A20 - Probabilitas Dan Statistik - 25 September 2012 - Final

PERSATUAN AKTUARIS

INDONESIA

UJIAN PROFESI AKTUARIS

2012

MATA UJIAN : A20 – Probabilitas dan Statistik

TANGGAL : 25 September 2012

JAM : 09.00 – 12.00

LAMA UJIAN : 180 Menit

SIFAT UJIAN : Tutup Buku

A20 – Probabilitas dan Statistik

September - 2012 Halaman 2 dari 18

PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

TATA TERTIB UJIAN

1. Setiap Kandidat harus berada di ruang ujian selambat-lambatnya 15 (lima belas) menit sebelum

ujian dimulai.

2. Kandidat yang datang 1 (satu) jam setelah berlangsungnya ujian dilarang memasuki ruang ujian

dan mengikuti ujian.

3. Kandidat dilarang meninggalkan ruang ujian selama 1 (satu) jam pertama berlangsungnya ujian.

4. Setiap kandidat harus menempati bangku yang telah ditentukan oleh Komisi Penguji.

5. Buku-buku, diktat, dan segala jenis catatan harus diletakkan di tempat yang sudah ditentukan

oleh Pengawas, kecuali alat tulis yang diperlukan untuk mengerjakan ujian dan kalkulator.

6. Setiap kandidat hanya berhak memperoleh satu set bahan ujian. Kerusakan lembar jawaban oleh

kandidat, tidak akan diganti. Dalam memberikan jawaban, lembar jawaban harus dijaga agar

tidak kotor karena coretan.

7. Kandidat dilarang berbicara dengan/atau melihat pekerjaan kandidat lain atau berkomunikasi

langsung ataupun tidak langsung dengan kandidat lainnya selama ujian berlangsung.

8. Kandidat dilarang menanyakan makna pertanyaan kepada Pengawas ujian.

9. Kandidat yang terpaksa harus meninggalkan ruang ujian untuk keperluan mendesak (misalnya ke

toilet) harus meminta izin kepada Pengawas ujian dan setiap kali izin keluar diberikan hanya

untuk 1 (satu) orang.

10. Alat komunikasi (telepon seluler, pager, dan lain-lain) harus dimatikan selama ujian berlangsung.

11. Pengawas akan mencatat semua jenis pelanggaran atas tata tertib ujian yang akan menjadi

pertimbangan diskualifikasi.

12. Kandidat yang telah selesai mengerjakan soal ujian, harus menyerahkan lembar jawaban

langsung kepada Pengawas ujian dan tidak meninggalkan lembar jawaban tersebut di meja ujian.

13. Kandidat yang telah menyerahkan lembar jawaban harus meninggalkan ruang ujian.

14. Kandidat dapat mengajukan keberatan terhadap soal ujian yang dinilai tidak benar dengan

penjelasan yang memadai kepada komisi penguji selambat-lambatnya 10 (sepuluh) hari setelah

akhir periode ujian.



PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA

Komisi Penguji

PETUNJUK MENGERJAKAN SOAL

Ujian Pilihan Ganda

1. Setiap soal akan mempunyai 4 (empat) pilihan jawaban di mana hanya 1 (satu)

jawaban yang benar.

2. Setiap soal mempunyai bobot nilai yang sama dengan tidak ada pengurangan nilai

untuk jawaban yang salah.

3. Berilah tanda silang pada jawaban yang Saudara anggap benar di lembar jawaban.

Jika Saudara telah menentukan jawaban dan kemudian ingin merubahnya dengan

yang lain, maka coretlah jawaban yang salah dan silang jawaban yang benar.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang sediakan dan tanda

tangani lembar jawaban tersebut tanpa menuliskan nama Saudara.

Ujian Soal Esay

1. Setiap soal dapat mempunyai lebih dari 1 (satu) pertanyaan, Setiap soal mempunyai

bobot yang sama kecuali terdapat keterangan pada soal.

2. Tuliskan jawaban Saudara pada Buku Jawaban Soal dengan jelas, rapi dan terstruktur

sehingga akan mempermudah pemeriksaan hasil ujian.

3. Saudara bisa mulai dengan soal yang anda anggap mudah dan tuliskan nomor

jawaban soal dengan soal dengan jelas.

4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang disediakan dan

tanda tangani Buku Ujian tanpa menuliskan nama Saudara.

KETENTUAN DAN PROSEDUR KEBERATAN SOAL UJIAN PAI

1. Peserta dapat memberikan sanggahan soal, jawaban atau keluhan kepada Komisi Ujian

dan Kurikulum selambat-lambatnya 10 hari setelah akhir periode ujian.

2. Semua pengajuan keberatan soal dialamatkan ke [email protected].

3. Pengajuan keberatan soal setelah tanggal tersebut (Poin No 1) tidak akan diterima dan

ditanggapi.

mailto:[email protected]



1. Suatu kelompok terdiri dari 6 orang. Hitunglah probabilitas bahwa sedikitnya 2 orang

yang lahir di bulan yang sama.

(A) 0,78

(B) 0,68

(C) 0,32

(D) 0,22

2. Seorang pelatih mengatur 15 pemain yang terdiri dari 5 pemain depan, 4 pemain

tengah, dan 6 pemain belakang. Berapakah banyak cara yang dilakukan untuk

memilih 5 pemain dimana 2 pemain di posisi depan, 1 pemain di posisi tengah, dan 2

pemain di posisi belakang?

(A) 400

(B) 500

(C) 600

(D) 700

3. 56 simbol disusun dalam matrik 7x8 sebagai berikut:

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16

A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24

A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32

A33 A34 A35 A36 A37 A38 A39 A40

A41 A42 A43 A44 A45 A46 A47 A48

A49 A50 A51 A52 A53 A54 A55 A56

Hitunglah jumlah cara untuk membentuk himpunan 3 simbol yang berbeda

sedemikian rupa sehingga tidak ada dua simbol yang dipilih berada dalam baris dan

kolom yang sama.

(A) 2400

(B) 4200

(C) 11670

(D) 11760



4. Studi terhadap kecelakaan mobil menghasilkan data sebagai berikut:

Tahun Produksi Proporsi dari

semua kendaraan

Probabilitas terjadinya

kecelakaan

2007

2008

2009

Tahun lain

0,16

0,18

0,20

0,46

0,05

0,02

0,03

0,04

Jika diamati kecelakaan yang terjadi pada mobil yang diproduksi di tahun 2007, 2008,

dan 2009, tentukan probabilitas bahwa tahun produksi dari mobil tersebut adalah

tahun 2007.

(A) 0,22

(B) 0,30

(C) 0,33

(D) 0,45

5. Pada survey tahun lalu mengenai mata pelajaran yang disukai oleh siswa-siswi di

suatu kelas, diperoleh informasi sebagai berikut:

i) 30% menyukai matematika dasar

ii) 30% menyukai statistika dasar

iii) 20% menyukai matematika aktuaria

iv) 20% menyukai matematika dasar dan statistika dasar

v) 15% menyukai statistika dasar dan matematika aktuaria

vi) 12% menyukai matematika dasar dan matematika aktuaria

vii) 10% menyukai ketiga mata pelajaran

Hitunglah persentase dari siswa-siswi yang tidak menyukai ketiga mata pelajaran

tersebut tahun lalu.

(A) 63

(B) 57

(C) 43

(D) 37



6. Misalkan sebuah dadu mempunyai sisi n yang seimbang diberi angka i = 1, 2,…, n.

Dadu tersebut dilemparkan n kali secara bebas. Tentukan probabilitas sedikitnya satu

kejadian muncul sisi dadu i terjadi pada lemparan ke-i.

(A) n

n

11

(B) n

n

/11

1

(C) n

n

111

(D) n

n

/11

11

7. Misalkan M adalah variabel acak dengan mean 3,2M dan distribusi probabilitas

kumulatif adalah

M 0 1 2 3 4

F(M=m) 0 0,2 n 0,8 1,0

Tentukanlah nilai n.

(A) 0,60

(B) 0,65

(C) 0,70

(D) 0,75



8. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas sebagai berikut:

x 0 1 2 3 4

P(X=x) 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

Tentukanlah fungsi pembangkit probabilitas untuk X.

(A) 2

2

2

1

2

1

s

(B) 4

2

1

2

1

s

(C) 2

2

4

1

4

1

s

(D) 4

4

1

4

1

s

9. Misalkan X adalah variabel acak diskrit yang mempunyai fungsi pembangkit

probabilitas

852 23,037,012,018,010,0)( ttttthX

Tentukanlah standar deviasi dan kuartil ketiga dari X.

(A) 7,82 dan 6

(B) 2,78 dan 6

(C) 7,82 dan 5

(D) 2,78 dan 5

10. Misalkan X adalah variabel acak yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 50

dan p = 0,96.

Hitunglah E[(3X+4)(7-2X)].

(A) -13.183,52

(B) -13.138,52

(C) 13.183,52

(D) 13.138,52



11. Seorang juru ketik secara rata-rata melakukan satu kesalahan ketik setiap 20

halaman. Hasil ketikan yang harus diselesaikan adalah 300 halaman. Hitunglah

probabilitas kesalahan ketik lebih kecil dari 5 untuk 300 halaman tersebut.

(A) 0,00014

(B) 0,00086

(C) 0,00279

(D) 0,99721

12. Diketahui distribusi hipergeometrik sebagai berikut:

n

N

xn

MN

x

M

MNnxh ),,;( MNxnMx

nx

,

,...,2,1,0

Hitunglah variansi jika diketahui N

nM ,

)1(

)1()1()]1([

NN

nnMMXXE

n=3, N=15, dan M=10.

(A) 2

(B) 15/8

(C) 39/64

(D) 4/7

13. Misalkan X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas:

lainnyayang

xx

xf

,0

42,10)(

Hitunglah nilai ekspektasi dari X.

(A) 3/5

(B) 1

(C) 28/15

(D) 12/5



14. Misalkan X adalah total klaim pada polis asuransi kesehatan yang mempunyai fungsi

distribusi kumulatif:

31

303

29

1

00

)(3

2

x

xx

x

x

xF

Hitunglah modus dari distribusi tersebut.

(A) 2

(B) 3/2

(C) 1

(D) 2/3

15. Misalkan X adalah total klaim pada polis asuransi dengan fungsi probabilitas densitas:

10000;1000

1)( xxf

Hitunglah nilai harapan dari porsi klaim yang tidak dibayar jika ada pemotongan 100

dari total klaim yang dibayar.

(A) 405

(B) 100

(C) 95

(D) 90

16. Polis asuransi memberikan manfaat maksimum sebesar 250. Manfaat tersebut

mempunyai fungsi probabilitas densitas sebagai berikut:

lainnyayang

xcexf

x

,0

0,)(

005,0

dimana c adalah konstan.

Hitunglah nilai tengah dari manfaat polis asuransi tersebut.

(A) 250

(B) 182

(C) 173

(D) 139



17. Misalkan waktu kedatangan kereta berdisitribusi uniform pada interval dari 12.00

sampai 12.30. Seseorang menunggu kereta dari jam 12.05. Hitunglah probabilitas

orang tersebut menunggu sedikitnya 15 menit untuk kedatangan kereta.

(A) 0,25

(B) 0,40

(C) 0,50

(D) 0,75

18. Kerugian tahunan dari sebuah pabrik mengikuti fungsi probabilitas densitas sebagai

berikut:

xx

xf 6,0;)6,0)(5,2(

)(5,3

5,2

Untuk menutupi kerugiannya, manajemen pabrik tersebut membeli polis asuransi

yang mengganti kerugian perusahaan tersebut dengan risiko sendiri (deductible)

sebesar 2. Hitunglah nilai ekspektasi dari kerugian tahunan yang tidak dibayar oleh

asuransi.

(A) 0,880

(B) 0,934

(C) 0,952

(D) 0,993

19. Seorang agen asuransi diberikan kriteria kontes oleh sebuah perusahaan asuransi.

Jika agen tersebut berhasil menjual produk asuransi sedikitnya kepada 56 nasabah

sebelum tanggal 31 Desember maka agen tersebut akan memperoleh bonus

penjualan. Agen tersebut akan memasarkan produk asuransi kepada 500 calon

nasabah sebelum tanggal 31 Desember. Probabilitas agen tersebut berhasil menjual

prouk asuransi kepada tiap nasabah adalah 0.1.

Hitunglah probabilitas bahwa agen tersebut akan berhasil memperoleh bonus

penjualan.

(A) Sedikitnya 0,18 dan lebih kecil dari 0,22



(B) Sedikitnya 0,22 dan lebih kecil dari 0,26

(C) Sedikitnya 0,26 dan lebih kecil dari 0,30

(D) Sedikitnya 0,30

20. Sebuah dealer mobil menjual 0, 1, atau 2 mobil mewah pada hari tertentu. Ketika

menjual mobil, dealer juga mencoba meyakinkan pembeli untuk membeli asuransi

mobil. Misalkan X menunjukkan jumlah mobil mewah yang terjual pada hari tertentu,

dan Y menunjukkan jumlah polis asuransi yang terjual.

6

1)2,2(

3

1)1,2(

12

1)0,2(

6

1)1,1(

12

1)0,1(

6

1)0,0(

YXPYXP

YXPYXP

YXPYXP

Hitunglah nilai variansi dari X.

(A) 0,58

(B) 0,83

(C) 1,42

(D) 2,58

21. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan mean , variansi

02 , dan koefisien korelasi , dimana 11 . Manakah pernyataan berikut

yang benar?

I) X dan Y adalah bebas jika dan hanya jika 0 .

II) 22)( YXVar jika dan hanya jika 0 .

III) Y – X mempunyai distribusi normal jika dan hanya jika 0 .

(A) I, II, dan III

(B) II dan III

(C) I dan III

(D) I dan II



22. Misalkan variabel acak X dan Y terdistribusi bersama pada persegi panjang R =

[0,4]x[0,5] dengan fungsi probabilitas densitas bersama:

20),(

xyxf pada R, dan 0 yang lainnya.

Hitunglah )42Pr( YX .

(A) 7/15

(B) 14/15

(C) 26/15

(D) 37/15

23. Misalkan X dan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas

bersama:

lainnyayang

xyxyyxf

,0

,15),(

2

Misalkan )(yg adalah fungsi probabilitas densitas marjinal dari Y. Tentukanlah )(yg .

(A)

lainnyayang

xyxyyg

,0

,15)(

2

(B)

lainnyayang

yy

yg

,0

10,2

15)(

2

(C)

lainnyayang

xyxyyyg

,0

,)1(15)(

22/12/3

(D)

lainnyayang

yyyyg

,0

10,)1(15)(

2/12/3



24. Misalkan T menunjukkan waktu dalam menit untuk customer service merespon 10

bunyi telepon yang berdering. T berdistribusi uniform pada interval dengan titik akhir

8 menit dan 12 menit. Misalkan R menunjukkan nilai rata-rata dari respon customer

service tiap menit.

Tentukanlah fungsi probabilitas densitas dari variabel acak R pada interval

8

10

12

10r .

(A) 22

5

r

(B) 2

10

r

(C) 2

)ln(53

rr

(D) r2

53

25. Keuntungan bulanan perusahaan I dapat dimodelkan dengan variabel acak kontinu

dengan fungsi probabilitas densitas f. Perusahaan II mempunyai keuntungan bulanan

dua kali dari keuntungan bulanan perusahaan I.

Tentukanlah fungsi probabilitas densitas dari keuntungan bulanan perusahaan II.

(A) )2

(x

f

(B) )2

(2

1 xf

(C) )2

(2x

f

(D) )(2 xf



26. Fungsi probabilitas densitas statistik urutan ke-k yang berukuran n adalah:

)()](1[)]([)!()!1(

! 1 yfyFyFknk

n knk

Sampel dipilih dari distribusi uniform pada interval [0,10].

Tentukanlah nilai ekspektasi dari statistik urutan keempat dari sampel berukuran 5.

(A) Lebih kecil dari 6,0



(D) Sedikitnya 7,0 dan lebih kecil dari 7,5

27. Misalkan X1 ,..., X10 adalah nilai dari sampel acak yang berdistribusi normal dengan

mean yang tidak diketahui dan variansi 02 yang tidak diketahui. Misalkan X

adalah mean sampel dan .)(9

1 9

1

22

i

i XXS

Tentukanlah interval kepercayaan 95% untuk .

(A)

1096,1,

1096,1

SX

SX

(B)

1023,2,

1023,2

SX

SX

(C)

1026,2,

1026,2

SX

SX

(D)

926,2,

926,2

SX

SX



28. Misalkan X1 ,..., Xn adalah sampel acak yang berdistribusi normal dengan mean

dan standar deviasi 1. Kemudian terdapat pengamatan tambahan yang saling bebas

Xn+1 yang diperoleh dari populasi yang sama. Tentukanlah distribusi dari

,)()(1

22

1

n

i

in XXX dimana .1

1

n

i

iXn

X

(A) Chi-square dengan derajat bebas n

(B) Chi-square dengan derajat bebas n + 1

(C) Distribusi F dengan derajat bebas n – 1 dan 1

(D) Distribusi F dengan derajat bebas 1 dan n – 1

29. Diberikan informasi sampel acak sebagai berikut:

- nXXY ...1 dimana ukuran sampel n sama dengan 25 dan variabel acak

saling bebas dan berdistribusi identik.

- iX berdistribusi Poisson dengan parameter

- 1,0:0 H

- 1,0:1 H

- Daerah kritis untuk menolak 0H adalah 3Y

Hitunglah tingkat signifikansi dari uji tersebut.

(A) Sedikitnya 0,50 dan lebih kecil dari 0,60



(D) Sedikitnya 0,80



30. Diberikan sampel acak dari distribusi normal:

- Mean sampel adalah 42.000.

- Standar deviasi sampel adalah 8.000.

- Sampel dengan 25 pengamatan.

Dengan menggunakan uji dua arah, 000.45:000.45: 10 HvsH . Tentukanlah

nilai yang akan menolak hipotesis null.

(A) Tolak pada 01,0

(B) Tidak menolak pada 01,0 , akan tetapi tolak pada 02,0

(C) Tidak menolak pada 02,0 , akan tetapi tolak pada 05,0

(D) Tidak menolak pada 05,0 , akan tetapi tolak pada 10,0





Documents

A20 - Probabilitas Dan Statistik - 25 September 2012 - Final