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* Definición de matriz

* Tipos de matrices

* Operaciones con matrices

* Matriz inversa

* Rango de una matriz

* Determinante de una matriz

* Propiedades

* PROBLEMAS RESUELTOS

* TEST DE COMPRENSIÓN

Prof. Ximo Beneyto

-Alacant-

MATRICES

MATRIz

A lo largo del tema tomaremos como cuerpo (K, +, A), el cuerpo de los números reales

(ú , +, A), a los números que forman la matriz les llamaremos "entradas" o simplemente

"elementos de la matriz", en nuestro caso serán números reales.

NOTACIÓN

Al conjunto de las matrices de "m" filas y "n" columnas, con elementos reales le

llamamos Mmxn (ú) o simplemente Mmxn. Cuando m=n, decimos que la matriz es CUADRADA,

notamos Mn.

Las matrices vienen representadas habitualmente por letras mayúsculas A, B, C, etc. y

cuando hacemos mención a sus elementos, notaremos A = ( aij ) i = 1,2,..m ; j = 1,2,..,n. Donde

"i" indica el número de la fila y "j" número de la columna que ocupa el elemento..

Al producto indicado ("x") del número de filas por el número de columnas le llamamos

DIMENSIÓN o TAMAÑO de la matriz, y al elemento de la misma que ocupa la posición:

fila "i" columna "j" le representamos por aij.

Definición:

Llamamos matriz, a una tabla rectangular de m A n elementos de un cuerpo (K, +, A),

dispuestos en filas y columnas, de la siguiente forma:

-Alacant-

A es una matriz: 4x3 ( Se lee cuatro por tres ) y alguno de sus elementos son:

a11=2 (fila: 1 columna:1)

a23= 6 (fila: 2 columna: 3)

a42= 0 (fila: 4 columna: 2)

* Los elementos de una matriz de la forma aii se dice que forman la DIAGONAL PRINCIPAL

de la matriz. En el ejemplo anterior, la diagonal principal sería la formada por los números, 2,

4 y 2.

* Dos matrices de las mismas dimensiones se llaman EQUIDIMENSIONALES.

* Dos matrices EQUIDIMENSIONALES, A y B, son IGUALES si tienen los mismos

elementos y dispuestos en la misma posición en ambas matrices.

TIPOS DE MATRICES

En las definiciones que siguen, utilizaremos operaciones con matrices que aún no se han dado,

pasa de largo y más adelante se verán.

* Veamos a continuación algunos de los tipos más usuales de matrices*.

1.-MATRIZ FILA

También se le llama VECTOR FILA, y es una matriz 1 x n.

* Las siguientes definiciones contienen conceptos que se verán más adelante (suma de matrices,

producto, determinante, etc), pero se han puesto aquí para un mejor agrupamiento en la clasificación.

1.-MATRIZ COLUMNA

También se le llama VECTOR COLUMNA, y es una matriz m x 1.

-Alacant-

3.-MATRIZ NULA

Llamamos matriz nula mxn, a una matriz cuyos elementos son todos ceros, la

representamos por Omxn.

4.- MATRIZ OPUESTA

Llamamos matriz opuesta de una matriz A y notamos - A, a la matriz que obtenemos

cambiando de signo todos los elementos de A. Si A = ( aij ) Y

- A = ( -aij )

+ es la suma de matrices y A el producto de dos matrices o el producto de un número por una

-Alacant-

5.- MATRIZ TRASPUESTA

Llamamos matriz traspuesta de una matriz A y notamos At , a la matriz que

obtenemos cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A = ( aij ) Y

At = ( aji )

5.1.- Propiedades de la trasposición de matrices:

i) (At)t = A

ii) ( A + B)t = At + Bt

iii) ( A A B )t = Bt A At ( Si el producto AAB está definido )

iv) (a A A)t = a A At, a0ú

matriz

Observa, que al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal quedan invariables

6.- MATRIZ CUADRADA

Llamamos matriz cuadrada, a una matriz que tiene el mismo número de

filas que columnas. Al número de filas o columnas de una matriz

cuadrada se le llama ORDEN de la matriz.

-Alacant-

Dentro del conjunto de las matrices cuadradas, vamos a citar alguno de los tipos m á s

importantes:

6.1 MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 Mn es una matriz simétrica si es igual que

su matriz traspuesta, es decir:

A 0 Mn es SIMÉTRICA ] At = A

6.2 MATRIZ ANTISIMÉTRICA

Una matriz cuadrada A 0 Mn es antisimétrica si es igual que su matriz opuesta,

es decir:

A 0 Mn es ANTISIMÉTRICA ] At = - A

Recordemos que, al trasponer una matriz, los elementos de la diagonal principal permanecen

invariables, así, la diagonal principal de cualquier matriz antisimétrica deberá estar formada por

ceros. Propiedad: Toda matriz cuadrada se puede descomponer como suma de una matriz

SIMÉTRICA y otra matriz ANTISIMÉTRICA de forma única ( A = ½( A+At ) + ½( A - At ))

6.3 MATRIZ TRIANGULAR

Una matriz cuadrada A 0 Mn es triangular inferior/superior si todos los

elementos de la misma situados por encima/debajo de la diagonal principal

son

-Alacant-

6.4 MATRIZ DIAGONAL

Una matriz cuadrada A 0 Mn es diagonal, si todos sus elementos son

nulos excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal.

6.5 MATRIZ UNIDAD

Llamamos matriz unidad de orden n y notamos In, a la matriz diagonal,

cuya diagonal está formada por unos.

-Alacant-

6.8 MATRIZ INVERSA

Dada una matriz cuadrada A 0 Mn , llamamos matriz inversa de A y notamos

A-1 a la única matriz de Mn, que cumple:

A A A-1 = A-1 A A = In

Propiedades de la inversión de matrices:

i) ( A-1)-1 = A

ii) ( A A B )-1 = B-1 A A-1

iii) ( I )-1 = I

iv) ( At)-1 = ( A-1)-t

v) ( 8A)-1 = 8A-1

NOTA: No todas las matrices cuadradas tienen matriz inversa, más adelante veremos las condiciones de existencia de

esta importantísima operación de inversa de una matriz cuadrada.

Obviamente las definiciones anteriores contienen conceptos nuevos que no se han visto,

¡paciencia!, pero agrupar la mayor parte de los tipos de matrices que hay tiene muchas ventajas

pedagógicas.

OPERACIONES CON MATRICES

A lo largo de este punto, vamos a DEFINIR las operaciones en el conjunto de las

matrices de "m" filas y "n" columnas, Mmxn, con elementos en el cuerpo (ú, +, A).

-Alacant-

1. SUMA DE MATRICES

Sean A = ( aij ) 0 Mmxn y B = ( bi j ) 0 Mmxn, definimos la SUMA DE

MATRICES A + B, a la matriz

A+B = ( aij + bij ) 0 Mmxn.

Es decir, la suma de dos matrices se efectúa sumando los elementos de ambas matrices

situados en la misma posición. Obviamente, solo podemos sumar entre sí matrices

EQUIDIMENSIONALES.

PRoPIEdAdES:

1. Asociativa

( A + B ) + C = A + ( B + C ) ú A, B, C 0 Mmxn

2. Conmutativa

A + B = B + A ú A, B 0 Mmxn

3. Elemento neutro

ú A 0 Mmxn õ O 0 Mmxn / A + O = O + A = A.

(¡¡ Pues claro !! la matriz nula de Mmxn.)

4. Elemento simétrico

ú A 0 Mmxn õ(-A) 0 Mmxn / A + (-A) = (-A) + A = O

( Sí, sí, la matriz opuesta )

Cumpliendo estas cuatro propiedades de la ley de composición interna (Suma de

matrices), el conjunto de las matrices de m filas y n columnas tiene estructura de Grupo

Abeliano

( Mmxn, + ) Grupo Abeliano ( o Grupo Conmutativo )

-Alacant-

2. Producto de un número real por una matriz

Sea A = ( aij ) 0 Mmxn y a 0 ú

Definimos el producto de un número real por una matriz , aAA

aAA = ( a A aij) 0 Mmxn

Es decir, el producto de un número real por una matriz se efectúa multiplicando todos los

elementos de la matriz por dicho número

( Nota: Observa que hemos definido aA A y no A Aa, con lo cual, un producto tipo

AA ( aA v ) debemos expresarlo como aA (A A v) )

PRoPIEdAdES

1. Distributiva del producto por un número real respecto de la suma de matrices.

a A ( A + B ) = a A A + a A B ú A, B 0 Mmxn y ú a 0 ú

2. Distributiva de la suma de números reales respecto del producto de un número por una matriz.

( a + b ) A A = a A A + b A A ú A 0 Mmxn y ú a , b 0 ú

3. Asociatividad mixta.

a A ( b A A ) = ( a A b ) A A ú A 0 Mmxn y ú a , b 0 ú

4. Neutralidad.

1 A A = A ú A 0 Mmxn y 1 0 ú

Por consiguiente, si consideramos las propiedades de la ley de composición interna (Suma de

matrices ) junto con las de la ley de composición externa ( Producto de un número real por una

matriz) obtenemos que el conjunto de las matrices de m filas y n columnas cuyos elementos son

números reales tiene estructura algebraica de Espacio Vectorial Real.

( Mmxn(ú) , + , A ) tiene estructura de Espacio Vectorial Real

¡Ojo! De momento no sabemos que es un espacio vectorial real, ya lo veremos.

-Alacant-

.

En particular, cuando tomamos el producto de matrices sobre Mn, es decir, matrices

CUADRADAS, todas las matrices se pueden multiplicar entre sí, cumpliéndose las propiedades:

I. Propiedad asociativa

(A A B) A C = A A (B A C) ú A, B, C 0 Mn

II. Elemento neutro

ú A 0 Mn, õ I 0 Mn / A A I = I A A = A

3. Producto de matrices

Dos matrices cualesquiera A, B no siempre se pueden multiplicar, debemos imponer unas

condiciones dimensionales para que el producto de las mismas se pueda realizar.

Dos matrices: A 0 Mmxn , A = ( aij ) y B 0 Mnxp , B = ( bjk ) , se pueden multiplicar en este

orden ,si la matriz A tiene el mismo número de columnas que filas tiene B

En este caso definimos el producto de matrices: AAB (En este orden ), de la siguiente

forma:

-Alacant-

Y junto con la suma de matrices definida anteriormente:

I. Distributiva de la suma de matrices respecto del producto de matrices

(A+B)AC = AAC+BAC ú A, B, C 0 Mn

II. Distributiva del producto de matrices respecto de la suma de matrices

AA(B + C) = AAB + AAC ú A, B, C 0 Mn

Que junto con las propiedades que ya conocemos de la SUMA DE MATRICES:

( Mn, + , A ) tiene estructura de ANILLO UNITARIO y no CONMUTATIVO.

[ No debes confundir el producto (A) de Matrices con el producto por un número real (A), a pesar

de que empleemos el mismo símbolo].

Potencia n.sima de una matriz

Como aplicación del producto de matrices, dada una matriz cuadrada, A, podemos hallar

potencias sucesivas de la misma multiplicando por sí misma esta matriz tantas veces como

indique el exponente, así:

A2 = A A A, A3 = A A A A A = A2 A A, etc.

En ocasiones, podemos encontrar una relación entre An y sus elementos mediante una fórmula,

lo cual nos da lugar a la potencia n.sima de una matriz.

-Alacant-

RANGO DE UNA MATRIZ

Llamamos rango de una matriz dada A 0 Mmxn, al número de vectores fila/columna

linealmente independientes que forman parte de la matriz. Notaremos el RANGO de

una matriz A:

Rang(A), Rg(A), R(A). En lo sucesivo emplearemos Rang(A).

Propiedades:

i. El RANGO de una matriz no varía si a una fila/columna le sumamos otra u

otras filas/columnas multiplicadas por constantes.

ii. El RANGO de una matriz no varía si cambiamos sus filas por sus columnas

( Rango (A) = Rango (At) )

iii. El RANGO de una matriz es el ORDEN DEL MAYOR MENOR no nulo de

la matriz A.

iv. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna de ceros.

v. El RANGO de una matriz no varía si suprimimos una fila/columna que sea

combinación lineal de otras filas/columnas.

-Alacant-

MÉTODOS DE CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

1) Método del PIVOTE

2) Método de MENORES ORLADOS (Se verá después del tema DETERMINANTES)

1) MÉTODO DEL PIVOTE

Utilizando las propiedades mencionadas más arriba, el método del pivote consiste en ir

efectuando transformaciones elementales en las filas de la matriz mediante combinaciones

lineales entre ellas para conseguir una matriz más sencilla del mismo rango.

De forma práctica, haremos ceros los elementos de la matriz situados por debajo de la diagonal

principal, pivotando sobre los elementos a11 , a22, así sucesivamente.

El Rango de la matriz será el número de filas con algún elemento no nulo una vez finalizado

e interpretado el proceso.

No hay prácticamente limitaciones al establecimiento de combinaciones lineales entre

filas/columnas, salvo multiplicar o dividir por cero, aunque tomaremos el mismo consejo del

cálculo de determinantes :

Efectuar una transformación muy ordenada de la matriz por filas y empezando por la primera. Eso

sí, tantas veces como haga falta, podemos permutar la posición de las filas, sin alterar el valor del

RANGO de la matriz.

-Alacant-

Observa con detalle los siguientes ejemplos

-Alacant-

CONEXIÓN MATRICES/ESPACIO VECTORIAL

1.1 Análisis de la dependencia lineal de un Sistema de Vectores.

Sea ( Rn(R), +, A ) , y un Sistema de vectores, sean

las matrices columna formadas con las componentes de cada vector. Si llamamos A = (v1 v2 ...

vp ) a la matriz cuyas columnas/filas son las matrices anteriores, el rango de la matriz nos indica

el número máximo de vectores del Sistema linealmente independientes, y el MENOR que

determina el rango, nos indica cuales de ellos, por ejemplo, son. Puesto que según tomemos un

MENOR u otro tendremos unos vectores u otros.

Obviamente, la matriz con las componentes se puede considerar por filas o columnas, pues el

rango es el mismo.

-Alacant-

Ximo.