Upload
rudini-mulya
View
243
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
1/16
13 1 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
Transformasi Linear
Rudini Mulya Daulay
Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Mercu Buanaemail:[email protected]
DefinisiT disebut transformasi linear, jika T: V dan W
W adalah suatu fungsi dari ruang vector dari ruang vector V ke dalam ruang Vektor W,
yang memenuhi batasan :
T (V1 + V2) = T (V1) + T(V2) ; dimana V1 & V2 Rn T(kv) = k T(V) ; dimana V Rn & k bilangan nyata
T:V W suatu Transformasi linear, dimana : Dimensi N(T) disebut nolitas dari T ditulis n(T) Dimensi T(V) disebut rank dari T ditulis r(T)
Contoh 1:
Basis = (V1 ,V2,V3) pada R3
V1 = (1,1,1); (1,1,0) ; V3 = (1,0,0)
T : R3 R2 dimana : T (v1) = (1,0)
T (V2) = (2,-1)
T (v3) = (4,3)
Jawab :
(2,-3,5) = k1(1,1,1) + k2(1,1,0) + k3(1,0,0)
K1 + k2 +k3 = 2
K1 + k2 = -3
K1 = 5
MAKA :
( 2, -3, 5 ) = 5 v1 8v2 + 5v3
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
2/16
13 2 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
T (2,-3,5) = 5T(V1) 8T(v2) + 5T(v3)
= 5(1,0) 8(2,-1) + 5(4,3)
= (9,23)
Contoh 2:
T : R2 R3
04
32
11
y
xT
Tentukan :N(T) ; n(T); T(V) & r(T0
Jawab :
Missal
04
32
11
A maka T =
y
x= A
y
x
Jadi :
N(T) =
y
xA
y
x=
0
0
Sehingga N(T)=himpunan vektor-vektor
SPL.A
=0
0
Atau :1 1
2 3
4 0
=0
0
X y = 0
2x + 3y = 0
4x = 0 x= 0 dan y = 0
Maka didapat N(T) =0
0
Dimensi N(T) = n(T) =0
0
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
3/16
13 3 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
Selanjutnya
T(v) =1
23
SPL . A
=1
23
1 1
2 3
4 0
=1
23
lakukan OBE
1 1 1
2 3 24 0 3
b31(-4)b21(-2)
1 1 1
0 5 2 210 4 3 41
b2 1/5
1 1 1
0 1 (2 21)/5
0 4 3 41
b32(-4)1 1 1
0 1 (2 21)/5
0 0 3 41 42
5+ 81/5
Maka :
B3-4b1 -42
5+
81
5= 10
22
51 - 4
4
52 + b3 = 0
12b1 + 4b2 5b3 = 0
Jadi :
T(v) =1
23
12b1 + 4b2 5b3 = 0
= T(v) =
12b1 + 4b2 5b3 = 0
T(V) R3 berupa bidang datar melalui titik 0 (0,0,0) dengan vektor normal n = (12,4,-1)
berarti dimensi T(V) = r(T) = 2
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
4/16
13 4 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
NILAI KARAKTERISTIK dan VEKTOR KARAKTERISTIK
T : v w, diminta mencari nilai karakteristik ()
Vektor Ra, dimana ax 0
Vektor disebut vektor karakteristik
NIlai Karakteristik
A. = , dimana A = matriks bujur sangkar
A =1 1
4 2& =
1
1 Tentukan nilai karakteristik ()
Jawab:
A . =1 14 2
11
=2
2
=22
2
= 2 Jadi = 2
Cara lain :
A . = .
1 1
4 2
1
1 =
1
1
2
2 =
1
12
1
1 =
1
1
VEKTOR KARAKTERISTIK (0 )
A . = .
A . = I . I = vektor satuan
A . - . = 0
(A - ) = 0 disebut ruang karakteristik
lA - l = 0 disebut persamaan karakteristik
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
5/16
13 5 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
Contoh 1 :
A =1 1
4 2tentukan vektor karakteristik dari A
Jawab :
I l A I = 0
1 0
0 1 -
1 1
4 2= 0
1 14 + 2
= 0
(-1)( +2) (-1)(-4) = 0
2 + 6 = 0
( + 3)( 2) = 0
1 = -3
2 = 2
misalkan =1
2
Ruang Karakteristik
( I - A ) =0
1 14 + 2
1
2=
0
0
Untuk
= -3 , maka :
-4x1 x2 = 0
-4x1 x2 = 0
x1 = -
1
4 x2
Himpunan Jawab :
1
2 x1 ; x2 R
1
41
x1 R
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
6/16
13 6 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
X11
4 x1 R
Jadi =1
4 = vektor karakteristik untuk 1 = -3
Untuk 2 ; maka : x1 x2 = 0
-4x1 + 4 x2 = 0
x1 = x2
Himpunan Jawab :
1
2 x1 ; x2 R
2
42x2 R
X21
1x2 R
Jadi =1
1 = vektor karakteristik untuk = 2
Contoh 2 :
A =1 3 3
3 5 3
6 6 4
= ?
Jawab :
Persamaan Karakteristik :
I l A I = 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-1 3 3
3 5 3
6 6 4
= 0
0 0
0 00 0 -
1 3 3
3 5 36 6 4 = 0
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
7/16
13 7 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
1 3 33 + 5 36 6 4
= 0
1 3 33 + 5 36 6 4
1 33 + 56 6
- - - + + +
{( - 1)( +5)( 4) + 3(-3)(-6) + (-3)(-3)(6)} {(-3)( + 5)(-6) + ( 1)(-3)(6) + 3 (-3) (
4) } = 0
{( 1)( 2+ 20)+ 54 +54 } { 18 ( +5)-18( 1) -9 ( 4) }
= 0
3 + 2 -20 2 +20 +108 - 18 -90 +18 18 + 9 36 = 0
2 - 12 -16 = 0
Pakai Rumus HORNER:
Cara coba-coba : 1, 2, 4, 8, 16 (faktor dari 16)
-12 -16 = 0
1 0 -12 -16
1 1 -11 +
= z 1 -11 -27 sisa
1 0 -12 -16
-1 1 11 +
= -1 1 -1 -11 -5 sisa
1 0 -12 -16
2 4 -16 +
= 2 1 -2 -8 -32 sisa
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
8/16
13 8 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
1 0 -12 -16
-2 4 -16 +
= -2 1 -2 -8 0 sisa
( habis dibagi dengan -2 )
( + 2)( 22 8 ) = 0
( + 2)( + 2)( 4) = 0
1 = -2 atau 2 = -2 atau 3 = 4
Contoh 3 :
Diambil dari contoh 2.
A =
466
353
331
cari vektor karakteristiknya!
Jawab :
Dari contoh 2 1 = -2 atau 2 = -2 atau 3 = 4
Ruang karakteristik :
1 A =
100
010
001
-
466
353
331
1 A =
466
353
331
Mis : x =
3
2
1
x
x
x
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
9/16
13 9 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
Ruang karakteristik :
( I A ) x = 0
466
353
331
3
2
1
x
x
x
=00
0
Untuk = -2
4266
3523
3312
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
666
333
333
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
0666
0333
0333
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3
1
3
1
3
1
x
x
x
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Kesimpulan : x1 x2 + x3 = 0
X1= x2 x3
HP =
3
2
1
x
x
x
x1 , x2, x3 R
=
3
2
31
x
x
xx
x2, x3 R
=
0
2
2
x
x
+
3
3
0
x
x
x2, x3 R
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
10/16
13 10 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
= x2
0
1
1
+ x3
1
0
1
x2, x3 R
x = x2
0
1
1
+ x3
0
1
1
untuk = -2
x = s
0
1
1
+ t
0
1
1
untuk = -2
Untuk = -4
4466
3543
3314
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
066
393
333
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
X1 + 3x2 3x3 = 0 3x1 + 3x2 3x3 = 0
3X1 + 9x2 3x3 = 0 3x1 + 9x2 3x3 = 0 +
-6x1 + 6x2 = 0 12x2 - 6x3 = 0
6x2 = 6x1 12x2 = 6x3 :6
x2 = x1 2x2 = x3 x3 = 2x2
x1 = x2
Kesimpulan : x1 = x2
x3 = 2x2
HP =
3
2
1
x
x
x
x1 , x2, x3 R
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
11/16
13 11 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
=
2
2
1
2x
x
x
x2 R
= x2
2
1
1
x2, x3 R
x = s
2
1
1
untuk = 4
Diketahui :
A =
422
242
224
I A =
100
010
001
-
422
242
224
=
422
242
224
Tentukan :
1. Nilai Karakteristik2. Vektor Kerakteristik\
Persamaan Eigen :
I A = 0
422
242
224
= 0
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
12/16
13 12 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
422
242
224
22
42
24
= 0
[ (-4) (-4) (-4)- 8 8 ] [4(-4) + 4 (-4) +4 (-4)] = 0
[ (-4)3 -16] [12(-4)] = 0
1.3 + 3.2 (-4) + 3. (-4)2 + (-4)3 -16 [ 12 48] = 0
3 - 122 + 48 64 16 - 12 + 48 = 0
3 - 122 + 36 +32 = 0
1 -2 36 -32
2 -20 32 +
= 2 1 -10 16 0 = sisa
( 2 ) (2 - 10 +16 ) = 0
( 2 ) ( 2) ( 8 ) = 0
1= 2, 2 = 2, 3 =8
1.2 =2, 3 = 8
Misalkan Vektor Eigen :
x =
3
2
1
x
x
x
Ruang Eigen :
(I A) . x = 0
422
242
224
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
Untuk = 2, maka
4222
2422
2242
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
13/16
13 13 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
222
222
222
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
-2 x1+ 2x2 2x3 =0
-2x1 2x2 2x3 = 0
-2x1 2 x2 -2 x3 = 0
Kesimpulan :
-2 x1+ 2x2 2x3 =0
Maka
x1+ x2 + x3 =0
sehingga
x1 = -x2 x3
HP =
3
2
1
x
x
x
x1 , x2, x3 R =
3
2
32
x
x
xx
x1 , x2, x3 R
0
2
1
x
x
+
3
2
1
x
x
x
x2, x3 R = x2
3
2
1
x
x
x
+ x3
3
2
1
x
x
x
, x2, x3 R =
x = x2
0
1
1
+ x3
3
2
1
x
x
x
untuk = 2
x = s
0
1
1
+ t
3
2
1
x
x
x
untuk = 2
Untuk = 8, maka
4822
2482
2248
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
14/16
13 14 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
422
242
224
3
2
1
x
x
x
=
0
0
0
4 x1+ 2x2 2x3 =0
-2x1 + 4x2 2x3 = 0
-2x1 2 x2 +4 x3 = 0
4 x1+ 2x2 2x3 = 0
-2x1 + 4x2 2x3 = 0
6 x1 6x2 =0 6x1 = 6x2, maka x1 = x2
-2x1 2 x2 +4 x3 = 0
-2x1 2 x2 +4 x3 = 0 -
-4 x1 +4x2 =0 4x3 = 4x2, maka x3 = x2
Kesimpulan :
x1 = x2, dan x3 = x2
HP =
3
2
1
x
x
x
x1 , x2, x3 R
=
2
2
2
x
x
x
x1 , x2, x3 R = x2
1
1
1
x2 R
x = x2
1
1
1
untuk = 8
x = s
1
1
1
untuk = 8
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
15/16
13 15 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
Program mapelnya :
A:= matrik ([[4,2,2],[2,4,2],[2,2,4]]); With (linalg) :
A =422
242
224
Eigenvals (A) :8,2,2
Emp:= eigenvectors (A) ;Emp = [ 8,1{[1,1,1]}].[2,2{[-1,1,0],[-1,0,1]}]
Soal soal nilai eigen dan vector eigen :
1. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
Jika A=21
47 !
2. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
Jika A=41
23
!
3. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
Jika A=
1099
323
998
!
4. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,
Jika A=
165
034
003
!
7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas
16/16
13 16 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010
5. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari vector eigen dari matriks A,
Jika A=
301
120
801
! !
6. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vector eigen dari matriks A,
Jika A=
300
420
571
!
7. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vector eigen dari matriks A,
Jika A=
501
020
013
!