Ondas Rafael Tórres_new

7/25/2019 Ondas Rafael Tórres_new

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Rafael Torres

Fısica III

– Oscilaciones y Ondas –Universidad Industrial de Santander

20 de junio de 2012

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Indice general

Parte I Oscilaciones

1. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1. Movimiento periodico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Movimiento armonico simple (MAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2. Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3. Movimiento pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4. Energıa en el movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.5. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Superposicion de movimientos armonicos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1. Superposicion de dos movimientos armonicos simples de diferente frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2. Combinacion de dos MAS perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3. Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3. Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1. Oscilador sobre-amortiguado y oscilador crıticamente amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2. Oscilador Sub-amortiguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.3. Energıas de las oscilaciones sub-amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1. Fuerza impulsora periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1. Fuerza impulsora armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2. Energıa en el regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.3. Potencia en el regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Resonancia en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Resonancia en potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Taller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1. Taller - Analogıas con un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Parte II Ondas

3. Ondas mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Ecuacion de onda y funcion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1. Clasificacion de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.2. Ondas armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2. Ondas en cuerdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1. Ecuacion de onda en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2. Coeficientes de reflexion y transmision en amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.3. Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.4. Ondas estacionarias en una cuerda fija en solo un extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.5. Taller (1 hora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Ondas en gases, sonido, tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.1. Ondas de deformacion (1 hora) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.2. Ondas de presion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

v



vi Indice general

3.3.3. Ondas de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.4. Ondas de sonido en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.5. Ondas estacionarias en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.6. Pulsaciones (medios dispersivos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.7. Velocidad de fase y de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.8. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1. La luz, su naturaleza y velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.2. Ondas armonica (Monocromaticas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.3. Onda armonica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.4. Onda esferica armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3. Energıa, potencia y vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1. Caso de una onda armonica plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.2. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4. Propiedades de las ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.1. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5. Propagacion de Ondas Electromagneticas en no-conductores (Dielectricos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5.2. Escuaciones de Maxwell en la materia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.3. Ecuacion de onda en un medio homogeneo, lineal e isotropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.5.4. Condiciones de frontera para dielectricos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.6. Leyes fundamentales de la optica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.1. Reflexion y Refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.2. Coeficientes de reflexion y trasmision bajo incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.7. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.7.1. Interferencia de dos ondas armonicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.7.2. Experimento de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8. Desde una teorıa vectorial a una teorıa escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.8.1. Principio de Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.8.2. Difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.9. La fibra optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Parte III Fundamentos de f ısica moderna

5. Introduccion a la f ısica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1. El problema de la radiacion, radiacion del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.1. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.2. Distribucion de la densidad de energıa de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.3. Distribucion de la densidad de energıa de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.4. Distribucion de la densidad de energıa de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2. Efecto fotoelectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.1. Experimento de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.2. Experimento de Hallwachs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.3. Experimento de J.J. Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2.4. Explicacion de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3. Efecto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4. Espectros atomicos y modelos atomicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5. Los Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6. El efecto Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.7. Dualidad en la materia, ondas de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.7.1. Difraccion de electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.7.2. Principio de Heisemberg y relaciones de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



Indice general 1

bf





Contenido

OSCILACIONES (20 horas)

Oscilaciones libres

• Movimiento periodico

Movimiento armonico simple (MAS)

Energıa en el movimiento armonico simple

Sistema masa-resorte

Resorte horizontal

Resorte vertical

Movimiento pendular

Pendulo simple

Pendulo f ısico

Pendulo compuesto

Pendulo de torsion

• Superposicion de movimientos armonicos simples

Superposicion de dos movimientos armonicos simples de igual frecuencia

Superposicion de dos movimientos armonicos simples de diferente frecuencia

Superposicion de dos MAS de frecuencias muy parecidas ( pulsaci ´ on o batido)

Superposicion de dos MAS perpendiculares de igual frecuencia Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad

Dos pendulos acoplados

Dos sistemas masa-resorte acoplados

• Oscilaciones amortiguadas

Oscilador sobre-amortiguado y oscilador crıticamente amortiguado

Oscilador Sub-amortiguado

Energıas de las oscilaciones sub-amortiguadas

Amortiguamiento debil

Potencia disipada

Factor de calidad Q

Oscilaciones forzadas

• Fuerza impulsora periodica

Fuerza impulsora armonica

Energıa en el regimen estacionario

Potencia en el regimen estacionario

• Resonancia

Resonancia en amplitud y resonancia en potencia

Fineza de la curva de resonancia (Factor de Calidad)

Analogıas con un circuito RLC

3



4 Indice general

ONDAS MECANICAS (20 horas)

Ecuacion de onda y funcion de onda

• Ondas armonicas (unidimensional)

• Nocion de frecuencia, longitud de onda, numero de onda y velocidad de fase

Ondas en cuerdas

• Ecuacion de onda en una cuerda Energıa promedio transmitida por una onda armonica en una cuerda

Potencia promedio

Intensidad de la onda promedio

• Coeficientes de reflexion y transmision en amplitud

• Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos

• Ondas estacionarias en una cuerda fija en solo un extremo

Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

• Ondas de “deformacion”

Ondas de densidad

• Ondas de presion

Ondas de sonido en tubos sonoros

Nivel de volumen del sonido (nivel de intensidad)

Energıa trasmitida por una onda armonica en gases

• Ondas estacionarias en tubos sonoros

Extremos cerrados

Extremos abiertos

Un extremo abierto y uno cerrado

• Pulsaciones (medios dispersivos)

Velocidad de fase y de grupo

• Efecto Doppler



Indice general 5

ONDAS ELECTROMAGNETICAS (20 horas)

Ecuaciones de Maxwell para el vacıo

• Ecuacion de ondas electromagneticas

• Naturaleza electromagnetica de la luz

Ondas armonica (Monocromaticas)

• Onda armonica plana• Onda armonica esf erica

Energıa, potencia y vector de Poynting

• Energıa de una onda armonica plana

Intensidad

Potencia

• Vector de Poynting

Propiedades de las ondas electromagneticas

• Polarizacion

Luz polarizada elıpticamente

Luz polarizada linealmente

Luz polarizada circularmente

Polarizadores dicroicos (ley de Malus)

Birrefringencia (Laminas retardadoras λ, λ/2 y λ/4)

Propagacion de Ondas Electromagneticas en Dielectricos

• Ecuaciones de Maxwell en dielectricos

Ecuacion de onda en un dielectrico

Condiciones de frontera para dielectricos perfectos

• Leyes fundamentales de la optica geometrica

Reflexion y Refraccion

Angulo de reflexion total

Angulo de Brewster

Coeficientes de reflexion y trasmision bajo incidencia oblicua Ecuaciones de Fresnel y leyes de Snell

1. Coeficientes de reflexion y refraccion en amplitud

2. Coeficientes de reflexion y refraccion en potencia

Reflexion en una superficie esf erica (f ormula de Descartes)

Refraccion en una superficie esf erica (f ormula de Descartes)

Lente delgada (f ormula del constructor de lentes)

• Interferencia y difraccion

Interferencia de dos ondas armonicas

Caso de dos ondas planas

Caso de dos ondas esf ericas

1. Experimento de Young

Interferencia en pel´ıculas delgadas Interferometro Michelson

Difraccion

Principio de Huygens-Fresnel

Difraccion de Fresnel

Difraccion de Fraunhofer

1. Difraccion por una rendija rectangular

2. Difraccion por una doble rendija rectangular

3. Difraccion por N −rendijas rectangulares



6 Indice general

FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA (12 horas)

Radiacion de cuerpo negro (4 horas)

• Hipotesis de Planck

• Ley de radiacion de Planck

• Ley de desplazamiento de Wien

• Ley de Stefan-Boltzmann

• Taller

Efecto Fotoelectrico (2 horas)

• Explicacion de Einsten

• Foton

• Funcion de trabajo

• Taller

Efecto Compton (2 horas)

• Momentum de un Foton

• Longitud de onda Compton

• Taller

Ondas de De Broglie (4 horas)

• Longitud de onda de De Broglie

• Estados estacionarios

Modelo de Bohr para el atomo de hidrogeno

Formula de Bohr para la absorcion y emision de radiacion

Radio de Bohr

• Espectros de emision y absorcion

Serie Balmer para el hidrogeno

• Difraccion de electrones

Condicion de Bragg

Experimento de Davinsson-Germer

Principio de incertidumbre de Heisenberg

• Taller



Parte I

Oscilaciones



El estudio de las oscilaciones es indispensable para el entendimiento de muchos fenomenos fısicos, de allı la importancia de

este campo en ciencias e ingenierıas. Ejemplos de sistemas fısicos oscilantes se encuentran en los instrumentos musicales, en

los seres vivos, entre otros.

Un sistema puede ser un oscilador si posee un estado que podemosllamar de equilibrio estable, al cual el sistema retornara si

se le retira. La fuerza de retorno se le denomina fuerza recuperadora.



Capıtulo 1

Oscilaciones libres

Los movimientos de un sistema oscilante cerrado que ha recibido una excitacion inicial y luego se le permite oscilar li-

bremente sin mas influencia, se les denominan oscilaciones libres. Estas oscilaciones libres son producidas por la accion de

fuerzas intrınsecas del sistema.

1.1. Movimiento periodico

Los sistemas oscilantes (vibrantes) pueden oscilar de muchas formas, las caracterısticas particulares de las oscilaciones

dependen de la “forma” que tenga la fuerza elastica. En general la fuerza se escribe

(1.1) F ( x) = −[k 1( x− x0)+ k 2( x− x0)2 + k 3( x− x0)3 + · · · ] ,

donde el signo negativo indica que la accion, de esta fuerza, es contraria al desplazamiento al rededor de un punto x0, y los

coeficientes k 1, k 2, k 3, . . . , k n deben ser tales que la funcion (energıa potencial)

(1.2) U ( x) =

0

x

F ( x)dx ,

tenga un mınimo relativo en x = x0 (ver figura 1.1), tıpicamente x0 = 0. Por esta razon, se les denominan fuerzas recuperadoras.

x0

F ( x)

x

x

x0

U ( x)

F ( x) = −k ( x− x0)

b)

a)

Figura 1.1 Ilustracion de una fuerza recuperadora, la curva a trazos corresponde a la aproximacion ( x− x0) ( x− x0)2 · · · a) F ( x) b) U ( x)

9



10 1 Oscilaciones libres

1.1.1. Movimiento arm´ onico simple (MAS)

Tomando el caso x0 = 0 y haciendo uso de la segunda ley de Newton

(1.3) d 2 x

dt 2 = − 1

m(k 1 x+ k 2 x

2 + k 3 x3 + · · · ) ,

esta no es la ecuacion de un oscilador anarmonico.

Para pequenos desplazamientos, podemos considerar

(1.4) x x2 x3 · · · ,

con esto se justifica una aproximacion lineal dada por

(1.5) F ( x) = −kx ,

y luego

(1.6) d 2 x

dt 2 = − k

m x ,

esta es la ecuacion diferencial (ecuacion del movimiento) de un oscilador armonico.

La solucion de esta ecuacion diferencial esta dada por

(1.7) x(t ) = A sin(ωot +ϕ0) o x(t ) = Acos(ωot +φ0) ,

donde ωo =√

k /m = 2πνo, con νo = 1/T (ver figura 1.2).

A Amplitud [ A] metros

T Periodo [T ] Segundos

ωot +ϕ0 fase [ωot +ϕ0] Radianes

ϕ0 fase inicial [ϕ] Radianes

ωo frecuencia angular [ωo] Rad. / seg.

νo frecuencia [νo] ciclos / seg.

Caracterısticas del MAS x(t ) = A sin(ωot +ϕ0) x0 = A sin(ϕ0)

v x(t ) = dxdt =ωo Acos(ωot +ϕ0) v0 = ωo A cos(ϕ0)

a x(t ) = d 2 xdt 2

= −ω2o Asin(ωot +ϕ0) a0 = −ω2

o Asin(ϕ0)

Se tiene ϕ0 = arctan(ωo x0/v0).

0

A

− A

T ϕ0

ω

t

x(t )

Figura 1.2 Funcion armonica

Si tomamos el cuadrado de la velocidad se tiene

v2 x = ω

2o A2 cos2(ωot +ϕ0)(1.8)

= ω2o A2

1− sin2(ωot +ϕ0)

,(1.9)

luego



1.1 Movimiento periodico 11

(1.10) v2 = ω2o

A2 − x2

.

Esta ecuacion nos permite escribir una formula para la amplitud en termino de las condiciones iniciales

(1.11) A =

v2

0

ω20

+ x20

.

1.1.2. Sistema masa-resorte

k

0 x

m

Figura 1.3 Sistema masa-resorte

Este es un sistema tıpico (ver figura 1.3), en el que la fuerza tiene la forma

(1.12) F ( x) = −(k 1 x+ k 2 x2+ k 3 x

3+ · · · ) ,

para un resorte que es estirado “demasiado”, lo cual indica que en general un sistema masa resorte no es un oscilador armonico.

Para pequenos desplazamientos se puede aproximar F ( x) = −kx, cuya solucion tiene la forma

(1.13) x(t ) = A sin(ωot +ϕ0) ,

donde ωo =√

k /m.

1.1.2.1. Resorte vertical

En este caso la fuerza viene dada por F ( x′) = −kx′+mg (ver figura 1.4), la masa oscilara en torno a la posicion x0, con esto

F ( x0) = −kx0 +mg = 0, ası desplazando el origen de coordenadas por x′ = x + x0 se tiene F ( x) = −kx.

1.1.3. Movimiento pendular

1.1.3.1. Pendulo f ısico

Para este pendulo se tiene

τ(θ ) = −mg RC M sinθ

= −mg RC M (θ − 1

3!θ 3 +

1

5!θ 5 + · · · ) ,(1.14)

donde RC M es la distancia desde el punto de giro O hasta el centro de masa C M (ver figura 1.5). Notese que el pendulo fısico

tampoco es en general un oscilador armonico. Sabiendo que τ(θ ) = I d 2θ dt 2

(segunda ley de Newton) y para pequenos angulos

(1.15) d 2θ dt 2

= −mg RC M

I θ ,




0

m

k

x′

x0k = mg

Figura 1.4 Resorte vertical

O

C M

x

z

y

O′

θ

−mg

Figura 1.5 Pendulo fısico

donde I es el momento de inercia del solido respecto al eje de oscilacion (eje z en la figura 1.5), y ωo =

mg RCM / I .

1.1.3.2. Pendulo de torsion

Para este pendulo, la magnitud del momento de fuerza (o torque) viene dado por

(1.16) τ = −(k 1θ + k 2θ 2 + k 3θ 3 + · · · ) ,



1.1 Movimiento periodico 13

x

θ

C M y

k

Figura 1.6 Pendulo de torsion

en la cual el signo negativo indica que el torque es contrario al sentido de la rotacion.

1.1.3.3. Pendulo esf erico

l

r

−m2g

θ

−m1g

Figura 1.7 Pendulo de esferico

Tarea

Pendulo simple

Tarea




1.1.4. Energıa en el movimiento arm´ onico simple

La energıa potencial en la posicion x, se calcula por medio del trabajo que hace la fuerza recuperadora desde la posicion x

hasta el punto de equilibrio x = 0. Si la fuerza es

(1.17) F ( x) = −mω2o x ,

entonces la energıa potencial se escribe

U P =

0

x

F ( x)dx(1.18)

= mω2o

x

0

xdx ,(1.19)

luego

(1.20) U P = 1

2mω2

o x2 ,

y la energıa cinetica es

(1.21) U K = 1

2mv2

x .

U K

E

0

A− A

x

E 0 = 12

mω2 A2

U P

x0

U K ( x0)

U P( x0)

U P( x0)+U K ( x0)

Figura 1.8 Curvas de energıa potencial y cinetica

La energıa total E 0 es la suma de la energıa cinetica mas la energıa potencial, luego

(1.22) E 0 = U P +U K = 1

2mω2

o x2 + 1

2mv2

x = 1

2mω2

o A2 ,

donde se ha utilizado la ecuacion 1.10, aqui es claro que la energıa potencial maxima U Pmax es igual a la energıa cinetica

maxima U K max , es decir,

(1.23) U Pmax = U K max = 1

2mω2

o A2 .



1.2 Superposicion de movimientos armonicos simples 15

Notese que la energıa total E 0 es una constante del movimiento.

1.1.5. Taller

1.2. Superposicion de movimientos armonicos simples

Para estudiar la superposicion de dos MAS, es util emplear la representacion en un diagrama de fasores de una oscilacion,

en donde a un oscilador cuya funcion esta dada por

(1.24) x(t ) = A cos(ωot +ϕ0) ,

le corresponde el vector x = [ A, ωot +ϕ0] en coordenadas polares (ver figura 1.9).

x(t ) = Acos(ωt +ϕ0)

A

y

xωt +ϕ0

x = [ A, ωt +ϕ0]

Figura 1.9 Fasor x asociado al armonico x(t )

Notese que la componente en el eje x del fasor x es precisamente la funcion 1.24. El fasor x = [ A, ωot +ϕ0] se dice armonico

si A, ωo y ϕ son constantes, es decir, independientes del tiempo.

1.2.1. Superposici´ on de dos movimientos arm´ onicos simples de diferente frecuencia

Sean

x1(t ) = A1 cos(ω1t +ϕ1) ,(1.25)

x2(t ) = A2 cos(ω2t +ϕ2) ,(1.26)

dos movimientos armonicos, cuyos fasores estan dados por

x1(t ) = [ A1, ω1t +ϕ1] ,(1.27)

x2(t ) = [ A2, ω2t +ϕ2] ,(1.28)

El fasor resultante de la suma se escribe

(1.29) x(t ) = x1(t )+x2(t ) = [ A, α] ,

donde la amplitud A esta dada por

(1.30) A(t ) = A21+ A2

2+2 A1 A2 cos[(ω2−ω1)t + (ϕ2−ϕ1)] ,




x

y

ω1t +ϕ1

A2

A

ω2t +ϕ2

β A1

(ω2−ω1)t +ϕ2−ϕ1

Figura 1.10 Diagrama de fasores de la superposicion de dos movimientos armonicos simples.

y el angulo α por

(1.31) α = ω1t +ϕ1 + β .

El angulo β se expresa

(1.32) β(t ) = arctan

A2 sin[(ω2−ω1)t + (ϕ2−ϕ1)]

A1 + A2 cos[(ω2−ω1)t + (ϕ2−ϕ1)]

,

ası, el fasor resultante se escribe x = [ A(t ), ω1t +ϕ1 + β(t )] (ver figura 1.10). Dado que tanto la amplitud A(t ) como la fase β(t )

del fasor resultante son funciones del tiempo, la oscilacion resultante

(1.33) x(t ) = A(t )cos(ω1t +ϕ1 + β(t )) .

Vemos que el resultado no es (en general) armonico ni periodico (ver figura 1.11).

A(t )

t

x(t )

Figura 1.11 Superposicion de dos movimientos armonicos simples de frecuencias diferentes




1.2.1.1. Superposicion de dos movimientos armonicos simples de igual frecuencia

Es claro que si ω1 = ω2 se tiene que A(t ) = cte y β(t ) = cte. En este caso la movimiento resultante es armonico. Ası

x1(t ) = A1 cos(ωt +ϕ1) ,(1.34)

x2(t ) = A2 cos(ωt +ϕ2) ,(1.35)

con x(t ) = x1(t )+ x2(t ) = A cos(ωt +ϕ) . El resultado de la superposicion es otro movimiento armonico simple.La amplitud resultante es

(1.36) A2 = A21 + A2

2 +2 A1 A2 cos(ϕ2−ϕ1) ,

y la fase se da por

(1.37) tan β = A2 sin(ϕ2 −ϕ1)

A1 + A2 cos(ϕ2−ϕ1) .

Si ϕ2 −ϕ1 = 0 entonces A = A1 + A2, con β = 0.

Si ϕ2 −ϕ1 = π entonces A = | A2− A1|, con β = 0,π.

Si ϕ2 −ϕ1 = π/2 entonces A = A21 + A

22, con β = arctan( A2/ A1).

1.2.1.2. Superposicion de dos MAS de frecuencias muy parecidas ( pulsaci´ on o batido)

Definiendo ωm = ω2−ω1

2 , ϕm =

ϕ2−ϕ12

, ω = ω2+ω1

2 y ϕ =

ϕ2+ϕ12

, escribimos

x(t ) = A[cos(ω1t +ϕ1)+ cos(ω2t +ϕ2)]

= 2 A

cos

(ω2 +ω1)t + (ϕ2 +ϕ1)

2

cos

(ω2−ω1)t + (ϕ2−ϕ1)

2

.(1.38)

Si las frecuencias ω1 y ω2 son proximas, tal que ω1 ≈ω2, entonces |ω2 −ω1| ω2 +ω1.

cos(ωt +ϕ)

t

x(t )

ϕm

ωm

Pulsoϕ

ω

A(t ) = 2 A cos(ωmt +ϕm)

Figura 1.12 Pulsacion

Se define

(1.39) A(t ) = 2 Acos(ωmt +ϕm) ,

podemos escribir




(1.40) x(t ) = A(t )cos(ωt +ϕ) .

Tampocoel resultado es armonico, dado que la amplitud es una funcion que dependedel tiempo, pero aparece una periodicidad

en la amplitud modulada A(t ) (ver figura 1.12), esta amplitud es una funcion que varıa lentamente con comparacion con la

funcion cos(ωt +ω). Las cantidades ωm y ϕm las llamaremos frecuencia y fase inicial de modulacion respectivamente, a ω y ϕ

las llamaremos frecuencia y fase inicial medias respectivamente.

1.2.1.3. Temas suplementarios de la seccion 2.2.1

Oscilaciones conmensurables

Una clase de movimientos periodicos de mucho interes se da cuando las oscilaciones son conmensurables, es decir, que

T = n1T 1 = n2T 2 , con n1 y n2 enteros. En este caso se tiene que el fasor suma tiene tiene un periodo T , dado que cuando el

fasor x1 da n1 vueltas, el fasor x2 da n2 vueltas, ası el fasor x = x1 +x2 regresa a su situacion inicial.

Ahora, lo mismo sucede si se tiene la composicion de tres armonicos conmensurables (ver figura 1.13), donde T = n1T 1 =

n2T 2 = n3T 3, de esta forma el fasor suma x = x1 +x2 + x3 es tambien periodico con periodo T , dado que cuando el fasor x1 da

n1 vueltas el fasor x2 da n2 vuentas y exactamente el fasor x3 da n3 vueltas.

x

y

C 1

C 2

C 3

θ 1

θ 2

θ 3

x = x 1

+ x 2

+ x 3

Figura 1.13 Composicion de tres M.A.S. conmensurables

La nocion de armonicos conmensurables se puede extender a la composicion de N armonicos conmensurables (ver figura

1.14), tal que T 0 = 2T 2 = 3T 3 = 4T 4, . . . , NT N . Ası, tenemos una frecuencia fundamentalω0 = 2π/T 0 de tal forma queωn = nω0.

De igual forma, el fasor x = x1 +x2 +x3 + · · ·+x N es tambien una funcion periodica, la cual podemos escribir

(1.41) x(t ) =

N

n=0

C n cos(ωnt +φn) ,

donde ωn = nω0.

En general se puede escribir

(1.42) x(t ) =

∞n=0

C n cos(ωnt +φn) ,

donde C n = 0 para n > N , luego escribimos

(1.43) x(t ) = A0 +

∞n=1

An cos(ωnt )+

∞n=1

Bn sin(ωnt ) ,

la cual es una serie armonica y se tiene que toda serie armonica describe una funcion periodica, dada la conmensurabilidad de

la composicion.




x =

x 1 + x 2

+ ·

· · + x n

y

x

xn

Figura 1.14 Composicion de N armonicos conmensurables

Serie armonica asociada a una funcion periodica

Ya vimos que toda serie armonica conmensurable (ecuacion 1.43) representa una funcion periodica. Ahora nos interesamos

en determinar la serie armonica asociada a una funcion periodica dada.

Sea f (t ) una funcion periodica con periodo T , y g(t ) la serie armonica dada por

(1.44) g(t ) =

∞n=0

An cos(ωnt )+

∞n=0

Bn sin(ωnt ) ,

se desea determinar los coeficientes An y Bn tal que

(1.45) 1

T

T /2

−T /2

[ f (t )−g(t )]2dt

se mınima. Escribimos

1

T

T /2

−T /2

[ f (t )− g(t )]2dt = 1

T

T /2

−T /2

f 2(t )dt + 1

T

T /2

−T /2

g2(t )dt − 2

T

T /2

−T /2

f (t )g(t )dt

= 1

T

T /2

−T /2

f 2(t )dt +2

∞k =0

∞l=0

Ak Bl1

T

T /2

−T /2

cosωlt sinωk t dt +

∞k =0

∞l=0

Al Ak 1

T

T /2

−T /2

cosωlt cosωk t dt

+

∞k =0

∞l=0

Bl Bk 1

T

T /2

−T /2

sinωlt sinωk t dt −2

∞k =0

Ak 1

T

T /2

−T /2

f (t )cosωk t dt −2

∞k =0

Bk 1

T

T /2

−T /2

f (t )sinωk t dt

=1

T

T /2

−T /2

f 2(t ) dt +

∞k =0

A2k +

∞k =0

B2k −2

∞k =0

Ak αk −2

∞k =0

Bk βk ,(1.46)

donde se ha definido

(1.47) αk = 1

T

T /2

−T /2

f (t )cosωk t dt

y

(1.48) βk =1

T

T /2

−T /2

f (t )sinωk t dt

luego

1

T T /2

−T /2

[ f (t )−g(t )]2dt =1

T T /2

−T /2

f 2(t ) dt +

∞

k =1

( Ak −αk )2−

∞

k =1

α2k +

∞

k =1

( Bk − βk )2−

∞

k =1

β2k + 2

A0−

α0

2 2

−α20/2 .(1.49)

De aquı tenemos que la serie




(1.50) f ′(t ) = A0 +

∞n=1

An cos(ωnt )+

∞n=1

Bn sin(ωnt ) ,

se llama serie de Fourier de f (t ) si

(1.51) An = 1

T

T /2

−T /2

f (t )cosωnt dt ,

(1.52) Bn =1

T

T /2

−T /2

f (t )sinωnt dt .

y

(1.53) A0 = 1

2T

T /2

−T /2

f (t ) dt .

1.2.2. Combinaci´ on de dos MAS perpendiculares

1.2.2.1. Frecuencias iguales

x(t ) = A1 cosωt (1.54)

y(t ) = A2 cos(ωt + ∆ϕ) ,(1.55)

1. Si ∆ϕ = 0, entonces y = A2 A1

x movimiento rectilıneo, con r =

x2 +y2 =

A2

1+ A2

2cosωt .

2. Si ∆ϕ = π/2, entonces x(t ) = A1 cosωt y y(t ) = − A1 sinωt , luego

(1.56) x2

A1+

y2

A2= 1 ,

movimiento elıptico, en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

3. Si ∆ϕ = 3π/2, entonces x(t ) = A1 cosωt y y(t ) = A1 sinωt , luego

(1.57) x2

A1+

y2

A2= 1 ,

movimiento elıptico, en el sentido contrario del movimiento de las agujas del reloj.

4. Si ∆ϕ = π, entonces y = − A2 A1

x (movimiento rectilıneo).

5. Para ∆ϕ = π/4, 3π/4, 5π/4 y 7π/4. tarea

1.2.2.2. Frecuencias diferentes

En la superposicion de frecuencias diferentes aparecen las figuras de Lissajous.

1.2.3. Oscilaciones libres de sistemas con dos grados de libertad

Suponemos varios osciladores acoplados de forma que el movimiento de uno de ellos influye en todos los demas. El efecto

neto del acoplamiento de dos o mas osciladores se puede describir como un intercambio de energıa entre ellos.

1.2.3.1. Dos oscilaciladores acoplados

Tomamos como ejemplo el ilustrado en la figura 1.15 En esta figura se observan dos “partes moviles” representadas por los




k 1 k 1

m

k 2

m

0 0 x1 x2

Figura 1.15 Osciladores acoplados por resortes

dos bloques de masa m. La ecuacion del movimiento de cada partıcula de masa m es

md 2 x1

dt 2 = −k 1 x1 + k 2( x2− x1)(1.58)

md 2 x2

dt 2 = −k 1 x2 − k 2( x2− x1) ,(1.59)

ninguna de las dos partıculas realiza un m.a.s. La suma de las ecuaciones 1.58 y 1.59 resulta en

(1.60) md 2( x1 + x2)

dt 2 = −k 1( x1 + x2) ,

esta es la ecuacion de un oscilador armonico de frecuencia ωa =√

k 1/m. La diferencia de las las ecuaciones 1.58 y 1.59 resulta

en

(1.61) md 2( x2− x1)

dt 2 = −(2k 2 + k 2)( x2− x1) ,

esta es la ecuacion de un oscilador armonico de frecuencia ωb =√

(2k 2 + k 1)/m. Definimos

xa = x1 + x2 ,(1.62)

xb = x2− x1 ,(1.63)

ası podemos escribir

xa = Aa cos(ωat +ϕa) ,(1.64)

xb = Ab cos(ωbt +ϕb) .(1.65)

El movimiento de cada bloque esta compuesto por la superposicion de dos m.a.s. con frecuencias ωa y ωb, los cuales se les

denomina modos normales de oscilacion, donde

x1 = xa − xb

2 = A1 cos(ωat +ϕa)− A2 cos(ωbt +ϕb) ,(1.66)

x2 =

xa + xb

2 = A

1cos(ω

at +ϕ

a)+ A

2cos(ω

bt +ϕ

b) .(1.67)

El muelle izquierdo que se deforma x1, del muelle derecho que se deforma x2, y del muelle central que se deforma x2− x1, ası,

la energıa total del sistema viene dada por

E T = U P +U K = 1

2mv2

1 + 1

2mv2

2 + 1

2k 1 x2

1 + 1

2k 1 x2

2 + 1

2k 2( x2− x1)2

= 1

2mv2

1 + 1

2(k 1 + k 2) x2

1 + 1

2mv2

2 + 1

2(k 1 + k 2) x2

2 − k 2 x2 x1 ,(1.68)

donde el primer termino depende solamente de x1, y puede llamarse energıa del primer oscilador, el segundo termino depende

solamente de x2, y puede llamarse energıa del segundo oscilador y el ultimo termino, que depende de x1 y x2 se denomina

energıa de acoplamiento o de interaccion.




Acoplamiento debil

Si k 2 k 1, entonces ωa ≈ωb, de esta forma se da el fenomeno de pulsaciones, para ilustrar se toma A1 = A2 = A.

Definiendo ωm = ωb−ωa

2 , ϕm =

ϕb−ϕa

2 , ω =

ωb+ωa

2 y ϕ =

ϕb+ϕa

2 , escribimos

x1(t ) = A

2[cos(ωat +ϕa)− cos(ωbt +ϕb)]

= A sin(ωmt +ϕm) sin(ωt +ϕ) .(1.69)

y

x2(t ) = A

2[cos(ωat +ϕa)+ cos(ωbt +ϕb)]

= A cos(ωmt +ϕm)cos(ωt +ϕ) .(1.70)

t

t

x2(t )

x1(t )

Figura 1.16 Osciladores acoplados

1.2.3.2. Pendulos acoplados

Tarea.



1.3 Oscilaciones amortiguadas 23

k

m

l

m

l

θ 2θ 1

Figura 1.17 Pendulos acoplados

1.2.4. Taller

1.3. Oscilaciones amortiguadas

El amortiguamiento puede manifestarse en varias formas, este aparece como fuerzas no conservativasque disipan la energıa

cinetica. Aquı trataremos un caso sencillo pero no menos importante (fuerzas viscosas). La fuerza disipativa aparece una vez

que el sistema mecanico entra en movimiento, ası que es natural expresar esta fuerza en funcion de la velocidad

(1.71) R(v) = −(b1v+b2v2) ,

para v

b1/b2 entonces R(v) =−

bv ası la suma de las fuerzas es

(1.72) F ( x) = −kx −bv .

La ecuacion del movimiento es

(1.73) d 2 x

dt 2 +

b

m

dx

dt +

k

m x = 0 ,

cuya solucion es x(t ) = A1eλ+t + A2eλ−t , donde

(1.74) λ± =

−b

2m

± b2

4m2 −k

m

.

Se define γ = b2m

y ωo =

k m

con esto

(1.75) λ± = −γ ± γ 2−ω2

o .

El discriminante nos arroja tres casos

γ 2−ω2o > 0 (Sobre-amortiguado).

γ 2−ω2o = 0 (Crıticamente amortiguado).

γ 2−ω2o < 0 (Sub-amortiguado).




1.3.1. Oscilador sobre-amortiguado y oscilador crıticamente amortiguado

1.3.1.1. Oscilador sobre-amortiguado

En este caso la solucion es

(1.76) x(t ) = A1eλ+t + A2eλ−t ,

el oscilador no oscila, la fuerza de friccion es superior a la fuerza elastica.

1.3.1.2. Oscilador crıticamente amortiguado

Como

(1.77) b2

4m2 − k

m= 0 ,

con esto λ− = λ+ = −γ . Ası una solucion es

(1.78) x1(t ) = Ae−γ t .

Para hallar la otra solucion se utiliza el metodo de variacion de parametros, sea

(1.79) x2(t ) = v(t )e−γ t ,

reemplazamos en 1.73 y se obtiene v(t ) = A2t +C

(1.80) x2(t ) = ( A2t +C )e−γ t ,

con esto

(1.81) x(t ) = x1(t )+ x2(t ) = ( A1 + A2t )e−γ t .

En este caso el oscilador no puede oscilar. La velocidad es

v = dx

dt = −γ ( A1 + A2t )e−γ t

+ A2e−γ t

= ( A2− A1γ − A2γ t )e−γ t ,(1.82)

(1.83) v(0) = v0 = A2− A1γ ,

para t = 0 para x se tiene

(1.84) x(0) = x0 = A1 ,

reemplazando 1.84 en 1.83 se obtiene

(1.85) v0 = A2− x0γ ,

1.3.2. Oscilador Sub-amortiguado

Para

(1.86) b2

4m2 <

k

m,

con eso definimos




(1.87) ω2a =

k

m− b2

4m2 ,

la cual es la frecuencia de oscilacion del oscilador amortiguado, ası

(1.88) λ± = −γ ± iωa ,

cuya solucion es

x(t ) = A′1e−γ t e−iωat

+ A′2e−γ t eiωat

= A1e−γ t cos(ωat )+ A2e−γ t sin(ωat ) ,(1.89)

luego

(1.90) x(t ) = Ae−γ t sin(ωat +ϕ0) .

Las condiciones iniciales son

(1.91) x0 = Asinϕ0 ,

para la velocidad

(1.92) v =dx

dt = −γ Ae−γ t sin(ωat +ϕ0)+ Aωae−γ t cos(ωat +ϕ0) .

Con esto tenemos que

(1.93) v0 = −γ A sinϕ0 + Aωa cosϕ0 ,

entonces

(1.94) cosϕ0 = v0 + x0γ

Aωa,

de las ecuaciones 1.91 y 1.94 tenemos

(1.95) tanϕ0 = x0ωa

v0 + x0γ .

Como sin2ϕ0 + cos2ϕ0 = 1, se llega

(1.96) x2

0

A2 +

(v0 + x0γ )2

A2ω2a

= 1 ,

luego

(1.97) A = x20 + v0 + x0γ

ωa 2

.

El movimiento no es periodico, ya que las amplitudes de ciclos sucesivos decrecen (ver figura 1.18). Como los tiempos que

toma en efectuar ciclos sucesivos son iguales, al movimiento oscilatorio amortiguado de le denomina movimiento con tiempo

periodico y se define el seudo-periodo

(1.98) T ′ =2π ω2

o −γ 2.

1.3.3. Energıas de las oscilaciones sub-amortiguadas

Supondremos sub-amortiguamiento. La energıa viene dada por




x(t )

A(t ) = Ae−γ t

A

T ′

t

cos(ωt +ϕ0)

ϕ0

ω

Figura 1.18 Oscilador sub-amortiguado

(1.99) E =1

2mv2

x +1

2mω2

o x2 ,

la velocidad se tiene en 1.92, y su cuadrado es

v2 x = A2γ 2e−2γ t sin2(ωat +ϕ)+ A2ω2

ae−2γ t cos2(ωat +ϕ)

−2 A2γωae−2γ t sin(ωat +ϕ)cos(ωat +ϕ)

= γ 2 x2 + A2ω2ae−2γ t [1− sin2(ωat +ϕ)]

−2 A2γωae−2γ t sin(ωat +ϕ)cos(ωat +ϕ)

= γ 2 x2+ A2ω2

ae−2γ t −ω2a x2 − A2ωaγ e

−2γ t sin[2(ωat +ϕ)] ,(1.100)

por la ecuacion 1.87

(1.101) v2 x = ω2

o x2− 2ω2a x2

+ω2a A

2e−2γ t − A2γωae−2γ t sin[2(ωat +ϕ)] .

Luego la energıa esta dada por

E = m(ω2o−ω2

a) x2+

1

2mω2

a A2e−2γ t

−1

2mωa A

2γ e−2γ t sin[2(ωat +ϕ)] ,(1.102)

luego

E = mγ

2

x

2

+

1

2mω

2

a A

2

e−2γ t 1− γ ωa sin[2(ωat +ϕ)] ,(1.103)

ver figura 1.19, se nota que no tiene mucho interes calcular una energıa promedio, dado que el promedio de esta curva no

representa una cantidad fısica que caracterice el sistema, por lo tanto aquı tomaremos el enfoque de amortiguamiento debil.

1.3.3.1. Amortiguamiento debil

El amortiguamiento debil se da para γ ωo entonces ωa ≈ωo, luego de 1.103 se tiene que la energıa total se escribe

(1.104) E ≈ E ′ = 1

2mω2

o A2e−2γ t ,

(ver figura 1.19) por la ecuacion 1.22 obtenemos




(1.105) E ′ = E 0e−2γ t .

0

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Tiempo

E n e r g ´ ı a

E ≈ E ′ = 12 mω2

0 A2e−2γ 1t

E (γ 1)

Tiempo

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12

E n e r g ´ ı a

E (γ 2)

E ′

Figura 1.19 Energıa oscilador amortiguado, en las figuras γ 1 > γ 2, la curva continua corresponde a la ecuacion 1.103 y la curva a trazos, a la ecuacion

1.104

Se nota en la figura 1.19 que para menores valores de γ (amortiguamiento debil) mas se aproxima E a E ′ de la ecuacion

1.104.

1.3.3.2. Potencia disipada

La potencia disipada viene dada como la variacion en el tiempo de la energıa total, para amortiguamiento debil se tiene

(1.106) Pr =dE

dt = −mγω2

o A2e−2γ t .

Por la ecuacion 1.104 podemos escribir que la potencia disipada por el amortiguamiento esta dada por

(1.107) Pr = −2 E γ .

1.3.3.3. Factor de calidad Q

Para E = E 0e2π

≈ E 0

535,491655964 tenemos γτ = π, de esto resulta que el tiempo τ para que la energıa decaiga e2π veces es igual a

(1.108) τ = π

γ .




El numero de oscilaciones (de seudoperiodos T ′ 1.98) que el oscilador hace en este tiempo viene dado por

(1.109) Q = τ

T ′ =

ω2

o −γ 22γ

= ωa

2γ .

donde Q se define como el factor de calidad, y es una medida del numero de oscilaciones que puede efectuar el oscilador antes

de que su energıa disminuya considerablemente.

Por otra parte, utilizando la ecuacion 1.107 tenemos que

(1.110) 1

2γ =

E

Pr

ası se prueba que

(1.111) Q = ωa

2γ =ω

E

Pr

= 2π

E

PrT ′

,luego

(1.112) Q = 2π

energıa total

energıa disipada por ciclo

.

Aquı se observa que la definicion 1.112 se reduce a la dada en 1.109, mas adelante veremos que esta (ecuacion 1.109) no

siempre tiene un sentido y es solo valida para el oscilador amortiguado. La forma general de calcular el factor de calidad es la

dada en la ecuacion 1.112.

1.3.3.4. Decremento logaritmico

1.3.4. Taller



Capıtulo 2

Oscilaciones forzadas

Para mantener el movimiento de cualquier oscilador real es preciso suministrarle energıa que contrarreste la perdida debida

a la friccion. En este caso se dice que el oscilador es forzado externamente y la fuerza aplicada suministra energıa al sistema.

Si la energıa que aporta la fuerza aplicada es mayor que la que disipa la fuerza de rozamiento, la amplitud de las oscilaciones

del sistema aumenta. Cuando la energıa aportada por la fuerza aplicada es igual a la disipada por rozamiento, la amplitud de

oscilacion del sistema permanece constante.

2.1. Fuerza impulsora periodica

Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una partıcula de masa m unida al extremo de un muelle elastico de

constante k , en presencia de un amortiguador de constante de amortiguamiento b, y sometido a una fuerza impulsora, luego la

fuerza total aplicada sobre la partıcula se escribe

(2.1)

F = F elastica + F amortiguadora+ F impulsora ,

de aquı para F impulsora = F 0 cosω f t tenemos

(2.2) d 2 x

dt 2 +

b

m

dx

dt +

k

m x =

F 0

mcosω f t .

2.1.1. Fuerza impulsora arm´ onica

La solucion general de la ecuacion homogenea (suponiendo sub-amortiguamiento), esta dada por la ecuacion 1.90

(2.3) xc(t ) = Ae−γ t sin(ωat +ϕ0) ,

donde ωa = ω2o −γ 2 , y ωo = √ k /m.

Una solucion particular de prueba para 2.2 es

(2.4) x p(t ) = B cos(ω f t +φ) .

Reemplazando 2.4 en 2.2 llegamos a

(2.5) −ω2 f Bcos(ω f t +φ)−2γω f Bsin(ω f t +φ)+ω2

o B cos(ω f t +φ) = F 0

mcosω f t

luego

F 0

m cosω f t = −ω2 f B cosω f t cosφ+ω

2 f B sinω f t sinφ−2γω f B sinω f t cosφ

−2γω f B cosω f t sinφ+ω2o B cosω f t cosφ−ω2

o Bsinω f t sinφ ,(2.6)

29



30 2 Oscilaciones forzadas

de aquı

F 0

m= −ω2

f Bcosφ−2γω f Bsinφ+ω2o B cosφ

= B[(ω2o−ω2

f )cosφ−γω f sinφ](2.7)

y

B[ω2 f sinφ−2γω f cosφ−ω2o sinφ] = 0

B[(ω2 f −ω2

o)sinφ−2γω f cosφ] = 0 ,(2.8)

como B 0 (solucion no trivial), entonces

(2.9) φ = arctan

−2γω f

ω2o−ω2

f

.

De 2.7

(2.10) B = F 0/m

(ω2o

−ω2

f

)cosφ−

2γω f sinφ.

De 2.9

sinφ =−2γω f

(ω2o −ω2

f )+ (2γω f )2

,(2.11)

cosφ =ω2

o −ω2 f

(ω2o −ω2

f )+ (2γω f )2

,(2.12)

entonces

(2.13) B =

F 0/m (ω2o −ω2

f )2 + (2γω f )2 .

La solucion de 2.2 esta dada por

x(t ) = xc(t )+ x p(t )

=

x2

0+

v0 + x0γ (ω2

o− γ 2)

2

e−γ t sin

(ω2

o− γ 2) t +ϕ0

+

F 0/m (ω2

o −ω2 f )2 + (2γω f )2

cos(ω f t +φ) ,(2.14)

donde

ϕ0 = arctan

x0

(ω2

o−γ 2)

v0 + x0γ

,(2.15)

φ = arctan

−2γω f

ω2o−ω2

f

.(2.16)

El primer termino de 2.14 es transitorio y depende de las condiciones iniciales v0 y x0 y luego de cierto tiempo t > τ ≡ πγ

(ver ecuacion 1.108) es practicamente nulo.

El segundo termino de 2.14 describe el estado estacionario. En el estado estacionario la amplitud del oscilador permanece

constante, ya que la fuerza impulsora, en promedio, compensa las perdidas producidas por el amortiguamiento. Para este

estado se dice que el oscilador ha “olvidado” sus condiciones iniciales ya que esta solucion es independiente de ellas. Ası,

si dos osciladores identicos; con fases iniciales ϕ1 y ϕ2 respectivamente, y amplitudes iniciales A1 y A2 respectivamente; son

sometidos a fuerzas identicas, ambos llegaran a regımenes estacionarios con igual amplitud B e igual fase φ.



2.1 Fuerza impulsora periodica 31

x(t )

B

− B

t

t = τ

Figura 2.1 Oscilador amortiguado forzado, con ω f =ω.

Para t > τ se tiene

(2.17) x(t ) = B cos(ω f t +φ) ,

con

(2.18) B = F 0/m

(ω2o −ω2

f )2 + (2γω f )2

,

la velocidad es

(2.19) v(t ) = d x

dt = −ω f Bsin(ω f t +φ) .

2.1.2. Energıa en el r ´ egimen estacionario

Notese que en el regimen estacionario la solucion es armonica (ver ecuacion 2.17). Uno estarıa tentado a decir que la energıa

viene dada por

E ′ =1

2mω2

f B2

=F 2

0ω2

f /(2m)

(ω2o−ω2

f )2 + (2γω f )2

,(2.20)

pero la verdad es que en el sistema existen fuerzas no conservativas que hacen que, en general, la energıa potencial maxima no

sea igual a la energıa cinetica maxima.

Por lo anterior para carcular la energıa del oscilador amortiguado y forzado en el regimen estacionario, es necesario calcular

U K =1

2mv2

x =1

2mω2

f [ B2− x2](2.21)

U P =1

2kx2

=1

2mω2

o x2 ,(2.22)

luego

E ( x) = U P +U K

= 1

2mω2

f B2 +

1

2m(ω2

o −ω2 f ) x

2 ,(2.23)

la energıa total es una funcion de la posicion, para x = 0 se tiene E = 1

2

mω2

f

B2 = U K max , y para x = B se tiene E = 1

2

mω2

o

B2 =

U Pmax , lo cual indica que la energıa total esta variando entre la energıa cinetica maxima y la energıa potencial maxima, es

decir, E ∈ [U K max , U Pmax] (ver figura 2.2).




E

B

U P U K

E = U P +U K

x

− B

0

Figura 2.2 Energıa del oscilador amortiguado forzado.

Ademas

E (t ) = U P +U P

= 1

2mω2

o B2 cos2(ω f t +φ)+1

2mω2

f B2 sin2(ω f t +φ) ,(2.24)

esta suma no es una constante del movimiento (ver figura 2.3).

E

t

Origen Extremo

U Pmax = 12

mω20 B2

U K max = 12

mω2 f

B2

E (t ) = U K (t )+U P(t )

Figura 2.3 Energıa del oscilador amortiguado forzado.

2.1.3. Potencia en el r´ egimen estacionario

La potencia transferida por la fuerza F = F 0 cosω f t esta dada por

(2.25) PF = F v = −F 0 Bω f cosω f t sin(ω f t +φ) ,

la potencia promedio suministrada es



2.2 Resonancia 33

< PF > = −F 0 Bω f < cosω f t sin(ω f t +φ) >

= −F 0 Bω f sinφ

2

=−F 2

0ω f /(2m)

(ω2o−ω2

f )2 + (2γω f )2

sinφ .(2.26)

como sinφ esta dado por 2.11 se tiene

(2.27) < PF >=F 2

0ω2

f γ /(m)

(ω2o−ω2

f )2 + (2γω f )2

.

por la ecuacion 2.21 escribimos

(2.28) < PF >= 2γ U K max .

La potencia Pr disipada por la fuerza de amortiguamiento

F r = −bv x

= bω f Bsin(ω f t +φ) ,(2.29)

esta dada por

Pr = F rv x

= −bω2 f B

2 sin2(ω f t +φ) ,(2.30)

la potencia promedio disipada es

< Pr > = −bω2 f B

2 sin2(ω f t +φ)

= −1

2bω2

f B2 ,(2.31)

utilizando γ = b2m , se tiene

< Pr > = −mγω2 f B

2

= −2γ U K max .(2.32)

Sumando la potencia promedio < Pr > disipada y la potencia promedio < PF > transferida por la fuerza impulsora

(2.33) < Pr > + < PF >= 0 .

Lo cual es la caracteristica del regimen estacionario, el trabajo efectuado por la fuerza impulsora compensa (en promedio) las

perdidas de energıa producidas por el amortiguamiento.

2.2. Resonancia

Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la solucion estacionaria del oscilador amortiguado dependen de

las caracterısticas fısicas del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada.

2.2.1. Resonancia en amplitud

La amplitud

(2.34) B = F 0/m (ω2

o −ω2 f )2 + (2γω f )2

,




es una funcion de ω f , ası que la amplitud sera maxima para

(2.35) dB

d ω f

ω f =ωres

= 0 ,

entonces

(2.36) d

d ω f

F 0/m

(ω2o −ω2 f )

2 + (2γω f )2 ω f =ωres

= 0 ,

luego

(2.37) 2(ω2o−ω2

res )(−2ωres)+2(2γωres)(2γ ) = 0 ,

entonces

(2.38) ωres =

ω2

o −2γ 2 .

ωres ω0ω

ω f

Bmax = F 02mω Aγ

B(ω f )

Figura 2.4 Curva de amplitud vs ω f .

La amplitud maxima esta dada por Bmax = B(ωres), luego

(2.39) Bmax = F 0

2mωaγ .

Es comun encontrar en la practica que γ ωo, ası se justifica que una gran mayorıa de casos se pueda tomar ωres = ωo

como la frecuencia de resonancia en amplitud.

2.2.2. Resonancia en potencia

La potencia transferida es

< PF > =F 2

0ω2

f γ /(m)

(ω2o −ω2

f )2 + (2γω f )2

=F 2

0

4mγ

1

1+ X 2 ,(2.40)

donde X =ω2

o−ω2 f

2γω f = tanδ. Esta funcion es una Lorentziana, cuyo maximo se da para ω f = ωo (ver figura 2.5). La potencia

maxima absorbida es



2.2 Resonancia 35

(2.41) max=F 2

0

4mγ .

ω f

ω0

< P(ω f ) >

max= F 04mγ

1/2= F 08mγ

∆ω f

ω1/2

Figura 2.5 Curva de resonancia.

Un caracterıstica de la resonancia en potencia es que la energıa es nuevamenteuna constante del movimiento, de la ecuacion

(2.23), para ω f =ωo tenemos

(2.42) E = 1

2mω2

o B2 ,

donde B (por la ecuacion 2.34) esta dado por

(2.43) B = F 0

2mωoγ ,

ası la energıa total toma la misma forma que para el oscilador armonico.

2.2.2.1. Fineza de la curva de resonancia (Factor de Calidad)

Notese que para X = 1 la potencia media se reduce a la mitad de la potencia media maxima, es decir, X =1

=1/2,

para lo cual se tiene

2γω1/2 = |ω2o−ω2

1/2|

= (|ωo−ω1/2|)(ωo +ω1/2) ,(2.44)

para ω1/2 ∼ωo, luego

(2.45) 2γω1/2

≈(|ωo

−ω1/2|)2ω1/2 ,

luego, definiendo ∆ω f = 2|ωo−ω1/2|, tenemos

(2.46) ∆ω f ≈ 2γ .

De aquı se deduce que el ancho espectral de la curva de resonancia es aproximadamente igual a 2γ .

En el regimen estacionario no tiene sentido hablar de tiempo de decaimiento, por eso el factor de calidad se calcula por la

formula dada en (1.112). Aquı la energıa total (ecuacion 2.24) oscila (ver figura 2.3) y su valor medio esta dado por

(2.47) < E >=1

4m(ω2

o +ω2 f ) B

2 ,

y por la ecuacion 2.32, llegamos a




(2.48) Q = 2π

< E >

< Pr > T f

= ω2o +ω2

f

4γω f ,

donde T f = 2π/ω f es el periodo de un ciclo.

Para ω f ∼ ωo, se deduce que el factor de calidad esta dado por

(2.49) Q= ωo

2γ =

ωo

∆ω f .

El factor de calidad es una medida directa de la agudeza de la curva de resonancia (ver figura 2.5).

2.3. Taller

2.3.1. Taller - Analogıas con un circuito RLC

Para un circuito RLC (tarea)



Parte II

Ondas



Una onda es una perturbacion de alguna propiedad, por ejemplo, densidad, presion, campo electrico o campo magnetico, que

se propaga a traves del espacio transportando energıa. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua,

un trozo de metal, etc.

Buena parte del mundo como lo conocemos hoy esta influenciado por las ondas, la luz que nos viene del sol, las teleco-

municaciones, Internet, la musica, etc. En algunos casos esta influencia puede ser “negativa” como el caso de los tsunamis y

terremotos por ejemplo, todo esto hace que el estudio de las ondas sea una necesidad.



Capıtulo 3

Ondas mecanicas

La propiedad del medio, en la que se observa la perturbacion, se expresa como una funcion tanto de la posicion como del

tiempo ψ(r, t ).

3.1. Ecuacion de onda y funcion de onda

Si la onda se propaga en la direccion x, con velocidad constante v, se escribe

(3.1) ψ( x, t ) = ψ( x− vt ) ,

que corresponde a la funcion de una onda viajera progresiva (se propaga en el sentido creciente de x). El argumento de la

funcion ψ solamente puede ser de la forma ( x− vt ) y ninguna otra combinacion de las dos variables x y t .

La onda viajera regresiva (que se propaga en el sentido de las x decrecientes) corresponde a

(3.2) ψ( x, t ) = ψ( x+ vt ) ,

ψ depende unicamente de la forma de la perturbacion; en otras palabras es la funcion matematica que representa el perfil de la

onda.

x

x0

ψ( x, t 0)

λ

X

Tren de onda

Figura 3.1 Perfil de la Onda en el espacio ψ( x, t 0), para t = t 0 tenemos x0 = vt 0

Dicha funcion es solucion de la ecuacion (ecuacion de onda):

(3.3) ∇2ψ = 1

v2

∂2ψ

∂t 2 ,

donde v = cte es la velocidad de fase de la onda.

En la figura 3.1 vemos el perfil de una onda para un tiempo t = t 0. Como la distancia entre dos maximos permaneceinvariante, la hemos llamado λ (longitud de onda), pero el perfil de onda mostrado no corresponde a una onda con una sola

39



40 3 Ondas mecanicas

longitud de onda que notaremos λ simplemente por tratarse de una longitud de onda asociada la perturbacion modulada en

amplitud.

t

ψ( x0, t )

T

Pulso

τ

Figura 3.2 Perfil de la Onda en el tiempo ψ( x0, t )

El perfil de la onda en el tiempo (ver figura 3.2) presenta maximos en tiempos periodicos, el tiempo entre dos maximos

consecutivos lo hemos llamado T (periodo de la onda), pero la perturbacion mostrada no es periodica en el sentido estricto.

El tiempo T es el tiempo que toma la onda en viajar una distancia λ, de esta forma se tiene

v = λ

T = νλ

= 2πν λ

2π

= ω

k ,(3.4)

donde hemos definido k = 2πλ

(el numero de ondaangular), este es una medida del numero de longitudesde ondas en 2π metros,

ası, corresponde al angulo barrido por la onda por unidad de longitud, entonces θ = k ( x− vt ) = kx −ωt .

3.1.1. Clasificaci ´ on de las ondas

Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos:

En funcion del medio en el que se propagan

Ondas mecanicas: las ondas mecanicas necesitan un medio elastico (solido, lıquido o gaseoso) para propagarse. Las partıcu-

las del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a traves del medio. Como en

el caso de una alfombra o un latigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga

a traves de ella. Dentro de las ondas mecanicas tenemos las ondas elasticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

Ondas electromagneticas: las ondas electromagneticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por

lo tanto propagarse en el vacıo. Esto es debido a que las ondas electromagneticas son producidas por las oscilaciones de un

campo electrico, en relacion con un campo magnetico asociado.

Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometrıa misma del espacio-tiempoy aunque es comun representarlas viajando en el vacıo, tecnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningun

espacio, sino que en sı mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

En funcion de su propagacion o frente de onda

Ondas unidimensionales: las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola direccion del

espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una direccion unica, sus frentes de onda

son planos y paralelos.

Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera

de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan tambien ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se

producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre el.

Ondas tridimensionales: son ondas que se propagan en tres direcciones. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras

(mecanicas) y las ondas electromagneticas.

En funcion de la direccion de la perturbacion



3.2 Ondas en cuerdas 41

Ondas longitudinales: el movimiento de las partıculas que transportan la onda es paralelo a la direccion de propagacion de

la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

Ondas transversales: Son aquellas que se caracterizan porque las particulas del medio vibran perpendicularmente a la dire-

cion de propagacion de la onda. La luz corresponde a este tipo de ondas.

En funcion de su periodicidad

Ondas periodicas: la perturbacion local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

Ondas no periodicas: la perturbacion que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbacionessucesivas tienen caracterısticas diferentes. Las ondas aisladas se denominan tambien pulsos.

3.1.2. Ondas arm´ onicas

Una onda armonica se escribe

(3.5) ψ( x, t ) = A cos[kx −ωt −ϕ] ,

donde ω = 2πν = k v . En este caso la onda tiene una sola longitud de onda y consecuentemente una sola frecuencia.

3.2. Ondas en cuerdas

Consideremos una cuerda con densidad lineal de masa µ, orientada a lo largo del eje x, como la ilustrada en la figura 3.3,

sometida a la tension T. Por la cual se propaga una perturbacion que consiste en variaciones locales de la altura y de la cuerda.

Para una porcion de longitud ∆ x, el movimiento tiene lugar en el eje y.

y

x

θ ( x)

x x+ ∆ x

T

T

T T

Figura 3.3 Onda en cuerdas

3.2.1. Ecuaci´ on de onda en una cuerda

La perturbacion en la cuerda se tomara tan pequena que la tension se considerara invariante. La sumatoria de fuerzas en la

direccion y para la porcion ∆ x es

F y = T[sinθ ( x+ ∆ x)

−sinθ ( x)]

≈ T[tanθ ( x+ ∆ x)− tanθ ( x)] , para pequenas perturbaciones.(3.6)




Por otra parte

(3.7) may = µ ∆ x∂2y

∂t 2 ,

entonces

(3.8) µ ∆ x∂2y

∂t 2 = T(tanθ ( x+ ∆ x)

−tanθ ( x)) .

Como

(3.9) tanθ =∂y

∂ x,

luego

(3.10) µ∂2y

∂t 2 = T

∂y

∂ x( x+ ∆ x)− ∂y

∂ x( x)

∆ x,

tomando ∆ x arbitrariamente pequeno

(3.11) µT∂2y∂t 2

= lım ∆ x→0

∂y

∂ x ( x+ ∆ x)−∂y

∂ x ( x) ∆ x

,

llegamos

(3.12) ∂2y

∂ x2 =

µ

T

∂2y

∂t 2 ,

la cual es una ecuacion de onda unidimensional (ver ec. 3.3) para la perturbacion en la cuerda, cuya velocidad es v =

T/µ .

3.2.1.1. Energıa transmitida por una onda armonica en una cuerda

Para una onda armonica en una cuerda

(3.13) y( x, t ) = Acos(kx −ωt +ϕ) .

La energıa promedio de una porcion de cuerda ∆ x esta dada por

(3.14) < ∆ E >=1

2 ∆mω2 A2

=1

2 µ ∆ xω2 A2 ,

para una porcion arbitrariamente pequena de cuerda

(3.15) < dE >= 1

2

µdxω2 A2 ,

ası la densidad de energıa es

(3.16) E x =

dE

dx

=

1

2 µω2 A2 ,

esta representa la energıa por unidad de longitud en la cuerda.

Por otra parte, como d x = v xdt tenemos

(3.17) < dE >= 1

2 µdt v xω

2 A2 ,

con esto, el promedio del cambio de la energıa en el tiempo (potencia transmitida) es




(3.18)

dE

dt

=

1

2 µv xω

2 A2 ,

luego

(3.19)

dE

dt = v x

dE

dx = v xE x .

3.2.2. Coeficientes de reflexi´ on y transmisi´ on en amplitud

Cuando una onda armonica se propaga en una cuerda con densidad de masa µ1, la funcion de onda se escribe

(3.20) ψ I ( x, t ) = A I cos[k 1 x−ωt −ϕ0] ,

donde la velocidad de propagacion esta dada por v1 =

T/µ1, y k 1 = 2π/λ1, con esto

(3.21) ω = k 1v1 = 2π T

λ2

1 µ1

,

la cual llamaremos onda incidente.

Si la cuerda, en la que se propaga la onda, cambia su densidad de masa a µ2, tendremos un cambio en la velocidad de

propagacion dado por v2 =

T/µ2, dado que la frecuencia es la misma en toda la cuerda, tenemos que

(3.22) k 2v2 = 2π

T

λ22 µ2

=ω ,

donde k 2 = 2π/λ2, es decir, k 2v2 = k 1v1 y con esto λ22 µ2 = λ2

1 µ1.

x

y

λ2

λ1

µ1

µ2

Figura 3.4 Reflexion de Ondas en cuerdas

Ası, se tiene que λ1

v1= λ2

v2. Por conveniencia tomemos x = 0 en el punto donde la cuerda cambia de densidad de masa (donde se

produce la reflexion), ası en este punto tendremos una onda reflejada

(3.23) ψ R( x, t ) = A R cos[k 1 x+ωt +ϕ0] ,

donde se a producido una inversion en la fase debido a la reflexion, y una onda transmitida

(3.24) ψT ( x, t ) = AT cos[k 2 x−ωt −ϕ0] .

Entoces en la primera parte de la cuerda con densidad de masa µ1 tenemos

(3.25) ψ1( x, t ) = ψ I ( x, t )+ψ R( x, t ) ,

y en la segunda parte de la cuerda con densidad de masa µ2 tenemos




(3.26) ψ2( x, t ) = ψT ( x, t ) .

Bajo la hipotesis (obvia) que la cuerda no se rompe, en la frontera x = 0 donde se produce el cambio de densidad de masa

tenemos

(3.27) ψ1(0, t ) = ψ2(0, t ) ,

esto significa que las alturas en x = 0 de las cuerdas son las mismas, con esto

(3.28) A I + A R = AT .

Para pequenas amplitudes, la tension T es la misma a lo largo de toda la cuerda, ademas la fuerza a la que esta sometido el

punto en la frontera debe ser igual calculada desde cualquiera de las dos funciones ψ1 o ψ2, es decir

(3.29) T∂ψ1

∂ x(0, t ) = T

∂ψ2

∂ x(0, t ) ,

esto significa que el cambio en la pendiente de la cuerda en el punto x = 0 es suave, con esto

(3.30) k 1 A I − k 1 A R = k 2 AT .

Las ecuaciones 3.28 y 3.30 constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas A R y AT , de aquı

(3.31) R = A R

A I =

k 1− k 2

k 1 + k 2,

es definido como el coeficiente de reflexion, similarmente

(3.32) T = AT

A I =

2k 1

k 1 + k 2,

es definido como el coeficiente de transmision.

En termino de las velocidades

(3.33) R =v2

−v1

v1 + v2,

similarmente

(3.34) T = 2v2

v1 + v2,

en termino de las densidades de masa

(3.35) R =

√ µ1 − √ µ2√ µ1 +

√ µ2

,

similarmente

(3.36) T =2√

µ1√ µ1 +

√ µ2

.

Se nota que T −R = 1 .

3.2.2.1. Casos particulares

Notese que T siempre es positivo, mientra que R puede tomar valores positivos o negativos, dependiendo de si µ1 − µ2 > 0

o µ1 − µ2 < 0 respectivamente, con esto la onda reflejada puede estar en fase ( ∆φ = 0) o en contrafase ( ∆φ = π) con la onda

incidente.Si µ1 = µ2, por las ecuaciones 3.35 y 3.36 tenemos




T = 1(3.37)

R = 0 ,(3.38)

no hay onda reflejada, entonces ψ1 = ψ2.

Para el caso de un extremo fijo a una pared, se puede considerar como una cuerda con µ2 = ∞, con esto

T = 0(3.39)

R = −1 ,(3.40)

no hay onda transmitida y la onda reflejada esta dada por

ψ R( x, t ) = − A I cos[k 1 x+ωt +ϕ0]

= A I cos[k 1 x+ωt ±π+ϕ0] ,(3.41)

la cual esta desfasada un angulo ∆φ = π con respecto a la onda incidente ψ I .

3.2.2.2. Temas suplementarions seccion 3.2.2

Conservacion de la energıa

Para un tren de onda con longitud X 1 en el medio (1) y X 2 en el medio (2) (ver figura 3.5), ambos pulsos tendran una

duracion dada por τ1 = τ2 = τ tal que

(3.42) X 1

v1=

X 2

v2= τ ,

X 1

λ1

x = 0

ψ I ( x, t 0)

a)

µ1 µ2

λ1 λ2

ψT ( x, t f ) x = 0

ψ R( x, t f )

b)

µ1 µ2

X 2 X 1

Figura 3.5 Ilustracion de los efectos sobre una onda que se propaga en una cuerda que cambia su densidad en x = 0, a) Onda incidente ψ I b) Ondas

reflejada ψ R y transmitida ψT

Utilizando la ecuacion 3.16, que nos representa la densidad de energıa por unidad de longitud, calculamos las energıas




E I = E I X 1 =1

2 µ1ω

2 A2 I X 1 ,(3.43)

E R = E R X 1 =1

2 µ1ω

2 A2 R X 1 ,(3.44)

E T = ET X 2 = 1

2 µ2ω

2 A2T X 2 .(3.45)

Se calcula la suma

E R + E T =1

2 µ1ω

2 A2 R X 1 +

1

2 µ2ω

2 A2T X 2

=1

2ω2( µ1 A

2 R X 1 + µ2 A

2T X 2) ,(3.46)

por la ecuacion 3.42, escribimos

X 2 = v2

v1 X 1

= λ2

λ1 X 1

=

√ µ1

√ µ2

X 1 .(3.47)

Reemplazando la ecuacion 3.47 en 3.46 tenemos

E R + E T =1

2ω2

µ1 A

2 R X 1 + µ2 A

2T

√ µ1√ µ2

X 1

=

1

2 µ1ω

2 A2 I X 1

R 2 +

√ µ2√ µ1

T 2

,(3.48)

por las ecuaciones 3.35 y 3.36 se tiene que

(3.49) R 2 +

√ µ2√ µ1

T 2 = 1 ,

con lo cual se llega a que

(3.50) E R + E T = E I .

Con todo esto se prueba que la energıa, de una onda que se propaga en una cuerda que cambia su densidad, se conserva.

Mientras para la densidad de energıa se tiene

(3.51) E R X 1 +ET X 2 = E I X 1 ,

luego

E I = E R + X 2

X 1

ET

= E R +

√ µ1√ µ2

ET ,(3.52)

si µ1 µ2 la densidad de energıa no se conserva.

Coeficientes de reflexion y transmision en energıa

De la ecuacion 3.49 se puede definir los coeficientes

(3.53) T =

√ µ2√ µ1

T 2 ,

y




(3.54) R = R 2 ,

ası

(3.55) T + R = 1 .

3.2.3. Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos

Una onda incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga

de derecha a izquierda.

L

Nodo

Anti-Nodo

Tomamos una cuerda de longitud L atada en ambos extremos, si una onda se propaga hacia la derecha

(3.56) ψ I ( x, t ) = A cos[kx−ωt −ϕ0] ,

al alcanzar el extremo derecho, se refleja con un coeficiente de reflexion R = −1 y se tiene una onda reflejada

(3.57) ψ R( x, t ) = − Acos[kx +ωt +ϕ0] ,

luego la onda en la cuerda sera la superposicion

ψ( x, t ) = A cos(kx −ωt −ϕ0)− Acos(kx +ωt +ϕ0)

= A[coskx cos(ωt +ϕ0)+ sinkx sin(ωt +ϕ0)

−cos kx cos(ωt +ϕ0)+ sinkx sin(ωt +ϕ0)] ,(3.58)

luego obtenemos

ψ( x, t ) = 2 A sinkx sin(ωt +ϕ0)

= B( x)sin(ωt +ϕ0) .(3.59)

Como vemos, esta no es una onda de propagacion, su argumento no es de la forma (kx−ωt ), sino que cada punto x de la cuerda

vibra como un M.A.S. con una frecuencia angular ω y con una amplitud B( x) = 2 A sin(kx).

3.2.3.1. Modos de oscilacion de la cuerda

En los extremos de la cuerda ( x = 0 y x = L) se cumple para la ecuacion 3.59

ψ(0, t ) = 0(3.60)

ψ( L, t ) = 0 ,(3.61)

esto se cumple para sin(kL) = 0, es decir, k n L = nπ, con n = 1,2,3, . . . (recuerde que k n = 2π/λn), o bien, λn = 2 L/n .

La frecuencia puede ser calculada por

(3.62) ωn = k nv =

2π

λn T µ =

nπ

L T µ ,




!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = 2 L

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = L

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = 2 L/3

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = L/2

Figura 3.6 Modos n = 1, 2, 3, 4 para una cuerda fija en ambos extremos

el conjunto de los ωn son los modos de oscilacion de la cuerda, la primera frecuencia ω1 se le llama frecuencia fundamental

(modo fundamental), las demas se les llaman armonicos.

El primer modo de vibracion sera aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=λ1/2. Parael segundo modo de vibracion (un nodo en el centro), la longitud de la cuerda sera igual a una longitud de onda, L = λ2. Para

el tercer modo, L = 3λ3/2, y ası sucesivamente.

La amplitud puede alcanzar distintos valores segun la posicion x. Algunos puntos tendran amplitud cero,

(3.63) B( xm) = 0 ,

no vibraran

(3.64) xm =m

2 λn =

m

n L , con m = 0,1, . . . , n .

Estos puntos xm son los llamados nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda.

Los puntos que oscilan con un maximo de amplitud 2 A, para

(3.65) B( xr) = 2 A ,

ası

(3.66) xr = 2r−1

4 λn =

2r−1

2n L , con r = 1,2, . . . , n .

Estos puntos xr se les llama anti-nodos. En numero de anti-nodos es igual al modo.

3.2.4. Ondas estacionarias en una cuerda fija en solo un extremo

Tomemos una cuerda de longitud L atada en el extremo izquierdo. En x = 0 la densidad de la cuerda cambia de µ1 a µ2,donde µ1 µ2. Si una onda se propaga hacia la derecha

(3.67) ψ I ( x, t ) = A cos[kx−ωt −ϕ0] ,

al alcanzar el extremo derecho.

Este caso concuerda con una cuerda libre en el extremo derecho (en el lımite µ2 → 0), se encuentra un coeficiente de

reflexion R = 1 en (por la ecuacion 3.35), y se tiene una onda reflejada

(3.68) ψ R( x, t ) = A cos[kx +ωt +ϕ0] ,

luego la onda en la cuerda sera la superposicion




Nodo

Anti-Nodo

L

µ2

µ1

y

x0

m

ψ( x, t ) = A cos[kx −ωt −ϕ0]+ Acos[kx +ωt +ϕ0]

= A[coskx cos(ωt +ϕ0)+ sinkx sin(ωt +ϕ0)

+cos kx cos(ωt +ϕ0)− sinkx sin(ωt +ϕ0)] ,(3.69)

luego obtenemos

ψ( x, t ) = 2 A coskx cos(ωt +ϕ0)

= B( x)cos(ωt +ϕ0) .(3.70)

Como vemos esta no es una onda de propagacion, su argumentono es de la forma (kx−ωt ), sino que cada punto x de la cuerda

vibra como un M.A.S. con una frecuencia angular ω y con una amplitud B( x) = 2 A cos(kx).

3.2.4.1. Modos de oscilacion de la cuerda

En los extremos de la cuerda ( x = 0 y x = L) se cumple para la ecuacion 3.70

ψ(0, t ) = 2 A(3.71)

ψ( L, t ) = 0 .(3.72)

Con esto se cumple para cos(kL) = 0, es decir, k n L = (2n− 1)π/2, con n = 1,2,3, . . . (recuerde que k n = 2π/λn), o bien,

λn = 4 L

2n−1 .

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = 4 L

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = 4 L/3

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = 4 L/5

!2

1.5

!1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 5 10 15 20

λ = 4 L/7

Figura 3.7 Modos n = 1, 2, 3, 4 para una cuerda fija en x = 0

La frecuencia puede ser calculada por

(3.73) ωn = k nv = 2π

λn

T µ

= (2n−1)π

2 L

T µ

,




el conjunto de los ωn son los modos de oscilacion de la cuerda, la primera frecuencia ω1 se le llama frecuencia fundamental

(modo fundamental), a las demas se les llaman armonicos.

El primer modo de vibracion sera aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L = λ1/4. Para

el segundo modo de vibracion (un nodo en el centro), la longitud de la cuerda sera igual a una longitud de onda, L = 3λ2/4.

Para el tercer modo, L = 5λ3/4, y ası sucesivamente.

Los nodos en este caso son

(3.74) B( xm) = 0 ,

no vibraran

(3.75) xm =2m−1

4 λn =

2m−1

2n−1 L , con m = 1,2, . . . , n .

Estos puntos xm son los nodos. La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda. En numero de nodos es

igual al modo.

Los puntos que oscilan con amplitud 2 A (amplitud maxima), son

(3.76) B( xr) = 2 A ,

ası

(3.77) xr = r

2λn =

2r

2n−1 L , con r = 0, 1, . . . , n .

Estos xr son los anti-nodos.

3.2.5. Taller (1 hora)

3.3. Ondas en gases, sonido, tubos sonoros

Se tratara el problema de un gas encerrado en un tubo, lo suficientemente largo para ası considerar las ondas unidimensio-

nales.

3.3.1. Ondas de deformaci ´ on (1 hora)

Consideremos un gas inicialmente en equilibrio, ver figura 3.8

A

P0P0

x x+ ∆ x

Figura 3.8 Gas en equilibrio

luego el gas es perturbado, debido la existencia de una variacion de la presion en la posicion x dada por P( x, t ) y en x + ∆ x

dada por P( x+ ∆ x, t ), de tal forma que sufre una deformacion como la mostrada en la figura 3.9

La fuerza neta sobre un elemento de volumen V 0 = A ∆ x de gas con masa m = ρ0V 0 (donde A es el area transversal), esta dada

por

(3.78)

F x = A[P( x, t )−P( x+ ∆ x, t )] = − A ∆ x∂P

∂ x,

donde P( x, t ) es el valor de la presion en la posicion x y en el instante t . Por la segunda ley de Newton

(3.79)

F x = A ∆ x ρ0∂2 ξ

∂t 2 ,



3.3 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros 51

A

x+ ξ

x x+ ∆ x

x+ ∆ x+ ξ + ∆ξ

Figura 3.9 Gas perturbado

donde ξ es la deformacion o desplazamiento, medida desde la posicion de equilibrio, del elemento de volumen V 0, entonces

(3.80) ∂P

∂ x+ ρ0

∂2 ξ

∂t 2 = 0 .

La ecuacion 3.80 no tiene la forma de una ecuacion de onda (ver ecuacion 3.3).

Conciderando que las zonas de mayor presion tendran mayor temperatura que las zonas de menor presion. Supondremos

que las ondas en el gas se propagan a una velocidad tal que no da tiempo para un intercambio de calor significante y por tanto

no da lugar para alcanzar el equilibrio termico, ası, se justifica una aproximacion adiabatica PV γ = cte . Ademas, se tratara el

caso en que V es cercano de V 0, entonces podemos expandir P en terminos de V en series de Taylor, alrededor de V 0, con esto

(3.81) P(V ) = P(V 0)+ (V −V 0)∂P

∂V

V 0

+ 1

2(V −V 0)2 ∂

2P

∂V 2

V 0

+ · · · ,

analogamente a lo hecho para ondas en cuerdas, se consideraran variaciones del volumen lo suficientemente pequenas, de tal

forma que ∆V = V −V 0 es muy pequeno, entonces ∆V ∆2V ∆3V . . . luego

(3.82) P(V ) = P0 + (V −V 0)∂P

∂V

V 0

.

Para el volumen tenemos

(3.83) V = V 0 + A[ ξ ( x+ ∆ x, t )

− ξ ( x, t )] = V 0 + A ∆ x

∂ξ

∂ x

= V 0 +V 0∂ξ

∂ x

,

luego

(3.84) V −V 0 = V 0∂ξ

∂ x,

remplazando la ecuacion 3.84 en 3.82, tenemos

(3.85) P(V ) = P0 +V 0∂ξ

∂ x

∂P

∂V

V 0

.

Se define el modulo de compresibilidad κ del gas por

(3.86) κ = −(∂P)/(∂V /V )= −V ∂P

∂V ,

que relaciona el incremento en la presion d P con el incremento fraccionario en volumen −dV V

. El signo menos se debe a que

un incremento en presion produce una disminucion en volumen, y κ es por definicion positiva. Entonces

(3.87) P(V )−P0 = −κ 0∂ξ

∂ x.

Derivando (3.87) y remplazando en la ecuacion 3.80 llegamos

(3.88)

∂2 ξ

∂ x2 − ρ0

κ 0

∂2 ξ

∂t 2 = 0 ,




la cual corresponde a una onda que se propaga a la velocidad v =

κ 0

ρ0

. Para una onda armonica se tiene

(3.89) ξ ( x, t ) = ξ A cos(kx −ωt ) .

3.3.2. Ondas de presi ´ on

La cantidad ξ que consiste en el desplazamiento de unas paredes imaginarias, es en realidad inobservable, por lo cual se

buscan otros elementos que sean medibles, entre estos la presion.

Se define

(3.90) p( x, t ) = P( x, t )−P0 .

llamada presion acustica, que es una variacion de la presion con respecto a la presion bajo condiciones ambientales normales

P0. Por la ecuacion 3.87

(3.91) p = −κ 0∂ξ

∂ x,

derivando con respecto al tiempo dos veces

(3.92) ∂2 p

∂t 2 = −κ 0

∂

∂ x

∂2 ξ

∂t 2 ,

por la ecuacion 3.80 tenemos

(3.93) ∂2 p

∂ x2 − ρ0

κ 0

∂2 p

∂t 2 = 0 .

Tambien las variaciones de presion se propagan como una onda, a la misma velocidad de las ondas de deformacion. Hay que

tener presente que lo que se propaga como onda son las variaciones de la presion p, y no tiene sentido una propagacion de la

presion P.Bajo la hipotesis adiabatica PV γ = cte, donde γ =

C PC V

, al tomar el logaritmo tenemos

(3.94) ln P = cte− γ lnV ,

derivando respecto a V obtenemos

(3.95) 1

P

∂P

∂V

ad

= − γ

V ,

luego

(3.96) −V ∂P

∂V ad

≡ κ ad = γ P ,

con esto la velocidad es igual a

(3.97) v =

P0

ρ0

C P

C V .

Para una onda armonica se tiene

(3.98) p( x, t ) = p A cos(kx−ωt +φ) .




3.3.3. Ondas de densidad

Se define

(3.99) ρ( x, t ) = ρ( x, t )− ρ0 .

que corresponden a variaciones de la densidad con respecto a la densidad bajo condiciones ambientales normales ρ0.

Como la presion es funcion de la densidad, podemos expandir P en terminos de ρ en series de Taylor

(3.100) P( ρ) = P( ρ0)+ ( ρ− ρ0)∂P

∂ρ

ρ0

+ 1

2( ρ− ρ0)2 ∂

2P

∂ρ2

ρ0

+ . . . ,

se consideraran variaciones de la densidad, de tal forma que ∆ρ = ρ− ρ0 es muy pequeno, entonces

(3.101) P( ρ) = P0 + ( ρ− ρ0)∂P

∂ρ

ρ0

.

Como ρ = M /V , remplazando en (3.84) tenemos

(3.102) ρ = ρ0 1+

∂ξ

∂ x −1

,

mediante la expasion binomial de Newton

(3.103) ρ ≈ ρ0

1− ∂ξ

∂ x

,

remplazamos (3.103) en la ecuacion 3.101 y tenemos

(3.104) P( ρ) = P0− ρ0∂ξ

∂ x

∂P

∂ρ

ρ0

.

Se define el modulo de compresibilidad por

(3.105) κ = (∂P)/(∂ρ/ ρ) = ρ∂P

∂ρ ,

que relaciona el incremento en la presion d P con el incremento fraccionario en la densidad −d ρ

ρ . El signo positivo se debe a

que un incremento en presion se debe a un incremento en la densidad.

De las ecuaciones 3.99 y 3.103 tenemos

(3.106) ρ = − ρ0∂ξ

∂ x,

derivando con respecto al tiempo dos veces

(3.107) ∂2 ρ

∂t 2 = − ρ0

∂

∂ x

∂2 ξ

∂t 2 ,

derivando con respecto x dos veces

(3.108) ∂2 ρ

∂ x2 = − ρ0

∂

∂ x

∂2 ξ

∂ x2 .

Por la ecuacion 3.89 tenemos

(3.109) ∂2

ρ

∂ x2 − ρ0

κ 0

∂2

ρ

∂ x2 = 0 ,




lo cual muestra que las variacionesde la densidad tambien se propagancomo una ondaa la misma velocidad de la deformacion.

Para una onda armonica se tiene

(3.110) ρ( x, t ) = ρ A cos(kx −ωt +ϕ) .

Para un mol de gas en equilibrio debe cumplirse

(3.111) P0V 0 = RT 0 ,

donde ρ0 = M /V 0, siendo M la masa molar, R = 8,31×107erg/(g mol K ) es la constante de los gases, luego

(3.112) P0

ρ0= R

T 0

M ,

remplazando en la ecuacion 3.97 llegamos

(3.113) v =

Rγ

M

T 0 ,

lo cual indica que la velocidad del sonido no depende de la presion, pero si de la temperatura ambiente.

3.3.4. Ondas de sonido en tubos sonoros

El sonido,en el aire,se producepor variacionesde la presion o la densidad del aire, el oıdohumano logra percibir frecuencias

entre 20 Hz y 20,000 Hz aproximadamente. Ondas por debajo de 20 Hz se les denomina infrasonicas y a las que superan los

20,000 Hz se les denomina ultrasonicas.

El volumen depende de la intensidad de la onda

(3.114) = 1

2 ρ0v xω

2 ξ 2 A .

Como ya lo habıamos mencionado ξ A es una cantidad inobservable, por lo tanto es mas util definir la intensidad en funcion de

la presion. De las ecuaciones 3.91, 3.89 y 3.98

(3.115) p A = κ 0 ξ Ak ,

con esto se tiene ξ A = p A

κ 0k , remplazando esto en la ecuacion 3.114

(3.116) = ρ0v xω

2 p2 A

2κ 20

k 2 ,

como ρ0v2 x = κ 0 y k ω =ω2/v x, tenemos ρ0v xω

2 = κ 0k ω, luego

(3.117) =ω p2

A

2κ 0k ,

dado que κ 0k = ρ0v xω, llegamos

(3.118) = p2

A

2 ρ0v x.

Esta formula expresa la intensidad en funcion de cantidades que son medibles.

3.3.4.1. Nivel de volumen del sonido

Se define el nivel de volumen con respecto a una intensidad de referencia I 0 (umbral audible de I 0 = 10−

12 W /m2) como

sigue




(3.119) β( I ) = 10log10

I

I 0

,

la cual llamamos decibelios, con esto β( I 0) = 0dB es el valor mınimo. El valor maximo se asocia con el valor de intensidad que

viene acompanado de con una sensacion de dolor, es de 120dB.

3.3.4.2. Energıa trasmitida por una onda armonica en gases

Para una onda armonica, cada elemento de volumen oscila con un M.A.S. con una amplitud ξ A. Entonces la energıa de un

elemento de masa ∆m esta dada por

(3.120) < ∆ E >= 1

2 ∆mω2 ξ 2 A =

1

2 ρ0 A ∆ xω2 ξ 2 A ,

para una capa de gas arbitrariamente delgada

(3.121) < dE >= 1

2 ρ0 Adxω2 ξ 2 A =

1

2 ρ0 Av xdt ω2 ξ 2 A ,

luego

(3.122)

dE

dV

=

1

2 ρ0ω

2 ξ 2 A =< E > ,

la cual es la densidad promedio de energıa. Por otra parte

(3.123)

dE

dt

=

1

2 ρ0 Av xω

2 ξ 2 A ,

es la potencia promedio.

Luego se puede deducir la intensidad promedio, dado que esta se define

(3.124) = dE dt

A=

1

2 ρ0v xω

2 ξ 2 A =< E > v x ,

lo cual indica que < E > tiene unidades de fuerza.

3.3.5. Ondas estacionarias en tubos sonoros

De igual forma que para la cuerda, si el tubo esta cerrado, en estos lugares no habra vibracion, mientras que en los extremos

abiertos, tendremos antinodos.

3.3.5.1. Extremos cerrados

Tomamos un tubo de longitud L, si una onda se propaga hacia la derecha

(3.125) ξ I ( x, t ) = ξ A cos[kx −ωt ] ,

al alcanzar el extremo derecho, se refleja con un coeficiente de reflexion R = −1 y se tiene una onda reflejada

(3.126) ξ R( x, t ) = − ξ A cos[kx +ωt ] ,

luego la onda sera la superposicion

(3.127) ξ ( x, t ) = ξ A

(cos[kx−ωt ]

−cos[kx +ωt ]) ,

luego




ξ ( x, t ) = 2 ξ A sin(kx)cos(ωt )

= ξ A( x)cos(ωt ) .(3.128)

No habra vibracion en x = 0 y x = L, entonces

ξ (0, t ) = 0 ,(3.129)

ξ ( L, t ) = 0 .(3.130)

Se llega a λn = 2 L/n , para la frecuencia

(3.131) ωn = nπ

L

κ 0

ρ0.

3.3.5.2. Extremos abiertos

Si una onda se propaga hacia la derecha

(3.132) ξ I ( x, t ) = ξ A cos[kx −ωt ] ,

se tiene una onda reflejada

(3.133) ξ R( x, t ) = ξ A cos[kx +ωt ] ,


(3.134) ξ ( x, t ) = ξ A(cos[kx −ωt ]+ cos[kx +ωt ]) ,

luego

ξ ( x, t ) = 2 ξ A cos(kx)cos(ωt )

= ξ A( x)cos(ωt ) .(3.135)

entonces

ξ (0, t ) = 2 ξ A ,(3.136)

ξ ( L, t ) = 2 ξ A .(3.137)

Estas condiciones se cumplen si λn = 2 L/n , para la frecuencia

(3.138) ωn = nπ

L

κ 0

ρ0.

3.3.5.3. Un extremo abierto y uno cerrado

Si una onda se propaga hacia la derecha

(3.139) ξ I ( x, t ) = ξ A cos[kx −ωt ] ,

se tiene una onda reflejada

(3.140) ξ R( x, t ) = − ξ A cos[kx +ωt ] ,


(3.141) ξ ( x, t ) = ξ A(cos[kx −ωt ]− cos[kx +ωt ]) ,

luego




ξ ( x, t ) = 2 ξ A sin(kx)cos(ωt )

= ξ A( x)cos(ωt ) .(3.142)

entonces

ξ (0, t ) = 0 ,(3.143)

ξ ( L, t ) = 2 ξ A .(3.144)

Estas condiciones se cumplen si λn = 4 L/(2n−1) , para la frecuencia

(3.145) ωn = (2n−1)π

2 L

κ 0

ρ0.

Se puede probar que tanto la onda de presion p como la de densidad ρ estan en fase, pero desfasada con respecto a la onda

de deformacion ξ , tal que donde ξ tiene un nodo p y ρ tienen un antinodo y viceversa.

3.3.6. Pulsaciones (medios dispersivos)

Dos ondas armonicas de igual amplitud, frecuencias diferentes, fases iniciales iguales a cero e igual direccion de propaga-

cion, dadas por

ψ1( x, t ) = A cos[k 1 x−ω1t ] ,(3.146)

ψ2( x, t ) = A cos[k 2 x−ω2t ] ,(3.147)

se encuentra que las ondas tienen velocidades de fase v1 y v2 (dispersion).

La superposicion de esta dos ondas es

(3.148) ψ( x, t ) = A cos[k 1 x−ω1t ]+ A cos[k 2 x−ω2t ] .

Se define la frecuencia angular promedio

(3.149) ω = ω1 +ω2

2 ,

la frecuencia angular de modulacion

(3.150) ωm =ω1 −ω2

2 ,

el numero de onda angular promedio

(3.151) k = k 1 + k 2

2 ,

el numero de onda angular de la modulacion por

(3.152) k m =k 1− k 2

2 .

Con base en lo anterior, escribimos

ψ( x, t ) = Acos[(k + k m) x− (ω+ωm)t ]+ A cos[(k − k m) x− (ω−ωm)t ]

= Acos[(kx −ωt )+ (k m x−ωmt )]+ A cos[(kx−ωt )− (k m x−ωmt )] ,(3.153)

luego




ψ( x, t ) = 2 A cos(k m x−ωmt )cos(kx −ωt )

= 2 A cos

(k 1− k 2) x− (ω1−ω2)t

2

cos

(k 1 + k 2) x− (ω1 +ω2)t

2

.(3.154)

entonces

ψ( x, t ) = 2 A cos[k m x−ωmt ]cos

kx −ωt

= B( x− vmt )coskx −ωt ,(3.155)

si ω1 ≈ ω2, entonces ω ωm, se puede considerar como una onda viajera de frecuencia ω con una amplitud modulada por

B( x− vgt ) = 2 A cos[k m x−ωmt ] , la cual varıa lentamente.

3.3.7. Velocidad de fase y de grupo

En la seccion anterior la fase de la onda esta dada por

(3.156) Φ = kx −ωt ,

la velocidad a la que se propaga la fase Φ = cte esta dado por

(3.157) ∂Φ

∂t = k

dx

dt −ω = 0 ,

entonces la velocidad de fase

(3.158) dx

dt = ω

k .

La velocidad a la que se desplaza la envolvente se le denomina velocidad de grupo vg, la envolvente esta dada por

(3.159) B( x− vgt ) = 2 Acos[k m x−ωmt ] ,

entonces ωm = k mvg, luego

(3.160) vg =ω1 −ω2

k 1− k 2= ∆ω

∆k ,

entonces la velocidad de grupo se expresa como la derivada de la relacion de dispersion

(3.161) vg = d ω

dk =

d

dk (k v) = k

d v

dk + v ,

para medios no dispersivos vg = v, es decir, d vdk = 0.

3.3.8. Efecto Doppler

Para un obseravador moviendose con velocidad V o hacia una fuente en reposo, con respecto a la Tierra, la longitud de onda

esta dada por

λ = (V +V o)T ′

= V (1+

V oV )

ν′ ,(3.162)

medido desde el sistema en movimiento del observador, con T ′ = 1/ν′ y V la velocidad de propagacion de la onda. Luego,

sabiendo que λν = V , tenemos




(3.163) ν′ = ν(1+ V o

V ) .

Para una fuente moviendose con velocidad V s hacia un observador en reposo, con respecto a la Tierra, la longitud de onda

esta dada por

λ′ = (V −V s)T

= V

(1

−V sV )

ν ,(3.164)

medido desde el sistema en movimiento de la fuente, con T = 1/ν y V la velocidad de propagacion de la onda. Luego, sabiendo

que λ′ν′ = V , tenemos

(3.165) ν′ = ν

1− V sV

.

Combinando las ecuaciones 3.162 y 3.165 se llega

(3.166) ν′ = νV ± V o

V ∓V s.





Capıtulo 4

Ondas electromagneticas

Buena parte del mundo moderno es consecuencia de lo util que ha resultado el estudio de las ondas electomagneticas

y sus aplicaciones, principalmente, a las telecomunicaciones. Esto en si mismo justifica su estudio, pero ademas cada dıa

encontramos nuevas aplicaciones, lo cual ha sido un motor de desarrollo que ha transformado la vision que tenemos de nuestra

sociedad conduciendo a su globalizacion en muchos aspectos tales como economica, social, etc.

4.1. Ecuaciones de Maxwell

Vamos a limitar (por el momento) el problema al vacıo, libre de cargas y corrientes, con esto las ecuaciones de Maxwell

toman la forma

∇ ·E = 0 ,(4.1)

∇ ·B = 0 ,(4.2)

∇×E = −∂B

∂t ,(4.3)

∇×B = µ0ε0∂E

∂t .(4.4)

4.2. Ondas electromagneticas

Tomando la ecuacion 4.3 y aplicandole un operador rotacional ∇×, tenemos

(4.5) ∇×∇×E = − ∂

∂t ∇×B ,

como ∇×∇×E = ∇(∇ ·E)−∇2E , entonces

(4.6) ∇(∇ ·E)−∇2

E = − ∂

∂t ∇×B ,

por la ecuacion 4.1 y 4.4 llegamos a

(4.7) ∇2E− µ0ε0

∂2E

∂t 2 = 0 ,

la cual es una ecuacion de onda para el campo E(r, t ), esto significa que el campo electrico se propaga en el vacıo a la velocidad

v = 1/√

µ0ε0 .

Similarmente para el campo magnetico tenemos

(4.8) ∇

2B−

µ0ε0∂2B

∂t 2 = 0 .

61



62 4 Ondas electromagneticas

4.2.1. La luz, su naturaleza y velocidad

De las ecuaciones de Maxwell se encuentra que el campo electromagnetico se propaga a la velocidad

(4.9) c = 1√

µ0ε0= 299792458m/s ,

la cual corresponde a la velocidad de propagacion de la luz en el vacıo, esto condujo al reconocimiento de la luz como un ondaelectromagnetica.

4.2.2. Ondas arm´ onica (Monocrom´ aticas)

Una onda armonica se representa por la funcion

(4.10) E(r, t ) = E(r)cos(ϕ(r)−ωt ) .

Es conveniente representar esta funcion, real, E(r, t ) en terminos de una funcion compleja, ası

(4.11) E(r, t ) = E(r)exp[iϕ(r)]exp(−iωt ) ,

donde E(r, t ) = ReE(r, t ) . Se define la amplitud compleja

(4.12) E(r) = E(r)exp[iϕ(r)] ,

donde ϕ(r) es la fase de la amplitud compleja, luego

(4.13) E(r, t ) = E(r)exp(−iωt ) .

4.2.3. Onda arm´ onica plana

Una onda armonica se dice plana si la fase de la amplitud compleja esta dada por la ecuacion de un plano, ası

(4.14) k · r′ = 0 ,

donde r′ es un vector que se encuentra sobre el plano del frente de onda (ver figura 4.1). Como r′ = r − r0, donde r0 es un

vector constante, se tiene

(4.15) ϕ(r) = k · r = cte ,

donde k = 2π

λ

(α, β,γ ) es el vector de onda, y α = cosθ x, β = cosθ y y γ = cosθ z los tres cosenos directores, luego

(4.16) E(r) = E0 exp[ik · r] .



4.2 Ondas electromagneticas 63

y

z

θ x

k

θ z

x

x′

y′

z′

θ y

r

r0

r′

Figura 4.1 Onda plana con vector de onda k

Reemplazando esta solucion en las ecuaciones de Maxwell se tiene

∇ ·E = ik ·E = 0 ,(4.17)

∇ ·B = ik ·B = 0 ,(4.18)

entonces

(4.19) ∇×E = ik×E ,

y por otra parte

(4.20) ∂B

∂t = −iωB ,

reemplazando en 4.3 tenemos

(4.21) k×E = ωB .

Para B similarmente

(4.22) k×B = − µ0ε0ωE .

Finalmente

k ·E = 0 ,(4.23)

k ·B = 0 ,(4.24)

k×E = ωB ,(4.25)

k×B = − µ0ε0ωE ,(4.26)

constituyen las ecuaciones de Maxwell para una onda armonica plana.

Con esto se prueba que una onda electromagnetica plana no tiene componentes en la direccion de propagacion, dada por k,

y se nota que el vector E×B apunta en la direccion de propagacion de la onda, ademas, el conocimiento de E determina B y

viceversa, siendo estos dos ortogonales.

Observando que c =ω/k , se nota que la magnitud del campo electrico E , es c-veces la magnitud del campo magnetico B, es

decir, E = cB .




4.2.4. Onda esf´ erica arm ´ onica

Una onda armonica se dice esferica si la fase de la amplitud compleja esta dada por la ecuacion de una esfera.

y

z

x

y′

z′

x′r0

r

r′

Figura 4.2 Onda esferica

Ası

(4.27) ϕ(r) = k |r− r0| = cte ,

donde k = 2π

λ es el numero de onda (ver figura 4.2), luego

(4.28) E(r) = V0

|r− r0| exp[ik |r− r0|] ,

donde la magnitud |r− r0| que aparece en el denominador es consecuencia de la conservacion de la energıa.

4.3. Energıa, potencia y vector de Poynting

La densidad de energıa electromagnetica se escribe

E = 12ε0E ·E+ 1

2 µ0B ·B

= 1

2ε0 E 2 +

1

2 µ0

B2 ,(4.29)

para una onda plana E = cB, con esto

E = 1

2ε0 E 2 +

1

2c2 µ0

E 2

= ε0 E 2 .(4.30)

La energıa total de una onda electromagnetica esta dada por

(4.31) E energia =

V

EdV .



4.3 Energıa, potencia y vector de Poynting 65

Utilizando la ecuacion 3.124 la intensidad media se escribe

(4.32) = c < E >= cε0 < E 2 > .

4.3.1. Caso de una onda arm ´ onica plana

(4.33) E(r, t ) = E0 cos(k · r−ωt ) ,

luego la intensida media queda

(4.34) = cε0 E 20 < cos2(k · r−ωt ) >= 1

2cε0 E 20 .

Luego la potencia media se puede escribir

(4.35) = A ,

donde A es el area de la superficie perpendicular a la direccion de propagacion de la onda.

4.3.2. Vector de Poynting

Vimos que una onda electromagnetica plana se propaga en la direccion del vector E×B (ver figura 4.3).

y

z

x

x′

y′

z′

r

S

E

H

Figura 4.3 Vector de Poynting

Calculemos la divergencia del vector E×H, donde en el vacıo H = B/µ0, ası

∇ · (E×H) = −E · (∇×H)+H · (∇×E) ,

= −

E · ε0∂E

∂t

−

H · µ0∂H

∂t

,

= − ∂∂t ε0 E 2

2 +

µ0 H 2

2 .(4.36)




Integrando en un volumen V limitado por la superficie cerrada S , y usando el teorema de la divergencia S

(E×H) ·da = − ∂∂t

V

ε0 E 2

2 +

µ0 H 2

2

dV = P ,(4.37)

es la potencia de la onda electromagnetica.

El flujo de E×H es igual al flujo de la energıa por unidad de tiempo. La cantidad

(4.38) S = E×H

es llamada el vector de Poynting, cuya direccion es la direccion de propagacion de la onda y la su magnitud, S , es

(4.39) S = ε0cE 2 = I ,

que corresponde a la intensidad.

4.4. Propiedades de las ondas electromagneticas

4.4.1. Polarizaci´ on

El estado de polarizacion de una onda electromagnetica se caracteriza por el lugar geometrico que barre el vector campo

electromagnetico. Se tratara con solo el campo electrico, pero los resultados se aplican de igual forma al campo magnetico.

En general el vector campo electrico se puede describir por dos componentes ortogonales que difieren en magnitud y en

fase

E x = ε x cos(ωt +ϕ1) ,(4.40)

E y = εy cos(ωt +ϕ2) .(4.41)

En particular no estamos interesados en las fases absolutas ϕ1 y ϕ2 de las componentes del campo electrico y en su lugar

trataremos con la fase relativa ∆ϕ = ϕ2−ϕ1, ası

E x = ε x cosωt ,(4.42) E y = εy cos(ωt + ∆ϕ) ,(4.43)

con

(4.44) cos2ωt + sin2ωt = 1 .

De la ecuacion (4.43) tenemos

(4.45) E y

εy= cos(ωt + ∆ϕ) = cosωt cos ∆ϕ− sinωt sin ∆ϕ ,

de aquı

(4.46) sinωt = cosωt cot ∆ϕ− E y

εy

1

sin ∆ϕ ,

utilizando la ecuacion 4.42 se llega a

sinωt = E x

ε xcot ∆ϕ− E y

εy

1

sin ∆ϕ ,(4.47)

cosωt = E x

ε x.(4.48)

Por las ecuaciones (4.44), (4.47) y (4.48), se escribe



4.4 Propiedades de las ondas electromagneticas 67

E 2 x

ε2 x

+ E 2 x

ε2 x

cot2 ∆ϕ+ E 2y

ε2y

1

sin2 ∆ϕ−2

E x E y

ε xεy

cos ∆ϕ

sin2 ∆ϕ= 1 ,(4.49)

E 2 x

ε2 x

(1+ cot2 ∆ϕ)+ E 2y

ε2y

1

sin2 ∆ϕ−2

E x E y

ε xεy

cos ∆ϕ

sin2 ∆ϕ= 1 ,(4.50)

como

(4.51) 1+ cot2 ∆ϕ = csc2 ∆ϕ = 1sin2 ∆ϕ

,

entonces

(4.52) E 2 x

ε2 x

+ E 2y

ε2y

−2 E x E y

ε xεycos ∆ϕ = sin2 ∆ϕ ,

la cual es la ecuacion general de una elipse (ver figura 4.4). Esta ecuacion se reduce tanto a una circunferencia como a una

χ

E x

E ′ x

E ′y E y

BA

α

Figura 4.4 Elipse con eje menor B y eje mayor A

linea en dos casos extremos.

4.4.1.1. Luz polarizada elıpticamente

Como se puede apreciar la ecuacion (4.52) corresponde a una elipse.

La elipse es a izquierda si: 0 < ∆ϕ < π (modulo 2π).

La elipse es a derecha si: π < ∆ϕ < 2π (modulo 2π).

4.4.1.2. Luz polarizada linealmente

Si ∆ϕ = 0[π] (cero modulo π), la ecuacion (4.52) se reduce a

(4.53)

E x

ε x ±

E y

εy = 0 ,




la cual es la ecuacion de una linea recta.

4.4.1.3. Luz polarizada circularmente

Si ∆ϕ = ±π/2 y ε x = εy = ε0

4.5. Propagacion de Ondas Electromagneticas en no-conductores (Dielectricos)

4.5.1. Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell en su forma general se escriben

∇ ·E = ρtotal

0,(4.54)

∇ ·B = 0 ,(4.55)

∇×E = −∂B

∂t ,(4.56)

∇×B = µ0Jtotal + 0 µ0∂E

∂t .(4.57)

Aquı

ρtotal = ρ libre + ρ polarizacion ,(4.58)

Jtotal = J libre +Jmagnetizacion +J polarizacion ,(4.59)

(4.60)

las densidades de carga y densidades de corriente electrica respectivamente, donde

ρ polarizacion = −∇ ·P ,(4.61)

J polarizacion = ∂P∂t

,(4.62)

Jmagnetizacion = ∇×M ,(4.63)

siendo M y P la magnetizacion y la polarizacion respectivamente.

Adicional a estas ecuaciones, para los conductores ohmicos, tenemos la Ley de Ohm

(4.64) Jlibre = σE ,

donde σ es la conductividad electrica.

4.5.2. Escuaciones de Maxwell en la materia

Se definen

D ≡ 0E+P ,(4.65)

H ≡ B

µ0−M ,(4.66)

donde D es el desplazamiento electrico y H es la intensidad campo magnetico. Luego, las ecuaciones de Maxwell toman la

forma



4.5 Propagacion de Ondas Electromagneticas en no-conductores (Dielectricos) 69

∇ ·D = ρlibre ,(4.67)

∇ ·B = 0 ,(4.68)

∇×E = −∂B

∂t ,(4.69)

∇×H = Jlibre + ∂D

∂t .(4.70)

4.5.3. Ecuaci´ on de onda en un medio homog´ eneo, lineal e is´ otropo

Para un medio transparente; es decir, sin atenuacion del los campos debido al medio; lineal e isotropo, se tiene

P(r, t ) = 0 χe(r, t )E(r, t ) ,(4.71)

M(r, t ) = χm(r, t )H(r, t ) .(4.72)

Se dice lineal porque tanto P como M son proporcionales a los campos E y H respectivamente y no a una potencia superior de

estos. Se dice isotropo porque las susceptibilidades electrica χe(r, t ) y magnetica χm(r, t ) no son matrices (tensores) y en este

caso son campos escalares. De esto resulta

D(r, t ) = (r, t )E(r, t ) ,(4.73)

H(r, t ) = B(r, t )

µ(r, t ) ,(4.74)

donde (r, t ) = 0(1+ χe(r, t )) es la permitividad electrica del medio y µ(r, t ) = µ0(1− χm(r, t )) es la permeabilidad magnetica

del medio. Utilizando las ecuaciones (4.67)-(4.83) y las ecuaciones (4.73) y (4.73) escribimos

∇ · (r, t )E(r, t ) = ρlibre(r, t ) ,(4.75)

∇ ·B(r, t ) = 0 ,(4.76)

∇×E(r, t ) = −∂B(r, t )

∂t ,(4.77)

∇×B(r, t )

µ(r, t )

= Jlibre(r, t )+∂ (r, t )E(r, t )

∂t

.(4.78)

Finalmente, para medios homogeneos, se tiene

∇ (r, t ) = 0 ,(4.79)

∇ 1

µ(r, t ) = 0 ,(4.80)

y un regimen estacionario en , escribimos

(4.81) ∂ E

∂t =

∂E

∂t ,

las ecuacione de Maxwell se escriben

∇ ·E = ρlibre

,(4.82)

∇ ·B = 0 ,(4.83)

∇×E = −∂B

∂t ,(4.84)

∇×B = µJlibre + µ ∂E

∂t .(4.85)

Tomando el rotacional en la ecuacion (4.84), tenemos




∇×∇× E = − ∂

∂t (∇×B) ,(4.86)

−∇2E+∇(∇ ·E) = − ∂∂t

µJlibre + µ

∂E

∂t

,(4.87)

(4.88)

y un regimen estacionario (es decir, y µ independientes explicitamente de t ), se tiene

(4.89) ∇2E− µ∂2E

∂t 2 = ∇ ρlibre

+ µ

∂Jlibre

∂t .

Tomando el rotacional en la ecuacion (4.85), tenemos

∇×∇× B = µ∇×

Jlibre + ∂E

∂t

,(4.90)

−∇2B+∇(∇ ·B) = µ∇×Jlibre + µ ∂

∂t ∇×E .(4.91)

(4.92)

Empleando las ecuaciones. (4.83) y (4.84), se llega

(4.93) ∇2B− µ∂2B

∂t 2 = − µ∇×Jlibre .

Utilizando la ecuacion (4.64), se tiene

∇2E− µ∂2E

∂t 2 − µσ

∂E

∂t = ∇

ρlibre

,(4.94)

∇2B− µ∂2B

∂t 2 − µσ

∂B

∂t = 0 .(4.95)

Estas dos ecuaciones constituyen las ecuaciones de onda electromagneticas en los medios transparentes, lineales, isotropos y

homogeneos; en condiciones de estacionariedad.

4.5.3.1. Ondas electromagneticas en los no-conductores (Dielectricos)

Para este caso, se tiene σ = 0, ademas ρlibre = 0, con esto

∇2E− µ∂2E

∂t 2 = 0 ,(4.96)

∇2B− µ∂2B

∂t 2 = 0 .(4.97)

Se tiene para los campos electrico y magnetico en la materia dos ecuaciones de onda, cuya velocidad de fase esta dada por

v = 1

√ µ .

Se define el ındice de refraccion por

(4.98) n ≡ c

v=

√ µ

√ µ0 0

= √ r µr ,

en un medio no-magnetico µr = 1, ası

(4.99) n =√ r =

1+ χe .

Similarmente como lo hecho en el vacıo para ondas planas armonicas se encuentra



4.5 Propagacion de Ondas Electromagneticas en no-conductores (Dielectricos) 71

k ·E = 0 ,(4.100)

k ·B = 0 ,(4.101)

k×E = ωB ,(4.102)

k×B = − µωE .(4.103)

Observando que v = ω/k , se nota que la magnitud del campo electrico E es v-veces la magnitud del campo magnetico B, es

decir

(4.104) E = v B .

4.5.4. Condiciones de frontera para diel´ ectricos perfectos

Las ecuaciones de Maxwell se escriben

∇ ·D = 0 ,(4.105)

∇ ·B = 0 ,(4.106)

∇×E =

−∂B

∂t

,(4.107)

∇×B = µ ∂E

∂t .(4.108)

l1 lA

l2

A1

A2

Figura 4.5 Condiciones de frontera

En la figura 4.5 se nota que

(4.109)

V

∇ ·DdV =

S (V )

D ·d s = 0 ,

luego

(4.110) D1n = D2n ,

que corresponden a la continuidad en las componentes normales para el campo D. Por otra parte

(4.111)

S

∇×E ·d s =

l

E ·d l = −

S

∂B

∂t ·d s ,

luego

(4.112) lE 1t − lE 2t + l1 E 1n + l2 E 2n− l1 E ′1n− l2 E ′2n = −

S

∂B

∂t ·d s ,

para l1 y l2 tendiendo a cero y ∂B∂t

limitada (finita), tenemos

(4.113) E 1t = E 2t .




4.6. Leyes fundamentales de la optica geometrica

Las leyes fundamentales de la optica geometrica son las leyes de la reflexion y refraccion. Se mostrara como estas leyes se

deducen a partir de las leyes del electromagnetismo.

4.6.1. Reflexi´ on y Refracci´ on

Se estudiara el caso de un dioptrio plano (ver figura 4.6).

z

y

M e d i o 1

M e d i o 1

Dioptrio Plano

kr

ki

x

n′

n

θ rθ i

kt θ t

Figura 4.6 Dioptrio Plano

Los ındices de refraccion son n y n′, sobre el dioptrio incide una onda plana que se propaga en la direccion segun el vector

de onda ki con velocidad de fase v, entonces

(4.114) Ei(r, t ) = E

0iei(ki ·r−ωt ) ,

donde el modulo del vector de onda es k = ω/v. Luego, se produce una onda reflejada

(4.115) Er(r, t ) = E0rei(kr ·r−ωt ) ,

y una onda trasmitida

(4.116) Et (r, t ) = E0t ei(kt ·r−ωt ) ,

con velocidad de fase v′.Sobre el dioptrio el vector posicion toma el valor r = r D, en esta superficie las fase de estas tres ondas deben ser iguales

(4.117) ki · r D

−ωt = kr · r D

−ωt = kt · r D

−ωt ,

de aquı se tiene

(4.118) (ki −kr) · r D = cte ,

como ki y kr estan en el mismo material se concluye que

(4.119) θ i = θ r .

Para

(4.120) (ki −kt ) · r D = cte ,

dado que ki y kt no estan en el mismo material, se recurre a la condicion de frontera para la componente tangencial del campoelectrico (ecuacion 4.113), ası



4.6 Leyes fundamentales de la optica geometrica 73

(4.121) k i sinθ i = k t sinθ t ,

luego

(4.122) nsinθ i = n′ sinθ t .

4.6.1.1. Casos de interes particular

θ t = π/2 (Angulo de reflexion total)

θ t = π/2− θ i (Angulo de Brewster)

4.6.2. Coeficientes de reflexi´ on y trasmisi´ on bajo incidencia normal

En este caso los angulos cumplen las siguientes condiciones

(4.123) θ i = θ r = θ t = 0 ,

ademas, kr = −ki, por otra parte ki y kt tienen la misma direccion.Para las ondas electricas

Ei(r, t ) = E 0iei(ki·r−ωt )e1 ,(4.124)

Er(r, t ) = E 0rei(kr ·r−ωt )e1 ,(4.125)

Et (r, t ) = E 0t ei(kt ·r−ωt )e1 ,(4.126)

y utilizando las ecuaciones (4.100)-(4.103), se escriben las correspondientes ondas magneticas

Bi(r, t ) = B0iei(ki·r−ωt )e2 ,(4.127)

Br(r, t ) = B0rei(kr ·r−ωt )(−e2) ,(4.128)

Bt (r, t ) = B0t ei(kt ·r−ωt )e2 ,(4.129)

donde e1 · e2 = 0, dado que E ⊥ B (son ortogonales).

Suponiendo la interface entre los medios en r = 0, se tiene

(4.130) E 0i + E 0r = E 0t ,

y

(4.131) B0i − B0r = B0t ,

por la ecuacion (4.104) se escribe tambien

(4.132) E 0i

v− E 0r

v=

E 0t

v′ .

4.6.2.1. Coeficientes de reflexion y refraccion en amplitud

Utilisando las ecuaciones (4.130) y (4.132), se definen los coeficientes de reflexion y refraccion en amplitud, respectiva-

mente, por

(4.133) r = E 0r

E 0i=

n−n′

n+n′ y t =

E 0t

E 0i=

2n

n+n′ .

Se prueba que t − r = 1 .




4.6.2.2. Coeficientes de reflexion y refraccion en intensidad

La intensidad se escribe I = v E 2, como n =

0

= cv, se tiene

(4.134) v = 0c2

v= 0cn ,

luego la intensidad se escribe

(4.135) I = 0cnE 2 .

Se definen los coeficientes de reflexion y refraccion en intensidad por

(4.136) R = I 0r

I 0i=

n| E 0r|2

n| E 0i|2 = r2

=

n−n′

n+n′

2y T =

I 0t

I 0i=

n ′| E 0r |2

n| E 0i|2 =

n′

nt 2 =

4nn′

(n+n′)2 ,

se prueba que T +R = 1 .

4.7. Interferencia

Cuando dos o mas ondas electromagneticas se presentan en una misma region del espacio, la funcion de onda resultante es

la suma de las funciones de ondas individuales. Este principio de superposicion es consecuencia de la linealidad de la ecuacion

de onda. Para ondas armonicas de igual frecuencia, este principio de superposicion es aplicable a las amplitudes complejas.

Este principio de superposicion no es aplicable a la intensidad, la intensidad de la superposicion de dos ondas no es en

general la suma de las intensidades. Esta diferencia se le atribuye al fenomeno de interferencia entre estas ondas.

4.7.1. Interferencia de dos ondas arm´ onicas

Consideremos dos ondas armonicas linealmente polarizadas

E1(r, t ) = E1(r)e−iω1t ,(4.137)

E2(r, t ) = E2(r)e−iω2t ,(4.138)

donde las amplitudes complejas

E1(r) = E 1(r)eiϕ1(r)e1(4.139)

E2(r) = E 2(r)eiϕ2(r)e2 .(4.140)

Los vectores, unitarios, e1 y e2 son tales que determinan los estados de polarizacion de las dos ondas.

El resultado de la superposicion es

(4.141) E(r, t ) = E1(r, t )+E2(r, t ) ,

El promedio temporal del modulo cuadrado de este campo es

⟨|E(r, t )|2⟩ = ⟨|E1(r, t )|2⟩+ ⟨|E2(r, t )|2⟩+2⟨ ReE∗1(r, t ) ·E2(r, t )⟩= ⟨|E1(r, t )|2⟩+ ⟨|E2(r, t )|2⟩+2 Re

E∗1(r) ·E2(r)

e−i(ω2−ω1)t

,(4.142)

para que, en la intensidad promedio resultante, el tercer termino no sea nulo; es necesario que ω1 = ω2 = ω, es decir

(4.143)e−i(ω2−ω1)t

= 0 para ω1 ω2 .

Luego, la intensidad de la onda resultante es

(4.144) I = I 1 + I 2 +2(e1 · e2)( I 1 I 2)1/2 cos( ∆ϕ) ,



4.7 Interferencia 75

donde ∆ϕ(r) = ϕ2(r)−ϕ1(r) es llamada el retardo de fase entre las dos ondas. El tercer termino es llamado: termino de inter-

ferencia, el cual es nulo si las ondas incidentes tienen polarizaciones ortogonales, es decir e1 · e2 = 0, ası se dice en este caso,

que las ondas no interfieren.

En lo siguiente se considera que los dos campos tienen polarizaciones paralelas, con esto e1 · e2 = 1, ası

I = I 1 + I 2 +2( I 1 I 2)1/2 cos(ϕ)

= ( I 1 + I 2) 1+2( I 1 I 2)1/2

I 1 + I 2cos( ∆ϕ)(4.145)

La intensidad oscila entre dos valores extremos I min y I max dados por

I min = ( I 1/2

1 − I

1/2

2 )2

0(4.146)

I max = ( I 1/2

1 + I

1/2

2 )2

0 ,(4.147)

la cantidad

(4.148) V = I max − I min

I max + I min=

2( I 1 I 2)1/2

I 1 + I 2 1 ,

se le llama factor de visibilidad y caracteriza el contraste de las franjas de interferencia. El m as alto contraste se obtiene para

I 1 =

I 2; el valor es 1.




4.7.1.1. Caso de dos ondas planas

Para dos ondas planas de igual amplitud, las amplitudes complejas se escriben

E1(r) = E ei(k1·r+ψ1)(4.149)

E2(r) = E ei(k2·r+ψ2) ,(4.150)

donde ϕ1(r) = k

1· r+ψ

1 y ϕ

2(r) = k

2· r+ψ

2, con |k

1| = |k

2| = k .

X

k1

k2

Λ

K

Figura 4.7 Interferencia de dos ondas planas

Luego

(4.151) ∆ϕ(r) = (k2−k1) · r+ψ2−ψ1 .

La intensidad esta dada por

(4.152) I = 2 I 0[1+ cos(K · r+φ)] ,

donde K = k2 −k1 (vector interferencia), y φ = ψ2−ψ1 (diferencia de fase).

La ecuacion 4.152 nos determina la intensidad para todo r. Tomando un eje X paralelo al vector K, tenemos

(4.153) K · r = KX = 2 Xk sin α

2 = 4π

X

λ sin

α

2 ,

donde α es el angulo entre k1 y k2, de aquı se llega

(4.154) K = 2π

Λ =

4π

λ sin

α

2 ,

luego

(4.155) Λ = λ

2sin(α/2) ,

ası

I = 2 I 0[1+ cos(KX +φ)]

= 2 I 0[1+ cos(2π

Λ X +φ)] ,(4.156)

siendo Λ la interfranja (distancia entre dos franjas), la cual es mas grande a medida que α sea mas pequena.

4.7.1.2. Caso de dos ondas esf ericas

Las amplitudes complejas, en un punto P, se escriben



4.7 Interferencia 77

E1(r) = V

r1ei(kr1+ϕ1)(4.157)

E2(r) = V

r2ei(kr2+ϕ2) ,(4.158)

para dos ondas esfericas emitidas por dos fuentes puntuales S 1 y S 2, separadas una distancia a, donde r1 = S 1P y r2 = S 2P.

Entonces

(4.159) ϕ = k (r2 − r1)+ϕ2−ϕ1 .

Se considerara que en la vecindad de P las amplitudes varıan muy poco con r1 y r2, ası V /r1 ≈ V /r2 = E . La intensidad esta dada

por

(4.160) I = 2 I 01+ cos[k (r2− r1)+ϕ2−ϕ1] ,

las superficies de igual intensidad se definen r2 − r1 = cte, que son hiperboloides con focos en S 1 y S 2.

S 2

D

Z

Y

S 1 r1

r2

P

X

En un plano paralelo a S 1S 2, a la distancia Z = D, se producen hiperbolas. Para r1 ≈ r2 y D a, estas hiperbolas son

practicamente planos. Luego

(4.161) r1 =

D2

+

X − a

2

2+Y 2

1/2

≈ D

1+

X 2 +Y 2

2 D2 +

a2

8 D2 − aX

2 D2

,

y

(4.162) r2 ≈ D 1+ X

2

+Y

2

2 D2 + a

2

8 D2 + aX

2 D2 .La intensidad se escribe

(4.163) I = 2 I 01+ cos[k aX

D +ϕ2−ϕ1] ,

donde

(4.164) KX = k aX

D= 2π

aX

λ D,

luego

(4.165) K = 2π Λ

= 2π aλ D

,




entonces

(4.166) Λ =λ D

a,

ası

I = 2 I 0[1+ cos(KX +ϕ2−ϕ1)]

= 2 I 0[1+ cos(2π Λ

X +ϕ2−ϕ1)] ,(4.167)

siendo Λ la interfranja.

4.7.2. Experimento de Young

Este experimento se adapta del caso de interferencia de dos ondas esfericas con ϕ1 = ϕ2, luego

I = 2 I 0[1+ cos(KX )]

= 2 I 0[1+ cos(2π

Λ

X )] .(4.168)



4.8 Desde una teorıa vectorial a una teorıa escalar 79

4.8. Desde una teorıa vectorial a una teorıa escalar

Como se vio, tanto el campo electrico E = ( E x, E y, E z) como el campo magnetico B = ( B x, By, B z) obedecen a la misma

ecuacion de onda, de esto resulta que cada una de las componentes de estos campos, tambien satisfacen una version escalar de

esta ecuacion, por ejemplo en coordenadas rectangulares

(4.169)

∇2 E x

− µ0ε0

∂2 E x

∂t 2 = 0 ,

similarmente para las otras componentes del campo electrico y el campo magnetico. Ası podemos resumir el comportamiento

de todas las componentes de E y B, a traves de una ecuacion de onda escalar

(4.170) ∇2U (r, t )− µ0ε0∂2U (r, t )

∂t 2 = 0 ,

donde U representa cualquiera de las componentes de estos campos vectoriales.

En el caso de una onda armonica

(4.171) U (r, t ) = u(r)exp[iϕ(r)]exp(−iωt ) ,

donde U (r, t ) = ReU (r, t ). La amplitud compleja es

(4.172) U (r) = u(r)exp[iϕ(r)] ,

luego

(4.173) U (r, t ) = U (r)exp(−iωt ) .

En este caso la ecuacion de onda se reduce a

(4.174) (∇2 + k 2)U (r) = 0 ,

la cual es una ecuacion de onda escalar, llamada ecuacion de Helmholtz.

4.8.1. Principio de Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel establece que cada punto en un frente de onda se puede considerar como una funte puntual

que genera una onda esferica. La envolvente de estas ondas esfericas secundarias constituye un nuevo frente de onda.

Este principio puede ser expresado matematicamente de la siguiente forma:

(4.175) U (r) = i

λ

Σ

U (r′)eik |r−r′ |

|r− r′| cos(n, r− r′)d r′ .

Aquı se observa una onda esferica U (r′) eik |r−r′ ||r−r′ | con radio |r− r′|, donde U (r′) es la amplitud de la fuente puntual ubicada en

la posicion r′ (ver figura 4.8), ası que el campo en la posicion r es el resultado de todas las contribuciones de las fuentes

puntuales sobre la superficie Σ . El factor cos(n, r− r′) es llamado factor de oblicuidad, donde (n, r− r′) es el angulo que hay

entre el vector n y el vector r− r′.

4.8.2. Difracci ´ on

Bajo una aproximacion escalar, la difraccion es un fenomeno que tiene lugar una vez que el campo electromagnetico se

propaga una distancia d λ, donde λ es la longitud de onda de la onda electromagnetica.

Cuando el campo se propaga a lo largo del eje z, es decir, n = k , donde k es un vector unitario en la direccion del eje z, el

factor cos(n, r− r′) se puede escribir

(4.176) cos(n, r− r′) = z− z′|r− r′| ,




r

x

y

z

x

r′

y

r− r′

Σ

n

Onda esferica

U (r′)

U (r′)eik |r−r′ |

|r−r′|

Figura 4.8 Principio de Huygens-Fresnel

De esta forma el principio de Huygens-Fresnel se pude escribir

(4.177) U (r) = ( z− z′)i

λ

Σ

U (r′) eik |r−r′ |

|r− r′|2d r′ .

Tomando el plano Σ en z′ = 0, la distancia |r− r′| esta dada por

|r− r′| =

z2 + ( x− x′)2 + (y− y′)2 ,(4.178)

= z

1+

( x− x′)2 + (y−y′)2

z2 .(4.179)

4.8.2.1. Aproximacion de Fresnel

Se considerara que las dimensiones transversales son mucho menor que la distancia de observacion, es decir, ( x− x′) z y

(y

−y′)

z, ası podemos hacer la siguientes simplificacion (aproximacion)

(4.180) |r− r′| ≈ z

1+ 1

2

x− x′

z

2+

1

2

y− y′

z

2 .Considerando que la cantidad en el denominador |r−r′|2 ≈ z2 el error introducido (en la amplitud) es en la practica pequeno,

pero en el exponente el error es introducido en la fase y es ahı donde la situacion es mucho mas crıtica, por lo cual se toma

(4.181) U ( x, y) = ieikz

λ z

∞−∞

U ( x′, y′)ei k 2 z [( x− x′ )2+(y−y′)2]dx′d y′ ,

que podemos escribir

(4.182) U ( x, y) =

ieikz

λ z ei k

2 z( x2+y2) ∞

−∞ U ( x′, y′)ei k

2 z( x′2+y′2)

e−i 2πλ z ( xx′+yy′)

dx′d y′ .




La ecuacion 4.182 es la expresion matematica para el fenomeno de difraccion en el regimen de Fresnel.

4.8.2.2. Aproximacion de Fraunhofer

Si adicionalmente tomamos la siguiente condicion

(4.183) z k ( x′2 +y′2)max

2 ,

entonces podemos decir

(4.184) ei k 2 z ( x′2+y′2) ≈ 1 ,

con esto la integral en la ecuacion 4.182 se escribe

(4.185) U ( x, y) = ieikz

λ zei k

2 z ( x2+y2)

∞−∞

U ( x′, y′)e−i 2πλ z ( xx′+yy′)dx′d y′ .

La ecuacion 4.185 es la expresion matematica para el fenomeno de difraccion en el regimen de Fraunhofer.

En la practica lo que se observa es la intensidad la cual es proporcional al modulo cuadrado del campo, lo cual se escribe

(4.186) I ( x, y) = c 0

λ2 z2

∞−∞ U ( x′, y′)e−i 2πλ z ( xx′+yy′)dx′d y′

2 .

Difraccion por una rendija rectangular

Tomese un onda electromagnetica plana, cuya amplitud esta dada por U ( x, y) = U 0, que ilumina una abertura rectangular

ubicada en el plano z′ = 0 (ver figura 4.9).

y′ x′y

x

O n d

a P l a n

a

Figura 4.9 Difraccion por abertura rectangular

Tomando la direccion de propagacion a lo largo del eje z, tenemos que el campo luego de la abertura rectangular es

(4.187) U ( x′, y′) =

U 0 si | x′| ≤ A , |y′| ≤ B

0 afuera .

Reemplazando este campo en la ecuacion (4.186), tenemos




I ( x, y) =c 0U 2

0

λ2 z2

B/2

− B/2

A/2

− A/2

e−i 2πλ z ( xx′+yy′)dx′d y′

2 ,(4.188)

=c 0U 2

0

λ2 z2

e−i πλ z xA − ei πλ z xA

2πλ z

x

e−i πλ z y B− ei πλ z y B

2πλ z

y

2

,(4.189)

llamamos

(4.190) I 0 = A2 B2

16λ2 z2

c 0U 20 ,

y definiendo la funcion

(4.191) sinc( x) = sin π x

π x,

ver figura 4.10.

x

sinc( x)

1

x = 1

Figura 4.10 Funcion sinc( x). El primer corte con el eje x se da en x = 1.

Finalmente escribimos

(4.192) I ( x, y) = I 0sinc2 Ax

λ z

sinc2

By

λ z

.

La figura 4.10 corresponde a y = 0, ası

I ( x,0) = I 0sinc2 Ax

λ z ,(4.193)

similarmante a los mostrado en la figura 4.10, el primer corte se da en x = λ z A

.

Difraccion por una doble rendija rectangular

Si se ilumina una doble rendija rectangular ubicada en el plano z′ = 0 (ver figura 4.11).

Tomando la direccion de propagacion a lo largo del eje z, tenemos que el campo luego de la abertura rectangular es

(4.194) U ( x′, y′) = U 0 si −a+ A/2 x′ −a− A/2 ,

a+ A/2 x′ a−

A/2 , |y′|≤

B

0 afuera

.




y′ x′

y

x

O n d

a P l a n

a

−a

a

Figura 4.11 Doble rendija rectangular

Reemplazando este campo en la ecuacion (4.186), tenemos

I ( x, y) = I 0sinc2 Ax

λ z

sinc2

By

λ z

cos2(2π

ax

λ z) .(4.195)

Ver figura 4.12 para el caso y = 0, ası

I ( x, 0) = I 0sinc2 Ax

λ z

cos2(

2π

λ

ax

z) ,(4.196)

aquı se puede ver una funcion coseno modulada por una funcion sinc.

x

x = λ z A

Figura 4.12 Difraccion por una doble rendija rectangular




4.9. La fibra optica



Parte III

Fundamentos de f ısica moderna



La fısica cuantica paso de ser solo una rama de la fısica teorica a hoy formar parte de las ciencias aplicadas o ingenierıas. Con

aplicaciones en el diseno materiales, electronica y nano-tecnologıas en general, lo cual promete ser proximamente la nueva era

tecnologica. De allı que su estudio en ingenierıas debe ser visto con una vision futurista de lo que se quiere de la ingenierıa en

la UIS, una ingenierıa de vanguardia.



Capıtulo 5

Introduccion a la f ısica cuantica

En la fısica clasica la naturaleza de las onda y de las partıculas estan perfectamente definida y caracterizada, por ejemplo

una partıcula la caracterizamos por su energıa E y su momentum p, y una onda es caracterizada por su amplitud y vector de

onda k. La rigidez en estos conceptos produjo serios inconvenientes en el estudio de fenomenos microscopicos tales como la

radiacion de un cuerpo negro, efecto fotoelectrico y efecto Compton. En la busqueda de la explicacion de estos fenomenos se

reformularon las caracterısticas de lo que llamamos onda y lo que llamamos partıcula.

5.1. El problema de la radiacion, radiacion del cuerpo negro

Un cuerpo negro puede ser entendido como una cavidad de paredes internas perfectamente reflectoras de la radiacion

electromagneticas (ejemplo, paredes metalicas).

5.1.1. Ley de Stefan-Boltzmann

En 1879 J. Stefan halla experimentalmente que la intensidad emitida por un objeto brillante de temperatura T esta dada por

(5.1) I = ∞

0

I νd ν = aσT 4 ,

donde σ = 5,67× 10−8Wm−2K −4 es la constante de Stefan-Boltzmann y a 1 es un coeficiente que para un radiador ideal

a = 1. La cual es llamada ley de Stefan-Boltzmann, debido a que fue Boltzmann quien da la demostracion teorica, combinando

termodinamica y la teoria electromagnetica de Maxwell.

5.1.2. Distribuci´ on de la densidad de energıa de Wien

En 1894 Wien tomo la ley de Stefan-Boltzmann y aplicando argumentos termodinamicos obtuvo la densidad de energıa de

la radiacion emitida por un cuerpo negro

(5.2) E(ν, T ) = Aν3e− βν/T ,

donde A y β son dos parametros que pueden ser adaptados para ajustar la curva experimental, E tiene unidades de energıa por

unidad de volumen por unidad de frecuencia. Esta ley predice muy bien la densidad de energıa para altas frecuencias, pero para

bajas frecuencias falla.

5.1.3. Distribuci´ on de la densidad de energıa de Rayleigh

En 1900 Rayleigh trato de entender la naturaleza de la radiacion electromagnetica dentro de la cavidad, considerando que

esta consiste de ondas estacionarias a temperatura T con nodos en la superficie metalica. Estas ondas estacionarias son el

resultado de las oscilaciones armonicas de los electrones en las paredes de la cavidad (osciladores armonicos). En el equilibrio

87



88 5 Introduccion a la fısica cuantica

termico la densidad de energıa electromagnetica es igual a la densidad de energıa de los electrones en las paredes de la cavidad.

La energıa total promedio de la radiacion que abandona la cavidad puede ser calculada multiplicando la energıa promedio de

los osciladores por el densidad de modos de la radiacion en el intervalo de frecuencias entre λ y λ+d λ.

El campo electromagnetico debe satisfacer la ecuacion de onda

(5.3) ∇2E− 1

c2

∂2E

∂t 2 = 0 ,

Para ondas estacionarias en la cavidad en equilibrio con la paredes, la solucion debe ser cero en las paredes

(5.4) E = E0 sin n1π x

Lsin

n2πy

Lsin

n3π z

Lsin

2πct

λ ,

para una cavidad cubica de lado L. Sustituyendo esta solucion en la ecuacion de onda, resulta

(5.5)

n1π

L

2+

n2π

L

2+

n3π

L

2=

2π

λ

2,

luego

(5.6) n21 +n2

2 +n23 =

4 L2

λ2

.

El volumen de una esfera en el espacio de las n de radio n = (n1, n2, n3), esta dado por

(5.7) V = 4

3π(n2

1 +n22 +n2

3)3/2 .

Se tomara solo un octante (n positivos), ademas, las ondas pueden tener dos polarizaciones. Con esto y la aproximacion de

que el numero de modos es igual al volumen (cavidades mucho mas grandes que la longitud de onda), entonces

(5.8) N = π

3(n2

1 +n22 +n2

3)3/2 = 8π L3

3λ3 .

El numero de modos por unidad de volumen por unidad de longitudes de onda es

(5.9) N (λ) = − 1

L3

dn

d λ =

8π

λ4 .

La densidad de modos de la radiacion en el intervalo de frecuencias entre ν y ν+ d ν esta dado por

(5.10) N (ν) =N (λ) c

ν2 =

8πν2

c3 ,

donde c es la velocidad de la luz. La densidad de energıa electromagnetica esta dada por

(5.11) E(ν, T ) =N (ν) < E >= 8πν2

c3 < E > ,

donde < E > es la energıa promedio de los osciladorespresentes en las paredes de la cavidad (o de la radiacion electromagnetica

en ese intervalo de frecuencias ν y ν+ d ν), la cual es una funcion de la temperatura T .

5.1.3.1. Calculo de < E >

Tomemos el cuerpo negro (sistema A) en un estado (microscopico) con energıa E , en contacto termico con un reservorio

de calor (sistema A′) con energıa E ′ (la radiacion electromagnetica en la cavidad), ası la energıa total del sistema compuesto

esta dada por E o = E + E ′ = cte, luego E ′ = E o− E . La probabilidad P( E ) de encontrar los osciladores armonicos en la cavidad

en un estado de energıa E dado, es proporsional el numero Ω′( E ′) de estados de A′ compatibles con que A se encuentre con

energıa E , es decir,

(5.12) P( E ) = C ′Ω′( E o− E ) .



5.1 El problema de la radiacion, radiacion del cuerpo negro 89

Tomemos el caso en el E E o, entonces podemos aproximar 5.12 expandiendo el logaritmo de Ω′( E ′) al rededor de E o,

entonces

(5.13) lnΩ′( E o− E ) = lnΩ′( E o)−∂ lnΩ′

∂ E ′

E o

E + · · · ,

como E ≪ E o, los terminos superiores pueden ser despresiados. Se define

(5.14) β ≡ ∂ lnΩ′∂ E ′

E o

,

la cual es una constante independiente de E . Tomando el exponencial se llega

(5.15) P( E ) = C e− β E .

Como

(5.16)

∞0

P( E )dE = 1 ,

llegamos a

(5.17) P( E ) = e− β E ∞0

e− β E dE ,

La cual es la probabilidad del encontar al sistema de osciladores armonicos que componen el cuerpo negro en un estado

microscopico con energıa E . El parametro β tiene dimensiones de inverso de energıa, se define

(5.18) kT ≡ 1

β ,

donde T es una cantidad adimensionalque llamaremos temperatura,y k es una constante que tiene unidades de energıa, llamada

constante de Boltzmann. Luego

(5.19) < E >= ∞0

E e− E /kT dE ∞0

e− E /kT dE = kT ,

entonces

(5.20) E(ν, T ) = N (ν) < E >= 8πν2

c3 kT ,

es la llamada formula de Rayleigh-Jeans. Este resultado funciona muy bien para baja frecuencias, pero para las altas es inade-

cuada (diverge).

5.1.4. Distribuci´ on de la densidad de energıa de Planck

Como se mostro en las anteriores secciones, la fısica clasica fracaso en el intento de explicar la naturaleza de la radiacion

de un cuerpo negro, muchos ecepticos (de las ideas de Planck) han seguido intentando explicar tal fenomeno mediante la fısica

clasica, pero, hasta el dıa de hoy no se ha logrado dar una explicacion diferente a la que se dara a continuacion.

Visualizando una interpolacion entre las formulas de Rayleigh-Jeans y la de Wien, en 1900 Planck postula que la energıa

de los osciladores armonicos que componen la cavidad oscilan con energıas que son multiplos de hν, es decir,

(5.21) E = nhν n = 0,1, 2,3, . . . ,

donde h es la constante de Planck y hν es la energıa de un cuantum. Con esto, los osciladores armonicos (de frecuencia ν) en

las paredes de la cavidad, solo pueden oscilar con energıas multiplos enteros de hν.

Asumiendo que las energıas de los osciladores esta cuantizada, la energıa promedio puede ser calculada en la siguiente

forma



90 5 Introduccion a la fısica cuantica

(5.22) < E >=

∞n=0 nhνe−nhν/kT dE ∞

n=0 e−nhν/kT =

hν

ehν/kT −1,

luego

(5.23) E(ν, T ) = N (ν) < E >= 8πν2

c3

hν

ehν/kT −1.

Esta es la distribucion de Planck. El valor de h se obtiene ajustando la curva experimental, resultando en h = 6,626×10−34 J s.

5.2. Efecto fotoelectrico

5.2.1. Experimento de Hertz

En 1887 Heinrich Hertz, observando la descarga electrica entre electrodos, para generar ondas electromagneticas, ob-

servo que cuando iluminaba los electrodos con luz ultravioleta, la intensidad de la descarga aumentaba, es decir, que las

superficies iluminadas emitıan mas electrones.

5.2.2. Experimento de Hallwachs

En 1888 Wilhelm Hallwachs observo que electrones eran emitidos desde algunos metales (ejemplo, zinc, rubidio, potasio y

sodio) cuando se iluminaba su superficie. A este efecto se le llamo efecto fotoelectrico y a los electrones emitidos fotoelectro-

nes.

5.2.3. Experimento de J.J. Thomson

En 1899 Thomson confirma que las partıculas emitidas por los metales, en estos experimentos, son electrones.

5.2.4. Explicaci ´ on de Einstein

Einstein toma las ideas de Planck desde otras perspectivas y postulas que no solo las energıas de los osciladores armonicos

de los que se compone la cavidad en un cuerpo negro estan cuantizados, si no que la energıa de la radiacion tambien esta cuan-

tizada, es decir, que no puede existir cantidades arbitrarias para para la energıa del campo electromagnetico, y que esta energıa

tambien obedece a la misma regla de cuantizacion de Planck, entonces la energıa electromagnetica esta dada por

(5.24) E n = nhν .

Si los electrones en un metal se encuentran ligados mediante un potencial φ, para ser liberados, la energıa mınima que debetener la radiacion esta dada por hν−φ = 0, con esto la energıa cinetica de los electrones emitidos se escribe

(5.25) K = hν−φ ,

bajo la hipotesis que hν > φ, de lo contrario no habra emision de electrones. Si definimos φ = hν0, luego

(5.26) K = h(ν− ν0) ,

y ν0 es la frecuencia de corte del metal.



5.7 Dualidad en la materia, ondas de De Broglie 91

5.3. Efecto Compton

En 1923 Arthur Compton observo que cuando una onda electromagnetica encuentra a su paso partıculas, esta onda se dis-

persa cambiando su longitud de onda, ademas, cambiando el estado de movimiento de la partıcula. Para explicar este fenomeno

Compton llevo las ideas de Einstein sobre la radiacion mas lejos, tomo los cuantum de energıa electromagnetica E = hν, y le

asocio un momento de magnitud p = hν/c, con esto se asignan propiedades corpusculares a la radiacion electromagnetica

(Foton).

Para un electron en reposo que colisiona con un foton, el momentum P luego luego de la colision esta dado por

(5.27) P = Pe +p′ ,

donde Pe es el momentum del electron luego de la colision y p′ es el momentum del foton luego de la colision.

5.4. Espectros atomicos y modelos atomicos

5.5. Los Rayos X

5.6. El efecto Laser

5.7. Dualidad en la materia, ondas de De Broglie

5.7.1. Difracci ´ on de electrones

5.7.2. Principio de Heisemberg y relaciones de incertidumbre

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