diseñar una matriz de reglas general. Esta matriz evitaría tener que diseñarnuevas reglas para cada planta.



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3. Proponer una metodología para el uso del ASSCD, ya que no existe comotal.

4. Comparar, por medio de simulaciones, el desempeño de los controladoresaquí propuestos con controladores PID.

Este documento podría ser comprendido en lo general por cualquier persona con

perfil físico-matemático con conocimientos básicos de matemáticas y control. Sinembargo está dirigido a cualquier ingeniero o profesional del área de control.

El primer capítulo nos habla sobre conceptos básicos de lógica difusa y controlpara así comprender lo que el control difuso es. En el segundo capítulo se detalla pormedio de un ejemplo la metodología propuesta para el diseño de controladores difusos,la cual podría fungir como guía, además de explicarse el ASSCD enfatizando loscambios aquí propuestos. Para poder evaluar la propuesta, se toma al controlador PID,un clásico en la industria, que tiene distintas formas de sintonizarse, en el capítulotercero además de recordar sus fundamentos, se mencionan los métodos más comunesde sintonización en campo. Finalmente se realizan comparaciones entre el controladorPID y el FLC para diferentes sistemas dinámicos con los criterios mencionados.

Esta tesis conforma el primer volumen de tres del proyecto Diseño yConstrucción de un Controlador Difuso Auto-Sintonizable, el cual, contó con el apoyodel Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología6 y de la Coordinación de Investigación7 de la Universidad La Salle.

6 Proyecto CONACYT S52237-Y7 Proyecto Aplicaciones de la Computación Inteligente INV-092-03



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Capítulo 1Lógica difusa aplicada

“…el surgimiento de paradigmas matemáticos siemprees motivo de curiosidad, regocijo y asombro; sinembargo, no hay mayor satisfacción que cuandoencuentran su utilidad práctica…

…cuando la matemática deja de ser teórica y seconvierte en una gran herramienta…”

Alejandro Ortiz de la Vega

En el primer capítulo, se comienza con un breve recorrido tras la historia de la lógicadifusa y sus conceptos básicos así como del control para comprender mejor el texto.

Se termina el capítulo con la unión de ambos conceptos en el control difuso.



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1.1 Conceptos básicos

En la historia antigua, se identifican tres civilizaciones que desde el siglo V a.C. yaanalizaban los razonamientos de forma explícita: China, India y Grecia [5].

Aristóteles, griego del siglo IV a.C., fue el primero en utilizar el término“lógica” al estudiar los argumentos dentro del lenguaje natural; sin embargo, fue hastael siglo XIX cuando la lógica formal comenzó a estudiarse dentro de las matemáticas,naciendo la lógica simbólica, la cual representa en forma clara los razonamientos através de símbolos evitando así la ambigüedad [5].

Dentro de la lógica han surgido diferentes sistemas lógicos, como la lógicaaristotélica, la baconiana, la matemática, la intuicionista, la formal, la booleana, entreotras. Aunque el surgimiento de la lógica difusa como se conoce hoy día se atribuye aZadeh [1].

La idea de que las cosas no pueden ser ciertas o falsas sino que existen otrasescalas intermedias ya rondaba los pensamientos de Platón [5] y otros filósofos queluego fueron apoyados por pensadores como David Hume o Immanuel Kant al detectarprincipios contradictorios en la lógica clásica. Luego de Zadeh y las aplicacionesencontradas de la lógica difusa para la computación inteligente, no existieron avancessignificativos, fue hasta los años 1990’s cuando cobra gran auge y se da la explosión depublicaciones en el tema.

La lógica difusa [6] es en realidad una extensión de las teorías clásicas de lalógica, en específico de la teoría clásica de conjuntos, la lógica difusa es unametodología capaz de definir sistemas o comportamientos en términos lingüísticos,dejando atrás las ecuaciones matemáticas.

En control, gracias a la lógica difusa, se cuenta con la posibilidad de dejar atráslos modelos matemáticos complejos para la definición de sistemas, utilizando laaproximación de funciones con asociaciones lingüísticas de entrada-salida. Con loanterior, ya no es necesario modelar los sistemas a controlar. Con estas técnicas lossistemas basados en lógica difusa son capaces de resolver problemas “del mundo real”pero su gran contribución es cuando un sistema es sumamente difícil de modelar oreproducir, donde la ambigüedad es muy común.

Las tecnologías difusas se deben aplicar cuando se cuenta con procesoscomplejos donde no existe un modelo de solución sencillo, así como en procesos nolineales. También, cuando es necesario contar con la experiencia de un operador quepuede otorgar sus conocimientos empíricos al sistema, cuando no se conoce el sistema

por completo, cuando el ajuste de una variable desajusta a otras y en general, cuando senecesita representar cierta incertidumbre.

Cuando se habla de la experiencia del operador, habrá que considerar que paraintroducir sus conocimientos a un sistema, lo más sencillo es utilizar la lógica difusa, yaque no existe la necesidad de etiquetar con datos precisos las decisiones del operadorante ciertas situaciones. Bastará con reproducir sus palabras y completar datos deacuerdo a todas las situaciones posibles del sistema.



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La tecnología difusa encuentra su mayor aplicación en el control de sistemasdinámicos, en predicción, optimización, reconocimiento de patrones, visión porcomputadora, sistemas de información y conocimiento.

1.1.1 Conjuntos

Con la aparición de la lógica difusa en el marco matemático, la teoría de conjuntos sufreuna modificación, teniendo que dividir en dos el tipo de conjuntos.

Conjuntos convencionales

El concepto de conjunto se aprende desde los primeros años de vida cuando se aprendea identificar objetos con características similares. Un conjunto es cualquier colección deobjetos bien definidos que pueden ser considerados como un todo y que puedenmantener ciertas características en común. Entre los conjuntos convencionales y loselementos, existe una relación de pertenencia que es totalmente dicotómica, es decir quees perfectamente clasificable si un elemento pertenece o no a un conjunto; es decir, nohay términos medios.

Los conjuntos son uno de los elementos conceptuales básicos en la matemática ysu estudio formal surge en el Siglo XIX con Georg Cantor seguido por Ernst Zermelo.Un conjunto puede ser descrito de diversas formas: enumerando sus elementos,enunciando las propiedades de los elementos que contiene, etcétera. Además, entreconjuntos se pueden realizar ciertas operaciones como son: la unión, la intersección, ladiferencia, el complemento y la diferencia simétrica.

Conjuntos difusos

Según Zadeh [1], existen conjuntos cuya relación de pertenencia no es dicotómica comosostiene la teoría de conjuntos de Cantor; es decir, que un conjunto puede tener unarelación o grado de pertenencia parcial.

Cuando esto sucede, se habla de conjuntos difusos que conforman las bases quesostienen a la lógica borrosa o difusa. Un conjunto difuso se define como unaagrupación, clase o colección de objetos donde una función de pertenencia que enlaza oempareja estos elementos de un dominio con elementos del intervalo [0,1], dondecuando más cerca se esté de 1, mayor será la pertenencia del objeto al conjunto mientrasque cuando más cerca se esté de 0, el elemento no pertenecerá en lo absoluto alconjunto. Formalmente, un conjunto difuso A se define como

( ){ } X x x A x A ∈= |)(, (1.1)

donde ]1,0[:)( → X x A es la función de pertenencia y X es el dominio, espacio deentrada o universo. La función de pertenencia es una curva que determina cuál es el



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grado de pertenencia de un elemento. Esta curva define de qué manera cada punto delespacio de entrada se mapea para dar lugar a un grado de pertenencia bien definido.

La construcción de las funciones de pertenencia depende del contexto al que serefiera, del concepto a definir y de la aplicación en general. Se prefiere usar lasfunciones simples para simplificar cálculos sin perder exactitud, ya que se está

definiendo un concepto difuso. A continuación se incluyen las funciones de pertenenciaempleadas con mayor frecuencia.

Función de pertenenciaTriangular

Una función de pertenencia del tipo triangular, se define por sus límites inferiory superiora y b respectivamente, así como por su valor modalm cumpliendocon quem debe ser mayor quea y menor queb. Esto es,

ℜ∈

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥∈−−

∈−−≤

= xmba

b x sibm x simb xb

ma x siama x

a x si

x A ,,,

0 ),() /()(

],() /()(0

)( (1.2)

Figura 1.1Función de pertenencia triangular

O bien, se pueden representar por medio de la siguiente expresión:

}0)}, /()(), /()max{min{(),,;( mb xbama xbma x A −−−−= (1.3)

Función de pertenenciaGamma

La función gamma se define por un límite inferiora y un valork mayor quecero. Como característica fundamental, se encuentra su rápido crecimiento apartir dea , siendo que cuanto mayor es el valor dek el crecimiento logra sertodavía más rápido. Este tipo de funciones nunca toman el valor 1, por lo que se

dice que son asintóticas a 1. Se puede definir de las dos maneras siguientes:



10

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>−+ −

≤

=

ℜ∈

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤

=−−

a x sia xk

a xk

a x si

x A

xk a

a x sie

a x si x A

a xk

2

2

)(

)(1 )(

0

)(

,,10

)( 2

(1.4)

Figura 1.2Función de pertenencia gamma

La función gamma tiene una aproximación lineal que se expresa por:

ℜ∈

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

∈−−

≤

= xma

m x si

ma x siama x

a x si

x A ,,

1

),()()(

0

)( (1.5)

Figura 1.3Función de pertenencia gamma lineal

Función de pertenenciaS

La función S se define por sus límites inferior y superiora y b respectivamente,además de un punto de inflexiónm cona < m < b , típicamente al centro dea yb. En este tipo de funciones, mientras mayor sea la distancia entrea y b elcrecimiento es más lento. Se definen por:



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ℜ∈

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥∈−−−∈−−≤

= xmba

b x si

bm x siabb x

ma x siaba x

a x si

x A ,,,

1),()} /(){(21],()} /(){(2

0

)(2

2

(1.6)

Figura 1.4Función de pertenencia S

Función de pertenenciaGaussiana

La función Gaussiana es de las más utilizadas y describe la típica campana deGauss, con un valor mediom y el valork mayor a cero, equivalente a la inversade la varianza. Por tanto, cuanto mayor seak , la función será una campana másestrecha.

ℜ∈= −− xmk e x A m xk ,,)( 2)( (1.7)

Figura 1.5Función de pertenencia gaussiana

Función de pertenenciaTrapezoidal

La función Trapezoidal es otra de las funciones más usadas en conjunto con laTriangular y la Gaussiana. Se define por sus límites inferior y superiora y d respectivamente, y los límites de su soporte inferior y superiorb y c respectivamente.



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ℜ∈

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∈−−∈

∈−−≥≤

= xd cba

d c x sicd xd

cb x si

ba x siaba x

d xoa x si

x A ,,,,

),[) /()(),(1

],() /()()()(0

)( (1.8)

Figura 1.6Función de pertenencia trapezoidal

Función de pertenenciaPseudo-Exponencial

La función Pseudo-Exponencial, se define por su valor medio y un valor parak mayor que 1. Mientrask crece, el crecimiento es más rápido y la función sevuelve más estrecha.

ℜ∈−+

= xmk m xk

x A ,,)(1

1)( 2 (1.9)

Figura 1.7Función de partencia pseudo-exponencial

Función de pertenenciaTrapecio Extendido

Esta función surge a partir del trapecio, asociando puntos intermedios entre suslímites inferior y superior. En general el trapecio se adapta bien a la definiciónde cualquier concepto siendo muy fácil de definir, el trapecio extendido muestramayor complejidad pero permite mayor expresividad, aunque no necesariamenteaumenta la precisión, ya que se trata de conceptos difusos.



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Figura 1.8Función de pertenencia trapecio extendido

Características de un conjunto difuso

Los conjuntos difusos mantienen ciertas características esenciales, cada una de estascaracterísticas convierten a su función de pertenencia en propia, es decir que la funciónde pertenencia define por completo al conjunto.

Estas características se describen a continuación y se deben tomar muy en cuentapara el diseño de funciones de pertenencia.

Altura.Es el valor más grande de la función de pertenencia del conjunto difuso A; es decir, )(sup)( x A A Altura X x∈= .

Núcleo.Son todos aquellos elementos del conjunto A que tienen un grado depertenencia igual que 1; es decir, 1)(:)( =∈= x A X x A Nucleo .

Soporte.Son todos aquellos elementos del conjunto A que tienen un grado depertenencia mayor que cero; esto es, }0)(:{)( >∈= x A X x ASoporte .

1.1.2 Relaciones, operaciones y propiedades

Relaciones entre conjuntos difusos

Cada uno de los conjuntos difusos puede establecer una relación con alguno otro, ydirectamente tiene que ver con características de sus funciones de pertenencia. Estasrelaciones se describen a continuación.

Igualdad. Se dice que dos conjuntos difusos definidos sobre el mismo dominioson iguales si tienen la misma función de pertenencia. Esto es,

X x x B x A B A ∈∀=⇔= ),()( (1.10)

Inclusión. Se dice que un conjunto difuso A está incluido en otro B si los valoresde A son menores o iguales a los de B. Es decir,

X x x B x A B A ∈∀≤⇔⊆ ),()( (1.11)



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Inclusión Difusa.Cuando el soporte de un conjunto A es finito y se puede dar

un grado de inclusión de un conjunto en otro se llama inclusión difusa. Con estarelación se puede determinar qué conjunto está más contenido en el otro. Esto se definecomo sigue:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−= ∑

∈ X x

x B x A ACard ACard

B AS )}()(,0max{)()(

1),( (1.12)

dondeCard(A) es la cardinalidad del conjunto A; es decir, la suma de los grados depertenencia de todos los elementos contenidos en A.

Operaciones con conjuntos difusos

La función de pertenencia de cada conjunto juega un papel fundamental, puesbásicamente define al conjunto difuso. Debido a esto, es natural definir operaciones

sobre los conjuntos difusos a partir de sus funciones de pertenencia [7]. Una operaciónentre conjuntos difusos crea un nuevo conjunto con una función de pertenencia propia ydiferente a las que la precedieron. Algunas de estas operaciones se describen acontinuación:

Unión. La unión entre dos conjuntos se define como la selección elemento aelemento del máximo entre ellos. Es decir,

)}(),(max{)()())(( x B x A x B x A x B A =∪=∪ (1.13)

Intersección. La intersección entre dos conjuntos se define como la selecciónelemento a elemento del mínimo entre ellos. Es decir,

)}(),(min{)()())(( x B x A x B x A x B A =∩=∩ (1.14)

Complemento a uno o negación. También llamado simplemente complemento,se realiza al sustraer el conjunto en cuestión de la unidad. Es decir,

)(1)(~ x A x A −= (1.15)

Propiedades básicas de las operaciones con conjuntos difusos

Las propiedades básicas de las operaciones con Conjuntos Difusos se describen acontinuación:

Propiedad Conmutativa. Una operación se considera conmutativa cuando elresultado de la operación no depende del orden de los elementos con que opera. Portanto,

A B B ∪=∪ (1.16)



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A B B ∩=∩ (1.17)

Propiedad Asociativa. Una operación es asociativa si en el caso de operacionesagrupadas, no afecta el resultado cuál de las operaciones se realice primero.Consecuentemente,

C B AC B AC B A ∪∪=∪∪=∪∪ )()( (1.18)C B AC B AC B A ∩∩=∩∩=∩∩ )()( (1.19)

Propiedad de Idempotencia. Esta consiste en poder realizar una accióndeterminada varias veces y aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si serealizase una sola vez. En el álgebra de conjuntos así como en los conjuntos difusos, lasoperaciones de unión e intersección de conjuntos son idempotentes, ya que la unión ointersección de un conjunto consigo mismo entrega como resultado el mismo conjunto.

A=∪ (1.20) A=∩ (1.21)

Propiedad Distributiva.Una operación⊗es distributiva respecto a otra⊕si secumple que )()()( C A B AC B A ⊗⊕⊗=⊕⊗ . Esta propiedad relaciona a la unión y laintersección como sigue:

)()()( C A B AC B A ∪∩∪=∩∪ (1.22))()()( C A B AC B A ∩∪∩=∪∩ (1.23)

Propiedad de Condiciones límite.Esto es,

A X A

X X A

A A

A A

=∩=∪

=∅∩=∅∪

(1.24)

Propiedad de Involución.La doble negación de un conjunto, es el mismoconjunto. Es decir,

A A =)(~~ (1.25)

Propiedad de Transitividad.Se dice que una relación es transitiva si para todo

A, B y C tal que A está relacionada con B y B relacionada conC , entonces A estárelacionada conC . Esto es válido para la inclusión y se expresa como:

C AimplicaC B y B A ⊆⊆⊆ , (1.26)



16

Tipos de conjuntos difusos

Un conjunto difuso se puede clasificar como cóncavo o convexo si cumplen ciertacaracterística. Esta característica está definida por la función de pertenencia. Esto es,

Cóncavo: )}(),(min{))1(( 2121 x A x A x x A ≥−+ λ λ (1.27)

Convexo: )}(),(max{))1(( 2121 x A x A x x A ≤−+ λ λ (1.28)

]1,0[, 21 ∈∀∈∀ λ y X x x

1.1.3 Variables lingüísticas

En cualquier tipo de sistema se utilizan variables, cuando estos sistemas se describenpor medio de lógica difusa a estas variables se les conoce como variables lingüísticas;las cuales, se descomponen en varios conjuntos difusos. Estos conjuntos se nombran pormedio de una etiqueta lingüística y deben de estar bien ubicados en su rango o universo.

De forma gráfica se pueden identificar los elementos anteriormente señaladascomo se muestra en la siguiente figura, definiendo la variable lingüística temperatura:

Figura 1.9Estructura de la variable lingüística temperatura.

Nótese que dada la variable lingüísticatemperatura se pueden definir diferentesetiquetas lingüísticas asociadas cada una con un conjunto difuso diferente.

1.2 Generalidades del controlPor la palabra control se pueden entender diferentes cosas, en nuestro caso control sonlas acciones que deben tomarse para lograr cumplir con ciertos objetivos, tal comosucede en nuestra vida diaria. Por ejemplo, en casa, se requiere cierta temperatura en elagua para lograr preparar un platillo, o se requiere de un tiempo y temperaturadeterminados para lograr un buen horneado, al conducir se requiere que el volante del



17

automóvil cambie de dirección dependiendo de las características del camino osimplemente la manera en que se activa el embrague.

El ser humano, considerado por varios como la máquina perfecta, tienecapacidades increíbles, desde el punto de vista del control, actividades tan comunescomo caminar o lanzar un balón con la precisión justa como para encestar son tareas

muy complejas para reproducir por las máquinas que se pueden construir. Además estasactividades físicas implican al mismo tiempo la capacidad de decisión sobre lasacciones a tomar, no basta con correr lo más rápido posible, o con aplicar la mayorfuerza; hay que administrar la energía, desarrollar estrategias, etcétera. En el momentoque el hombre de ciencias desea desarrollar mecanismos que logren tareas similares, sepercata de que el diseño es muy complejo floreciendo la admiración a la naturaleza einclusive a Dios como el creador.

¿Cómo es que el ser humano tiene tantas capacidades sin estar conciente de lacantidad de cálculos que el cerebro realiza?, ¿cómo es que se logra controlar el cuerposin tener datos precisos, sin saber con exactitud cuantos centímetros se deben dar porpaso, o con cuantos decibeles hablar en la calle o en un salón de clases?. Es notable quecuando el ser humano se especializa en alguna actividad, no recibe datos numéricos porparte del instructor, simplemente correcciones lingüísticas, correcciones que no van másallá de incrementos o decrementos de ciertas características, como “más fuerte!”,“menos rápido”, “no tan caliente”, “precisamente así”, etcétera. Tratando de simularesta clase de entrenamiento es como se aplica la lógica difusa en los sistemas de control.

1.2.1 Sistema de control

Un sistema de control consta básicamente de cuatro elementos: los objetivos de control,los componentes de control, la planta o sistema a controlar y finalmente los resultadostambién llamada salida. Los objetivos de control representan de qué manera se deseaque un sistema dinámico se comporte, normalmente expresado como una señal llamadade entrada. Los componentes de control son todos aquellos elementos capaces demodificar las señales del sistema de control para que la planta se comporte justo comose desea por medio de la acción de control. El sistema a controlar o planta, es un sistemacon características físicas, donde alguna de éstas, es controlables mediante una acciónde control. La respuesta o salida es simplemente la manera en que se comporta elsistema.

Figura 1.10Esquema básico de control

El control ideal es aquel que logra que la respuesta sea idéntica a la entrada.Existen muchas técnicas de control que van desde las más sencillas, como el control de



18

encendido/apagado, hasta las más complejas, como lo sería el control óptimo [8] yrobusto [9].

La complejidad del controlador se puede ver desde diferentes puntos de vista,puede ser sencillo de diseñar pero difícil de implantar o al revés. Las condiciones de laplanta también influyen en la complejidad, ya que en realidad no siempre se encuentra

disponible la información que se quisiera. Por encima de estas circunstancias existen laslimitantes físicas de los sistemas; por ejemplo, en diseño o simulaciones se podría lograruna respuesta idéntica a la entrada, pero seguramente la acción de control implicaríaniveles de energía no disponibles en la realidad. Por lo que cualquier controladordiseñado debe ser realizable.

1.2.2 Modelos matemáticos

El ingeniero de control que enfrenta la problemática de controlar una planta, en loprimero que piensa es en obtener el modelo matemático del sistema. Lo anterior suenaobvio ya que los cursos de control convencional utilizan el modelo matemático de laplanta para poder diseñar controladores.

Así pues, el ingeniero de control tendrá dos opciones: proponer el modelomatemático basado en las características físicas del sistema o, implantar algún sistemade identificación de parámetros [10] donde finalmente se obtendrá una ecuacióndiferencial que describa el proceso; sin embargo, el ingeniero debe estar conciente deque su modelo matemático no representa con perfección toda la dinámica del sistema,ya que es sólo una abstracción y normalmente no se deja que el orden de la ecuacióndiferencial sea alto. El hecho de que la precisión del modelo matemático no sea óptimano es un gran problema, ya que no es necesaria tanta precisión para diseñar uncontrolador que funcione; más aún, el modelo matemático es de gran importancia parael diseñador al momento de realizar simulaciones, antes de implantar un controlador enuna planta real.

Los modelos lineales como los de (1.29), son modelos que se han utilizadomucho en la teoría de control de los últimos años, logrando generar modelos útiles paradiseño y simulación de controladores. Además, han surgido muchas definiciones yteorías alrededor de los mismos.

DuCx y

Bu Ax x+=+=&

(1.29)

dondeu es la entrada con dimensiónm, x es el estado de dimensiónn, dt t dx x )(=& , y es la

salida de dimensión p. A, B, C , y D son matrices con las dimensiones apropiadas.

Además se cuenta con funciones de transferencia como la de (1.30), dondes representa una variable compleja.

D B A sI C sG +−= −1)()( (1.30)



19

Este tipo de modelos, son adecuados para ser utilizados cuando se diseñancontroladores por medio de técnicas en el dominio de la frecuencia [11] como serían:los diagramas de Bode o de Nyquist, lugar de las raíces, variables de estado, etcétera.En ocasiones se asume que los parámetros del modelo lineal son constantes pero no seconocen o se sabe que pueden ser perturbadas, así es como surgen las técnicas paracontrol robusto [12] y control adaptativo [13].

Luego de la madurez de todas las técnicas anteriormente señaladas paracontrolar plantas de comportamiento lineal, surge la necesidad de desarrollar nuevosparadigmas capaces de lidiar con plantas cuyos modelos matemáticos sean no lineales yse puedan expresar de la siguiente manera.

),(),(

u x g y

u x f x==&

(1.31)

donde f y g son funciones no lineales de sus argumentos. Para atacar este tipode modelos comúnmente se tratan de linealizar [14]; es decir, extraer un modelo lineal a

partir de uno no lineal; sin embargo, no aplica a cualquier no-linealidad. Muchas vecesse acota el problema seccionando sólo las partes lineales del modelo. De esta manera enmúltiples ocasiones se puede escuchar decir que el modelo no lineal se refiere a laplanta real mientras que el modelo lineal se utiliza para fines de simulaciones y diseño.

Existen algunas características de las plantas que deberán ser analizadas comopueden ser su estabilidad; por ejemplo, revisando si cumple la condición BIBO8 [15] o,determindo si la planta cumple con los criterios de controlabilidad y observabilidad[16], entre otras. Las características anteriores permitirán al ingeniero de controldeterminar si será capaz de diseñar un controlador efectivo para el sistema. Además, elingeniero supondrá una serie de condiciones para identificar como es que será elcomportamiento de la planta para asegurar la completa comprensión de la dinámica del

sistema. Este punto es muy importante, ya que en el momento de la implantación, serequiere de un trabajo artesanal comúnmente llamado sintonización fina, donde eldesarrollo de estas habilidades distingue a los buenos y malos ingenieros de campo.

1.2.3 La respuesta transitoria

Cuando se acepta la tarea del diseño de un controlador para cualquier tipo de planta, sedeben establecer los objetivos de control, además de esto existen las especificacionesque se deben de cumplir, ya sean establecidos por uno mismo, normas, reglamentosestablecidos o características propias del sistema.

La respuesta transitoria9 es el resultado que se obtiene de someter una planta acierta acción de control, de esta curva, en combinación con el objetivo de control y lamisma planta, se pueden apreciar diferentes características como son:

8 Entrada y salida acotadas por su acrónimo en inglés, Bounded Input Bounded Output9 Comúnmente llamada simplemente respuesta



20

Objetivo de Control.Es la forma como se desea que se comporte el sistema, sele suele llamar, punto de ajuste, señal de entrada, modelo de referencia,simplemente entrada o referenciar (t ), dondet es el tiempo.

Estabilidad.Es que el sistema mantenga un estado estacionario; es decir, elcontrolador debe asegurar que la respuesta del sistema tenderá al punto de ajuste

conforme avance el tiempo. Al momento que se alcanza la estabilidad se lellama tiempo de establecimientot s.

Máximo sobre-impulso.Se le llama sobre-impulso a toda sección de larespuesta transitoria que exceda a la referencia, nótese que puede no existir.Normalmente se mide el valor máximo de la respuesta y se compara con elobjetivo de control para obtener de forma percentil el máximo sobre-impulso%OS 10.

Tiempo de Levantamiento.Es el tiempo que tarda la respuesta en acercarse del10% al 90% del objetivo de control; es decir, cuánto tiempo tarda el controladoren acercar la respuesta al comportamiento solicitado se denota port r .

Error en Estado Estable. Es una diferencia constante a través del tiempo entrela señal de entrada y la salida o respuesta del sistema, se puede especificar comoadmisible o inadmisible en algún grado, dependiendo de las características delsistema.

Disturbios.Son los factores externos no considerados dentro de los modelosmatemáticos en el diseño; por ejemplo, las vibraciones generadas por un motorcercano.

Variación de Parámetros.Se presenta cuando alguna característica de la plantavariará a través del tiempo; por ejemplo, si se cambia alguna pieza por otra másligera. De qué manera cambia el desempeño del controlador en caso de queocurran este tipo de variantes, sin necesidad de ajustar el controlador.

Los conceptos anteriores caracterizan las condiciones técnicas que debe cumplir elcontrolador sobre cierta planta para decir que el controlador es bueno o malo; sinembargo, no bastará con cumplir con esto, ya que existen otros temas importantes comolo son el costo económico, costo computacional, capacidad para manufacturarse,rendimiento, mantenimiento, adaptabilidad, entendimiento, políticas, entre otras.

1.3 Control difuso

1.3.1 Estructura

La estructura de un controlador difuso puede ser descrita por cuatro elementosbásicos[17]:

10 Por sus siglas en inglés over-shot



21

Reglas.Son un conjunto de reglas del tipo si-entonces , que contienen una cuantificación total dela descripción lingüística de lo que el experto haría para alcanzar un buen control delsistema.

Fuzzificación.Es el proceso que traduce las señales de entrada del controlador difuso en informaciónque el mecanismo de inferencia es capaz de evaluar para que de esta forma elmecanismo pueda activar las reglas correspondientes.

Mecanismo de Inferencia.Este mecanismo es responsable de emular las decisiones del experto luego de interpretary aplicar el conocimiento implícito en las reglas de cómo se controla la planta de lamejor forma.

Defuzzificación.Es el proceso que convierte las conclusiones del mecanismo de inferencia en la salidadel controlador, dicha salida se considera como la acción de control o una parte de éstay debe cumplir con las propiedades suficientes para actuar como entrada del proceso oplanta a controlar.

Figura 1.11Esquema básico de control difuso

Para diseñar un controlador difuso una vez que se conoce el proceso a controlarse deben tener en cuenta los siguientes procesos [17]:

• Elegir las variables de entrada y salida del controlador difuso.• Caracterizar las variables de entrada y salida.• Representar el conocimiento como reglas.• Cuantificar el conocimiento.• Fuzzificar.• Defuzzificar.

Para mostrar una idea más clara del procedimiento, se empleará una situaciónreal, un sistema práctico, como lo es el control de un péndulo invertido.



22

1.3.2 Ejemplo, el péndulo invertido

El problema de control consiste en mantener en posición vertical un péndulo montadosobre un vehículo. Dicho vehículo podrá moverse en un sentido u otro para tratar demantener el péndulo en posición vertical.

De las variables del sistema que se pueden medir, tomaremos el ánguloθ y lavelocidad angular del pénduloθ

& , siendo el objetivo de control que 0=θ de maneraestable; es decir, que también 0=θ

& conforme el tiempo ∞→t .

La variable de control sobre el sistema será la variableu que se debe interpretarcomo una fuerza sobre el vehículo. Si el sistema se reprodujera físicamente, esta fuerzapodría ser aplicada por un motor.

Figura 1.12Péndulo invertido

Ahora, los puntos que se deben seguir una vez que se conoce el proceso, sedescriben a continuación:

Elegir las variables de entrada y salida del controlador difuso

Para poder elegir las entradas y salidas del controlador difuso es necesario tomar encuenta algunos de los conceptos básicos del control, como conocer cuales señales de laplanta están disponibles y que tipo de señales se pueden generar para controlar elproceso. Luego entonces, se debe contemplar exactamente qué información utilizaría elexperto para realizar el buen control del proceso y mientras estén disponibles las señalesque pudieran otorgar esa información, deberán tomarse en cuenta como entradas alcontrolador.

Por último se debe identificar la variable a controlar, dicha variable será la salidadel controlador. En nuestro ejemplo las variables de entrada del controlador seránθ yθ

& estando concientes de que esta información estará disponible, por otra parte la salidade nuestro controlador; es decir, la acción de control, será la fuerza aplicada al vehículo.Esta fuerza se puede percibir como un voltaje aplicado a un motor de corriente directa,donde la magnitud del voltaje aplicado es directamente proporcional a la velocidad yfuerza del vehículo, mientras que si el voltaje es positivo o negativo determinará elsentido de giro del motor y por ende la dirección del vehículo.



23

Caracterizar las variables de entrada y salida.

En este momento surge la necesidad de formalizar el conocimiento del experto y dealguna manera introducirlo al controlador. El instrumento correcto para lograrlo esgenerar una relación entre las situaciones lingüísticas que pueden generar lascombinaciones de las variables de entrada con la variable de salida, proponiendo encada caso cuál debe ser la acción de control a tomar. Es aquí donde establecen una seriede reglas si-entonces , sin mencionar nunca valores numéricos, ya que se supone que elexperto proporcionará el conocimiento en su propio lenguaje; por ejemplo, si el error esgrande de derecha a izquierda y la velocidad pequeña hacia el objetivo,entonces acelerar mucho hacia el objetivo. Una colección de reglas de este tipo, se puederepresentar como matrices o tensores dependiendo de cuántas sean las entradas delcontrolador. Cada una de las entradas y salidas es una variable lingüística; mientras que,cada situación o estado que puede presentar una variable conforma un conjunto difusorepresentado gráficamente por su función de pertenencia. Dependiendo del número deentradas y salidas, así como el número de conjuntos de cada una de ellas, se determinaráel número de reglas posibles dependiendo de las posibles combinaciones que pudiesenexistir.

Para nuestro ejemplo, se trata cada una de nuestras variables, éstas seránetiquetadas, descritas y se les relacionará con un símbolo:



24

Variable de entrada 1,θ

El ánguloθ es la diferencia de posición en radianes que existe entre el objetivo decontrol y la situación actual del péndulo; es decir, que nos dice que tan lejos o que tancerca se encuentra de la posición deseada. Considérense cinco formas de describir laposición del péndulo:

Conjunto Descripción Esquema Símbolo

CeroEl péndulo se encuentra justo en la posición que haceque 0=θ .

Z

Cerca DerechaEl péndulo se encuentracerca del estado deequilibrio pero del ladoderecho; es decir, que 0>θ .

+

Lejos DerechaEl péndulo se encuentralejos del estado de equilibriopero del lado derecho; esdecir, 0>θ .

(+)

CercaIzquierda

El péndulo se encuentracerca del estado deequilibrio pero del ladoizquierdo; es decir, 0<θ .

-

LejosIzquierda

El péndulo se encuentralejos del estado de equilibriopero del lado izquierdo; esdecir, 0<θ .

(-)

Tabla 1.1Estados de Variable de entrada 1,θ



25

Variable de entrada 2,θ

&

La velocidad angularθ & es la velocidad con que se mueve el péndulo, medida en

segundoradianes , esta velocidad nos sirve para conocer qué tanta será la inercia a vencer;además, el signo de la velocidad nos dirá la dirección con que se está moviendo elpéndulo, por lo que se vuelve necesaria para ejercer un buen control. Considérensecinco formas para describir la velocidad del péndulo:

Conjunto Descripción Esquema Símbolo

Cero El péndulo no presentamovimiento; es decir, 0=θ

& . Z

Lento HorarioEl péndulo se mueve conpoca velocidad en el sentidode las manecillas del reloj; esdecir, 0>θ

& .+

RápidoHorario

El péndulo se mueve congran velocidad en el sentidode las manecillas del reloj; esdecir, 0>θ

& .(+)

Lento Anti-Horario

El péndulo se mueve conpoca velocidad en sentidoanti-horario; es decir, 0>θ

& .-

Rápido Anti-Horario

El péndulo se mueve congran velocidad en sentidoanti-horario; es decir, 0>θ

& .(-)

Tabla 1.2Estados de la Variable de entrada 2,θ &



26

Variable salida,u

La variable de salida del controlador difuso, representa de alguna manera la acción decontrol, para nuestro ejemplo representado por una fuerza que actúa sobre el vehículo enforma horizontal. Se propone que esta variable también se pueda describir de cinco

maneras diferentes:

Estado Descripción Esquema Símbolo

Cero No se ejerce ninguna fuerza,0=u Z

MedianaDerecha

Se aplica una fuerzamediana en el sentidopositivo; es decir, hacia laderecha, 0>u

+

GrandeDerecha

Se aplica una gran fuerzapositiva; es decir, hacia laderecha, 0>u

(+)

MedianaIzquierda

Se aplica una fuerzamediana en el sentidonegativo; es decir, hacia laizquierda, 0<u

-

GrandeIzquierda

Se aplica una gran fuerza enel sentido negativo; es decir,hacia la izquierda, 0<u

(-)

Tabla 1.3Estados de la variable de salida,u

Representar el conocimiento como reglas

En este punto es donde la figura del experto tiene su mayor grado de participación. Esdonde el ingeniero de control y el experto utilizan su pericia para lograr un buen control.El éxito o fracaso del controlador depende en gran parte de que el conocimiento sea

representado de la manera correcta. Se deben de representar las diferentes situaciones delas variables de entrada contra la acción de control que se realizará para esas situacionesen particular.

Como se mencionó con anterioridad, la manera más sencilla y compacta deretener este tipo de conocimiento es mediante matrices o tensores dependiendo delnúmero de variables de entrada. Para este ejemplo se utiliza una sola matriz ya que secuenta con dos variables de entrada y sólo una sola acción de control o variable desalida. Cada renglón representará un conjunto del ánguloθ mientras que cada una de



27

las columnas representará un conjunto de la velocidad angularθ & . De esta manera se

obtiene una matriz de tamaño 55× donde cada elemento de la matriz indica quéconjunto de la acción de control se llevaría a cabo y que corresponde al sentido y lamagnitud de la fuerza que se aplicará al vehículo.

VELOCIDAD ANGULAR

(+) + Z - (-)

(+)(+) (+) (+) + +

+(+) + + Z -

Z(+) + Z - (-)

-+ Z - - (-)

ÁNGULO

(-)- - (-) (-) (-)

Tabla 1.4Matriz de reglas para el controlador difuso

Para replicar este ejercicio, se puede emplear una matriz en blanco para analizarcada posible situación (caso), o en su defecto, preguntar al experto que es lo que elharía. Se podrían realizar ambas técnicas para después compararlas y finalmente obteneruna matriz resultante de común acuerdo, lo anterior debido a que el experto puede tenerlagunas para algunas situaciones. Para comprender esto se realiza el ejercicio a manerade entrevista con tres casos particulares:

Supóngase que el péndulo se encuentra en equilibrio total; es decir, que está enla posición indicada y no presenta movimiento, entonces el vehículo no deberíamoverse.

Ingeniero:Si el ángulo es cero y la velocidad angular es ceroentonces… Experto: No aplicar fuerza.Ingeniero:Si ( Z =θ ) y ( Z =θ

& ) entonces ( Z u = )



28

Ahora bien, si la posición del péndulo es cercana a la posición objetivo por el

lado izquierdo y su movimiento indica que se mueve hacia dicha posición de formalenta, no se ejerce fuerza, ya que el péndulo presenta una tendencia hacia el objetivo.

Ingeniero:Si el ángulo es cercano por la izquierda y la velocidad angular es lenta

en el sentido horarioentonces… Experto: No aplicar fuerza, por si mismo llegará al objetivo.Ingeniero:Si ( −=θ ) y ( +=θ

& ) entonces ( Z u = )

Por otra parte, si la posición del péndulo es cercana a la posición objetivo por ellado derecho y se está alejando de la posición objetivo, el carro debería moverse a laderecha con una fuerza mediana para intentar cambiar de sentido el movimiento delpéndulo y forzarlo a ir en sentido contrario.

Ingeniero:Si el ángulo es cercano por la derecha y velocidad angular es lenta ensentido horarioentonces… Experto: Aplicar fuerza algo de fuerza a la derecha.Ingeniero:Si ( +=θ ) y ( +=θ & ) entonces ( +=u )

Luego de establecido el conjunto de reglas que regirán al controlador difuso, sedebe tener sumo cuidado en que las reglas no se contradigan entre sí; es decir, éstasdeberán ser coherentes y básicamente estar regidas por el sentido común de acuerdo conlos objetivos de control o con lo que señale el experto.

Cuantificar el conocimiento

Hasta este punto se han definido las variables de entrada y salida así como sus variables

lingüísticas incluyendo las reglas del controlador difuso. En este momento se debellevar a la realidad numérica lo que se quiso decir con palabras. A lo anterior se le llamacuantificación de valores lingüísticos y consiste en segmentar o clasificar las variablesde entrada y salida del controlador difuso de acuerdo con los conjuntos antespropuestos.

Cada una de estas clasificaciones genera un conjunto difuso, con una función depertenencia de alguna forma determinada. En este caso y el resto de la tesis, sólo seutilizarán funciones de pertenencia del tipo trapezoidal ),,,;( d cba x A y triangular

),,;( d ma x A , considerando que el segundo es un caso particular del primero cuandob= c = m . Con lo que a lo largo del texto serán distinguidas mediante el número deargumentos y de manera simplificada se denotará a ambas como );( γ x A donde γ denotará los puntos de operacióna , b, m, etcétera.

Siguiendo con el ejemplo del péndulo invertido, se cuenta con los siguientesconjuntos para cada variable:



29

Tabla 1.5Etiquetas lingüísticas para cada variable.

A cada uno de los conjuntos anteriores se le asigna un tipo de función depertenencia cuyos puntos de operación se establecen de acuerdo al método desintonización [17] seleccionado, a la experiencia o, como en la mayor parte de lasocasiones sucede, por prueba y error en simulaciones.

En nuestro caso los puntos de operación de cada función de pertenencia sonsupuestos ya que el ejemplo sólo servirá para explicar procedimientos.

El ángulo está físicamente dentro del rango [π − ,π ] radianes, la velocidadangular estará acotada por las características físicas del sistema, que en este caso sondesconocidas; sin embargo, se establece que la velocidad angular máxima que podríaalcanzar el péndulo es de srad / 2π , teniendo el rango [ π 2− , π 2 ] srad / para dichavariable de y la acción de controlu estará acotada por los límites físicos del motor quegeneraría la fuerza, considérese que el motor fue diseñado para trabajar con voltajes deentrada en el rango [-12, 12]V.

θ θ & u

Cero Cero Cero

CercaDerecha

LentoHorario

MedianaDerecha

LejosDerecha

RápidoHorario

GrandeDerecha

CercaIzquierda

LentoAnti-

horarioMedianaIzquierda

LejosDerechaRápidoAnti-

horarioGrandeIzquierda



30

De esta manera se proponen las siguientes funciones de pertenencia:

θ )( xθ θ &

)( xθ &

u )( xu

Cero ⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 8,0,8; π π θ x Cero ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ − 2,0,2; π π θ x& Cero ( )4,0,4;− xu

CercaDerecha

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

4,

8,0; π π

θ x LentoHorario ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

2,

4,0; π π

θ x& Mediana

Derecha ( )8,4,0; xu

LejosDerecha

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

π π π π

θ ,,4

,8

; x RápidoHorario ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

π π π π

θ 2,2,,2

; x& Grande

Derecha ( )12,12,8,4; xu

CercaIzquierda ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −− 0,

8,

4; π π

θ x LentoAnti-

horario

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−

4,

2,0; π π

θ x& Mediana

Izquierda ( )0,4.8; −− xu

LejosIzquierda ⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−−−

8,

4,,; π π

π π θ x RápidoAnti-

horario⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−−−

2,,2,2; π

π π π θ x& Grande

Izquierda ( )4,8,12,12; −−−− xu

Tabla 1.6Funciones de pertenencia para cada conjunto.

Con esta tabla se pueden generar el conjunto de funciones de pertenencia paralas variables difusas del controlador las cuales gráficamente se representan de lasiguiente manera:

Figura 1.13Funciones de pertenencia para el controlador difuso.



31

Fuzzificación

Hasta aquí llegan los datos que el diseñador deberá verter sobre el controlador, losiguiente, son cálculos que se pueden programar en algún lenguaje de programación,para ejecutarse por algún ordenador, en un FPGA [18] o en algún micro-controlador[19] [20].

Las reglas que se activan dependen del valor de las variables de entrada en uninstante determinado. Apréciese que en los gráficos para cada una de las variables, porcada valor en el eje de las x se pueden tener diferentes valores en las funciones depertenencia. Por ejemplo de la (figura 1.14) se observa que si el ángulorad 32

3π θ = y lavelocidad angular segundo

radianes16

π θ −=& , ambas variables pertenecen a un par de conjuntosdifusos como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.14Evaluación de las variables de entrada

donde debido a la disposición de los puntos de operación de las funciones depertenencia la suma de los grados de pertenencia para cualquier punto en el dominioserá la unidad. Esta es una característica propia del ASSCD como se verá en la sección2.7; sin embargo, no es necesaria para un FLC tradicional.

Así, se activan cuatro reglas, cada una con su propio grado de pertenencia. Aeste grado, se le llama nivel de activación. Las cuatro reglas que se activan son:

1. Si ( Z =θ ) y ( Z =θ & ), entonces ( Z u = )2. Si ( Z =θ ) y ( −=θ

& ), entonces ( −=u )3. Si ( +=θ ) y ( Z =θ

& ), entonces ( +=u )4. Si ( +=θ ) y ( −=θ

& ), entonces ( Z u = )

y se muestran en la siguiente figura:



32

Figura 1.15Evaluación de las funciones de pertenencia

En su conjunto, las cuatro reglas activan tres estados de la variable de salidau .Para saber el nivel de activación, se debe tomar en cuenta el operador difuso que seutilizó en las reglas. En el ejemplo se empleó la conjunción; es decir, el operadorand ,por lo que para obtener el nivel de activación de la variable de salida, se aplica eloperador min.

Para la primera regla que se activa:

Figura 1.16Defuzzificación

y lo mismo se debe efectuar para cada una de las reglas, por lo que la fuzzificación enestas cuatro reglas daría los niveles de activación1 4, ,α α L como:

1. 25.0)75.0,25.0min(),(1 ===== Z Z and θ θ α &

2. 25.0)25.0,25.0min(),(2 ==−=== θ θ α &

Z and 3. 75.0)75.0,75.0min(),(3 ===+== Z and θ θ α

& 4. 25.0)25.0,75.0min(),(4 ==−=+== θ θ α

&and



33

A partir de las reglas que se activaron y los distintos niveles de activación de éstas, segenera un conjunto difuso que representa la salida del sistema difuso. Continuando conel ejemplo se tiene que,

Figura 1.17Acción de control para cada una de las reglas

Defuzzificación

Los conjuntos anteriores junto con su grado pertenencia dan como resultado el conjuntodifuso que se muestra en la (figura 1.18).

La defuzzificación transforma el conjunto difuso de salida en un valor numéricopara que sea de alguna utilidad y que pueda ser empleado como acción de control.Existen diferentes métodos para defuzzificar, algunos de estos son: bisección, centroide,mínimo del máximo, media del máximo, máximo del máximo, etcétera.

Se podría utilizar la técnica del centroide discretizado:

∑∑

=

== N

ii

N

iii

x A

x A xu

1

1

)(

)((1.32)

donde )( i x A es el grado de pertenencia X xi ∈∀ . Este cálculo representa un costocomputacional altísimo e innecesario, ya que se puede utilizar su forma simplificada,esta consiste en sustituir cada conjunto difuso por un solo valor que típicamente es elcentro del conjunto.

Con este método, al defuzzificar, se obtiene el valor de la acción de control, eneste caso calculando el centroide del conjunto difuso queda 1.3333 Volts.



34

25.075.025.025.0)25.0)(0()75.0)(4()25.0)(4()25.0)(0(

+++++−+=u

3333.1=u V

Figura 1.18Conjunto difuso y acción de control resultante

1.3.3 Tipos de controladores difusos

Los controladores difusos se pueden clasificar en tres tipos:

1. Modelo Mamdani [21].2. Modelo Takagi-Sugeno-Kang [22].3. Modelo de Tsukamoto [23].

La diferencia que mantienen estos tipos de controlador difuso es en laconsecuencia de las reglas: en el primero, la consecuencia es un conjunto difuso, para elsegundo es una función lineal de las entradas y para el tercero es una función monótonaa partir de los niveles de activación de las reglas. A continuación se describe cada unode estos modelos en mayor detalle.

Mamdani.

El modelo debe su nombre a su creador A. Mamdani [21], uno de los pioneros en llevara la práctica la lógica difusa para aplicaciones de control. En su modelo, los

consecuentes de las reglas son cambios en la acción de control, dichos cambios serepresentan mediante términos lingüísticos o numéricos fijos, son del tipo:

Si X 1 es A1 y … y X n es An entonces U esU i

Así el consecuente de la regla es un conjunto difuso, dicho conjunto expresa elsignificado de un conjunto de estados de la variable de salida. Este modelo es sencillode interpretar ya que emplea las etiquetas lingüísticas en el consecuente.



35

Takagi-Sugeno-Kang.

Una vez establecido el modelo de Mamdani, Sugeno [22] estudió las posibilidades deincorporar al consecuente diferentes maneras de actuación sobre la variable de salida, eneste caso funciones numéricas de las entradas, el modelo obtuvo la siguiente forma:

Si X 1 es A1 y … y X n es An entonces U es f(X 1 , … , X n )

donde f es la función lineal nn X a X aa X X f +++= ,...,),...,( 11021 . Cuando el grado delpolinomio es la unidad, al sistema se le llama “Modelo de primer orden de Sugeno”.Cuando la función es una constante, el sistema es equivalente al modelo Mamdani conconsecuentes no difusos. Si la función no es una constante, se dice que los consecuentesde las reglas son conjuntos difusos puntuales es decir singletons11.

Las ventajas del modelo Sugeno sobre el Mamdani, consiste en que para obteneruna salida deseada se requiere una cantidad menor de reglas; sin embargo, en general esmás difícil de interpretar la salida, por lo que se complica para el experto expresar su

conocimiento. Dicha situación no ocurre con Mamdani, donde es muy sencillo para elexperto plasmar su conocimiento, al ser la salida otro conjunto difuso.

Tsukamoto.

El modelo de Tsukamoto [23] sólo cambia la forma del consecuente utilizando unafunción monótona creciente (o decreciente)12 )(⋅ g que emplea como entrada el nivel deactivación de la reglaα. Con lo que la estructura del modelo de Tsukamoto es:

Si X 1 es A1 y … y X n es An, entonces U es g (α)

En general, para las aplicaciones de control se utilizan controladores de tipoSugeno ya que son computacionalmente más eficientes [24], aunque el modelo deMamdani también se utiliza por ofrecer los mejores resultados en cuanto a la calidad derespuesta del sistema a controlar, ya que representa de mejor forma las decisiones delexperto.

Existe una segunda forma de clasificar a los controladores difusos y depende desus variables de entrada. Se dice que existen controladores difusos tipo P, PD, PI, PID.Un controlador P será aquel que tome información de un solo tipo de variable; porejemplo, el error. Un controlador PD tomará una variable y la derivada de esta mismavariable; por ejemplo, el error y el cambio del error y así sucesivamente hasta llegar al

controlador difuso PID que utiliza tres variables de entrada: el error, su integral y suderivada.

11 Conjuntos unitarios, es decir, con un único elemento.12 Una función se dice monótona creciente (decreciente) si dado y x < entonces )()( y f x f < ( )()( y f x f > ).



36

1.3.4 Sintonización de controladores difusos

Se dice que para que un controlador tenga un buen desempeño, tuvo que haber sidosometido a una buena sintonización. Dependiendo del tipo de controlador, lasintonización seguirá un procedimiento u otro, pero en general se puede decir que sesufren dos sintonizaciones. La primera es una sintonización teórica y la segundanormalmente es práctica y se le puede llamar sintonización fina.

En el caso de los controladores difusos, se puede decir que la primerasintonización está implícita en el proceso de diseño y depende del diseño de lasfunciones de pertenencia, incluyendo la forma y los soportes de cada una de ellas, conlo que se caracteriza cada una de las variables de entrada o salida del controlador difuso.Posteriormente se pone a prueba el controlador. Se recomienda hacerlo en simulaciónpara evaluar su desempeño. Dependiendo de los resultados y el objetivo de control, elcontrolador puede sufrir sintonizaciones finas. En este punto la sintonización se vuelveartesanal y la metodología comúnmente usada para esto consiste en aplicar ganancias aalguna de las variables de entrada y salida del controlador o modificando las funcionesde pertenencia. Aplicar ganancias a las variables de entrada y salida del controlador esequivalente a modificar el soporte de las funciones de pertenencia, teniendo un efectodirecto sobre la acción de control.

Figura 1.19Esquema para controlador difuso con sintonización vía ganancias

La segunda opción afecta directamente a las funciones de pertenencia y se puedelograr mediante la transformación de la ubicación de los centros de cada una de ellas,modificar su forma o sus parámetros básicos. Un ejemplo de esto es el cambio defunciones triangulares por gaussianas o modificar sus centros de acuerdo a algunafunción [17].

Fuera de estos métodos clásicos de sintonización, existen investigaciones enotros áreas de la computación inteligente, donde se combina el controlador difuso conalguna técnica inteligente que sólo tendrá por objetivo sintonizar al controlador. Porejemplo, el uso del gradiente descendente [25], auto-sintonización [26], algoritmos

genéticos [27], redes neuronales artificiales [28], algoritmos evolutivos [29] o algunaforma de “aprendizaje” [30].

Todos los anteriores presentan buenos resultados; sin embargo, son técnicasfuera de línea13 y su complejidad aumenta ya que además de necesitar conocimientossobre lógica difusa, se requiere dominar alguna otra técnica de computación inteligente.Dichas técnicas no se caracterizan por su sencillez para ser asimiladas por un técnico de

13 Los valores de sintonización no son obtenidos en tiempo real.



37

una planta industrial. Por esta razón es muy importante contar con una técnica sencilla,lingüísticamente entendible, fácil de interpretar y carente de matemáticas complejas.

1.3.5 Ventajas y desventajas

Ventajas

La bondad más apreciada del controlador difuso es que quitan del panorama algunos delos problemas que surgen al modelar sistemas dinámicos, que es uno de losprocedimientos más críticos y demandantes de las metodologías de control de lasúltimas décadas.

Por otra parte, ofrece la capacidad de abstraer el conocimiento humano yreproducirlo automáticamente mediante ordenadores o micro-controladores, es decirque es una técnica de control fácilmente implantable.

El control difuso no requiere de conocimientos avanzados de control, es unaopción bastante conveniente para ofrecer a los operadores en la industria ya quedisminuiría los costos de capacitación o la necesidad de un experto en controladoresPID o PLC’s.

Los controladores difusos son capaces de controlar plantas que presentencomportamientos no lineales, aventajando con esta estrella a los controladores clásicos.

Desventajas

Para implementar un controlador difuso, se requiere de cierto nivel de procesamiento,en el sentido de que su implantación requiere de algún elemento programable,

comparado con el PID que puede ser implantado con elementos electrónicos comunes.La mayor parte de la gente que estudia los sistemas difusos, acostumbran señalar

las grandes ventajas del control difuso sobre las tradicionales formas de control; sinembargo, existen algunas preguntas sobre el control difuso que parecieran serdesventajas. Cuando un experto refleja sus conocimientos en un controlador difuso,¿este conocimiento incluye todas las situaciones que pudiesen ocurrir en el sistemacomo lo son perturbaciones, ruido o variaciones en la planta? ¿El experto será capaz deprever problemas que pudieran surgir, como puede ser la inestabilidad del sistema?¿Incorporar el conocimiento del experto implica incorporar criterios de estabilidad ydesempeño a los objetivos?

No existe en realidad una metodología para asegurar que la respuesta del sistemacumplirá con unos o con otros objetivos de control, en esta tesis se ahonda en el estudiodel Algoritmo de Sintonización Simple de Controladores Difusos [2] que ofrece unapauta para controlar una planta y variar su desempeño dependiendo de una simplevariable.



38

Capítulo 2Metodología propuesta para el

ASSCD

"La mayoría de las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas y, por regla general, pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos." Albert Einstein

En este capítulo se propone una metodología completa para el diseño decontroladores difuso. Estrictamente la propuesta surge a partir de sistemas linealesde segundo orden; sin embargo, se podría utilizar para otros tipos de sistema. Estametodología se puede aplicar en la práctica sin la necesidad de conocer el modelo

matemático de la planta.



39

Como se explicó en el capítulo anterior, la parte crítica en el diseño de un controladordifuso, la sintonización, llega a ser artesanal y requiere la intervención del experto.Surge aquí la pregunta. ¿Qué tan necesario es el experto? En realidad es indispensablepara sistemas que nunca antes se habían intentado controlar, pero existen un grupo deplantas o procesos que son generalmente equivalentes, tal es el caso de las plantaslineales de segundo orden.

En trabajos escolares se reprodujo de forma exitosa el experimento publicado en[2], luego se puso a prueba el mismo variando la planta de prueba siendo siempre desegundo orden, sobresaliendo que los resultados eran particularmente desfavorablespara plantas del tipo sub-amortiguado.

La mayor parte de las plantas reales14 se pueden modelar por medio deaproximaciones como ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se propone queexisten un conjunto de reglas particular capaces de controlar cualquiera de estosmodelos siempre que sean SISO15 y estables.

Esta propuesta en conjunto con el algoritmo que la precede [2], debe sersuficiente para cumplir con criterios de diseño particulares tales como el tiempo deestablecimiento y el máximo sobre-impulso.

Si lo anterior fuese cierto, sería posible tener un controlador en campo donde deacuerdo con [2] se utilizarán menos parámetros para lograr su sintonización. Siendo así un dispositivo de uso intuitivo gracias a la lógica difusa más la reducción del número devariables sintonizables.

A manera de síntesis, la propuesta consiste en:

• Seleccionar el tipo de controlador difuso.• Identificar las variables de entrada y salida.• Analizar la dinámica de la planta.• Diseñar el conjunto de reglas.• Determinar los rangos de operación.

2.1 Tipo de controlador difuso

Se utilizará como modelo de controlador difuso el tipo Mamdani, descrito en el capítuloanterior debido a su sencillez para abstraer el significado de su salida de control comoconjuntos difusos. Además se propone un tipo de controlador difuso PD16 con dosvariables de entrada, es decir que la segunda variable de entrada será el cambio de laprimera.

14 Aquellas que se presentan comúnmente en la industria.15 Una sola entrada y una sola salida, por su acrónimo inglés, Single Input Single Output.16 Proporcional – Derivativo, en controladores difusos son llamados así aquellos cuyas entradas son elerror y el cambio del error.



40

2.2 Selección de las variables de entrada y salida

Los sistemas acotados SISO de segundo orden por si mismos son estables; es decir, yu → conforme ∞→t , siendot el tiempo. Con esta premisa, el objetivo de control es

minimizar el tiempo de establecimiento minimizando el máximo sobre-impulso.Siguiendo con los esquemas clásicos de control se utilizará una

retroalimentación restándose de la entrada para obtener el error entre la respuestadeseada y la respuesta real. Dicho error será la primera variable de entrada delcontrolador mientras que su derivada; es decir, el cambio del error será la segunda. Lavariable de salida del controlador difuso será un incremento o decremento sobre laentrada generando así la acción de control.

Error:

)()()( t yt ut e −= (2.1)

Cambio del Error:

)1()()( −−=∆ t et et e (2.2)

Acción de Control:

La señal de control la determina el controlador difuso y depende de los valoresde )(t e y de )(t e∆ definidos en (2.2) y (2.3).

Figura 2.1Esquema de control con retroalimentación.

Para asegurarnos que lo que se desarrolla en esta propuesta sea implantable, setomará en cuenta que el sistema es digital por lo que en lugar de hablar de la derivadadel error se hablará del cambio del error y se deberán tomar en cuenta factores como eltiempo de muestreo y la saturación.

2.3 Dinámica del sistema

La tarea de encontrar una matriz de reglas, conlleva un análisis a conciencia dela dinámica de un conjunto de plantas que sean lo suficientemente representativas, poreste motivo se seleccionaron sistemas lineales de segundo orden. Se han descartado alos sistemas de primer orden ya que se su dinámica queda cubierta por el caso sobre-amortiguado de segundo orden. A continuación se describen este tipo de sistemas:



41

Recordando los cursos de dinámica de sistemas físicos, en particular el análisis

de la respuesta transitoria [31], tómese en cuenta el modelo matemático de este tipo desistemas. En el dominio de Laplace, una planta de segundo orden se puede describir porla siguiente función de transferencia.

222

2)()()(

nn

n

s s s R sY sG

ω ξω ω

++== (2.3)

donde ξ es el factor de amortiguamiento relativo mientras quenω es la frecuencianatural no amortiguada del sistema. Siendo quenω repercute en la frecuencia de lasposibles oscilaciones del sistema mientras queξ determina por completo el tipo decomportamiento de la planta.

Dependiendo del valor del factor de amortiguamiento relativoξ la respuestatransitoria de una planta de segundo orden se puede clasificar como:

Sobre-amortiguada 1>ξ

Figura 2.2Respuesta al escalón de una planta sobre-amortiguada

Críticamente-amortiguada 1=ξ

Figura 2.3Respuesta al escalón de una planta críticamente amortiguada



42

Sub-amortiguada 0 1ξ < <

Figura 2.4Respuesta al escalón de una planta sub-amortiguada

Los sistemas de segundo orden presentan tres respuestas diferentes, consituaciones particulares, por lo que para generar las reglas se deberá utilizar aquellarespuesta que proporcione mayor variedad de situaciones. Reflexionando, en el caso dela respuesta transitoria sobre-amortiguada, donde no existen sobre-impulsos nunca seevaluarían los casos donde el error fuese negativo o donde la derivada del error fuesepositiva17; es decir, que no proporciona suficiente información. Por el contrario, cuandose analiza la respuesta transitoria sub-amortiguada se nota que se cuenta con todos loscasos posibles. Además, cuando se busca disminuir el tiempo de establecimiento de unaplanta cuya respuesta en lazo abierto es sobre-amortiguada, esta respuesta tiende aconvertirse en sub-amortiguada, por lo que tomar como objeto de análisis una respuestatransitoria sub-amortiguada se puede considerar lo suficientemente representativa.

2.4 Matriz de reglas

La matriz de reglas es una forma de representar las reglas del controlador difuso. Éstarelaciona las variables de entrada con las de salida, por lo que una vez identificadasdichas variables habrá que definir los conjuntos difusos que se tendrán para cada una deellas.

Se han elegido cinco conjuntos para cada una de las variables de entrada ysalida, lo que genera una matriz de reglas de tamaño 55× . La propuesta que acontinuación se explica, se basa en un esquema de control incremental; es decir, que lasalida del controlador se suma con la entrada para generar la entrada de la planta. Elanálisis propuesto consiste en:

17 Debido a que la respuesta nunca supera a la señal de referencia o entrada.



43

Tomar una respuesta transitoria significativa .

Esto quiere decir que deberá incluir todos los posibles casos que se puedan representarcon la matriz de reglas, para nuestra propuesta serán 25 reglas.

La (figura 2.5) muestra la respuesta transitoria seleccionada para el análisis.Nótese que no se incluyen las unidades para destacar que son irrelevantes.

Figura 2.5Respuesta de una planta Sub-Amortiguada.

Establecer de forma gráfica el significado de las variables de entrada.

Relacionar en forma gráfica si el error y el cambio del error es negativo o positivo, es degran ayudan para establecer las reglas de forma rápida y casi obvia. Se utiliza lanomenclatura mostrada en la (figura 2.6), el error se expresa con los símbolos pre-

establecidos. Los signos dentro de un círculo tienen más peso que los otros.

Figura 2.6Nomenclatura gráfica que se utilizará en el análisis.

El cambio del error se simboliza mediante la pendiente de la respuestatransitoria, si se analiza es fácil notar que la derivada del error y la derivada de larespuesta transitoria mantienen las mismas magnitudes pero con signos contrarios. Se



44

han dibujado flechas alrededor de la respuesta transitoria donde su tamaño se relacionacon la magnitud de la derivada del error en ese momento.

En la figura anterior, nótense los símbolos asociados a cada estado de lasvariables de entrada en relación con el gráfico de la respuesta transitoria que seráanalizada.

Es muy importante señalar que en el caso del cambio del error, este se representacomo vectores simbolizando la derivada de la respuesta transitoria; sin embargo, seasocia a signo cambiado con el cambio del error. Esto es que los vectores representan laderivada de la respuesta transitoria pero cada etiqueta representa el cambio del error.

Realizar una gráfica completa de la respuesta transitoria.

Ubicar dentro de una gráfica que contenga a la respuesta transitoria completa cada unade las posibles situaciones, como se muestra en la (figura 2.7).

Figura 2.7Análisis sobre la Respuesta Transitoria.

Enlazar la gráfica con la acción de control .

El último paso será establecer la acción de control que se llevará a cabo para cada unade las situaciones propuestas; es decir, completar la matriz de reglas. La acción decontrol se compone de cinco conjuntos difusos:

1. Decremento máximo ( D)2. Decremento (d )3. Cero (C )4. Incremento (i)5. Incremento máximo ( I )



45

Se analizarán 7 de las 25 situaciones posibles de la respuesta transitoria. Estas 7situaciones son lo suficientemente significativas como para entender esta metodología.Se plasman en el gráfico 14 puntos, de los cuales se analizan los primeros 7:

Figura 2.8Situaciones a evaluar de la Respuesta Transitoria

Se analizará cada situación, recordando que la acción de control será unincremento o decremento sobre la entrada, en un principio sólo se decide si se desea unincremento o decremento y finalmente se determina si será grande o moderado:

1. El error e es muy positivo mientras que el cambio del errore∆ es muynegativo. En este punto se desea un incremento sobre el sistema paraproducir un tiempo de levantamiento menor y alcanzar una respuesta rápida,

se podría pensar en el incremento máximo; sin embargo, en este punto elsistema por si mismo va disminuyendo su error, por lo que se aplica unsimple incremento. (i )

2. El errore es cero mientras que el cambio del errore∆ es muy negativo, estoquiere decir que en el siguiente instante de tiempo la respuesta se alejará delobjetivo. Si el sistema llegara a este punto habría que decrecer la acción decontrol, se considera el decremento máximo ya que se debe romper con lainercia que lleva el sistema. ( D)

3. El errore es negativo mientras que el cambio del errore∆ es muy negativo,en este punto el sistema ha sobrepasado el objetivo de control y continúa

alejándose, para este punto se considera un decremento máximo en la acciónde control. ( D)

4. El error e es negativo por lo que se debe pensar en un decremento quedependerá de que tan negativo sea dicho error; por otra parte, el cambio delerror e∆ es cero por lo que basta con observar la situación del error. (d )



46

5. El errore es negativo con el cambio del errore∆ positivo, lo cual indica

que la respuesta se aproxima al objetivo de control. Cuando el error seacercano a cero, se recomienda que no se aumente ni decrezca la acción decontrol, ya que la misma inercia nos llevará al objetivo. Sin embargo, si elerror es muy grande se deberá decrecer la acción de control, para reducir el

tiempo de establecimiento. (C )6. Este punto es similar al punto 2, donde el errore es cero pero la tendencia

de la respuesta es alejarse del objetivo, se debe contrarrestar esta tendenciaincrementando la acción de control, dependiendo de que tan grande sea elcambio del error. ( I )

7. Este punto encuentra equivalencia al punto 4, sólo que en este caso el errores positivo y seguramente más pequeño. Aquí se incrementa la acción decontrol dependiendo de qué tan grande sea el error. (i )

Los puntos 8 al 14 son similares a los anteriores, y de hecho mantienen simetríapor lo que no serán analizados.



47

La matriz de reglas queda como sigue:

e∆

D D D d d

D d d C i

D d C i I

d C i i I e

i i I I I

Tabla 2.1Matriz de Reglas Resultante.



48

De forma compacta, tenemos:

e∆e N n Z p P

N D D D d d

n D d d C iZ D d C i Ip d C i i IP i i I I I

Tabla 2.2Matriz de Reglas General.

2.5 Selección de rangos

La intención de este trabajo es obtener un controlador difuso muy general18 que otorgueun desempeño aceptable, utilizando el ASSCD para lograrlo.

Una vez que se cuenta con la matriz de reglas sólo hará falta seleccionar el rangode cada una de las variables de entrada y salida; sin embargo, en la literatura no existeuna propuesta para la selección de estos rangos.

La propuesta en esta tesis consiste en seleccionar los rangos a partir de losmáximos o mínimos valores que puedan tener las variables en algún momentodeterminado:

2.5.1 Error

El rango del error, se puede obtener a partir de la diferencia entre el estado o condicióninicial mínima que puede alcanzar el sistema y el objetivo de control máximofísicamente posible. Esto es equivalente a decir que el rango del error depende delmáximo error posible[ ]máxmáx ee− .

Lo anterior se puede ejemplificar gráficamente con el llenado de un tanque en la(figura 2.9), donde su estado inicial mínimo es el tanque vacío.

Figura 2.9Error máximo posible en el llenado de un tanque.

18 Para la mayoría de los procesos industriales con un comportamiento similar.



49

2.5.2 Cambio del Error

El rango para el cambio del error se determina a partir de su máximo valor para laplanta en lazo abierto, máxe∆ , con lo que el rango será[ ]máxmáx ee ∆∆− .

Para obtener este dato, se puede recurrir a la simulación o en la práctica, sepuede estimar a partir de la pendiente de la recta tangente a la respuesta en su punto deinflexión, multiplicada por el tiempo de muestreo.

smáx T x x y y

e ×−−=∆

12

12 (2.4)

Nótese que la primera parte de (2.4) puede modificarse por cualquiera de lasmaneras que existen para calcular pendientes.

Figura 2.10Estimación del rango del cambio del error.

Cuando el controlador sea aplicado, la respuesta será más rápida con lo que elcambio del error será mayor que lo estimado. Esto no representa problema ya que lasfunciones de pertenencia de los extremos en ASSCD, son trapezoidales del tipo

),,,;( ±∞±±± cba x A 19 y contemplan el infinito.

En este punto se debe considerar el tiempo de muestreo, además de cumplir conlos requerimientos clásicos del control discreto como es la frecuencia de Nyquist.Teniendo en consideración que el máximo cambio del error tiene una relaciónproporcional con el tiempo de muestreo; es decir, que mientras más corto es el tiempode muestreo, la magnitud máxima que podrá registrarse como cambio del error tambiéndecrecerá. Lo anterior es sencillo de apreciar si se toma un número infinito de muestraspor segundo, la diferencia que existiría entre una muestra y la anterior, tendería a cero.

19 Para poder obtener esto en la práctica, se utiliza una función de saturación para cada entrada del FLC.



50

2.5.3 Acción de Control

Los rangos para la acción de control se determinarán a partir de los límites físicos delactuador. En el caso de una válvula, el rango irá de algún valor que represente su totalcierre a otro que represente su total apertura. En el caso de un motor de CD, el rangodependerá del rango de operación del motor; por ejemplo,±12V.

Si se han seguido estos pasos el controlador difuso queda listo para trabajar,bastará con aplicar el ASSCD para lograr un buen control; sin embargo, el ASSCDtradicional utiliza sólo un parámetro de entrada y ayuda a mejorar el tiempo deestablecimiento del sistema. En esta tesis se propone utilizar dos parámetros de entradapara controlar no sólo el tiempo de establecimiento si no también el máximo sobre-impulso.

En los tres casos anteriores, los rangos pueden ser distintos si se sabe conantelación que el sistema nunca tomará ciertos valores. Por ejemplo si se requiere que eltanque no alcance su nivel máximo, o si se solicita que la válvula no opere en sumáxima apertura. En este tipo de casos se deben elegir siempre los rangos máximos

2.6 Desempeño de la matriz de reglas propuesta

Construir una serie de reglas que proporcionen un buen desempeño para el sistema sinimportar el tipo de comportamiento que presente la planta, encuentra su importancia enel tiempo que tomará el diseño e implementación del controlador difuso.

Como se vio con anterioridad, se pretende que la matriz de reglas, sea losuficientemente robusta como para controlar plantas de diferentes tipos de respuesta; esdecir, para un rango grande de factores de amortiguamiento.

Esta necesidad surge a partir de las primeras experimentaciones que serealizaron sobre el ASSCD, donde en principio se reprodujeron las experimentacionesencontradas en la literatura, que se reduce a Gómez (Gz) [3] y Chávez (Ch) [2], y unavez comprobado el algoritmo se intentó reproducir con algunas variaciones.

El experimento original se realiza utilizando una planta sobre-amortiguada, alreproducir el experimento pero con la nueva forma de determinar los rangos de lasvariables de entrada y salida, se obtuvieron los resultados de la publicación(figura 2.11). Luego, se sustituye la planta original por una planta con un factor deamortiguamiento menor que uno, es decir una planta con comportamiento sub-amortiguado obteniendo los resultados de la (figura 2.12).



51

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.11Respuesta de una planta sobre-amortiguada usando la matriz de Gz

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.12Respuesta de una planta sub-amortiguada usando la matriz de Gz

En la (figura 2.11) se aprecia como se mejora el tiempo de establecimientoproduciendo un pequeño sobre-impulso, en la (figura 2.12) aunque se mejora el tiempode establecimiento, el máximo sobre-impulso se incrementa.

Al reproducir el experimento con la matriz propuesta en este documento, paraambas plantas se obtiene la respuesta que se muestra en la (figura 2.13), con el uso deesta matriz se logra mejorar la respuesta para ambos casos.



52

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.13Respuesta de una planta sobre-amortiguada usando la matriz de la (tabla 2.1)

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.14Respuesta de una planta sub-amortiguada usando la matriz de la (tabla 2.1)

En la (figura 2.13) se aprecia prácticamente el mismo comportamiento que en la(figura 2.11); sin embargo, para la (figura 2.14) se reduce considerablemente el máximosobre-impulso contrario a lo que se observó en la (figura 2.12). La única variación entrelos experimentos fue el cambio en la matriz de reglas20, los rangos para las cuatro

situaciones se mantienen constantes, la sintonización es diferente para cada tipo deplanta pero se mantuvo constante para cada matriz de reglas.

Con estos resultados se puede decir que se cuenta con una matriz de reglas quepodría controlar plantas lineales de segundo orden para diferentes factores deamortiguamiento, lo sería una característica bastante conveniente; sin embargo, no

20 La matriz de reglas propuesta es la de la (tabla 2.2), la matriz de reglas original es la de la (tabla 2.6)



53

excluye la posibilidad de un conjunto de reglas que se puedan etiquetar como la mejormatriz para casos particulares.

Hasta este momento basta con controlar plantas sub-amortiguadas y sobre-amortiguadas sin necesidad de cambiar la base de reglas y posteriormente se analizaráde qué forma, una vez que se tiene una matriz de reglas conveniente, con ASSCD se

logra controlar características de la respuesta transitoria. Se excluyen experimentacionespara plantas críticamente amortiguadas, ya que se considerará como un estado detransición entre los otros dos tipos. De hecho, se puede considerar dentro del casosobre-amortiguado.

Varias de las técnicas de sintonización de controladores difusos, basan sumétodo en alguna forma de modificación sobre las funciones de pertenencia [17]. ElASSCD no marca diferencia en este aspecto; sin embargo, tiene una manera muyparticular y sencilla para realizar estas modificaciones, además como se verá en lasección 2.7.1 se encontró la forma de relacionar la sintonización vía el ASSCD concaracterísticas de la respuesta transitoria.

2.7 Algoritmo Simple para Sintonización de ControladoresDifusos (ASSCD)

2.7.1 Curva característica

La curva característica de un controlador difuso es una superficie que en el casoparticular del controlador difuso PD, relaciona las dos entradas del controlador con susalida. Así pues, se obtiene una gráfica en tres dimensiones, donde cada una de ellascorresponde a cada una de las variables de entrada y salida del controlador. En el casodel controlador tipo PD, el error, el cambio del error y la salida de control.

Figura 2.15Ejemplo de superficie de control.



54

A la curva característica del controlador, normalmente se le llama superficie de

control. Es una forma gráfica de analizar cómo responderá el controlador para lasdiferentes combinaciones de entrada que se tengan. Esta superficie de control determinael comportamiento del controlador y está directamente relacionado con las funciones depertenencia de cada una de las variables. La curva que se obtiene no es lineal y cuando

tiene la forma apropiada las respuestas que se obtienen a partir de ella pueden alcanzarun magnífico desempeño.

2.7.2 Factores de sintonización

El ASSCD modifica la superficie de control para transitar la respuesta delsistema de un punto a otro mejorando su tiempo de establecimiento. Este algoritmocomo se publica en Gz-Ch maneja un factor de sintonización que afecta al mismotiempo las funciones de pertenencia del error y del cambio del error, modificando laforma de dichas funciones.

En la literatura, Gz-Ch muestran un algoritmo que modifica la forma de lasfunciones de pertenencia para el error y el cambio del error a partir de una sola variablek en el rango [0, 1] para una planta sobre-amortiguada. Esto permite mejorar el tiempode establecimiento de la respuesta conformek → 1. De esta forma, Gz-Ch logransintonizar el controlador mediante un solo parámetro. Esto es muy práctico cuando setoma en cuenta que; por ejemplo, para un controlador clásico PID (el más utilizado en laindustria), se requiere de la sintonización de tres parámetros. Las modificaciones quesufren las funciones de pertenencia se explican con profundidad en [2] y [3], pero seretomará la explicación brevemente en esta tesis.

Gz propone una forma particular para las funciones de pertenencia, cubriendo el

dominio x con cinco funciones de pertenencia. Éstas son propuestas como triangularesy trapezoidales donde los límites del soporte de cada función deben coincidir con elprimer punto de máxima altura de la función vecina. Además propone un rangonormalizado en el rango [-1, 1] para generalizar el algoritmo a cualquier rango de lasvariables.



55

Por ejemplo, considérense cinco funciones de pertenencia ]1,1[);( −∈∀ x x A ii γ ,donde i = 1…5 y los puntos de operacióniγ comparten algunos de los siguientespuntos: 1,,,0 3

23

1 ==== d cba ; así, tenemos que:

1. ),,1,1;(),,,;( 31

32

)(1 −−−−=−−−− − x Abcd d x A

2. )0,,;(),,;( 31322 −−=−− − x Aabc x A 3. ),0,;(),,;( 3

13

13 −=− x Abab x A Z

4. ),,0;(),,;( 32

31

4 x Acba x A += 5. )1,1,,;(),,,;( 3

23

1)(5 x Ad d cb x A +=

a las cinco funciones de pertenencia anteriores les llamaremos funciones normalizadas.

Figura 2.16Función de pertenencia normalizada.

Si se mantiene esta característica, al ubicar cualquier punto en el dominio X , esteintersectará dos funciones de pertenencia cuya suma para cualquier punto siempreresultará la unidad. Esto asegura no tener incertidumbres en el rango; es decir, quemientras la variable se encuentre en el rango pertenecerá al menos a uno de losconjuntos.

Figura 2.17Ejemplo de que la suma de las funciones pertenencia evaluadas en un punto es igual a launidad.

Nótese que con las funciones de pertenencia normalizadas las distancias entrelos puntos de operación es siempre la misma d ccbba −=−=− .

Primer factor de sintonizaciónk 1.

La función )(k ρ fue obtenida por Ch de forma experimental al identificar doscasos:

Caso 1. Se elevan los argumentos de las funciones de pertenencia a un númeroq > 1, lo que ocasiona que las distancias entre los puntos de operación de la parte media



56

sean mayores que en los extremos; es decir, qqqq d cba −>− . Obteniéndose una curvacaracterística de pendiente ligera, como se muestra en la (figura 2.18).

Figura 2.18Relación entre la ubicación de las funciones de pertenencia y la curva característicade transferencia para el caso 1[3] considere que )()( x A x =µ e u= .

Caso 2. Se elevan los argumentos de las funciones de pertenencia a un númeroq < 1, lo que ocasiona que las distancias entre los puntos de operación de la parte mediasean menores que en los extremos; es decir, qqqq d cba −<− . Obteniéndose una curvacaracterística de pendiente pronunciada, como se muestra en la (figura 2.19).

Figura 2.19Relación entre la ubicación de las funciones de pertenencia y la curva característicade transferencia para el caso 2 [3] considere que )()( x A x =µ e u y = .

El caso 1 es preferible cuando se desea una respuesta lenta para la variable encuestión; mientras que el caso 2 proporciona un incremento en la sensitividad delcontrolador, otorgando una respuesta más rápida.

En casos como el nuestro, donde el controlador tiene dos entradas y una salida,la represtación de la curva característica se vuelve más compleja puesto que serepresenta por medio de una superficie de control de 3 dimensiones (figura 2.15),formada por las dos proyecciones, una en el plano),( ue y la otra en el plano ),( ue∆ ,con u la acción de control, lo que forma el sistema tridimensional de coordenadas

),,( uee ∆ .

Por medio de experimentación, Gz identifica ]3[ 401∈q ya que fuera de este

rango, el los cambios en la curva característica son despreciables. Con el objeto de tenervalores más prácticos y facilitar la implantación del algoritmo en un dispositivo



57

comercial, se propone qk k =∈ )(:]10[ ρ así se tiene que 401)0( = ρ , 1)( 2

1 = ρ y3)1( = ρ obteniendo las siguientes relaciones:

Tabla 2.3Relación deseada entrek y ρ (k )

Los valores dek fueron definidos así para poder hacer una estimación sobretodo su recorrido, usando los extremos y el punto medio de su rango,[ ]1,0∈k .

Estos tres datos los somete Gz a una interpolación por medio de mínimoscuadrados obteniendo así la función )(k ρ :

40

1523730)(23 +++= k k k

k r (2.5)

De esta manera, al recorrer el rango[ ]1,0∈k las funciones de pertenencia y porende, la superficie de control, pueden ser llevadas de un estado a otro con un soloparámetro variable mejorando considerablemente el tiempo de establecimiento; sinembargo, tanto Gz como Ch modifican de la misma manera las funciones de pertenenciadel error como de la derivada del error.

Más adelante en este trabajo, se muestra que al aplicar un factor de sintonizacióndiferente para cada una de las entradas, es posible manipular además del tiempo deestablecimiento, el porcentaje de máximo sobre-impulso en caso de existir.

Para este documento, se modificó el polinomio )(k ρ para otorgar al controladorla posibilidad de no realizar acción de control en 0)( =k ρ ; debido a que para este casose activan todas las reglas y defuzzificación daría cero, además de comprimir un pocomás las funciones de pertenencia ya que se consideró por medio de experimentación queentre 3)( =k ρ y 4)( =k ρ todavía se puede afectar a la respuesta transitoria.

Lo anterior se logra por medio de:

Tabla 2.4Nueva relación deseada entrek y ρ (k )

De manera que al realizar una interpolación a través de mínimos cuadrados, seobtuvo la función )(k ρ :

24)( k k = ρ (2.6)

k ρ (k )0 1/40

0.5 11 3

k ρ (k )0 0

0.5 11 4



58

La única diferencia entre el primer factor de sintonizaciónk 1 y el segundok 2

consiste en que cada factor actuará sobre cada variable de entrada de maneraindependiente. Esta es la primera ocasión que se toma en cuenta esta situación. Elobjetivo es analizar sus efectos sobre la respuesta transitoria así como evaluar laconveniencia de su uso.

Segundo factor de sintonizaciónk 2

Con el afán de realizar experimentos con el segundo factor de sintonización, se hareproducido una aproximación al experimento de Gz-Ch. Se utiliza la matriz de reglas yplanta que se presenta en [2], se modifica su esquema de control llevándolo al tiempodiscreto.

En lugar de utilizar una función de transferencia como planta, ésta se haremplazado por un bloque que contiene un circuito electrónico, donde la planta seconstruiría con amplificadores operacionales y se han limitado las señales de acuerdocon las capacidades de voltaje de la fuente y los rangos de operación de loscomponentes electrónicos.

Los rangos para las funciones de pertenencia se establecen como se propuso conanterioridad en esta tesis.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

← k=0k=1 →

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.20Respuesta para diferentes valores de k

Se comprueba con la (figura 2.20) que el ASSCD logra mejorar el tiempo deestablecimiento. La gráfica no es tan uniforme como la que se muestra en la literatura,lo cual se puede atribuir a diversos factores, como son: que este modelo se simula conuna planta construida con amplificadores operacionales en lugar de usar la función detransferencia, además que éste es un sistema en tiempo discreto, mientras que en Gz-Chla simulación se realiza en tiempo continuo. Se asume que el principal factor paradichas diferencias es la manera en que se proponen los rangos para las variables.



59

Se comprueba con esto el efecto del método en la disminución del tiempo de

establecimiento, esto ya se había visto en Gz-Ch; sin embargo, los resultados que ambosobtienen son casi idénticos a pesar de que sus matrices de reglas son diferentes, Chmantiene un conjunto de reglas cuyo consecuente no depende del cambio del error, locual se puede ver en su matriz de reglas propuesta:

Tabla 2.5Matriz de Reglas utilizada por Ch

Figura 2.21Respuesta obtenida por Ch [3] para diferentes valores de k

Por otra parte, se cuenta con el conjunto de reglas que presenta Gz, donde ahorael cambio del error sí representa un cambio en la respuesta del controlador, como seaprecia en las figuras que siguen:

Tabla 2.6Matriz de Reglas utilizada por Gz

e∆e GN MN Z MP GP

GN D D D D DMN D d d d dZ C C C C C

MP i i i i IGP I I I I I

e∆e

GN MN Z MP GP

GN D D D D DMN D d d C DZ D C C C I

MP i C i i IGP I I I I I



60

Figura 2.22Respuesta obtenida por Gz para diferentes valores de k

Se aprecia que a pesar de las diferencias que existen en ambas matrices dereglas, las respuestas y comportamiento que se obtienen para los diferentes valores delfactor de sintonizaciónk son prácticamente iguales. El hecho de que Ch no contempleen sus reglas el efecto del cambio del error y Gz haya obtenido resultados similarestomándolo en cuenta, sugiere que sintonizar las funciones de pertenencia del cambio delerror no tiene efecto para esta planta en particular.

Más adelante se mostrará que esta aseveración es cierta, que si se sintoniza elcontrolador por medio de ASSCD, para las funciones de pertenencia del error, se afectadirectamente el tiempo de establecimiento. Para el cambio del error, se afecta almáximo sobre-impulso, al ser la planta prueba de Gz-Ch del tipo sobre-amortiguado ypor su propia naturaleza de no presentar sobre-impulso la sintonización para el cambiodel error no afectó de forma considerable a la respuesta transitoria.

Otra de las líneas que se siguen en esta tesis tiene que ver con el tipo de plantasque se pueden controlar con cierto conjunto de reglas. Se reproduce el experimento conla matriz de Gz para una planta sub-amortiguada obteniendo los resultados de la (figura2.23) sin obtener resultados satisfactorios, se aprecia que el tiempo de subida mejora,pero el controlador no es capaz de mitigar el sobre-impulso.





62

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.25Respuesta de la planta sobre-amortiguada empleada en Gz-Ch con diferentes valores de k

utilizando la matriz de reglas propuesta en la (tabla 2.1)

Se puede decir que la matriz de reglas propuesta en esta tesis aventaja a lasmostradas en la literatura. Con este conjunto de reglas, el controlador es capaz decontrolar los diferentes tipos de sistemas estables de segundo orden. Tómese en cuentaque para los resultados anteriores, no se tomaron mayores consideraciones que elcambio en la matriz de reglas.

Efecto dek 1 y k 2 en la respuesta transitoriaPara mostrar las aseveraciones del apartado anterior, se realizan experimentacionesvariando solamente el factor de sintonizaciónk 1 para el error, manteniendo constante elfactor de sintonizaciónk 2 para el cambio del error.



63

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

← k1=0

k1=1 →

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.26Respuesta de la planta sub-amortiguada utilizada en Gz-Ch para diferentes valores de k1 con

la matriz propuesta en la (tabla 2.1)Las respuestas anteriores, se obtuvieron con la matriz de reglas propuesta para

sistemas de segundo orden y métodos propuestos en esta tesis.

Con el resultado anterior, al no variar la sintonización para las funciones depertenencia del cambio del error y sólo variar la sintonización del error, obteniendo losmismos resultados que Gz-Ch, queda demostrado que para este tipo de planta enparticular, no es necesario sintonizar el cambio del error, para mejorar el tiempo deestablecimiento. Nótese que Gz-Ch utilizank 1 = k 2.

Para ver el efecto real dek 2 se mantiene constantek 1 = 1 y se hace variark 2 los

resultados obtenidos, se muestran en la (figura 2.27) donde se aprecia como elincremento dek 2 provoca repentinos cambios en la respuesta aumentando el tiempo deestablecimiento. Esta característica no se considera importante para el caso de plantassobre-amortiguadas; sin embargo, para plantas sub-amortiguadas este factor desintonización será capaz de mitigar el sobre-impulso.



64

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.27Respuesta de la planta sobre-amortiguada utilizada en Gz-Ch para diferentes valores de k2

con la matriz propuesta en la (tabla 2.1)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo (seg)

V o l t s

Respuesta

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

↑ k2=1

k2=0 →

Lazo AbiertoFLC

Figura 2.28Respuesta de una planta sub-amortiguada utilizada en Gz-Ch para diferentes valores de k2

con la matriz propuesta en la (tabla 2.1)

De acuerdo con estos resultados, se concluye que para plantas sobre-amortiguadas, el tiempo de establecimiento disminuye conformek 1 1, mientras quek 2 = 0, ya que no tiene efectos benéficos. Por el contrario, cuando la planta sea sub-amortiguada, el máximo sobre-impulso de la respuesta se puede disminuir conformek 2

1 en cuanto al tiempo de establecimiento, se mantiene la misma relación, estedisminuirá conformek 1 1.



65

Capítulo 3El controlador en campo, PID

“La ciencia se compone de errores que a su vez son los pasos hacia la verdad.” Julio Verne

En este capítulo se mencionan algunas técnicas para la sintonización decontroladores PID, donde no se utiliza el modelo matemático, lo que ha resultado en

su popularidad práctica. El objetivo de este capítulo es tener un punto de referencia para evaluar el desempeño del ASSCD en cuanto a su operación y facilidad de uso.



66

Normalmente cuando se diseña un controlador, el ingeniero de control basa su diseño enespecificaciones determinadas y únicas para cada aplicación. Algunas de estasespecificaciones pueden ser la estabilidad relativa, el error en estado estable, larespuesta transitoria o alguna característica de respuesta en frecuencia.

En campo, estos diseños se pueden realizar ya sea en el dominio de la frecuenciao del tiempo. En el primer caso se verifican términos como el margen de ganancia y elmargen de fase; sin embargo, no es sencillo relacionar estos términos con el desempeñofísico del sistema. Sólo el ingeniero experimentado logra abstraer correctamente estainformación.

Históricamente el diseño en el dominio de la frecuencia se había posicionadocomo el predilecto por los ingenieros debido al gran número de herramientas gráficasdisponibles como los diagramas de Bode, Nyquist, Nichols y el diagrama de ganancia-fase, con la conveniencia de que los gráficos no tendrían que ser muy precisos paragenerar buenos resultados.

En las últimas décadas, el desarrollo de software y el poder computacional debajo costo que se encuentra disponible, ha dado un giro total a las aseveracionesanteriores, ya que gracias a las simulaciones, hoy se pueden generar múltiples diseños yprobar su desempeño en minutos. En la actualidad, se prefiere el diseño en el dominiodel tiempo, ya que es mucho más sencillo comprender el significado.

En general, la problemática de un controlador consiste en generar una señal decontrol )(t u acotada para que sea realizable y se satisfagan los objetivos de diseño. Porotra parte, cuando se plantean los objetivos de diseño, en ocasiones ya se contemplanlas limitantes o cualidades que ofrecen el tipo de controlador a implantar. Muchas vecesse sacrifica algún objetivo de control para reducir costos e introducir un controlador debajo costo o no invertir en sensores adicionales.

El controlador más popular en la industria es sin duda alguna el controlador PID.Este se puede diseñar en el dominio del tiempo y existen diversas formas de sintonizarloo calcular sus parámetros, las cuales se comentarán a lo largo de este capítulo.

3.1 Criterios integrales de desempeño

Existen diferentes formas para evaluar el desempeño de un controlador a partir de larespuesta del sistema. Entre estas formas destacan los criterios integrales, que han sidoutilizados comúnmente como funciones de costo a la hora de optimizar controladores.

A continuación, se definen estos criterios, ya que algunos de los métodos desintonización de controladores PID que se mencionarán en la sección 3.3, son obtenidosoptimizando alguno de estos criterios. Más aún, en la sección 4 se evaluarán estoscriterios como parte de los resultados.

La definición del error que se utilizará en toda la tesis es la diferencia que existeentre la salida y la entrada del sistema:



67

)()()( t r t yt e −= (3.1)

3.1.1 Integral del error absoluto

Integral del error absoluto o IAE 21 por sus siglas en inglés, tiene como único parámetroal error, sin importar si es positivo o negativo, este se integra para obtener el índice.

∫ ∞

=0

)( dt t e IAE (3.2)

3.1.2 Integral del error cuadrático

Integral del error cuadrático o ISE 22 por sus siglas en inglés, sólo toma en cuenta elcuadrado del error, de ahí que aquellos valores menores que la unidad tienen menospeso que los que son mayores a ésta.

∫ ∞

=0

2 )( dt t e ISE (3.3)

3.1.3 Integral del tiempo por el error absoluto

Integral del tiempo por el error absoluto o ITAE 23 por sus siglas en inglés, incluye parasu cálculo al tiempo como factor. Nótese que con esto se logra que el error en tiemposcercanos a cero se pueda volver despreciable; por ejemplo, durante el tiempo delevantamiento. De forma equivalente si el sistema mantiene error en estado estable esteindicador incrementará de forma proporcional al tiempo.

∫ ∞

=0

)( dt t et ITAE (3.4)

3.1.4 Integral del tiempo por el error cuadrático

Integral del tiempo por el error cuadrático o ITSE 24 por sus siglas en inglés, al igual queel índice anterior, considera el tiempo como factor. Despreciando al igual que el ISE loserrores menores a la unidad pero si existe error en estado estable aumentará de formaproporcional al tiempo.

∫

∞

=0

2 )( dt t te ITSE (3.5)

Al tomar en cuenta el error cuadrático, tienen más participación en el índiceaquellos valores mayores a la unidad, despreciando los que son menores que ésta.

21 Integral absolute error22 Integral of squared error23 Integral time absolute error24 Integral time of squared error



68

3.2 Controladores PID

En general, el control de sistemas dinámicos se fundamenta en dejar a un lado el lazoabierto e implementar esquemas de control basados en la retroalimentación; es decir,que la acción de control estará en función de la entrada y la salida de la planta [32].

Luego de establecerse un esquema con retroalimentación, existen diversos tiposde control basados en el mismo esquema. Sin duda alguna el tipo de controlador másutilizado en la industria con esquema de control con retroalimentación es el controladorPID, que para determinar la acción de control emplea la suma de tres términos:proporcional, integral y derivativo. Cuando se excluye de la suma alguno de estostérminos se puede obtener casos especiales de este tipo de controlador como son el P, PIy PD.

Álamo [32] señala que los factores que han logrado posicionar al PID como elmás popular en la industria son los siguientes:

• Proporciona una señal de error retroalimentada que, permite obtenercomportamientos satisfactorios del sistema a pesar de la existencia deperturbaciones.

• La existencia del término derivativo proporciona una especie de anticipaciónsobre el sistema.

• La parte integral elimina el error en estado estable.

• Para la mayoría de los procesos industriales, el controlador PID proporciona

resultados satisfactorios.• Se puede sintonizar a partir de reglas heurísticas, por lo que un operador con

mucha experiencia podrá sintonizarlo sin la necesidad de conocimientos decontrol, especialmente cuando el controlador es PI, ya que cuando se tratadel PID, el ajuste de los tres parámetros es complicado para cualquiera.

En la actualidad, el controlador PID se adquiere como un módulo compactodonde se puede sintonizar de manera manual y en algunos casos se puede adquirir conopciones de auto-sintonía. Y siempre se cuenta con el apoyo y experiencia delfabricante.

El controlador PID es considerado como un controlador del tipo convencional[33]. Como tal, su característica es que se debe conocer el modelo matemático delproceso para lograr el diseño del controlador. Por otra parte, existen los controladoresno convencionales que utilizan nuevas formas de diseño capaces de excluir el modelomatemático.

En la industria algunos de los procesos son no lineales, lo cual dificulta sudescripción matemática, complicando la implementación del controlador PID. Con elcontrolador PID se han podido resolver problemas de control complejo; sin embargo,



69

para lograrlo se ha tenido que combinar con algunos bloques funcionales como sonfiltros, compensadores, selectores, etcétera [33].

El controlador PID se rige en general25 por la siguiente regla de control:

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

++= ∫ t

d i

c dt t de

T d eT t e K t u 0

)()(

1)()( τ τ (3.6)

así, se identifica a cada uno de sus términos:

Proporcional:)(t e K p (3.7)

Integral:

∫ t

i p d e

T K

0)(1

τ τ ,i

pi T K K

1= (3.8)

Derivativo:

dt t de

T K d p

)( , d pd T K K = (3.9)

donde K p, K i, K d , son las ganancias proporcional, integral y derivativa; mientras que, aT i y T d , K c es la ganancia del controlador y se le llama así cuando se expresa elcontrolador de la misma forma que en (3.6) se les conoce como el tiempo integral yderivativo respectivamente. Estos términos influyen de manera muy particular en elcontrol como se explica en las siguientes secciones.

3.2.1 Controlador Proporcional

El controlador proporcional, o controlador P, manipula el sistema por medio de laganancia proporcional K p, la cual determina que tanto afecta la magnitud del error a larespuesta. Cuando dicha ganancia es muy alta, el sistema se puede convertir eninestable. Por otra parte, si la ganancia proporcional es muy pequeña, la respuesta no severá afectada cuando el error es grande, lo que ocasiona que la respuesta no seestablezca en la referencia; es decir, que permite la existencia de error en estado estable.

El algoritmo de control que rige a este controlador es el siguiente:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≤∀

<<−∀+≥∀=

=

0min

000

0max

)()()(

)()()(

et eU

et eet e K uet eU t u

t u p (3.10)

25 La regla de control puede variar dependiendo de la estructura interna del controlador.



70

donde 0u se refiere a la amplitud de la señal de control cuando el error es cero y K p es laganancia del controlador proporcional.

La implementación de un controlador P puede eliminar las oscilaciones quecausa un controladoron-off . Este controlador permite la existencia del error en estadoestable. La acción de control es entonces:

)()( 0 t e K ut u p+= (3.11)

p K ut u

t e 0)()( −= (3.12)

Para que un controlador se considere bien diseñado, el error en estado establedebe ser cero. Con el controlador proporcional esto sólo es posible cuando:

a) ∞= p K

b) 0)( ut u = La primera de las opciones no es físicamente posible, mientras que la segunda

implica que es posible encontrar0u a cada instante y que se puede satisfacer lacondición de que 0)( ut u = para cualquier referencia )(t r . Esto se logra agregando laparte integral al controlador P, obteniendo el controlador proporcional integral.

El efecto de incrementar o disminuir la ganancia proporcional se muestra en la(figura 3.1), donde se utilizó la planta (3.13) para la simulación.

49.056.049.0

2 ++ s s(3.13)

Figura 3.1 Influencia de K p en la respuesta al escalón del sistema de la ec. 3.13.



71

3.2.2 Controlador proporcional integral

La ley de control del controlador proporcional integral o PI es:

⎟⎟ ⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

+= ∫ t

ic d eT t e K t u

0)(

1)()( τ τ (3.15)

donde iT es la constante de tiempo integral.

Si se compara el controlador P con el PI, se aprecia como la constante u0 sesustituye por el término integral; es decir, con una señal proporcional al área bajo lacurva del error. Esto es lo que permite eliminar el error en estado estable que presenta elcontrolador P, ya que su acción de control permanece constante cuando el error esconstante. Por otra parte, el controlador PI mantiene una acción de control siempre queel área baja la curva del error sea diferente de cero. Esta es la característica que le

permite eliminar el error en estado estable.El controlador PI eliminará las oscilaciones que podría tener el controlador on-

off y eliminará el error en estado estable que permite el controlador P. El costo por tenerestas características radica en un efecto negativo sobre la velocidad de respuestareduciéndola y comprometiendo la estabilidad del sistema. Por estas razones en laindustria este tipo de controlador se utiliza cuando el tiempo no es un problema.

El término integral suma el valor instantáneo del error a través del tiempo, estetérmino contribuye proporcionalmente para reducir la magnitud y duración del error.La magnitud con que el término integral contribuye a la acción de control se determinapor medio de la ganancia integral K i.

El efecto de incrementar o disminuir la ganancia integral se muestra en la (figura3.2), donde se utilizó la planta (3.14) para la simulación.

81.08.181.0

2 ++ s s(3.14)



72

Figura 3.2Influencia de K i en la respuesta al escalón del sistema de la ec. 3.14.

El término integral, acelera la respuesta y elimina el error en estado estable quemantiene el controlador tipo P. Este término integral depende del error acumulativo porlo que en ocasiones puede producir sobre-impulsos no deseados. Para obtenerrespuestas más rápidas se debe permitir un sobre-impulso cada vez mayor. Estomodifica la dinámica del sistema y puede llevarlo a la inestabilidad.

Hasta este punto, el controlador toma como base valores en un solo instante detiempo para ejercer su acción de control. Por otro lado, cuando el amortiguamiento delsistema es menor que uno, se presentan casos como el de la (figura 3.3) donde elcontrolador PI proporcionaría la misma acción de control para ambos casos.

Figura 3.3Situaciones diferentes del error que producen la misma acción de control con un controladorPI [33].

En el primer caso, el error ha ido diminuyendo, y según su trayectoria se puededecir que se aproximará a cero. En el segundo caso, aunque el error decrecía poco apoco, presentó una inflexión repentina; es decir que el error irá aumentando.

El controlador PI ejercería la misma acción de control para ambos casos, lo cualsería incorrecto. Para lograr ejercer acciones de control diferentes para cada caso, serequiere saber la tendencia del error. Esto es equivalente a saber cómo va cambiando elerror a través del tiempo. Este dato se puede ver como una herramienta predictiva, ya



73

que nos mostraría una tendencia y se puede obtener con la derivada del error. Es en estemomento donde se agrega el término derivativo para dar paso a los controladores PD yPID.

3.2.3 Controlador PD

Un controlador PD, prácticamente es un controlador P al que se le agrega unanueva característica. Se integra la parte derivativa, lo cual ayuda básicamente aestabilizar el sistema.

El término derivativo, proporciona a la acción de control un incremento odecremento dependiendo de la pendiente del error. Una pendiente negativa implica queel error ha ido decreciendo a través del tiempo, mientras que una pendiente positivaimplica que el error ha ido incrementando.

Si el error se está incrementando, la señal de control se incrementará, mientrasque cuando va disminuyendo, la señal de control también disminuye. Se puededeterminar qué tanta será esta variación a partir de la sintonización de la gananciaderivativa.

En el momento que se agrega el término derivativo al controlador, se puededecir que se predice la respuesta al conocer la historia de la señal. El efecto deincrementar o disminuir la ganancia integral se muestra en la (figura 3.4), donde seutilizó la planta (3.16) para la simulación.

49.098.049.0

2 ++ s s(3.16)

Figura 3.4Influencia de K d en la respuesta al escalón del sistema de la ec. 3.16.



74

El término derivativo tiene su mayor efecto en reducir el sobre-impulso; sinembargo, causa que el sistema se convierta sensible al ruido y puede llevar al sistema ala inestabilidad; además, la respuesta será más lenta.

A pesar de que el término derivativo está pensado para ser el cambio del error,es una práctica común que se tenga en consideración la salida del sistema en su lugar.

Con esta práctica se evita que los cambios repentinos en la señal de entrada o referenciaafecten al controlador.

Cuando el sistema presenta ruido en la salida, la derivada de la salida amplificaeste ruido, que normalmente es de alta frecuencia, por lo que se puede eliminaraplicando un filtro paso-bajas. Es por esto que la acción derivativa pura no es aplicadaen la práctica.

La acción derivativa genera mayor sensibilidad al controlador ya que responde ala velocidad del cambio del error, no afecta al error en estado estacionario y añadeamortiguamiento al sistema permitiendo una ganancia mayor. Este tipo de controladorse puede encontrar implementado en sistemas electromecánicos de baja precisión.

3.2.4 Controlador PID

El controlador PID se puede obtener como la suma de las funciones de transferenciaindividuales de los elementos P, I y D.

Figura 3.5Función de Transferencia de un controlador PID [33].

Con esto se observa como el controlador PID mantiene las característicasdinámicas de todos sus elementos:

• Rapidez ante el cambio de la señal de referencia en la entrada (D).

• Incremento en la señal de entrada para que el error sea cero (I).• La reducción en el tiempo de establecimiento (P).

El controlador PID logra en general un buen desempeño, siempre que esté biensintonizado. Esta sintonía depende de los valores que se propongan para K c, T i, y T d .Existen varias formas para sintonizar este tipo de controladores, de las que se puedendistinguir dos tipos de sintonización en particular. La sintonía práctica que se utilizadirectamente en la industria y la sintonía o diseño teórico que involucra conocimientos



75

matemáticos o de control de alto nivel, como lugar de las raíces o control por modelointerno.

A continuación se muestran las estructuras más comunes que mantienen loscontroladores PID.

3.2.5 Diferentes controladores PID

Existen diferentes estructuras de control en las que se emplean los controladores PID.Cada método de sintonización que se presentará a continuación, está ligado a un tipo deestructura o topología, cada una de éstas con una función de transferencia particular.Las más comunes son:

Controlador PID-Ideal

))()((1

11)( s y sr

N T

s

sT sT

K sud

d

ic −

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++= (3.17)

Controlador PID-Serie

))()((1

111)( s y sr

N

T s

sT

sT K su

d

d

i

c −

⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

′+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′+′= (3.18)

Controlador PID-Industrial

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

′+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

′+′= )(1

)(11)( s y

N T

s

sT sr

sT K su

d

d

i

c (3.19)

A pesar de que cada método de sintonización se liga a una estructura particular,esto no limita a que nuestro controlador tenga la misma estructura, ya que es posibleconvertir los parámetros de un tipo de estructura a otra [34].

Nótese que los controladores anteriores no utilizan la acción derivativa pura, yaque ésta amplifica el ruido en alta frecuencia. En su lugar se utiliza una aproximación,que no es más que la derivada pura más un filtro de primer orden con constante detiempo N

T d . Los valores típicos de ]208[∈ N [35].



76

En esta tesis, para las simulaciones de controladores PID, se ocupó el bloque deSimulink® “PID Controller (with Approximate Derivative)” que obedece a la estructuradel controlador PID-Ideal (3.17).

En la industria, cada fabricante tiene su propia estructura, pero todos tienencomo base alguna de las anteriores. La modificación de estas estructuras, surge a partir

de las mejoras que a lo largo de los años se han ido añadiendo al controlador PID paracombatir sus aspectos indeseables. Por ejemplo: el desbordamiento integral, filtroderivativo, acción derivativa sobre la retroalimentación, selector de acción, factor depeso, entre otros [36]. A continuación se dará un panorama general de los métodos desintonización prácticos que más se utilizan.

3.3 Métodos de Sintonización

3.3.1 ManualEl método manual es el más sencillo. Las ganancias integral y derivativa se establecen

en cero, se incrementa la ganancia proporcional desde su mínimo valor hasta que lasalida del proceso oscile y posteriormente esta ganancia se reduce justo a la mitad.Después se sintoniza la parte derivativa incrementándola hasta tener el tiempo deestablecimiento deseado. Finalmente, se incrementa la ganancia integral hasta que larespuesta sea lo suficientemente rápida.

Se debe tener cuidado con el incremento derivativo ya que puede desestabilizarel sistema si es muy alta su ganancia, también se debe ser cuidadoso con el incrementointegral, pues este produce sobre-impulso y existen sistemas que no lo pueden permitir.

Los efectos de cada uno de estos incrementos, se muestran en la (tabla 3.1).

Ganancia Tiempo deLevantamiento Sobre Impulso Tiempo deEstablecimiento Error en EstadoEstable K p Decremento Incremento Pequeña Mejora Decremento K i Decremento Incremento Incremento Se Elimina K d

PequeñoDecremento Decremento Decremento Ninguno

Tabla 3.1Efectos de Incrementar cada ganancia.

La sintonización manual es realizada por expertos en cada proceso particular, seobserva la salida y a partir de ésta se modifican los parámetros del controlador, a partirde exhaustivos experimentos se han generado el siguiente conjunto de reglas.

• Incrementar la ganancia proporcional disminuye la estabilidad.• El error decae más rápido si el tiempo integraliT es disminuido.• Disminuir el tiempo integraliT disminuye la estabilidad.• Incrementar el tiempo derivativod T mejora la estabilidad.

Este tipo de reglas pueden ser formalizadas en sistemas basados en reglascualitativas como por ejemplo, lógica difusa; sin embargo, esto no se debe confundircon el caso de esta tesis. En este caso se habla de la sintonización de controladores PID



77

por medio de lógica difusa mientras que esta tesis trata de la sintonización decontroladores difusos.

La metodología manual, suele utilizarse luego de cualquier otro método comoparte de una sintonización fina que normalmente es realizada por un experto.

3.3.2 Ziegler-Nichols

El método propuesto por Ziegler y Nichols (ZN) [37] desde los años 40 del siglopasado, contempla la sintonización de controladores P, PI y PID. Históricamente ha sidoel método más estudiado, mencionado y empleado lo cual se puede constatar con elnúmero de referencias al método en cualquier libro de control moderno y eninnumerables publicaciones. Además ha servido como referencia para proponer nuevastécnicas de control.

El criterio de desempeño que emplea este método es el decaimiento de41 ; es

decir, que para cada periodo de oscilación de la respuesta, el error disminuirá la cuartaparte. Esta técnica fue desarrollada con la estructura PID-Ideal, orientada a plantas conmodelo de primer orden más tiempo muerto.

Existen dos experimentos para obtener las variables necesarias para determinarlos parámetros de control: uno en lazo abierto y el otro en lazo cerrado.

Lazo abiertoEste método fue desarrollado basado en plantas con función de transferencia de

primer orden con retraso. Dicho proceso se describe con una función de transferencia dela forma:

s

p p e

sT K sG τ −+=1)( (3.20)

dondeτ es el tiempo muerto,T p es la constante de tiempo y K es la ganancia del sistema.La respuesta al escalón de este tipo de plantas proporciona cierta información como semuestra en la (figura 3.6).

A partir de esta información se calcula la constante:

pT t y

a)(∆=τ (3.21)

Con las constantesa y τ , se pueden obtener las recomendaciones de ZN apartir de la tabla que proporcionan para el experimento en lazo abierto:

Controlador K p T i T d P 1/aPI 0.9/a 3τ

PID 1.2/a 2τ τ /2Tabla 3.2Recomendaciones de Zigler-Nichols para lazo abierto.



78

Figura 3.6Respuesta al Escalón de la planta de (3.20) [33].

Existen sistemas donde resulta imposible llevarlos a su estabilidad marginal.Pensando en esta necesidad, Chidambara [38] muestra un procedimiento extendido quelogra sintonizar el controlador sin la necesidad de que la respuesta presente oscilacionessostenidas. Lo anterior se realiza por medio de un método iterativo basado en lasecuaciones de ZN.

Lazo CerradoEl experimento no asume ningún sistema en particular. El procedimiento está

basado en mediciones simples y es aplicable para procesos estables e inestables.

Se incrementa la ganancia proporcional hasta alcanzar el margen de estabilidaddel sistema. En consecuencia, el sistema oscila. Esta ganancia se registra comou K .Esto se logra cuando los polos del sistema se sitúan justo sobre el eje imaginario en elplano complejo s .

Lo anterior se ve reflejado en la salida como una respuesta con oscilacionessostenidas. En este momento las oscilaciones deben mantener una amplitud constantecon un periodo bien definido. Este periodo se debe medir para obtener el periodo crítico

uT .

A partir de la ganancia crítica y el periodo crítico, ZN proporcionan la siguientetabla para determinar los parámetros del controlador:

Controlador K p T i T d P 0.5 K u PI 0.45 K u 0.833T u

PID 0.6 K u 0.5T u 0.125T uTabla 3.3Recomendaciones de Ziegler-Nichols para lazo cerrado.



79

3.3.3 Cohen-Coon

Calcula los términos proporcional, integral y derivativo de forma similar que en lasección 3.3.2 y los parámetros que utilizan se obtienen de igual forma. La sintonizaciónpropuesta por Cohen y Coon (CC) [39] se muestra en la siguiente tabla.

Al igual que con ZN, el criterio de desempeño es el decaimiento de41 ; sinembargo, minimiza la integral del error para perturbaciones en la carga. Tambiénorientado a plantas de primer orden más tiempo muerto para la estructura PID-Ideal.

A diferencia de ZN, aquí se proponen parámetros para poder sintonizar uncontrolador PD. Además incluye el parámetroµ como un índice de auto regulación.

pT τ

µ = (3.22)

Controlador K p T i T d

P )35.0( 11µ + K - -

PI )35.0( 9.01µ + K τ µ

µ 2.2131.03.3

++

-

PD )35.0( 24.11µ + K - τ µ

µ 13.01088.027.0

+−

PID )35.0( 35.11µ + K τ µ

µ 61.0146.05.2

++ τ µ 19.01

37.0+

Tabla 3.4Recomendaciones de Cohen y Coon.

El criterio de CC proporciona controladores muy parecidos a los que da ZN, ladiferencia importante se muestra en los controladores que integran el términoderivativo. Con CC se obtienen respuestas más amortiguadas pero más lentas.

3.3.4 Chien-Hrones-Reswick

Existe otro método muy utilizado en la industria, son las recomendaciones de Chien-Hrones-Reswick[40], mejor conocido como el método CHR. Nace a partir demodificaciones sobre el método ZN. Este método tiene la ventaja de tener una mejorrespuesta ante perturbaciones, además de que propone qué tipo de controlador usar de

acuerdo al parámetro R de la siguiente tabla:

Controladorµ τ 1== pT

RP R>10PI 7.5<R<10

PID 3<R<7.5OTRO R<3

Tabla 3.5Recomendaciones de Chien-Hrones-Reswick para la elección del tipo de controlador.



80

Una vez seleccionado el tipo de controlador, éste se sintoniza de dos formas

diferentes:

Para respuestas sin sobre-impulso:

Controlador K p T i T d P 0.3 R/K - -PI 0.35 R/K 1.2T p -

PID 0.6 R/K T p 0.5τ Tabla 3.6Recomendaciones de Chien-Hrones-Reswick para respuestas sin sobre-impulso.

Para respuesta oscilatoria con 20% de sobre-impulso:

Controlador K p T i T d P 0.7 R/K - -PI 0.6 R/K T p -

PID 0.95 R/K 1.35T p 0.47τ Tabla 3.7Recomendaciones de Chien-Hrones-Reswick para respuestas con 20% de sobre-impulso.

3.3.5 Wang-Juang-Chan

En este caso Wang, Juang y Chan[41] proponen tres fórmulas para cada uno de losparámetros del controlador PID.

Este método utiliza como criterio de desempeño la optimización del índiceITAE, basado en modelos de primer orden más tiempo muerto. Este método estáorientado a la estructura de control PID-Ideal.

Las fórmulas dependen de tres parámetros que se obtienen a partir de larespuesta en lazo abierto del sistema en el tiempo, de acuerdo a la (figura 3.6).

)()5.0)(7303.0( 5307.0

τ

τ τ

+++

= p

pT

p T K

T K

p

(3.23)

τ 5.0+= pi T T (3.24)

τ

τ

5.0

5.0

+=

p

p

d T

T T (3.25)

3.3.7 Optimización de criterios

Existen métodos que utilizan como criterio de desempeño la optimización de alguno ouna combinación de índices de desempeño como son los criterios integrales mostradosen la sección 3.1.





82

Rovira

El método de Rovira [43] sólo propone valores a partir del error absoluto,optimizando el IAE e ITAE para estructuras de control PID-Ideal:

Criterio Controlador a b c d e f IAE PI 0.758 -0.861 1.020 -0.323 - -

PID 1.086 -0.869 0.740 -0.130 0.348 0.914ITAE PI 0.586 -0.916 1.030 -0.165 - -

PID 0.965 -0.850 0.769 -0.147 0.308 0.929Tabla 3.9Constantes para el cálculo de los parámetros de controladores según Rovira.

Kaya y Sheib

Este método toma como modelos los de primer orden más tiempo muerto. Susintonización está diseñada para estructuras de control PID-Serie y PID-Industrial.Donde las constantesa, b, c, d, e y f se determinan a partir de las siguientes tablasdependiendo la estructura del controlador:

Criterio a b c d e f IAE 0.6500 -1.0443 0.9895 0.0954 0.5081 1.0843

ITAE 1.1276 -0.8037 0.9978 0.0286 0.4284 1.0081ISE 0.7196 -1.0309 1.1267 -0.1815 0.5457 0.8641

Tabla 3.10Recomendación Kaya y Sheib PID-Serie.

Criterio a b c d e f IAE 1.1303 -0.8131 5.7527 -5.7241 0.3218 0.1771

ITAE 0.9838 -0.4985 2.7135 -2.2978 0.2144 0.1677ISE 1.2624 -0.8388 6.0356 -6.0191 0.4762 0.2457

Tabla 3.11Recomendación Kaya y Sheib PID-Paralelo.

Criterio a b c d e f IAE 0.8170 -1.0040 1.0911 -0.2239 0.4428 0.9719

ITAE 0.8326 -0.7607 1.0027 0.0085 0.4424 1.1150ISE 1.1427 -0.9365 0.9922 -0.3527 0.3531 0.7809

Tabla 3.12Recomendación Kaya y Sheib PID-Industrial.



83

3.3.8 Otros métodos

Los métodos mencionados con anterioridad son considerados sencillos de implementarcon un desempeño aceptable, ya que sólo se necesitan conocimientos básicos de controlpara llevarlos a cabo.

Por otra parte, existen procedimientos más complejos que los anteriores quepueden requerir el modelo matemático de la planta e implican conocimientos sólidos encontrol, así como habilidades matemáticas.

Algunos de estos métodos [44] son:

Lugar de las raíces.Sintonización lambda.Control por modelo interno.

Cabe señalar que los métodos de las secciones 3.3.2 a 3.3.5 para algunos autoresson agrupados como variaciones de un mismo tipo de controlador Ziegler-Nichols,también llamados métodos basados en la curva de reacción.



84

Capítulo 4Resultados prácticos y

simulaciones

“La teoría es cuando uno sabe todo y nada funciona,la práctica es cuando todo funciona y nadie sabe por qué”.

Albert Einstein

Se muestra el desempeño del esquema de control planteado en el capítulo 2,comparándolo con el controlador PID. Se hacen notar las diferentes situaciones queocurren para distintos valores de k 1 y k 2; es decir, los dos factores propuestos para el

ASSCD. El primero sintoniza la variable de entrada error mientras que el segundo ala variable de entrada cambio del error.



85

A lo largo de este capítulo se presentan resultados a partir de simulaciones. Con éstos semuestra que para una gran variedad de plantas, el controlador difuso logra undesempeño equiparable y en la mayoría de las ocasiones superior al controlador PID,con la ventaja de que el operador sólo deberá sintonizar dos parámetros.

En primer lugar se describe el experimento general, en las secciones 4.2, 4.3 y

4.4 se muestran resultados para plantas de segundo orden, no lineales y algunossistemasbenchmark respectivamente. Finalmente se muestra un ejemplo de cómo esque el operador sintonizaría el controlador en campo.

4.1 Diseño del Experimento

En general, se simulan dos tipos de controlador: el FLC y el PID. Se comparan susresultados y se someten a evaluación. Para sintonizar el FLC se realizan losprocedimientos del capítulo 2, luego se varíank 1 y k 2 para finalmente elegir lasintonización que resulte con mejor tiempo de establecimiento mitigando el sobre-impulso.

Para realizar estos experimentos, se construyeron diagramas de control enSimulink®. De esta manera se simulan y evalúan las respuestas y otras señalesintermedias de los diversos sistemas.

Como punto de comparación del desempeño del controlador difuso, se agrega undiagrama de control totalmente equivalente que utiliza un controlador PID en lugar deun FLC. Al obtener la respuesta de ambos controladores, éstos se comparan y evalúan.

Las comparaciones que se realizan entre ambos controladores tratan de ser de laforma más justa, por lo que se tienen algunas condiciones:

1. Tanto la sintonización del FLC como del PID se realizan de formatotalmente autónoma; es decir, que no está permitido realizar ajustes finos.

2. Se supone que se carece del modelo matemático, por tanto, éste sólo seráutilizado para simular respuestas, nunca para sintonizar controladores.

3. Ambas simulaciones se realizan en el tiempo discreto y con el mismo tiempode muestreo.

4. Las limitantes de los esquemas son los mismos, como la señal de entrada queserá un escalón de 2.5 o la saturación del actuador de -5 a 526.

5. Se someterán a evaluación dos señales de cada simulación, la respuestatransitoria y la acción de control.

6. Para la comparación, se podrá elegir entre dos esquemas de control para elPID, PID-Ideal (3.17) y PID-Ideal+Antidesbordamiento Integral27, el queresulte más competitivo.

26 Excepto para el modelo no lineal, sección 4.3



86

7. El PID-Ideal se sintoniza mediante las técnicas de Chien-Hrones-Reswick28

sin sobre-impulso mientras que el PID-Ideal+Antidesbordamiento Integral sesintoniza de acuerdo con las recomendaciones de Ziegler-Nichols29.

8. Se utiliza un tiempo de muestreo de 0.05 segundos. Los tiempos de

establecimiento se calculan al 1%.9. Para discretizar las plantas prueba, se utiliza la función [NUMd,DENd] =

C2DM(NUM,DEN,Ts,'method') de MATLAB®, mediante el método ‘zoh’retenedor de orden cero.

Finalmente se selecciona la planta prueba e inicia la simulación. La simulaciónse invoca desde un programa en MATLAB® que en principio sintoniza los doscontroladores antes de cada simulación.

Los criterios que se evaluarán serán el tiempo de establecimiento y el máximosobre-impulso, así como los criterios integrales definidos en la sección 3.1, IAE, ISE,ITAE, ITSE. Se agrega además un criterio no muy común que es la integral de la acciónde control que llamaremos IAC. Esto servirá como un indicador respecto a cuantaenergía utilizará el actuador para obtener cierta respuesta; así, mientras menos energíase utilice será mejor.

[ ]0

( ) ( ) IAC u t y t dt ∞

= −∫ (4.1)

En las siguientes secciones se detallan algunos aspectos de cada controlador aprueba y los esquemas en Simulink® que se utilizaron para su simulación.

4.1.1 PID

El controlador proporcional, integral, derivativo, que se utilizó para esta prueba sesintonizó de acuerdo con las recomendaciones de Chien-Hrones-Reswick. Losparámetros de la curva de reacción se obtienen a partir de la función“getfod.m” 30.

Estos parámetros se utilizan como entrada para alguna función, que sintoniza alcontrolador PID. En este caso“chr.m” , se sustituye por la función“ziegler.m” . Estasdos funciones se tomaron de [45] y se podría utilizar cualquier otra que calcule losparámetros de un controlador PID.

Estos parámetros son K p , T d , T i , con los que se calculan los coeficientes delcontrolador PID de acuerdo con (3.7), (3.8) y (3.9). Dichos coeficientes se introducen en

27 Del inglés “Anti-Windup PID”, se profundiza el tema en la sección 4.1.228 De acuerdo a lo expuesto en la sección 3.3.229 De acuerdo a lo expuesto en la sección 3.3.430 El código de todas las funciones se pueden se pueden revisar en el apéndice. El nombre de esta funciónse hereda de [45], aunque el código es diferente.



87

el bloque “PID Controller with Approximate Derivative” correspondiente a laestructura PID-Ideal (3.17) con N=10 de acuerdo con la recomendación de [45].

Figura 4.1Bloque del controlador PID empleado en los experimentos

El esquema en Simulink® que proporciona la respuesta del sistema se muestra acontinuación.

Figura 4.2Esquema de control con PID-Ideal

Durante la se realizaron algunos artículos en los que se criticó la comparacióndel FLC con el PID ideal, alegando la existencia de técnicas de sintonización de PIDque podían ser más competitivas mitigando el sobre-impulso.

Bajo la premisa de carecer del modelo matemático de la planta, se buscó lamanera de mejorar la simulación del PID, de donde se decidió implementar técnicascomplementarias que combatieran la existencia del sobre-impulso.

Así se experimentó con las recomendaciones de Chien-Hrones-Reswick pararespuestas sin sobre-impulso, así como con técnicas de anti-desbordamiento integral.

Esta última técnica mitiga asombrosamente el sobre-impulso y aunque seincluye como característica de los PID comerciales modernos [46], no se estudia en loscursos académicos tradicionales y sólo se encuentra en algunos textos avanzados como[44] y [47].

Ambas técnicas se evaluaron en los experimentos; sin embargo, sólo seimprimen las respuestas del que tenga el menor tiempo de establecimiento.



88

4.1.2 PID con anti-desbordamiento integral (Anti-Reset Windup)

El desbordamiento integral es un fenómeno que se presenta cuando la salida delcontrolador supera en magnitud a las capacidades físicas del actuador, quedandosaturado. Al saturarse, ya no hay nada más que el controlador pueda hacer, más queesperar a que disminuya el error.

Durante este tiempo, la parte integral del controlador continúa acumulandoenergía para la salida del controlador, esta energía sobra, por lo que prolonga lasaturación y genera sobre-impulso.

Una técnica ingeniosa para corregir esto es activar y desactivar la parte integraldel controlador cuando el actuador se satura. Para lograr esto, se requiere conocer ellímite de los dispositivos y se ingresa como dato en los controladores modernos como ellímite de operación.

Esta solución es capaz de mitigar el sobre-impulso, con lo que se mejora eldesempeño; sin embargo, al activar y desactivar la parte integral se corre el riesgo detener acciones de control oscilantes que pueden arruinar el dispositivo.

Para eliminar este problema surge la constante de seguimiento31 “T t ” queproporciona cierta tasa aplicable a la parte integral del controlador. Con este artilugio,se consigue mantener cambios graduales en la acción integral, en lugar de cambiosbruscos de apagado a encendido. Para el experimento se utiliza el valor sugerido porÅström en [35] id t T T T = . A continuación se muestra el esquema de control enSimulink®.

Figura 4.3Esquma de control PID-antidesbordamiento ingegral

Con esta estructura de control, se agrega un parámetro más que sintonizar,aunque se puede considerar constante siempre que éste dependa de otros parámetroscalculados con anterioridad. En este caso, se utilizan los mismos criterios para la

sintonización de los coeficientes del controlador.

31 Tracking time constant



89

4.1.3 FLC

Se proponen dos estructuras de control que utilizan el mismo controlador difuso. Alprimero le llamaremos referencial y al segundo directo.

En ambas estructuras se mantiene la característica de que antes de que el error yla entrada del error entren al controlador difuso, se les obliga a pasar por un bloque desaturación. Esta saturación se agrega porque el bloque difuso de MATLAB® no entregarespuesta cuando las entradas superan o igualan los rangos de las variables. Siendo unapequeña trampa para que las funciones de pertenencia de los extremos en realidad seextiendan al infinito.

Esquema Referencial

Se decidió llamar referencial a este esquema ya que utiliza a la referencia como parte dela acción de control. Este esquema es el que más se utilizará en esta tesis y es el idealpara sistemas que son estables en lazo abierto. Se suman la referencia y la salida delcontrolador para conformar la acción de control.

)()()( t ut r t u flc+= (4.2)

Para darle sentido a lo anterior, debemos tener en mente que el ASSCD se diseñapara que cuando el error y el cambio del error son cero con lo que su salida será cero.Cuando esta situación ocurre, con dicha estructura, la salida es igual a la referencia.

Figura 4.4Esquema de control FLC referencial

Esquema Directo

El esquema directo se puede utilizar en plantas que no son estables o que mantienenerror en estado estable.

La diferencia radica en que ya no se suma la referencia a la salida delcontrolador difuso, si no que, esta salida es directamente la acción de control sobre laplanta.

)()( t ut u flc= (4.3)



90

Figura 4.5Esquema de control FLC directo

Esta estructura otorga una acción de control igual a cero cuando el sistema lograestabilizarse, por lo que este esquema se utiliza para plantas que no siguen la referencia.

En ambos esquemas, se antecede un bloque de saturación a la entrada del FLCcomo una simple prevención. Las funciones de pertenencia de los extremos tienen unlímite de operación; es decir, que no contemplan el infinito. Cuando se tiene una entradaque supere o iguale al límite de operación, el FLC no funciona apropiadamente. Conestos bloques nos aseguramos de la correcta aplicación de las reglas.

4.1.4 Procedimiento

1. Determinar los rangos del error y la derivada del error.

Estos rangos se obtienen de forma automática de acuerdo a lo descrito en la sección 2.5de este documento.

Para realizarse de manera automática, se simula el siguiente diagrama enSimulink® de donde se obtienen la señal del error y el cambio del error. La máximamagnitud absoluta de cada una de estas señales determinará los rangos.

Figura 4.6Obtención de la señal de error y del cambio del error

Es importante que el sistema en lazo abierto se establezca para poder obtenerestos datos, en caso contrario, se recomienda utilizar el sistema en lazo cerrado.

En caso de que tampoco sea estable en lazo cerrado, se recomienda introducir elrango del error de forma manual y utilizar esta simulación sólo para el rango del cambiodel error.



91

2. Obtener por medio de simulación, el tiempo de establecimientot s y elporcentaje de sobre-impulsoos para los diferentes valores prueba dek 1 y k 2.

Los parámetros de sintonización pueden tener cualquier valor en el rango [0, 1] por loque existe un número infinito de posibilidades. En el experimento lo que interesa es verlo que ocurre en todo el rango. Así, al ser imposible realizar un número infinito depruebas, es necesario determinar la resolución del experimento.

Mientras mayor es la resolución del experimento, mayor es el número depruebas que se hacen; por ejemplo, se pueden recorrer los parámetros de sintonizaciónde 0 a 1 en pasos 1.0=∆k , obteniendo 0, 0.1,…,0.9, 1 o en pasos 05.0=∆k ,obteniendo 0, 0.05, 0.1,…, 0.95, 1. Para los resultados aquí presentados se obtuvieronpara 05.0=∆k

Al momento que se realice cada prueba, se deben almacenar dos característicasde la respuesta transitoria,t s y os, generando así una matriz para cada característica,cuyo tamaño depende del número de pruebas realizadas; es decir, de la resolución del

experimento.Sea el algoritmo ),( 21 k k ASSCD descrito en el capítulo 2, dondek 1 y k 2 son los

parámetros de sintonización del error y del cambio del error respectivamente. Seobtienen un tiempo de establecimiento T t s∈ y un porcentaje de sobre-impulso

OS os∈ tal que

( )( )221

121

),(),(

k k ASSCDOS

k k ASSCDT

==

(4.4)

donde { }1,...,2,,0, 21 k k k k ∆∆∈ . Es importante señalar que se utiliza esta metodologíapor el interés que existe en visualizar el comportamiento del sistema para todo el rango.En una implementación comercial, se debe utilizar un método de búsqueda másadecuado, como aproximaciones sucesivas.

3. Seleccionark 1 y k 2 que cumplan con el criterio.

Se debe establecer el criterio que sintonice el controlador difuso, en este caso sebusca una respuesta que proporcione el mejor tiempo de establecimiento mientrasmitiga el sobre-impulso.

El criterio del experimento es encontrar*1k y *

2k que minimicen la suma de lasmatrices normalizadas de tiempo de establecimiento y sobre-impulso. Sin embargo, sepodría utilizar cualquier otro criterio, como el minimizar el tiempo de establecimiento,carecer de sobre-impulso o alguna característica del tiempo de levantamiento.



92

Considérese el operador Norma :

)min()max()min()( X X

X X X Norma

−−= con nxm X ℜ∈ (4.5)

El criterio de selección consiste en elegir*1k y *

2k tal que

}{min21

21*2

*1 k k k k k k

T T → (4.6)

ó

}{min21

21*2

*1 k k k k k k

OS OS → (4.7)

ó

( ) ( ){ }21

21*1

*1 ,,, min

,k k k k k k

V V

OS NormaT NormaV =

+=(4.8)

Una vez que se eligen*1k y *

2k que cumplen con el criterio indicado, se obtieneesta respuesta y se somete a evaluación. El criterio para los experimentos que serepresentarán a continuación es el propuesto en (4.8) aunque se presentarán en tablas lostres criterios.

4.1.5 Presentación de resultados

En general, para cada uno de los ejemplos mostrados se presentarán cuatro imágenes:

1. Superficies T32

y OS33

resultado del experimentoPermite tener una representación gráfica del comportamiento del sistemaconforme los parámetros de sintonización del FLC varían. Cuando el resultadopara alguna de las pruebas no es satisfactorio34 se omite, con lo que algunassuperficies se aprecian incompletas.

2. Superficie MixtaEs la suma de matrices normalizadas T y OS. En el caso de las tres superficies,los tonos más oscuros representan los valores más pequeños, mientras que losmás claros representan a los más altos.

32 Matriz de tiempo de establecimiento.33 Matriz de porcentaje de sobre-impulso (máximo valor de la respuesta).34 En la matriz T cuando el tiempo de establecimiento del FLC sobrepasa al del sistema en lazo abierto.En la matriz OS cuando el máximo valor de la respuesta no supera el 90% de la señal de referencia.



93

3. Respuestas transitoriasMuestra las respuestas del experimento final, una vez que se eligieron losparámetros de sintonización que devuelven el mínimo valor de la superficiemixta, se obtiene su respuesta transitoria y se muestra en conjunto con larespuesta del PID que mostró el menor tiempo de establecimiento.

4. Acciones de controlSe muestran las señales de control que generan el FLC y PID seleccionados.

Además de dos tablas comparando los siguientes parámetros:

1. Constantes de sintonización del PIDSe aprecian dos sintonizaciones para controladores PID que fueron puestos aprueba, el PID ideal con la sintonización CHR para respuestas sin sobre-impulsoy el PID con anti-desbordamiento integral con sintonización de ZN.

2. Resultados del experimentoSe muestra una columna de resultados para cada uno de los cinco controladorespuestos a prueba:

Lazo AbiertoPID – PID ideal sección 4.1.1PIDAW – PID con anti-desbordamiento integral sección 4.1.2FLCT – Minimizando el tiempo de establecimiento ecuación 4.6FLCOS – Minimizando el sobre-impulso ecuación 4.7FLCT+OS– Minimizando la matriz mixta ecuación 4.8

Los resultados que se muestran para cada controlador son los criterios integralesde desempeño de la sección 3.1, la integral de la acción de control ec. 4.1, el tiempo deestablecimiento, tiempo de levantamiento y el porcentaje de sobre-impulso. Cadacolumna de resultados de los FLC muestra además la sintonización de los parámetrosk 1 y k 2 que produjo dichos resultados.

4.2 Plantas de segundo orden Las plantas de segundo orden son ampliamente estudiadas en cualquier curso deingeniería de control. Se pueden clasificar según su tasa de amortiguamiento comosobre-amortiguadas, críticamente-amortiguadas y sub-amortiguadas.

En literatura previa a este documento como es en [3] y [2] las pruebas se realizansobre una sola planta que es de segundo orden sobre-amortiguada; es decir, que nopresenta sobre-impulso.

El origen de esta investigación surge de poner a prueba dichas técnicas en unaplanta sub-amortiguada y obtener resultados no satisfactorios. En esta ocasión seutilizarán ambos casos, se deja a un lado el caso intermedio, críticamente-amortiguado,ya que se considera un caso especial contenido en los otros.



94

La función de transferencia generalizada para las plantas de segundo orden semuestra en (4.9).

22

2

2)(

nn

n

s sG

ω ξω

ω ++

= (4.9)

Para este tipo de sistemas se utiliza la estructura de controlador difuso tiporeferencial.

4.2.1 Sobre-amortiguada

La planta prueba en el dominio de Laplace utilizada para este experimento es:

81.016.281.0)( 2 ++

= s

sG (4.10)

La función de transferencia anterior se obtiene para una frecuencia natural s

rad n 9.0=ω y un factor de amortiguamiento 2.1=ξ . Convirtiendo la función al tiempo

discreto se tiene:

sT z z

z z G s 05.0

8976.0896.10009423.00009768.0)( 2 =

+−+= (4.11)

Se obtienen las matrices T y OS, éstas se muestran como superficies:

Figura 4.7Superficies T y OS resultado del experimento

Cuando se integran ambas matrices, se obtiene la matriz mixta, de (4.8) quetambién se muestra como superficie:



95

Figura 4.8Superficie mixta

En las superficies, justo cuando el tiempo de establecimiento se incrementa, elsobre-impulso disminuye. Es por esto que la superficie mixta muestra normalmente unaespecie de valle. El mínimo valor de este valle resultará en una respuesta que combinaun buen tiempo de establecimiento que mitiga al sobre-impulso y será la sintonizaciónque se utilizará para los resultados.

Los parámetros de sintonización que cumplen con el criterio sonk 1 = 0.7 yk 2 = 0.05. En las siguientes figuras se muestra esta respuesta junto con la del PIDcalculado, así como sus respectivas acciones de control:

Figura 4.9Respuestas transitorias



96

Figura 4.10Acciones de control

Los parámetros de sintonización del controlador PID son:Controlador K T i T d PID (CHR) 7.2766 0.1414 3.4140PIDAW(ZN) 14.5533 0.1414 0.5656Tabla 4.1Constantes de sintonización del PID

Las características de cada controlador son:

[k 1 ,k 2 ] [0.75,0.2] [0.05,0Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 136.63 95.88 65.77 68.70 95.48 66.45 ISE 204.97 123.57 113.58 120.83 156.55 117.33

ITAE 294.24 221.32 63.34 58.64 125.87 54.63 ITSE 245.49 102.20 61.90 72.75 129.18 67.50 IAC - 136.24 187.36 92.90 41.60 93.41

t s 10.30 - 6.10 2.90 5.75 3.05t r 4.85 1.45 1.45 1.85 2.95 1.75

%OS - 21.66 7.07 0.79 0.001 0.28Tabla 4.2Resultados del experimento

Nótese que el PID nunca se estableció. Esto no quiere decir que el PID fallasimplemente que tal vez sea un caso que no contempla el algoritmo que usamos parasintonizarlo. Por otra parte, el PIDAW sí logra establecer el sistema además de disminuirel tiempo de establecimiento.

El FLC logró establecer al sistema en la mitad de tiempo que el PIDAW sinproducir sobre-impulso.



97

4.2.2 Sub-amortiguada

La planta prueba en el dominio de Laplace utilizada para este experimento es:

17.28838.017.2)( 2 ++

= s

sG (4.12)

La función de transferencia anterior se obtiene para una frecuencia natural s

rad n 3.0=ω y un factor de amortiguamiento 473.1=ξ . Convirtiendo la función al

tiempo discreto se tiene:

sT z

z z G s 05.0

9568.0951.1002632.0002671.0)( 2 =

+−+= (4.13)

Al ser una planta sub-amortiguada, es natural la presencia del sobre-impulso,esto hace más difícil eliminarlo. Al igual que en el caso anterior los menores valores desobre-impulso se obtienen cuandok 2 incrementa con el detalle para este caso que sik 1 es cercana a 1, siempre existirá sobre-impulso.


En la superficie T se cuenta con un valle de tiempos de establecimiento si semira en conjunto con la superficie OS.

Se puede sugerir que las respuestas correspondientes a los valores de laizquierda son agresivas con tiempos de levantamiento rápidos, lo que ocasiona sobre-impulsos y oscilaciones importantes.

Por otra parte las respuestas correspondientes a los valores de la derecha que seestablecen sin sobre-impulso son suaves con tiempos de levantamiento lentos.



98

El fenómeno de valle se presenta de nuevo en la superficie mixta al buscar elvalor que reduzca de manera combinada el sobre-impulso y el tiempo deestablecimiento.


En la respuesta transitoria, se aprecia como el FLC no es capaz de eliminar elsobre-impulso al 100%. Si el experimento se realizara con una resolución más fina, esdecir 05.0<∆k se encontraría una combinación de parámetros de sintonización que loeliminaría.

Figura 4.13Respuestas transitorias.

Las oscilaciones que mantiene la respuesta del PID seguramente podrían ser

eliminadas mediante alguna corrección en la sintonización; sin embargo, el tiempo delevantamiento no podría mejorarse. Esto se nota al ver que la acción de controlpermanece saturada durante el levantamiento.



99


Controlador K T i T d PID (CHR) 2.8266 0.1479 1.3911PIDAW(ZN) 5.6533 0.1479 0.5917Tabla 4.3Constantes de sintonización del PID

[k 1 ,k 2 ] [0.70,0.65] [0.70,0.75] [0.70,0.65]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 83.94 59.06 43.42 32.48 33.48 32.48 ISE 105.55 73.18 61.80 62.74 62.75 62.74

ITAE 170.91 90.49 53.59 11.41 13.94 11.41 ITSE 90.31 41.68 20.48 16.94 16.98 16.94 IAC - 132.61 144.77 50.77 58.65 50.77

t s 9.80 7.90 7.40 1.15 2.05 1.15t r 0.90 0.55 0.60 0.70 0.70 0.70

%OS 37.22 37.20 9.41 0.73 0.10 0.73Tabla 4.4Resultados del experimento

En este caso no se eliminó el sobre-impulso, pero si se compara con el casi 10%del PIDAW el casi 1% del FLC es una gran ventaja. A pesar de que con el FLC el tiempode levantamiento es menor, el tiempo de establecimiento es mucho mejor.

Si se corrigiesen las oscilaciones del PIDAW por medio de una sintonización fina,seguramente el tiempo de establecimiento sería mucho menor. Sin embargo, sería muydifícil disminuir más el sobre-impulso.



100

4.3 Modelo No Lineal

Los controladores difusos en su papel de aproximadores universales defunciones [17], son capaces de controlar sistemas no lineales ya que en sí mismosconforman un controlador no lineal [17]. Para comprobar el desempeño del ASSCDante sistemas con esta característica se ha elegido un modelo dinámico previamentepublicado en [48]. En este artículo se utiliza un tanque no lineal para probar elcomportamiento de un control inteligente. Para el tanque cónico, la pendiente quemantienen las paredes del contenedor, provoca que para incrementar la altura del tanqueen pasos iguales se requieran diferentes volúmenes del líquido dependiendo de lacondición inicial. Esto implica que los tiempos para alcanzar las mismas diferencias dealtura no son lineales.

Se considera el modelo matemático del tanque cónico de la (figura 4.15) el cualse expresa en (4.14)

Figura 4.15Tanque no lineal

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

−+=+

θ θ π 2

22

tan)(

tan)(2

)()()()1(nhr nh

r

nhk t QT nhnh e (4.14)

donde Q es el gasto de la válvula de entrada,h es la altura del tanque,k es la resistenciade la válvula,r es el radio del fondo del tanque,θ es el ángulo entre la horizontal y lapared del tanque.

El modelo matemático de (4.14), se representa mediante un bloque en Simulink® para poder llevar a cabo su simulación. En la (figura 4.16) se muestra a detalle dichobloque. La entrada y la salida muestran unidades inconsistentes, por lo que en el lazo deretro-alimentación se tuvo que agregar una transformación de unidades, para que elerror y el cambio del error sean consistentes.



101

Figura 4.16Modelo en Simulink® de (4.14)

Se realizan las simulaciones correspondientes, en la superficie de sobre-impulsosse aprecia que para casi todos los parámetros de sintonización el sobre-impulso semitiga, por lo que ya era de esperarse que el parámetrok 2 fuera igual a cero.

Esta situación es equivalente a desconectar la entrada “cambio del error” delFLC, esto significa que para este sistema bastaría con reglas para una sola variable, loque reduce la matriz de reglas de tamaño 5x5 a 5x1.




102


Cuando se grafica la respuesta se nota como ambos controladores siguen lamisma trayectoria de levantamiento; sin embargo, el FLC es capaz de eliminar el sobre-impulso. A pesar de que el PID no logra eliminarlo es prácticamente insignificante yseguramente con un ajuste fino podría ser eliminado.


Ambos controladores saturan al actuador en los primeros segundos. El PIDdisminuye su acción de control unas fracciones de segundo después que el FLC, lo queocasiona el sobrepaso. Vemos como la acción de control del FLC es más suave, lo quepodría traducirse en un incremento de la vida útil del actuador.



103


Nuestro método de sintonización para controladores PID, no pudo calcular uncontrolador adecuado; sin embargo, por la naturaleza del sistema se sugirió utilizar elmismo controlador de la sección 4.2.1 proporcionando buenos resultados.


[k 1 ,k 2 ] [1,0] [-,-] [1,0]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 37 - 624 620 - 620 ISE 4 - 4827 4827 - 4827

ITAE 316 - 1160 1127 - 1127 ITSE 1688 - 5241 5235 - 5235 IAC - - 22572 24255 - 24255

t s 39.15 - 7.65 6.65 - 6.65t r 17.80 - 5.25 5.25 - 5.25

%OS - - 2.99 0 - 0Tabla 4.6Resultados del experimento

La peculiaridad de este sistema es su no linealidad, esta existe cuando se llena yse vacía el tanque, ya que las paredes del tanque mantienen cierta inclinación. Así paranotarse la no linealidad del tanque en la respuesta, es necesaria una entrada queincremente y decrezca el nivel del líquido en el tanque.

Así surge la siguiente prueba donde se somete el sistema a cambios en lareferencia. Es una serie de escalones de diferentes niveles provocando transicionespositivas y negativas.



104

El PID presenta sobre-pasos cuando la referencia decrece, mientras que el FLCmantiene la mitigación del sobre-paso para cualquier tipo de transición ya sea positiva onegativa.


La no linealidad del sistema se corrobora cuando vemos la señal de control oacción de control. Ésta presenta acciones más agresivas en las transiciones negativas.




105

4.4 Plantas benchmark de Åström y Hägglund Se puso a prueba el ASSCD con una serie de plantasbenchmark propuestas en

un documento de Åström y Hägglund [49]. Sólo se muestran los resultados mássignificativos debido a la gran cantidad de pruebas que se podrían realizar.

Sólo se muestran las funciones de transferencia en el dominio de Laplace ygeneralizadas, tal como se presentan en el documento referenciado. Se omite la funciónde transferencia para cada caso tanto en el dominio de Laplace como en el tiempodiscreto35.

4.4.1 Sistema con múltiples polos iguales

Este tipo de sistemas son muy comunes. Paran = 1, 2 tanto los controladores PI comoPID presentan un buen desempeño; sin embargo, conforme incrementan, el sistema secomporta como sistemas con amplio tiempo muerto.

8,4,3,2,1)1(

1)( =+

= n s

sG n (4.15)

Se menciona en el texto que históricamente estos sistemas han sido utilizadospor las compañías que manufacturan controladores como casos prueba según Eurothermy Foxboro.

A continuación se muestran los resultados obtenidos para tres casos de este tipode sistema,n = 2, 3, 4. En el primer caso, se logra el control de la planta sin ningúncontratiempo nótese que es un sistema de segundo orden sobre-amorgtiguado,equivalente al de la sección 4.2.1 Conformen se incrementó los resultados dejaron deser tan buenos. La respuesta deja de ser suave debido al comportamiento equivalente alde sistema con tiempo muerto. Más adelante se probará el controlador con ese tipo desistemas.

A pesar de que la respuesta se va deteriorando con el incremento den, es notableel gran control que se tiene sobre el sobre-impulso. Hay que tomar en cuenta que elcriterio de selección de los parámetros de sintonización incluía la mitigación del sobre-impulso.

Con base en lo anterior y observando la (figura 4.33) (n = 4), es de esperarse quesi se seleccionara un criterio de sintonización que exclusivamente minimizara el tiempode establecimiento, se obtendría una respuesta con sobre-impulso, que se mostraría conuna pendiente constante durante el tiempo de subida.

Lo anterior es apreciable en la (tabla 4.12), donde tanto FLCT como FLCT+OS tienen el mismo tiempo de establecimiento; sin embargo, el primero presenta menortiempo de subida pero mayor sobre-impulso.

35 El método utilizado es el retenedor de orden cero mediante la función de MATLAB® c2dm, según seexplica en la sección 4.1



106

Caso 1 n = 2 ecuación 4.15






107



[k 1 ,k 2 ] [1,0.60] [1,0.7Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 103.74 78.67 57.56 58.67 59.59 59.05 ISE 165.62 105.34 98.00 105.86 106.69 106.65

ITAE 155.04 146.77 52.28 41.30 43.28 41.73 ITSE 148.56 68.16 45.34 53.62 54.48 54.39

IAC - 113.54 166.08 70.65 65.53 67.04t s 6.70 9.80 5.75 2.50 2.90 2.60t r 3.35 1.15 1.15 1.50 1.50 1.50

%OS - 22.65 9.13 0.79 0 0.18Tabla 4.8Resultados del experimento



108







109




IAE 153.74 108.72 110.16 95.17 102.93 95.17 ISE 267.18 181.21 179.10 179.73 185.66 179.73

ITAE 307.46 195.70 245.25 107.60 133.16 107.60 ITSE 352.86 159.53 157.48 146.68 160.49 146.68 IAC - 138.37 275.04 108.15 100.30 108.15

t s 8.50 10.50 - 3.85 5.70 3.85t r 4.20 1.70 1.70 2.10 2.45 2.10

%OS - 17.01 7.98 0 0 0Tabla 4.10Resultados del experimento



110







111




IAE 203.72 146.94 181.55 144.55 153.38 150.89 ISE 372.65 266.90 281.42 268.07 272.30 271.76

ITAE 509.60 303.95 667.62 267.03 316.18 299.90 ITSE 653.05 321.73 470.29 321.68 342.28 337.60 IAC - 160.24 438.74 192.53 194.77 191.80

t s 10.10 12.85 - 8.15 8.45 8.15t r 4.95 2.25 2.20 2.65 4.90 3.15


4.4.2 Sistema de cuarto orden

Este sistema presenta cuatro polos cuyo espaciamiento está determinado por el valor deα. Cuandoα = 1, el sistema es equivalente al de (4.15) conn = 4.

0.1,5.0,2.0,1.0)1)(1)(1)(1(

1)( 32 =++++

= α α α α s s s s

sG (4.16)



112

Caso 1 α = 0.1 ecuación 4.16






113


Controlador K T i

T d

PID (CHR) 10.4467 0.0372 1.2930PIDAW(ZN) 20.8934 0.0372 0.1490Tabla 4.13Constantes de sintonización del PID


IAE 59.29 42.52 56.16 25.65 30.42 26.80 ISE 85.17 52.11 54.52 46.95 51.08 48.27

ITAE 58.86 46.90 160.53 7.39 11.77 8.24 ITSE 43.07 19.53 50.74 9.70 12.59 10.51 IAC - 82.07 468.78 45.08 36.41 42.09

t s 4.80 5.20 9.00 1.00 1.65 1.10t r 2.20 0.60 0.60 0.65 0.95 0.70%OS - 28.02 9.89 0.70 0 0.03

Tabla 4.14Resultados del experimento

4.4.3 Sistema con cero en el semiplano negativo

Este sistema cuenta con tres polos iguales y un cero en el semiplano negativo. Laposición de este cero en el plano varía conα. La dificultad de controlar este sistema seincrementa conformeα aumenta; es decir, conforme el cero se aleja del origen.

5,2,1,5.0,2.0,1.0)1(

1)( 3 =+−= α

α s

s sG (4.17)

Para estos experimentos, el FLC mostró resultados aceptables para los casos enqueα < 1. Cuandoα > 1 la mejor sintonización que el algoritmo de búsqueda encontróes sintonizark 1 = 0 yk 2 = 0. Con esta sintonización el controlador no toma parte de laacción de control y el sistema es equivalente al lazo abierto.



114

Caso 1 α = 0.1 ecuación 4.17






115




IAE 163.75 114.27 149.56 105.34 114.80 105.34 ISE 293.12 206.46 213.54 206.34 210.41 206.34

ITAE 338.05 195.01 641.25 127.61 165.50 127.61 ITSE 408.06 189.91 270.14 184.86 197.90 184.86 IAC - 128.12 429.50 129.36 118.08 129.36

t s 8.65 10.30 - 4.05 6.45 4.05t r 4.20 1.70 1.70 2.10 2.70 2.10


4.4.4 Sistemas con tiempo muerto

Para este caso, se contemplaron sistemas de primer y segundo orden. En ambos casos, elcomportamiento es similar. El controlador difuso no logra respuestas satisfactorias paravalores deT < 1; sin embargo, el desempeño mejora conformeT se incrementa.

Para los casos dondeT < 1 la sintonización recomendada por el experimento esk 1 = 0 y k 2 = 0 , situación en la que el controlador no entra en acción y el sistemaequivale a uno en lazo abierto. Esto quiere decir que no se encontró una respuesta pormedio del FLC que tuviera un tiempo de establecimiento menor que el del lazo abierto.

A continuación, se muestran resultados para ambos órdenes conT = 2, este es elprimer valor deT , para el cual el controlador difuso consigue mejorar la respuesta con



116

respecto al lazo abierto. ParaT = 5 y T = 10, sin importar el orden del sistema seconsiguen mejores resultados aunque no son mostrados.

Primer orden.

10,5,2,5.0,2.0,1.0,01

1)( =+

= − T e sT

sG s (4.18)

Caso 1 T = 2 ecuación 4.18





117






118

[k 1 ,k 2 ] [0.30,0] [0.50,0.1

Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS IAE 151.18 109.54 148.81 102.28 94.44 88.13 ISE 253.28 186.20 203.94 200.54 180.06 177.88

ITAE 322.90 208.45 531.86 119.17 110.86 88.05 ITSE 312.87 154.89 281.20 171.47 136.04 129.42 IAC - 73.55 354.20 51.17 100.55 117.70

t s 10.25 11.30 - 4.10 5.95 4.10t r 4.40 2.40 2.95 2.05 2.30 1.45


Segundo orden.

10,5,2,5.0,2.0,1.0,0)1(

1)( 2 =+

= − T e sT

sG s (4.19)

Caso 2T = 2ecuación 4.19




119






120


[k 1 ,k 2 ] [0.60,0.05] [0.60,0.25] [0.60,0.05]

Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS IAE 251.35 166.22 215.50 151.35 168.29 151.35 ISE 440.80 306.72 317.48 305.89 313.44 305.89

ITAE 825.5 418.7 1272.3 253.7 348.8 253.7 ITSE 938.43 410.51 564.08 401.70 436.71 401.70 IAC - 152.76 574.11 209.90 187.36 209.90

t s 14.30 15.40 - 5.50 8.70 5.50t r 6.70 2.50 2.45 2.65 4.05 2.56


4.4.5 Modo rápido y lentoLa dinámica de este sistema, presenta una constante de tiempo rápidaT = 1, paraganancias pequeñas ( K = 1) y constante de tiempo lentaT = 20 para altas ganancias( K = 10). Se dice que es difícil de sintonizar este tipo de sistemas usando las técnicasbasadas en el escalón debido a la dificultad para estimar su ganancia y constante detiempo.

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

++

++=

5.05.0

11

)10(100)( 2 s s s

sG (4.20)

Para el caso concreto del FLC, se tuvo que utilizar el esquema de control directo

ya que en lazo abierto la respuesta no se establece en la referencia. Además paracalcular los rangos del cambio del error, se utilizó el sistema con retroalimentaciónunitaria.




121

Figura 4.56Superficie Mixta

Una de las consecuencias que se observó al utilizar el esquema de control directoes que ocasiona un pequeño error en estado estable, contrario a lo que sucede con losotros esquemas, donde el error es cero.


Es de resaltar que la acción de control no se establece en cero; es decir, que elcontrolador efectivamente reconoce que el error existe y genera una señal de control; sinembargo, no proporciona la suficiente energía para eliminar dicho error.

Con lo anterior se puede pensar que para casos especiales como éste, esnecesario hacer una ajuste al controlador. En este caso, ajustes que lograsen hacerlo másagresivo, como considerar un rango a la salida mayor, modificar la matriz de reglas, oagregar algún artilugio de control que compense este error.

La primera opción que se debería probar como trabajo futuro es modificar lamatriz de reglas, ya que las reglas que aquí se utilizan fueron propuestas a partir de unsistema estable, sub-amortiguado y de segundo orden. Este sistema presentacaracterísticas específicas que podrían cambiar algunas reglas.



122




IAE 7146 39.77 56.79 52.36 52.36 52.36 ISE 103620 45 48 54 54 54

ITAE 135700 191 361 309 309 309 ITSE 2179387 13 31 27 27 27 IAC - 1323 1329 1307 1307 1307

t s - 1.55 7.85 1.55 1.55 1.55t r 0.75 0.40 0.35 0.85 0.85 0.85

%OS 774 4.30 18.50 0.06 0.06 0.06Tabla 4.24Resultados del experimento

4.4.6 Sistema condicionalmente estable

Un sistema condicionalmente estable es inestable cuando su ganancia supera unaganancia crítica, el problema con estos sistemas es muy fácil llevarlos a la inestabilidadsi la acción de control es muy grande, se probó con la planta (4.21).

)36()1()6()( 2

2

+++=

s s s s

sG (4.21)

Como otros sistemas, este no se establece en el valor de la referencia en lazoabierto, por lo que se utiliza el esquema de control directo. Además, para el cálculo delcambio del error se utiliza el sistema en lazo cerrado



123


En la (figura 4.59) se aprecia para la superficie de tiempos de establecimientoque la zona donde el sistema se estabiliza es muy pequeña en comparación con lassuperficies que vimos con otros sistemas. Aprovecharemos la curiosa forma de estasuperficie para abordar lo que podría ser un trabajo futuro.

En la (figura 4.59a), se aprecia una franja con distintos valores de tiempo deestablecimiento. Los valores no presentes corresponden a respuestas donde el tiempo desimulación fue menor que el tiempo de establecimiento o bien el sistema se tornóinestable.

Si esta figura se analiza en conjunto con la 4.59b, correspondiente a la superficiede sobre-impulsos, se puede deducir que los valores de la izquierda de la superficie no

se establecen por presentar sobre-impulsos, mientras que los valores de la derecha nisiquiera alcanzan a la referencia.

Interprétese lo anterior como la transición que existe en una planta de segundoorden donde se varía la tasa de amortiguamientoξ de tal manera que se lleva el sistemade sub-amortiguado a sobre-amortiguado.

Se propone como trabajo futuro ahondar en el tema. Cómo se relaciona viajardel punto (1,0) al (0,1) para algún tipo de sistema con lo que sucede en una planta desegundo orden cuando se va deξ = 0 aξ > 1.



124


Sólo se establece la respuesta del FLC, el lazo abierto sale del espacio graficado,mientras que el PID aparenta que en algún momento se estabilizará, pero mucho másallá de los 10 segundos.


La acción de control del FLC, es mucho más agresiva que la del PID; sinembargo, la del FLC presenta un comportamiento que no es muy deseado después delos primeros 4 segundos, y es que para mantener a la respuesta establecida en 2.5requiere de una serie de transiciones que usualmente dañan a los actuadores.



125



[k 1 ,k 2 ] [0.90,1] [0.80,0.65] [0.90,1]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 1423.1 170.8 162.3 93.9 89.6 93.9 ISE 16333 244 233 179 162 179

ITAE 10203 562 491 103 99 103 ITSE 132490 450 380 150 130 150

IAC - 452.50 465.44 462.00 471.96 462.00t s - - - 3.55 5.30 3.55t r 1.50 3.60 3.55 2.05 2.25 2.05

%OS 725.59 25.66 19.51 1.41 0.02 1.41Tabla 4.26Resultados del experimento

4.4.7 Sistema oscilatorio

Se dice que los sistemas como éste, que presentan una tasa de amortiguamiento tanpequeña, no son buenos candidatos para los controladores PID, lo cual se aprecia en losgráficos.

10,5,2,1,1.0)2)(1(

)( 0200

2

20 ==

+++= ω ζ

ω ζω ω

s s s sG (4.22)

Por otra parte se señala que cuandoω 0 = 10 el sistema es más sencillo decontrolar. El FLC logra en todos los casos mejorar el tiempo de establecimiento.

Para estos sistemas se empleó el esquema directo con cálculo del cambio delerror mediante un sistema de lazo cerrado. Los resultados son satisfactorios.



126

Caso 1 ω 0 = 1 ecuación 4.20


Figura 4.64Superficie Mixta




127



[k 1 ,k 2 ] [0,0.45] [0.40,0.65] [0,0.45]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 221.16 481.44 589.04 127.43 143.66 127.43 ISE 280.5 1049.8 1744.2 208.1 203.6 208.1

ITAE 1090.8 4111.3 5210.4 264.8 371.4 264.8 ITSE 775 9984 17466 214 260 214 IAC - 639.2 1008.6 81.3 186.8 81.3

t s - - - 10.65 13.75 10.65t r 1.50 1.20 1.15 2.30 4.45 2.30

%OS 48.95 124.67 86.52 0 0 0Tabla 4.28Resultados del experimento



128

Caso 2 ω 0 = 10 ecuación 4.20






129


Controlador K T i T d PID (CHR) 2.8345 0.0714 0.6733PIDAW(ZN) 5.6691 0.0714 0.2858


[k 1 ,k 2 ] [0.05,0] [0.05,0] [0.05,0]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 54.62 122.36 201.32 38.91 38.91 38.91 ISE 75.85 176.11 540.09 57.58 57.58 57.58

ITAE 52.22 392.66 677.08 25.04 25.04 25.04 ITSE 35.61 555.78 1992.25 17.99 17.99 17.99 IAC - 295.08 478.18 16.02 16.02 16.02

t s 4.75 - - 3.55 3.55 3.55t r 2.05 0.35 0.70 1.40 1.40 1.40


4.4.8 Sistemas con acción integral

Una vez más nos encontramos con sistemas que no se establecen en lazo abierto, denuevo se emplea el esquema de control directo logrando buenos resultados.

Las plantas prueba aquí presentadas, se han conseguido mediante la adición deun integrador a diferentes ecuaciones antes utilizadas.



130

Caso 1.n = 2 ecuación 4.15 más integrador






131



[k 1 ,k 2 ] [0.55,0.15] [0.40,0.25]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 1328 185 173 91.4 143 91.5 ISE 14428 285 269 169 262 168

ITAE 9531 593 503 110 248 113 ITSE 117728 536 436 128.7 328 128.6

IAC - 449 462 501 452 504t s - - - 2.80 5.30 2.90t r 1.55 3.80 3.85 1.70 3.55 1.80

%OS 695 28 18 4 0.1 0.6Tabla 4.32Resultados del experimento



132

Caso 2α = 0.1 ecuación 4.16 más integrador






133



[k 1 ,k 2 ] [0.95,0.60] [0.40,0.05]Sistema Lazo Abierto PID PID AW FLC T FLC OS FLC T+OS

IAE 2037 139 120 76 127 67 ISE 29186 171 161 120 208 124

ITAE 15922 492 307 131 223 54 ITSE 255844 271 184 73 232 73 IAC - 511 521 531 502 523t s - - 8.10 2.10 5.65 2.35

t r 1.25 2.65 2.40 1.50 4.00 1.60%OS 883 17.5 19.2 4.6 0 0.2


4.5 Resumen de las pruebas

Debido al gran número de tablas y gráficos que se generaron en estos experimentos seha incluido la (tabla 4.35). Dicha tabla muestra cual controlador presentó el mejor

resultado para cada característica evaluada y para cada uno de los experimentos aquí mostrados.

Se compararon sólo los resultados de las respuestas que se graficaron; es decir,PID ideal o PIDAW el que resultara con menor tiempo de establecimiento contra elFLCT+OS. En la tabla se nombra aquel que obtuvo un menor valor para cada índice ocaracterística.



134

Tómese en cuenta que es condición de los experimentos no conocer el modelomatemático del sistema a controlar, por lo que existen varias metodologías desintonización que quedarían fuera de comparación.

Sección Tipo Caso IAE ISE ITAE ITSE IAC t s t r %OS 4.2.1 Segundo Orden Sobre-Amortiguado PID PID FLC PID FLC FLC PID FLC4.2.2 Segundo Orden Sub-Amortiguado FLC PID FLC FLC FLC FLC PID FLC

4.3 No Lineal Único FLC FLC FLC FLC PID FLC FLC FLC4.4.1 Múltiples Polos Iguales n = 2 PID PID FLC PID FLC FLC PID FLC4.4.1 Múltiples Polos Iguales n = 3 FLC PID FLC FLC FLC FLC PID FLC4.4.1 Múltiples Polos Iguales n = 4 FLC PID FLC FLC PID FLC PID FLC4.4.2 Cuarto Orden α = 0.1 FLC FLC FLC FLC FLC FLC PID FLC4.4.3 Cero en el Semiplano Negativo n = 4 FLC FLC FLC FLC PID FLC PID FLC4.4.4 Tiempo Muerto Primer Orden FLC FLC FLC FLC PID FLC FLC FLC4.4.4 Tiempo Muerto Segundo Orden FLC FLC FLC PID PID FLC PID FLC4.4.5 Modo Rápido y Lento Único PID PID PID PID FLC PID PID FLC4.4.6 Condicionalmente Estable Único FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC4.4.7 Oscilatorio ω = 1 FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC4.4.7 Oscilatorio ω = 10 FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC4.4.8 Acción Integral 1 FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC FLC4.4.8 Acción Integral 2 FLC FLC FLC FLC PID FLC FLC FLC

Tabla 4.35Resumen de los experimentos

Lo primero que salta a la vista es que el FLC logra los menores valores deporcentaje de sobre-impulso (%OS) en todos los casos. Es notable la superioridad delFLC para mitigar el sobre-impulso. Esta característica se obtiene gracias al criterio desintonización de dos ganancias que se utilizó.

En segundo lugar, nótese que el tiempo de levantamiento,t r , obtiene lassituaciones más rápidas para el PID. Esto era de esperarse, ya que si vemos las figurasreferentes a la acción de control, el PID se caracteriza por mantener saturado al actuadordurante más tiempo que el FLC.

Las fracciones de segundo de más que el PID mantiene saturado al actuador sonlas que provocan el sobre-impulso presente en casi todas las respuestas del PID; esto a

pesar de emplear un par de técnicas para reducirlo. El FLC no tiene ningún problemacon reducir al máximo el sobre-impulso en los ejemplos.

En cuanto al tiempo de establecimiento, se nota un dominio casi total del FLC,claro, debido a que el criterio de sintonización consideraba reducirlo lo más posible sinprovocar sobre-impulso.

En algunas de las tablas resultantes de las pruebas donde se probó con trescriterios diferentes, se puede apreciar como para la sintonización FLCT se lograntiempos de establecimiento menores que en FLCT+OS, pero presentan un poco más desobre-impulso.

Considérese en los últimos casos que el controlador PID no pudo ser sintonizadomediante nuestro algoritmo, sería apropiado verificar cuál es la mejor forma desintonizar un controlador PID para cada una de estas plantas prueba. Es por esto que senota una supuesta superioridad del FLC en estos casos.

Si sólo se toman en cuenta los resultados de las secciones 4.2 a la 4.6 para haceruna comparación más justa, se tiene que el FLC es mejor en 37 de los 55 criterios, loque equivale al 67%. Esto muestra que el ASSCD otorga un controlador bastantecompetitivo.



135

Resalta la superioridad del FLC en el caso de los índices que involucran al

tiempo como el ITAE e ITSE. Esto refiere que más allá de establecer la respuesta al 1%antes que el PID, logra que el error sea menor a través del tiempo.

Como trabajo futuro se debe comparar el desempeño de controladores PID y

FLC diseñados para minimizar alguno de estos criterios de desempeño utilizando; porejemplo, las sintonizaciones de la sección 3.3.7.

Hasta este momento se han destacado las características del FLC sobre el PID.Esto no quiere decir que sea mucho mejor que el PID, ya que el PID cuenta con muchasvariantes complementarias donde seguramente existe alguna opción que supere estosresultados. Lo que sí es un hecho, es que el conocer estas opciones implica un altoconocimiento de la teoría de control y una especialización puntual en PID. La ventajadel ASSCD, es que una vez implementado, se puede sintonizar de una manera sencilla,intuitiva y con sólo dos parámetros que sintonizar.

Más aún, estos dos parámetros, se encuentran profundamente ligados acaracterísticas físicas de la respuesta. El primero,k 1, controla los rangos de lasfunciones de pertenencia del error, con lo que rige el tiempo de establecimiento delsistema. Por su parte,k 2, controla los rangos de las funciones de pertenencia del cambiodel error, con lo que rige la agresividad de respuesta; es decir, del sobre-impulso.

La sencillez de la metodología se muestra de forma más amplia en la sección 4.6con una simulación práctica.

4.6 Sintonización práctica

En todos los ejemplos anteriores, se realizaron simulaciones para obtener los mejoresfactores de sintonización. En la práctica, normalmente no se pueden realizarsimulaciones debido a la carencia de un modelo matemático, que es otra de lascaracterísticas con que cumple el controlador difuso [17] [50] [51], que no es necesarioel modelo matemático para diseñar el controlador.

Para nuestro caso, el controlador ya está diseñado desde el momento que seestableció la matriz de reglas de la (tabla 2.1) y cuando se predispusieron las formas yrangos de las funciones de pertenencia.

La aplicación del ASSCD consiste en sintonizar el controlador mediante lamodificación de los rangos de cada una de las funciones de pertenencia. A continuaciónse analizará cómo se realizaría esta sintonización. Se considera que de antemano se hancalculado los rangos para las variables de entrada.

Solo se deberán variar los factores de sintonizaciónk 1 y k 2 y en el sistema no sepermitirán sobre-pasos. La planta a controlar será la de (4.12) sin olvidar que en lapráctica no se conoce.



136

Para evitar el sobre-impulso en la respuesta se debe comenzar conk 2 = 1 que esla configuración que provoca los mínimos sobre-pasos y conk 1 = 0 que produce elmáximo tiempo de establecimiento. Con esta configuración se obtiene la respuesta de la(figura 4.79).

Figura 4.79Respuesta al escalón para la sintonización inicial.

Posteriormente se aumentak 1 hasta encontrar la respuesta más rápida antes deencontrar sobre-impulso. En este caso se encontró parak 1 = 1 que representa el valormáximo posible para nuestra sintonización.

Figura 4.80Proceso de sintonización para la variable de entrada error.

Una vez elegido el factor de sintonizaciónk 1, debemos sintonizark 2. Para haceresto, se procede a disminuir dicho factor poco a poco, provocando tiempos delevantamiento cada vez menores; es decir, subidas con pendientes más rápidas, hasta



137

obtener la respuesta más conveniente. Cuidando de no encontrar sobre-impulso, si elhecho de producirlo puede poner en peligro la integridad del sistema.

Es recomendable usar una señal de referencia menor al límite, en caso de queaccidentalmente se sobrepasara. Se encontrók 2 = 0.9 sin presencia de sobre-impulso yk 2 = 0.8 con un sobre-impulso casi insignificante.

El resultado se muestra en la (figura 4.81). Esta sintonización se puedecorroborar con su cálculo por medio de simulación presentado en la sección 4.2.

Figura 4.81Proceso de sintonización para la variable de entrada cambio del error.

En este capítulo se aprecia como el Controlador Difuso (FLC), es capaz decontrolar plantas lineales de segundo orden, mostrando un desempeño aceptable,haciendo más rápida la dinámica del sistema al mejorar su tiempo de establecimiento.Aunque el tiempo de subida es menor que con los controladores clásicos, el sobre-impulso se puede mitigar por completo logrando un tiempo de establecimiento menor.

Contrario a lo que se menciona en [52], el controlador difuso tiene lacaracterística inherente de reducir el error en estado estable por completo, siempre quela sintonización sea correcta, sin la necesidad de un término integral, como lo hace elPID. Además se debe considerar que las funciones de pertenencia deben ser como seproponen en ASSCD, triangulares, donde la suma de las funciones para cada punto en eldominio X sea igual a la unidad.

El controlador difuso sintonizado por medio de ASSCD, sólo requiere de lasintonización de dos factores de forma completamente intuitiva, contrario a lo queocurre con la sintonización de controladores PID donde se requiere de la sintonizaciónde al menos tres factores.

Con la utilización del ASSCD en conjunto con el método propuesto en lasección 2.2 para la elección de los rangos y la matriz de reglas propuesta de la (tabla



138

2.1), se puede sintonizar de forma práctica un controlador difuso, sin la necesidad delmodelo matemático y con la ventaja de que se puede evitar el sobre-impulso durante lasintonía.



139

ConclusionesLa sintonización de controladores es un área de gran aplicación en la industria.

Sin duda, tener un controlador no sintonizado es igual que no tenerlo o en algunoscasos con un comportamiento peor que el lazo abierto. El tener técnicas accesibles desintonización de controladores permite que el usuario tenga mucho más flexibilidad y,en ciertos casos, mayor rentabilidad para poder tener un sistema que se comporte concriterios muy específicos que demande la línea de producción. En este documento sepropuso y analizó en detalle la forma en que se pueden sintonizar controladores PID ycómo es posible de una manera muy simple e intuitiva, sintonizar controladores difusos.

También, este documento podrá servir como referencia en su primer capítulopara aquel que quiera dar sus primeros pasos en el control difuso, gracias a un resumenque integra las características básicas de la lógica difusa y el control difuso.

En el segundo capítulo se mostró el algoritmo de sintonización propuestoASSCD. En esta sección se describió cómo es posible utilizar los límites naturales delsistema para obtener los rangos máximos de las funciones de pertenencia del error y laderivada del error. Esto es muy importante porque reduce la cantidad de parámetros quese tienen que sintonizar. En este parte se propone un nuevo polinomio mucho mássencillo que el del modelo original que permite tener mayor flexibilidad en los rangos eincluye el caso de inhibir el controlador. También en este capítulo se hace unadescripción muy detallada de la forma en que se generó la matriz de reglas. Esteprocedimiento se puede utilizar como metodología para obtener una matriz de reglas enfunción de una dinámica en particular.

En el tercer capítulo se muestra un resumen muy valioso de las técnicas desintonización PID más importantes cuando no se cuenta con el modelo matemático. La

importancia de este capítulo radica en el hecho de que existen pocos documentos en laliteratura que hagan una recapitulación de algoritmos de sintonización sobre PID’s.

Finalmente, el cuarto capítulo proporciona una serie de resultados que serviráncomo precedente para futuras investigaciones. Se incluyen resultados sobre plantas desegundo orden, no lineales y una familia de plantasbenchmark . Al final de dichocapítulo se presenta el método adecuado para utilizar el ASSCD en campo, mostrandosu sencillez mediante un ejemplo práctico. Se muestran una serie de pasos muy



140

intuitivos para que un operador sin conocimientos en el área de control pueda hacer unasintonización adecuada.

Se consiguió un algoritmo de sintonización de FLC (ASSCD) más completo ymás simple que su predecesor. Dicho algoritmo, proporciona controladores difusos conun desempeño muy aceptable para diversas plantas como se mostró en el capítulo 4.

El ASSCD en este documento se ve dotado de un segundo parámetro desintonización que afecta directamente el porcentaje de sobre-impulso, mientras que elprimer parámetro de sintonización regula directamente el tiempo de establecimiento.

Se incluye al ASSCD una metodología para encontrar los rangos de lasfunciones de pertenencia, antes inexistente.

El algoritmo propuesto genera controladores de criterio variable; es decir, queprevio a la sintonización, se puede seleccionar el criterio con el que se sintonizará, comoes minimizar el tiempo de establecimiento o minimizar el IAE.

Los FLC’s basados en el ASSCD, son muy sencillos de sintonizar, ya que sólotiene dos parámetros de sintonización y cada uno está ligado de forma proporcional ados características físicas relevantes del desempeño del controlador, el tiempo deestablecimiento y el porcentaje de sobre-impulso.

El controlador PID, es un controlador con una gran historia en la industria. Másallá de las dificultades para vencer su magnífico desempeño, existe el desafío desustituirlo en los procesos industriales. Una vez que se vence al PID en algunacaracterística, o se le encuentra alguna falla, será muy probable encontrar alguna técnicaaplicable al PID que contrarreste la falla y le devuelva al PID su buen desempeño. Estono lo convierte en un controlador invencible; por el contrario, en los casos donde elFLC no demuestra un buen desempeño, se pueden buscar técnicas similares. Porejemplo, para los sistemas con tiempo muerto en ambos casos se podría implementaralguna técnica de predicción.

Se identifican además, varias líneas de investigación que se pueden seguir apartir de este trabajo y se mencionan a continuación:

Al observar las superficies generadas por las matrices T, OS y la matriz mixta seidentifican varios puntos contiguos donde establece el sistema en tiempos mínimos muysimilares y sin sobre impulso. Estos puntos conforman una especie de cuenca en lamatriz mixta. Debe existir alguna relación entre este patrón y la matriz de reglas

En estos trabajos se sintonizan las funciones de pertenencia del lado de laentrada del FLC; sin embargo, también son sintonizables las funciones de pertenenciade la salida. Es posible que este tercer parámetro trabaje sobre el tiempo delevantamiento del sistema.

El ASSCD puede ser implementado como se muestra en este documento; sinembargo, sería de utilidad integrar una función de autosintonía, que trabaje sobre estosdos parámetros. Habrá que desarrollarlo e implantarlo y de ser útil deberá trabajartambién sobre el tercer parámetro mencionado en el párrafo anterior.



141

Es importante realizar pruebas de estabilidad sobre estos controladores; es decir,

formalizar su estabilidad.

Una extensión de este trabajo podría ser profundizar en cada una de las plantasprueba aquí mencionadas. Se utilizó el mismo algoritmo para todas las plantas, tanto

para el PID como para el FLC. Se deberán buscar las mejores técnicas de controlpublicadas para cada caso y contra estas comparar al FLC que genere el ASSCD.

Se puede profundizar en modificaciones que puedan mejorar el desempeño delFLC, como pueden ser, aplicar esquemas de control diferentes, o buscar matrices dereglas que se adapten mejor para cada tipo de planta.



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[42] López, A.M.Tuning Controllers With Error-Integral Criteria , Instrumentation Technology,Noviembre 1967; 14-11:~.

[43] Rovira, A.A.Tuning Controllers for Setpoint Changes , Instruments & Control Systems, Diciembre1969; 42-12:~.

[44] K.J. Aström , T Hagglund. Advanced PID Control , Department of Automatic Control, Lund Instituteof Technology, Lund University, 2006.

[45] D. Xue, Y. Chen, D.P. Atherton. Linear Feedback Control: Analysis and Design with MATLAB®(Advances in Design and Control) . Society for Industrial and Applied Mathematics, 2008; 183-235.

[46] L.F. Rojas.Controladores PID comerciales. IE-0502 Proyecto Eléctrico, Universidad de Costa Rica,2007; 14-17

[47] A. Visioli. Practical PID Control (Advances in Industrial Control). Springer. 2006; 35-60

[48] Gomez, Ikonen, Lofti, Learning Control for Nonlinear Systems , La Salle University - México,University of Oulu – Finland, IUT Paul Sabatier University –France.

[49] KJ Åström , T Hagglund. Benchmark Systems for PID Control , Department of Automatic control,Lund University, Sweden.

[50] Antovski, Stankovski, Gugulovska, Dimirovski, Fuzzy Control Systems for Thermal Process:Sinthesys, desing and implementation. Journal of Electrical & Electronics Engenieering, 2005; 3-1:759-773.

[51] H,Ying. Practical design of nonlinear fuzzy controllers with stability analysis for regulating processes with unknown mathematical models, Automatica ; 30-7:~.

[52] Pedyscz, Witold, Fuzzy control and fuzzy systems , Electronic & electrical engineering researchstudies. 1953 ; 171.



145

ApéndiceA continuación se muestra el código en MATLAB ® que fue utilizado para realizar todoslos experimentos, tanto para sintonizar el PID como el FLC.

Primero el programa general ASSCD.m, que contiene llamadas a otros programas yfunciones que se muestran en este mismo apéndice. La modularidad del código, permitesustituir un bloque de código por otro. Por ejemplo, cambiar la forma en que se busca lasolución o cambiar las funciones con las que se sintoniza el PID.

ASSCD.m

%ASSCD%ALGORITMO SIMPLE PARA SINTONIZACION DE CONTROLADORES DIFUSOS

close allclear alltic

%CARGA LOS DATOS DE ENTRADA DEL EXPERIMENTODATOS

% SELPLAN.M (CODIGO QUE SELECCIONA LA PLANTA PRUEBA)SELPLAN

% DIVERSOS CALCULOS SOBRE LA CURVA DE REACCIONCURVA

% SELECCIONAR MODELO EN SIMULINK ® PARA SIMULAR[modelo,modrang] = selmod(caso,int);

%SELECCIONA LOS RANGOS DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIARANGOS

%CALCULA LOS PARAMETROS DE LOS CONTROLADORES PIDCALCULAPID

%GENERA SUPERFICIES DE TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO Y SOBREIMPULSO%DEL CONTROLADOR DIFUSO%PARA LOS DIFERENTES VALORES PRUEBA DE K1 Y K2EXPERIMENTO

%SELECCIONA K1 Y K2 SEGÚN CRITERIO, SIMULA, MUESTRA RESULTADOSSOLUCION

%IMPRIME GRAFICOSIMPR

Toc



146

DATOS.m

% CARGAR LA MATRIZ DE REGLASrulemat='regcen';

% SELECCIONA LA AMPLITUD DEL ESCALÓN

escalon = 2.5;

% SELECCIONA EL TIEMPO DE MUESTREOTs = 0.05;

% SELECCIONAR PLANTAcaso = 10;subcaso = 0.1;int = 0;

% SELECCION DEL NOMBRE CON EL QUE SE GUARDARÁN LOS RESULTADOSif subcaso<1

filename=['caso' '_' int2str(caso) '-' int2str(subcaso*100)];else

filename=['caso' '_' int2str(caso) '-' int2str(subcaso)];end

% ESCALÓN MÁXIMO PARA CÁLCULO DE RANGOSif caso ~=13

max_escalon = 5;end

% ZONA DONDE SE CONSIDERA ESTABLECIDA LA RESPUESTAumbral=.05;

% ENTRE tun2, DETERMINA LOS VALORES DE k1 Y k2 PARA EL CALCULOtun1 = 0;tun2 = 5;

% AJUSTE AL TIEMPO DE SIMULACION% >1 SI FLC o PID sean más lentos que OLfactor = 3;



147

SELPLAN.m

switch casocase {0} %SEGUNDO ORDEN

if subcaso == 1wn = 1.473;zeta = 0.3;

else wn = 0.9;zeta = 1.2;

end

n = wn^2;

if int == 0d = [1 2*zeta*wn wn^2];

elsed = [1 2*zeta*wn wn^2 0];

end

%BENCHMARKS

case{1}%Caso 1 Sistema con múltiples polos igualeswn=caso; %solo ayuda a definir filenamezeta=subcaso; % 3 %Orden del polinomio.n = 1;if int == 0

d = [1 1];else

d = [1 1 0];endfor i=2:zeta

d = conv([1 1],d);end

case{2}%Caso 2 Sistema de cuarto ordenwn = caso;zeta = subcaso; %0.2 y 0.5s = tf('s');alpha = zeta;n = 1;if int == 0

den = (1+s)*(1+alpha*s)*(1+alpha^2*s)*(1+alpha^3*s);else

den = (s)*(1+s)*(1+alpha*s)*(1+alpha^2*s)*(1+alpha^3*s);endd=den.num{1,1};

case{3}

%Caso 3 Sistema con Cero en el Semiplano Derechown = caso;zeta = subcaso; %.2(PID)alpha = zeta;s = tf('s');n = [-alpha 1];if int == 0

d = [1 3 3 1];else

d = [1 3 3 1 0];end



148

case{4}

%Caso 4 Sistema de primer orden con tiempo muertown = caso;zeta = subcaso; %10, 5 Revisar con Wind.mT = zeta;s = tf('s');n = 1;if int == 0

den = (1+s*T);else

den = s*(1+s*T);endd = den.num{1,1};

case{5}%Caso 5 Sistema de segundo orden con tiempo muertown = caso;zeta = subcaso; %10, 5, 2T = zeta;s = tf('s');n = 1;if int == 0

den = (1+s*T)^2;else

den = s*(1+s*T)^2;endd = den.num{1,1};

case{6}%Conduccion de Calor%No lo sabemos implementar

case{7}%Modo rápido y lentozeta = subcaso; %Solo para generar filename

wn = caso; %Solo para generar filenamep1 = tf(100,[1 20 100]);p2 = tf(1,[1 1]);p3 = tf(0.5,[1 .05]);G = p1*(p2+p3);n = G.num{1,1};d = G.den{1,1};

case{8}%Sistema condicionalmente establezeta = subcaso; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filenameG =tf([1 12 36],[1 38 73 36 0]);n = G.num{1,1};d = G.den{1,1};

case{9}%Sistema oscilatoriown = caso;zeta = subcaso; %1w0 = zeta;damping = 0.1;s = tf('s');n = w0^2den = (s+1)*(s^2+2*damping*w0*s+w0 2̂);d = den.num{1,1};



149

case{10}%Sistema inestablezeta = subcaso; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filenamen = 1;d = [1 0 -1];

case{11}%Caso 11 Integrador en (4) Sistema de primer orden con tiempo

muertown = caso;zeta = subcaso; %10, 5 Revisar con Wind.mT = zeta;s = tf('s');n = 1;den = s*(1+s*T);d = den.num{1,1};

case{12} %Sistema de "The Design of the PID Controller"n =[10000];d =[1 126 2725 12600 10000];zeta = subcaso; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filename

case (13)hd=escalon/10;ki=34.77;hi=0;r=10;teta=pi/3;escalon = ki*sqrt(hd);max_escalon = ki*sqrt(hd*2);zeta = hd; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filename

case (14)zeta = caso;wn = caso;

otherwisedisp('Falta seleccionar Planta')

end



150

CURVA.m

if caso<13Planta=tf(n,d);%Complemento de casos 4 y 5if caso > 3 & caso <6

Delay = 1;

Planta.iodelay = Delay;elseDelay = 0;

endif caso==7

[ye te] = step(Planta,300);else

[ye te] = step(Planta);end

[npd dpd] = c2dm(Planta.num,Planta.den,Ts,'zoh');PlantaZ = tf(npd,dpd,Ts);

if caso > 3 & caso <6

PlantaZ.iodelay = Delay/Ts;elseDelay = 0;

endelse

if caso == 13tiempo = hd*250;sim curva_reaccion.mdlye = out_ol_conico;te = [0:Ts:tiempo]';site = size(te);tinn = te./te;tinn(1,1)=1;

% tinn = [te [escalon*tinn(1:floor(site(1)/2))'escalon*0.98*tinn(floor(site(1)/2)+1:site(1))']'];

p_A=1;p_B=.75;p_C=1.1;p_D=.5;tinn = [te [escalon*p_A*tinn(1:floor(site(1)/4))'

escalon*p_B*tinn(floor(site(1)/4)+1:floor(2*site(1)/4))'escalon*p_C*tinn(floor(2*site(1)/4)+1:floor(3*site(1)/4))'escalon*p_D*tinn(floor(3*site(1)/4)+1:site(1))']'];

elsetiempo = 5;

% max_escalon = 5;sim curva_reaccion_NL.mdlye = out_ol_NL;te = [0:Ts:tiempo]';

endend

tiempo = ceil(factor*max(te));



151

selmod.m

function [modelo,modrang] = selmod(caso,int)

if caso == 13modelo = 'ASSCD_conico';modrang = 'rangos_OL_conico';

else if caso == 14modelo = 'ASSCD_NL';modrang = 'rangos_OL_NL';

elseif int == 1 | caso==7 | caso==10

modelo = 'ASSCD_D';else

modelo = 'ASSCD';endif caso == 8 | caso == 7 | int == 1 | caso==10

modrang = 'rangos_CL';else

modrang = 'rangos_OL';

endendend



152

RANGOS.m

switch casocase {0} %SEGUNDO ORDEN

if subcaso == 1wn = 1.473;zeta = 0.3;

else wn = 0.9;zeta = 1.2;

end

n = wn^2;

if int == 0d = [1 2*zeta*wn wn^2];

elsed = [1 2*zeta*wn wn^2 0];

end

%BENCHMARKS

case{1}%Caso 1 Sistema con múltiples polos igualeswn=caso; %solo ayuda a definir filenamezeta=subcaso; % 3 %Orden del polinomio.n = 1;if int == 0

d = [1 1];else

d = [1 1 0];endfor i=2:zeta

d = conv([1 1],d);end

case{2}%Caso 2 Sistema de cuarto ordenwn = caso;zeta = subcaso; %0.2 y 0.5s = tf('s');alpha = zeta;n = 1;if int == 0

den = (1+s)*(1+alpha*s)*(1+alpha^2*s)*(1+alpha^3*s);else

den = (s)*(1+s)*(1+alpha*s)*(1+alpha^2*s)*(1+alpha^3*s);endd=den.num{1,1};

case{3}

%Caso 3 Sistema con Cero en el Semiplano Derechown = caso;zeta = subcaso; %.2(PID)alpha = zeta;s = tf('s');n = [-alpha 1];if int == 0

d = [1 3 3 1];else

d = [1 3 3 1 0];end



153

case{4}

%Caso 4 Sistema de primer orden con tiempo muertown = caso;zeta = subcaso; %10, 5 Revisar con Wind.mT = zeta;s = tf('s');n = 1;if int == 0

den = (1+s*T);else

den = s*(1+s*T);endd = den.num{1,1};

case{5}%Caso 5 Sistema de segundo orden con tiempo muertown = caso;zeta = subcaso; %10, 5, 2T = zeta;s = tf('s');n = 1;if int == 0

den = (1+s*T)^2;else

den = s*(1+s*T)^2;endd = den.num{1,1};

case{6}%Conduccion de Calor%No lo sabemos implementar

case{7}%Modo rápido y lentozeta = subcaso; %Solo para generar filename

wn = caso; %Solo para generar filenamep1 = tf(100,[1 20 100]);p2 = tf(1,[1 1]);p3 = tf(0.5,[1 .05]);G = p1*(p2+p3);n = G.num{1,1};d = G.den{1,1};

case{8}%Sistema condicionalmente establezeta = subcaso; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filenameG =tf([1 12 36],[1 38 73 36 0]);n = G.num{1,1};d = G.den{1,1};

case{9}%Sistema oscilatoriown = caso;zeta = subcaso; %1w0 = zeta;damping = 0.1;s = tf('s');n = w0^2den = (s+1)*(s^2+2*damping*w0*s+w0 2̂);d = den.num{1,1};



154

case{10}%Sistema inestablezeta = subcaso; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filenamen = 1;d = [1 0 -1];

case{11}%Caso 11 Integrador en (4) Sistema de primer orden con tiempo

muertown = caso;zeta = subcaso; %10, 5 Revisar con Wind.mT = zeta;s = tf('s');n = 1;den = s*(1+s*T);d = den.num{1,1};

case{12} %Sistema de "The Design of the PID Controller"n =[10000];d =[1 126 2725 12600 10000];zeta = subcaso; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filename

case (13)hd=escalon/10;ki=34.77;hi=0;r=10;teta=pi/3;escalon = ki*sqrt(hd);max_escalon = ki*sqrt(hd*2);zeta = hd; %Solo para generar filenamewn = caso; %Solo para generar filename

case (14)zeta = caso;wn = caso;

otherwisedisp('Falta seleccionar Planta')

end



155

CALCULAPID.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% INICIA PID %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CALCULA LAS CARACTERÍSTICAS DE LA CURVA DE REACCIÓN[k,L,T] = getfod(ye,te);

% SELECCIONA EL PARÁMETRO N DEL CONTROLADOR PIDN = 10;

% CALCULA EL PID CON LA RECOMENDACIÓN CHR[PLANTAc,Kp,Ti,Td]=chr(3,1,[k,L,T,N,0]);P = Kp;D = Kp*Td;I = Kp/Ti;Tt = sqrt(Ti*Td);% CALCULA EL PID CON LA RECOMENDACIÓN ZN[PLANTAz,Kp_z,Ti_z,Td_z]=ziegler(3,[k,L,T,N]);P_z = Kp_z;D_z = Kp_z*Td_z;

I_z = Kp_z/Ti_z;Tt_z = sqrt(Ti_z*Td_z);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% TERMINA PID %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%if caso==13

P =7.2766;D= P*3.4140;I= P*0.1414;

P_z=14.5533;D_z=P_z*0.5656;I_z=P_z/0.1414;Tt_z=sqrt(0.5656*0.1414)

End



156

EXPERIMENTO.m

% CICLOS QUE CALCULAN CADA VALOR DE LA SUPERFICIEfor sftd = tun1:tun2

for sfte = tun1:tun2% SINTONIZA EL CONTROLADOR DIFUSO PARA k1 Y k2 DEL CICLOprueba = Vtun2(sfte/tun2,sftd/tun2,0.5,rulemat,[r_err

r_derr],r_sal,filename);% SIMULACIÓN DEL MODELO EN SIMULINK ® if caso==13

escalon = ki*sqrt(hd);sim(modelo);escalon = hd;

elsesim(modelo);

end

% a = size(out_flc);gts(sfte+1,sftd+1) = Ts*tmposbl(out_flc,escalon,umbral);if max(out_flc) < escalon*(1-umbral)

gos(sfte+1,sftd+1)=NaN;

else gos(sfte+1,sftd+1) = max(out_flc);end

endend



157

Vtun2.m

function matrix1 =Vtun2(ke,kde,kout,matriz,limites,limitoutput,filename)

%Ttun--> ParAmetros de Entrada%ke,kde,kout,matriz,limites,limitoutput,filename

%%CONSTANTES DE SINTONIZACIÓN:

%ke: Valor de la constante 'k' para el error.%kde: Valor de la constante 'k' para la derivada del error.%kout: Valor de la constate 'k' para la salida

%MATRIZ DE REGLAS:%matriz: Cadena que contiene el nombre del archivo *.fis% donde se almacenó la matriz de reglas original

%RANGOS DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA:%limites [lim_e lim_de] rangos del error y el cambio del error%limitoutput rango de la salida

%filename nombre del modelo difuso que genera%CÓDIGO:

% CARGO EL ARCHIVO INICIAL DE REGLAS PREVIAMENTE DEFINIDOmatrix=readfis(matriz);

% CARGO LOS PARAMETROS DEL SISTEMA DIFUSOgetfis(matrix,'InMFParams');

%%%%%%%%%CÁLCULO DEL POLINOMIO r(k)%%GOMEZ%%%%%%% re=(30*ke^3+37*ke^2+52*ke+1)/40; %%% rde=(30*kde^3+37*kde^2+52*kde+1)/40; %%% rout=(30*kout 3̂+37*kout^2+52*kout+1)/40; %%% r=[re rde rout]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%CÁLCULO DEL POLINOMIO r(k)%%ORTIZ%%%%re=4*ke.^2; %%rde=4*kde.^2; %%rout=4*kout.^2; %%r=[re rde rout]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% NÚMERO DE FUNCIONES DE PERTENENCIA (ni)ni=getfis(matrix,'NumInputMFs');

for i=1:length(ni)

% AJUSTE DE LA FUNCION DE PERTENENCIA DEL CENTROj=floor(ni(i)/2)+1;rango=getfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params');rango(3)=rango(3)^r(i);rango(1)=-rango(3);matrix=setfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params',rango);

% AJUSTE DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA DE AMBOS LADOS

% Ajuste de las funciones de pertenencia del lado positivofor j=ceil(ni(1)/2)+1:ni(1)-1



158

rango=getfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params');

matrix=setfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params',rango.^r(i));end

rango=getfis(matrix,'input',i,'MFLabels',ni(i),'Params');rango=[rango(1:2).^r(i) rango(3:4)];matrix=setfis(matrix,'input',i,'MFLabels',ni(i),'Params',rango);

% Ajuste de las funciones de pertenencia del lado negativofor j=ceil(ni(1)/2)+1:ni(1)-1

rango=getfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params');matrix=setfis(matrix,'input',i,'MFLabels',ni(i)-

j+1,'Params',sort(-rango));end

rango=getfis(matrix,'input',i,'MFLabels',ni(i),'Params');matrix=setfis(matrix,'input',i,'MFLabels',1,'Params',sort(-rango));

end

% AJUSTE DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA DE LA SALIDAno=getfis(matrix,'NumOutputMFs');

% AJUSTE DE LA FUNCION DE PERTENENCIA DEL CENTROi=floor(no/2)+1;rango=getfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params');rango(3)=rango(3).^r(3);rango(1)=-rango(3);matrix=setfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params',rango);

% AJUSTE DE LA FUNCION DE PERTENENCIA DEL LADO POSITIVOfor i=ceil(no/2)+1:no-1

rango=getfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params');

matrix=setfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params',rango.^r(3));endrango=getfis(matrix,'output',1,'MFLabels',no,'Params');rango=[rango(1:2).^r(3) rango(3:4)];matrix=setfis(matrix,'output',1,'MFLabels',no,'Params',rango);

% AJUSTE DE LA FUNCION DE PERTENENCIA DEL LADO NEGATIVOfor i=ceil(no/2)+1:no-1

rango=getfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params');matrix=setfis(matrix,'output',1,'MFLabels',no-

i+1,'Params',sort(-rango));endrango=getfis(matrix,'output',1,'MFLabels',no,'Params');matrix=setfis(matrix,'output',1,'MFLabels',1,'Params',sort(-rango));

% DEFINICION DE LOS RANGOS DEL ERROR Y LA DERIVADA DEL ERROR

rangoin=getfis(matrix,'InRange');for i=1:length(ni)

for j=1:ni(i)rango=getfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params');



159

matrix=setfis(matrix,'input',i,'MFLabels',j,'Params',rango*limites(i));

endrangoin(i,:)=rangoin(i,:)*limites(i);matrix=setfis(matrix,'input',i,'range',rangoin(i,:));

end

for i=1:norango=getfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params');

matrix=setfis(matrix,'output',1,'MFLabels',i,'Params',rango*limitoutput);end

rango=getfis(matrix,'OutRange');rango=rango*limitoutput;matrix=setfis(matrix,'output',1,'range',rango);

getfis(matrix,'InMFParams');

matrix1=matrix;matrix1=setfis(matrix1,'name',[matriz 'SFT']);

% GUARDA LA CONFIGURACION FINAL EN EL SISTEMA matrix1writefis(matrix1,[matriz 'SFT' filename]);% mfedit ([matriz 'SFT'])matrix1=readfis([matriz 'SFT' filename]);



160

regcen.fis

[System]Name='regcen'Type='mamdani'Version=2.0NumInputs=2

NumOutputs=1NumRules=25AndMethod='min'OrMethod='max'ImpMethod='min'AggMethod='max'DefuzzMethod='centroid'

[Input1]Name='error'Range=[-1 1]NumMFs=5MF1='GN':'trapmf',[-1 -1 -0.6666 -0.3333]MF2='MN':'trimf',[-0.6666 -0.3333 0]

MF3='Z':'trimf',[-0.3333 0 0.3333]MF4='MP':'trimf',[0 0.3333 0.6666]MF5='GP':'trapmf',[0.3333 0.6666 1 1]

[Input2]Name='derror'Range=[-1 1]NumMFs=5MF1='GN':'trapmf',[-1 -1 -0.6666 -0.3333]MF2='MN':'trimf',[-0.6666 -0.3333 0]MF3='Z':'trimf',[-0.3333 0 0.3333]MF4='MP':'trimf',[0 0.3333 0.6666]MF5='GP':'trapmf',[0.3333 0.6666 1 1]

[Output1]Name='salida'Range=[-1.5 1.5]NumMFs=5MF1='DG':'trapmf',[-1.5 -1.5 -0.6666 -0.3333]MF2='DP':'trimf',[-0.6666 -0.3333 0]MF3='M':'trimf',[-0.3333 0 0.3333]MF4='AP':'trimf',[0 0.3333 0.6666]MF5='AG':'trapmf',[0.3333 0.6666 1.5 1.5]

[Rules]1 1, 1 (1) : 11 2, 1 (1) : 11 3, 1 (1) : 11 4, 2 (1) : 1

1 5, 2 (1) : 12 1, 1 (1) : 12 2, 2 (1) : 12 3, 2 (1) : 12 4, 3 (1) : 12 5, 4 (1) : 13 1, 1 (1) : 13 2, 2 (1) : 13 3, 3 (1) : 13 4, 4 (1) : 13 5, 5 (1) : 1



161

4 1, 2 (1) : 14 2, 3 (1) : 14 3, 4 (1) : 14 4, 4 (1) : 14 5, 5 (1) : 15 1, 4 (1) : 15 2, 4 (1) : 15 3, 5 (1) : 15 4, 5 (1) : 15 5, 5 (1) : 1



162

SOLUCION.m

% DESPLIEGA INFORMACIÓN Y GRÁFICAS

%MODELO PARA PRUEBA CASO 13if caso==13 && subcaso==2

modelo = 'ASSCD_conico_pulso';

else if caso == 13modelo = 'ASSCD_conico';end

end

% OBTIENES k1 Y k2 PARA EL MÍN TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO[k1 k2] = find(gts==min(min(gts)));

% CALCULA INFORMACIÓNmints = [k1-1 k2-1]/tun2;min_ts = min(min(gts));max_os = 100*(gos(k1,k2)-escalon)/escalon;save ([rulemat '_' filename]);

u = umbral;GTS = [min(min(gts)) max(max(gts))];GOS = [min(min(gos)) max(max(gos))];o2tt2o = [min(gos(find(gts==GTS(1,1))))min(gts(find(gos==GOS(1,1))))];

if isnan(o2tt2o(2)) || o2tt2o(2)<0o2tt2o(2)=0;

end

[k1R k2R] = find(gts==GTS(1,1));

if min(gos(find(gos-escalon>0)))>0[k1T k2T] = find(gos==min(gos(find(gos-escalon>0))));else

k1T=NaN;k2T=NaN;[k1T k2T]

end

% MEJOR TIEMPO DE ESTABLECIMIENTOT = [(k1R(1,1)-1)/tun2 (k2R(1,1)-1)/tun2 GTS(1,1) o2tt2o(1,1)(o2tt2o(1,1)-escalon)*100/escalon];

% MEJOR SOBRE IMPULSOif min(gos(find(gos-escalon>0)))>0

R = [min((k1T-1)/tun2) min((k2T-1)/tun2)gts(min(find(gos==min(gos(find(gos-escalon>=0)))))) min(gos(find(gos-escalon>=0))) (min(gos(find(gos-escalon>=0)))-escalon)*100/escalon];

else R = [k1T k2T k1T k2T k1T]endif max(max(gts))==min(min(gts))

gtsn = gts;else

gtsn = (gts-min(min(gts)))/(max(max(gts))-min(min(gts)));end

gosp = (gos-escalon)*100/escalon;gosn = (gosp-min(min(gosp)))/(max(max(gosp))-min(min(gosp)));



163

[k1V k2V] = (find(gtsn+gosn==min(min(gtsn+gosn))));

% OBTENCIÓN DEL VALLEV = [(k1V-1)/tun2 (k2V-1)/tun2 gts(k1V,k2V) gos(k1V,k2V)gosp(k1V,k2V)];if numel(V)==0

V = [NaN NaN NaN NaN NaN];end

% k1 Y k2 ELEGIDAS PARA LA SIMULACIÓN% SEGÚN CRITERIO% T --> MEJOR TIEMPO% R --> MEJOR SOBREIMPULSO% V --> SUMA DE CURVAS NORMALIZADAS

%PRIMER CRITERIO FUZZYke = T(1);kde = T(2);% SIMULACION DEL MODELO EN SIMULINK ® PARA OBTENCIÓN DE RANGOSsim(modrang);% SINTONIZACIONprueba = Vtun2(ke,kde,0.5,rulemat,[r_errr_derr],max_escalon,filename);% SIMULACION DEL MODELO EN SIMULINK ® if caso==13

escalon = ki*sqrt(hd);endsim(modelo);if caso==13

escalon=hd;in = (in/ki).^2;

end% CÁLCULO DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (FLC)tsfuzz_T = Ts*tmposbl(out_flc,escalon,umbral);trfuzz_T = Ts*tmpolev(out_flc,escalon);sifuzz_T = (max(out_flc)-escalon)*100/escalon;

error_flc_T = error_flc;ac_flc_T = ac_flc;if sifuzz_T<0

sifuzz_T=0;end

%SEGUNDO CRITERIO FUZZYke = R(1);kde = R(2);% SIMULACION DEL MODELO EN SIMULINK ® PARA OBTENCIÓN DE RANGOSif caso ~=13

sim(modrang);end% SINTONIZACIONprueba = Vtun2(ke,kde,0.5,rulemat,[r_errr_derr],max_escalon,filename);

% SIMULACION DEL MODELO EN SIMULINK ® if caso==13

escalon = ki*sqrt(hd);endif caso~=13

sim(modelo);endif caso==13



164


end

% CÁLCULO DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (FLC)tsfuzz_R = Ts*tmposbl(out_flc,escalon,umbral);trfuzz_R = Ts*tmpolev(out_flc,escalon);sifuzz_R = (max(out_flc)-escalon)*100/escalon;error_flc_R = error_flc;ac_flc_R = ac_flc;if sifuzz_R<0

sifuzz_R=0;end

%TERCER CRITERIO FUZZYke = V(1);kde = V(2);

% SIMULACION DEL MODELO EN SIMULINK ® PARA OBTENCIÓN DE RANGOSsim(modrang);

% SINTONIZACIONprueba = Vtun2(ke,kde,0.5,rulemat,[r_errr_derr],max_escalon,filename);

% SIMULACION DEL MODELO EN SIMULINK ® if caso==13

escalon = ki*sqrt(hd);endsim(modelo);if caso==13


end

% CÁLCULO DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (FLC)

tsfuzz_V = Ts*tmposbl(out_flc,escalon,umbral);trfuzz_V = Ts*tmpolev(out_flc,escalon);sifuzz_V = (max(out_flc)-escalon)*100/escalon;error_flc_V = error_flc;ac_flc_V = ac_flc;if sifuzz_V<0

sifuzz_V=0;end

% CÁLCULO DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (PID WINDUP)tswindup_Tt = Ts*tmposbl(out_windup_Tt,escalon,umbral);trwindup_Tt = Ts*tmpolev(out_windup_Tt,escalon);siwindup_Tt = (max(out_windup_Tt)-escalon)*100/escalon;if siwindup_Tt<0

siwindup_Tt=NaN;end

% CÁLCULO DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (PID)tspid = Ts*tmposbl(out_pid,escalon,umbral);trpid = Ts*tmpolev(out_pid,escalon);sipid = (max(out_pid)-escalon)*100/escalon;if sipid<0

sipid=NaN;end



165

% CÁLCULO DEL TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (OL)tsol = Ts*tmposbl(out_ol,escalon,umbral);trol = Ts*tmpolev(out_ol,escalon);siol = (max(out_ol)-escalon)*100/escalon;if siol<0

siol=NaN;end

a = size(out_ol);%info=[tspid tsol tsfuzz 100*(max(max(out_flc))-escalon)/escalon];

if numel(tsol)==0tsol = NaN;

endsave ([rulemat '_' filename])



166

IMPR.m

% ASIGNA LA CARACTERÍSTICA DE COLORcmap = sqrt(colormap(gray));colormap(cmap),

%IMPRIME SUPERFICIES DE TIEMPO Y SOBREIMPULSO

subplot(1,2,1),set(gca,'FontSize',12.5),surf([0:1/tun2:tun2/tun2],[0:1/tun2:tun2/tun2],gts),xlabel('k_2 (\Delta e)'),ylabel('k_1(e)'),zlabel('SEGUNDOS'),title('TIEMPOS DE ESTABLECIMIENTO')subplot(1,2,2),set(gca,'FontSize',12.5),surf([0:1/tun2:tun2/tun2],[0:1/tun2:tun2/tun2],(gos-escalon)*100),xlabel('k_2 (\Deltae)'),ylabel('k_1 (e)'),zlabel('PORCENTAJE'),title('% SOBRE IMPULSO')

%IMPRIME LA SUMA DE CURVAS NORMALIZADASfigure,colormap(cmap),set(gca,'FontSize',12.5),surf([0:1/tun2:1],[0:1/tun2:1],gtsn+gosn),xlabel('k_2 (\Delta e)'),ylabel('k_1(e)'),zlabel('Norma(T) + Norma(OS)'),title('Suma de SuperficiesNormalizadas')

%IMPRIME LA SALIDA

% if IMPR_PID==1if isnan(tspid) || tspid>=tswindup_Ttfigure,colormap(cmap),hold onset(gca,'FontSize',5)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,in,'k:')plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,out_ol,'k--','LineWidth',1)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,out_flc,'k-','LineWidth',1.5)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,out_windup_Tt,'k-.','LineWidth',1)set(gca,'FontSize',15),xlabel('tiempo [s]'),ylabel('Amplitud');legend('Referencia','Lazo Abierto','FLC','PID_A_W',1);title('Respuesta al Escalón');

% IMPRIME LA ACCIÓN DE CONTROLfigure,colormap(cmap),hold onplot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,ac_flc_s,'k-','LineWidth',1.5)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,ac_windup_Tt,'k-.','LineWidth',1)set(gca,'FontSize',15),xlabel('tiempo [s]'),ylabel('Amplitud');legend('FLC','PID_A_W',1);title('Acción de Control');

elsefigure,colormap(cmap),hold onset(gca,'FontSize',5)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,in,'k:')plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,out_ol,'k--','LineWidth',1)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,out_flc,'k-','LineWidth',1.5)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,out_pid,'k-.','LineWidth',1)set(gca,'FontSize',15),xlabel('tiempo [s]'),ylabel('Amplitud');legend('Referencia','Lazo Abierto','FLC','PID',4);title('Respuesta al Escalón');

% IMPRIME LA ACCIÓN DE CONTROLfigure,colormap(cmap),hold onplot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,ac_flc_s,'k-','LineWidth',1.5)plot([0:1:length(out_flc)-1]*Ts,ac_pid,'k-.','LineWidth',1)set(gca,'FontSize',15),xlabel('tiempo [s]'),ylabel('Amplitud');legend('FLC','PID',1);title('Acción de Control');

end

%IMPRIME ERROR Y DERIVADA DEL ERROR





168

R_TR = [trol trpid trwindup_Tt trfuzz_T trfuzz_R trfuzz_V]R_OS = [siol sipid siwindup_Tt sifuzz_T sifuzz_R sifuzz_V]

% Resultados = [IAE_OL IAE_PID IAE_W IAE_FLC_V;% ISE_OL ISE_PID ISE_W ISE_FLC_V;% ITAE_OL ITAE_PID ITAE_W ITAE_FLC_V;% ITSE_OL ITSE_PID ITSE_W ITSE_FLC_V;% IAC_OL IAC_PID IAC_W IAC_FLC_V;% tsol tspid tswindup_Tt tsfuzz_V;% trol trpid trwindup_Tt trfuzz_V;% siol sipid siwindup_Tt sifuzz_V]%% R1 = [Resultados min(Resultados')'];%% x_R=zeros(8,2);% y_R=zeros(8,2);%% for i=1:8% Indx(i) =find(Resultados(i,:)==min(min(Resultados(i,:))),1,'last');% end% Texto = ['OPWF'];% WINNER = ['A2@sC-/^';Texto(Indx)]

%INFO PIDCHR = [Kp Td Ti N]ZN = [Kp_z Td_z Ti_z N]

%Alarma de términoload gong;wavplay(y,Fs*4)



169

getfod.m

function [k,tao,tp]=getfod(Y,T)

% CALCULO EL PUNTO DE INFLEXIONindTd=find(diff(Y)==max(diff(Y)));

if indTd~=1m=max(diff(Y))/(T(indTd)-T(indTd-1));else

m=max(diff(Y))/(T(indTd+1)-T(indTd));end

b=Y(indTd)-m*T(indTd);Y_l=length(Y);k=Y(Y_l);

% k=max(Y);tao=-b/m;tp01=(max(Y)-b)/m;tp=tp01-tao;



170

ziegler.m

function [Gc,Kp,Ti,Td,H]=ziegler(key,vars)Ti=[]; Td=[]; H=1;if length(vars)==4,

K=vars(1);L=vars(2);

T=vars(3);N=vars(4);a=K*L/T;if key==1,

Kp=1/a;elseif key==2,

Kp=0.9/a; Ti=3.33*L;elseif key==3 | key==4,

Kp=1.2/a; Ti=2*L; Td=L/2;end

elseif length(vars)==3,K=vars(1); Tc=vars(2); N=vars(3);if key==1,Kp=0.5*K;

elseif key==2,Kp=0.4*K;Ti=0.8*Tc;elseif key==3 | key==4,Kp=0.6*K;Ti=0.5*Tc;Td=0.12*Tc;end

elseif length(vars)==5,K=vars(1);Tc=vars(2);rb=vars(3);N=vars(5);pb=pi*vars(4)/180;Kp=K*rb*cos(pb);if key==2,

Ti=-Tc/(2*pi*tan(pb));elseif key==3|key==4,

Ti=Tc*(1+sin(pb))/(pi*cos(pb));Td=Ti/4;

endend[Gc,H]=writepid(Kp,Ti,Td,N,key);



chr.m

function [Gc,Kp,Ti,Td,H]=chr(key,tt,vars)

K=vars(1);L=vars(2);T=vars(3);

N=vars(4);a=K*L/T;Ti=[];Td=[];ovshoot=vars(5);

if tt==1,TT=T;

elseTT=L;tt=2;

endif ovshoot==0,

KK=[0.3,0.35,1.2,0.6,1,0.5; 0.3,0.6,4,0.95,2.4,0.42];

else, KK=[0.7,0.6,1,0.95,1.4,0.47; 0.7,0.7,2.3,1.2,2,0.42];end

switch key1

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