1. II II SUSTITUIR 2doGrado VolumenII matemticAS 2do Grado
Volumen II Libroparaelmaestro Libroparaelmaestro Libroparaelmaestro
matemticAS MAT2 LM Vol2 portada.indd 1 9/3/07 3:34:09 PM
2. Libro para el maestro matemticas II 2do Grado Volumen
II
3. Matemticas II. Libro para el maestro. Volumen II, fue
elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto
Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con
el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica
y el ILCE. SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA Josefina Vzquez Mota
SUBSECRETARA DE EDUCACIN BSICA Jos Fernando Gonzlez Snchez Direccin
General de Materiales Educativos Mara Edith Bernldez Reyes Direccin
de Desarrollo e Innovacin de Materiales Educativos Subdireccin de
Desarrollo e Innovacin de Materiales Educativos para la Educacin
Secundaria Direccin Editorial INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA
COMUNICACIN EDUCATIVA Direccin General Manuel Quintero Quintero
Coordinacin de Informtica Educativa Felipe Bracho Carpizo Direccin
Acadmica General Enna Carvajal Cantillo Coordinacin Acadmica
Armando Solares Rojas Asesora acadmica Mara Teresa Rojano Ceballos
(DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio
ILCE-Cinvestav, 2005) Autoras Ana Laura Barriendos Rodrguez, Diana
Violeta Solares Pineda Colaboracin (actividades tecnolgicas)
Deyanira Monroy Zarin Colaboradores Araceli Castillo Macas, Rafael
Durn Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia Garca Pea, Jos
Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato
Apoyo tcnico y pedaggico Mara Catalina Ortega Nez Coordinacin
editorial Sandra Hussein Domnguez Primera edicin, 2007 (ciclo
escolar 2007-2008) D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2007
Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F. ISBN 978-970-790-964-9
(obra completa) ISBN 978-968-01-1461-0 (volumen II) Impreso en
Mxico Distribucin gratuita-Prohibida su venta Servicios editoriales
Direccin de arte: Roco Mireles Gavito Diseo: Zona grca Diagramacin:
Bruno Contreras, Erandi Alvarado, Vctor M. Vilchis Enrquez
Iconografa: Cynthia Valdespino, Fernando Villafn Ilustracin:
Gustavo Crdenas, Curro Gmez, Carlos Lara, Gabriela Podest
Fotografa: Cynthia Valdespino, Fernando Villafn
4. CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA 1 Crear
un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de
manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar
recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas
rpidas Pistas didcticas Mapa-ndice Clave de logos Bloque 3
secuencia 18 Sucesiones de nmeros con signo secuencia 19 Ecuaciones
de primer grado secuencia 20 Relacin funcional secuencia 21 Los
polgonos y sus ngulos internos secuencia 22 Mosaicos y
recubrimientos secuencia 23 Las caractersticas de la lnea recta
Bloque 4 secuencia 24 Potencias y notacin cientfica secuencia 25
Tringulos congruentes secuencia 26 Puntos y rectas notables del
tringulo secuencia 27 Eventos independientes secuencia 28 Grficas
de lnea secuencia 29 Grficas formadas por rectas Bloque 5 secuencia
30 Sistemas de ecuaciones secuencia 31 Traslacin, rotacin y simetra
central secuencia 32 Eventos mutuamente excluyentes secuencia 33
Representacin grfica de sistemas de ecuaciones Examen bloque 3
Examen bloque 4 Examen bloque 5 Bibliografa 4 6 8 10 12 14 16 20 25
26 28 40 56 76 86 98 116 118 138 148 166 184 200 210 212 230 246
260 274 286 300 312 ndice
5. Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria 1 3 4
52
6. Libro para el maestro CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA
TELESECUNDARIA Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre
causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica
estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un
ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que
piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin
temor. Algunas ideas para lograr esto son: Antes de calificar una
respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las
preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es importante valorar
planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una
solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus
compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas,
analizando sus partes y detectando hasta qu punto se acerca a una
respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo, muchas veces
los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a
interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva
comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la
clase sobre un mismo problema. Los alumnos pueden aprender unos de
otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos
tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos
sern lectores fluidos, otros sabrn argumentar con detalle sus
ideas, otros dibujarn con mucha facilidad, otros harn clculos y
estimaciones con soltura. Formar equipos heterogneos propicia que
unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es
particularmente til para la realizacin de los proyectos de
Ciencias, debido a que stos integran contenidos conceptuales,
habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al
final del ao escolar. Crear un ambiente de confianza1
7. Libro para el maestro Los docentes pueden modelar las
actividades para los alumnos usando su propio trabajo para
ejemplificar alguna actividad o situacin que desea introducir al
grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o
trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede
hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto tiempo toma,
qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que tomar en cuenta
para realizarla. Al compartir su propio trabajo, tambin puede
escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar informacin y
tomar sugerencias. Mientras los alumnos trabajan en grupos, el
maestro debe estar atento a qu ocurre en los equipos: aprovechar la
oportunidad para hacer intervenciones ms directas y cercanas con
los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos
desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar
brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para
retomarlas en las discusiones generales; tambin puede participar en
algunos grupos para conocer la dinmica del trabajo en equipo.
Adems, en algunos momentos, puede orientar el dilogo de los
alumnos, si considera pertinente destacar algn contenido
conceptual. Considere tiempo para mejorar los productos y/o las
actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y
despus de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustara
modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los
alumnos para revisar algn aspecto de su trabajo. Cuando lo
considere pertinente, dles tiempo para reelaborar y sentirse ms
satisfechos con su trabajo. Cmo hacer una lluvia de ideas Cmo
coordinar la discusin de un dilema moral
8. Libro para el maestro Es importante usar diferentes prcticas
acadmicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la
lectura de distintos tipos de textos, grficas, esquemas, mapas,
frmulas e imgenes; demostrar diversas formas de expresar y
argumentar las ideas, utilizar trminos tcnicos; plantear preguntas,
elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemticas.
Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos
generales para la enseanza en el aula: Invite a los alumnos a leer
atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes frmulas,
grficas, mapas, tablas e imgenes que se les presentan en los libros
para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula,
recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qu
se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de informacin
aportan y en qu aspectos deben poner atencin para comprenderlos
mejor. Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes,
grficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la
finalidad de favorecer la construccin colectiva de significados: en
lugar de utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la
interpretacin de la informacin representada, se busca construir con
el grupo, con la participacin de todos, qu dice el texto o las
otras representaciones, qu conocemos acerca de lo que dice, qu
podemos aprender de ellos y qu nos dicen para comprender mejor
nuestro mundo. Utilice diferentes modalidades de lectura: la
lectura en voz alta consti- tuye una situacin privilegiada para
escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas
para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en
pequeos grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura
en silencio favorece la reflexin personal y la relectura de
fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin puede preparar
lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos. Ayude a los
alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver
estas actividades como pautas para verificar la comprensin de los
estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los
significados de los textos incluidos en las secuencias. Cuando los
alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos textos, puede
modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a dos o tres
estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a
todos a empezar a escribir. Incorporar estrategias de enseanza de
manera permanente CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA
TELESECUNDARIA 2
9. Libro para el maestro Invite a los alumnos a leer en voz
alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas
para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los
alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de
redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudar a escuchar cmo se
oye (y cmo se entienden) sus escritos. Propicie la valoracin y
aceptacin de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la
composicin de textos. Modele y propicie el uso de oraciones
completas, en lugar de respuestas breves y recortadas. Plantee
preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el
conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes:
algunas preguntas pueden promover el pensamiento crtico en los
estudiantes porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales,
tambin se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve
la reflexin de aspectos ticos, de salud, ambiente e
interculturales, entre otros. Busque ejemplos de uso del lenguaje
de acuerdo a la temtica o contenido acadmico: para ejemplificar
algn tipo de expresin, identifique fragmentos en los libros de las
Bibliotecas Escolares y de Aula y lalos en clase. Incorpore la
consulta puntual de materiales mltiples y la lectura de muchas
fuentes como parte de la rutina en clase. Busque ejemplos del
contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a
la temtica o contenido acadmico. Utilice la escritura como una
herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula
tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos
poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas
y dudas. Tambin se puede usar la escritura para ensayar relaciones
y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o registrar
interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior. En
matemticas, por ejemplo, el carcter de formal o acabado del
procedimiento de solucin de un problema depende del problema que
trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo
multiplicati- vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta
misma operacin es un procedimiento experto para un problema de tipo
aditivo. El conoci- miento matemtico est en cons- truccin
permanente. Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Cmo introducir
otros recursos Para hacer uso del diccionario Cmo leer un mapa Cmo
concluir un dilogo o actividad
10. 10 Libro para el maestro El dilogo e interaccin entre los
pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la
participacin con otros nos ayuda a desplegar nuestros
conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos,
reconocer nuestras dudas, or las ideas de los dems y compararlas
con las propias. Por ello, es deseable: Fomentar la interaccin en
el aula con mltiples oportunidades para opinar, explicar,
argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y
contestar: las preguntas que se responden con s o no, o las que
buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las
oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas
abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que
permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin en las
problemticas a tratar; tambin permiten explorar razonamientos
diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems, dan pie a un uso
ms extenso de la expresin oral. Crear espacios para que los alumnos
expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que estn
aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio,
desarrollo, al final) pueden abrirse dilogos, con el fin de que
contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello
enriquecer y promover la construccin compartida de conocimientos.
Fomentar la interaccin en el aula CINCO SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN
LA TELESECUNDARIA 3
11. 11Libro para el maestro Incorporar en las actividades
cotidianas los dilogos en pequeos grupos: algunos estudiantes que
no participan en un grupo grande, es ms probable que lo hagan en un
grupo ms pequeo o en parejas. Utilizar ciertos formatos de
interaccin de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos
y/o grficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos
formatos son la presentacin oral de reseas de libros, la revisin de
textos escritos por los alumnos, realizacin de debates, el trabajo
en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada
(coordinador, relator, buscador de informacin, analista, etctera).
Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que
pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los
acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresin o
propuestas de cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un
diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un
problema, entre otros. Cmo llevar a cabo un debate Cmo conducir una
revisin grupal de textos Cmo conducir un dilogo grupal Cmo
coordinar la discusin de un dilema moral
12. 12 Libro para el maestro Una parte fundamental de la
educacin secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y
tecnolgicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar
informacin y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar
y conocer diferentes materiales como parte de la preparacin de las
clases y Llevar al aula materiales complementarios: para compartir
con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo
diferentes recursos. Promover el uso constante de otros recursos
tecnolgicos y bibliogrficos disponibles en la escuela: si tienen
acceso a computadoras, puede Utilizar recursos mltiples CINCO
SUGERENCIAS PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA 4
13. 13Libro para el maestro fomentarse su uso para la
realizacin de los trabajos escolares y, de contar con conectividad,
para buscar informacin en Internet. Asimismo las colecciones de
Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la
biblioteca pblica son fuentes de informacin potenciales
importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnolgicos, como
los videos, los simuladores para computadora y otras actividades
ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de fenmenos o
procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que muchas veces
son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de alguna
actividad experimental. Cmo anotar referencias de las fuentes
utilizadas Cmo introducir otros recursos
14. 14 Libro para el maestro Las paredes del aula constituyen
un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta
rpida y constante. Por ejemplo, se puede: Crear un banco de
palabras en orden alfabtico de los trminos importantes que se estn
aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para
los estudiantes cuando tienen que resolver sus guas, escribir
pequeos textos, participar en los dilogos, etc. Dejar apuntadas
diferentes ideas aportadas por todos para resolver algn tipo de
problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qu
hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:
Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas CINCO SUGERENCIAS
PARA ENSEAR EN LA TELESECUNDARIA Tratar de inferir el significado
del texto. Buscarlo en el diccionario. Preguntar al maestro o a un
compaero. Saltarla y seguir leyendo. Qu hacer cuando no sabes qu
significa una palabra? 5
15. 15Libro para el maestro Colgar mapas, tablas, grficas,
frmulas, diagramas y listas para la consulta continua. Puede
involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y
la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una
bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes
clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar
el registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a
disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para
calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a
la memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podr
seleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo
a su estilo y sus intereses. Cmo organizar la bitcora del
grupo
16. 16 Libro para el maestro Pistas didcticas Cmo anotar
referencias de las fuentes utilizadas Cuando se utilizan textos o
imgenes que aparecen en distintos medios, se cita su procedencia,
usando alguno de los siguientes cdigos: Libro: apellido del autor,
nombre del autor, ttulo, lugar de edicin, editorial y ao de
publicacin. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar
tambin las palabras o pginas consultadas. Revista o peridico:
ttulo, nmero, lugar y fecha de publicacin, pginas consultadas.
Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisin y canal.
Cmo conducir una revisin grupal de textos individuales Solicite un
voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos
breves de los textos en el pizarrn o usando el procesador de
textos, para ejemplificar frases o expresio- nes que puedan ser
mejoradas. Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios
sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los
alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por los
comentaristas y pregunte al autor si est de acuerdo, si su texto
mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para
mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es
la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija
en el pizarrn y despus en su cuaderno. Solicite que todos relean y
revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo
reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con
facilidad ante el grupo. En cada ocasin invite a alumnos distintos
a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se
autopropongan. Siempre propicie actitudes positivas hacia la
revisin para el mejoramiento de la expresin escrita. Cmo conducir
un dilogo grupal Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos.
Anote algunas respuestas en el pizarrn, para recuperarlas en la
discusin o conclusiones. Acepte respuestas distintas; sugiera que
se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en
situaciones parecidas. Para avanzar en el dilogo, resalte las
diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos.
Por ejemplo: Juan dijo tal cosa, pero Mara piensa esta otra, qu
otras observaciones se podran hacer? Cierre cada punto y d pie al
siguiente inciso. Por ejemplo: Ya vimos las caractersticas comunes
a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un
ser vivo y un objeto inanimado. En cada ocasin otorgue la palabra a
distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano. Seale
claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los
comentarios.
17. 17Libro para el maestro Cmo hacer una lluvia de ideas
Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto,
imagen o situacin (Qu pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que
esto ocurre as? Qu les sugiere esto?). Permita y promueva que los
alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y planteen dudas.
Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de
manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. Tambin puede
anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la
pantalla. Cuando los alumnos han terminado de participar, revise
con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus
ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronolgicamente,
agruparlas por contenido, etctera). Resuma con el grupo las
principales aportaciones. Retome las participaciones cuando sea
pertinente relacionarlas con otras intervenciones. Cmo concluir un
dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una
actividad, resuma los comentarios de todos los participantes. Seale
las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones.
Recurdele al grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron. Ayude a
los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos
principales de la actividad y de sus reflexiones. Permita a los
alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos. Anote en el
pizarrn las ideas y conclusiones ms importantes. Cmo organizar la
bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos
los miembros del grupo. Se busca escribir da a da la vida del grupo
escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que
cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo
comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las
diferentes perspecti- vas acerca de los eventos centrales de la
convivencia en el aula. Cada da un alumno diferente se hace
responsable de escribir, dibujar, insertar fotografas, etctera. Es
una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de
palabras. Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog
(bitcora electrnica) del grupo que se despliegue en Internet. En la
pgina www.blogspot.com se explica cmo hacerlo.
18. 18 Libro para el maestro Cmo coordinar la discusin de un
dilema moral Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente
y respondan las preguntas. Indique que los comentarios se harn ms
adelante. Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntndoles,
por qu es un dilema?, cul es el tema central?, qu habr pensado el
personaje en cuestin? Invite a los alumnos a intercambiar ideas en
plenaria. Explique previamente dos reglas bsicas: a) Debatir
argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso
de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos
a favor y en contra de cada postura. A medida que el grupo
identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el
pizarrn e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como:
Cul es el mejor argumento a favor de X postura y por qu? Habra
otros argumentos?, cules? Para cerrar, invite al grupo a redefinir
o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos
dados, y a buscar salidas diversas y ms satisfactorias al dilema.
Cmo introducir otros recursos Explore y lea con anticipacin los
materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con el
grupo. Presente el material (libro, revista, artculo de peridico,
mapa, imagen, etctera) al grupo, comentando qu tipo de material es,
el autor o artista, el ao. Lea o mustrelo al grupo. Converse con
los alumnos acerca de la relacin de este material con el trabajo
que se est desarrollando. Propicie la reflexin sobre la relacin del
material presentado con la actividad que se realiza o el contenido
que se trabaja. Invtelos a revisar el material y conocerlo ms a
detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material
relevante para los temas que estn abordando en el curso. Cmo llevar
a cabo un debate Antes de empezar, solicite a dos alumnos que
desempeen las funciones de moderador y de secretario, explicndoles
en qu consiste su labor. Defina con claridad los aspectos del tema
seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cul
o cules son los puntos o aspectos que se estn confrontando. El
moderador anota en una lista los nombres de quienes desean
participar e inicia la primera ronda de participaciones para que
cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del
tema. El secretario toma notas de las participaciones poniendo
nfasis en las ideas o conceptos que aportan. Al agotar la lista de
participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios.
De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista
de participaciones; o bien, al final resume las principales
conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de
ellas. Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador
les recuerde a los participan- tes cules son los puntos centrales
del debate, para evitar distracciones. Al final, el secretario lee
sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de
vista.
19. 19Libro para el maestro Cmo leer un mapa Pida a los alumnos
que identifiquen el ttulo del mapa para saber qu tipo de informacin
representa. Si se trata de un mapa histrico, solicite a los
estudiantes que identifiquen de cundo data y si representa hechos o
procesos del pasado. Revise con los alumnos las referencias o
simbologa. Seale claramente cul es la escala empleada en el mapa.
Revise con el grupo la simbologa utilizada y su explicacin. Comente
con el grupo la informacin que se puede obtener a partir del mapa o
relacionndolo con otras informaciones previas. Interprete la
orientacin a partir de leer la rosa de los vientos. Cmo conducir
una revisin grupal de textos colectivos Solicite a un equipo
voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para
comentarlo. Copie fragmen- tos breves del texto en el pizarrn para
ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas. Acepte
dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las
pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas
y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su texto mejora con
las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita
que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se
acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrn y
luego en su cuaderno. Solicite que en cada equipo relean y revisen
sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con
claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo.
En cada ocasin, invite a equipos distintos a que revisen y comenten
sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas
hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita. Cmo
apoyar la elaboracin de resmenes Elija el texto que se va a resumir
y lalo con el grupo. Solicite participaciones a partir de las
preguntas: cul consideran que es la idea principal de cada prrafo?,
cules sern las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones
de los alumnos, escriba algunas en el pizarrn o con el procesador
de textos y despus proponga usted sus respuestas a las mismas
preguntas. A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrn
cmo retomar la idea principal de cada prrafo. Puede incluir
definiciones textuales, vocabulario tcnico y ejemplos del texto. De
ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resmenes elaborados
por usted o por otros estudiantes. Para hacer uso del diccionario
Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o
no comprenden. Bsquenlas en el diccionario en orden alfabtico. Lea
el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. Tambin
pueden hacer uso de sinnimos. Relea las oraciones que contienen las
palabras consultadas para comprenderlas ampliamente. Si an quedan
dudas, busque la palabra en un libro especializado.
25. 25Libro para el maestro Clave de logos Trabajo individual
En parejas En equipos Todo el grupo Conexin con otras asignaturas
Glosario Consulta otros materiales CD de recursos Sitios de
Internet Bibliotecas Escolares y de Aula Video Programa integrador
Edusat Interactivo Audiotexto Aula de Medios Otros Textos
28. 28 Libro para el maestro 12 secuencia 18 En esta secuencia
construirs sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla
dada y obtendrs la regla que genera una sucesin de nmeros con
signo. CUL ES LA REGLA? Para empezar Sucesiones de nmeros En la
secuencia 3 de tu libro Matemticas i, volumen i trabajaste con
sucesiones de figuras y con sucesiones de nmeros. En esta
secuencia, continuars estudiando las su- cesiones de nmeros y las
reglas que permiten obtener cada uno de sus trminos. Consideremos
lo siguiente Completa los trminos que faltan en la siguiente
sucesin de nmeros: 5, 2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, ,
a) Escribe una regla para obtener cada uno de los trminos de la
sucesin. b) Cul es el trmino que est en el lugar 30? c) Qu lugar
ocupa el nmero 121 en esta sucesin? Comparen sus respuestas.
Comenten cmo hicieron para encontrar la regla. Manos a la obra i.
Seala cules de las siguientes sucesiones se pueden obtener
utilizando la regla su- mar tres al trmino anterior. 15, 11, 7, 3,
1, 5, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 8, 3, 2, 7, 12, 17,
7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 14, 6, 2, 10, 18, 26, 12, 9, 6, 3, 0, 3,
SESin 1 Sucesiones de nmeros con signo MAT2 B3 S18.indd 12 9/10/07
12:28:21 PM Propsitos de la sesin. Obtener la regla verbal que
genera una sucesin de nmeros con signo en la que el valor de los
trminos va aumentando; en la regla se dice cunto hay que sumar a
cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino de
la sucesin. Obtener la sucesin a partir de una regla de ese tipo.
Sugerencia didctica. Si lo considera conveniente recuerde a los
alumnos a qu se refieren las expresiones trmino y lugar del trmino.
Puede preguntarles Cul es el primer trmino de la sucesin y el
segundo?, En qu lugar de la sucesin est el trmino 7 y el 25?
Descripcin del video. Se hace una introduc- cin al tema con la
presentacin y descripcin de sucesiones famosas a lo largo de la
historia tales como la sucesin de Fibonacci y la dada por Gauss
para obtener la suma de los primeros 100 nmeros naturales. Propsito
de la sesin en el aula de medios. Hallar los nmeros que faltan para
completar una tabla que contiene nmeros con signo. Si se dispone de
aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la
sesin 1. Propsito de la actividad. La sucesin es parecida a las que
se trabajaron en primero, la diferencia es que ahora se incluyen
trminos negativos. Se espera que los alumnos logren expresar la
regla de manera verbal. Posibles procedimientos. Es relativamente
sencillo que los alumnos logren identificar que los trminos van
aumentando de 3 en 3; es posible que identifiquen esta regularidad
primero con los nmeros positivos y que despus la apliquen a los
nmeros negativos con los que inicia la sucesin. Para formular la
regla general es probable que la expresen verbalmente por ejemplo:
van de tres en tres, aumenta de tres en tres y empieza en 5 , Se
suma tres al trmino anterior. La regla algebraica es 3n 8, sin
embargo es poco probable que los alumnos la expresen de esa manera;
en caso de que alguno llegara a formularla, invtelo a que la
compare con las reglas verbales de otros compaeros. Para encontrar
el trmino en el lugar 30 pueden hacer la lista con los primeros 30
trminos. Tambin es probable que algunos alumnos continen la lista
hasta los primeros 43 trminos para determinar que lugar ocupa el
nmero 121. Durante el intercambio grupal motive a los alumnos para
que identifiquen una o ms reglas que permitan obtener la sucesin.
Propsito del interactivo. Explorar diferentes sucesiones numricas.
Que los alumnos analicen y completen diferentes sucesiones
numricas. Propsito de las actividades I y II. Se espera que los
alumnos identifiquen que, con una regla verbal del tipo sumar tres
al trmino anterior o sumar cinco al trmino anterior, se pueden
obtener muchas sucesiones distintas, pero si se indica cul es el
primer trmino, entonces slo se obtiene una sucesin. Respuestas. 3,
6, 9, 12, 15, 18, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 12, 9,
6, 3, 0, 3, 1 13 19 22 34 40 Van de tres en tres, Aumenta de tres
en tres y empieza en -5 82 El lugar 43
29. 29Libro para el maestro 13 IIMATEMTICAS II. Responde las
preguntas: a) Con la regla sumar cinco al trmino anterior, podemos
obtener muchas sucesio- nes o una sola sucesin? b) Encuentra una
sucesin que se obtenga con esta regla. c) Una regla ms precisa para
obtener la sucesin que escribiste es sumar cinco al trmino anterior
y el primer trmino es d) Por qu crees que esta regla sea ms
precisa? Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre
dos trminos consecuti- vos de una sucesin se obtiene al restar a un
trmino el trmino anterior. Cul es la diferencia entre dos trminos
consecutivos de las sucesiones que encontraron en el inciso b)? .
Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos
consecutivos sea 7. III.Completa lo que falta en las siguientes
expresiones y responde las preguntas: a) Una regla para obtener la
sucesin 5, 11, 17, 23, 29, 35, es sumar seis al tr- mino anterior y
el primer trmino es b) Cul es la diferencia entre dos trminos
consecutivos de la sucesin? c) Una regla para obtener la sucesin
12, 10, 8, 6, 4, 2, es sumar al trmino anterior y el primer trmino
es d) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la
sucesin? e) Escribe la sucesin que se obtiene con la regla sumar
cinco al trmino anterior y el primer trmino es 14: f) Cul es la
diferencia entre dos trminos consecutivos de esa sucesin? A lo que
llegamos En las sucesiones en las que la diferencia entre dos
trminos consecutivos es constante, cada trmino se obtiene sumando
una misma cantidad al trmino anterior. La regla verbal para obtener
este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cunto hay que
sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer
trmino. Por ejemplo: En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, MAT2 B3
S18.indd 13 9/10/07 12:28:22 PM Sugerencia didctica. Comente con
sus alumnos a qu se refiere la expresin La diferencia entre dos
trminos consecutivos de una sucesin; si lo considera conveniente
pida a algunos alumnos que pasen al pizarrn a hacer la resta para
encontrar la diferencia en una sucesin. La diferencia entre dos
trminos les servir, posteriormente, para encontrar las reglas
algebraicas y para distinguir si una sucesin es creciente o
decreciente. Propsitos de la actividad. Que obtengan la diferencia
entre dos trminos consecutivos de cada sucesin; identifiquen la
regla verbal que sirve para obtener de manera nica una sucesin, y
que obtengan una sucesin a partir de la regla verbal. Respuestas:
a)Sumar seis al trmino anterior y el primer trmino es 5. b)La
diferencia es 6. c)Sumar dos al trmino anterior y el primer trmino
es 12. d)La diferencia es 2. e)14, 9, 4, 1 , 6, 11, f) La
diferencia es 5. Sugerencia didctica. Lea esta informacin junto con
sus alumnos apoyndose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente
puede pedir a los alumnos que propongan otra sucesin numrica como
ejemplo y que den la regla verbal para obtener esta sucesin. Eje
Sentido numrico y pensamiento algebraico. Tema Significado y uso de
las literales. Antecedentes En la secuencia 3 de Matemticas I,
volumen I, los alumnos aprendieron a representar sucesiones
numricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa; en
la secuencia 4 del mismo libro aprendieron a interpretar las letras
como nmeros generales con los que es posible operar. En Matemticas
II se retoman las sucesiones numricas con la finalidad de que los
alumnos continen buscando regularidades, y de que aprendan a
formularlas, y a argumentar su validez. En esta ocasin las
sucesiones incluyen nmeros con signo. Propsitos de la secuencia
Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de
nmeros con signo. Sesin Propsitos de la sesin Recursos 1 Cul es la
regla? Obtener la regla verbal que genera una sucesin de nmeros con
signo en la que el valor de los trminos va aumentando; en la regla
se dice cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente
y cul es el primer trmino de la sucesin. Obtener la sucesin a
partir de una regla de ese tipo. Video Sucesiones de nmeros
Interactivo Sucesiones de nmeros con signo Aula de medios
Descripcin de programas (Calculadora) 2 Nmeros que crecen Construir
sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an
+ b, con a0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de
nmeros con signo de este tipo. Interactivo Sucesiones de nmeros con
signo 3 De mayor a menor Construir sucesiones de nmeros con signo a
partir de una regla de la forma an + b, con a0. Obtener la regla
algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo.
Interactivo Sucesiones geomtricas con Logo Programa integrador
13
30. 30 Libro para el maestro 14 secuencia 18 La diferencia
entre dos trminos consecutivos se calcula al restar a un trmino el
trmi- no anterior, por ejemplo: 7 2 = 5. La regla verbal es: sumar
5 al trmino anterior y el primer trmino es 8. Si no se indica cul
es el primer trmino, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-
do la misma regla. iV.Una regla para obtener la sucesin 5, 2, 1, 4,
7, 10, (es la misma que est en el apartado Consideremos lo
siguiente) es sumar al trmino anterior y el primer trmino es a) Cul
es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin? b)
Completa la siguiente tabla con algunos de los trminos de la
sucesin. Lugar del trmino Trmino de la sucesin 1 5 2 2 3 1 4 4 5 7
10 15 20 30 40 c) Para pasar del trmino en el lugar 30 al trmino en
el lugar 40, se avanza 10 lu- gares. Cunto cambia el valor del
trmino? d) Cul es el trmino que est en el lugar 50? e) Cul es el
trmino que est en el lugar 100? Comparen sus respuestas y comenten
cmo hicieron para encontrar todos los trminos. MAT2 B3 S18.indd 14
9/10/07 12:28:24 PM Propsito de la actividad. Que amplen la sucesin
que trabajaron en el apartado Consideremos lo siguiente con la
finalidad de que identifiquen la dificultad de encontrar cualquier
trmino utilizando slo una regla verbal. Posibles procedimientos.
Pueden observar que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del trmino
en el lugar 5 al trmino en el lugar 10, el valor del trmino aumenta
15 y si se avanza 10 lugares, el valor del trmino aumenta 30.
Respuestas. c)Aumenta 30. d)142. e)292. 22 37 52 82 112 3 3 5
31. 31Libro para el maestro Propsito de la actividad. Que los
alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen
sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos
es la misma. 15 IIMATEMTICAS Lo que aprendimos Responde las
preguntas para la siguiente sucesin: 23, 16, 9, 2, 5, 12,19, ... a)
Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?
b) Cul es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los
trminos de la suce- sin? nMEROS QUE CRECEn Para empezar En la sesin
anterior encontraste la regla verbal para una sucesin de nmeros con
signo diciendo cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el
siguiente y cul es el primer trmino. En esta sesin obtendrs la
regla algebraica utilizando el lugar que ocu- pa cada trmino. Para
la siguiente sucesin de nmeros: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,
a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la
sucesin? b) Sealen con cules de las siguientes reglas podemos
obtener los trminos de la sucesin. La n indica el lugar del trmino.
2n + 4. Sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2. 4n
+ 2. 4n 2. c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son
equivalentes. Consideremos lo siguiente Completa la siguiente tabla
para encontrar los trminos que se indican en cada sucesin: Lugar
del trmino Reglas algebraicas 3n 3n + 1 3n 7 3n 10 3n 16 1 2 3 4 10
100 115 Recuerden que: La diferencia entre dos trminos consecutivos
se calcula al restar a un trmino el trmino anterior. Cuando hay
varias reglas para obtener la misma sucesin de nmeros, se dice que
son reglas equivalentes. SESin 2 MAT2 B3 S18.indd 15 9/10/07
12:28:26 PM Respuestas. a)La diferencia es 7. b)La regla verbal es:
sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 23. Propsitos de
la sesin. Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una
regla de la forma an + b, con a0. Obtener la regla algebraica que
genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo. Propsito de la
actividad. Proponer reglas verbales y algebraicas en las que
utilizan el lugar del trmino . Respuestas. a)La diferencia es 4.
b)Hay dos respuestas correctas: 4n 2 y sumar cuatro al trmino
anterior y el primer trmino es 2. c)Las reglas equivalentes son
sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2 y 4n 2.
Sugerencia didctica. En el inciso b) se espera que los alumnos
identifiquen las dos reglas correctas, en caso de que slo
identifiquen una de ellas usted puede animarlos a buscar si hay
otra ms. Si eligen una regla incorrecta, durante la confrontacin
grupal pdales que identifiquen los primeros trminos de la sucesin
que se obtienen con esa regla. Para el inciso c) invtelos a que
justifiquen por qu consideran que tales reglas son equivalentes.
Propsito del Interactivo. Que los alumnos identifiquen que con
distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia
entre dos trminos consecutivos es la misma. 3 4 4 7 13 6 7 1 4 10 9
10 2 1 7 12 13 5 2 4 30 31 23 20 14 300 301 293 290 284 345 346 338
335 329
32. 32 Libro para el maestro 16 secuencia 18 a) Cul es la
diferencia entre dos trminos consecutivos en cada una de estas
sucesiones? b) Para la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, Cul es la regla
algebraica que nos permite en- contrar el trmino que est en el
lugar n? c) Aparece en esta sucesin el nmero 278? Comparen sus
respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar la regla. Manos a
la obra i. Responde las preguntas sobre la sucesin que se obtiene
con la regla 3n 7. a) Una regla equivalente para obtener esta
sucesin es sumar al trmino anterior y el primer trmino es b) Cul es
el trmino que est en el lugar 40? c) Cul de las dos reglas
utilizaste para encontrar ese trmino? d) Cul es el trmino que est
en el lugar 48? ii. Responde las preguntas sobre la sucesin 1, 4,
7, 10, 13, 16, a) Cul es la diferencia entre dos trminos
consecutivos de esta sucesin? b) Observa las dos sucesiones 3, 6,
9, 12, 15, 18, 1, 4, 7, 10, 13, 16, Cul es la regla algebraica para
obtener la primera sucesin (3, 6, 9, 12, 15, 18, )? c) Subraya la
operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la prime-
ra sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin:
Restar 2 Sumar 2 d) Cul es la regla algebraica para obtener la
sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, ? MAT2 B3 S18.indd 16 9/10/07 12:28:28
PM Respuestas. a)La diferencia es 3. b)3n 8. c)El nmero 278 no
aparece en la sucesin. Sugerencia didctica. Si observa que algunos
alumnos tienen dificultades para encontrar la regla de la sucesin
5, 2, 1, 4, 7, ... puede sugerirles que intenten encontrar los
trminos de otras sucesiones que tengan reglas en las que la n se
multiplica por 3. Si tienen dificultades para determinar si el
nmero 278 est en la sucesin, usted puede sugerirles que obtengan
algunos trminos de la sucesin que se acerquen a 300. Un buen
procedimiento es encontrar el trmino en el lugar 100 (es 292) y
observar que 289, 286, 283, 280 y 277 s estn en la sucesin, pero
278 no. Otra forma de resolver, es explorar si 278 resulta de la
aplicacin de la regla 3n 8: a 278 se le suma 8, y el resultado se
divide entre 3. Este procedimiento implica despejar a n; no se
espera que los alumnos lo resuelvan de esta manera, pero si algunos
de ellos se acercan a este procedimiento, usted puede ayudarles
precisando las relaciones entre los datos. Sugerencia didctica. Es
importante que los alumnos comenten cmo cambian las sucesiones
cuando cambia la regla, para ello usted puede preguntar cmo cambia
el valor del primer trmino en cada una de las sucesiones. Propsito
de la actividad. Que comparen la utilidad de los dos tipos de
reglas (la verbal y la algebraica) para encontrar cualquier trmino
en la sucesin. Respuestas. a)Sumar 3 al trmino anterior y el primer
trmino es 4. b)113. d)137. Sugerencia didctica. Es probable que
algunos alumnos consideren que la regla algebraica es ms difcil de
utilizar que la regla verbal; si fuera el caso usted puede
preguntarles cmo utilizaran cada una de las reglas para encontrar
el trmino que est en el lugar 1350. Con este ejemplo se espera que
los alumnos identifiquen la utilidad de la regla algebraica.
Propsito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma de
establecer la regla algebraica de una sucesin. Se comparan los
trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 3n con los de la
otra sucesin (1, 4, 7, 10, 13, 16, ), esto se hace con la finalidad
de establecer la operacin que permite pasar de un trmino de la
primera sucesin, al trmino que le corresponde en la segunda sucesin
y de esta manera encontrar la regla algebraica para obtener la
segunda sucesin. En este caso la operacin que se debe hacer es
restar 2 y entonces la regla algebraica para obtener la sucesin 1,
4, 7, 10, 13, 16, es 3n 2. Es posible que algunos alumnos hayan
encontrado sus propios procedimientos para obtener la regla
algebraica. Se sugiere que pida a esos alumnos que pasen al pizarrn
a explicar sus procedimientos. Respuestas. a)La diferencia es 3.
b)3n. c)Restar 2. d)3n 2.
33. 33Libro para el maestro 17 IIMATEMTICAS III.Observa el
diagrama y responde las preguntas. 5, 10, 15, 20, 25, 30, 6, 11,
16, 21, 26, 31, a) Cul es la regla algebraica para obtener la
primera sucesin? b) Cul es la operacin que debemos hacer para pasar
de cada trmino en la prime- ra sucesin a su correspondiente trmino
en la segunda sucesin? c) Cul es la regla algebraica para obtener
la sucesin 6, 11, 16, 21, 26, 31, ? d) Cul es la regla algebraica
para obtener la sucesin 15, 10, 5, 0, 5, 10, ? Comparen sus
respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar las reglas
algebraicas y encuentren la regla verbal y la regla algebraica para
obtener la sucesin 11, 6, 1, 4, 9, 14, A lo que llegamos En las
sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecu-
tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica
multiplican- do el lugar del trmino por la diferencia de los
trminos consecutivos y sumando o restando una constante adecuada.
Por ejemplo: En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , la diferencia es
de 5. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada
trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 5n, a su
correspondiente trmino en la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , debemos
restar 13. Entonces la regla para obtener la sucesin 8, 3, 2, 7,
12, 17, es 5n 13. MAT2 B3 S18.indd 17 9/10/07 12:28:31 PM Propsito
de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesin que se obtiene
con la regla 5n con dos sucesiones en las que la diferencia entre
dos trminos consecutivos es 5, de esta manera lograrn obtener la
regla algebraica de cada sucesin. En la confrontacin grupal usted
puede pedir a un alumno que pase al pizarrn a hacer el diagrama
para comparar la sucesin que se obtiene con la regla 5n con la
sucesin 11, 6, 1, 4, 9, 14, Respuestas. a)5n. b)Sumar 1. c)5n + 1.
d)5n 20. Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus
alumnos apoyndose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente
usted puede proponer otra sucesin para que identifiquen la
diferencia entre los trminos consecutivos y para que establezcan la
regla algebraica.
34. 34 Libro para el maestro Respuestas. a)492. b)No. c)S.
d)142. e)Est en el lugar 28. Una forma de averiguar si un nmero est
en una sucesin determinada, es por medio de estimacio- nes: a
partir de un trmino que ya se conoce de la sucesin y que sea
cercano al trmino propuesto. Para obtener el lugar de un trmino, se
puede proceder tambin por aproximaciones; otra forma es recurrir a
la misma regla para despejar a n, por ejemplo, para encontrar el
lugar del trmino del nmero 132 a partir de la regla 5n 8, se suma 8
y luego se divide entre 5. Sugerencia didctica. La sucesin que se
obtiene con la regla del inciso c) tiene nmeros decimales; es
importante que los alumnos practiquen el manejo de estos nmeros al
obtener la sucesin. Respuestas. a)19, 11, 3, 5, 13, 21, 29, 37, 45,
53, b)18, 11, 4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, c)2.5, 0.5, 1.5, 3.5,
5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5, 18 secuencia 18 iV.Para la sucesin
que se obtiene con la regla 5n 8: a) Cul es el trmino que est en el
lugar 100? b) El nmero 500 est en la sucesin? c) El nmero 497 est
en la sucesin? d) Cul es el trmino que est en el lugar 30? e) En
que lugar de trmino est el nmero 132? Comparen sus respuestas. Lo
que aprendimos 1. Encuentra los primeros 10 trminos de las
sucesiones que se obtienen con las si- guientes reglas: a) Sumar 8
al trmino anterior y el primer trmino es 19 b) 7n 25 c) 2n 4.5 2.
Responde las preguntas para la sucesin 23, 16, 9, 2, 5, 12,19, a)
Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?
b) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin? c) La regla
verbal para obtener esta sucesin es sumar al trmino an- terior y el
primer trmino es d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 78? e) En
qu lugar de trmino est el nmero 201? 3. Responde a las preguntas
sobre la siguiente sucesin: 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, a)
Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?
b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesin. c) Cul es
el trmino que ocupa el lugar 25 en la sucesin? d) Cul es el trmino
que ocupa el lugar 278? e) Qu lugar ocupa el nmero 101.5 en esta
sucesin? MAT2 B3 S18.indd 18 9/10/07 12:28:31 PM Propsito de la
actividad. Que los alumnos trabajen con sucesiones en las que la
diferencia entre dos trminos sucesivos es 1, por lo que en la regla
algebraica la n aparece sin coeficiente, al estar multiplicada por
1. Respuestas. a)La diferencia es 1. b)n 3.5 c)21.5 d)274.5 e)El
lugar 105. Respuestas. a)La diferencia es 7. b)7n 30. c)Sumar 7 al
trmino anterior y el primer trmino es 23. d)516. e)En el lugar
37.
35. 35Libro para el maestro 19 IIMATEMTICAS 4. En la columna de
la izquierda se presentan los primeros trminos de algunas sucesio-
nes y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas
columnas. Trminos de la sucesin Reglas ( ) 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4,
( ) 7, 3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, ( ) 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22, ( )
11, 7 3, 1, 5, 9, 13, 17, ( ) 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24, ( ) 8, 6,
4, 2, 0, 2, 4, 6, (a) 5n 13 (b) 2n 12 (c) 4n 15 (d) 2n 8 (e) 4n 7
(f) 5n 16 (g) 4n 11 (h) 5n 18 (i) 2n 10 DE MAYOR A MEnOR Para
empezar En la sesin anterior, encontraste reglas para sucesiones en
las que los trminos iban au- mentando. Ahora trabajars con
sucesiones en las que los trminos van disminuyendo. Encuentren los
primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 4n.
Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?
Consideremos lo siguiente Completa la siguiente sucesin de nmeros:
6, 2, , , 10, , 18, 22, , , , a) Cul es la diferencia entre dos
trminos consecutivos de la sucesin? b) Escribe una regla para
encontrar el trmino en el lugar n. Comparen sus respuestas.
Comenten cmo hicieron para encontrar la regla y la diferen- cia
entre dos trminos consecutivos. SESin 3 MAT2 B3 S18.indd 19 9/10/07
12:28:32 PM Propsitos de la sesin. Construir sucesiones de nmeros
con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a0. Obtener
la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de
este tipo. Propsito de la actividad. Que los alumnos exploren una
regla algebraica en la que la n est multiplicada por un nmero
negativo. Se espera que los alumnos generen la sucesin numrica que
se obtiene al aplicar la regla 4n; esta sucesin ser importante para
elaborar, posteriormente, la regla que permite encontrar el trmino
en el lugar n. Sugerencia didctica. Para obtener la diferencia
usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrn a realizar la
operacin: (8) (4) = (8) + 4 = 4 De esta manera, adems, podrn
recordar cmo se hace una resta de nmeros negativos. b g h c f i
Propsito de la actividad. Proponer la regla algebraica para obtener
una sucesin en la que los trminos van disminuyendo. Posible
respuesta. Algunos alumnos podran escribir Restar 4 al trmino
anterior y el primer trmino es 6. Si bien esta regla es correcta,
lo que se pide es el trmino en el lugar n y esto debe hacerse con
una regla algebraica; no obstante esa regla verbal es aceptable por
el momento. Posibles errores. Algunos alumnos podran considerar que
la diferencia es de 4 y que la regla es 4n + 2. Otros ms podran
considerar que la diferencia es de 4, pero pueden proponer reglas
incorrectas: 4n + 2 o 4n 2. Durante la confrontacin grupal puede
pedirles que pasen al pizarrn a escribir los primeros trminos de la
sucesin que se obtienen con estas reglas e invitarlos a que
discutan cules reglas son vlidas y cules no. Respuestas. 6, 2, 2,
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, a)4. b)4n + 10. 4, 8, 12, 16, 20,
24, 28, 32, 36, 40 4
36. 36 Libro para el maestro Propsito de la actividad.
Identificar que hay tres reglas posibles para obtener esta sucesin:
dos reglas verbales y la regla algebraica. Durante la sesin se
utilizan reglas verbales del tipo sumar (4) al trmino anterior y el
primer trmino es, para que identifique que, en estas sucesiones, la
diferencia entre dos trminos consecutivos es 4 y en la regla
algebraica se multiplica la n por 4. Respuestas. Restar 4 al trmino
anterior y el primer trmino es 6. 4n + 10. Sumar (4) al trmino
anterior y el primer trmino es 6. Propsito de la actividad. Que los
alumnos expresen la regla verbal para obtener una sucesin en la que
los trminos van disminuyen- do y que encuentren la diferencia entre
dos trminos consecutivos de esa sucesin. Respuestas. a)Van
aumentando. b)4. c)Van disminuyendo. d)Restar 4 al trmino anterior
y el primer trmino es 14. e)Sumar 4 al trmino anterior y el primer
trmino es 14. f) 10 14 = 4. 20 secuencia 18 Manos a la obra i.
Seala con cules de las siguientes reglas podemos obtener cada uno
de los trminos de la sucesin. Sumar 4 al trmino anterior y el
primer trmino es 6. Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino
es 6. 4n 2 4n + 10 4n + 2 Sumar (4) al trmino anterior y el primer
trmino es 6. ii. Responde las preguntas: a) En la sucesin 7, 3, 1,
5, 9, los trminos van aumentando o disminuyendo? b) Cul es la
diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin? c) En la
sucesin 14, 10, 6, 2, 2, los trminos van aumentando o disminuyendo?
d) Una regla verbal para obtener esta ltima sucesin es restar al
trmino anterior y el primer trmino es e) La sucesin tambin la
podemos obtener con la regla sumar al trmino anterior y el primer
trmino es f) Para calcular la diferencia entre dos trminos
consecutivos, haz la resta del segun- do trmino menos el primer
trmino: = iii.Encuentra los primeros diez trminos de las sucesiones
que se obtienen con las reglas indicadas. Lugar del trmino Regla
algebraica 4n + 6 4n 2 4n 5 1 (4) 1 + 6 = (4) 1 2 = (4) 1 5 = 2 (4)
2 + 6 = (4) 2 2 = (4) 2 5 = 3 4 5 6 7 8 9 10 Recuerda que: Las
multiplicaciones y divisiones se hacen antes que las sumas y
restas. MAT2 B3 S18.indd 20 9/10/07 12:28:35 PM 2 6 9 2 10 13 6 14
17 10 18 21 14 22 25 18 26 29 22 30 33 26 34 37 30 38 41 34 42 45
Propsito de la actividad. Que los alumnos apliquen reglas
algebraicas en las que la n est multiplicada por un nmero
negativo.
37. 37Libro para el maestro 21 IIMATEMTICAS a) Cul es la
diferencia entre dos trminos consecutivos de estas sucesiones? b)
En estas sucesiones, los trminos van aumentando o disminuyendo?
Comparen sus respuestas. IV.Responde las preguntas sobre la sucesin
7, 3, 1, 5, 9, 13, a) Cul es la diferencia entre dos trminos
consecutivos de esta sucesin? b) En la regla algebraica para
obtener cada uno de los trminos de la sucesin, debe- mos
multiplicar la n por c) Observa las dos sucesiones: 4, 8, 12, 16,
20, 24, 7, 3, 1, 5, 9, 13, Cul es la operacin que debemos hacer
para pasar de cada trmino en la prime- ra sucesin a su
correspondiente trmino en la segunda sucesin? d) Cul es la regla
algebraica para obtener la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13, ? Comparen
sus respuestas. Encuentren la regla algebraica para obtener la
sucesin 11, 15, 19, 23, 27, 31, A lo que llegamos Para las
sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos
es una constante: Si la constante es positiva, los trminos van
aumentando. Si la constante es negativa, los trminos van
disminuyendo. En estas sucesiones podemos dar la regla algebraica
multiplicando el lugar del trmino por la diferencia de los trminos
consecutivos y sumando o restando una constante adecuada. Por
ejemplo: En la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ., la diferencia es
de 3. Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada
trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 3n, a su
correspondiente trmino en la sucesin 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ,
debemos sumar 1. Entonces la regla para obtener la sucesin 2, 5, 8,
11, 14, 17, 20, es 3n + 1. MAT2 B3 S18.indd 21 9/10/07 12:28:38 PM
Respuestas. a)La diferencia es 4. b)Van disminuyendo. Propsito de
la actividad. Que los alumnos comparen la sucesin que se obtiene
con la regla 4n con la sucesin 7, 3, 1, 5, 9, 13, ..., para obtener
la regla algebraica de la sucesin que se les presenta. Respuestas.
a)4. b)4. c)Sumar 11. d)4n + 11. Respuesta. La regla es 4n 7.
Sugerencia didctica. Pida a los alumnos que regresen al problema
del apartado Considere- mos lo siguiente y que apliquen el mismo
procedimiento que se plantea en la actividad IV para verificar si
la regla que propusieron es correcta o no. Sugerencia didctica. Lea
y comente esta informacin con los alumnos, posteriormente puede
pedirles que escriban en sus cuadernos otras sucesiones y sus
reglas algebraicas en las que la diferencia sea negativa.
38. 38 Libro para el maestro Respuestas. a)23, 17, 11, 5, 1, 7,
13, 19, 25, 31. b)6n + 29. c)7, 2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38.
d)S son equivalentes. Sugerencia didctica. Si los alumnos tienen
dificultades usted puede pedirles que obtengan los primeros trminos
de cada sucesin. Una manera algebraica de ver que son equivalente
es transformando la segunda expresin en una suma: 23 6n = 23 + (6n)
= 6n + 23. Respuesta. Son equivalentes. Sugerencia didctica. Usted
puede pedirles a dos alumnos que pasen al pizarrn a obtener los
primeros trminos de cada sucesin. Otra manera de verlo es: 7 n = 7
+ (n) = n + 7. Respuestas. a)Van aumentando. b)5. c)5n 17. d)Sumar
5 al trmino anterior y el primer trmino es 12. e)Van disminuyendo.
f) 5. g)5n. h)Sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 5.
22 secuencia 18 V. Responde las preguntas. a) Encuentra los
primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla sumar
(6) al trmino anterior y el primer trmino es 23. b) Cul es la regla
algebraica para obtener la sucesin? c) Cules son los primeros 10
trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 5n + 12? d) Son
equivalentes las reglas 6n + 23 y 23 6n? Explica tu respuesta:
Comparen sus respuestas. Comenten si son equivalentes las reglas 7
n y n + 7. Lo que aprendimos 1. Responde las preguntas. a) En la
sucesin 12, 7, 2, 3, 8, 13, los trminos van aumentando o disminu-
yendo? b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en la
sucesin? c) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin? d)
Otra regla para obtener la sucesin es sumar al trmino anterior y el
primer trmino es e) En la sucesin 5, 10, 15, 20, 25, 30, los
trminos van aumentando o disminuyendo? f) Cul es la diferencia
entre dos trminos consecutivos en la sucesin? g) Cul es la regla
algebraica para obtener la sucesin? h) Otra regla para obtener la
sucesin es sumar al trmino anterior y el primer trmino es 2.
Encuentra los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con
la regla n 18. Indica la diferencia entre dos trminos consecutivos
de la sucesin. MAT2 B3 S18.indd 22 9/10/07 12:28:38 PM Integrar al
portafolios. Considere los problemas 2, 3 y 4 para evaluar los
aprendizajes de los alumnos. Respuestas problema 2. Primeros 10
trminos de la sucesin: 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28. La
diferencia entre dos trminos sucesivos es 1.
39. 39Libro para el maestro 23 IIMATEMTICAS 3. Encuentra una
regla para las siguientes sucesiones: a) Que el segundo trmino sea
7 y el cuarto trmino sea 19. b) Que el tercer trmino sea 1 y el
sexto trmino sea 14. 4. En la columna de la izquierda se presentan
algunas reglas algebraicas y en la colum- na de la derecha, algunas
reglas verbales. Relaciona las columnas con las reglas equi-
valentes. Regla algebraicas Reglas verbales ( ) 4n 12 ( ) 4n 8 ( )
7n + 10 ( ) 7n 10 ( ) 4n 12 ( ) 7n 4 (a) Sumar (7) al trmino
anterior y el primer trmino es 10 (b) Sumar 4 al trmino anterior y
el primer trmino es 12 (c) Sumar 7 al trmino anterior y el primer
trmino es 3 (d) Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es
16 (e) Sumar (7) al trmino anterior y el primer trmino es 3 (f)
Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 3 (g) Sumar 4 al
trmino anterior y el primer trmino es 8 (h) Sumar (4) al trmino
anterior y el primer trmino es 12 5. Para conocer ms sucesiones de
nmeros con signo pueden ver el programa Sucesio- nes de nmeros con
signo. Para saber ms Consulta en las Bibliotecas Escolares y de
Aula: Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. El piropo matemtico, de
los nmeros a las estrellas. Mxico: SEP/Edi- torial Lectorum, Libros
del Rincn, 2003. Sobre las sucesiones de nmeros con signo consulta:
http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Progresiones_
aritmeticas.htm [Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto
Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa. Explora las
actividades del interactivo Sucesiones geomtricas con Logo. MAT2 B3
S18.indd 23 9/10/07 12:28:39 PM Propsito de la actividad. Este
problema presenta un grado de dificultad mayor, pues no se conocen
dos trminos consecutivos; este tipo de problemas permite que los
alumnos exploren otros aspectos de las sucesiones numricas y de las
reglas que las determinan; en este caso, les permite indagar sobre
las condiciones presenta- das que establecen la diferencia entre
dos trminos consecutivos. Posibles procedimientos. Una estrategia
para resolver es calcular cunto cambi el valor de los trminos
considerando el nmero de lugares entre un trmino y otro: en la
primera sucesin, la diferencia entre 7 y 19 es 12 unidades, y hay 2
lugares entre ambos trminos: 12 2 = 6; la diferencia entre dos
trminos consecutivos es 6. La sucesin es 1, 7, 13, 19, 25, 31, En
la segunda sucesin, entre 1 y 14 se disminuye 15 unidades, y hay 3
lugares entre esos dos trminos: 15 3 = 5; la diferencia entre dos
trminos consecutivos es 5. La sucesin es 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19,
Respuestas: a)Regla verbal: sumar 6 al trmino anterior y el primer
trmino es 1. Regla algebraica: 6n 5. b)Regla verbal: sumar 5 al
trmino anterior y el primer trmino es 11. Regla algebraica: 5n +
16. Propsito del programa integrador 13. Ejemplificar cmo se
construye una sucesin de nmeros con signo a partir de una regla
dada y mostrar cmo se obtiene la regla que genera una sucesin de
este tipo. Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la
cartelera para saber horario y das de transmisin. g h e c d f
Propsito del interactivo. Explorar y construir sucesiones
geomtricas.
40. 40 Libro para el maestro 24 secuencia 19 Ecuaciones de
primer grado En esta secuencia resolvers problemas que impliquen el
plantea- miento y resolucin de ecuaciones con una incgnita. Piensa
un nmero Para empezar El jugador A piensa un nmero y sin mostrarlo
al jugador B, lo escribe en el cuadro entrada. Despus realiza las
operaciones indicadas y le dice a B el nmero que obtu- vo en el
cuadro salida. Entrada Smale 12 Salida Multiplcalo por 10 Diagrama
1 El jugador B tiene que encontrar el nmero que el jugador A
escribi en la entrada y decrselo. Cuando el jugador B acierte,
cambian los papeles y juegan otro turno. Consideremos lo siguiente
Los nmeros de la siguiente tabla resultaron de aplicar las
operaciones del diagrama anterior. Escriban los nmeros de entrada
correspondientes. Nombre Entrada Salida Brenda 53 542 Sal 69 702
Jess 824.5 Ral 4 Comparen sus respuestas y expliquen cmo las
obtuvieron. sesin 1 MAT2 B3 S19.indd 24 9/10/07 12:29:11 PM
Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen el
planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = c,
invirtiendo las operaciones y el orden en que aparecen. Sugerencia
didctica. Con la finalidad de que las reglas queden claras, inicie
usted el juego adivinando los nmeros que piensen dos o tres de sus
alumnos. Primero puede pedir a los alumnos que piensen nmeros
naturales de 1 o 2 cifras, posteriormente puede indicarles que
utilicen nmeros decimales y negativos. Propsito de la sesin en el
aula de medios. Resolver ecuaciones de primer grado de la forma ax
+ b = c. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede
realizarse en lugar de la sesin 1. Propsito de la actividad. Se
espera que los alumnos puedan identificar que, para obtener el
nmero de entrada, es necesario invertir las operaciones: al nmero
que se obtiene en la salida, se le resta 12 y luego se divide entre
10. Posibles dificultades. En caso de que algunos alumnos hayan
optado por un procedimiento errneo, ese procedimiento encontrar sus
limitaciones en el caso de Ral, pues el nmero de entrada es
negativo. Respuestas. Jess: 81.25 Ral: 0.8 Eje Sentido numrico y
pensamiento algebraico. Tema Significado y uso de las literales.
Antecedentes En Matemticas I, los alumnos aprendieron a resolver
ecuaciones de la forma a + x = b, ax = b y ax + b = c, con
coeficientes enteros positivos. En esta secuencia aprendern a
plantear y resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d y con
parnte- sis, con coeficientes enteros o fraccionarios, enteros y
negativos. Propsitos de la secuencia Resolver problemas que
impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones con una
incgnita. Sesin Propsitos de la sesin Recursos 1 Piensa un nmero
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de
ecuaciones de la forma ax + b = c, invirtiendo las operaciones y el
orden en que aparecen. Aula de medios Ecuaciones (2) (Hoja de
clculo) 2 El modelo de la balanza Resolver problemas que impliquen
el planteamiento y reso- lucin de ecuaciones de la forma ax + b =
cx + d, utilizando las propiedades de la igualdad. Video La balanza
Interactivo Resolucin de ecuaciones Aula de medios Nmeros perdidos
(Calculadora) 3 Ms all del modelo de la balanza Resolver problemas
que impliquen el planteamiento y resolucin de ecuaciones de la
forma ax + b = cx + d y con parntesis, con coeficientes enteros y
fraccionarios, positivos y negativos. 4 Miscelnea de problemas
Aplicar lo aprendido en las tres primeras sesiones mediante la
solucin de problemas que impliquen el planteamiento y resolucin de
ecuaciones de primer grado. Programa integrador 14
41. 41Libro para el maestro 25 IIMATEMTICAS Manos a la obra I.
Consideren que el nmero de Salida es 72. Escriban los nmeros que
deben ir en el crculo azul y en el cuadro rojo. 72 Entrada Smale 12
Salida Multiplcalo por 10 Diagrama 2 a) Qu operacin hicieron con el
nmero 72 para encontrar el nmero que va en el crculo azul? b) Qu
operacin hicieron con el nmero del crculo azul para encontrar el
nmero del cuadro de Entrada? c) Completen el siguiente diagrama
escribiendo las operaciones que hicieron para encontrar los nmeros
faltantes. 824.5 Entrada Salida Diagrama 3 II. Completen el
siguiente diagrama. 8 Entrada Salida Smale 12Multiplcalo por 10
MAT2 B3 S19.indd 25 9/10/07 12:29:12 PM Propsito de la actividad.
Que los alumnos identifiquen la regla que permite encontrar el
nmero de Entrada. Respuestas. a)Restar: 72 12 = 60 b)Dividir: 60 10
= 6 Sugerencia didctica. Aclare a los alumnos que las lneas
punteadas indican el procedimiento de regreso para encontrar el
nmero inicial. Divdelo entre 10 Rstale 12
42. 42 Libro para el maestro 26 secuencia 19 iii. Consideren la
siguiente adivinanza: Pens un nmero. Lo llam p, le rest 5, el
resultado lo divid entre 4 y obtuve 2.75. a) Cul de los siguientes
diagramas sirve para encontrar el valor de p? Diagrama 1 p 2.75
Rstale 5Divdelo entre 4 Smale 5Multiplcalo por 4 Diagrama 2 p 2.75
Divdelo entre 4Rstale 5 Multiplcalo por 4Smale 5 Diagrama 3 p 2.75
Smale 5Multiplcalo por 4 Rstale 5Divdelo entre 4 b) Cul de las
siguientes ecuaciones corresponde a la adivinanza? Subryenla. p 4 +
5 = 2.75 p 5 4 = 2.75 (p 5) 4 = 2.75 c) Cul es el valor de p?
Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el
diagrama que escogieron. Recuerden que: Una ecuacin es una igualdad
donde hay un valor desconocido llamado incgnita. Resolver la
ecuacin significa encontrar el valor de la incgnita. MAT2 B3
S19.indd 26 9/10/07 12:29:13 PM Respuestas. a) Diagrama 2 b) p 5 4
= 2.75 c)16 Sugerencia didctica. Organice la comparacin de
resultados empezando por pedir el valor de p y revise con todo el
grupo que, con las operacio- nes indicadas, se obtenga 2.75. Para
verificar que la ecuacin que sealaron es la correcta, puede pedir a
tres alumnos que pasen al pizarrn a sustituir la p por el valor
encontrado. El valor de p es 16, En la primera ecuacin p 4 + 5 =
2.75, se obtiene 16 4 + 5 = 4 + 5 = 9. No es igual a 2.75 En la
segunda ecuacin p 5 4 = 2.75, se obtiene 16 5 4 = 11 4 = 2.75 En la
tercera ecuacin (p 5) 4 = 2.75, se obtiene (16 5) 4 = 11 4 = 44. No
es igual a 2.75 Aproveche este momento para precisar que es
necesario invertir las operaciones que se indican en el diagrama 2;
esto puede verse de manera ms clara en el apartado A lo que
llegamos.
43. 43Libro para el maestro 27 IIMATEMTICAS A lo que llegamos
La ecuacin 10y + 12 = 4 se puede resolver haciendo un diagrama e
invirtiendo las operaciones de la siguiente manera. Con lenguaje
algebraico, se escribe: Haciendo un diagrama, se escribe: 10y + 12
= 4 y 10y + 12 = 4 + 12 10 10y 10y = 4 12 10y = 8 y 10y + 12 = 4 +
12 10 10y 12 y = (8) 10 y = 0.8 y 10y + 12 = 4 + 12 10 10y 12 10
IV. Completen el siguiente diagrama para resolver la ecuacin 6x +
22 = 4. Cul es el valor de x? x = x 4 Sumar 22Multiplcalo por 6 6x
Comparen sus respuestas y verifiquen sus soluciones usando el
diagrama que escogieron. Regresen al problema del apartado
Consideremos lo siguiente. Para cada rengln de la tabla escriban la
ecuacin correspondiente considerando que x es el nmero de entrada.
Resuelvan la ecuacin y verifiquen si es el resultado que haban
obtenido. MAT2 B3 S19.indd 27 9/10/07 12:29:14 PM Respuestas. Se
resta 22 y despus se divide entre 6. El valor de x es 3. Sugerencia
didctica. Durante la confronta- cin, usted puede escribir los dos
pasos para resolver la ecuacin 6x + 22 = 4 6x = 422 Primer paso 6x
= 18 x = 18 6 Segundo paso x = 3 Sugerencia didctica. Solicite a
los alumnos que realicen la verificacin en sus cuadernos. Para
verificar pueden utilizar el diagrama o pueden sustituir por el
valor de y. Verificacin. En la ecuacin 10y + 12 = 4, se sustituye
la y por 0.8. 10 (-0.8) + 12 = (8) + 12 = 4.
44. 44 Libro para el maestro 28 secuencia 19 Lo que aprendimos
1. Planteen y resuelvan la ecuacin que corresponde al siguiente
diagrama: a) Ecuacin: b) Cul es el valor de p? p = 2. Resuelvan la
ecuacin 7x + 18 = 31. Verifiquen las soluciones. eL MODeLO De LA
BALAnZA Para empezar La balanza El modelo de la balanza nos permite
representar y resolver ecuaciones. Para ello es nece- sario que las
acciones que se realicen en ambos lados de la balanza mantengan
siempre el equilibrio. Consideremos lo siguiente La siguiente
balanza est en equilibrio. En ella se colocaron anillos y pesas de
un gramo 1 . El peso de los anillos no se conoce, pero todos los
anillos pesan lo mismo. = Figura 1 Cunto pesa cada anillo? Comparen
sus respuestas y comenten cmo encontraron el valor de cada anillo.
sesin 2 p 34.5 Rstale 5Divdelo entre 4 MAT2 B3 S19.indd 28 9/10/07
12:29:15 PM Respuestas. a) p 4 5 = 34.5 b)158 Sugerencia didctica.
En caso de que los alumnos tengan dificultades para plantear la
ecuacin, usted puede, con la participacin de todo el grupo, hacer
el planteamiento: p 4 5 = 34.5 p 4 = 34.5 +5 = 39.5 p = 4 x 39.5 =
158 Respuesta. x = 13 7 Verificacin: 7 (13 7 )+ 18 = 13 + 18 = 31
Sugerencia didctica. La verificacin se puede hacer usando el
diagrama. Propsito de la sesin. Resolver problemas que impliquen el
planteamiento y resolucin de ecuaciones de la forma ax + b = cx +
d, utilizando las propiedades de la igualdad. Descripcin del video.
Se muestra cmo en una balanza pueden representarse ecuaciones de
primer grado y resolverlas manteniendo siempre el equilibro.
Conviene que se observe el video antes de comenzar la actividad
para que los alumnos vean cmo funciona una balanza para mantener el
equilibrio y despus trasladar el ejemplo aplicando las propiedades
de la igualdad. Propsito de la sesin en el aula de medios. Resolver
problemas que impliquen el plantea- miento y resolucin de
ecuaciones de la forma ax + b = cx + d, utilizando las propiedades
de la igualdad. Si se dispone de aula de medios, esta actividad
puede realizarse en lugar de la sesin 2. Propsito del interactivo.
Que los alumnos se familiaricen con el modelo de la balanza para
resolver ecuaciones. Posibles procedimientos. Los alumnos pueden
resolver el problema si identifican que la diferencia entre el lado
izquierdo y el derecho de la balanza es de 4 anillos, y si
consideran las 2 pesas de un gramo de la balanza izquierda: El peso
de los 4 anillos equivale a las 22 pesas de un gramo del lado
derecho, menos las 2 pesas de un gramo del lado izquierdo. Esto es
cada anillo pesa 5 gramos. Un posible error es que dividan los 22
gramos entre los 4 anillos sin considerar las 2 pesas que ya estn
del lado izquierdo. Sugerencia didctica. Invite a los alumnos a
comentar cmo es y para qu sirve una balanza, de ser posible lleve
una balanza. Comente tambin con los alumnos qu quiere decir que la
balanza se mantenga en equilibrio
45. 45Libro para el maestro 29 IIMATEMTICAS Manos a la obra I.
Cules de las siguientes acciones mantendran la balanza en
equilibrio? Subryenlas. Pasar un anillo del lado izquierdo al lado
derecho. Quitar 1 anillo de ambos lados. Cambiar un anillo por una
pesa de 1 gramo en el lado derecho. Quitar el mismo nmero de pesas
de 1 gramo en ambos lados. Quitar 1 pesa de 1 gramo en ambos lados.
Comparen sus respuestas y comenten porqu creen que mantienen el
equilibrio de la balanza. II. A continuacin se presenta una nueva
situacin con la balanza, completa lo que se te pide para hallar el
peso de estos otros anillos. a) Cuntas pesas de 1 gramo se pueden
qui- tar de cada lado sin que la balanza pierda el equilibrio? b)
Ahora, cuntos anillos del mismo peso pue- den quitarse de cada lado
sin que se altere el equilibrio de la balanza? Despus de quitar las
pesas de 1 gramo y los ani- llos del mismo peso, c) cuntos anillos
quedan del lado izquierdo de la balanza? d) Cuntas pesas de 1 gramo
quedan del lado derecho? e) Si dos anill