Matemáticas Financieras

Departamento de Matemáticas

Cálculo de Fronteras Eficientes y Lí d M d d C it lLíneas de Mercado de Capital

Obtención de la Matriz de Covarianzas S.Utilizaremos la función xlsread para leer la información de una hoja de cálculo tipoUtilizaremos la función xlsread para leer la información de una hoja de cálculo tipoExel. Este procedimiento será de gran utilidad dado que la mayoría de datosfinancieros provienen de manejadores de bases de datos comerciales.Comenzaremos por leer una matriz de covarianzas S de una hoja de cálculo.

[S,TXT,RAW]=XLSREAD('prueba');S

S =0.2060 0.0375 0.1077 0.0493 0.0208 0.00590 0375 0 0790 0 0355 0 1028 0 0089 0 04060.0375 0.0790 0.0355 0.1028 0.0089 0.04060.1077 0.0355 0.0867 0.0443 0.0194 0.01480.0493 0.1028 0.0443 0.4435 0.0193 0.02740.0208 0.0089 0.0194 0.0193 0.0083 -0.00150.0059 0.0406 0.0148 0.0274 -0.0015 0.0392

Para efectos de este análisis consideraremos los datos estadísticos de los activos delas siguientes compañías:las siguientes compañías:

American Airlines

Bethlehem Steel

General Electric

International Harvester International Harvester

Philip Morris

Union Carbide

tomados a partir de diez medidas de rendimiento continuo compuesto, tomadasentre 1974 y 1983. Datos obtenidos del texto de S. Benninga, p. 151, presentadoen las referencias.

Obtención del Vector de Retornos M diMedios

A continuación leemos un vector con los retornos medios R de los activos delanálisis Ellos se tomarán de la "segunda hoja" de la hoja de cálculo llamada pruebaanálisis. Ellos se tomarán de la segunda hoja de la hoja de cálculo llamada prueba.

[R,TXT,RAW]=XLSREAD('prueba','Hoja2');R R

R =0 20320.20320.05310.15010 15290.15290.10250.1210

Programa Matemático que Soporta la T íTeoría

Acorde a la literatura especializada (ver referencias al final de este informe), paradeterminar los portafolios óptimos acorde a un criterio de mínimo riesgo para unp p g prendimiento dado r, debemos resolver el siguiente programa matemático, quetiene función objetivo cuadrática convexa y restricciones lineales:

ˆmin . . . 1, . , PM2m

t

x R

x Sx s a u x r x r∈

= =

Donde es un vector compuesto de sólo unos, el cual podemos construir apartir del vector de datos leído R, utilizando la siguiente instrucción abreviada:

2x R∈

mx R∈

u=R*0+1

u =1111111

Parámetros de la TeoríaParámetros de la TeoríaLos parámetros de la teoría son cuatro cantidades denominadas A, B, C y D.Definidas como formas cuadráticas a partir de la inversa de la matriz de covarianzasDefinidas como formas cuadráticas a partir de la inversa de la matriz de covarianzasS.

1 1 1ˆ ˆ ˆ Ct t tA S B S S− − −Estas son:

Empleando Matlab calculamos estas cantidades de manera inmediata. Note el papel

1 1 1ˆ ˆ ˆ, , C=t t tA u S u B u S r r S r= =

de la función inv para invertir matrices y el papel de la operación traspuesta que serealiza con el apóstrofe, por ejemplo: A' es la traspuesta de la matriz A. Así tenemosque:

A=u'*(inv(S)*u)B=u'*(inv(S)*R)C=R'*(inv(S)*R)D=A*C-B^2

A =488 0546488.0546

B =56 300056.3000

C =6 86766.8676

D =182.0762182.0762

Claramente D no es una forma cuadrática, pero proviene del determinante de lasdos ecuaciones lineales que permiten hallar los multiplicadores de Lagrange en elq p p g gproblema matemático -PM-.

Análisis del Programa MatemáticoAnálisis del Programa MatemáticoPara resolver el programa cuadrático convexo dado en -PM-, tomamos su funciónLagrangiana:Lagrangiana:

1 2 1 2ˆ( , , ) ( . ) ( . )2

tx SxL x u x r xλ λ λ λ= − −

que podemos derivar e igualar a cero como es usual en optimización, para obtenerlas siguientes ecuaciones descritas en forma vectorial:

ˆ EQS λ λ

Multiplicando por la inversa de la matriz de covarianzas S, por la izquierda, sobreambos lados de la ecuación -EQ- encontramos:

1 2ˆ EQSx u rλ λ= +

ambos lados de la ecuación EQ encontramos:

1 11 2ˆ SLx S u S rλ λ− −= +

y utilizando las ecuaciones:

ˆ. 1, .x u x r r= =

que provienen de las restricciones del programa -PM-, encontramos la siguientepareja de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los multiplicadores de Lagrangepareja de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son los multiplicadores de Lagrangedel programa -PM-.Así tenemos:

1 2 1 21, A B B C rλ λ λ λ+ = + =

cuya solución da lugar a las siguientes expresiones:

C B A B

l l it t lí it t l t d i i

1 2, MLC rB Ar BD D

λ λ− −= =

las cuales a su vez permiten encontrar explícitamente el vector de inversiones xmediante las relaciones -SL- dadas más arriba.

Cálculo de la Frontera EficienteCálculo de la Frontera EficienteUna vez hemos estimado los parámetros A, B, C y D del problema, procedemos adelinear la frontera eficiente para ello utilizamos la fórmula explícita:delinear la frontera eficiente, para ello utilizamos la fórmula explícita:

22 2( ) FRAr rB Cr

Dσ − +

=

que se obtiene multiplicando por la traspuesta del vector óptimo x, por el ladoizquierdo, ambos lados de la ecuación -EQ-.

D li ió d l F t Efi i tDelineación de la Frontera EficienteUtilizando la fórmula -FR- podemos delinear sobre una gráfica de riesgo contraretorno la frontera eficiente que corresponde a los portafolios óptimos, queq p p p qpodemos formar con los activos de nuestro mercado de capitales.

INSTRUCCIONES GRÁFICAS

Creamos un vector de 100 posiciones con los 100 valores, igualmente espaciados,que podemos tomar entre cero y un rango apropiado para el retorno máximo denuestro análisis, que aquí tomaremos como el doble del máximo retorno medio de, q qlos activos disponibles.

x=linspace(0,2*max(R));(A* ^2 2*B* C)/Dy=(A*x.^2-2*B*x+C)/D;

plot(y,x)xlabel('riesgo como varianza')ylabel('retorno')title('frontera eficiente')

Ubicación de los Activos en el Di g d Ri g V R tDiagrama de Riesgo Vs. Retorno

Sobre el mismo dibujo de la frontera eficiente, pondremos los activos queconforman nuestro mercado de acuerdo a sus medidas de riesgo y rendimientoconforman nuestro mercado de acuerdo a sus medidas de riesgo y rendimiento,señalando que el riesgo lo medimos con la varianza de cada activo. Note que lavarianza del activo -i- ocupa la -i-ésima posición en la diagonal de la matriz decovarianzas, esta es S(i,i)., ( , )

hold onDTA=['A';'B';'G';'I';'P';'U'];DTA=[ A ; B ; G ; I ; P ; U ];for i=1:6

plot(S(i,i),R(i),'+g')text(S(i i)+0 01 R(i) DTA(i))text(S(i,i)+0.01,R(i),DTA(i))

end

Vértice de la Frontera EficienteVértice de la Frontera EficienteCon los parámetros A y B de la teoría, podemos señalar de una forma muy clara elvértice de la frontera eficiente Usted debe observar que la ecuación FRvértice de la frontera eficiente. Usted debe observar que la ecuación -FR-corresponde a una parábola con vértice en el punto de coordenadas (1/A,B/A)sobre el plano varianza v.s. rendimiento. La siguiente instrucción dibuja ese puntocon color rojo.j

plot(1/A,B/A,'or')

Significado del Vértice de la Frontera Efi i tEficiente

El punto de coordenadas (1/A,B/A) señalado en la gráfica, corresponde alportafolio con menor riesgo que podemos encontrar entre todos los portafoliosportafolio con menor riesgo que podemos encontrar entre todos los portafoliosfactibles que podemos formar con los activos del mercado bajo estudio. El cocienteB/A nos dice el rendimiento correspondiente a dicho portafolio y el cociente 1/Asu varianza.su varianza.

Selección de Portafolios Eficientes b l F t Efi i tsobre la Frontera Eficiente

El usuario debe introducir el rendimiento del portafolio óptimo que le interesaseleccionar Para efectos de este tutorial asignaremos el valor predeterminado:seleccionar. Para efectos de este tutorial, asignaremos el valor predeterminado:

r=0.4;

Observamos que esta cantidad debe estar dentro de el rango apropiado para losrendimientos de los activos involucrados. En este caso lo hemos fijado como eldoble del retorno máximo observado:

2*max(R)

ans = 0.4065

Tomando el valor r=0.4 como el rendimiento del portafolio óptimo que nosinteresa podemos dibujar su posición sobre la frontera eficiente utilizando lainteresa, podemos dibujar su posición sobre la frontera eficiente utilizando lafórmula -FR-.

l t((A* ^2 2*B* C)/D ' ')plot((A*r^2-2*B*r+C)/D,r,'om')

close

Gráfica de la Frontera Eficiente (sobre un Plano de Riesgo) Vs Retorno (Desviación Plano de Riesgo) Vs. Retorno (Desviación

Estándar como Medida de Riesgo)Aquí dibujaremos la frontera eficiente empleando la desviación estándar comoAquí dibujaremos la frontera eficiente empleando la desviación estándar comomedida de riesgo. Para ello tomamos la raíz cuadrada de la función cuadrática dadaen la expresión -FR-. Como estamos evaluando raíces cuadradas, tendremos unpoco de precaución y revisaremos que los argumentos sean siempre valorespositivospositivos.

for i=1:100if (A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D>0

z(i)=sqrt((A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D);else

z(i)=0;end end

end plot(z,x) hold on l b l(' i d i ió tá d ') xlabel('riesgo como desviación estándar')

ylabel('retorno') title('frontera eficiente donde el riesgo es la DVSTD')

Representación de los Activos en el Diagrama de Desviación Estándar Vs Diagrama de Desviación Estándar Vs.

RetornoAh dib j l i l i di d d i ió á dAhora dibujaremos los activos en el mismo diagrama de desviación estándar v.s.retorno. Note que la desviación estándar de cada uno de ellos la obtenemostomando la raíz cuadrada de sus varianzas, las cuales a su vez aparecen en ladiagonal de la matriz de covarianzasdiagonal de la matriz de covarianzas.

for i=1:6plot(sqrt(S(i,i)),R(i),'+g')text(sqrt(S(i,i))+0.02,R(i),DTA(i))

End

Tasa de Interés y Cálculo del Portafolio d M d C di tde Mercado Correspondiente

La Teoría de la Cartera nos ofrece ventajas muy importantes para responderpreguntas concretas en finanzas En concreto si nos proponen una tasa de interéspreguntas concretas en finanzas. En concreto, si nos proponen una tasa de interésdeterminada, podemos encontrar el portafolio de mercado que le corresponde,empleando la regla de tangencia que debe cumplir dicho portafolio. Esta regla detangencia se describe de una manera muy cómoda a través de la siguiente relacióng y glineal:

2ˆ, RLP

p

r rSx r tuγ γσ−

= − =

de manera que si nos proporcionan la tasa de interés $\tau$, podemos encontrarlos valores para el portafolio de mercado correspondiente. Basta utilizar lassiguientes fórmulas ue se obtienen fácilmente de las ecuaciones en RLsiguientes fórmulas, que se obtienen fácilmente de las ecuaciones en -RL-.

2, ROP PC rB r rrB rA B rA

σ− −= =

− −

Empleando estas fórmulas, calcularemos el rendimiento y la varianza del portafoliode mercado (portafolio óptimo) en función de la tasa de interés dada:de mercado (portafolio óptimo) en función de la tasa de interés dada:

tasa=0.102;retorno=(C-tasa*B)/(B-tasa*A)varianza=(retorno-tasa)/(B-tasa*A)desviacion=sqrt(varianza)

retorno= 0.1726

varianza =0.0108

desviacion =0.1041

Dibujo de la Tasa de Interés y Línea de M dMercado

Dibujamos aquí, con rojo, el punto correspondiente a la tasa de interés sobre el ejede rendimiento Cuidamos que el valor calculado para el retorno del portafolio dede rendimiento. Cuidamos que el valor calculado para el retorno del portafolio demercado sea mayor al de la tasa dada, porque en caso contrario no nosencontramos en el rango de valores posibles para utilizar como tasas de interés.Esto se debe a que la pendiente de la frontera eficiente tiene dos asíntotas cuandoq pse representa sobre el plano de retorno v.s. desviación estándar.

plot(0 tasa 'or')plot(0,tasa, or )if retorno>tasa

plot(desviacion,retorno,'or')ElseElse

plot(0,tasa,'om')end

Dib j d l Lí d M d C it lDibujo de la Línea de Mercado CapitalDibujaremos ahora la línea de mercado de capital que une a la tasa de interés dada,sobre el eje retorno con el punto del portafolio de mercado que se encuentrasobre el eje retorno, con el punto del portafolio de mercado, que se encuentrasobre la frontera eficiente. Note que esta línea es tangente a la frontera eficientejustamente en el punto que corresponde al portafolio de mercado. Esta condicióngeométrica es la definición alternativa para los portafolios eficientes, además es lag p p ,guía para obtener las condiciones de primer orden dadas en la expresión -RL-.

w=(x tasa)*(desviacion)/(retorno tasa);w=(x-tasa) (desviacion)/(retorno-tasa);for i=1:100

if w(i)<0 w(i)=0;w(i)=0;

EndEndplot(w x 'm')plot(w,x, m )

close

Cálculo de las Inversiones del P t f li d M dPortafolio de Mercado

Es importante conocer, no solamente la ubicación del portafolio de mercado en eldiagrama riesgo v.s. rendimiento, sino que además nos interesa conocer eldiagrama riesgo v.s. rendimiento, sino que además nos interesa conocer elconjunto de inversiones que lo definen. Para ello debemos utilizar las fórmulas -SL- y -ML- para los multiplicadores de Lagrange, obteniendo la expresión:

C B A B

o alternativamente la condición de primer orden -RL- que nos proporciona la

1 1ˆC rB Ar Bx S u S rD D

− −− −= +

p q p psolución:

2 1 ˆ( )P

P

S r ruxr r

σ − −=

−

con la cual podemos implementar las instrucciones que dejan en la variableóptimos el vector de las inversiones que componen el portafolio de mercado.

optimos1=(inv(S)*(R-tasa*u))*varianza/(retorno-tasa) optimos2=(inv(S)*u)*(C-B*retorno)/D+(inv(S)*R)*(A*retorno-B)/D

optimos1 =0 22040.2204-0.7752-0.26240 10850.10850.81080.8979

optimos2 =0.2204-0.77520.7752-0.26240.10850.81080.8979

Cálculo de los BetasCálculo de los BetasPara calcular los betas correspondientes a cada activo, utilizamos la definiciónbásica:básica:

que da lugar a las siguientes instrucciones:

,Q

Q PP

r rr r

β−

=−

que da lugar a las siguientes instrucciones:

beta=(R-tasa)/(retorno-tasa);plot(beta R);plot(beta,R);text(beta,R+0.005,DTA);hold onfor i=1:6for i=1:6

plot(beta(i),R(i),'or')Endxlabel('betas')( )ylabel('retornos')

close

Forma Alternativa para el Cálculo de l B tlos Betas

Como una forma alternativa para estimar los betas, podemos utilizar la definición:ty Sxσ

De esta manera implementamos las siguientes operaciones:

,, 2

Q PQ P t

P

y Sxx Sx

σβ

σ= =

for i=1:6activo=zeros(1,6);activo(i)=1;beta(i) activo*S*optimos1/varianza;beta(i)=activo*S*optimos1/varianza;

Endplot(beta,R);text(beta,R+0.005,DTA);hold onfor i=1:6

plot(beta(i),R(i),'or')EndEndxlabel('betas')ylabel('retornos')

close

Cálculo de la Tasa de Interés a Partir d P t f li d M dde un Portafolio de Mercado

Una labor muy importante en finanzas es proponer tasas de interés a partir de lainformación de un portafolio de mercado Para ello tomaremos el nivel deinformación de un portafolio de mercado. Para ello tomaremos el nivel derendimiento r=0.25

r=0 25;r=0.25;

con el cual estimaremos la desviación estándar del portafolio, utilizando la raízd d d l fó l FRcuadrada de la fórmula -FR-:

desviacion=sqrt((A*r^2-2*B*r+C)/D)

desviacion = 0.2250

Dibujo de la Frontera EficienteDibujo de la Frontera EficienteDibujaremos la frontera eficiente, pero empleando la desviación estándar como medida de riesgo:medida de riesgo:

for i=1:100if (A* (i)^2 2*B* (i) C)/D 0if (A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D>0

z(i)=sqrt((A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D);else

(i) 0z(i)=0;end

endplot(z x)plot(z,x)hold onxlabel('riesgo como desviación estándar')ylabel('retorno')ylabel( retorno )title('frontera eficiente donde la desviación estándar mide al riesgo')

Cálculo de la Tasa de Interés a Partir d l P t f li d M ddel Portafolio de Mercado

Utilizando la fórmula del rendimiento óptimo -RO-, podemos hallar la tasa de interés: r B C−interés:

de manera que podemos utilizar la siguiente instrucción para estimar la tasa deinterés:

P

P

r B Crr A B

−=

−

interés:

tasa=(r*B-C)/(r*A-B)

tasa = 0.1097

correspondiente al portafolio de mercadocorrespondiente al portafolio de mercado

[r,desviacion]

ans = 0.2500 0.2250

Dib j d l Lí d M d C it lDibujo de la Línea de Mercado CapitalSobre la frontera eficiente dibujaremos la línea de mercado de capital, señalaremosla tasa de interés calculada y el portafolio de mercado propuesto por el usuariola tasa de interés calculada y el portafolio de mercado propuesto por el usuario.

w=(x-tasa)*(desviacion)/(r-tasa); f i 1 100for i=1:100

if w(i)<0 w(i)=0;

dendendplot(w,x,'m')plot(desviacion r 'or')plot(desviacion,r,'or')plot(w,x,'m')plot(0,tasa,'or') title('línea de mercado de capital')title( línea de mercado de capital )

BibliografíaBibliografíaCapinski, Marek, “Mathematics for finance : an introduction to financial engineering”, New York, Springer, 2003. p g

S. Benninga, “Financial Modeling”, MIT Press, 2000.