O n d a s M e c a n i c a s e E l e t r o m a g n ¶e t i c a s

I n s t i t u t o M i l i t a r d e E n g e n h a r i a

P r o f J a y m e F. M. M e n d e s

Pref¶acio

i

Sum¶ario

1 Introdu»c~ao 11.1 O conceito de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 O princ¶³pio de superposi»c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 A equa»c~ao de onda em uma dimens~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Ondas Mecanicas 72.1 A equa»c~ao das cordas vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Resolu»c~ao da equa»c~ao de onda para uma corda vibrante . . . . . . . 102.3 Ondas el¶asticas em um bast~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Ondas de press~ao em uma coluna de g¶as . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Batimento. Velocidade de fase e de grupo . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Potencia e intensidade de uma onda mecanica 233.1 Introdu»c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Potencia e intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Ondas em duas e tres dimens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Intensidade de duas ou mais ondas superpostas . . . . . . . . . . . . 29

4 Propaga»c~ao, re°ex~ao e refra»c~ao 314.1 Introdu»c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Cone de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Princ¶³pio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Princ¶³pio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Constancia de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Ondas Eletromagn¶eticas 415.1 Introdu»c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Equa»c~oes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Ondas eletromagn¶eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Energia e intensidade de uma onda eletromagn¶etica . . . . . . . . . . 455.5 Press~ao de radia»c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Interferencia 55

7 Difra»c~ao 56

Referencias 57

ii

Cap¶³tulo 1

Introdu»c~ao

1.1 O conceito de onda

Poder¶³amos tentar conceituar uma onda escrevendo: "uma onda ¶e qualquer sinalque se transmite de um ponto a outro sem que haja transporte de mat¶eria". Mesmoque verdadeira, esta conceitua»c~ao n~ao fornece uma ideia completa do que ¶e umaonda. Sendo assim, nada melhor do que lan»car m~ao de exemplos familiares para secome»car a entender o que ¶e uma onda.

Como primeiro exemplo, consideremos a onda gerada na superf¶³cie de um lago(Fig.1.1). Se uma pedra ¶e lan»cada sobre um lago, uma onda circular ¶e gerada nasuperf¶³cie da ¶agua a partir do ponto onde a pedra toca a ¶agua. Conforme o tempopassa, a onda vai se distanciando do ponto de origem. Entretanto, as mol¶eculas da¶agua n~ao se deslocam com a onda, pois estas realizam apenas pequenos movimentososcilat¶orios durante a passagem da onda. Em outras palavras, o que se desloca ¶eo efeito perturbativo que caracteriza a onda. Podemos perceber isto se uma folhaestiver °utuando sobre a ¶agua, pois veremos que ela apenas se move em torno dasua posi»c~ao original, enquanto a onda a ultrapassa, evidenciando assim que a ¶aguaem si n~ao se desloca com a onda, ao contr¶ario de uma folha em um rio.

Figura 1.1: Ondas propagantes na superf¶³cie de um lago.

Um segundo exemplo bastante ilustrativo ¶e o de uma onda transversal em umacorda: cada ponto material da corda move-se verticalmente para cima e para baixoem torno de um ponto de equil¶³brio enquanto a onda propaga-se inde¯nidamente nadire»c~ao horizontal.

1

Observando a Fig.1.2 a partir de cima, podemos acompanhar uma onda em umacorda em instantes sucessivos. Enquanto a onda desloca-se para a direita os pontosmateriais da corda apenas se movimentam para cima durante a chegada de um picoe para baixo durante a sua partida.

Figura 1.2: Ondas se propagando em uma corda.

1.2 O princ¶³pio de superposi»c~ao

O princ¶³pio de superposi»c~ao a¯rma que quando duas ondas se encontram geramuma nova onda. Por exemplo, quando em uma corda duas ondas na forma de umpulso propagam-se em sentidos opostos, ao se encontrarem, o deslocamento de umponto material ¶e dado pela soma dos deslocamentos dos pulsos originais, conformeilustrado na Fig.1.3.

De cima para baixo, vemos inicialmente dois pulsos propagando-se em sentidosopostos e, posteriormente, eles se superp~oem fazendo com que os deslocamentos daonda resultante sejam obtidos pela soma dos deslocamentos de cada onda original.Observe na segunda fase que as ondas originais n~ao desapareceram, mas est~ao sesuperpondo como uma nova onda e, al¶em disso, o deslocamento durante a super-posi»c~ao ¶e dado pela soma dos deslocamentos de cada onda original1. Na terceirafase, as ondas originais voltam a se separar, propagando-se como se nada houvesseocorrido.

Figura 1.3: Ondas se propagando segundo o princ¶³pio de superposi»c~ao.

1Por exemplo, se duas ondas tem a mesma forma, propagam-se na mesma dire»c~ao e emsentidos opostos e tem amplitudes iguais a y±, o deslocamento m¶aximo observado ser¶a iguala 2y±.

2

1.3 A equa»c~ao de onda em uma dimens~ao

Uma onda unidimensional ¶e aquela que se propaga em uma dire»c~ao e, portan-to, podemos descreve-la em fun»c~ao de apenas uma coordenada espacial, al¶em dotempo. A equa»c~ao de onda ¶e uma equa»c~ao diferencial parcial em rela»c~ao a essasmesmas vari¶aveis e, nesta se»c~ao, iremos obter tal equa»c~ao para uma onda que sepropaga com velocidade constante.

Considere ent~ao uma onda na forma de um pulso propagando-se com velocidadev em rela»c~ao ao referencial S, conforme a Fig.1.4. Simultaneamente, um outroreferencial com origem em S0 move-se na mesma dire»c~ao e sentido e com a mesmavelocidade que o pulso. Portanto, para um observador em repouso no referencial Sa onda desloca-se com velocidade v no sentido positivo do eixo x, enquanto que paraum observador em repouso no referencial S0 a onda n~ao se desloca.

Figura 1.4: Pulso ondulat¶orio com velocidade ¯xa v.

Observando a ¯gura, vemos que o deslocamento y para o ponto P ¶e o mesmotanto para o referencial S quanto para o referencial S0, ou seja: y = y0 mas, comodissemos acima, enquanto y deve ser fun»c~ao de x e de t, y0 deve depender apenas dex0:

y = f(x; t) ; (1.3.1)

e

y0 = f(x0) ; (1.3.2)

pois para cada coordenada x os valores de y variam em fun»c~ao de t (coordenadatemporal) conforme a onda se desloca enquanto para o referencial S0, onde o pulsoest¶a parado, os valores de y0 n~ao se modi¯cam como tempo, permitindo que sejamdescritos apenas em fun»c~ao de x0, ent~ao:

y0 = f(x0) : (1.3.3)

e, do que foi dito acima, podemos escrever:

y0 = y = f(x0) ; (1.3.4)

3

mas x0 = x¡ vt (ver Fig.1.4), de onde vem,

y = f(x¡ vt) : (1.3.5)

Observe que n~ao h¶a restri»c~ao quanto µa fun»c~ao que representar¶a a onda, desde queesta dependa de x e t na forma f(x; t) = f(x¡vt) e o valor de

Ry2dx ao longo de todo

o eixo x seja ¯nito2. Por exemplo, a onda pode ser dada por y = 2=[(x¡ vt)2 + 3],y = 3 sen(4x ¡ 7t), etc. Fica claro tamb¶em que f(x + vt) representa uma ondacaminhante para a esquerda (Veri¯que!).

A obten»c~ao da equa»c~ao de onda ¶e feita por meio de diferencia»c~oes de y = f(x¡vt)em rela»c~ao µas suas vari¶aveis x e t. Sendo assim, seja u(x; t) = x¡ vt, de onde vem:

@f

@x=

@f

@u

@u

@x=

@f

@u: (1.3.6)

Diferenciando mais uma vez:

@2f

@x2=

@

@u

µ@f

@u

¶@u

@x=

@2f

@u2: (1.3.7)

Diferenciando tamb¶em em rela»c~ao ao tempo:

@f

@t=

@f

@u

@u

@t= ¡v@f

@u; (1.3.8)

e diferenciando mais uma vez:

@2f

@t2=

@

@u

µ@f

@u

¶@u

@t= v2

@2f

@u2: (1.3.9)

Comparando @2f=@u2 nas equa»c~oes acima, obt¶em-se a equa»c~ao de onda:

@2f

@x2=

1

v2@2f

@t2: (1.3.10)

Como veremos adiante, equa»c~oes de movimento na mesma forma da 1.3.10 ser~aoobtidas ap¶os a aplica»c~ao da segunda lei de Newton para expressar a dinamica deondas materiais em cordas vibrantes, meios s¶olidos e meios gasosos.

Como voce mesmo pode veri¯car, encontra-se a mesma equa»c~ao diferencial parauma onda caminhante para a esquerda com velocidade v. Mais do que isso, pode-severi¯car que f(x; t) = f1(x ¡ vt)+f2(x + vt) tamb¶em ¶e solu»c~ao da equa»c~ao acima,desde que f1(x¡vt) e f2(x+vt) sejam. Sendo assim, se existirem n ondas dadas porfi(x ¡ vt); i = 1; 2::n e m ondas dadas por fj(x + vt); j = 1; 2::m, ent~ao, qualquercombina»c~ao linear destas fun»c~oes ser¶a tamb¶em uma solu»c~ao da equa»c~ao de onda.Em outras palavras, ¶e v¶alido o "Princ¶³pio da Superposi»c~ao" para o caso em quest~ao.

Exemplo: Onda harmonica

Seja f(x; t) = A sen(k(x ¡ vt)) uma onda caminhante para a direita com ve-locidade constante v. Para um instante ¯xo arbitr¶ario t, esta onda apresentar¶a osmesmos valores de f(x; t) a cada intervalo m¶³nimo no eixo x dado por ¸. A estagrandeza ¸ d¶a-se o nome de comprimento de onda, obtido sabendo-se que:

f(x; t) = f(x+¸; t) ; (1.3.11)

2Leia no Cap¶³tulo 3 considera»c~oes sobre a energia das ondas.

4

ou seja,

A sen(k(x+ ¸¡ vt)) = A sen(k(x¡ vt)) : (1.3.12)

Se ¸ ¶e o menor intervalo que satisfaz a condi»c~ao (1.3.11):

k(x+ ¸¡ vt)¡ k(x¡ vt) = 2¼ =) k¸ = 2¼ ; (1.3.13)

onde k ¶e chamado de n¶umero de onda.Analogamente, ao passar pelo ponto com coordenada x, a onda apresentar¶a

valores repetidos de f(x; t) a cada intervalo m¶³nimo de tempo (per¶³odo= P ) tal que:

f(x; t+ P ) = f(x; t) : (1.3.14)

Um c¶alculo, an¶alogo ao que foi feito para ¸, nos d¶a:

kvP = 2¼ : (1.3.15)

De¯nindo kv = !, tem-se !P = 2¼. Uma vez que, frequencia=1=P = º ; temos,! = 2¼º, onde ! ¶e de¯nida como frequencia angular.

Desta forma, podemos reescrever f(x; t) como:

f(x; t)=A sen(kx¡ !t) (1.3.16)

Resumindo, tem-se acima uma onda cujo comprimento de onda ¶e dado por ¸=2¼=k,a frequencia por º=!=2¼, propagando-se a uma velocidade v=!=k.

Apliquemos o Princ¶³pio de Superposi»c~ao ao caso de duas ondas harmonicastransversais de mesma amplitude, mesma velocidade, mesma dire»c~ao e sentido depropaga»c~ao, mas com diferen»ca de fase de ¼=4 .

Figura 1.5: Duas ondas com diferen»ca de fase dadas por : f1(x; t)=2sen(2x¡3t) e f2(x; t)=2sen(2x¡ 3t+ ¼=4) .

f1(x; t)=2sen(2x¡ 3t) e f2(x; t)=2sen(2x¡ 3t+ ¼=4) : (1.3.17)

Superpondo-as,

g(x; t) = f1(x; t) + f2(x; t)=2sen(2x¡ 3t) + 2sen(2x¡ 3t+ ¼=4) : (1.3.18)

g(x; t) = 2

qp2 + 2 sen(2x¡ 3t+ ¼=8) = 3; 696sen(2x¡ 3t+ ¼=8) : (1.3.19)

Observe nas ¯guras acima as ondas originais e, em seguida, a onda resultanteda superposi»c~ao. Uma vez que ambas possuem os mesmos valores de k e de ! e,portanto, a mesma velocidade, a onda ¯nal tamb¶em ¶e dada por uma ¶unica fun»c~aoharmonica. Entretanto, a amplitude desta ¶e menor do que a soma das amplitudes decada onda original uma vez que, devido µa diferen»ca de fase, os m¶aximos de f1(x; t)e f2(x; t) n~ao coincidem.

5

Figura 1.6: Onda resultante da superposi»c~ao: g(x; t) = 3; 696sen(2x¡3t+¼=8)

6

Cap¶³tulo 2

Ondas Mecanicas

2.1 A equa»c~ao das cordas vibrantes

Nesta se»c~ao deduziremos a equa»c~ao diferencial parcial que expressa a dinamicade uma corda vibrante. A ¯m de simpli¯car os c¶alculos, iremos trabalhar no regimede pequenos deslocamentos dos pontos da corda em rela»c~ao aos seus pontos deequil¶³brio. As aproxima»c~oes expostas abaixo poder~ao, ainda assim, ser aplicadas µamaioria dos casos.

Aproxima»c~oes utilizadas:

i) Varia»c~oes desprez¶³veis no comprimento da corda (densidade »= cte.).

ii) Pequenos deslocamentos transversais µa corda em torno dos pontos de equil¶³briode forma a caracterizar uma onda praticamente transversal.

Figura 2.1: Trecho de uma corda vibrante oscilando.

A ¯gura abaixo mostra um trecho de uma corda, de densidade linear 1 constante,¹, massa ¢m e comprimento ¢`, em oscila»c~ao, em um instante arbitr¶ario t, entreos pontos P1(x; y) e P2(x + ¢x; y + ¢y). A componente y da for»ca resultante nadire»c~ao vertical, sobre um ponto P(x; y) arbitr¶ario no instante t ¶e dada por:

Fy(x; t) = F (x; t)senµ(x; t) ; (2.1.1)

1Seja uma corda de densidade volum¶etrica ½ e sec»c~ao reta constante a. Tomando um tre-cho de comprimento ¢` e massa ¢m desta corda, teremos: ½ = ¢m=(a¢`) = (¢m=¢`)=a.Uma vez que ¹ = ¢m=¢` = ½ a ¶e uma constante com dimens~ao de massa sobre comprimen-to, podemos de¯ni-la como densidade linear da corda.

7

enquanto que a sua componente x ¶e dada por:

Fx(x; t) = F (x; t) cos µ(x; t) : (2.1.2)

Das equa»c~oes acima, podemos calcular as componentes x e y da for»ca sobre o trechoda corda mostrado na ¯gura acima:

¢Fy = F (x+¢x; t)senµ(x+¢x; t)¡ F (x; t)senµ(x; t) ; (2.1.3)

¢Fx = F (x+¢x; t) cos µ(x+¢x; t)¡ F (x; t) cos µ(x; t) ; (2.1.4)

Considerando que os pontos materiais da corda s~ao deslocados apenas ao longo doeixo OY, a componente da for»ca no eixo OX dever ser nula:

¢Fx = F (x+¢x; t) cos µ(x+¢x; t)¡ F (x; t) cos µ(x; t) = 0 ; (2.1.5)

ou ainda,

F (x+¢x; t) cos µ(x+¢x; t) = F (x; t) cos µ(x; t) ; (2.1.6)

Se as coordenadas x e t acima s~ao arbitr¶arias, pode-se a¯rmar que,

F (x; t) cos µ(x; t) = T = cte:; (2.1.7)

para x e t arbitr¶arios.Substituindo a 2.1.7 na equa»c~ao para a componente da for»ca sobre o eixo OY,

equa»c~ao 2.1.3, temos:

¢Fy = T tgµ(x+¢x; t)¡ T tgµ(x; t) ; (2.1.8)

¢Fx = 0 : (2.1.9)

Ou seja, a for»ca resultante sobre um trecho arbitr¶ario da corda est¶a na dire»c~ao doeixo OY, cuja componente ¶e dada por:

¢Fy = T [tgµ(x+¢x; t)¡ tgµ(x; t)] : (2.1.10)

Sabendo que tgµ(x; t) = @y(x; t)=@x e que, da 2a Lei de Newton,

¢Fy = ¢m@2y(x; t)=@t2 ;

vem,

¢Fy = ¢m@2y(x; t)=@t2 »= T [@y(x+¢x; t)=@x¡ @y(x; t)=@x] : (2.1.11)

Mas ¢m ¶e a mesma massa com comprimento ¢x antes da corda ser perturbada, ouseja, ¢m = ¹¢x, de onde vem,

¹@2y(x; t)=@t2 »= T

·@y(x+¢x; t)=@x¡ @y(x; t)=@x

¢x

¸: (2.1.12)

8

Ao tomarmos ¢x! 0, a equa»c~ao acima reescrever-se-¶a como:

¹@2y(x; t)

@t2= T

@2y(x; t)

@x2; (2.1.13)

ou,

@2y(x; t)

@x2=

1

T=¹

@2y(x; t)

@t2: (2.1.14)

Comparando a (2.1.14) com a (1.3.10), deduz-se que a velocidade da onda em umacorda vibrante ¶e dada por, v =

pT=¹ .

Observe que a dependencia da velocidade em rela»c~ao a T e ¹, re°ete o que ¶eesperado ¯sicamente. Ela aumenta com a tens~ao aplicada, que por sua vez aumentaa velocidade m¶edia dos pontos materiais da corda, e diminui com o aumento dadensidade, que ¶e uma medida da in¶ercia desses mesmos pontos.

A equa»c~ao que d¶a a velocidade da onda em uma corda ¶e mais geral do que parece,pois ela vale mesmo quando a tens~ao T e/ou ¹ n~ao s~ao constantes. A ¯gura abaixomostra o trecho de um pulso ondulat¶orio em uma corda propagando-se para a direitacom velocidade v.

Figura 2.2: Tens~ao em uma corda vibrante arbitr¶aria.

Considere, ao inv¶es disso, um referencial que se movimenta solidariamente aopulso. Nesse referencial, um observador ve os pontos materiais compreendidos naregi~ao angular 2¢µ moverem-se a uma velocidade m¶edia ¡v em um intervalo detempo ¢t em uma trajet¶oria curvil¶³nea com raio de curvatura igual a R. Observe queeste referencial pode ser considerado como estando em MRU, durante um intervalode tempo ¢t ! 0, em rela»c~ao ao referencial inercial onde a extremidade da cordaest¶a presa; ent~ao:

2T sen¢µ = ¢mv2

R: (2.1.15)

Sabendo que ¢m = 2R¢µ¹, vem:

2Tsen¢µ

¢µ= 2R¹

v2

R: (2.1.16)

9

Fazendo ¢µ ! 0, vem, ¯nalmente:

T = ¹ v2 ; (2.1.17)

ou seja,

v =

sT

¹; (2.1.18)

2.2 Resolu»c~ao da equa»c~ao de onda para uma

corda vibrante

Nesta se»c~ao iremos resolver a equa»c~ao de onda para o caso de uma corda de com-primento L com extremos ¯xos em x = 0 e x = L.

1a Solu»c~ao

Consideremos a equa»c~ao de onda para a corda vibrante:

@2y(x; t)

@x2=

1

T=¹

@2y(x; t)

@t2: (2.2.19)

As ondas na corda poder~ao se propagar tanto para a direita como para a esquerda;sendo assim, a solu»c~ao dever¶a ser dada pela superposi»c~ao de ondas caminhantesnesses dois sentidos: y(x; t)=f(x+vt)+g(x¡vt). Considerando a hip¶otese de que taisondas s~ao peri¶odicas, proporemos uma solu»c~ao onde f(x+vt) e g(x¡vt) s~ao fun»c~oessinusoidais. Por meio de uma combina»c~ao linear de tais fun»c~oes, poderemos construirfun»c~oes peri¶odicas arbitr¶arias de acordo com a teoria das s¶eries de Fourier[3].

Do que foi dito acima, propomos a seguinte solu»c~ao geral para a onda na cordavibrante com comprimento de onda ¸ = 2¼=k:

y(x; t) = Csen(kx¡ !t+ ®) +Dsen(kx+ !t+ ¯) ; (2.2.20)

onde v = !=k e ® e ¯ s~ao fases constantes.Entretanto, a ¯m de tornar os c¶alculos mais f¶aceis, ¶e conveniente escrever as

fun»c~oes seno e cosseno como:

senu = (eiu ¡ e¡iu)=2i e cos u = (eiu + e¡iu)=2,

o que nos permite reescrever a fun»c~ao y(x; t) na forma abaixo:

y(x; t) = aei(kx¡!t) + be¡i(kx¡!t) + cei(kx+!t) + de¡i(kx+!t) ; (2.2.21)

onde a; b; c e d s~ao constantes que podem ser descritas em fun»c~ao de C;D; ® e ¯,sem perda de generalidade.

1a Condi»c~ao de contorno, y(0; t) = 0

y(0; t) = ae¡i!t + bei!t + cei!t + de¡i!t = 0 : (2.2.22)

Uma vez que as exponenciais ei!t e e¡i!t s~ao linearmente independentes, a = ¡d eb = ¡c. O que nos permite reescrever a fun»c~ao de onda como:

y(x; t) = 2i sen(kx)(ae¡i!t ¡ bei!t) =

10

= 2sen(kx)[i(a¡ b) cos(!t) + (a+ b)sen(!t)] : (2.2.23)

Para que y(x; t) seja real, a = b¤, o que nos leva a:

y(x; t) = ¡4jajsen(kx) cos(!t+ °) ; (2.2.24)

onde °= tg¡1(Rea=Ima).2a Condi»c~ao de contorno, y(L; t) = 0

y(L; t) = ¡4jajsen(kL) cos(!t+ °) = 0 ; (2.2.25)

o que implica em sen(kL) = 0, kL = n¼; n = 1; 2; 3; :::.Ent~ao, para a onda com comprimento de onda ¸n = 2¼=kn = 2L=n, as solu»c~oes

poss¶³veis s~ao dadas por:

yn(x; t) = ¡4janj sen³n¼x

L

´cos(!nt+ °n) ; (2.2.26)

A ¯m de deixar a express~ao ¯nal em uma forma mais usual, de¯namos An = 4janjcomo sendo a amplitude do n-¶esimo modo normal de oscila»c~ao e °n = ±n + ¼, deonde vem:

yn(x; t) = An sen³n¼x

L

´cos(!nt+ ±n) ; (2.2.27)

A solu»c~ao yn(x; t) para um dado n corresponde a uma onda hamonica na cordacom extremos ¯xos no n-¶esimo modo de oscila»c~ao. Veja na Fig.2.3 os tres primeirosmodos.

Figura 2.3: Corda com extremos ¯xos em tres modos normais: terceiro modo(n = 3), segundo modo (n = 2) e modo fundamental (n = 1).

A equa»c~ao de onda ¶e uma equa»c~ao diferencial linear e homogenea, portanto, asolu»c~ao geral ser¶a uma combina»c~ao linear de solu»c~oes com todos os kn e !n encon-trados acima. Fisicamente, isto corresponde µa superposi»c~ao de ondas harmonicas nacorda, cuja solu»c~ao geral ser¶a dada por:

y(x; t) =1X

n=1

An sen³n¼x

L

´cos(!nt+ ±n) ; (2.2.28)

11

Pode-se ver que, mesmo uma onda resultante da superposi»c~ao de ondas harmonicassatifaz perfeitamente µas condi»c~oes de contorno para extremidades ¯xas, desde que as¶erie convirja, o que depender¶a da s¶erie em An, pois:

1X

n=1

jAnsen³n¼x

L

´cos(!nt+ ±n)j ·

1X

n=1

jAnj : (2.2.29)

Vimos que os comprimentos de onda poss¶³veis s~ao dados por ¸n = 2L=n ; n =1; 2; 3; :::. Sendo assim, sabendo que v = ¸f =

pT=¹, as frequencias para os modos

normais de oscila»c~ao ser~ao dadas por

fn =n

2L

sT

¹; n = 1; 2; 3; ::: (2.2.30)

f1 =pT=¹=2L ¶e chamada de frequencia fundamental ou primeiro harmonico. As

frequencias para outros modos s~ao, portanto, m¶ultiplos de f1 e dadas por fn = nf1.A existencia de frequencias de¯nidas, dadas em fun»c~ao de n¶umeros inteiros, ¶e

uma caracter¶³stica geral importante no movimento ondulat¶orio em regi~oes espa-cialmente limitadas, n~ao s¶o no caso unidimensional, como visto aqui para cordasvibrantes, como nos casos de duas e tres dimens~oes.

A solu»c~ao geral obtida ¶e a combina»c~ao linear de todas as fun»c~oes harmonicastal que kn = n¼=L, o que ¯sicamente representa a superposi»c~ao de todos os modosnormais de oscila»c~ao para a corda de extremos ¯xos.

Como exemplo, consideremos uma onda cuja corda tenha sido abandonada naforma de um pulso triangular em t = 0 nas seguintes condi»c~oes: @y(x; 0)=@t = 0,y(L=2; 0) = h. Apliquemos, ent~ao, as condi»c~oes deste exemplo µas equa»c~oes obtidasas para cordas vibrantes.

@y(x; 0)

@t= ¡

1X

n=1

!nAnsen³n¼x

L

´sen±n = 0 ; (2.2.31)

mas, desde que n~ao se pode ter todos os An, !n e sen(n¼x=L) iguais a zero paratodos os n, devemos impor que sen±n = 0 para qualquer n e, da mesma forma,escolher ±n = 0 para todos os n, satisfazendo assim a igualdade acima. Ent~ao, acondi»c~ao inicial ser¶a dada por:

y(x; 0) =

1X

n=1

Ansen³n¼x

L

´=

½2xh=L se 0 · x · L=22h(1¡ x=L) se L=2 < x · L :

(2.2.32)

Finalmente, os valores de An s~ao obtidos pela an¶alise de Fourier, que trata da cons-tru»c~ao de fun»c~oes peri¶odicas a partir da combina»c~ao linear de fun»c~oes harmonicas.O princ¶³pio utilizado na teoria de Fourier para encontrar as amplitudes An vemda ¶algebra linear, considerando as fun»c~oes fn(x) = sen(n¼x=L) como bases de umespa»co vetorial onde o produto interno < fn0(x); fn(x) > ¶e de¯nido por:

< fn(x); fn0(x) >=2

L

Z L

0sen

³n¼xL

´sen

µn0¼x

L

¶dx = ±

nn0; (2.2.33)

onde a fun»c~ao ±nn0

(fun»c~ao delta de Kronecker2) ¶e igual a zero para n0 6= n e iguala 1 para n0 = n.

2N~ao confundir com a fase ±n .

12

Calculemos os An aplicando o produto interno de¯nido acima sobre a Eq.2.2.32:

2

L

Z L

0y(x; 0)sen

µn0¼x

L

¶dx =

1X

n=1

An2

L

Z L

0sen

³n¼xL

´sen

µn0¼x

L

¶dx ;

(2.2.34)

2

L

Z L

0y(x; 0) sen

µn0¼x

L

¶dx =

1X

n=1

An ±nn0

= A0n ; (2.2.35)

Ou seja,

An =2

L

Z L

0y(x; 0) sen

³n¼xL

´dx ; (2.2.36)

Calculemos as amplitudes An para fun»c~ao y(x; 0) dada no exemplo:

An =2

L

Z L=2

0

2xh

Lsen

³n¼xL

´dx+

2

L

Z L

L=2

³2h³1¡ x

L

´´sen

³n¼xL

´dx :

(2.2.37)

O resultado acima ¶e nulo para n par e igual a

An =8h sen(n¼=2)

¼2n2; (2.2.38)

para n ¶³mpar. Sendo assim, a fun»c~ao que d¶a a condi»c~ao inicial ¶e igual a

y(x; 0) = 8hX

n=1;3;5;:::

1

¼2n2sen(n¼=2)sen(n¼x=L) ; (2.2.39)

enquanto a fun»c~ao completa ¯ca dada por:

y(x; t) = 8hX

n=1;3;5;:::

1

¼2n2sen(n¼=2)sen(n¼x=L) cos(n¼vt=L) ; (2.2.40)

Como um bonus, podemos obter uma s¶erie para se determinar o n¶umero ¼ a partirda fun»c~ao y(x; 0) para x = L=2. Sabendo que y(L=2; 0) = h, temos:

y(L=2; 0) = h = 8hX

n=1;3;5;:::

1

¼2n2sen(n¼=2)sen(n¼=2) ; (2.2.41)

de onde vem:

¼2

8=

1

12+

1

32+

1

52+

1

72+ ¢ ¢ ¢ (2.2.42)

13

2a Solu»c~ao

O m¶etodo que usaremos aqui para a resolver a equa»c~ao ser¶a o da separa»c~ao devari¶aveis.

Seja y(x; t) = Â(x)T (t), assim:

@2(Â(x)T (t))@x2

=1

T=¹

@2(Â(x)T (t))@t2

: (2.2.43)

De onde vem,

d2Â(x)

dx2T (t) = 1

T=¹Â(x)

d2T (t)dt2

; (2.2.44)

ou ainda,

1

Â(x)

d2Â(x)

dx2=

1

T (t)1

T=¹

d2T (t)dt2

: (2.2.45)

Uma vez que o lado esquerdo depende apenas de x, o direito apenas de t, e ambasas vari¶aveis s~ao independentes, podemos igualar cada lado a uma mesma constante.Seja, ent~ao, ¡k2(k > 0) (o sinal de menos foi escolhido por quest~ao de conveniencia)essa constante, cujo valor ser¶a obtido a partir das condi»c~oes de contorno. Ent~aotemos,

1

Â(x)

d2Â(x)

dx2= ¡k2 ; (2.2.46)

e

1

T (t)1

T=¹

d2T (t)dt2

= ¡k2 : (2.2.47)

Assim, a primeira equa»c~ao poder¶a ser reescrita como:

d2Â(x)

dx2+ k2Â(x) = 0 : (2.2.48)

A solu»c~ao da equa»c~ao acima ¶e dada por Â(x) = asen(kx) + b cos(kx), onde a e bs~ao constantes. Analogamente, a solu»c~ao da equa»c~ao dependente do tempo pode serescrita como, T (t) = c sen(kt

pT=¹) + d cos(kt

pT=¹), onde c e d s~ao constantes.

De acordo com a de¯ni»c~ao de comprimento de onda, k representa o n¶umero de ondade cada modo de oscila»c~ao poss¶³vel da corda, e o comprimento de onda associadoser¶a dado por ¸ = 2¼=k. Da mesma forma tem-se que P = 2¼=(k

pT=¹) = 2¼=(kv),

mas P = 1=f = º = 2¼=!, de onde vem, v = !=k, de acordo com o que j¶a vimos.Do que vimos acima, podemos escrever a solu»c~ao apenas por y(x; t) = Â(x)T (t),

ou seja:

y(x; t) = (asen(kx) + b cos(kx))(csen(!t) + d cos(!t)) : (2.2.49)

O que caracteriza uma onda composta por um ¶unico modo de oscila»c~ao, onde ¸ =2¼=k e v = !=k =

pT=¹. Como a corda est¶a ¯xa nas extremidades (x = 0 e x = L)

para qualquer t: y(0; t) = Â(0)T (t) = y(L; t) = Â(L)T (t) = 0 ) Â(0) = Â(L) = 0,ou seja:

Â(0) = b = 0) Â(x) = asen(kx) : (2.2.50)

14

Â(L) = asen(kL) = 0) kL = n¼; n 2 lN ¤ : (2.2.51)

Uma vez que a velocidade ¶e dada por v = !=k e v ¶e, neste caso, constante, poisdepende dos parametros ¯xos T e ¹, teremos: ! ! !n = vkn.

A equa»c~ao diferencial para y(x; t) = Â(x)T (t) ¶e linear e, portanto, a solu»c~aogeral ser¶a uma combina»c~ao linear de solu»c~oes com todos os kn e !n encontradosacima:

y(x; t) =

1X

n=1

Ân(x)Tn(t) =1X

n=1

ansen(knx)[cnsen(!nt) + dn cos(!nt)] :

(2.2.52)

Podemos reescrever o termos entre colchetes como:

pc2n + d2n cos(!nt¡ tg¡1(cn=dn)) : (2.2.53)

o que nos permite escrever,

y(x; t) =

1X

n=1

Ân(x)Tn(t) =1X

n=1

anpc2n + d2n sen(knx) cos(!nt¡ tg¡1(cn=dn)) :

(2.2.54)

Fazendo ±n = ¡tg¡1(cn=dn) e An = anpc2n + d2n , temos:

y(x; t) =

1X

n=1

An sen(knx) cos(!nt+ ±n) ; (2.2.55)

concordando com o resultado obtido na primeira solu»c~ao (Eq. 2.2.28).

2.3 Ondas el¶asticas em um bast~ao

Considere um bast~ao cil¶³ndrico e homogeneo. Se dermos uma pancada em um dosseus extremos, os ¶atomos do bast~ao oscilar~ao em torno de seus pontos de equil¶³brio,a partir da regi~ao do choque inicial e uma onda longitudinal propagar-se-¶a.

Na ¯gura abaixo est¶a representado o bast~ao cil¶³ndrico com sec»c~ao reta de ¶area A.Os cilindros hachurados de alturas dx e dx+ d» s~ao na verdade duas representa»c~oesde um mesmo cilindro em instantes distintos em que, na condi»c~ao de equil¶³brio epara o instante t, este se encontrava em x com altura dx e, em t + dt, deslocou-separa para x+» (fora da posi»c~ao de equil¶³brio) e deformou-se para uma altura dx+d»(d» pode ser 'positivo ou negativo'/'expans~ao ou contra»c~ao').

Sobre cada sec»c~ao atua uma for»ca F (x; t) que faz com que a for»ca resultante, emum instante t, sobre um cilindro arbitr¶ario de altura dx seja dada por: F ¡ F 0 =F (x; t)¡F (x+dx; t). Sendo assim, se a massa do cilindro ¶e dm, teremos, de acordocom a 2a Lei de Newton:

F (x; t)¡ F (x+ dx; t) = ¡·F (x+ dx; t)¡ F (x; t)

dx

¸dx = ¡@F

@xdx = dm

@2»

@t2:

(2.3.56)

15

Figura 2.4: Bast~ao el¶astico cil¶³ndrico.

A equa»c~ao para a for»ca sobre o cilindro pode ser reescrita como3:

¡@F

@xdx = dm

@2»

@t2= ½oAdx

@2»

@t2; (2.3.57)

ou,

¡@F

@x= ½oA

@2»

@t2: (2.3.58)

Uma vez que o movimento das sec»c~oes ¶e devido a uma deforma»c~ao do material,e a medida dessa deforma»c~ao pode ser dada pela chamada "deforma»c~ao normal",E = @»=@x, ¶e razo¶avel supor que a for»ca sobre esta sec»c~ao aumente com a deforma»c~aopor ela sofrida.

Hooke percebeu que esta rela»c~ao n~ao s¶o era verdadeira como a dependencia entreestas grandezas era, no regime el¶astico, linear, e estabeleceu a seguinte lei: "Noregime el¶astico, a for»ca sobre um bast~ao ¶e diretamente proporcional µa deforma»c~aonormal".

F

A= ¡Y E = ¡Y @»

@x: (2.3.59)

A constante de proporcionalidade Y ¶e chamada de m¶odulo de Young do material.

Das duas ¶ultimas equa»c~oes vem:

¡ @

@x

µF

A

¶=

@

@x

µY@»

@x

¶= Y

@2»

@x2= ½o

@2»

@t2; (2.3.60)

de onde podemos escrever a equa»c~ao de onda para um bast~ao el¶astico:

@2»

@x2=

1

Y=½o

@2»

@t2; (2.3.61)

cuja velocidade de propaga»c~ao ¶e dada por v =pY=½o .

A equa»c~ao acima ¶e uma equa»c~ao de onda que expressa a dinamica do campo dedeslocamento para cada sec»c~ao de ¶area A ao londo de x e de t.

3Entretanto, E = @»=@x, que ¶e de¯nido como deforma»c~ao normal, ¶e uma medida indiretada varia»c~ao da densidade e, em um regime el¶astico, tida como pequena no sentido emque j@»=@xj ¿ 1. Sendo assim, podemos considerar a densidade praticamente constante(½ »= ½o).

16

Tomando agora a derivada da equa»c~ao de onda em rela»c~ao a x, temos:

@

@x

@2»

@x2=

@

@x

1

Y=½o

@2»

@t2: (2.3.62)

Comutando os operadores diferenciais em ambos os lados da equa»c~ao:

@2

@x2@»

@x=

1

Y=½o

@2

@t2@»

@x: (2.3.63)

Utilizando a equa»c~ao (2.3.59), vem:

@2F

@x2=

1

Y=½o

@2F

@t2: (2.3.64)

A equa»c~ao acima ¶e a equa»c~ao de onda para o campo de for»cas F (x; t), ao longodo bast~ao. Ou seja, os deslocamentos » variam no tempo e no espa»co em virtude davaria»c~ao da for»ca sobre cada sec»c~ao do cilindro no ponto x no instante t.

2.4 Ondas de press~ao em uma coluna de g¶as

As ondas longitudinais que se propagam em um g¶as s~ao resultantes do movimen-to ondulat¶orio de suas mol¶eculas, movimento esse que se superp~oe ao movimentoca¶otico4 que essas mesmas mol¶eculas apresentam na ausencia de uma perturba»c~aoondulat¶oria. A origem do movimento ondulat¶orio em um g¶as se origina a partirde uma diferen»ca de press~ao que, por sua vez, altera a densidade do g¶as em umdeterminada regi~ao. Esta diferen»ca de press~ao est¶a, naturalmente, associada a umafor»ca que movimenta regi~oes adjacentes e assim sucessivamente.

A ¯gura abaixo representa uma coluna de g¶as de sec»c~ao reta de ¶area A, ondeest~ao destacadas as posi»c~oes de um cilindro de massa dm de alturas dx e dx+d», nosrespectivos instantes t e t+dt. A experiencia mostra que para o caso de perturba»c~oes

Figura 2.5: Coluna de g¶as.

de natureza sonora, as varia»c~oes de press~ao e, consequentemente, de densidade,s~ao t~ao pequenas em rela»c~ao aos valores n~ao perturbados, que podemos considerar

4Agita»c~ao t¶ermica, onde a energia m¶edia por mol¶ecula ¶e dada por 3kT=2 (k =constantede Boltzmann e T ¶e a temperatura do g¶as na escala Kelvin), de acordo com a MecanicaEstat¶³stica Cl¶assica.

17

j½(x; t)¡ ½±j ¿ ½±. Sabendo que em x e t o cilindro estava na condi»c~ao de equil¶³briotemos, da 2a Lei de Newton,

A(p¡ p0) = A(p(x; t)¡ p(x+ dx; t)) = ¡A@p

@xdx = dm

@2»

@t2: (2.4.65)

Por outro lado, tem-se que, da conserva»c~ao da massa:

½±Adx = ½(x; t)A(dx+ d») : (2.4.66)

Entretanto,

d» = »0 ¡ » = »(x+ dx; t)¡ »(x; t) =@»

@xdx ; (2.4.67)

que, substituindo na equa»c~ao anterior nos leva a:

½± = ½(x; t)

µ1 +

@»(x; t)

@x

¶: (2.4.68)

De acordo com o que foi dito no in¶³cio da se»c~ao, se j½(x; t) ¡ ½±j ¿ ½±, ent~aoj@»(x;t)=@xj¿1. Sendo assim, podemos reescrever a (2.4.68) como5:

½(x; t) = ½±

µ1¡ @»(x; t)

@x

¶: (2.4.69)

Se para uma dada temperatuta a equa»c~ao de estado permite descrever a densidadedo g¶as em fun»c~ao da sua press~ao, ent~ao podemos escrever p = p(½(x)), de onde vem:

@p

@x=

@p

@½

@½

@x

Ent~ao:

@p

@x= ¡ ½o

@½=@p

@2»

@x2: (2.4.70)

Substituindo a equa»c~ao acima na equa»c~ao advinda da 2a Lei de Newton:

¡A@p

@xdx = A

½o@½=@p

@2»

@x2dx = dm

@2»

@t2: (2.4.71)

e sabendo que dm = ½±Adx, vem:

@2»

@x2=

µ@½

@p

¶@2»

@t2: (2.4.72)

A equa»c~ao acima caracterizar¶a uma equa»c~ao de onda como deduzida no in¶³cio docap¶³tulo; uma onda em um meio homogeneo desde que @½=@p possa ser consideradoconstante (gases perfeitos) ou, pelo menos, desvie-se desprezivelmente em rela»c~aoao ponto de equil¶³brio. De fato, sabe-se que a perturba»c~ao de um g¶as por fontessonoras causa desvios desta ordem, tendo-se como grandeza f¶³sica de¯nida o m¶odulode elasticidade volum¶etrico, dado por:

· =½o

@½=@p: (2.4.73)

5Onde levamos em conta a aproxima»c~ao via expans~ao binomial: (1 + @»=@x)¡1 »= 1 ¡@»=@x, desde que j@»=@xj ¿ 1.

18

Sendo assim, podemos escrever a equa»c~ao de onda para um g¶as como:

@2»

@x2=

1

·=½o

@2»

@t2: (2.4.74)

de onde se obt¶em a velocidade da onda, dada por v =p·=½o .

A ¯m de obter a equa»c~ao de onda relativa a varia»c~ao da densidade do g¶as, bastaderivarmos a (2.4.74) em rela»c~ao a x, temos:

@2

@x2@»

@x=

1

·=½o

@2

@t2@»

@x; (2.4.75)

ou ainda,

@2

@x2

µ1¡ ½

½o

¶=

1

·=½o

@2

@t2

µ1¡ ½

½o

¶; (2.4.76)

onde usamos a (2.4.69). Ent~ao a equa»c~ao de onda para o campo das densidades ser¶adado por:

@2½

@x2=

1

·=½o

@2½

@t2: (2.4.77)

2.5 Batimento. Velocidade de fase e de grupo

A ¯gura abaixo mostra a onda resultante (linha cont¶³nua) da superposi»c~ao deduas ondas harmonicas, propagando-se com a velocidade de fase. A envolt¶oria daonda (linha pontilhada), propaga-se com a velocidade de grupo, n~ao necessariamenteigual a velocidade de fase.

Figura 2.6: Superposi»c~ao de duas ondas harmonicas de frequencias pr¶oximas, f1 e f2.

A onda mostrada na ¯gura acima pode ser obtida, matematicamente, pela su-perposi»c~ao de duas ondas com valores de ¸=2¼=k e !=2¼f diferentes, como descritoabaixo:

» = »±sen(k1x¡ !1t) + »±sen(k2x¡ !2t) ; (2.5.78)

»(x; t) = 2 »± cos [(k2 ¡ k1)x=2¡ (!2 ¡ !1)t=2] sen [(k2 + k1)x=2¡ (!2 + !1)t=2] :(2.5.79)

»(x; t) = 2»± cos (¢k x=2¡¢! t=2) sen(¹kx¡ ¹!t) ; (2.5.80)

19

onde ¢k = k2 ¡ k1, ¢! = !2 ¡ !1, ¹k = (k2 + k1)=2 e ¹! = (!2 + !1)=2.A onda resultante est¶a na ¯gura 2.6. Observe que h¶a a representa»c~ao do produto

das duas fun»c~oes harmonicas presentes na ¶ultima equa»c~ao obtida para »(x; t): umacom comprimento de onda dado por ¸g=4¼=jk2¡k1j, e outra com um comprimentode onda menor, dado por ¸f =4¼=(k2 + k1). O primeiro ¶e o comprimento de ondado grupo de ondas, enquanto o segundo o comprimento de onda da onda de fase,ambos relativos a onda resultante.

Existem duas possibilidades em rela»c~ao µas velocidades de fase e de grupo:i) Se ¸6=¸0 e v=v0, o meio ¶e dito n~ao-dispersivo: vf =vg=v.

No exemplo dado acima, se considerarmos que as velocidades de fase s~ao iguais para¸ diferentes, v=!=k=v0=!0=k0, a velocidade de fase da onda resultante ser¶a dadapor,

vf =¹!¹k=

!0 + !

k0 + k=

k0v + kv

k0 + k= v ; (2.5.81)

e a velocidade de grupo por,

vg =¢!

¢k=

!0 ¡ !

k0 ¡ k=

k0v ¡ kv

k0 ¡ k= v : (2.5.82)

Portanto, conforme a¯rmamos acima, a onda resultante propagar-se-¶a com a mesmavelocidade que a sua envolt¶oria: vf = vg = v.

ii) Se ¸6=¸0 implica em v6=v0, o meio ¶e dito dispersivo: vf6=vg.Isto implica em que a onda resultante da ¯gura acima (linha cont¶³nua) ir¶a se propagarcom uma velocidade diferente da envolt¶oria (linha pontilhada). Veri¯quemos estaa¯rma»c~ao matematicamente:

vg =!0 ¡ !

k0 ¡ k=

k0v0 ¡ kv

k0 ¡ k=

k0(v +¢v)¡ kv

k0 ¡ k= v + k0

¢v

¢k6= v: (2.5.83)

Como exemplos de ondas sonoras em meios materiais em que n~ao h¶a dispers~ao,podemos citar gases e s¶olidos, nas condi»c~oes vistas at¶e aqui. Um outro exemplomuito importante ¶e o caso da luz (onda eletromag¶etica): no v¶acuo a luz se propagacom velocidade c = 3:108m=s para todos os comprimentos de onda (exce»c~ao paraquando h¶a propaga»c~ao num meio material).

De um modo geral, pode-se mostrar que quando v¶arias ondas se superp~oem, avelocidade de grupo ¶e dada por vg = @!=@k. Sabendo que a velocidade de fase decada onda ¶e igual a v=!=k, vem:

vg =@!

@k=

@(kv)

@k= v + k

@v

@k; (2.5.84)

ou seja,

vg = v + k@v

@k; (2.5.85)

cuja express~ao concorda com a obtida em 2.5.83, se tomarmos k0!k.A equa»c~ao 2.5.80, cuja curva est¶a na ¯gura 2.6, pode ser utilizada para a an¶alise

do fenomeno de batimento. Suponhamos que duas fontes sonoras de frequenciasdistintas estejam emitindo ondas que se superp~oem, gerando uma onda do como aobtida em 2.5.80:

»(x; t) = 2»ocos1

2[¢kx¡¢!t]sen(¹kx¡ ¹!t) ; (2.5.86)

20

Seja uma das fontes um diapas~ao (instrumento de som que emite ondas harmonicasbem de¯nidas) com frequencia º e n¶umero de onda k e a outra um outro instru-mento que se quer a¯nar com o diapas~ao, inicialmente com frequencia º0 n¶umero deonda k0. Antes de estar a¯nado, a onda sonora ser¶a a da equa»c~ao acima. Algu¶emque esteja ¯xo na coordenada x ouvir¶a um som de amplitude modulada, conformemostrado na ¯gura 2.6

Radicalmente diferente, seria o som percebido pelo mesmo observador quandose varia a frequencia at¶e que º0=º e k0=k:

»(x; t) = 2»osen(kx¡ !t) ; (2.5.87)

ou seja, a modula»c~ao desapareceria, indicando que o instrumento estaria a¯nado.

21

Problemas

1.1) Considere uma onda em uma corda vibrante descrita por y = 2y± sen(kx)cos(!t).

a) Mostre que a onda em quest~ao representa a superposi»c~ao de duas ondasharmonicas de mesma amplitude.

b) As ondas caminham no mesmo sentido ao longo do eixo x ? Justi¯que.

c) Sabendo que k = 2¼=¸ e que ! = 2¼f , calcule a velocidade de um pontomaterial para x = 3¸=2 e t = 5=4f .

d) Se !=k = 2m/s e ¹=2g/cm, calcule a tens~ao na corda.

22

Cap¶³tulo 3

Potencia e intensidade de uma

onda mecanica

3.1 Introdu»c~ao

As ondas mecanicas caracterizam-se pela propaga»c~ao, no espa»co e no tempo, deoscila»c~oes de um meio material. Em outras palavras, uma oscila»c~ao em um ponto doespa»co em um determinado instante resultar¶a em oscila»c~oes sucessivas, no espa»co eno tempo. Uma vez que essas oscila»c~oes apresentam uma energia associada, podemosent~ao a¯rmar que as ondas transportam energia ao longo do espa»co e na velocidadede propaga»c~ao da onda.

Os mecanismos na escala atomica para cada uma das ondas estudas (transversaisna corda, longitudinais no bast~ao s¶olido e numa coluna de g¶as) s~ao bastante com-plexos: intera»c~ao el¶astica para s¶olidos e cordas vibrantes e de natureza estat¶³sticaassociadas a diferen»cas de press~ao para os gases.

3.2 Potencia e intensidade

Na ¯gura 2.5 a onda propaga-se ao longo do eixo OX atravessando uma sec»c~aode ¶area A. Sendo assim, em um intervalo de tempo dt, uma quantidade de energiadE em um volume Adx ¶e transportada ao longo da dire»c~ao de propaga»c~ao (OX ).Sabendo que a potencia instantanea ¶e a energia transmitida por unidade de tempo:

Pi=

dE

dt=

dE

dt

Adx

Adx= A

µdx

dt

¶µdE

Adx

¶= AvEi ; (3.2.1)

onde v ¶e a velocidade da onda e Ei ¶e a densidade de energia por volume paraum dado instante. A intensidade m¶edia, dada pela raz~ao entre a potencia m¶edia(P = AvE = AvE) e a ¶area como descrita acima ¶e dada por:

I =P

A; I = vE ; (3.2.2)

Tomemos como primeiro exemplo, uma onda harmonica propagando-se num g¶as.Do m¶odulo de compressibilidade volum¶etrica vem,

@½

@p=

½o·

: (3.2.3)

23

Integrando a equa»c~ao acima em rela»c~ao a p temosZ p

po

dp@½

@p=

Z p

po

dp½o·

; (3.2.4)

de onde vem

½(p)¡ ½(po) =½o·(p¡ po) : (3.2.5)

Uma vez que ½(po) = ½o

p¡ po =·

½o(½¡ ½o) : (3.2.6)

Substituindo ½, dado em (2.4.69), na equa»c~ao acima:

p¡ po = ¡·@»(x; t)

@x: (3.2.7)

Se, por exemplo, a onda ¶e harmonica e dada por

»(x; t) = »o cos(kx¡ !t) ; (3.2.8)

a diferen»ca de press~ao1 ser¶a:

p¡ po = ·»oksen(kx¡ !t) ; (3.2.9)

ou, sabendo que a velocidade da onda neste caso ¶e dada por v =p·=½o e que

k = !=v:

p¡ po = v½o»o!sen(kx¡ !t) : (3.2.10)

A equa»c~ao acima nos diz que a press~ao tem uma varia»c~ao m¶axima dada por v½o»o!.A for»ca exercida sobre uma sec»c~ao de ¶area A do cilindro de espessura dx, quando

este se encontra em x no instante t, ¶e dada por:

F (x; t) = A(p(x; t)¡ po) = Av½o»o!sen(kx¡ !t) : (3.2.11)

Se esta sec»c~ao desloca-se, no instante t a uma velocidade @»=@t, a potencia atrav¶esda sec»c~ao ser¶a dada por:

Pi= F

@»

@t= Av½o!

2»2osen2(kx¡ !t) : (3.2.12)

Lembrando que a intensidade ¶e a potencia m¶edia dividida pela ¶area cuja superf¶³cieesta atravessa:

I =P

A=

1

2v½o!

2»2o (3.2.13)

Onde usamos:

sen2(kx¡ !t) = limt!1

1

2t

Z t

¡tdt0sen2(kx¡ !t0) =

1

2

1A amplitude para a diferen»ca de press~ao, segundo a (3.2.10), ¶e dada por v½o»o!. Sabendoque a 400Hz(! = 2:513; 27Hz) a menor amplitude para um som aud¶³vel ¶e de 8:10¡5N=m2

e que a densidade do ar ¶e ½o = 1; 29 kg=m3, v = 345m=s tem-se »o = 7; 15:10¡11m ¼1ºA, oque mostra que as oscila»c~oes ocorrem na escala de dimens~oes atomicas.

24

Comparando a equa»c~ao (3.2.2) com a (3.2.13), temos:

E =1

2½o!

2»2o : (3.2.14)

Das equa»c~oes (3.2.13) e (3.2.14), vem

I = vE ; (3.2.15)

de acordo com (3.2.2).¶E interessante observar a semelhan»ca entre a equa»c~ao (3.2.14) e a energia de um

oscilador harmonico simples de massa m, amplitude xo e frequencia !, dada por

E =1

2m!2ox

2o : (3.2.16)

Lembremos que a massa associada µa equa»c~ao (3.2.14) ¶e igual a dm = ½odv, ondedv=Adx ¶e o volume por ela ocupado, sendo assim, a energia dE ¯ca dada por:

dvE =1

2(dv½o)!

2»2o : (3.2.17)

ou

dE =1

2dm!2»2o : (3.2.18)

Interpretando o resultado acima, podemos considerar a onda acima como um conjun-to de osciladores de massas dm, acoplados linearmente, oscilando em torno de seuspontos de equil¶³brio. Em uma aproxima»c~ao um tanto grosseira, seria algo an¶alogocomo o a vers~ao microsc¶opica de v¶arios corpos de massa ¢m, alinhados, conectadospor molas e postos a oscilar.

Entretanto, n~ao se pode estender a analogia completamente porque se cada planomaterial mantivesse a sua energia constante ao longo do tempo, exatamente comono caso de osciladores hamonicos, n~ao haveria transmiss~ao de energia pela onda. Ouseja, a analogia ¶e distinta quanto ao fato de que cada oscilador transmite toda asua energia ao ocilador vizinho numa dire»c~ao de¯nida e assim, sucessivamente. Isso¯ca claro quando se observa a potencia instantanea na Eq. 3.2.12. Se cada planopudesse ser visto exatamente como um oscilador harmonico simples, a sua energiaseria constante e a potencia Pi seria nula, o que n~ao ¶e o caso.

3.3 Ondas em duas e tres dimens~oes

Estudamos ondas unidimensionais com frentes pontuais (cordas) e planas (ondasem que a frente de onda tem forma plana; p.ex.: bast~ao s¶olido e coluna de g¶as). Paraestudarmos ondas com frentes n~ao-planas, devemos antes saber como calcular umdeslocamento em um ponto arbitr¶ario da frente de onda, o que requer, por sua vez,o conhecimento de uma grandeza vetorial chamada vetor de onda, k, cujo m¶odulo ¶eexatamente o que j¶a de¯nimos como sendo o n¶umero de onda: k= jkj.

O vetor de onda em um ponto arbitr¶ario da frente de onda, tem a mesma dire»c~aoe sentido da velocidade de propaga»c~ao da onda, e ¶e perpendicular µa frente de ondaneste mesmo ponto.

25

Vejamos o caso mais simples, a propaga»c~ao de uma onda plana no sentido posi-tivo do eixo OX , calculado em um ponto deste mesmo eixo. Sabemos de antem~aoque este pode ser dado por:

y(x; t) = f(kx¡ !t) : (3.3.19)

Pode-se reescrever a onda acima como:

y(x; t) = f(k:x¡ !t) ; (3.3.20)

desde que, de acordo com a ¯gura (3.1), k=ku =kx e x=xx seja o vetor posi»c~aodo ponto da frente de onda que se quer calcular; ou seja, k:x=kx. Observe que ovetor u foi constru¶³do perpendicularmente µa frente de onda, conforme dito acima.

Analogamente, se a onda estiver caminhando para a esquerda, teremos, da mes-ma forma, a representa»c~ao acima: y(x; t) = f(k:x¡ !t), onde, agora, k = k(¡x) =¡kx, resultando em y(x; t) = f(¡kx ¡ !t) = g(kx + !t), de acordo com o que seesperaria para uma onda caminhante para a esquerda.

Figura 3.1: Frente de onda plana propagando-se no sentido positivo do eixoOX.

Consideremos agora o caso de uma onda plana propagando-se em uma dire»c~aoarbitr¶aria, de¯nida pelo vetor unit¶ario u, ou ainda, pelo vetor de onda k = ku, comomostra a ¯gura (3.2). Sendo assim, uma onda plana propagando-se em uma dire»c~aoarbitr¶aria dada por k, ser¶a descrita por »(r; t) = f(k:r¡ !t).

Podemos, agora, obter uma equa»c~ao diferencial parcial para uma onda em tresdimens~oes em um meio homogeneo e isotr¶opico. Se »(r; t) = f(k:r¡!t) = f(g(r; t)),onde g(r; t) = k:r¡ !t vem:

@2»

@x2= k2x

@2f

@g2(3.3.21)

@2»

@y2= k2y

@2f

@g2(3.3.22)

@2»

@z2= k2z

@2f

@g2(3.3.23)

@2»

@t2= !2

@2f

@g2: (3.3.24)

26

Figura 3.2: Frente de onda plana propagando-se em uma dire»c~ao arbitr¶ariadada pelo vetor u.

Somando as tres primeiras equa»c~oes acima chega-se a:

r2» = k2@2f

@g2: (3.3.25)

Do valor de @2f=@g2, dado pela equa»c~ao que envolve a derivada temporal, e lem-brando que v = !=k, chega-se a equa»c~ao de onda em tres dimens~oes:

r2» = 1

v2@2»

@t2: (3.3.26)

Estudemos agora o caso da onda tridimensional mais simples: a onda esf¶erica.No modelo que vamos usar, a fonte ¶e considerada pontual e localizada no centro dasfrentes de onda esf¶ericas. Vejamos a ¯gura (3.3), onde est~ao representadas as regi~oesde duas superf¶³cies esf¶ericas centradas na fonte e atravessadas pela onda esf¶erica nosraios r e r+¢r, nos instantes t e t+¢t, respectivamente. Se considerarmos o angulos¶olido associado µas superf¶³cies como sendo tal que ¢−¿ 4¼ (o que equivale dizerAr¿4¼r2) e ¢r¿r, as superf¶³cies ser~ao "aproximadamente" planas, paralelas e de¶areas muito pr¶oximas.

Figura 3.3: Superf¶³cies de duas frentes de onda esf¶erica para os raios r e r+¢r.

Sendo assim poderemos, com boa aproxima»c~ao, a¯rmar que a potencia m¶edia queatravessa as superf¶³cies pode ser representada pela mesma equa»c~ao que utilizamos

27

para a onda plana, pois estar¶³amos no mesmo regime daquelas ondas. Mais ainda,se tomarmos ¢− ! d− e ¢r ! dr, podemos, dentro do nosso modelo de fontepontual, considerar exatamente que:

dPAr =1

2v½!2dAr»

2r =

1

2v½!2r2d−»2r (3.3.27)

Uma vez que a energia que atravessa uma superf¶³cie em r ¶e a mesma que atravessaoutra em r06= r, e a velocidade da onda ¶e constante: dPAr =dPA

r0) PAr = PA

r0.

Sendo assim:

1

2v½!2r24¼»2r =

1

2v½!2r0 24¼»2r0 = constante : (3.3.28)

Da equa»c~ao acima2 vem ent~ao,

»r =´or

; (3.3.29)

onde ´o ¶e uma constante.Uma onda harmonica esf¶erica com sua fonte na origem do sistema de coorde-

nadas, por exemplo, ser¶a descrita como,

»(r; t) =´orsen(k¢r¡ !t) : (3.3.30)

Entretanto, como neste caso k ¶e paralelo a r e ambos tem o mesmo sentido,

»(r; t) =´orsen(kr ¡ !t) : (3.3.31)

Consideremos agora uma onda cil¶³ndrica. Aplicando o mesmo racioc¶³nio usado

Figura 3.4: Superf¶³cies de duas frentes de onda cil¶³ndricas para os raios r e r0.

para uma onda esf¶erica, podemos substituir na equa»c~ao (3.3.27) Ar = 4¼r2 porAr=2¼rh, onde h ¶e a altura das superf¶³cies cil¶³ndricas concentricos de raios r e r0

(ver ¯gura (3.4)) atravessadas pela onda nos instantes t e t0>t, respectivamente, deonde teremos PAr=PA

r0:

1

2v½!22¼r0h»2r0 =

1

2v½!22¼rh»2r = constante : (3.3.32)

Da equa»c~ao acima:

»r =´opr

; (3.3.33)

2Onde foi realizada a integra»c~ao sobre −: 4¼=Rd−.

28

onde ´o ¶e uma constante. Uma onda harmonica cil¶³ndrica com fonte no eixo docilindro, ser¶a descrita como,

»(r; t) =´oprsen(k ¢R¡ !t) ; (3.3.34)

onde r ¶e o vetor posi»c~ao que vai da origem (localizada em um ponto do eixo docilindro) at¶e um ponto arbitr¶ario do cilindro. Sabendo que k= r, temos k¢R = kr,de acordo com a ¯gura abaixo.

Figura 3.5: Vetores de uma frente de onda cil¶³ndrica.

»(r; t) =´oprsen(kr ¡ !t) : (3.3.35)

3.4 Intensidade de duas ou mais ondas super-

postas

»(x; t) = »0sen(kx¡!t) + »1sen(kx¡!t+±)

Problemas

x) Da 2a condi»c~ao de contorno para uma corda vibrante, y(L; t) = 0, levamosem conta apenas n = 1; 2; 3; ::: Por que n~ao se pode tomar tamb¶em :::;¡2;¡1; 0 ?

x) Considere uma corda de densidade linear ¹, girando com velocidade angular !em torno de uma de suas extremidades. Calcule o tempo que um pulso ondulat¶oriogasta para percorrer o comprimento `.

3) Um alto-falante esf¶erico de raio 10 cm oscila radialmente na frequencia de 300Hz com uma amplitude de 0,050 mm. At¶e que distancia o som produzido por essealto-falante poder¶a ser ouvido? (I± = 10¡12W=m2; ½ar = 1; 3kg=m3; vsom = 331m=s)

29

Exerc¶³cio resolvido:3

3 ¸ ¶e o comprimento de onda quando a fonte est¶a se movendo µa velocidade vs, em rela»c~aoao meio. Este comprimento ¶e diferente de ¸±, que ¶e o observado quando a fonte est¶a parada:vs = 0. Veja demonstra»c~ao no ¯m desta se»c~ao.

30

Cap¶³tulo 4

Propaga»c~ao, re°ex~ao e refra»c~ao

4.1 Introdu»c~ao

...meios homogeneos e isotr¶opicos...

4.2 Efeito Doppler

O leitor j¶a deve ter percebido que quando uma fonte sonora est¶a se aproximando,a sua frequencia ¶e mais alta (som mais agudo) do que quando esta est¶a parada, epassa a ser mais baixa (som mais grave) quando a mesma se afasta.

A este fenomeno d¶a-se o nome de efeito Doppler, em homenagem ao cientista aus-tr¶³aco que o estudou (Johann Christian Andreas Doppler; ¶Austria, 29 de Novembrode 1803 - It¶alia, 17 de Mar»co de 1853).

As frequencias do efeito Doppler podem ser calculadas da seguinte forma: sejauma fonte sonora cujo comprimento de onda ¶e ¸± quando esta est¶a parada em rela»c~aoao meio de propaga»c~ao. Considere agora esta fonte deslocando-se a uma velocidadeconstante, vf , em rela»c~ao a um observador em repouso em O, como mostrado na¯gura abaixo. Tanto este observador como o que est¶a junto µa fonte, ir~ao percebern~ao mais um comprimento de onda ¸± mas um outro, dado por ¸.

Figura 4.1: EfeitoDoppler

Uma vez que a velocidade em rela»c~ao ao meio independe da velocidade da fonte,

31

tem-se que para o observador parado em rela»c~ao ao meio as duas frentes, separadaspor ¸, o ultrapassam com a velocidade vs no tempo P :

¸ = vsP (4.2.1)

Para o observador junto µa fonte, a velocidade relativa deste em rela»c~ao a ondaser¶a dada por vs ¡ vf e, portanto, duas frentes de onda, tamb¶em separadas pelocomprimento de onda ¸, passar~ao por ele no tempo P±, segundo a equa»c~ao:

¸ = (vs ¡ vf )P± (4.2.2)

Das duas equa»c~oes acima vem:

vsP = (vs ¡ vf )P± (4.2.3)

sabendo que f± = 1=P± e f = 1=P s~ao as frequencias correspondentes a cada umdestes per¶³odos, vem:

f=f±

1¡ vf=vs(4.2.4)

Observe que se a fonte estiver se aproximando, vf e vs ter~ao os mesmos sinais ef > f± e se esta estiver se afastando, vf e vs ter~ao sinais contr¶arios e f < f±. Aindamais, se vf ! vs a frequencia f cresce de forma ilimitada. Sendo assim, o aumentoda frequencia e portanto, o efeito Doppler, est¶a caracterizado desde que vs < vf .

Para velocidades da fonte maiores do que a da onda no meio devemos estudar ocone de Mach na se»c~ao seguinte.

4.3 Cone de Mach

Consideremos agora uma fonte de onda pontual que viaje a uma velocidade vfmaiorque a velocidade da onda no meio, v, em uma trajet¶oria retil¶³nea. A ¯gura abaixomostra frentes de onda geradas em t e t+ P , onde P ¶e o per¶³odo com que a onda ¶eemitida.

Figura 4.2: ConeDeMach

Da ¯gura ve-se que,

senµ =vt

vf t(4.3.5)

32

ou ainda,

senµ =v

vf· 1 (4.3.6)

O n¶umero obtido a partir de v=vf ¶e chamado de n¶umero de Mach.

4.4 Princ¶³pio de Huygens

Christiaan Huygens ( Matem¶atico, astronomo e f¶³sico/Haia, Holanda, 14 de Abrilde 1629 - Haia, 8 de Julho de 1695) elaborou um princ¶³pio poderoso que permitedescrever a propaga»c~ao, re°ex~ao, refra»c~ao e difra»c~ao de ondas. O princ¶³pio estabe-lece que cada ponto da frente de onda deve ser considerado como fonte pontual deuma onda virtual. Se o meio ¶e homogeneo e isotr¶opico, a frente de onda virtual ser¶auma linha circular para uma onda em uma superf¶³cie plana e uma superf¶³cie esf¶ericano espa»co tridimensional.

Veremos mais adiante que o princ¶³pio estabelecido por Huygens pode ser aplicadoµa re°ex~ao, refra»c~ao, propaga»c~ao em meios inhomogeneos ou anisotr¶opicos.

Vejamos a ¯gura 4.3, que ilustra uma onda propagando-se em uma superf¶³cie,nos instantes t e t+ dt. A reta s representa a frente de onda real no instante t+ dt,de¯nida pela curva envolt¶oria de todas as frentes de onda virtuais de Huygens, nesteinstante. A dire»c~ao de propa»c~ao ¶e dada pelo raio da onda, que ¶e obtido ligando-se afonte pontual (ponto F ) ao correspondente ponto de intersec»c~ao da onda virtual deHuygens com a curva envolt¶oria (ponto P ). ¶E f¶acil ver que, para um meio homogeneoe isotr¶opico, este raio ser¶a sempre perpendicular µa frente de onda em cada ponto damesma.

Pode-se agora estender o princ¶³pio de Huygens para um meio tridimensional deforma quase imediata. Por exemplo, para um meio homogeneo e isotr¶opico, umaonda plana no instante t permanecer¶a plana para qualquer instante posterior e seusraios ser~ao perpendiculares µas frentes de onda.

Figura 4.3: Propaga»c~ao de uma onda plana segundo o princ¶³pio de Huygens.

Para uma onda esf¶erica propagando-se com velocidade v;como na ¯g.(4.4) ecom frente de onda num instante em t arbitr¶ario, o princ¶³pio de Huygens permiteconstruir qualquer frente de onda em t+ dt, de forma an¶aloga ao que foi feito paraa onda plana. A partir de cada ponto na frente de onda em t ve-se as ond¶³culas de

33

Huygens (linhas pontilhadas) para um instante t + dt e a frente de onda f¶³sica nomesmo instante, obtita tomando-se a envolt¶oria µas ond¶³culas.

Figura 4.4: Propaga»c~ao de uma onda esf¶erica segundo o princ¶³pio de Huygens.

Apliquemos o princ¶³pio de Huygens para obter a lei de re°ex~ao. A ¯gura 4.5mostra dois raios paralelos de uma onda plana, incidindo sobre uma superf¶³cie quecont¶em os pontos P e O. A dire»c~ao destes raios ¶e dada pela reta BO e s~ao re°etidosna dire»c~ao de AP . A frente de onda da onda incidente ¶e dada pela reta BP enquantoa da onda re°etida ¶e a reta AO, esta perpendicular a onda de Huygens, cujo centroest¶a em P , com raio dado por AP . Enquanto um dos raios incidentes vai de Bpara O o outro re°ete-se de P para A. Portanto, os segmentos AP e BO possuemo mesmo comprimento. Al¶em disso, como PO ¶e a hipotenusa tanto do triangulo¢APO como do triangulo ¢BOP , tem-se a lei de re°ex~ao: µi = µr.

Figura 4.5: Re°ex~ao de onda plana segundo o Princ¶³pio de Huygens.

34

Figura 4.6: Difra»c~ao de onda plana segundo o Princ¶³pio de Huygens.

4.5 Princ¶³pio de Fermat

Pierre de Fermat (Matem¶atico e cientista/Beaumont-de-Lomagne, Fran»ca, 17 deAgosto de 1601 - Castres, Fran»ca, 12 de Janeiro de 1665) elaborou um princ¶³pio quediz que "a trajet¶oria descrita por um raio de luz entre dois pontos, A e B, ¶e aquelacujo tempo de percurso ¶e m¶³nimo". Pode-se, a partir da¶³, deduzir as leis de re°ex~aoe de refra»c~ao.

A dedu»c~ao da lei de re°ex~ao ¶e, portanto, obtida a partir do princ¶³pio de Fermatminimizando o intervalo de tempo, ¿ , que a luz leva para percorrer AP e PB:

¿ =AP

v+

PB

v=

pa2 + x2

v+

pb2 + (d¡ x)2

v; (4.5.7)

onde v ¶e a velocidade da luz no meio.

Derivando a equa»c~ao acima em rela»c~ao a x e igualando a zero:

vd¿

dx=

xpa2 + x2

¡ d¡ xpb2 + (d¡ x)2

= 0 ; (4.5.8)

35

ou ainda1:

xpa2 + x2

¡ d¡ xpb2 + (d¡ x)2

= 0 ; (4.5.9)

senµi ¡ senµr = 0 (4.5.10)

de onde vem:

µi = µr (4.5.11)

Para a refra»c~ao, aplica-se o princ¶³pio de Fermat de forma an¶aloga ao que foi feito nare°ex~ao. Minimiza-se o intervalo de tempo ¿ que a luz leva para percorrer AP e PB.

Sabendo que o percurso entre os pontos A e P mede d1, percorrido com velocidadev1, e o percurso entre os pontos P e B mede d2, percorrido com velocidade v2, ¿ser¶a dado por:

¿ =d1v1

+d2v2

=

px2 + a2

v1+

p(d¡ x)2 + b2

v2(4.5.12)

d¿

dx=

x

v1px2 + a2

¡ `¡ x

v2p(d¡ x)2 + a2

=senµ1v1

¡ senµ2v2

= 0 (4.5.13)

senµ1v1

=senµ2v2

(4.5.14)

1Pode-se mostrar que esta ¶e uma condi»c~ao de m¶³nimo.

36

4.6 Constancia de fase

Se »(x; t) = »(x ¡ vt) ¶e uma onda propagando-se com velocidade v, de¯ne-se±= k(k¢x¡vt)=k¢x¡kvt, como sendo a fase da onda para um ponto n~ao material.O vetor k d¶a a dire»c~ao e sentido de propaga»c~ao de um ponto arbitr¶ario da frentede onda; sua dimens~ao ¶e L¡1 a ¯m de que ± seja adimensional. k pode ser de¯nidocomo um vetor unit¶ario exceto se a onda for harmonica, quando torna-se convenientede¯nir k=2¼=¸ o que, por sua vez, acarreta em jkjv=kv=! onde ! ¶e a frequenciaangular (ver se»c~ao 1.1 ) .

i - Propaga»c~ao

Consideremos o ponto P na ¯gura abaixo, deslocando-se com a mesma velocidadeda onda; o mesmo estar¶a em x0=x + ¢x em t0= t + ¢t e, neste momento, a fasecorrespondente ser¶a dada por ±0=(k0 ¢ x0 ¡ k0vt0) =(k ¢ x0 ¡ kvt0). Entretanto,

±0 = (k ¢ x0 ¡ kvt0) = [k ¢ (x+¢x)¡ kv(t+¢t)] = (k ¢ x¡ kvt)¡ (k ¢¢x¡ kv¢t) =

= (k ¢ x¡ kvt)¡ k(¢x x¢x¡ v¢t) = ± ¡ k(v¢t¡ v¢t) = ± (4.6.15)

Sendo assim, vimos que na propaga»c~ao a fase de um ponto P qualquer de uma frentede onda ¶e invariante.

ii - Re°ex~ao

Analisemos agora a fase na re°ex~ao, ainda para propaga»c~ao unidimensional. A¯gura abaixo mostra o mesmo pulso ondulat¶orio em dois instantes distintos, em tantes de ser re°etido em uma superf¶³cie situada em x= 0, e em algum instante t0

ap¶os a re°ex~ao. Em x<0 e t a fase ¶e ±=k ¢ x¡kvt =(kx) ¢ (xx)¡kvt = k(x¡ vt),enquanto que em x0 < 0 e t0 tem-se uma fase correspondente ±0 =k0 ¢ x0¡k0vt0 =(¡kx)¢(x0x)¡kvt0 = ¡k(x0+vt0). t0 pode ser reescrito como: t0= t+(¡x=v)+(¡x0=v).

Finalmente:

±0 = ¡kfx0 + v[t+ (¡x=v) + (¡x0=v)]g = ¡k(x0 + vt¡ x¡ x0) = k(x¡ vt)=±(4.6.16)

37

Portanto, a fase mant¶em-se inalterada tamb¶em na re°ex~ao em propaga»c~ao unidi-mensional.

iii - Transmiss~ao

A ¯m de comparar fases quando velocidades de propaga»c~ao diferentes est~ao en-volvidas, como ¶e o caso na transmiss~ao, ¶e conveniente trabalhar com ondas peri¶odicas.Como visto na se»c~ao 1.1, veri¯cou-se que o produto kv ¶e uma constante, pois ¶e iguala frequencia !, e esta n~ao muda mesmo quando a onda ¶e transmitida.

Figura 4.7: Constancia de fase na transmiss~ao obl¶³qua.

Desta forma, considere os dois meios 1 e 2 mostrados abaixo, onde as velocidadesde propaga»c~ao s~ao dadas por v1 e v2, respectivamente. Se um raio de uma onda vaido ponto A ao ponto O (origem do sistema de coordenadas e ponto de interse»c~aoentre os meios) e de O a B e sabendo que seus respectivos vetores de onda s~ao k1 ek2, ent~ao as fases ±1 e ±2 para os pontos A e B, respectivamente, ser~ao dadas por:

±1 = k1 ¢ r1 ¡ k1v1t1 = ¡k1r1 ¡ !t1 ; ±2 = k2 ¢ r2 ¡ k2v2t2 = k2r2 ¡ !t2 ;(4.6.17)

onde ¯zemos; k1v1 = k2v2 = !. A compara»c~ao entre ±1 e ±2 requer, por exemplo, otempo que o raio da onda leva para ir de A a B, que ¶e dado por:

t2 ¡ t1 =r1v1

+r2v2

=k1r1!

+k2r2!

; (4.6.18)

Substituindo o resultado acima em ±2, vem:

±2 = k2r2 ¡ !

µt1 +

k1r1!

+k2r2!

¶= ¡k1r1 ¡ !t1 : (4.6.19)

Logo, ±1 = ±2 .

Sabendo, ent~ao, que a fase mant¶em-se invariante quando uma onda ¶e transmi-tida, podemos recalcular o caso acima levando em conta os angulos de incidencia erefra»c~ao. Para tanto, coloquemos, por exemplo, a origem do sistema de coordenadasna interface entre os dois meios, conforme mostrado abaixo.

As fases ±1 e ±2 ser~ao dadas por:

±1 = k1 ¢ r1 ¡ !t1 = k1r1cos®¡ !t1

±2 = k2 ¢ r2 ¡ !t2 = k2r2 cos¯ ¡ !t2 (4.6.20)

38

Figura 4.8: Constancia de fase na transmiss~ao obl¶³qua - Lei de Snell.

Uma vez que para qualquer ponto entre P e A, estaremos na mesma trajet¶oriado raio incidente, podemos deslocar o ponto A para t~ao pr¶oximo de P quanto dese-jarmos, at¶e que ® ! ¼=2 ¡ µ1 e, consequentemente, r2 = OP . O mesmo vale parao raio transmitido se deslocarmos o ponto B at¶e P , quando ¯ ! ¼=2 ¡ µ2. Nesteslimites, r2 ! r1 e t2 ! t1. Sendo assim, podemos reescrever ±1 e ±2 como:

±1 = k1r1 cos(¼=2¡ µ1)¡ !t1 = k1r1 senµ1 ¡ !t1

±2 = k2r2 cos(¼=2¡ µ2)¡ !t2 = k2r2 senµ2 ¡ !t2 = k2r1 senµ2 ¡ !t1

J¶a se sabe que ±1 = ±2, ent~ao:

k1r1senµ1 ¡ !t1 = k2r1senµ2 ¡ !t1

De onde vem:

k1senµ1 = k2senµ2 :

Ou ainda,

senµ1v1

=senµ2v2

:

39

Problemas

1) Um avi~ao supersonico (ponto A) voa a uma velocidade v (v>vs; v sen µ = vs= velocidadedo som) exatamente sobre uma nave (ponto P ) e a uma distancia h desta, conforme ¯guraabaixo. Se a trajet¶oria do avi~ao faz um angulo ¯ com a horizontal e a nave parte do repousoneste mesmo instante, calcule o valor m¶³nimo da acelera»c~ao constante a para que o pontoC, representado pela intersec»c~ao do cone de Mach com a trajet¶oria horizontal da nave n~aoalcance esta.

2) Deduza a lei de re°ex~ao para incidencia obl¶³qua, a partir da constancia de fase.

(Sugest~ao: Aplique o conceito de raio de trajet¶oria.)

40

Cap¶³tulo 5

Ondas Eletromagn¶eticas

5.1 Introdu»c~ao

5.2 Equa»c~oes de Maxwell

r¢E = ½=²±

r¢B = 0

r£E = ¡ @B

@t

r£B = ¹±J+ ¹±²±@E

@t(5.2.1)

5.3 Ondas eletromagn¶eticas

No v¶acuo as fontes para os campos inexistem, ½ = 0 e J = 0. Os valores dasconstantes permeabilidade magn¶etica e permissividade el¶etrica para o v¶acuo s~aodadas por: ²±=8; 8541878:10¡12C2/N.m2 e ¹±=4¼:10¡7Wb/A.m. Sendo assim, asequa»c~oes de Maxwell no v¶acuo ¯cam:

r ¢ E = 0 ; r ¢ B = 0 (5.3.2)

r£ E = ¡ @B

@t; r£B = ¹±²±

@E

@t(5.3.3)

Tomando-se o rotacional da terceira equa»c~ao acima vem,

r£ (r£E) = ¡r£ @B

@t(5.3.4)

Comutando os operadores no lado direito da equa»c~ao e sabendo que

r£ (r£A) ´ r(r ¢A)¡r2A (5.3.5)

vem

r(r ¢E)¡r2E = ¡ @

@tr£B (5.3.6)

41

da primeira e quarta equa»c~oes de Maxwell para o v¶acuo dadas acima temos:

r2E = ¹±²±@2E

@t2(5.3.7)

A equa»c~ao acima expressa a dinamica do campo el¶etrico quando este ¶e fun»c~ao daposi»c~ao r e do tempo t. A equa»c~ao equivalente para o campo B(r; t) pode ser obtidade forma an¶aloga partindo-se, por exemplo, da derivada em rela»c~ao ao tempo daterceira equa»c~ao de Maxwell:

@

@t(r£E) = r£ @E

@t= ¡@2B

@t2(5.3.8)

Substituindo a quarta equa»c~ao de Maxwell na equa»c~ao acima vem:

r£µ ¡1¹±²±

r£B

¶= ¡ 1

¹±²±r£ (r£B) = ¡@2B

@t2(5.3.9)

e, ainda

r£ (r£B) = r(r ¢B)¡r2B = ¡¹±²±@2B

@t2(5.3.10)

sabendo que r ¢B = 0 temos, ¯nalmente,

r2B = ¹±²±@2B

@t2(5.3.11)

A equa»c~ao (5.3.11) ¶e completamente an¶aloga a (5.3.7) e representa, como j¶afoi dito em rela»c~ao ao campo el¶etrico, o comportamento dinamico do campo B.A constante ¹±²± ¶e uma medida indireta da velocidade de propaga»c~ao da pertur-ba»c~ao no espa»co e no tempo, dos campos el¶etrico e magn¶etico no v¶acuo. A partirdos valores destas constantes, obt¶em-se o valor desta velocidade: c = 1=

p¹±²± =

299:792:458m=s.Uma vez que os campos E e B est~ao sempre presentes de forma intrincada, deve

haver um campo B sempre que E variar no tempo e vice-versa. A ¯m de encontrareste campo, pode-se lan»car m~ao da segunda equa»c~ao de Maxwell acima. Seja E(r; t)um campo el¶etrico vari¶avel em r e em t, ent~ao B poder¶a ser obtido integrando-se aequa»c~ao abaixo em rela»c~ao ao tempo.

r£E = ¡ @B

@t(5.3.12)

B(r; t) = ¡Z

t(r£E(r; t0)) dt0 +Be(r) (5.3.13)

O campo Be(r) n~ao depende do tempo e representa, portanto, um campo magne-tost¶atico e n~ao o campo magn¶etico dinamico que nos interessa em uma onda eletro-magn¶etica, como ¯car¶a mais evidente a seguir. Sendo assim, consideremos B dadoapenas por:

B(r; t) = ¡Z

t(r£E(r; t0)) dt0 (5.3.14)

Entretanto, a equa»c~ao acima n~ao ser¶a muito ¶util a menos que conhe»camos ocampo E. O Apendice A no cap¶³tulo 1 pode servir de guia, uma vez que l¶a resol-vemos uma equa»c~ao diferencial parcial praticamente identica, exceto pela diferen»ca

42

que aqui trabalhamos em tres dimens~oes. A obten»c~ao do campo vem da solu»c~ao daequa»c~ao de onda abaixo e de condi»c~oes de contorno.

r2E = ¹±²±@2E

@t2(5.3.15)

Por ora, basta saber que solu»c~oes harmonicas s~ao vi¶aveis e aplic¶aveis a maioria doscasos reais. Se n~ao, vejamos:

E = E±sen(k¢r¡ !t) ; (5.3.16)

que, substituida em (5.3.14) resulta em,

B(r; t) = ¡Z

t(r£E±sen(k¢r¡ !t0)) dt0 =

= ¡Z

t(k£E± cos(k¢r¡ !t0)) dt0 (5.3.17)

e, ¯nalmente:

B(r; t) =k

c£E±sen(k¢r¡ !t) : (5.3.18)

onde ¯zemos !=k = c.O campo B oscila entre os valores §k£E±=c, o que permite de¯nir a amplitude

de campo magn¶etico como sendo dada por B± = k£E±=c.Da solu»c~ao proposta para o campo el¶etrico, podemos reescrever o campo B como:

B(r; t) =k

c£E ; (5.3.19)

onde mais uma vez ¯ca evidenciada a ¶³ntima rela»c~ao entre os campos E e B, comohavia sido demonstrado por Faraday e Maxwell no s¶eculo XIX.

A equa»c~ao (5.3.19) revela claramente que B ¶e perpendicular ao vetor de ondak e ao vetor campo el¶etrico E. Al¶em disso, pode-se mostrar que o campo el¶etricotamb¶em ¶e perpendicular ao vetor de onda, no que resulta serem os vetores E, B ek, um triedro direito (¯gura 5.1).

Uma onda eletromagn¶etica harmonica plana est¶a representada abaixo em umgr¶a¯co em tres dimens~oes, de onde se ve claramente os campos el¶etrico e magn¶etico,assim como o vetor de onda k.

A leitura da representa»c~ao espacial de uma onda como esta ¶e muitas vezes feitade maneira erronea. Ao contr¶ario da onda em uma corda, em que a forma da cordase confunde com a pr¶opria onda, a frente de onda neste caso estende-se por todoum plano. No exemplo da ¯gura 5.1, os campos B e E est~ao presentes em todoo plano yz, orientados nos eixos y e z e com intensidades dadas por jBj e jEj,respectivamente.

Sendo a onda eletromagn¶etica uma onda transversal, devemos ainda carateriz¶a-la quanto a sua polariza»c~ao. Como exemplo, uma onda em que o campo el¶etricooscile sempre em uma mesma dire»c~ao ¶e dita linearmente polarizada. Como exemplo,seja a onda linearmente polarizada na dire»c~ao do eixo z dada por:

E(x; t) = E±z sen(kx¡ !t) ; (5.3.20)

43

Figura 5.1: Onda plana eletromagn¶etica propagando-se com dire»c~ao e sentidode¯nidos pelo vetor de onda k = kx.

Consideremos um outro tipo de polariza»c~ao, a saber, a polariza»c~ao circular. Nestecaso, o campo el¶etrico possui m¶odulo constante e gira com velocidade angular ! emtorno do eixo de propaga»c~ao. Como exemplo, vejamos:

E(x; t) = E±y cos(kx¡ !t) + E±z sen(kx¡ !t) ; (5.3.21)

¶E f¶acil veri¯car que jEj = jE±j e que os campos el¶etrico e magn¶etico giram em tornodo eixo x. Analisemos a onda quando vista do lado positivo do eixo x a partir da¯gura abaixo. A componente y do campo el¶etrico seria dada por Ey = E± cos µ eEz = E±senµ. Comparando com a equa»c~ao do campo E vem:

Ey = E± cos(kx¡ !t) = E± cos µ (5.3.22)

Ez = E± sen(kx¡ !t) = E±senµ ; (5.3.23)

de onde podemos indenti¯car o angulo µ com os argumentos das fun»c~oes trigonom¶etricas:

µ = kx¡ !t : (5.3.24)

Calculando a varia»c~ao de µ com respeito a t,

@µ

@t= ¡! (5.3.25)

e interpreta-se o resultado como estando o campo E girando com velocidade angu-lar ! no sentido indicado na ¯gura 5.2. O resultado acima caracteriza uma ondaeletromagn¶etica circularmente polarizada.

Uma outra polariza»c~ao, semelhante a vista acima ¶e a chamada polariza»c~ao e-lipticamente polarizada em que as amplitudes das componentes s~ao diferentes, ouseja, ter¶³amos uma onda dada por:

E(x; t) = E±y cos(kx¡ !t) + E1z sen(kx¡ !t) ; (5.3.26)

e suas respectivas componentes dadas por:

Ey = E±y cos(kx¡ !t) (5.3.27)

44

Figura 5.2: Onda eletromagn¶etica circularmente polarizada.

Ez = E1z sen(kx¡ !t) : (5.3.28)

Das equa»c~oes acima chega-se ao resultado que con¯rma a polariza»c~ao como sendoel¶³ptica:

E2yE2±

+E2zE21

= 1 (5.3.29)

5.4 Energia e intensidade de uma onda eletro-

magn¶etica

Quando, por exemplo, sobre um el¶etron num metal incide uma onda eletromagn¶etica,a intera»c~ao entre ambos faz o el¶etron oscilar, donde se conclui que parte de umaenergia antes presente na onda ¶e transferida ao el¶etron.

Uma das formas mais simples de se calcular a energia de um campo el¶etrico ¶eaquela empregada no c¶alculo da energia de um capacitor carregado. O resultadopara a energia por unidade de volume na regi~ao entre as placas paralelas de umcapacitor ¶e dada por:

EE=

1

2²±E

2 ; (5.4.30)

onde E ¶e o campo el¶etrico entre as placas.Para o campo magn¶etico, considerando duas espiras paralelas identicas com cam-

po B entre elas, a densidade de energia entre as espiras ¶e dada por:

EB=

1

2¹±B2 (5.4.31)

As express~oes para as densidades de energia el¶etrica e magn¶etica dadas acimapodem ser obtidas tamb¶em por um outro caminho, mais formal, a partir das equa»c~oesde Maxwell. Sendo assim, consideremos as Leis de Faraday e a Lei de Maxwell parao v¶acuo:

r£E = ¡@B

@t(5.4.32)

45

r£B = ¹±²±@E

@t(5.4.33)

Fazendo o produto escalar da primeira equa»c~ao por B e na segunda por E, vem:

B ¢ r £E = ¡B ¢ @B@t

= ¡12

@(B2)

@t(5.4.34)

E ¢ r £B = ¹±²±E ¢@E

@t=

1

2¹±²±

@(E2)

@t(5.4.35)

Dividindo as equa»c~oes por ¹± e subtraindo-as, temos

E ¢ r £ B

¹±¡ B

¹±¢ r £E =

@

@t

µ1

2²±E

2 +1

2¹±B2¶

(5.4.36)

Da An¶alise Vetorial mostra-se que o lado esquerdo pode ser reescrito como ¡r¢(E£B)=¹±, ent~ao:

r ¢µ1

¹±E£B

¶+

@

@t

µ1

2²±E

2 +1

2¹±B2¶= 0 (5.4.37)

O vetor no divergente acima chama-se Vetor de Poynting:

S =1

¹±E£B ; (5.4.38)

Pode-se veri¯car que o vetor S tem a mesma dire»c~ao e sentido que o vetor de onda ke, al¶em disso, S tem a dimens~ao de intensidade. De fato, o vetor de Poynting ¶e o vetorque aponta para onde a energia e o momento da onda eletromagn¶etica est~ao sendotransferidos. Sendo assim, a intensidade instantanea de uma onda eletromagn¶etica¶e dada por:

Ii = jSj (5.4.39)

enquanto

I = jSj (5.4.40)

representa a intensidade m¶edia da onda no tempo.

As parcelas entre parenteses na derivada temporal em 5.4.37, EE e EB, s~ao adensidade de energia el¶etrica e a densidade de energia magn¶etica, respectivamente.Portanto, a soma de ambas d¶a a densidade de energia total da onda:

E = EE + EB : (5.4.41)

Finalmente, a equa»c~ao 5.4.37 pode ser reescrita como:

r¢ S+@E@t

= 0 ; (5.4.42)

que ¶e a equa»c~ao de continuidade para a energia de uma onda eletromagn¶etica.

46

5.5 Press~ao de radia»c~ao

Da mesma forma que l¶³quidos e gases exercem press~ao sobre as paredes do recipi-ente em que se encontram, uma onda eletromagn¶etica faz o mesmo quando transferemomento linear µa superf¶³cie sobre a qual incide.

Uma vez que a transferencia de momento, dp, se d¶a ao longo de um intervalo detempo dt, podemos calcular a componente normal da for»ca aplicada µa superf¶³cie e apartir da¶³ obter a express~ao para a press~ao exercida. Como ent~ao calcular o momentolinear de uma onda eletromagn¶etica? Como se sabe, uma onda eletromagn¶etican~ao possui massa e, portanto, o seu momento linear n~ao ser¶a dado pela mesmadescri»c~ao fornecida pela mecanica dos pontos materiais. A existencia de uma ondaeletromagn¶etica deve-se fundamentalmente µa existencia dos campos E e B, o quenos faz suspeitar que estes devem fornecer a express~ao buscada para o momentolinear da onda.

Sendo assim, consideremos a Fig.5.4, onde no volume Adx h¶a uma quantidadede energia dE e momento dp = dpx. Se ao chegar µa superf¶³cie hachurada de ¶area A,toda a energia e momento forem transferidos da onda para a superf¶³cie, de acordocom o teorema trabalho-energia teremos:

Figura 5.3: Regi~ao de volume dV = Adx contendo onda eletromagn¶etica planapropagando-se na dire»c~ao de x.

dW = F ¢ dr ; F = dp=dt ; (5.5.43)

onde dW ¶e a pr¶opria energia dE que se encontrava no volume Adx, utilizada narealiza»c~ao de um eventual trabalho f¶³sico. Lembrando que dp = dpx e dr = dxx,temos ent~ao:

dE =dp

dt¢ dx =

dp

dtdx (5.5.44)

Uma vez que dx = cdt, pois a onda percorre dx no tempo dt com velocidade c,temos:

dE = c dp ou p =E

c(5.5.45)

ou ainda, de¯nindo as densidades de energia e momento como E = dE=dV e P =dE=dV, respectivamente, onde dV = Adx ¶e o volume onde se encontram dE e dp,temos ent~ao:

E = P c ou P =Ec

(5.5.46)

Lembrando que

B =1

¹±k £E ; k ? E ; E =

1

2²±E

2 +1

2¹±B2 ; (5.5.47)

47

chega-se a E = ²±E2 , o que nos permite escrever a densidade de momento linear

como:

P =²±cE2 : (5.5.48)

Sabendo que dp = dpk = PdV k, podemos de¯nir ent~ao

P k = ~P =dp

dV k =²±cE2k : (5.5.49)

Entretanto, o vetor de Poynting ¶e dado por

S =1

¹±E£B =

1

¹±cE2k (5.5.50)

o que nos permite escrever:

~P =1

c2S (5.5.51)

Press~ao sobre uma superf¶³cie totalmente absorvedora.

Incidencia normal

Consideremos agora uma onda eletromagn¶etica plana com densidade de energia E =Pc, incidindo perpendicularmente sobre uma superf¶³cie totalmente absorvedora1 de¶area A.

Figura 5.4: Regi~ao de volume ¢V =Ah contendo onda eletromagn¶etica plana de densi-dade de energia E propagando-se na dire»c~ao e sentido dados por k.

O momento linear da onda presente neste volume ¶e dado por ¢p = P¢V =E¢V=c. Se todo este momento for transferido µa superf¶³cie no tempo em que a ondapercorre a distancia h: ¢t = h=c (tempo para que toda a por»c~ao da onda gasta parachegar µa superf¶³cie de ¶area A), ent~ao, a press~ao P ser¶a igual a:

F

A=

1

A

¢p

¢t=

1

A

E¢V=c

h=c= E ou P = E

1Superf¶³cie em que toda a energia e momento da onda incidente ¶e absorvida a partir dasuperf¶³cie de um corpo material.

48

Press~ao sobre uma superf¶³cie totalmente re°etora. In-

cidencia normal

Se a onda acima considerada for totalmente re°etida ela sofrer¶a uma varia»c~ao demomento dada por ¢p = p¡ (¡p) = 2p, o que resultar¶a, de acordo com a terceiralei de Newton, em uma press~ao duas vezes maior do que a obtida para o caso dasuperf¶³cie absorvedora:

P = 2E

Press~ao sobre uma superf¶³cie totalmente absorvedora ou

totalmente re°etora. Incidencia obl¶³qua.

Considere a onda eletromagn¶etica de densidade de energia m¶edia igual a E , incidindosobre a superf¶³cie totalmente absorvedora de ¶area A±. Observe que a onda plana seencontra nas regi~oes 1 e 2 da ¯gura abaixo, mas podemos consider¶a-la como estandonas regi~oes 2 e 3, uma vez que os volumes em 1 e em 2 s~ao os mesmos e, portanto, nam¶edia, as energias contidas nestes volumes s~ao identicas. De acordo com a de¯ni»c~aode press~ao (for»ca normal, Fn, sobre ¶area), teremos:

P =FnA±

=EA cos µ

A= cos µ

ou

P = E cos2 µ

Para o caso da superf¶³cie totalmente re°etora, devemos considerar a terceira lei de

Newton e o fato que o angulo de incidencia ¶e igual ao de re°ex~ao para a¯rmar que:

P = 2E cos2 µ

49

5.6 Problemas

1 - Sejam os campos el¶etricos oscilat¶orios abaixo:

~E1 = E± cos(!t¡ kz)x+ E± cos(!t¡ kz ¡ ¼=2)y

~E2 = E± cos(!t¡ kz)x+ E± cos(!t¡ kz + ¼=2)y

a ) Represente gra¯camente e identi¯que as polariza»c~oes do campo ~E1 e ~E2.

b ) Obtenha ~E = ~E1+ ~E2. Represente gra¯camente a polariza»c~ao resultante, classi¯cando-a.

c ) Calcule a intensidade m¶edia da onda.

2 - Sejam os campos el¶etricos e magn¶eticos harmonicos:

~E = ~E±sen(~k ¢ ~r ¡ !t) (5.6.52)

~B = ~B±sen(~k ¢ ~r ¡ !t) (5.6.53)

a ) Calcule r ¢ ~E e r ¢ ~Bb ) Usando as correspondentes equa»c~oes de Maxwell para o v¶acuo, na forma diferencial,

que tipo de conclus~ao se pode tirar a respeitos dos campos el¶etrico e magn¶etico? Mostreisto matematicamente e explique em palavras o seu resultado.

c ) Calcule r£ ~E

d ) Usando a equa»c~ao de Faraday-Henry, mostre matematicamente e explique em palavraso que o resultado do item (c) implica para as caracter¶³sticas das ondas eletromagn¶eticas.

3 - Num dia claro, o °uxo de energia solar que incide sobre a superf¶³cie da Terra ¶e cerca de1; 0:103W=m2.

a ) Determine as amplitudes dos campos el¶etrico e magn¶etico da luz solar.

b ) A magnitude dos campos el¶etrico e magn¶etico que comp~oem a onda eletromagn¶eticavinda do Sol depende da distancia Terra-Sol? Explique.

c ) Qual ¶e a importancia da luz solar para a vida na Terra?

5.7 Problemas resolvidos

Problema resolvido-1 - Calcule a for»ca total que uma onda eletromagn¶etica plana comdensidade de energia E , exerce sobre uma esfera de raioR com superf¶³cie totalmente re°etora.

Da ¯gura 5.5 pode-se escrever a equa»c~ao para a varia»c~ao do momento na dire»c~ao de zpara um feixe in¯nitesimalmente estreito incidente sob um angulo µ:

±pz = (±~pr ¡ ±~pi) ¢ z = ±~pr ¢ z + ±pi = ±prcos(2µ) + ±pi (5.7.54)

Sabendo que ±pr = ±pi, vem:

±pz = ±pi(1 + cos(2µ)) = 2cos2µ ±pi ; (5.7.55)

ou ainda,

±pz±t

= 2cos2µ±pi±t

(5.7.56)

50

Figura 5.5: Onda plana eletromagn¶etica incidindo em uma esfera totalmentere°etora.

Uma vez que estas for»cas s~ao in¯nitesimais, pode-se escrever:

dFz = 2cos2µ dFi = 2cos2µdFidA±

dA±dA

dA = 2ER2cos3µsenµdµdÁ (5.7.57)

Integrando,

Fz = 2ER2Z ¼=2

0

cos3µsenµdµ

Z 2¼

0

dÁ (5.7.58)

Finalmente

Fz = ¼R2E (5.7.59)

Problema resolvido-2 - Calcule a for»ca total que uma onda eletromagn¶etica plana comdensidade de energia E , exerce sobre um elips¶oide de revolu»c~ao com super¯cie totalmentere°etora.

Da ¯gura 5.5 pode-se ver que a for»ca na dire»c~ao da reta normal µa superf¶³cie vem dasproje»c~oes de dFi e dFr sobre nµ:

dFn = dFicosµ + dFrcosµ = 2dFicosµ (5.7.60)

mas, da primeira igualdade em 5.7.57, dFz = 2cos2µ dFi, ent~ao2

dFn = 2

µdFz

2cos2µ

¶cosµ ; dFz = dFncosµ (5.7.61)

Para uma superf¶³cie totalmente re°etora temos3

dFn = 2Ecos2µds (5.7.62)

de onde vem,

dFz = 2Ecos3µds (5.7.63)

mas,

cosµds = ds± (5.7.64)

2Apesar de as equa»c~oes 5.7.57 e 5.7.60 terem sido retiradas de uma superf¶³cie uma esf¶erica,n~ao h¶a perda de generalidade, pois considera-se aqui um angulo arbitr¶ario em uma superf¶³ciein¯nitesimal, a partir do qual poder-se-¶a aplic¶a-la a qualquer outra superf¶³cie.

3A segunda equa»c~ao em 5.7.61 ¶e ¯sicamente esperada j¶a que em uma superf¶³cie totalmentere°etora, todo o momento na dire»c~ao tangente a mesma ¶e conservado na forma de radia»c~ao,restanto apenas a componente normal a ser transferida µa esfera.

51

onde ds± ¶e a ¶area in¯nitesimal no plano YZ, obtida pela proje»c~ao de ds segundo a dire»c~ao de~ki. Consideremos agora uma esfera de raio b centrada na origem. Novamente, projetandods± sobre a esfera obteremos dsb dado por:

dsbcos® = ds± (5.7.65)

Sabendo que dsb= b2sen®d®dÁ, temos:

dF = 2Eb2cos2µcos®sen®d®dÁ (5.7.66)

F = 2Eb2Z ¼=2

0

cos2µcos®sen®d®

Z 2¼

0

dÁ = 4¼Eb2Z ¼=2

0

cos2µcos®sen®d® (5.7.67)

A integral acima s¶o poder¶a ser realizada ap¶os obtermos uma equa»c~ao que de µ em fun»c~aode ®. Sendo assim, consideremos a equa»c~ao da elipse, obtida a partir da intersec»c~ao doelips¶oide com o plano XY:

x2

a2+

y2

b2= 1 ; (5.7.68)

de onde vem,

y 0 = tg(¼=2 + µ) = ¡ 1

tgµ= ¡ b2

a2x

y= ¡ b2

a21

tg¯(5.7.69)

ou,

tgµ =a2

b2tg¯ (5.7.70)

Agora precisamos descobrir uma outra equa»c~ao, a que ir¶a relacionar ¯ a ® e, ¯nalmente, µa ®. Basta observar que:

tg¯ =y

x(5.7.71)

e

tg® =ycxc

; (5.7.72)

onde xc e yc s~ao as coordenadas do ponto C no c¶³rculo. Uma vez que yc = y, vem:

tg¯

tg®=

xcx

=

pb2¡y2

ap1¡y2=b2

=b

a; (5.7.73)

De 5.7.70 e 5.7.73 vem:

tgµ =a

btg® ; (5.7.74)

52

ou

cos2µ =b2

a2

µcos2®

1 + h cos2®

¶; h =

b2

a2¡ 1 (5.7.75)

Substituindo o resultado acima na equa»c~ao 5.7.67:

F = 4¼b2E b2

a2

Z ¼=2

0

µcos2®

1 + h cos2®

¶cos®sen®d® (5.7.76)

Fazendo 1 + hcos2® = u:

F = 2¼b2E b2

a21

h2

Z 1+h

1

µ1¡ 1

u

¶du (5.7.77)

¯nalmente,

F = 2¼b2E½b2

a2

·b2=a2 ¡ 1¡ 2 log(b=a)

(b2=a2 ¡ 1)2

¸¾(5.7.78)

Problema resolvido 3 Considere um corpo com a forma de um disco de ¶area A emassa m, a uma distancia r do Sol, como mostra a ¯gura abaixo. O diametro do disco ¶emuito menor do que r e a potencia m¶edia total irradiada pelo Sol (potencia irradiada emtodas as dire»c~oes) ¶e dada por Ps.

Figura 5.6: PR3

a) Deduza a equa»c~ao que d¶a a potencia P incidente sobre o disco, em fun»c~ao da distanciar, de A e de Ps:

b ) Demonstre, se " ¶e a densidade de energia eletromagn¶etica na regi~ao do disco, ent~aoa potencia P sobre o mesmo tamb¶em pode ser obtida por :

P = "cA (5.7.79)

(Sugest~ao: A ¯g.-2.a pode ser ¶util levando-se em conta que A0¼A, " ¶e a energia por unidadede volume em ~r, e que a radia»c~ao solar percorre a distancia ¢r com a velocidade c.)

Solu»c~ao

a ) A intensidade da radia»c~ao na regi~ao do disco ¶e dada por:

I =Ps4¼r2

=P

A; (5.7.80)

de onde vem:

P = PsA

4¼r2(5.7.81)

53

b ) Sendo ¢E a energia contida no volume A¢r tem-se:

" =¢E

A¢r: (5.7.82)

Se ¢t ¶e o tempo que a radia»c~ao leva para percorrer ¢r µa velocidade c, podemos reescrevera eq. acima como:

" =¢E=¢t

A¢r=¢t=

1

A

P

c; (5.7.83)

de onde vem,

P = "cA (5.7.84)

c ) A for»ca FR sobre o disco devido µa radia»c~ao solar ¶e obtida atrav¶es de:

FR = pA = 2"A ; (5.7.85)

onde p=2" ¶e a press~ao de radia»c~ao para um re°etor perfeito.Dos resultados obtidos nos itens (a) e (b) temos:

FR = 2A1

cAP =

2

cPs

A

4¼r2: (5.7.86)

ou seja,

FR =PsA

2¼cr2(5.7.87)

Para que o vento solar impulsione o disco para longe so Sol, devemos ter FR > FG, ondeFG ¶e a for»ca de atra»c~ao entre o Sol e o disco:

PsA

2¼c r2>

GmMs

r2: (5.7.88)

onde Ms ¶e a massa do Sol. Ent~ao:

m

A= ¾ <

Ps2¼cGMs

(5.7.89)

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Cap¶³tulo 6

Interferencia

55

Cap¶³tulo 7

Difra»c~ao

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Referencias

[1] F¶ISICA B¶ASICA, 2 - Fluidos, oscila»c~oes/ondas e calor; H. Moys¶es Nussenzveig, 5a

edi»c~ao, 2014; Ed. Edgar BlÄucher Ltda.

[2] F¶ISICA, vol. ii - Campos e ondas; Alonso e Finn, 1972; Ed. Edgar BlÄucher Ltda.

[3] Fourier series and boundary value problems; Ruel V. Churchill, 1941; McGraw-Hill,Inc.

[4] F¶ISICA I, vol. 2 - Resnick-Halliday, 1966; Ao Livro T¶ecnico S.A..

[5] Fndamentos da teoria eletromagn¶etica ; Reitz, Milford & Christy, 3a edi»c~ao, 1980; Ed.Campus Ltda.

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