REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E ATIVIDADES DE

ISSN – 1982-4866. REVISTA DYNAMIS. FURB, BLUMENAU, V.25, N.2 – P.56 - 76

REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E ATIVIDADES DE

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA EMPREENDIDAS E RELATADAS POR PROFESSORES PARTICIPANTES DO PDE: O QUE SE

REVELA?

RECORDS OF SEMIOTIC REPRESENTATION AND MATHEMATICAL RESEARCH

ACTIVITIES EMPLOYED AND REPORTED BY TEACHERS PARTICIPATING IN THE PDE:

WHAT IS REVEALED?

Paulo Wichnoski Doutorando em Educação em Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual do Oeste do Paraná [email protected] Tânia Stella Bassoi Doutora em Educação Universidade Estadual do Oeste do Paraná [email protected]

PAULO WICHNOSKI E TÂNIA STELLA BASSOI

57 ISSN – 1982-4866. REVISTA DYNAMIS. FURB, BLUMENAU, V.25, N.2 – P.56 - 76

Resumo

De natureza qualitativa, a pesquisa teve o objetivo de compreender o que se revela sobre a

Teoria dos Registros de Representação Semiótica e atividades de Investigação Matemática,

empreendidas e relatadas por professores participantes do PDE. Articulados em três categorias,

os dados revelaram generalidades sobre os registros semióticos mobilizados; sobre as

coordenações das representações dos objetos e sobre a congruência e a não congruência

semântica. As atividades desenvolvidas em face das tarefas investigativas se mostraram mais

auspiciosas à mobilização da representação dos objetos matemáticos nos diferentes Registros

de Representação Semiótica do que as atividades desenvolvidas em face das tarefas

exploratórias e; contribuíram para desenvolver a forma operatória e predicativa do

conhecimento. Isso sinaliza para o cuidado de não limitar a mobilização de alguns registros em

face das tarefas ou da postura do professor em sala de aula.

Palavras-chave: Didática da Matemática. Investigação Matemática. Registros de

Representação Semiótica.

Abstract

Of qualitative nature, the research had to understand what is revealed about the Theory of

Semiotic Representation Records and Mathematical Research activities, undertaken and

reported by teachers participating in the PDE. Articulated in three categories, the data revealed

generalities about the mobilized semiotic records; on the representations of object coordinates

and on semantic congruence and non-congruence semantics. The activities developed in the

face of the investigative tasks were more auspicious to the mobilization of the representation of

the mathematical objects in the different Registers of Semiotic Representation than the activities

developed in the face of the exploratory tasks; contributed to develop the operative and

predicative form of knowledge. This signals to the care not to limit the mobilization of some

records before the tasks or the posture of the teacher in the classroom.

Keywords: Didactics of Mathematics. Mathematical Research. Registers of Semiotic

Representation.



1 INTRODUÇÃO

O ensino de Matemática é a principal preocupação entre aqueles que pesquisam em

Educação Matemática, dado que ele se constitui o próprio objeto de estudo da área. Diversos

são os esforços para compreender como ele ocorre, quais as variáveis envolvidas, qual a sua

relação com a aprendizagem, entre outras questões, que se dão de modo amplo em torno da

Didática da Matemática.

A Epistemologia, de modo geral, preocupa-se com a relação existente entre sujeito e

objeto na construção do conhecimento. Em analogia, sendo o objeto um objeto matemático e o

sujeito um sujeito aluno, a pergunta que se coloca é: como se dá a relação entre o sujeito (aluno)

e o objeto (matemática) na construção do saber matemático (conhecimento)? A esta relação

podemos chamar de processo de ensino e aprendizagem e, sobre ela, debruçam-se as teorias

cognitivistas. Entendidos ao longo do tempo como processos cognitivos e sociais, o ensino e a

aprendizagem têm recebido contribuições de outras áreas como a Psicologia, a Antropologia, a

Filosofia, a Linguística e a Sociologia, não sendo redutível ao domínio clássico destas.

Parece consensual que a construção do conhecimento, seja ele matemático ou não, não se

dá nas mesmas circunstâncias, nem segundo os mesmos processos cognitivos. Por exemplo, a

geometria, a álgebra ou as probabilidades não tem a mesma gênese e nem a mesma organização,

logo, o ensino e aprendizagem desses conceitos mobilizará diferentes estruturas, situações e

formas de organização e representação do pensamento.

Segundo D´Amore (2007) a aprendizagem é um conjunto de modificações de

comportamento balizado por diversos aspectos, tais como: os conhecimentos prévios, as

situações (tarefas) propostas e as diferentes linguagens e formas de representações. Desse

modo, é imprescindível compreender quais são as influências desses aspectos no processo de

ensino e aprendizagem, papel que se propunha à didática. Quando particularizamos estes

aspectos ao ensino e aprendizagem da Matemática, este papel é relegado à Didática da

Matemática.

No Brasil, a Didática da Matemática têm recebido significativas contribuições da Didática

da Matemática francesa e das suas diferentes teorias, dentre elas, a Teoria da Transposição

Didática (YVES CHEVALLARD, 1991), das Situações Didáticas e do Contrato Didático

(GUY BROUSSEAU, 1986), da Engenharia Didática (MICHÈLE ARTIGUE, 1998), da

Dialética-Ferramenta-Objeto (REGINE DOUADY, 1986), da Teoria dos Campos Conceituais

(GERARD VERGNAUD, 1990) e da Teoria dos Registros de Representação Semiótica

(RAYMOND DUVAL, 1995).

Raymond Duval, filósofo e psicólogo, busca na psicologia cognitivista amparos para

desenvolver seus trabalhos desde os anos de 1970. No ano de 1995 em sua obra Sémiosis et

Pensée Humaine, trouxe significativa contribuição para a Educação Matemática ao tematizar a

influência das representações dos objetos matemáticos no processo de ensino e aprendizagem

de Matemática e desenvolver a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Segundo

Duval, em entrevista a Freitas e Rezende (2013), os objetos matemáticos são unicamente

acessíveis por meio da produção de representações, de modo que a atividade matemática

repousa, fundamentalmente, nesse caráter semiótico, implicando na concepção de que a

conceituação, ao contrário do que propunha Piaget, ocorre a partir da linguagem e não de

esquemas de ação. Nas palavras de Duval

A matemática é a única disciplina em que se trabalha exclusivamente com

representações semióticas, haja vista que não existe outro modelo de acesso aos



objetos matemáticos. Isso põe a matemática em uma situação epistemológica que é

totalmente diferente da das outras disciplinas científicas. O conhecimento matemático

não se fundamenta em abstração, mas na mobilização de diferentes sistemas

semióticos que são unicamente utilizados para preencher a função de tratamento, e

não a função de comunicação (DUVAL, 2016, p.17).

Em face disso, a Teoria dos Registros de Representação Semiótica busca configurar o

ensino e aprendizagem da Matemática num cenário de mobilização da representação de um

mesmo objeto em diferentes registros (pelo menos dois), sejam quais forem as situações

didáticas propostas. As situações didáticas para o ensino e aprendizagem da Matemática têm

sido amplamente discutidas e apoiadas nas tendências em Educação Matemática, dentre elas, a

Investigação Matemática. Baseada no paradigma investigativo, esta metodologia defende que

o ensino e a aprendizagem da Matemática ocorram por meio de situações (tarefas) que permitam

aproximar a Matemática escolar da Matemática pura.

Conforme já dissemos, Segundo Duval (1995), o acesso aos objetos matemáticos é

possível, exclusivamente, pela representação semiótica destes e, portanto, qualquer atividade

de matemática é propícia e fará uso dos registros semióticos, não sendo uma característica

restrita às atividades de Investigação Matemática. Todavia, considerando os diferentes tipos de

tarefas matemáticas – exercícios de reconhecimento, exercícios algorítmicos, problemas de

aplicação, problemas de pesquisa aberta e situações problema (BUTTS, 1997) – e assumindo

que elas apresentam diferentes epistemologias, diferentes bases estruturais e consequentemente

diferentes implicações metodológicas durante as atividades, há razões para supor que os

registros semióticos tem a possibilidade de se manifestarem em maior ou menor grau,

dependendo do tipo da tarefa que dispara a atividade prática.

Dessa premissa e considerando a Teoria dos Registros de Representação Semiótica

enquanto um conjunto de ideias que fornece alguns princípios de base para o estudo do processo

de ensino e aprendizagem da Matemática e, a Investigação Matemática enquanto teoria que

possui situações didáticas (tarefas) específicas, emergiu a inquietação de compreender como

ela (a Investigação Matemática) contribui para o desenvolvimento e a aprendizagem das

habilidades relacionadas à Matemática, dentro do quadro teórico de Duval (1995). Em razão

disso, algumas perguntas se colocaram como propulsoras de inquietações, dentre elas: quais

aspectos próprios da Investigação Matemática favorecem o surgimento de diferentes registros?

Quais elementos da Teoria dos Registros de Representação Semiótica são potencializados em

atividades de Investigação Matemática? Qual a relação entre a Teoria dos Registros de

Representação Semiótica e a Investigação Matemática?

Dessas inquietações fomos conduzidos a buscar por um lócus de manifestação do

fenômeno interrogado e o itinerário de pesquisa traçado até o momento pelo primeiro autor

deste artigo, possibilitou adentrarmos a seara das produções1 dos professores participantes do

PDE2 que trabalharam com a Investigação Matemática durante a formação. Desse modo, abriu-

se a possibilidade de encontrar atividades empreendidas sob essa perspectiva e nelas buscar

1 Trabalho produzido pelos professores participantes do PDE compreendido em Produção Didático-pedagógica

enquanto organização de um material didático com o objetivo de implementação na escola e Artigo Final enquanto

atividade de divulgação da implementação. 2 O PDE é um Programa de Capacitação Continuada implantado como uma política educacional de caráter

permanente, que prevê o ingresso anual de professores da Rede Pública Estadual de Ensino para a participação em

processo de formação continuada com duração de 2 (dois) anos, tendo como meta qualitativa a melhoria do

processo de ensino e aprendizagem nas escolas públicas estaduais de Educação Básica (Art. 1o, Lei Complementar

130 - 14 de julho de 2010).



pela manifestação daquilo que interrogamos, a saber: o que se revela sobre a Teoria dos

Registros de Representação Semiótica e atividades de Investigação Matemática, empreendidas

e relatadas por professores participantes do PDE?

Pontes, Finck e Nunes (2017) ao realizarem uma pesquisa do tipo estado da arte com

publicações científicas brasileiras que tiveram como pano de fundo a Teoria dos Registros de

Representação Semiótica, entre os anos de 2010 e 2015, apontaram que as pesquisas, em geral,

contemplam a Modelagem Matemática e as Tecnologias da Informação e Comunicação para

desenvolverem as práticas de ensino e, buscam nelas, a manifestação da teoria de Duval (1995).

Porém não evidenciaram a utilização de outras tendências, a exemplo da Investigação

Matemática; o que nos faz levantar a hipótese de que elas não foram abrangidas nas pesquisas

empreendidas.

Além disso, ao reunir literaturas que pudessem nos auxiliar no entendimento e construção

deste trabalho, acessamos a base de dados Scientific Electronic Library Online – SciELO3 e

combinando os descritores Investigação Matemática, Registros de Representação Semiótica,

Duval e Semiótica, orientamos a busca, que resultou em nenhum trabalho encontrado. Isso é

um indicativo da carência de estudos que abordam esses temas simultaneamente e da

originalidade do trabalho ora apresentado. Portanto, tematizar a Investigação Matemática e a

Teoria dos Registros de Representação Semiótica confere-lhe certa excepcionalidade,

diferenciando-o. Justificada a relevância do artigo, a próxima seção tem por objetivo discorrer

sobre as regiões em que a pesquisa se locomove, a saber, a Investigação Matemática e a Teoria

dos Registros de Representação Semiótica.

2 SOBRE A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

A Investigação Matemática no contexto da Educação Matemática é uma área de pesquisa

emergente e por isso ainda não desvelada em sua totalidade. Poucas são as discussões

tematizadas em pesquisa que buscam compreendê-la e situá-la enquanto subárea da Educação

Matemática. Dentre os autores que se dedicam a esta temática, Wichnoski e Klüber (2017) a

definem como “[...] uma atividade que está no cerne da produção do conhecimento em

matemática, como um processo de levantamento de hipóteses, testes, argumentação e validação

de um conhecimento novo” (p. 169) e salientam que “[...] em contextos de ensino e

aprendizagem não é suficiente que ela permita somente o resultado e a demonstração, mas que

num movimento parecido com o trabalho dos matemáticos o aluno possa, entre confrontos,

conjecturas, erros e verdades, “fazer” matemática” (p. 169). Ao buscar compreendê-la do ponto

de vista da epistemologia de Lakatos (1979)4, os autores supracitados concluem que

[...] a Investigação Matemática no âmbito da Educação Matemática repousa sobre

uma estrutura básica, constituída por aspectos fundamentais como a matemática, o

ensino, a aprendizagem, a comunicação e atividades investigativas. Esses aspectos

constituem aquilo que a Investigação Matemática possui em sua essência, portanto

são irrefutáveis (WICHNOSKI; KLÜBER, 2015, p. 72).

Ante a isso, ela pode ser entendida como uma metodologia de ensino e aprendizagem que,

por meio de tarefas próprias, busca a aproximação entre a Matemática escolar e a Matemática

pura, cuja característica inata é a inquirição e o fazer. Ponte et al. (2013) atribuem-na o estilo

conjectura – teste – demonstração como característica que fortemente a caracteriza. Todavia,

3 https://search.scielo.org/?lang=pt 4 Cf. Wichnoski, Klüber, 2015.



esse aspecto é particularizado e diz respeito a uma das formas da Investigação Matemática se

manifestar em sala de aula, a saber, quando as tarefas tendem a ser algebrizadas. Um

contraexemplo típico dessa particularidade são as tarefas de Investigação Matemática que se

encontram na esfera estatística. As informações decorrentes da situação não serão

demonstráveis, uma vez que essas tarefas envolvem somente “[...] a organização, representação,

sistematização, e interpretação dos dados, e culmina com o tirar conclusões finais” (PONTE;

BROCARDO; OLIVEIRA, 2013, p. 105).

Em situações de ensino e aprendizagem, a Investigação Matemática pode assumir

diferentes facetas, apresentando-se de modos distintos. Isso lhe atribui certa pluralidade em

termos de características, as quais se manifestam na estrutura e nos objetivos intrínsecos às

tarefas, na percepção daquele que as interpreta, na postura do professor e no engajamento dos

alunos e, se pensadas em sentido pragmático, podem levar à sua descaracterização. Dito de

outro modo, há diferentes tarefas de Investigação Matemática e que requerem diferentes atos

investigativos. Por exemplo, há tarefas que buscam a conceitualização, outras que buscam a

extração de informações ou de propriedades, outras que objetivam a generalização e a prova

matemática e outras que contemplam esses aspectos simultaneamente. Há, portanto, uma

variedade de tarefas que se doam à ação inquiridora de modo um tanto quanto aberto e sem

objetivos prefixados.

Há na literatura uma classificação quanto ao grau de dificuldade e abertura, que culmina

na classificação das tarefas de Investigação Matemática em exploratórias e investigativas

(PONTE, 2003). As tarefas do tipo exploratórias possuem “uma estrutura enunciativa que

sugere algumas atitudes para nortear procedimentos, conjecturas e validações [...] e contêm em

seu enunciado as conjecturas necessárias à investigação de um problema posto” (WICHNOSKI;

KLÜBER, 2018, p. 62), enquanto que as tarefas investigativas possuem uma estrutura mais

aberta, cabendo ao investigador escolher por onde iniciar e nortear a investigação. É com este

entendimento que olhamos para o material de análise e selecionamos as tarefas da pesquisa.

3 SOBRE A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Em entrevista a Freitas e Rezende (2013), Raymond Duval explica que as primeiras

inquietações que o fizeram pensar sobre a sua teoria surgiram de observações empíricas com

alunos e professores, nas quais as diferentes vertentes discursivas da linguagem propostas pelo

Movimento da Matemática Moderna causavam sérias incompreensões dos conteúdos

matemáticos, relacionadas não aos conceitos “[...] mas à variedade de representações semióticas

utilizadas e o uso “confuso” que fazem delas” (FREITAS; REZENDE, 2013, p. 15).

A teoria de Duval repousa sobre a Semiótica, entendida como “[...] ciência dos signos e

dos processos significativos” (NÖTH, 2008, p. 2) e possui em sua essência a representação

semiótica dos objetos matemáticos enquanto “[...] representação de uma ideia ou um objeto do

saber, construída a partir da mobilização de um sistema de sinais. Sua significação é

determinada, de um lado pela sua forma no sistema semiótico e, de outro, pela referência do

objeto representado” (HENRIQUES; ALMOULOUD, 2016, p. 467). Nesse sentido, um

gráfico, uma expressão numérica ou uma escrita na linguagem natural, revelam-se registros no

campo da Matemática que manifestam diferentes representações semióticas.

Para Henriques e Almouloud (2016) um registro semiótico equivale a um sistema,

composto por signos que permitem identificar uma representação de um objeto. Signos, para os

autores supracitados, são sinais a serem mobilizados para identificar um sistema ou registro de



representação semiótica, como por exemplo, letras de variáveis, números articulados por um

símbolo de operação, traçados gráficos, símbolos de operação e, são apenas representações do

objeto, não devendo ser confundidos com o próprio objeto.

Essas representações semióticas são externas e enlaçadas pelo sujeito que as percebe

intencionalmente, isto é, elas manifestam a compreensão do objeto enfocado conscientemente,

que se mostra na correspondência existente entre as várias formas de registro de representação.

É sobre isso que Duval (2012a, p. 270) afirma: “Se é chamada “semiose” a apreensão (externa)

ou a produção de uma representação semiótica, e “noesis” a apreensão (interna) conceitual de

um objeto, é preciso afirmar que a noesis é inseparável da semiose”.

Duval (1995) distingue três atividades cognitivas fundamentais ligadas à semiose e

essenciais para que um sistema semiótico possa ser considerado um registro de representação,

são elas: a formação, a conversão e o tratamento. A formação consiste numa representação

semiótica considerando a seleção de relações e de dados no conteúdo a ser representado e

respeitando as regras de linguagens com as quais se afinam, como por exemplo, regras

gramaticais para as línguas naturais. Exemplo: descrever a solução de um sistema linear. A

conversão diz respeito às transformações de uma representação em uma representação de outro

registro, conservando a referência aos mesmos objetos. Exemplo: a transformação da forma

algébrica de uma função para a forma gráfica e vice-versa. O tratamento consiste em

transformações de uma representação dentro de um mesmo registro. Exemplo: diferentes

formas algébricas de representar a solução de uma equação (DUVAL, 1995).

Tais atividades devem ser mobilizadas concomitantemente no processo de ensino e

aprendizagem para que um conceito matemático seja compreendido. Apesar de os objetos

matemáticos serem abstratos, a atividade cognitiva sobre esses objetos só é possível por meio

das representações semióticas e as transformações de representações que transitam por essas

diferentes atividades cognitivas são vitais à atividade matemática (DUVAL, 2012a).

Para Duval (1995) existem quatro diferentes registros para os sistemas de representações

semióticas, são eles: língua materna, simbólico (algébrico e numérico), gráfico e figural, os

quais se dividem em monofuncionais e multifuncionais. Nos registros monofuncionais

(registros simbólico e gráfico) os tratamentos possuem algoritmos próprios e os registros

multifuncionais (língua materna/natural e figural) não são algoritmizáveis. O Quadro 1

apresenta uma síntese de cada um desses sistemas de representações, seguida de exemplos.

Quadro 1: Linguagens dos sistemas de representações semióticas segundo Duval (1995)

Sistemas de representações Síntese Exemplo

Registro Língua Materna

São associações verbais conceituais,

formas de raciocínio argumentativo,

falados ou escritos.

João tem 5 lápis e ganhou mais 6 do

seu colega. Com quantos lápis João

ficou?

Registro Figural Correspondem as figuras geométricas

planas ou em perspectiva.

Registro

Simbólico

Algébrico Sistemas de escritas algébricas, como

equações. 𝑦 = 𝑥2 + 1

Numérico Sistemas de escritas numéricas (binárias,

decimal, fracionária e outras). 2 + 3 = 5



Registro Gráfico

Correspondem aos gráficos cartesianos.

Mudanças de sistema de coordenadas.

Interpolação, extrapolação.

Fonte: os autores

Desse modo, há a possibilidade de transitar entre estes diferentes sistemas de registros

(conversão) ou dentro de um mesmo sistema utilizando diferentes representações (tratamento).

Portanto, o ensino e a aprendizagem da Matemática pautado nesta teoria perpassa pela

construção do conhecimento mediante conversões e tratamentos estabelecidos entre as diversas

formas de representação, ou seja, “[...] a compreensão em Matemática implica na capacidade

de mudar de registro” (DUVAL, 2003, p.21). Em suma, Duval (2012) defende que a

compreensão total de um conteúdo matemático do ponto de vista conceitual repousa sobre a

coordenação (tratamento ou conversão) da representação do objeto em ao menos dois registros

semióticos.

Ressaltamos que a mudança de registro ao representar um mesmo objeto matemático,

deve ocorrer de forma bilateral, acompanhada da capacidade de identificar e explicitar as

propriedades matemáticas destes objetos, isto é, da capacidade de fazer corresponder as

unidades de sentido de duas ou mais representações semióticas. Portanto, é necessário atingir

dois patamares de compreensão, os quais podem ser assim descritos:

As atividades relativas ao primeiro patamar visam desenvolver a sinergia entre dois

registros de tal modo que desapareçam as dificuldades de compreensão que têm

origem no não reconhecimento de um mesmo objeto em duas representações

semióticas distintas. As atividades relativas ao segundo patamar visam à

conscientização do funcionamento cognitivo próprio de cada um dos registros, uma

vez que esses registros podem não permitir que se efetuem os mesmos tratamentos

matemáticos (DUVAL, 2016, p. 4).

A conceitualização de um objeto matemático vai enfrentar o fenômeno de congruência

ou de não-congruência semântica entre as representações semióticas. Do ponto de vista de

Duval (1995), a congruência se mostra quando as situações explicitam, na mesma ordem, as

mesmas unidades significantes, isto é, quando há a possibilidade de colocarmos em

correspondência semântica elementos significantes - as unidades significantes simples. O

fenômeno da não-congruência se mostra caso contrário, ou seja, quando não há a mesma ordem

ou quando apresentam mais de uma unidade de informação.

Ao que concerne especificamente aos registros figurais, Duval (2012b) apresenta algumas

formas de apreensão da figura, de modo que as suas possíveis modificações se descrevem pela

apreensão operatória, a qual pode ser mereológica, ótica ou de posição. A modificação

mereológica se faz em função da relação parte e todo; a modificação ótica se faz ao transformar

uma figura em outra e a modificação posicional se faz ao deslocar uma figura em relação a um

referencial dado (DUVAL, 2012b).

No tocante a atividade matemática, Duval (1995) atribui-lhe duas faces: 1) face exposta,

ligada à ideia de utilizar os reconhecimentos em busca de novos resultados matemáticos,

apresentando-se na forma de teoremas, definições, algoritmos de operações com números, etc.;



e 2) face oculta, ligada aos gestos intelectuais que caracterizam o pensamento e o modo de

trabalhar em Matemática e que “[...] expõe uma análise cognitiva da atividade matemática em

termos de registros” (DUVAL, 2016, p. 27).

Explicitados os aspectos teóricos das regiões de inquérito desta pesquisa, passamos a

descrever, na próxima seção, a metodologia e os procedimentos metodológicos que a

sustentaram.

4 METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS

A pesquisa seguiu uma abordagem predominantemente qualitativa, conforme nos

orientam Lüdke e André (1986), ao perseguir o objetivo de compreender o que se manifesta da

Teoria dos Registros de Representação Semiótica em atividades de Investigação Matemática,

empreendidas e relatadas nas produções de professores participantes do PDE e o que isso revela.

Ao perguntarmos o que se revela?, abrimo-nos às diversas possibilidades de manifestação

do interrogado, dentro do quadro teórico considerado. Nos debruçamos sobre as atividades de

Investigação Matemática atentos a manifestação da Teoria dos Registros de Representação

Semiótica, não no sentido de identificação de aspectos pontuais da teoria como comprovação

de premissas a priori, mas como busca intencionada dos diversos modos que ela (a Teoria dos

Registros de Representação Semiótica) tem de aparecer. Dessa forma, é possível se deparar

com manifestações que poderiam ser ocultadas ao direcionar o olhar sob categorias prévias.

Após construída a interrogação de pesquisa e em face do que nos é dado a aparecer, foi o

momento de buscar pelos dados significativos da pesquisa. Assim, do lugar e da perspectiva de

onde olhamos o interrogado, fomos conduzidos à seara das produções dos professores

participantes do PDE que trabalharam com a Investigação Matemática durante a formação,

especificamente os artigos finais e, neles encontramos atividades que ofereceram a

possibilidade de o que interrogamos se manifestar.

Com um universo de 33 artigos finais coletados no portal eletrônico da Secretaria de

Estado da Educação – SEED, numa leitura inicial, filtramos aqueles que relatavam as atividades

desenvolvidas trazendo elementos que nos permitissem a construção dos dados significativos.

Dessa busca reduzimos o universo para 12 artigos e olhando-os em sua totalidade, selecionamos

as atividades disparadas por tarefas que, ao nosso ver, se caracterizavam como de Investigação

Matemática, uma vez que algumas tarefas não foram construídas nessa perspectiva, conforme

evoca Wichnoski (2016). Esse movimento permitiu que analisássemos um total de 36 tarefas e

as atividades a elas relacionadas, apresentadas no Quadro 12, em anexo, tal como foram

nomeadas nos materiais de origem, seguidas do link de acesso.

Ao nos voltarmos atentivamente para aquilo que foi descrito dessas atividades, enfocamos

as falas dos alunos, transcritas em linguagem proposicional, os registros produzidos no decorrer

do processo, os relatos dos professores ao narrar as práticas empreendidas e os enunciados das

tarefas, de modo a colocar em evidência os sentidos articulados ao interrogado. Procedemos ao

destacamento de excertos e estabelecimento de unidades significativas, entendidas como

sentenças que traduzem a interpretação do pesquisador em face do excerto destacado, de modo

a reunir os sentidos postos em evidência, visando as convergências que explicitam o sentido

mais geral do interrogado. O Quadro 2 exemplifica este momento da pesquisa.



Quadro 2: Exemplo de unidades de significados

Excerto do texto Unidade significativa

O enunciado da tarefa contemplou

o registro figural e o registro

língua natural.

O aluno explicitou a generalização

representando-a no registro língua

natural.

A tarefa possibilitou a construção

de duas representações semióticas

do objeto matemático prisma de

base triangular dentro do registro

figural (tratamento), bem como

possibilitou trabalhar com a face

oculta da matemática.

Ao movimentar um dos vértices as medidas dos ângulos e dos lados

mudam nas duas janelas, mas não muda a soma das medidas de seus

ângulos internos.

O aluno conseguiu fazer a

correspondência das unidades de

sentido entre duas representações

semióticas (figural e numérica)

Fonte: os autores

Procedemos à categorização, reunindo as unidades significativas convergentes, de modo

a articular as ideias mais abrangentes, as quais expressam a generalidade do interrogado. Essa

articulação se deu em três categorias que dizem 1) Sobre os registros semióticos mobilizados;

2) Sobre as coordenações da representação dos objetos efetuadas entre os registros e 3) Sobre

a congruência semântica. Salientamos que as categorias não foram pré-definidas, mas se

constituíram enquanto produto do movimento efetuado dentro do quadro teórico de Duval

(1995). O Quadro 3 sintetiza o manifestado por cada uma das categorias.

Quadro 3: Categorias de análise

Categorias de análise Síntese

C1 - Sobre os registros semióticos mobilizados

Esta categoria manifesta as Linguagens dos

sistemas de representações semióticas que

aparecerem no enunciado das tarefas e durante a

realização das atividades.

C2 - Sobre as coordenações da representação dos

objetos

Esta categoria manifesta as coordenações efetuadas

entre os registros semióticos na realização das

atividades, isto é, as atividades cognitivas ligadas à

semiose (conversão e tratamento) e que apareceram

nas atividades analisadas.

C3 - Sobre a congruência e a não congruência

semântica

Esta categoria traz a manifestação da congruência e

não congruência, ou seja, explicita se houve e quais

as correspondência que apareceram entre as

unidades significantes do registro de saída e os de

chegada, na mesma ordem, simultaneamente.

Fonte: os autores



A próxima seção explicita a descrição dos aspectos manifestados pelas categorias à luz

da interrogação o que se revela sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica e

atividades de Investigação Matemática, empreendidas e relatadas por professores

participantes do PDE?

5 DESCRIÇÃO DO MANIFESTADO

A categoria C1 - Sobre os registros semióticos mobilizados explicita os registros de

representação semiótica que apareceram na estrutura enunciativa das tarefas e no decorrer das

atividades, os quais se mostraram variados. Em geral, o enunciado das tarefas contemplou os

registros língua natural, figural e simbólico (numérico). O registro língua natural apareceu na

estrutura enunciativa de todas as tarefas, com exclusividade em 16 delas. Em 12 tarefas houve

a associação do registro língua natural com o registro figural e em 7 tarefas a associação do

registro língua natural com o registro simbólico (numérico). Revelou-se a ausência de tarefas

construídas exclusivamente no registro figural e no registro simbólico (numérico), bem como a

ausência dos registros gráfico e simbólico (algébrico) exclusiva ou associadamente a outros

registros. O enunciado de uma tarefa explicitou a utilização de desenhos e de construções

figurais para representar os números triangulares e os números quadrados, conforme

exemplificado no Quadro 4. Do ponto de vista de Duval (1995), essas representações não são

consideradas um registro semiótico, mas representações intermediárias.

Quadro 4: exemplo de desenhos utilizados na estrutura enunciativa das tarefas

Fonte: os autores

Durante a realização das atividades manifestaram-se os quatro tipos de registros

enunciados por Duval (1995), a saber, língua materna ou natural, figural, gráfico e simbólico

(numérico e algébrico), além de esquemas e desenhos, enquanto registros intermediários, como

dados subjacentes e intuitivos que auxiliaram os alunos no processo de investigação das tarefas

analisadas. Um exemplo disso segue no Quadro 5.

Quadro 5: exemplos da utilização de desenhos para a representação do objeto

matemático

Fonte: os autores



Em várias outras atividades, a fala se constituiu como ferramenta para que os alunos

pudessem descrever os procedimentos efetuados, justificar e organizar seus pensamentos, o que

nos faz supor que o registro língua natural (fala) se presentificou enquanto um modo de

aprender Matemática. Isso pode ser percebido na descrição do momento que os alunos relataram

o modo como efetuaram a atividade, conforme o excerto: Nós quadriculamos um hexágono,

multiplicamos por 6 e encontramos a área ou ainda quando expressam: Não! Deixe-me ver, do

Q4 para o Q5 aumenta nove... Já sei, é sempre o dobro mais um!

A categoria C2 - Sobre as coordenações da representação dos objetos manifesta as

coordenações (tratamento ou conversão) efetuadas durante a realização das atividades ao

representar um mesmo objeto matemático e se estas coordenações atendem ao princípio da

bilateralidade, isto é, a ida e a volta das representações entre os registros. Utilizaremos os

símbolos ↔ e → para designar quando houve a conversão do objeto matemático entre os

registros, atendendo ao princípio da bilateralidade e quando houve a conversão de um registro

para outro de modo unilateral, respectivamente.

A conversão da representação dos objetos matemáticos ocorreu de modo diversificado e

mostrou-se possível entre os registros língua natural ↔ simbólico (numérico), língua natural

↔ figural, língua natural → simbólico (algébrico), figural ↔ simbólico (algébrico), figural →

simbólico (numérico), simbólico (numérico) → simbólico (algébrico). Iniciamos a discussão

com a tarefa enunciada no Quadro 6.

Quadro 6: Tarefa de Investigação Matemática

A seguinte sequência apresenta prismas constituídos por cubos brancos e cinzentos.

a) Quantos cubos brancos tem o prisma 4? E cinzentos?

b) Verifique se existe um prisma com 36 cubos no total. Caso exista, diga qual o número desse prisma.

c) Indique uma fórmula que represente o número de cubos cinzentos do prisma n.

d) Apresente uma fórmula para o número total de cubos do prisma n.

e) Verifique se a fórmula 4(n + 2) também representa o número total de cubos do prisma n. Justifique a

sua resposta.

Fonte: Ferreira (2009, p. 18)

A atividade desenvolvida em face dessa tarefa, se mostrou significativa pelo fato de a

tarefa estar sequencialmente organizada, de modo a contemplar a conversão da representação

do objeto na ordem: registro figural → língua natural → registro simbólico (numérico) →

registro simbólico (algébrico) → registro gráfico. O Quadro 7 exemplifica esta situação com

alguns dos excertos extraídos do material analisado.

Quadro 7: sequência de conversões realizadas em uma atividade de Investigação

Matemática

Registro Excertos

Registro

figural



Registro

misto

(língua

natural e

simbólico

numérico)

Registro

numérico

Descreveram a sequência dizendo que o prisma 1 tem quatro cubos cinzentos isto é 4 x 1, o

prisma 2 tem oito cubos cinzentos que é 4 × 2 e o prisma 3 tem doze cubos cinzentos que é 4 × 3.

Registro

Simbólico

algébrico

Registro

Gráfico

Fonte: os autores

Em face do exposto no Quadro 7, há evidências de que o princípio da bilateralidade não

foi atendido, uma vez que a cada etapa da tarefa proposta, apenas um registro de representação

semiótica foi priorizado. Além disso, a conversão da representação do objeto matemático no

registro simbólico (algébrico) para o registro gráfico não aconteceu, embora reconheçamos uma

tentativa de efetuá-la. A não ocorrência se deve ao fato de que o objeto matemático em questão

é uma função discreta, cuja representação algébrica é dada pela expressão 𝐶 = 4. 𝑛, onde C é o

número de cubos cinzentos em cada figura e n é a posição da figura, porém a representação

contida no registro gráfico é de uma função contínua.

Em geral, a conversão da representação do objeto na ordem língua natural → simbólico

(algébrico) se revelou em atividades cujo objetivo era a generalização, conforme o excerto a

seguir: Do primeiro para o segundo quadrado a diferença é de 8. A diferença do 2º para o

terceiro é 12. Do 3º para o 4º é 16. E a diferença do 4º para o 5º é 20. E essas diferenças são

múltiplos de 4. E as diferenças das diferenças é 4 [...] Pegando o número de palitos do lado e

multiplicando pelo seu sucessor, dá a metade dos palitos. Multiplicando por 2 dará o resultado

final de palitos”. E outro aluno veio ao quadro e escreveu a fórmula que tinha escrito, seguindo

o mesmo raciocino da dupla anterior, ou seja: p(p+1) + p(p+1).

A conversão da representação do objeto matemático na ordem registro figural →

simbólico (algébrico), apareceu comumente em atividades que buscavam generalizar uma

sequência representada por figuras geométricas em R2 ou R3. Além disso, se manifestou em

atividades que objetivavam generalizar resultados da geometria, como por exemplo, a soma das

medidas dos ângulos internos de um polígono e o teorema de Euler, inclusive com a utilização

de softwares de geometria dinâmica e construções manipuláveis, atendendo ao princípio da

bilateralidade. A bilateralidade também se mostrou presente entre as representações de objetos



matemáticos nos registros simbólico (algébrico) e gráfico, como por exemplo, reta,

circunferência e funções.

Houve indícios da conversão da representação na ordem registro simbólico (numérico)

→ língua natural (escrita) para generalizar uma situação, conforme explicita o excerto do

Quadro 8. Frisamos que esta tarefa foi enunciada no registro língua natural, logo, a ordem de

conversão foi língua natural → simbólico (numérico) → língua natural.

Quadro 8: exemplos de conversão da representação do objeto na ordem simbólico

(numérico) → língua natural

Fonte: os autores

Ainda que nas tarefas com características de generalização, tenha se manifestado a

transição da representação do objeto matemático na ordem registro figural → simbólico

(algébrico) e simbólico (numérico) → língua natural, comumente, a conversão ocorreu na

ordem língua natural → simbólico (algébrico) e simbólico (numérico) → simbólico (algébrico).

Portanto, há indícios de que o processo de generalização, nas tarefas de Investigação

Matemática analisadas, se iniciou pelo registro língua natural ou simbólico (numérico) para

posteriormente transitar para o registro algébrico. Ao que concerne à conversão da

representação do objeto entre os registros língua natural e figural, ela se mostrou bilateral,

inclusive para descrever desacertos nas conjecturas, invalidando-a, conforme Quadro 9.

Quadro 9: exemplos de conversão da representação do objeto na ordem língua natural

↔ figural

Fonte: os autores

Houve manifestações da representação de um objeto na ordem registro figural →

simbólico (numérico), quando, por exemplo, o aluno escreve que o perímetro da figura é dado

pela expressão 10 + 10 + 2 + 2 = 24 𝑐𝑚 a partir da representação deste conceito em figuras

geométricas. Intrinsecamente, há a compreensão de que o perímetro é a medida do contorno de

um objeto bidimensional.



No tocante ao tratamento da representação dos objetos matemáticos, as manifestações

ocorreram no registro língua figural e no registro simbólico (numérico e algébrico), conforme

o Quadro 10. Sublinhamos o tratamento dado ao hexágono regular, com o objetivo de calcular

a sua área, que usualmente é encontrada dividindo-o em seis triângulos equiláteros. Contudo,

na atividade realizada, ela foi encontrada dividindo o hexágono regular em três quadrados,

procedimento que foi possível recorrendo-se à equivalência de triângulos.

Quadro 10: exemplos de tratamento da representação do objeto no registro figural

Tratamento no registro figural

Tratamento no registro simbólico (numérico)

Tratamento no registro simbólico (algébrico)

Fonte: os autores

A categoria C3 - Sobre a congruência semântica traz a manifestação da congruência

semântica entre a representação dos objetos no enunciado das tarefas e nas representações

efetuadas durante a inquirição delas. O fenômeno da congruência semântica se mostrou de

modo moderado e, quando manifestado, foi em tarefas que utilizaram registros figurais, língua

natural (fala) e registros intermediários em sua estrutura enunciativa. A não congruência se

manifestou segundo as mesmas condições. O Quadro 11 traz um exemplo dessa manifestação.

Quadro 11: exemplo de congruência e não congruência semântica Congruência Não congruência

Construa, em uma folha, os triângulos retângulos cujas

dimensões estão descritas nos desenhos abaixo

Primeiramente os alunos deveriam observar o

triângulo construído com 3 palitos de fósforos

(figura abaixo) e, em seguida construir dois

triângulos com 5 palitos e três triângulos com 7

palitos.

Fonte: os autores

Houve tarefas cujos enunciados se mostraram semanticamente congruentes à figura a ser

construída. Isso se revelou nos encaminhamentos das tarefas analisadas, uma vez que os alunos

construíram a figura geométrica de acordo com o que estava escrito no enunciado da tarefa.

Por exemplo, ao ser solicitado que os alunos representassem, no registro figural, retângulos

com diferentes dimensões e com 24 cm de perímetro, não houve a construção do quadrado (que

também é um retângulo) com dimensões 6 × 6. Esse aspecto de congruência entre a ação

realizada em face do enunciado e o enunciado também foi contemplado em atividades

realizadas com jogos e softwares.



Em algumas tarefas não foi possível identificar a congruência e a não congruência

semântica, dado o caráter aberto do enunciado, como por exemplo, investigue a sequência de

números, procure elaborar afirmações observando a tabela de números e outros com

características similares.

6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES METACOMPREENSIVAS

Ao perguntarmos o que se revela, é possível afirmar que as atividades de Investigação

Matemática analisadas revelaram, em diferentes graus de manifestação, a coordenação

(conversão e tratamento) da representação dos objetos matemáticos, a possibilidade de fazer

corresponder as unidades de sentido de duas ou mais representações semióticas, bem como a

manifestação do fenômeno da congruência e não congruência semântica. Possibilitaram, em 20

das 36 tarefas analisadas, contemplar mais de um registro de representação semiótica em sua

estrutura enunciativa, o que contribuiu para mover distintos esquemas de inquirição.

Acreditamos que essa acentuada e diversificada manifestação de registros semióticos, se deve

às características de abertura das tarefas de Investigação Matemática.

As transições ao representar os objetos matemáticos entre diferentes registros se

mostraram variadas. Em particular, a transição do registro língua natural para o simbólico

(algébrico) e do registro simbólico (numérico) para o simbólico (algébrico), se mostrou

repetidamente em atividades de generalização e/ou demonstração, o que pode revelar que, em

tarefas com o objetivo de generalizar e/ou demonstrar, a coordenação da representação dos

objetos matemáticos segue uma transição mais ou menos regular. Isto se apresenta como ensejo

para novos estudos que clarifiquem estes indícios, isto é, por quais Registros de Representação

Semiótica perpassa o processo de generalização e/ou demonstração em tarefas de Investigação

Matemática? De modo mais abrangente, há a possibilidade de investigar quais registros se

mostram mais auspiciosos para as representações dos objetos matemáticos nos diferentes tipos

de tarefas de Investigação Matemática.

O modo de proceder, do registro simbólico (numérico) para o registro simbólico

(algébrico), além de poder estar sustentado numa concepção herdada da história da matemática

– primeiro o número, depois a abstração – pode ter origem na estrutura enunciativa das tarefas,

conforme explicita o excerto: a questão "2", que necessitaria da “descoberta” da fórmula; na

literatura estudada, a qual sugere que “A compreensão da álgebra [...] exige que a turma repense

saberes que funcionavam bem com as operações aritméticas” (RASI; DOMINGUES, 2009,

s/p); bem como na concepção de ensino do professor disparador da prática.

A coordenação da representação dos objetos matemáticos entre diferentes registros

apareceu, com maior intensidade, nas atividades disparadas pelas tarefas investigativas e, nas

atividades desenvolvidas em face das tarefas exploratórias, a manifestação dos diferentes tipos

de coordenação ficou condicionada aos encaminhamentos propostos pelas próprias tarefas e,

em outras atividades, ficou condicionada aos encaminhamentos propostos pelo professor no

momento da prática, tolhendo a liberdade do aluno em transitar por diferentes registros.

Desse modo, inferimos que a coordenação da representação dos objetos matemáticos

entre diferentes registros, depende da estrutura da tarefa proposta e, também, da postura do

professor no momento da prática. Quanto mais livres os alunos estiverem para transitar entre

os diferentes tipos de registros de representações semióticas, seja do ponto de vista da estrutura

das tarefas ou da postura e condução da aula pelo professor, mais possibilidades encontram para

identificar e explicitar as propriedades matemáticas dos objetos investigados. Isto tem relação



com o princípio da bilateralidade, que conforme depreendemos de Duval (1995), enriquece a

atividade matemática ao possibilitar a correspondência entre as unidades de sentido, nos

diferentes níveis de organização dos conteúdos.

A língua natural (escrita e fala) se apresentou como um registro forte nos apontamentos

feitos pelos alunos para explicar o que haviam feito e, inclusive, para expressar as generalidades

observadas. Isso está diretamente ligado às duas funções da língua natural, quais sejam:

comunicação e conhecimento, o que nos permite inferir que o conhecimento sempre é possível

por meio da língua natural. Nesse sentido, destaca-se a forma predicativa (VERGNAUD, 1990)

imbricada nas atividades de Investigação Matemática, transformando o conceito em um

instrumento de pensamento livre das situações (tarefas) e aberto a outros contextos. Sobre isso

Vergnaud (1996) evoca que

[...] um dos problemas do ensino de matemática é desenvolver ao mesmo tempo a

forma operatória do conhecimento, isto é, o saber-fazer, e a forma predicativa do

conhecimento, isto é, saber explicar os objetos matemáticos e suas propriedades (p.

13, inserções nossas).

Em face disso, as tarefas e atividades de Investigação Matemática se mostram como uma

alternativa para atender ao proposto pelo autor supracitado, a saber, desenvolver a forma

operatória e predicativa simultaneamente, o que é salutar se quisermos promover o ensino e a

aprendizagem da Matemática de modo mais qualitativo, reflexivo e não arraigado em métodos

e algoritmos. Além disso, proporcionaram desenvolver a face oculta da Matemática, que

segundo Duval (2016, p. 26-27) “refere-se aos gestos intelectuais, que são especificamente

ligados à mobilização de registros e que caracterizam a maneira matemática de pensar e de

trabalhar”. Desse modo, a atividade matemática se mostrou não amparada somente em

teoremas, definições e algoritmos, mas também na atividade cognitiva.

O exemplo de tratamento no registro figural contido no Quadro 10 permitiu a apreensão

operatória, que de acordo com Duval (2012b, p. 125) “é uma apreensão centrada nas

modificações possíveis de uma figura inicial e nas reorganizações possíveis destas

modificações” e desempenha um papel heurístico importante na resolução da tarefa. A atividade

possibilitou modificar a figura em questão a partir da modificação mereológica – “[...]

modificação que faz surgir uma forma como um todo fracionado em partes homogêneas ou em

partes heterogêneas” (DUVAL, 2012b, p. 127) – mobilizando diferentes tratamentos para

explorar a medida de área através da soma das partes elementares, a equivalência de áreas e

figuras, propriedades topológicas, etc.

Particularizando as atividades realizadas com softwares, a não congruência entre a língua

natural e o registro figural do software, pode ter sido propulsora do erro cometido pelos alunos

ao tentar representar, no registro figural, o teorema de Pitágoras utilizando um triângulo

qualquer, conforme o excerto: Sendo a, b e c medidas dos lados do triângulo, como é possível

representar a área de cada um desses quadrados?

O caráter de abertura das tarefas e a mobilização de diferentes habilidades, tais como,

levantamento de hipóteses, testes, argumentação, comunicação, confrontos entre erros e acertos

e validação dos resultados, favoreceram e potencializaram o surgimento de diferentes registros,

uma vez que os alunos pensaram e registraram com certa liberdade. Isso faz das tarefas de

Investigação Matemática, com ênfase nas tarefas exploratórias, profícuas à manifestação dos

registros de representação semiótica. Além disso, ainda que o enunciado das tarefas analisadas

tenha se estruturado, predominantemente, fazendo o uso dos registros língua natural, figural e

simbólico (numérico), há a possibilidade de estruturá-lo de modo não usual, a exemplo da tarefa

contida no Quadro 4, que se utilizou de registros intermediários para disparar a atividade.



Nesse sentido, mesmo que a manifestação da Teoria dos Registros de Representação

Semiótica não seja exclusividade das atividades de Investigação Matemática, revela-se uma

estreita relação entre ambas e que pode ser potencializada à medida que os enunciados prezem

por registros não usuais na sua estrutura enunciativa, como por exemplo, registros gráfico e

simbólico (algébrico) exclusiva ou conjuntamente a outros registros. Priorizar esta diversidade

de registros semióticos na estrutura enunciativa das tarefas de Investigação Matemática, leva a

modos não corriqueiros de organizar o pensamento, o qual “se revela inseparável da existência

de uma diversidade de registros semióticos” (DUVAL, 2012a, p. 270).

Por fim, ressaltamos a importância de não limitar, tanto na estrutura enunciativa das

tarefas quanto nos encaminhamentos práticos, a transição na representação dos objetos

matemáticos de um registro para outro de forma única. É preciso dar condições para que essa

transição ocorra entre os diversos registros, inclusive em ordens não usuais, como por exemplo,

partindo do registro gráfico para o registro simbólico (algébrico), do registro simbólico

(algébrico) para a língua natural e outras combinações.

REFERÊNCIAS

ARTIGUE, M. Ingénierie Didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques.

Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, v. 9, n. 3, p. 281-308, 1998.

BROUSSEAU, G. Fondements et Méthodes de la Didactique des Mathématiques.

Recherches em Didactique des Mathématiques, Grenoble, v. 7, n. 2, p. 33-116, 1986.

BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E.; (Org). A

resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997, p. 32-48.

CHEVALLARD, Y. La Transposicion Didactica: Del saber sabio al saber enseñado.1ª ed.

Argentina: La Pensée Sauvage, 1991.

D’AMORE, B. Epistemologia, Didática da Matemática e Práticas de Ensino. Bolema, Rio

Claro, v. 20, n. 28, p. 179-205, 2007.

DOUADY, R. Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches en didactique des

mathématiques, v. 1, n. 2, p. 5-32, 1986.

DUVAL, R. Questões epistemológicas e cognitivas para pensar antes de começar uma aula de

matemática. Revemat, Florianópolis, v.11, n. 2, p. 1-78, 2016.

______. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento.

Revemat, Florianópolis, v. 7, n. 2, p. 266-297, 2012a.

______. Abordagem cognitiva de problemas de geometria em termos de congruência.

Revemat, Florianópolis, v. 7, n. 1, p. 118-138, 2012b.

______. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo da compreensão em

matemática. In: MACHADO, S. D.A. (Org.). Aprendizagem em matemática: registros de

representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003, p. 11-33.



______. Sémiosis et pensée humaine: regitres sémiotiques et apprentissages intellectuel. Bern:

Peter Lang, 1995.

FERREIRA, S. M. P. A Investigação Matemática e o conceito de funções: um estudo com

alunos da 8ª série do ensino fundamental. In: O professor PDE e os desafios da escola

pública paranaense. Curitiba: SEED/PR., 2009. V.1. (Cadernos PDE). Disponível em:

<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2009_u

el_matematica_artigo_sandra_maria_pimenta_ferreira.pdf>. Acesso em 01/08/2019.

FREITAS, J. L. M.; REZENDE, V. Entrevista: Raymond Duval e a Teoria Dos Registros de

Representação Semiótica. RPEM, Campo Mourão, v.2, n.3, jul-dez. 2013.

HENRIQUES, A.; ALMOULOUD, A. S. Teoria dos registros de representação semiótica em

pesquisas na Educação Matemática no Ensino Superior: uma análise de superfícies e funções

de duas variáveis com intervenção do software Maple. Ciênc. Educ., Bauru, v. 22, n. 2, p.

465-487, 2016.

LAKATOS, I; MUSGRAVE, A. A crítica e o desenvolvimento do conhecimento. 4. ed. São

Paulo: Cultrix, 1979.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São

Paulo: EPU, 1986.

NÖTH, W. Panorama da Semiótica: de Platão a Peirce. 4 ed. São Paulo: Annablume, 2008.

PARANÁ. Lei Complementar 130 - 14 de Julho de 2010. Diário Oficial do Paraná, Poder

Executivo, Paraná, PR, 14 jul. 2010. Edição nº 8262, p. 1-39.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica, Matemática. Departamento de

Educação Básica. Paraná, 2008.

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de

Aula. 3 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2013.

PONTE, J.; P. Investigar, Ensinar e Aprender. Actas do ProfMat (CD-ROM, p.25-39).

Lisboa: APM, 2003.

PONTES, H. M. S.; FINCK, C. B.; NUNES, A. L. R. O estado da arte da teoria dos registros

de representação semiótica na educação matemática. Educ. Matem. Pesq., São Paulo, v.19,

n.1, 297-325, 2017.

RASI, G.; DOMINGUES, I. O ensino da Álgebra. Nova Escola. Editora Abril, 2009.

Disponível em: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/tirandoletra-

488807.shtml> Acesso em 01/08/2019.

VERGNAUD, G. A trama dos Campos Conceituais na construção dos conhecimentos.

Revista do GEEMPA, Porto Alegre, n. 4, p. 9-20, julho, 1996.



______. La théorie des champs conceptuels. Recherche en Didactique des Mathématiques.

Grenoble: La Pensée Sauvage, vol. 10, n. 2.3, pp. 133 a 170, 1990.

WICHNOSKI, P.; KLÜBER, T. E. A (re)formulação de Tarefas de Investigação Matemática.

REVEMAT, Florianópolis, v.13, n.1, p.59-75, 2018.

______. Considerações sobre Práticas de Investigação Matemática Empreendidas e Relatadas

por Professores em Formação. Revista Paranaense de Educação Matemática, Campo

Mourão, v. 6, n. 11, p.161-178, jul.-dez. 2017

______. Um olhar lakatosiano sobre a tendência Investigação Matemática. Revemat.

Florianópolis, v.10, n. 1, p. 65-80, 2015.

WICHNOSKI, P. Uma Metacompreensão da Investigação Matemática nas Produções do

Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná – PDE. 155 f. Dissertação

(Mestrado em Ensino) –Programa de Pós-Graduação em Ensino, Universidade Estadual do

Oeste do Paraná, Foz do Iguaçu, 2016.

ANEXOS

Quadro 12: tarefas analisadas Título das Tarefas analisadas Título das Tarefas analisadas

Números Triangulares e Quadrados (P.13)

Quantidade de Dinheiro no Cofrinho: (Qual a Melhor

Opção?) (P. 19)

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadern

ospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematic

a_artigo_elisangela_cristina_perugini_maza.pdf

Tarefa 01 (p. 9)

Tarefa 02 (p.12)

Tarefa 03 (p.14)

Tarefa 08 (p.24)


ospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_uel_mat_

artigo_conceicao_geni_nicoli.pdf

Um velho problema de otimização, de Euclides (p. 14)

Tarefa7: (p.17)



a_artigo_sandra_maria_pimenta_ferreira.pdf

Conjectura de Goldbach (p.13)

Tarefa 7 – Explorando Números Naturais (p.21)



a_artigo_maria_aparecida_semeghini_bernard.pdf

1ª Atividade (p.14)



5ª e 6ª Atividades (p.22)

8ª atividade (p.24)

12ª e 13ª atividades (p. 27)


ospde/pdebusca/producoes_pde/2009_unioeste_mate

matica_artigo_clecimara_da_silva_medeiros.pdf

Tarefa 1 (p.6)

Tarefa 2 (p.7)

Tarefa 3 (p. 8)

Tarefa 4 (p. 10)

Tarefa 6 (p. 11)

Tarefa 7 (p. 12)

Tarefa 8 (p.13)



artigo_jose_mario_lenartovicz.pdf

Segundo momento (p.18)


ospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_unicentr

o_mat_artigo_maria_ines_tomal_surmas.pdf

Tarefa 1 (p.4)

Tarefa 2 (p.8)



artigo_janete_guiraldeli_lenartovicz.pdf

Atividades com triângulos e quadriláteros: lados,

ângulos, semelhança, razão e soma das medidas dos

ângulos internos de um polígono (p. 8)

Terceira Trajetória –Sólidos Geométricos (p. 11)



artigo_sonia_terezinha_sgobero_abudi.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematica_artigo_elisangela_cristina_perugini_maza.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_uel_mat_artigo_conceicao_geni_nicoli.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematica_artigo_sandra_maria_pimenta_ferreira.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2009_uel_matematica_artigo_maria_aparecida_semeghini_bernard.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2009_unioeste_matematica_artigo_clecimara_da_silva_medeiros.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_artigo_jose_mario_lenartovicz.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_unicentro_mat_artigo_maria_ines_tomal_surmas.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_artigo_janete_guiraldeli_lenartovicz.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_artigo_sonia_terezinha_sgobero_abudi.pdf







artigo_mara_lucia_rodrigues.pdf

Atividade 2 - Investigando com palitos de fósforo (p.

12)

Atividade 3 - Investigando com palitos de dente e

palitos de fósforo (p. 13)

Atividade 4 (p. 15)


ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_unicentr

o_mat_artigo_regiane_gomes_de_araujo.pdf

Atividade2 – Hexágonos (p.11)

Atividade 3 – Cubos, cubos e mais cubos (p.15)

Atividade 4 – Dobrando e triplicando (p.16)

Atividade 5 – Pintura de faces (p.17)

Atividade 6 – Investigando Esqueleto de cubos (p.18)


ospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_unioeste_

mat_artigo_tavania_suzer_da_silva.pdf

Fonte: os autores

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_uel_mat_artigo_mara_lucia_rodrigues.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_unicentro_mat_artigo_regiane_gomes_de_araujo.pdf



http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2012/2012_unioeste_mat_artigo_tavania_suzer_da_silva.pdf



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REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E ATIVIDADES DE