Matemáticas II

Departamento de Matemticas

Apuntes Incompletos

de

Matemticas II

Curso 2010/2011

Carlos Surez Alemn

ndice general

1. Matrices y Determinantes 1

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Introduccin a las Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Clasificacin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3. Suma de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4. Producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5. Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.6. Trasposicin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Menor complementario y Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3. Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.4. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.1. Clculo de la matriz inversa por Matriz Adjunta . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.1. Herramientas informticas de inters para el calculo matricial . . . . . . 36

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Sistemas de ecuaciones lineales 55

2.1. Introduccin a los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2. Clasificacin de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3. Expresin matricial de los sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 59

2.4. El mtodo de eliminacin de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3

Captulo 1

Matrices y Determinantes

Apeaos y usad vuestro comps de pies, de vuestros crculos y vues-tros ngulos y ciencia, que yo espero de haceros ver estrellas a medioda con mi destreza[...]

Miguel de Cervantes: El Ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha, 1605.

1.1. Introduccin

Una ecuacin la podramos definir como una igualdad entre dos expresiones algebraicas enlas que aparecen valores conocidos (datos) y desconocidos (incgnitas) relacionados medianteoperaciones matemticas. Encontrar una solucin de una ecuacin es encontrar aquellos valoresque pudieran ser puestos en lugar de las incgnitas y mantuviesen cierta la igualdad. Veamosun ejemplo sencillo, el conocido problema 24 del Papiro de Rihnd que data de 1950 a.C.: Unmontn ms un sptimo del montn son 19. En este enunciado, hay un valor desconocido queel el montn y que representaremos por la letra x. Por lo tanto, el enunciado se traduce en losiguiente: x ms un sptimo de x son 19, lo que en lenguaje algebraico expresamos como

x+x

7= 10.

Resolver la ecuacin, es encontrar el valor de x que puesto en su lugar hace cierta la igualdad,no es difcil encontrar que x = 16625 ya que 16625 + 16625

7= 19.

El problema se complica cuando tenemos que encontrar las soluciones de varias ecuacionesque comparten unas mismas incgnitas, lo que conocemos como Sistemas de Ecuaciones. Estees un asunto que ha preocupado a los cientficos de todos los tiempos. Se conocen problemasresueltos sobre la bsqueda del largo y ancho de unos terreno datados en la poca Babilnica,4000 a.C. Tambin encontramos que en el conocido libro Los Nueve captulos del Arte Matem-tico del 200 a.C. los chinos muestra una tcnica para resolver un sistema de ecuaciones de tresecuaciones y tres incgnitas por el mtodo de eliminacin, que estudiaremos en este captuloy que fue introducido posteriormente por Gauss unos 2000 aos despus.

1

2 Dpto- Matemticas - I.E.S. J.M. Caballero Bonald

Figura 1.1: Gabriel Cramer(1704-1752)

Sin embargo, el enfoque moderno sobre el estudio desistemas de ecuaciones lineales (conjunto de ecuaciones degrado uno) puede decirse que tiene su origen con Leibniz,quien en 1693 inventa la nocin de determinante. Y en In-troduccin sobre el Anlisis de Curvas Algebraicas de 1750,Gabriel Cramer (1704-1752) publica la regla que lleva sunombre sobre la solucin de un sistema de un cierto nmeron ecuaciones lineales con el mismo nmero de incgnitas,aunque no aporta una demostracin. Este es el primer estu-dio serio que indica un mtodo general sobre cmo resolverun sistema de ecuaciones, con la nica condicin de quetenga el mismo nmero de ecuaciones que incgnitas. Estosurge de estudiar el problema geomtrico de determinar unacurva algebraica que pase por

(12

)n2+(32

)n puntos fijos.Posteriormente, Leonhard Euler (1707-1783) indic que un sistema de n ecuaciones y n

incgnitas no tiene necesariamente una solucin nica, y que para conseguir esa unicidad esnecesario aadir condiciones. Esto es, no basta que est formado por el mismo nmero deecuaciones y de incgnitas para asegurar la unicidad de la solucin. En el siglo XIX, el estudiode los sistemas de ecuaciones lineales fue asumido por el estudio de determinantes, y se descubrique la existencia de soluciones estaba ligada a que el nmero de ecuaciones independientes fuerael mismo o diferente del nmero de incgnitas.

Por otro lado, con la aparicin de la Regla de Cramer, pareca que el tema de la resolucinde sistemas de ecuaciones lineales estaba finalizado. Sin embargo, los avances en astronomay geodesia requirieron la resolucin de sistemas de ecuaciones con un nmero considerablede ecuaciones e incgnitas. El mtodo de Cramer requera un gran nmero de operaciones,tengamos en cuenta que este mtodo necesita de unos 300 millones de multiplicaciones y sumaspara resolver un sistema de 10 ecuaciones con 10 incgnitas.

De este modo, cuando Carl F. Gauss (1777-1855) determin la rbita de Ceres en 1807,tuvo que enfrentarse a sistemas de ecuaciones lineales de 12 ecuaciones con hasta 10 incgnitas.Al no ser un sistema de ecuaciones cuadrado (igual nmero de ecuaciones que incgnitas), nopoda aplicar la Regla de Cramer, adems no saba si quiera, si exista solucin. Investig yen 1810 cuando public Disquisitio de Elementis Ellipticis Palladis ex oppositionibus annorum1803, 1804, 1805, 1806, 1807, 1808 y 1809 incluy un mtodo de resolucin de ecuaciones poreliminacin de incgnitas muy similar al mtodo chino del ao 200 a.C. Este mtodo se divulgcon el nombre de eliminacin gaussiana. La ventaja de este mtodo resida principalmente enla reduccin del nmero de operaciones, esto es para resolver un sistema de 10 ecuaciones con10 incgnitas, por el mtodo de la Regla de Cramer se necesitaban 300 millones de operaciones,mientras que con el mtodo de Gauss slo se necesitan unas 1000 operaciones.

En la actualidad, con la ayuda de herramientas informticas, la resolucin de ecuaciones esun tema balad, algo muy sencillo y rpido, pero an as, el mtodo de eliminacin Gaussiana

Matrices y Determinante 3

contribuye a la formacin del alumno en el desarrollo de estrategias de resolucin de problemasy de simplicidad de operaciones que veremos ms adelante.

1.2. Matrices

1.2.1. Introduccin a las Matrices

En matemticas, una matriz es una tabla de nmeros consistente en cantidades que puedensumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan principalmente para registrar los datos quedependen de varios parmetros, para describir sistemas de ecuaciones lineales o realizar unseguimiento de los coeficientes de una aplicacin lineal.

De una forma simple, una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de nmeros (llamadoselementos) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las lneas horizontalesde la matriz y una columna es cada una de las lneas verticales.

Ejemplo: Supongamos que una cierta cadena de tiendas de pantalones vaquero tiene en stock,en dos de sus tiendas, pantalones de las marcas Levis, Pepe Jeans, Dior y Dolcce&Gabbanade las tallas 38 a 48. Mejor forma de describir el nmero de pantalones de cada talla y marcaes mediante una tabla de la siguiente forma:

TIENDA A TIENDA BMarca Tallas Marca Tallas

38 40 42 44 46 48 38 40 42 44 46 48Levis 1 0 2 5 1 0 Levis 2 2 0 3 2 1Pepe Jeans 2 2 0 3 1 2 Pepe Jeans 4 1 1 0 1 3Dior 0 0 2 2 3 0 Dior 1 3 0 0 2 1D&G 1 1 6 4 2 3 D&G 1 0 0 2 1 2

Para utilizar el lenguaje de matrices lo haremos del siguiente modo, utilizamos la mismaestructura bsica de datos, es decir, en las filas indicaremos los datos de stock de cada marcay en cada columna los datos de stock de talla. De este modo cada una de las tables estararepresentada por las matrices denominadas A y B del siguiente modo:

A =

1 0 2 5 1 0

2 2 0 3 1 2

0 0 2 2 3 0

1 1 6 4 2 3

B =

2 2 0 3 2 1

4 1 1 0 1 3

1 3 0 0 2 1

1 0 0 2 1 2

Si quisiramos calcular cuntos pantalones de cada marca y talla tiene la cadena de tiendas,

habra que sumar los datos de cada una de las celdas de las tablas, esto es, para la marca Levistendramos entre las dos tiendas los siguientes pantalones:


Tallas38 40 42 44 46 48

Levis 3 2 2 8 3 1

Trasladando esto a las matrices, tenemos que podemos sumar las dos matrices obteniendo elsiguiente resultado:

A+B =

1 0 2 5 1 0

2 2 0 3 1 2

0 0 2 2 3 0

1 1 6 4 2 3

+

2 2 0 3 2 1

4 1 1 0 1 3

1 3 0 0 2 1

1 0 0 2 1 2

=

3 2 2 8 3 1

6 3 1 3 2 5

1 3 2 2 5 1

2 1 6 6 3 5

Que nos dara los datos globales del stock de pantalones por tallas y marcas y que se

interpretara del siguiente modo:

Tallas38 40 42 44 46 48

Levis 3 2 2 8 3 1Pepe Jeans 6 3 1 3 2 5Dior 1 3 2 2 5 1D&G 2 1 6 6 3 5

De forma general, tenemos entonces que a una matriz con m filas y n columnas se ledenomina matriz m por n (escrito m n), y a m y n les llamamos dimensiones de lamatriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el nmero de filas primero y elnmero de columnas despus. Comnmente se dice que una matriz m por n tiene un orden dem n (ordentiene el significado de tamao).

Una forma general, simblica, de indicar una matriz A de orden m por n es de la forma

A =

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n...

...... . . .

...am1 am2 am3 amn

donde el elemento a76 indica que es el nmero que ocupa la fila 7 columna 6 de la matriz. De

forma esquemtica indicamos que la matriz es decir que A = (aij) donde

{i = 1 . . .m

j = 1 . . . n, lo

que significa que la matriz A est formada por elementos descritos como aij en los cuales elsubndice i es un nmero comprendido entre 1 y m y el subndice j, est comprendido entre 1y n.

De este modo, para describir la matriz suma de una matriz A y otra B, que sera de laforma


A+B =


...... . . .

...am1 am2 am3 amn

+

b11 b12 b13 b1nb21 b22 b23 b2nb31 b32 b33 b3n...

...... . . .

...bm1 bm2 bm3 bmn

=

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a2n + b2na31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a3n + b3n

......

... . . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 am3 + bm3 amn + bmn

de forma esquemtica, y mucho ms corta, se queda en la siguiente expresin:

A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij) donde

{i = 1 . . .m

j = 1 . . . n

NOTA: Obsrvese que la suma de matrices slo es posible entre matrices delas mismas dimensiones.

1.2.2. Clasificacin de matrices

En un primer lugar, con los elementos de que disponemos en la actualidad podemos clasificarlas matrices en funcin de las dimensiones que tengan. De este modo una primera clasificacindepende de que las dimensiones de la matriz sea la misma o no, esto es que tenga el mismonmero de filas que de columnas o tenga diferente numero de filas que de columnas. Esto nosda dos tipos iniciales de matrices: Matrices Cuadradas o Rectangulares.

Las Matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo nmero de filas que de columnasy las Matrices Rectangulares o no cuadradas son las que tiene diferente nmero de filas que decolumnas.

Ejemplo:

Cuadrada: A =

12 34 2

3pi

07 5 3 12

3 23 28 38pi3

8 02

Rectangular: B =(

2 pi6 4

5

3 sqrt32

12 3

)

Unas denominaciones especficas de las matrices son las siguientes: Matriz Fila: aquella queslo tiene una fila, por lo que su dimensin es 1n. Ejemplo de Matriz fila de dimensin 1 6:

C = (1, 2, pi,5, 78, 29)


Matriz Columna: aquella que slo tiene una columna, por lo que su dimensin es m 1.Ejemplo de Matriz Columna de dimensin 4 1:

D =

23

8pi6

Matriz Nula: aquella en la que todos los elementos son cero. Se denota por lo general con

el smbolo 0, sin especificar las dimensiones, las cuales se sobreentendern segn el contexto enel que se aplique. Ejemplo de matriz Nula:

0 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Un elemento esencial dentro de las matrices es lo que denominamos como diagonal prin-

cipal de una matriz. Esta est formada por todos aquellos elementos que ocupan la misma filay la misma columna, es decir, aquellos de la forma aii.

Diagonal principal:

a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3n...

......

... . . ....

am1 am2 am3 am4 amn

En el caso particular de que la matriz sea cuadrada, la diagonal principal ira desde la

esquina superior izquierda de la matriz hasta la esquina inferior derecha de la matriz.

Diagonal principal:

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

Otra clasificacin surge de considerar la posicin que ocupen en una matriz los elementosiguales a cero. De este modo, si todos los elementos de una matriz, salvo la diagonal principalson cero, la matriz se denomina matriz diagonal, de este modo la matriz tendra la siguienteforma

Diagonal principal:

a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 0 a33 0 0 0 0 a44 ...

......

... . . .


Respecto a esta matriz hay que sealar que no es necesario que todos los elementos de ladiagonal principal sean distintos de cero. Una forma esquemtica de indicar una matriz diagonales mediante la siguiente expresin simblica:

A = (aij) con

{i = 1 . . .m

j = 1 . . . nes diagonal si y slo si aij = 0 cuando i 6= j

Un caso especial de matrices diagonales son las conocidas como matriz identidad deorden n. Estas matrices son matrices diagonales con todos los elementos de la diagonal igualesa 1, y se denotan como In.

Ejemplos de matrices identidad:

I2 =

(1 0

0 1

); I3 =

1 0 00 1 00 0 1

; I4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Otras matrices destacables son las matrices triangulares, de forma esquemtica las definimos

del siguiente modo:

A = (aij) con

{i = 1 . . .m

j = 1 . . . nse denomina Triangular

{Superior si aij = 0 cuando i > jInferior si aij = 0 cuando i < j

Lo que se traduce en que las matrices triangulares son de la forma

Superior:

a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 0 0 a33 a34 0 0 0 a44 ...

......

... . . .

Inferior:

a11 0 0 0 a21 a22 0 0 a31 a32 a33 0 a41 a42 a43 a44 ...

......

... . . .

Como puede observarse, los elementos aij con i > j, son aquellos en que la fila tiene un ndice

mayor que la columna, por lo que ocupar una posicin por debajo de la diagonal principal, sitodos estos elementos son cero, deducimos que los nicos que no tienen que ser cero son aquellosque ocupan posiciones en la diagonal principal o por encima, o lo que es lo mismo, el tringuloque forman los elementos por debajo de la diagonal principal son todos cero. Por esta razn sedenomina Triangular superior, tiene forma triangular en sus elementos distintos de cero y esteest situado en la parte superior de la matriz. Ejemplos de matrices triangulares:

Superior:

2 35 1

4pi

0 0 a23 0

0 0 32

7

0 0 0 3

Inferior:

1 0 0 0

0 pi 0 0

31 54

13

0

2 0 138 61,245


1.2.3. Suma de Matrices

Si consideramos el ejemplo de las tiendas de pantalones expuesto en la seccin 1.2.1, paracalcular el stock de pantalones que tiene la empresa entre ambas tiendas para sumar ambasmatrices sumbamos cada elemento de una matriz con el elemento de la otra matriz que ocupa lamisma posicin (vase la pgina 4). De este modo, utilizando el lenguaje matemtico, pasamosa definir la operacin suma en un conjunto de matrices.

Denominamos como Mmn, el conjunto formado por todas las matrices de orden m n.Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden m n, A,B Mmn, se define la sumaA+B como aquella matriz de Mmn que verifica que cada elemento de esta matriz es igual ala suma de los elementos de las matrices A y B que ocupan la misma posicin, esto es

A+B = (aij + bij)

tal y como describimos en la pgina 4.

Como puede observarse, la operacin de suma de matrices est ntimamente ligada a lasuma de nmeros reales, tan solo hay que respetar el las posiciones de los elementos, por lo quees fcil de comprender que herede todas las propiedades de la suma de los nmeros:'

&

$

%

Propiedades de la suma de matrices:

1. Asociativa

Si A,B,C Mmn entonces

A+ (B + C) = (A+B) + C

2. Existencia de Elemento neutro

En cada Mmn existe una matriz nula, 0 Mmn, tal quedada cualquier matriz A Mmn, se verifica que

A+ 0 = 0 + A = A

3. Elemento opuesto

Para cualquier matriz A Mmn existe una matriz opuesta, A Mmn, de manera que

A+ (A) = (A) + A = 0

4. Conmutativa

Para cualquiera dos matrices A,B Mmn, se verifica que

A+B = B + A

El uso de estas propiedades en las diversas operaciones con matrices, al ser idnticas a las


propiedades de la suma de nmeros, nos permite trabajar con matrices del mismo modo quehacemos con nmeros. De este modo, del mismo modo que para conocer cul es el nmero quesumado con 103 da un total de 96, lo que hacemos es restar 96 menos 103, obteniendo -07,podemos aplicarlo para conocer la matriz que sumada con A nos da B, siendo

A =

(42 36 1

3 12 6

)y B =

(1 3 42

23 2 4

).

Esto es buscamos la matriz X tal que A+X = B, y sabemos, por la aplicacin de propie-dades, que X = B + (A), de modo que

X = B + (A) =(

1 3 4223 2 4

)+

(42 36 13 12 6

)

de donde

X =

(1 42 3 36 42 123 3 2 + 12 4 6

)=

(32 66 3253 32 2

)

1.2.4. Producto de una matriz por un escalar

En matemtica, se denomina tensor a una cierta clase de entidad algebraica, ya tengan una ovarias componentes, de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadaselegido. Es un concepto que generaliza los conceptos propios de nmero, vector o matriz. Lostensores son de especial importancia en campos como fsica y electrnica.

De forma particular, si consideramos un tensor de rango cero, nos referimos exclusivamentea nmeros y reciben el nombre de escalares. Es decir los escalares son aquellas cantidades quesirven para describir un fenmeno fsico con magnitud, pero sin las caractersticas vectoriales dedireccin o sentido. De este modo al ser operados con otros Tensores, no modifican de ningnmodo ni la direccin, sentido o dimensin de estos ltimos.

En trminos tericos, el producto por escalares es una operacin entre dos conjuntos dis-tintos, uno con dimensin y otro exclusivamente numrico, cuyo resultado es un elemento delprimer conjunto. Es decir, el producto de una matriz por un escalar es una nueva matriz, elproducto de un vector por un escalar es un nuevo vector, etc.

As se define el producto de un escalar (lo escribimos con letras griegas) por una matrizA de orden m n, esto es A Mmn, del siguiente modo:

Si A = (aij) Mmn y R, entonces A = (aij)

Es decir, para multiplicar un nmero por una matriz se multiplica el nmero porcada uno de los elementos de la matriz.


Si A =


...... . . .

...am1 am2 am3 amn

A =


...... . . .

...am1 am2 am3 amn

El producto por escalares as definido verifica las siguientes propiedades:'

&

$

%

Propiedades del producto por escalares:

1. (A+B) = A+ B

2. (+ ) A = A+ A

3. ( A) = ( ) A

4. 1 A = A 1 = A

1.2.5. Producto de Matrices

Volvamos al ejemplo de las tiendas de pantalones descrito en la seccin 1.2.1, tenamos queentre las dos tiendas el stock de pantalones existente era el siguiente:

Tallas38 40 42 44 46 48

Levis 3 2 2 8 3 1Pepe Jeans 6 3 1 3 2 5Dior 1 3 2 2 5 1D&G 2 1 6 6 3 5

Si supiramos que para la cadena de tiendas, cada pantaln de la marca Levis tiene uncoste de 56e, cada uno de la marca Pepe jeans tiene un coste de 73e, los de la marca Diorle cuestan 122ey los de Doce&Gabbana cuestan 106e, y quisiramos calcular el importe totaldel coste de la ropa en stock por tallas, podramos hacerlo del siguiente modo: Multiplicamosel coste de cada marca por el stock de cada talla, despus sumamos los resultados, esto es:

Tenemos los costes

e

Levis 56Pepe Jeans 73Dior 122D&G 106

multiplicamos y sumamos por columnas obteniendo:


Tallas38 40 42 44 46 48

Levis 56 3 56 2 56 2 56 8 56 3 56 1Pepe Jeans 73 6 73 3 73 1 73 3 73 2 73 5Dior 122 1 122 3 122 2 122 2 122 5 122 1D&G 106 2 106 1 106 6 106 6 106 3 106 5Totales: 940 803 1065 1547 1242 1073

Expresando esto en el lenguaje de matrices tenemos lo siguiente:

(56 73 122 106

)

3 2 2 8 3 1

6 3 1 3 2 5

1 3 2 2 5 1

2 1 6 6 3 5

=

=

56 3 56 2 56 2 56 8 56 3 56 1+ + + + + +

73 6 73 3 73 1 73 3 73 2 73 5+ + + + + +

122 1 122 3 122 2 122 2 122 5 122 1+ + + + + +

106 2 106 1 106 6 106 6 106 3 106 5= = = = = =

=

=(940 803 1065 1547 1242 1073

)En este caso hemos realizado una multiplicacin de una matriz fila, de orden 1 4 por una

matriz de orden 4 6. Para ello hemos seguido el siguiente esquema de multiplicaciones:

el elemento de la primera columna POR cada elemento de la primera fila.

el elemento de la segunda columna POR cada elemento de la segunda fila.

el elemento de la tercera columna POR cada elemento de la tercera fila.

el elemento de la cuarta columna POR cada elemento de la cuarta fila.

y finalmente sumamos todos los elementos de cada columna para obtener cada elemento dela fila.

Si nos fijamos en los rdenes de las matrices que hemos multiplicado tenemos

1 4 4 6 = 1 6

es decir, que la primera fila tenga 4 columnas y la segunda matriz tenga 4 filas es necesariopara que cada elemento de la fila multiplique a su correspondiente elemento de la columna.


Veamos otro esquema, multiplicamos una matriz formada por smbolos de cartas francesas:trboles(), rombos (), corazones() y picas() por otra de smbolos tipogrficos:

(

)

[ \

[ \

[ \

[ \

siendo el resultado final:(

[+ [ + [ + [ \+ \ + \ + \)

Obsrvese que cada elemento del resultado final est formado por 4 sumandos y en cadasumando hay un elemento de la matriz fila por un elemento de una columna determinada. Estose realiza de forma ordenada, el primero por el primero, el segundo por el segundo, el terceropor el tercero, y as sucesivamente.

Si la primera matriz tuviera ms de una fila, el resultado final tendra ese mismo nmero defilas y cada una de ellas compuesta por un producto realizado de la misma forma. En definitiva,la matriz producto se calcula del siguiente modo:

1. Clculo de la primera fila:

a) Primer elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidos almultiplicar ordenadamente cada elemento de la primera fila por cada elemento dela primera columna.

b) Segundo elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidosal multiplicar ordenadamente cada elemento de la primera fila por cada elementode la segunda columna.

c) Tercer elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidos almultiplicar ordenadamente cada elemento de la primera fila por cada elemento dela tercera columna.

d) &c

2. Clculo de la segunda fila:

a) Primer elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidos almultiplicar ordenadamente cada elemento de la segunda fila por cada elemento dela primera columna.

b) Segundo elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidosal multiplicar ordenadamente cada elemento de la segunda fila por cada elementode la segunda columna.

c) Tercer elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidos almultiplicar ordenadamente cada elemento de la segunda fila por cada elemento dela tercera columna.


d) &c

3. Clculo de la tercera fila:

a) Primer elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidos almultiplicar ordenadamente cada elemento de la tercera fila por cada elemento dela primera columna.

b) Segundo elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidosal multiplicar ordenadamente cada elemento de la tercera fila por cada elemento dela segunda columna.

c) Tercer elemento: Es el resultado se sumar cada uno de los productos obtenidos almultiplicar ordenadamente cada elemento de la tercera fila por cada elemento dela tercera columna.

d) &c

4. Y sigue del mismo modo

De forma terica se indica del siguiente modo:

'

&

$

%

Producto de matrices

La matriz producto es aquella que se obtiene como resultado de multi-plicar una matriz A = (aij) de orden m n por otra B = (bjk) de ordenn p es una matriz C = (cik) de orden m p donde cada cik se obtienepor la expresin:

cik =nj=1

aij bjk

Para entender el significado de esa expresin matemtica hay que recordar que el smbolonj=1 indica la suma desde que j = 1 hasta que j = n sin modificar los dems subndices, por

lo quen

j=1 aij bjk es lo mismo que ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + ai4 b4k + + ain bnk dedonde

cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + ai4 b4k + + ain bnkpara cada uno de los valores i desde 1 hasta m y cada j desde 1 hasta p. Por lo que la nuevamatriz tiene n filas y p columnas.

Ejemplo: Calculemos el producto de A y B, siendo

A =

(2 3 2

1 4 5

)y B =

3 85 26 3

Al ser el producto de una matriz 2 3 por una 3 2 el resultado final ser una matriz 2 2.


A B =(

2 3 2

1 4 5

)

3 85 26 3

= ( 2 3 + 3 5 + 2 6 2 8 + 3 2 + 2 31 3 + 4 5 + 5 6 1 8 + 4 2 + 5 3

)=

(33 28

53 31

)

Hay que tener en cuenta que el producto as NO es una operacin de composicin internade forma general. Se recuerda que una operacin se dice que es de composicin interna cuandola operacin sobre dos elementos de un mismo tipo tiene como resultado un elemento del mismotipo anterior. En nuestro caso, de forma general, dadas dos matrices una de orden mn y otrade orden n p, el producto es una matriz de orden m p, la cual no es del mismo tipo que lasanteriores, salvo que m = n = p en cuyo caso estamos ante una matriz cuadrada. Por lo tanto,el producto de matrices slo es una operacin de composicin interna dentro de unconjunto de matrices cuadradas.

Siendo as, slo tiene sentido hablar de propiedades del producto de matrices en el caso dematrices cuadradas.'

&

$

%

Propiedades del producto de MatricesCuadradas:

1. AsociativaA (B C) = (A B) C

2. Existencia de Elemento neutro

En cadaMn existe una matriz neutra para el producto, In Mn, tal que dada cualquier matriz A Mn, se verifica que

A In = In A = A

3. Distributiva respecto de la suma

El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto dela suma, esto es, dadas A,B,C Mn se tiene que

A (B + C) = A B + A C

Respecto a la propiedad conmutativa hay que indicar que de forma general el productode matrices cuadradas NO es conmutativo.

Ejemplo: (1 2

3 4

)(

0 0

1 1

)=

(1 0 + 2 1 1 0 + 2 13 0 + 4 1 3 0 + 4 1

)=

(2 2

4 4

)(

0 0

1 1

)(

1 2

3 4

)=

(0 1 + 0 3 0 2 + 0 41 1 + 1 3 1 2 + 1 4

)=

(0 0

4 6

)


Y como este ejemplo hay muchos casos.

En algunos casos particulares, puede darse el caso de que dos matrices s verifiquen lapropiedad conmutativa, en esos caso se dice que esas dos matrices conmutan entre s.

Ejercicios

1. Dadas las matrices A =

(1 2

2 3

), B =

(0 3

1 2

)y C =

(1 30 2

), calcula

a) A+B Cb) AB + Cc) 2A 3Bd) A 2B + 3C

2. Calcula la matriz A que verifica la igualdad:

3 (

1 53

6

2 82 4

)=

(1 0 42 1

314

)+ A

3. Calcula las matrices X e Y que verifican el sistema de ecuaciones2X + Y =

(5 12 7

4 2 7

)

3X + 2Y =

(11 25 0

20 10 35

)

4. Dadas A =

1 2 00 1 12 1 1

y B = 0 1 21 1 0

0 2 1

, calcula:a) A2 B2

b) (AB)2

c) (AB)(A+B)d) Compara los resultados con las mismas reglas de productos notables en nmeros. A

qu se deben las conclusiones?

5. En una academia de idiomas se imparten clases de ingls y alemn en cuatro niveles cadauno y en dos tipos de grupos de cada nivel: grupos normales y grupos reducidos. La matriz


A representa el nmero de personas de cada nivel (filas) en cada idioma (columnas):

A =

130 160

120 80

210 130

100 60

La matriz B representa los tantos por uno de estudiantes siendo el mismo para ambosidiomas de grupos reducidos (primera fila) y grupos normales (segunda fila) de cada unode los niveles (columnas):

B =

(02 025 04 075

08 075 06 025

)

a) Obtener la matriz que proporciona el numero de estudiantes por tipos de grupos eidioma.

b) Sabiendo que la academia cobra 200eal mes por persona en grupos reducidos y125eal mes por persona en grupo normal, halla la cantidad que ingresa en cada unode los idiomas.

6. Dada la matriz M =

1 1 00 1 10 0 1

.a) Calcula la matriz J tal que M = J + I3.

b) Calcula J2, J3 e induce J1994.

7. Calcula a, b, c y d para que 2

(a b

c d

)=

(a 7

2 3d

)+

(5 a+ b

c+ d 4

)8. Dada una matriz A de orden m n con m y n distintos de 1. Existe una matriz B tal

que A B sea una matriz fila?

9. Encuentra todas las matrices del orden que corresponda y que conmuten con la matriz

A =

(1 1

0 1

)

10. Calcula todos los productos posibles entre las siguientes matrices A =

1 2 31 1 10 1 1

,B =

121

y C = ( 2 1 03 4 5

).

11. Indica razonadamente si alguna de estas expresiones son igualdades vlidas para cuales-quiera matrices cuadradas A y B de orden n:


a) (A+B)2 = A2 + 2A B +B2

b) (AB)2 = A2 2A B +B2

c) (A+B) (AB) = A2 B2

12. Comprueba que es cierto que A2 A 2I3 = 0 siendo

A =

0 1 11 0 11 1 0

13. Encuentra la matriz A que verifica: A (

1 0

2 1

)=

(5 2

6 3

)

1.2.6. Trasposicin de matrices

Volvamos a considerar el problema de las tiendas de pantalones, pero en esta ocasin, veamosla tabla desde otro punto de vista, consideramos la tabla en vez de ver las tallas respecto delas marcas (pg 4, vemoslo al revs, las marcas respecto de las tallas, con lo que tendramos:

Tallas Levis PepeJeans

Dior D&G

38 3 6 1 240 2 3 3 142 2 1 2 644 8 3 2 646 3 2 5 348 1 5 1 5

En realidad, considerando slo las matrices, lo que se ha hecho es intercambiar las filas porlas columnas, esto es lo que antes estaba escrito en filas de izquierda hacia la derecha, ahoraaparece escrito en columnas de arriba hacia abajo:

3 2 2 8 3 1

6 3 1 3 2 5

1 3 2 2 5 1

2 1 6 6 3 5

3 6 1 2

2 3 3 1

2 1 2 6

8 3 2 6

3 2 5 3

1 5 1 5

Esto es lo que se conoce como Trasposicin de matrices. Escrito de forma matemtica

decimos que dada una matriz A de orden m n, se tiene la matriz traspuesta, At de ordennm intercambiando las filas por columna de la matriz A:

Sea A Mmn con A = (aij), entonces At Mnm con A = (aji)


Obsrvese que en At se han escrito los subndices intercambiados j i. De otro modo,

Si A =


...... . . .

...am1 am2 am3 amn

At =

a11 a21 a31 am1a12 a22 a32 am2a13 a23 a33 am3...

...... . . .

...a1n a2n a3n amn

Evidentemente, en el caso de que una matriz sea cuadrada, la matriz traspuesta tiene el

mismo orden que la matriz original.'

&

$

%

Propiedades la trasposicin de matrices

1. Idempotencia(At)t = A

2. Respecto de la suma de matrices

(A+B)t = At +Bt

3. Respecto del producto por escalares

(A)t = At

4. Respecto del producto de matrices

(A B)t = Bt At

La trasposicin de matrices permite distinguir dos nuevos tipos de matrices. Las matricesque al ser traspuestas quedan invariantes y las matrices que al ser traspuestas quedan cambiadasde signo (opuestas).

Las primeras de ellas, aquellas que al ser traspuestas quedan invariantes, esto es, aquellasmatrices tales que At = A, se denominan Matrices Simtricas. La razn del nombre es quepara que la matriz sea simtrica, al cambiar las filas por las columnas debe quedar igual, loque implica que los nmeros ocupan una posicin geomtricamente simtrica respecto de ladiagonal principal.

A Mn es simtrica si y solo si aij = ajii, j {1, . . . , n}

Ejemplos de matrices simtricas:

A =

1 pi 2 3

pi 4 12

0

2 12

pi6 63 0 6 198

B = 6 3

2 4632 0 23

46 23 6


El segundo caso, las matrices que al ser traspuestas cambian de signo, se denominan Ma-trices Antisimtricas. Ejemplo de matriz antisimtrica:

A =

0 pi 2 3pi 0 1

20

2 12

0 63 0 6 0

At =

0 pi 2 3pi 0 1

20

2 12

0 6

3 0 6 0

Obsrvese que, en el ejemplo, la diagonal principal es completamente nula. Esto no es un caso

aislado, es una condicin necesaria para que pueda ocurrir que al sumar una matriz antisimtricacon su traspuesta, el resultado sea la matriz nula. Sin esta condicin, como la diagonal principalpermanece invariante por la trasposicin, al sumar una matriz y su traspuesta, si algn elementode la diagonal no fuera cero, la suma tendra en esa posicin el doble del nmero, nunca seracero. Ejemplo:

A+ At =

0 pi 2pi 3 122 1

20

+ 0 pi 2pi 3 122 1

20

=

=

0 + 0 pi + (pi) 2 + 2pi + pi 3 + 3 12 + 122 + (2) 1

2+ (1

2) 0 + 0

= 0 0 00 6 0

0 0 0

De este modo podemos decir que una matriz es antisimtrica si es cuadrada, tiene nulos todos

los elementos de la diagonal principal y adems opuestos los elementos simtricos respectos dela misma.

A Mn es antisimtrica si y solo si{

aii = 0

aij = ajii, j {1, . . . , n}

1.3. Determinantes

1.3.1. Introduccin

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, muchotiempo antes que las matrices que no aparecieron hasta finales del siglo XVIII. En su sentidooriginal, el determinante es un clculo realizado con los coeficientes de un sistema de ecuacioneslineales cuyo objetivo es determinar la unicidad o no de la solucin del sistema.

El primero que introdujo este clculo en Europa, para el caso de sistemas de orden 2, fueGerlamo Cardano (1501-1576) quien en 1545 en su obra Ars Magna lo presenta como una reglapara la resolucin de sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. Esta primera frmula llevael nombre de regula de modo.


Posteriormente, en el siglo XVII, el japons Takakasu Seki Kowa (1642-1708) y GottfriedW. von Leibniz (1646-1716), con prcticamente los mismos ejemplos pero sin contacto entreellos, introdujeron los determinantes de matrices de orden 3 y 4. La aparicin de determinantesde rdenes superiores tard an ms de cien aos en llegar.

Leibniz estudi distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de lanotacin matricial, representaba los coeficientes de las incgnitas con una pareja de ndices: aspues escriba ij para representar aij. En 1678 se interes por un sistema de tres ecuaciones contres incgnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, lo que se conoce como frmula de desarrollo a lolargo de una columna. El mismo ao, escribi un determinante de orden 4, correcto en todosalvo en el signo. Como Leibniz no public este trabajo, qued olvidado hasta que los resultadosfueron redescubiertos de forma independiente cincuenta aos ms tarde.

Figura 1.2: Seki Kowa (1642-1708)

En el mismo periodo, Seki Kowa public en 1693 unmanuscrito titulado Mtodo de resolver los problemas disi-mulados sobre los determinantes, donde se hallan frmulasgenerales difciles de interpretar. Se dan frmulas correc-tas para determinantes de tamao 3 y 4, pero, de nuevo,presenta errores en los signos para aquellos determinantesde orden superior. Este descubrimiento no pudo llegar ensu poca a conocimiento de los cientficos europeos debidoal cierre de fronteras de Japn respecto al mundo exteriorpor rdenes del shogun (Comandante Jefe de los Ejrcitos)Tokugawa Iemitsu (1604-1651) en 1638.

A mediados del siglo XVIII se da un nuevo impulso ala teora de los determinantes. En el trabajo publicado trassu muente, en 1748, Colin Maclaurin (1698-1746) ofrece laresolucin correcta de un sistema de cuatro ecuaciones concuatro incgnitas. Y, como ya se dijo anteriormente, en 1750Cramer formula las reglas generales que permiten la reso-lucin de un sistema de n ecuaciones con n incgnitas. En

este caso los mtodos de clculo de los determinantes son muy delicados debido a que se basanen la nocin de signatura de una permutacin, un concepto bastante lioso.

Los matemticos de la poca se familiarizaron con este nuevo objeto a travs de los artculosde tienne Bzout (1730-1783) en 1764 y de Alexandre-T. Vandermonde (1735-1796) en 1771.En 1772, Pierre-S. Laplace (1749-1827) establece las reglas de recurrencia que llevan su nombrepara el clculo de determinantes y que estudiaremos en estos apuntes. Al ao siguiente, Lagrangedescubri la relacin entre el clculo de los determinantes y el clculo de volmenes.

Finalmente, durante el siglo XIX, con los trabajos de Gauss, Augustin L. Cauchy (1789-1857), Arthur Cayley (1821-1895), James J. Sylvester (1814-1897) y C.G. Jakob Jacobi (1804-1851) los determinantes y las matrices toman la notacin y formulacin que an se conserva enla actualidad. As como su extensin a otros campos de las matemticas tomando un valor de


gran utilidad.

1.3.2. Menor complementario y Adjunto

El determinante de una matriz cuadrada, det(A) |A|, es un nmero asociado medianteuna serie de clculos el cual est ntimamente ligado a una serie de propiedades de la matrizque iremos analizando poco a poco. Aunque hay diversas formas de establecer el clculo de losdeterminantes, tal y como se indic anteriormente, optamos por la forma definida por Laplace,en la que el determinante de una matriz de orden n se puede calcular a partir de determinantesde orden n 1 obtenidos de la propia matriz. As obtiene un proceso rescurrente de n pasos.

Antes de dar la definicin tenemos que introducir el concepto de Menor complementariode un elemento de una matriz cuadrada. Sea A = (aij) Mn una matriz cuadrada, se llamamenor complementario de un elemento aij de la matriz A a la submatriz que resulta de suprimiren A la fila i y la columna j y se denomina Mij.

Veamos unos ejemplos, sean A M4 y B M3,

A =

1 pi 2 3

3 4 12

0

2 35

pi6 64 9 7 198

B = 1 2 34 5 67 8 9

el menor complementario a43 = 7 de la matriz A sera M43 =

1 pi 33 4 02 3

56

y el menorcomplementario del elemento b21 = 4 de la matriz B sera M21 =

(2 3

8 9

)Es evidente que cada elemento de una matriz tiene uno y slo un menor complementario.

De este modo, si suponemos que sabemos calcular el determinante de una matriz cualquiera,podemos definir tambin el concepto de Adjunto de un elemento aij, denotado por Aij, el cualno sera nada ms que la expresin Aij = (1)i+j|Mij|, es decir, el Adjunto de un elemento aijes el resultado de multiplicar (1)i+j por el determinante de su menor complementario.

Un elemento que utilizaremos con posterioridad es la Matriz Adjunta, Adj(A) para cons-truir esta matriz el proceso es muy simple, dada una matriz A = (aij), la Matriz Adjunta de Aes aquella en la que se sustituye cada elemento aij de A por su Adjunto Aij, de este modo si

A =


...... . . .

...an1 an2 an3 ann

entonces Adj(A) =

A11 A12 A13 A1nA21 A22 A23 A2nA31 A32 A33 A3n...

...... . . .

...An1 An2 An3 Ann


1.3.3. Regla de Laplace

Ahora ya estamos en condiciones de dar la regla del clculo de determinantes de Laplace,la cual es la siguiente:

'

&

$

%

Regla de Laplace para DeterminantesSea A = (aij) Mn, consideremos una fila determinadak {1, . . . , n}, entonces

det(A) = |A| =nj=1

akj Akj

Es decir, para calcular el determinante de una matriz cuadrada, se considera una fila cual-quiera y se calcula la suma de los productos de cada elemento de la fila por su correspondienteadjunto. Si consideramos la segunda fila de la matriz tendramos

det(A) = |A| = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 + + a2n A2n+

Del mismo modo se puede calcular el determinante de una matriz mediante las columna, esdecir se determina una columna y se calcula la suma de los productos de cada elemento de lacolumna por su correspondiente adjunto, de donde obtendramos

det(A) = |A| =nj=1

ajk Ajk

que en el caso particular de fijar la tercera columna quedara como

det(A) = |A| = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 + + a3n A3n+

Puede observase que como el para obtener el menor complementario hemos suprimido unafila y una columna, el menor complementario es de un orden menor que la matriz A, por loque queda evidente lo que afirmbamos anteriormente, que la regla de Laplace para calcularel determinante de una matriz de orden n utiliza determinantes de orden n 1. Por lo tanto,conocidos todos los Adjuntos de una fila o columna de una matriz, podemos conocer el deter-minante de la matriz completa. Veamos como se utiliza esto para calcular el determinante deuna matriz cualquiera.

Comenzaremos por el determinante de una matriz cuadrada de orden ms pequeo, de orden1, y finalizaremos por el de orden 3, aplicando sucesivamente la regla de Laplace, es evidenteque se podr calcular el determinante de una matriz de un orden cualquiera.

1. Matriz de orden 1

Una matriz de orden 1 es una matriz formada por un nico elemento. Sea A = (a) M1entonces det(A) = |A| = a



Sea A =

(a11 a12

a21 a22

) M2 consideremos los elementos de la primera fila a11 y a12,

sus menores complementarios son M11 = (a22) y M12 = (a21) por lo tanto los Adjuntosde estos elementos son A11 = (1)1+1a22 = a22 y A12 = (1)1+2a21 = a21 entoncessiguiendo la Regla de Laplace

det(A) = |A| = a11 a22 + a12 (a21) = a11 a22 a12 a21.

Una regla prctica para recordar este clculo del determinante de una matriz cuadradade orden 2 es: el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonalsecundaria.


Sea A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

M3, al igual que antes, consideremos los elementos de laprimera fila a11, a12 y a13. Sus menores complementarios son

M11 =

(a22 a23

a32 a33

)M12 =

(a21 a23

a31 a33

)y M13 =

(a21 a22

a31 a32

)y los Adjuntos correspondientes son

A11 = (1)1+1(a22a33 a23a32) = a22a33 a23a32A12 = (1)1+2(a21a33 a23a31) = a23a31 a21a33A13 = (1)1+3(a21a32 a22a31) = a21a32 a22a31

de donde tenemos, aplicando la regla de Laplace, que

det(A) = |A| = a11(a22a33 a23a32) + a12(a23a31 a21a33) + a13(a21a32 a22a31)

aplicando la propiedad distributiva de los nmeros y reordenando segn signo, nos queda

det(A) = |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31

En este ltimo caso, si observamos un poco la forma de multiplicar observamos una reglaprctica para recordar este determinante, la conocida Regla de Sarrus,

Si consideramos figura formada por la matriz original aadindole las dos primeras co-lumnas

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Y en ella consideramos la diagonal principal de la matriz y dos paralelas que podranformarse ms, as como la diagonal secundaria de la matriz y dos paralelas ms. Estaslneas sealan seis productos de tres elementos cada uno.


a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Con signo positivo Con signo negativo

Considerando los primeros con signo positivo y los tres ltimos con signo negativo, tene-mos la expresin del determinante de una matriz de orden 3.

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31Otra forma de visualizar la Regla de Sarrus para el clculo de un determinante de orden 3

es mediante la multiplicacin de los elementos unidos con lneas en la siguiente figura:

Con signo positivo Con signo negativo

@@@@@@

@@@

@@@

A

AAAAHH

HHHAAAAAHH

HHH

Ejemplo de clculo de determinantes :

Orden 2:

det

(2 38 9

)=

2 38 9 = 2 (9) 8 (3) = 18 + 24 = 6

Orden 3:

det

1 2 34 5 67 8 9

=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

== 1 5 (9) + 2 6 (7) + 4 8 3 3 5 (7) 4 2 (9) 1 8 6 =

= 45 84 + 96 + 105 + 72 48 = 96

Orden 4:

det

1 2 3 11 1 1 1

3 0 1 12 1 2 0

=1 2 3 11 1 1 1

3 0 1 12 1 2 0

Elegimos una fila o columna, por ejemplo la tercera columna. Determinamos los Adjuntosde los cuatro elementos de la tercera columna:

a13 = 3 A13 = (1)1+31 1 1

3 0 12 1 0

== (1) (1 0 0 + 1 (1) 2 + 1 3 1 1 0 2 1 (1) 1 1 3 0) =

= 0 2 + 3 0 + 1 0 = 0


a23 = 1 A23 = (1)2+31 2 13 0 12 1 0

== (1) (1 0 0 + 2 (1) 2 + (1) 3 1 (1) 0 2 1 (1) 1 2 3 0) =

= (1)(0 4 3 0 + 1 0) = 6

a33 = 1 A33 = (1)3+31 2 11 1 1

2 1 0

== (1) (1 1 0 + 2 1 2 + (1) 1 1 (1) 1 2 1 1 1 2 1 0) =

= 0 + 4 1 + 2 1 0 = 4

a43 = 2 A43 = (1)4+31 2 11 1 1

3 0 1

== (1) (1 1 (1) + 2 1 3 + (1) 1 0 (1) 1 3 1 1 0 2 1 (1)) =

= (1)(1 + 6 0 + 3 0 + 2) = 7

Finalmente multiplicamos cada uno de los cuatro elementos por su Adjunto y sumamos1 2 3 11 1 1 1

3 0 1 12 1 2 0

= 3 0 + 1 6 + 1 4 + 2( 7) = 0 + 6 + 4 14 = 4

Como puede observarse la cantidad de operaciones para calcular un determinante aumentamuy rpidamente cuando aumenta el orden de la matriz. Hay que tener en cuenta que para undeterminante de orden 4 se debern desarrollar 4 determinantes de orden 3. Para un determi-nante de orden 5, se obtienen 5 determinantes de orden 4 a desarrollar, dndonos un total de 20determinantes de orden 3. No es difcil llegar a conclusin de que el nmero de determinantesde orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es

n!

3!=n (n 1) (n 2) 2 1

3 2 1 .

Si adems tenemos en cuenta que cada determinante de orden 3 necesita de 18 multiplicacionesy 5 sumas, para calcular un determinante de orden 14 se necesitaran 23 14!

3!= 334,183,449,600


operaciones (multiplicaciones y sumas). Y de aqu la importancia de saber utilizar las herra-mientas actuales bien sean informticas o calculadoras para que nos ahorren un buen nmerode clculos.

Una deduccin lgica que nos puede servir para reducir el nmero de operaciones, es elegirpara aplicar la Regla de Laplace aquella fila o columna de la matriz que disponga de un mayornmero de ceros entre sus elementos. De este modo, como sabemos que al multiplicar el elementonulo por su Adjunto, el resultado es cero, no necesitaremos calcular el Adjunto correspondiente.De este modo se simplifican muchos clculos.

Ejemplo:

Consideremos el determinante de la matriz diagonal siguiente

|A| =

2 1 1 3 6 pi0 1 3

(2) 2 0

0 02 0 7 5

0 0 0 1 2 10 0 0 0 2 1

0 0 0 0 02

Desarrollando por la primera columna tenemos que

|A| = 2A11 + 0A21 + 0A31 + 0A41 + 0A51 + 0A61 = 2A11

Para calcular A11 tenemos que calcular

A11 = (1)1+1

1 3(2) 2 0

02 0 7 5

0 0 1 2 10 0 0 2 1

0 0 0 02

Que desarrollando por tambin por la primera columna se queda reducido a la expresin A11 =(1)1+1 1A11, por lo que tenemos que |A| = 2(1)1+1 1 A11 = 2 1 A11

Del mismo modo, para calcular A11 tenemos que

A11 = (1)1+1

2 0 7 50 1 2 10 0 2 1

0 0 02

=2 A11

de donde |A| = 2 1 2 A11 y siguiendo

A11 = (1)1+11 2 10 2 1

0 02

= 1 A11


por tanto, ahora, |A| = 2 1 2 1 A11 y finalmente

A11 = (1)1+1 2 10 2

= 2 Aiv11 = 2 2quedando el determinante solo en

|A| = 2 1 2 1 2

2 = 8

Y del ejemplo, podemos deducir que en el caso de las matrices triangulares o diagonales, eldeterminante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

1.3.4. Propiedades de los determinantes

1. Si en una matriz hay una fila o columna de ceros, el determinante de la matrizes cero.

Aplicando la Regla de Laplace a esa fila o columna se deduce que como todos los elementosde esa fila o columna son cero y la suma de productos de elementos por Adjuntos tambines cero.

2. El determinante de una matriz es igual al determinate de su traspuesta.

det(A) = det(At)

Ejemplo:

det(A) =

2 3 5

1 6 40 2 1

= 26(1)+340+(1)255603(1)(1)242 == 12 + 0 10 0 3 16 = 41

det(At) =

2 1 03 6 2

5 4 1

= 26(1)+(1)25+340065(1)3(1)224 == 12 10 + 0 0 3 16 = 41

3. Si una fila o columna de una matriz se multiplica por un nmero, el determi-nante se multiplica por ese nmero.

Al aplicar la Regla de Laplace en esa fila o columna, todos los sumandos formados porel producto del elemento por su Adjunto, estn multiplicados por el nmero, entonces


ese nmero es un factor comn a la suma, aplicando la propiedad distributiva, se tienecomprobada la propiedad indicada.

Ejemplo: Puede calcularse que

2 6 5

1 12 40 4 1

= 82 y teniendo en cuenta el ejemploanterior:

2 6 5

1 12 40 4 1

=

2 2 3 51 2 6 40 2 2 1

= 2

2 3 5

1 6 40 2 1

= 2 (41)4. Si descomponemos una columna (o fila) de una matriz en suma de dos co-

lumnas (o filas), las matrices compuestas por las mismas columnas (o filas)excepto la descompuesta que pasa cada sumando a una matriz, entonces lasuma de ambos determinantes es el igual al determinante de la matriz inicial.

Ejemplo:2 3 5

1 6 40 2 1

=

2 1 + 2 5

1 2 + 4 40 3 1 1

=

=

2 1 5

1 2 40 3 1

+

2 2 5

1 4 40 1 1

= 44 + 3 = 415. Si en un determinante se permutan dos filas (o columnas) el determinante

cambia de signo.

Ejemplo:

2 3 5

1 6 40 2 1

= 412 3 5

0 2 11 6 4

= 2 2 4+ 3 (1) (1)+ 5 0 6 5 2 (1) 3 0 4 2 (1) 6 = 416. Si un determinante tiene dos filas (o columnas) iguales es cero.

7. Si en una matriz una fila (o columna) es el resultado de una combinacin linealde otras filas (o columnas) su determinante es cero.

Ejemplo: En la siguiente matriz la tercera fila es el resultado de multiplicar la primerafila por 2 y restar la segunda.


2 3 5

1 6 45 0 6

= 08. Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma una combinacin lineal de

otras lneas, el determinante no vara.

Ejemplo:

2 3 5

1 6 40 2 1

= 41Si a la tercer fila le sumo el doble de la primera y resto la segunda

2 3 5

1 6 45 2 5

= 419. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los

determinantes.

Ejemplo: Consideremos la dos matrices y su producto(1 2

3 4

)(

0 1

1 1

)=

(1 0 + 2 1 1 1 + 2 13 0 + 4 1 3 1 + 4 1

)=

(2 3

4 7

)

Los determinantes son 1 23 4 = 1 4 2 3 = 2

0 11 1 = 0 1 1 1 = 1 2 34 7

= 2 7 3 4 = 2y efectivamente 1 23 4

0 11 1

= (2) (1) = 2 = 2 34 7

1.4. Matriz Inversa

Por definicin de inverso de un producto, si una matriz A Mn tiene inversa, debe existiruna matriz B Mn tal que A B = B A = In. En ese caso denotamos la inversa de A con elsmbolo A1.

Ahora bien, cul es la condicin que debe verificar una matriz cuadrada A para que tengainversa?


Si A tiene inversa A1 entonces A A1 = In, entonces el determinante de ese productoser 1, det (A A1) = det(In) = 1, por lo que aplicando las propiedades de los determinantesdet(A) det(A1) = 1, entonces ambos nmeros, det(A) y det(A1) tienen que ser distintos decero.

Por lo tanto, para que una matriz pueda tener inversa es necesario que su deter-minante sea distinto de cero.

det(A) 6= 0 A1

1.4.1. Clculo de la matriz inversa por Matriz Adjunta

Una vez que nos hayamos asegurado de que existe una la matriz inversa de una matrizA Mn, podemos proceder al clculo del siguiente modo

A1 =1

|A| [Adj(A)]t =

1

|A| Adj(At)

Es decir, la Matriz inversa de una Matriz A es igual a la matriz Traspuesta de la matriz Ad-junta multiplicada por el inverso del determinante, o tambin la matriz Adjunta de la traspuestamultiplicada por el inverso del determinante.

'

&

$

%

Propiedades la Inversa de una Matriz

1. Si existe es nica

2. Idempotencia(A1)1 = A

3. Respecto del producto por escalares

(A)1 =1

A1

4. Respecto del producto de matrices

(A B)1 = B1 A1

5. |A1| = 1|A|


Aplicaciones de la Matriz Inversa a la

CriptografaLa palabra criptografa proviene del griego pi (kryptos), que significa oculto y

(graphos), escribir, es decir, significa literalmente escritura oculta. La criptografa ha sidousada a travs de los aos para enviar mensajes confidenciales cuyo propsito era que slo laspersonas autorizadas puedan entender el mensaje.

Si alguien que quiere mandar informacin confidencial aplica tcnicas criptogrficas parapoder esconder el mensaje, lo que usualmente se denomina como cifrar o encriptar, mandael mensaje por una lnea de comunicacin que se supone insegura y despus solo el receptorautorizado pueda leer el mensaje escondido, lo que llamamos descifrar o descencriptar.

En realidad, es la criptologa la ciencia que se dedica al estudio y anlisis de sistemas queofrecen medios seguros de comunicacin en los que un emisor oculta o cifra un mensaje antesde transmitirlo para que slo un receptor autorizado pueda descifrarlo. Y es esta la que sedivide en dos partes diferenciadas: la propia criptografa que se dedica al diseo de sistemasde comunicacin segura y el criptoanlisis que se dedica al estudio de tcnicas para romper elsistema cifrado de las claves criptogrficas.

La criptologia fue en un principio desarrollada con fines comunicacionales para diplomticosy militares. Algunos de los ejemplos de su uso son la proteccin de archivos informticos y laproteccin de transacciones financieras informticas.

El procedimiento utilizado para cifrar datos se realiza por medio de un algoritmo, al cual sele puede considerar como una funcin matemtica. Por lo tanto, un algoritmo de cifrado es unafrmula para desordenar una informacin de manera que sta se transforme en incomprensible,usando un cdigo o clave (en ocasiones, ms de una). Los mensajes que se tienen que proteger,denominados texto en claro o texto plano, se transforman mediante esta funcin, y a la salidadel proceso de puesta en clave se obtiene el texto cifrado o cifrograma. En muchos casos existeun algoritmo de descifrado encargado de reordenar la informacin y volverla inteligible, perono siempre es as. Cuando existen ambas funciones, una para cifrar y otra para descifrar, sedice que el sistema criptogrfico es de dos vas o reversible (a partir de un mensaje en claro sepuede obtener uno cifrado y a partir de ste se puede obtener el mensaje original), mientras quecuando no existe una funcin para descifrar, se dice que el sistema es de una sola va (a partirde un mensaje cifrado no es posible obtener el mensaje en claro que lo gener; la aplicacin deesto es, por ejemplo, para el almacenamiento de contraseas).

La transformacin de datos provee una posible solucin a dos de los problemas de la segu-ridad en el manejo de datos. El problema de la privacidad y el de la autentificacin, evitandoque personas no autorizadas puedan extraer informacin del canal de comunicacin o modificarestos mensajes.

La criptografa es una disciplina con multitud de aplicaciones, muchas de las cuales estnen uso hoy en da. Entre las ms importantes destacamos las siguientes:


Seguridad de las comunicaciones. Es la principal aplicacin de la criptografa a lasredes de computadores, ya que permiten establecer canales seguros sobre redes que no loson. Adems, con la potencia de clculo actual y empleando algoritmos de cifrado simtrico(que se intercambian usando algoritmos de clave pblica), se consigue la privacidad sinperder velocidad en la transferencia.

Identificacin y autentificacin. Gracias al uso de firmas digitales y otras tcnicascriptogrficas es posible identificar a un individuo o validar el acceso a un recurso en unentorno de red con ms garantas que con los sistemas de usuario y clave tradicionales.

Certificacin. La certificacin es un esquema mediante el cual agentes fiables (comouna entidad certificadora) validan la identidad de agentes desconocidos (como usuariosreales). El sistema de certificacin es la extensin lgica del uso de la criptografa paraidentificar y autentificar cuando se usa a gran escala.

Comercio electrnico. Gracias al empleo de canales seguros y a los mecanismos deidentificacin se posibilita el comercio electrnico, ya que tanto las empresas como losusuarios tienen garantas de que las operaciones no pueden ser espiadas, reducindose elriesgo de fraudes, timos y robos adems de diferentes tipos de estafa.

Nosotros vamos a aplicar lo aprendido en el estudio de matrices para practicar un mtodomuy simple, pero efectivo, para codificar y decodificar mensajes. Ten en cuenta que siempreque transmitimos un mensaje cifrado, la persona que lo recibe tiene que tener los mecanismosoportunos para descifrarlo. Este sistema ha sido importante en la historia de la criptografa,fue inventado por Lester S. Hill en 1929, y fue el primer sistema criptogrfico polialfabtico queera prctico para trabajar con mas de tres smbolos simultneamente.

Para poner en prctica nuestro mtodo vamos a necesitar una tabla en la que haremoscorresponder un nmero a cada letra del abecedario y al espacio, por ejemplo

A B C D E F G H I J K L M N27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 O P Q R S T U V W X Y Z13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Se elige un entero d que determina bloques de d elementos que van a ser tratados comovectores de d dimensiones y una matriz cuadrada de orden d que ser la matriz de cifrado autilizar. Los elementos de esta matriz deben ser nmeros enteros comprendidos entre 0 y 27,adems la matriz debe ser inversible, por ejemplo, tomamos d = 5 y como matriz

Matriz =

1 0 1 3 1

1 4 5 1 9

0 1 1 0 1

2 2 3 0 9

1 6 0 0 8

Inversa =1

88

44 132 352 88 010 30 128 4 123 9 100 10 1418 34 104 28 413 39 140 14 2


Ahora seleccionemos un mensaje a encriptar

Me encantan las matemticas porque son muy instructivas

Sustituimos cada letra por el nmero que le corresponde

M e e n c a n t a n l a15 23 0 23 14 25 27 14 7 27 14 0 16 27

s m a t e m a t i c a s8 0 15 27 7 23 15 27 7 19 25 27 8 0

p o r q u e s o n m u y11 12 9 10 6 23 0 8 12 14 0 15 6 2

i n s t r u c t i v a s19 14 8 7 9 6 25 7 19 5 27 8

Para la encriptacin, el texto es dividido formando una matriz de 5 columnas.

15 23 0 23 14

25 27 14 7 27

14 0 16 27 8

0 15 27 7 23

15 27 7 19 25

27 8 0 11 12

9 10 6 23 0

8 12 14 0 15

6 2 19 14 8

7 9 6 25 7

19 5 27 8 0

Multiplicamos esa matriz por la matriz de cifrado

15 23 0 23 14

25 27 14 7 27

14 0 16 27 8

0 15 27 7 23

15 27 7 19 25

27 8 0 11 12

9 10 6 23 0

8 12 14 0 15

6 2 19 14 8

7 9 6 25 7

19 5 27 8 0

1 0 1 3 1

1 4 5 1 9

0 1 1 0 1

2 2 3 0 9

1 6 0 0 8

=

98 222 199 68 541

93 298 195 102 561

76 118 111 42 337

52 239 123 15 409

105 303 214 72 636

69 126 100 89 294

65 92 134 37 312

35 152 82 36 250

44 103 77 20 233

73 134 133 30 375

40 63 95 62 163


La matriz con los datos obtenidos tras la multiplicacinsera la que se enviara, por ejemplo mediante un correoelectrnico tal y como muestra la figura. De este modo, elreceptor del mensaje, slo tendr que deshacer los pasosdados. Dividir el mensaje en una matriz de 5 columnas,multiplicar dicha matriz por la matriz inversa de la matrizde cifrado y buscar la correspondencia de letras respecto anmeros.

Con este mtodo se consigue dificultar el trabajo de des-cifrado para aquella persona que no conozca las claves.

Es un mtodo sencillo y fcil de programar con ayuda deherramientas informticas. Tambin hay que destacar queel mtodo descrito necesita pocos elementos para el cifradoy para que funcione tanto el emisor como el receptor delmensaje debe slo deben conocer ambos: la tabla de corres-

pondencia entre letras y nmeros y la Matriz de cifrado.

Evidentemente este no es un mtodo muy seguro para los tiempos actuales. En la actualizadlas tcnicas de cifrado utilizan conceptos matemticos mucho ms avanzados y basados enresultados matemticos muy recientes, que llegan a permitir que, ni con la ayuda de los msmodernos ordenadores actuales, sea prcticamente imposible descifrar un cdigo generado conlas tcnicas admitidas por el sistema Advanced Encryption Standard (AES). Tan slo unosinvestigadores afirmaron, en 2005, haber descifrado con xito un cdigo basado en bloques de128 bits, el admitido por AES. Pero hasta la fecha no se ha comprobado que sea cierto.

Por otro lado, la matemtica ya tiene resueltos estos posibles inconvenientes para el caso deordenadores ms potentes, tan slo no se han llevado a la prctica por decisiones empresarialesde cambio de software.

1.5. Rango de una matriz

Dada una matriz cualquiera podemos considerar que dentro de ella hay otras submatricessin ms que seleccionar aquellos elementos que forman parte de unas determinadas filas ycolumnas. Por ejemplo, consideremos la matriz siguiente:

A =

1 0 2 5 1 0

2 2 0 3 1 2

0 0 2 2 3 0

1 1 6 4 2 3

en ella seleccionaremos aquellos elementos que estn en las filas 1 y 3 y en las columnas 2, 4 y


5. De esta forma podemos formar la matriz de orden 2 3

A =

(0 5 1

0 2 3

)

Dentro de las mltiples submatrices que podemos formar tienen un especial inters aquellassubmatrices que son cuadradas. Y de estas consideramos su determinante. As podemos definirel concepto de menor de orden k:

Menor de orden k una matrizSea A = (aij) Mmn y sea M A una submatrizcuadrada de orden k, decimos que det(M) es un menorde orden k de la matriz.

Si consideramos la matriz

A =

1 0 2 52 2 0 31 1 6 4

tendremos que esta matriz tiene los siguientes menores:

De orden 1 tiene 12 menores, los doce valores de la matriz: 1, 0, 2, 5, 2, 2, 0, 3, 1, 1, 6 y4.

De orden 2 tiene 18 menores: 1 02 2 = 2;

1 22 0 = 4;

1 52 3 = 7;

0 22 0 = 4;

0 52 3 = 10;

2 50 3 = 2;

1 01 1 = 1;

1 21 6 = 4;

1 51 4 = 1;

0 21 6 = 2;

0 51 4 = 5;

2 56 4 = 22;

2 21 1 = 0;

2 01 6 = 6;

2 31 4 = 5;

2 01 6 = 6;

2 31 4 = 5;

0 36 4 = 18.

De orden 3 tiene 4 menores:

1 0 2

2 2 0

1 1 6

= 12;1 0 5

2 2 3

1 1 4

= 5;1 2 5

2 0 3

1 6 4

= 32;0 2 5

2 0 3

1 6 4

= 50.No tiene menores de orden 4 o superior al no contener ninguna submatriz de orden mayorque 3.


Ahora podemos dar la definicin de rango de una matriz :

Rango de una matrizSea A = (aij) Mmn se llama rango de la matrizA al mayor orden de todos los menores distintos de cerode la matriz.

En el caso del ejemplo anterior el rango de la matriz es 3 pues tiene menores de orden 3distintos de cero y este es el mayor orden posible

rang

1 0 2 52 2 0 31 1 6 4

= 3

En el caso de la matriz B =

1 0 2 12 2 2 03 2 4 1

puede comprobarse que el rango es 2, ya quelos cuatro menores de orden 3 son cero:

1 0 2

2 2 2

3 2 4

= 0;1 0 1

2 2 0

3 2 1

= 0;1 2 1

2 2 0

3 4 1

= 0;0 2 1

2 2 0

2 4 1

= 0.y adems existe un menor de orden 2 distinto de cero,

1 02 2 = 2 6= 0.

1.5.1. Herramientas informticas de inters para el calculo matricial

WolframAlpha es un buscador de respuestas desarrollado por la compaa WolframResearch. Es un servicio en lnea que responde a las preguntas directamente, mediante elprocesamiento de la respuesta extrada de una base de datos estructurados. Tiene grandesposibilidades y simplicidad de clculo general (en ingls). http://www.wolframalpha.com/

Maxima potente programa completo de clculo simblicas. De gran extensin e interfaz ypotencialidad similar a Mathematica el programa matemtico ms extendido del mundo.Es gratuito: http://maxima.sourceforge.net/es/

Derive es un programa completo de clculo simblico. Uno de los ms utilizados por suinterfaz de ventanas cmodas. Es de pago, por lo que se recomienda probar primero conla versin demo. http://www.derisoft.com.


1.6. Ejercicios

1. Sabiendo que A es

(1 2

2 1

)y que la inversa de A B es

(2 4

5 3

)Calcular la inversa

de B

2. Dar un ejemplo de tres matrices de orden dos, A,B,C M2, no nulas y distintas entres tales que A B = A C. Puedes afirmar algo sobre el determinante de A?

3. Calcula los determinantes

a)

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

, b)

2 1 1 1 1

1 3 1 1 1

1 1 4 1 1

1 1 1 5 1

1 1 1 1 6

, c)

5 6 0 0 0 0

1 5 6 0 0 0

0 1 5 6 0 0

0 0 1 5 6 0

0 0 0 1 5 6

0 0 0 0 1 5

Sol: a) 48 , b) 394, c) 665

4. Calcular los determinantes de la matrices simplificando al mximo

A =

(sen cos

cos sen

)B =

(x 1 1x3 x2 + x+ 1

)

C =

(tan 11 tan

)D =

(a+ b a ba b a+ b

)Sol: |A| = 1, |B| = 1, |C| = cos2 , |D| = 4ab

5. Encontrar una justificacin para que el siguiente determinante sea nulo1 1 1

a b c

b+ c a+ c a+ b

6. Calcular, si es posible, la inversa de las siguientes matrices

a)

(2 3

5 7

)b)

1 2 34 5 67 8 9

c)

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 1 0

1 0 3 0

7. Para qu valores de a la matriz

a 0 11 1 1a 0 a 1

es invertible?

8. Para qu valores de a y b la matriz

a 0 11 b a1 1 1

es invertible?


9. Justificar que si A es una matriz cuadrada de orden n y un escalar no nulo, entonces|A| = n|A|.

10. Es cierto que si A es una matriz cuadrada de orden n que verifica que A At = In,entonces necesariamente |A| = 1?

11. Es cierto que | A| = |A|?

12. Determinante de Vandermonde. A partir de comprobar que

a)

1 x11 x2 = (x2 x1),

b)

1 x1 x

21

1 x2 x22

1 x3 x23

= (x3 x2)(x3 x1)(x2 x1)

c)

1 x1 x

21 x

31

1 x2 x22 x

32

1 x3 x23 x

33

1 x4 x24 x

34

= (x4 x3)(x4 x2)(x4 x1)(x3 x2)(x3 x1)(x2 x1)

deducir que

1 x1 x21 xn11

1 x2 x22 xn12

1 x3 x23 xn13

......

... . . . . . .1 xn x

2n xn1n

=

ni>j

(xi xj)

13. Sea A una matriz cuadrada de orden n, B una matriz cuadrada de orden m y C unamatriz de orden n m. Comprobar que la matriz cuadrada de orden n +m, compuestade la forma

(A C

0 B

)tiene por determinante |A| |B|, esto es

A C0 B = |A| |B|

14. Resuelva, si se dan las condiciones necesarias, las ecuaciones matriciales

a)

4 7 87 5 98 9 6

x1 y1 z1x2 y2 z2

x3 y3 z3

= 1 2 32 4 5

3 5 6

b)

1 0 0 0

0 0 4 7

0 2 3 0

0 0 6 8

x1 y1 z1 w1

x2 y2 z2 w2

x3 y3 z3 w3

x4 y4 z4 w4

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1


15. Demuestra, sin calcularlo, que el determinante

1 0 5

3 3 0

4 6 5

es mltiplo de 15.

16. Demuestra, sin calcularlo, que el determinante

1 2 1

1 9 8

5 0 6

es mltiplo de 11.17. Resuelve la ecuacin

x 1 0 0

0 x 1 0

0 0 x 1

1 0 0 x

= 0

18. Resuelve la ecuacin 1 x x xx 1 x xx x 1 xx x x 1

= 0

19. Dada la matriz A =

1 1 10 m 11 1 m

, averigua para qu valores del parmetro m existeA1. Calcula A1 para m = 1.

20. El determinante

2 a 5

4 a2 13

8 a3 35

vale 0 cuando a = 3. Comprubalo e indica las propiedadesaplicadas para justificarlo.


(1 2 m

1 1 1

)y B =

1 3m 00 2

, calcula los valores de mpara los que la matriz A B no tiene inversa.


(1 2 m

1 1 1

)y B =

1 3m 00 2

, calcula los valores de mpara los que la matriz B A no tiene inversa.

23. Determinar dos matrices A y B tales que:

3A 5B =(1 28 1

); A+ 3B =

(2 4

3 0

)


24. Dadas las matrices:

A =

(1 2

3 2

); B =

(0 3

1 2

); C =

(1 30 2

)

Calcular:A+B C ; AB + C ; AB C2A 3B ; 3B 5A ; A (B 2C)

25. Hallar la matriz M que satisface la igualdad:

2

(1 0 1 10 1 1 3

)=

(1 0 1 20 1 0 5

)+M


A =

3 5 21 3 46 0 1

; B =1 0 23 1 5

6 1 4

; C =4 6 73 5 00 0 2

Calcular A(B + C), AB , BA, A(3B 2C), A2


A =

(2 0

4 15

); B =

(1 12 9

)Resolver el sistema matricial:

5X + 3Y = A

3X + 2Y = B

y calcular X2 + Y 2.


(a b

c d

)de coeficientes reales, hallar x e y para que se verifique:

A2 = xA+ yI

siendo I la matriz unidad de orden 2, es decir: I =

(1 0

0 1

)

29. Probar que para cualquier matriz cuadrada A, la matriz A A es simtrica.

30. Por qu hay que premultiplicar a la matriz

(1 0

2 1

)para que resulte

(5 2

6 3

),


(1 2

3

), determinar todas las matrices B de dimensin 2 2 tales

que A B =(0 0

0 0

), obteniendo el valor de para que exista solucin.


32. Sea A una matriz cuadrada idempotente (A2 = A). Demostrar que si B = 2A I, esB2 = I.

33. Dada la matriz:

M =

0 z yz 0 xy x 0

en la que se verifica x2+ y2+ z2 = 1, calcular M2, P =M2+ I, PM y comprobar que Pes idempotente.

34. Obtener todas las matrices cuadradas de segundo orden A tales que A2 = I.

35. Calcular las potencias sucesivas de la matriz:

A =

1 1 11 1 11 1 1

36. Hallar el rango de las siguientes matrices:4 6 8 01 2 3 0

3 4 5 0

;3 4 4 01 3 2 22 1 2 2

;1 2 3 t2 4 6 83 6 9 12

segn t37. Discutir el rango de la matriz:

1 1 1 2a 1 1 1

1 1 3 34 2 0 a

segn los valores de a.

38. Calcular el rango de la matriz:

A =

t 0 t 04 6 8 22 3 4 1

segn los valores de t.

39. Una matriz cuadradaM es ortogonal si cumpleM M = I donde I es la matriz identidady M es la traspuesta de M . Determinar si la siguiente matriz es ortogonal:

A =

1 1 01 1 11 0 1


40. Hallar el rango de la matriz: 5 5 5a b cb+ c a+ c a+ b

segn los valores de a, b, c.

41. Resolver la ecuacin matricial:(1 13 2

)(x

y

)=

(1 x

y 1

)(3

2

)

42. Calcular el rango de la matriz: 2 1 5 1 81 2 3 4 53 1 4 5 11 3 10 13 11

43. Sean:

A =

(1 1

1 1

); B =

1 1 10 1 10 0 1

Calcular An y Bn por induccin respecto a n.

44. Es posible que para dos matrices A y B no cuadradas, puedan existir A B y B A?.

45. Hallar todas las matrices simtricas de orden 2 tales que A2 = A.

46. Siendo A =

(1 1

0 1

), hallar todas las matrices B de segundo orden tales que AB = B A

47. Hallar el rango de las matrices:

1 2 0 1

3 0 1 2

1 2 3 0

6 0 1 5

;1 6 11 16

2 7 12 17

3 8 13 18

4 9 14 19

5 10 15 20

1 1 2 30 2 1 43 1 4 1

1 1 0 2

;2 1 12 3 14 2 a

segn los valores de a

48. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, es cierta en general la relacin(A+B)2 = A2 + 2AB +B2?. Justificar la respuesta.


49. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden que tienen inversa. Razonar si elproducto A B tambin tiene inversa.

50. Consideramos la matriz

A =

0 3 41 4 51 3 4

a) Siendo I la matriz identidad 3 3 y O la matriz nula 3 3, probar que A3+ I = O.b) Calcular A10.

51. Calcular: 0 1 1 1

1 0 1 11 1 0 11 1 1 0

,

1 2 3 6

2 3 5 10

3 7 2 12

4 5 6 15

,

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

52. Calcular:

a a a

a a xa a x

53. Calcular:

0 0 1 1

3 3 1 2

3 1 1 3

3 1 1 4

,

14 0 0 0

13 7 9 8

17 5 6 4

3 11 0 0

,

a b 0 0

0 a b 0

0 0 a b

b 0 0 a

54. Calcular y simplificar al mximo:

a b c 2a 2a2b b c a 2b2c 2c c a b

,x 1 x2 1 x3 12x 4 x2 4 x3 83x 9 x2 9 x3 27

55. Calcular:

a a a a

a b b b

a b c c

a b c d

56. Los nmeros 1573, 3263, 5369 y 2613 son divisibles por 13. Demostrar que tambin lo es

el determinante: 1 5 7 3

3 2 6 3

5 3 6 9

2 6 1 3


57. Resolver las siguientes ecuaciones:15 + 2x 11 x

11 + 3x 17 2x7 + x 14 3x

= 0 ;1 2 2x 3 1x2 1 3

= 0a x x 1a+ x x

23

x x3

0

= 0 ;a+ x x x

x b+ x x

x x c+ x

= 058. Dada la ecuacin:

1 1 1

1 x 1

1 1 x2

= 0se pide:

a) Teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, hallar una solucin de laecuacin dada sin desarrollar el determinante del primer miembro.

b) Hallar las restantes soluciones de dicha ecuacin.

59. Demostrar las dos igualdades que siguen:1 1 1 1

1 a+ 1 1 1

1 1 b+ 1 1

1 1 1 c+ 1

= abc ;

a+ 1 a a a

a a+ 1 a a

a a a+ 1 a

a a a a+ 1

= 4a+ 1

60. Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificandolos pasos, el determinante:

1 b c+ a

1 a b+ c

1 c a+ b


A =

1 3 11 0 23 1 2

; B = 0 1 31 2 1

3 1 2

Comprobar que |A B| = |A| |B|.

62. Sabiendo que a b c

d e f

g h i

= 2


calcular los siguientes determinantes y enunciar las propiedades que se utilicen:3a 3b 15c

d e 5f

g h 5i

;a+ 2b c b

d+ 2e f e

g + 2h i h

63. Hallar las matrices inversas de:

A =

(3 1

8 3

); B =

2 1 20 3 14 2 1

; C = 1 1 22 0 16 1 0

64. Verificar que todas las matrices A =

(a b

c d

)tales que a + d = 1 y |A| = 1, cumplen

A3 = I. Hay alguna otra matriz que tenga esta propiedad?.


(2 3

2 1

), se llaman valores propios de dicha matriz a los valores de

, tales que el determinante de la matriz A I sea nulo. Hallar los valores propios deA. (I representa la matriz identidad o unidad).

66. Hallar la inversa de la matriz: 3 2 34 1 12 0 1

67. Resolver la ecuacin A X = B, siendo:

A =

(2 3

1 2

); B =

(3 1

2 5

)

68. Hallar una matriz X tal que: 0 1 21 1 34 1 5

X = 1 0 2 01 3 1 05 1 4 0

69. Dada la matriz:

A =

1 1 00 1 11 0 1

Estudiar si tiene inversa y en caso afirmativo, calcularla.

70. Dada la matriz:

A =

(1 1

0 1

)

Demostrar que la inversa de An es

(1 n0 1

).


71. Hallar los valores de x para los cuales, la matriz:

A =

(|x| 1

|x 2| 2

)

no tiene inversa.

72. Resolver la ecuacin matricial A X B = C, siendo:

A =

(1 00 1

); B =

(2 5

1 3

); C =

(1 0

0 1

)

73. Resolver la ecuacin matricial M X +N = P , siendo:

M =

(1 00 1

); N =

(1 2

3 4

); P =

(4 3

2 1

)

74. Calcular la matriz X en la ecuacin A3 X = B, siendo:

A =

(a b

c d

); a+ d = 1 ; |A| = 1 ; B =

(1 20 3

)

75. Encontrar una matriz X que verifique A X +B = C, siendo:

A =

1 0 01 2 01 2 4

; B =1 0 00 1 00 0 1

; C =3 0 02 5 20 1 3

76. Resolver la ecuacin matricial:5 2 00 0 1

3 1 0

X =0 1 11 0 01 1 0

77. Hallar los valores de para los que la matriz:

A =

1 1 2 13 1 1

tiene inversa. Calcular su inversa cuando = 1.

78. Hallar el rango de la matriz A segn los diferentes valores de t R, siendo:

A =

t t 02 t+ 1 t 12t 1 0 t+ 3

Para qu valores de t existe A1?.


79. Sea la matriz:

A =

x 2 0 20 x 2 00 0 x

a) Hallar los valores de x para los que A tiene inversa.

b) Hallar la matriz Y cuadrada de orden 3 que es solucin de la ecuacin matricialA Y + B = I, siendo A la matriz anterior para x = 3, I es la matriz identidad deorden 3 y B es la matriz:

B =

1 0 12 0 03 1 0


A =

0 1 21 0 21 1 3

; I =1 0 00 1 00 0 1

Determinar si es posible un valor de para el cual la matriz (AI)2 sea la matriz nula.

81. Discutir, en funcin del valor de a el rango de la matriz:

A =

a 1 00 1 3a 1 1

Para a = 2, >tiene A matriz inversa?. En caso afirmativo, calcularla.

82. Dadas las matrices

C =

(1 0 2

0 1 1

), D =

1 01 11 1

determinar si C D tiene inversa, y en ese caso, hallarla.

83. La matriz cuadrada X de orden 3 verifica la relacin:

X3 +X =

2 4 70 2 40 0 2

a) Determinar, si es posible, el rango de X.

b) Verifica alguna de las matrices A y B siguientes la relacin del enunciado?

A =

1 1 10 0 10 0 1

, B =1 1 10 1 10 0 1


84. Se dice que una matriz cuadrada A de orden n es ortogonal si su inversa A1 y sutraspuesta At coinciden. Dado un nmero real x, sea B la matriz

B =

cosx senx 0 senx cosx 00 0 1

a) Es ortogonal la matriz B?.

b) Es B2 ortogonal?.

85. Considerar las matrices:

A =

1 1 01 0 11 1 1

, B =1 1 10 1 10 0 0

a) Determinar si A y B son invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa.

b) Resolver la ecuacin matricial BA A2 = AB X.

86. El determinante 2 a 5

4 a2 13

8 a3 35

vale cero para a = 3. Comprobar esta afirmacin sin desarrollarlo e indicando las propie-dades de los determinantes que se apliquen. Determinar todos los valores de a para losque las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente depen-dientes. Justificar la respuesta.

87. Sea C la matriz, que depende de un parmetro m, dada por

C =

2 1 m1 0 12 1 1

a) Para qu valores del parmetro m no tiene inversa la matriz C?.

b) Calcular la matriz inversa de C para m = 2.

88. Consideremos las matrices

A =

(3 2

4 3

), X =

(x

y

), U =

(7

9

)

a) Hallar los valores de x e y tales que AX = U .

b) Calcular la matriz A1 y determinar A1U .


c) Encontrar los posibles valores de m para los que los vectores

A (1

m

)y

(1

m

)

son linealmente dependientes.

89. Resolver la ecuacin matricial A2 X = 2B, siendo

A =

(1 12 3

)y B =

(1 1 40 3 1

),

90. De las matrices

A =

(1 2

3 4

), B =

(1 2 3

4 5 6

), C =

(1 1

3 3

), D =

1 2 30 1 20 0 1

determina cules tienen inversa y en los casos que exista, calcula el determinante de dichasinversas.

91. Se sabe que la matriz A =

a 0 a0 1 0b 0 b

verifica que det(A) = 1 y sus columnas sonvectores perpendiculares dos a dos.

a) Calcular los valores de a y b.

b) Comprobar que para dichos valores se verifica que A1 = At, donde At denota lamatriz traspuesta de A.

92. Determinar la matriz X tal que AX 3B = 0, siendo

A =

1 0 12 3 70 1 2

y B = 1 21 02 1

93. Consideremos la matriz A =

1 0 21 1 11 1 0

a) Calcular el determinante de las matrices 2A, A31 y (A31)1.

b) Hallar la matriz A1.

94. Consideremos la matriz A =

1 1 1 0 1

a) Determinar para qu valores del parmetro la matriz A no tiene inversa.


b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de A para = 2.

95. Considerar la matriz

A =

1 2 1 1 00 1

a) Hallar los valores de para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Tomando = 1, resolver el sistema escrito en forma matricial

A

xyz

=000

96. Dada la matriz

A =

(1 2

3 4

)calcular (AtA1)2A.

97. Se considera la matriz

A =

1 0 10 b 34 1 b

a) Determinar para qu valores del parmetro b existe A1.

b) Calcular A1 para b = 2.

98. Sea

A =

senx cosx 0cosx senx 0senx+ cos x senx cosx 1

Para qu valores de x existe la matriz inversa de A?. Calcular dicha matriz inversa.

99. Determinar la matriz X que verifica la ecuacin AX = X B siendo

A =

0 0 10 0 01 0 0

y B =1 0 10 1 10 1 1

100. Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz

cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular, indicando las propiedadesutilizadas:

a) El determinante de A3.

b) El determinante de A1.

c) El determinante de 2A.


d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercerason, respectivamente, 3C1 C3, 2C3 y C2.

101. Considerar las matrices

A =

1 0 01 m 01 1 1

, B =0 1 11 0 00 0 0

y C =1 0 00 1 01 0 1

a) Para qu valores de m tiene solucin la ecuacin matricial A X + 2B = 3C?.b) Resuelve la ecuacin matricial dada para m = 1.

102. Considerar las matrices

A =

(1 0 1

0 1 2

), B =

1 00 10 0

y C =1 00 21 0

a) Calcular A B, A C, At Bt, Ct At siendo At, Bt y Ct las matrices traspuestas de

A, B y C respectivamente.

b) Razonar cules de las matrices A, B, C y A B tienen inversa y en los casos en quela respuesta sea afirmativa, hallarla.

103. Sean las matrices

A =

(2 1

3 2

), B =

(0 1 0

3 1 2

), C =

(1 2 0

1 1 4

)

a) Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcularla.

b) Determinar la matriz X que cumple que A X +C Bt = B Bt, siendo Bt la matriztranspuesta de B.

104. Sabiendo que:

|A| =

a b c

d e f

g h i

= 2calcular, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) | 3A| y |A1|.

b)

c b a

f e d

2i 2h 2g

.

c)

a b a cd e d fg h g i

.


105. Consideremos la matriz:

A =

(a 1

0 a

)siendo a un nmero real.

a) Calcular el valor de a para que

A2 A =(12 10 20

)

b) Calcular, en funcin de a, los determinantes de las matrices 2A, At, siendo At latraspuesta de A.

c) Existe algn valor de a para el cual la matriz A es simtrica?. Razona la respuesta.

106. Resolver ABtX = 2C siendo Bt la traspuesta de la matriz B y

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Matemáticas II