Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis

1DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRET TEORITISSuprayogi

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis


Distribusi Probabilitas Teoritis Diskret

Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution)

Distribusi hipergeometris (hypergeometricdistribution)

Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution)

Distribusi binomial (Binomial distribution)

Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative binomial or Pascal distribution)

Distribusi geometris (geometric distribution)

Distribusi Poisson (Poisson distribution)


Distribusi Seragam Diskret

X ∼ seragam diskret (a, b) Parameter:

a, b bulat; b ≥ a

Rataan:

Variansi:

Fungsi distribusi probabilitas:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ −+=+−

=lainnya ;0

,1,,1, ;1

1

x

bbaaxab

xf

L

2

baX

+=μ

( )12

11 22 −+−=

abXσ

a : batas bawah

b : batas atas


Contoh Histogram Distribusi SeragamDiskret

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.1800

1 2 3 4 5 6

x

f(x)

a = 1, b = 6


Probabilitas Variabel Random BerdistribusiSeragam Diskret

( )1

1

+−==

abxXP

( ) ∑= +−

=≤r

ax abrXP

1

1


Contoh Perhitungan

Jumlah pesanan yang datang per hari diketahui berdistribusiseragam diskret dengan jumlah pesanan yang datang minimum 0 dan maksimum 10.

Probabilitas jumlah pesanan yang datang per hari adalah 4 ataukurang?

Rata‐rata jumlah pesanan per hari yang datang?

( ) 4545,011

1

11

1

11

1

11

1

11

1

1010

14

4

0

=++++=+−

=≤ ∑=x

XP

5,52

110=

+=Xμ


Distribusi Hipergeometris

X ∼ hipergeometris (n, N, S) Parameter:

Rataan:

Variansi:

( )

{ }

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧=

=

−−

lainnya ;0

,min,,1,0 ;C

CC

x

Snx

xf

Nn

SNxn

Sx L

n, S, N bulat > 0

n ≤ N; S ≤ N

N

SnX =μ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=N

S

N

Sn

N

nNX 1

12σ



Rumus Kombinasi

( )!!

!C

rnr

n

r

nnr −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


Percobaan Hipergeometris

Dalam suatu populasi berukuran N, terdapat S obyek yang dikategorikan sukses S, dansisanya N – S dikategorikan gagal

Suatu sampel random berukuran n diambildari populasi

Variabel random yang menyatakan banyaknyaobyek berkategori sukses yang terpilihmerupakan variabel random hipergeometris


Contoh Histogram DistribusiHipergeometris

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1 2 3 4

x

f(x)

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4

x

f(x)

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4

x

f(x)

N = 10, S = 2, n = 4

N = 10, S = 4, n = 4

N = 10, S = 6, n = 4


Probabilitas Variabel Random BerdistribusiHipergeometris

( )Nn

SNxn

SxxXPC

CC −−==

( ) ∑=

−−=≤

r

xNn

SNxn

SxrXP

0 C

CC


Contoh Perhitungan

Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 bola komponen merek B.

Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, probabilitasbahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil:

( )

5143,0

3!4!

7!1!2!

3!

2!1!

4!

C

CC

C

CC2

73

31

42

73

4723

42 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

====−−XP


Distribusi Bernoulli

X ∼ Bernoulli (p) Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:


pX =μ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

==

lainnya ;0

gagal ;1

sukses ;

x

xp

xp

xf

( )ppX −= 12σ


Percobaan Bernoulli

Percobaan hanya menghasilkan dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal

Probabilitas sukses adalah p (probabilitasgagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan munculnyasukses atau gagal merupakan variabel random Bernoulli


Contoh Histogram Distribusi Bernoulli

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1

x

f(x)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

0 1

x

f(x)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

0 1

x

f(x)

p = 0,2

p = 0,5

p = 0,8

X = sukses = 1= gagal = 0


Hubungan Distribusi Bernoulli danSeragam Diskret

X ∼ seragam diskret (a, b); a = 0; b = 1

X ∼ Bernoulli (p); p = 0,5


Distribusi Binomial

X ∼ binomial (n, p) Parameter:

n bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:


npX =μ

( )pnpX −= 12σ

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−=

−

lainnya ;0

,,1,0 ;1C

x

nxpp

xf

xnxnx L


Percobaan Binomial

Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependenTiap usaha hanya terdiri dari dua kejadian yang mungkin, sukses atau gagal.Probabilitas tiap sukses untuk tiap usaha adalahtetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)Variabel random yang menyatakan banyaknyasukses dalam n usaha independen merupakanvariabel random binomialPercobaan binomial merupakan percobaan Bernoulli yang independen yang dilakukan sebanyak n kali


Contoh Histogram Distribusi Binomial

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

0 1 2 3 4 5

x

f(x)

n= 5; p = 0,2

n= 5; p = 0,5

n= 5; p = 0,8


Probabilitas Variabel Random BerdistribusiBinomial

( ) ( ) xnxnx pprXP −−== 1C

( ) ( )∑=

−−=≤r

x

xnxnx pprXP

0

1C


Contoh Perhitungan

Probabilitas suatu komponen tidak mengalami kerusakan dalamsuatu pengujian adalah 0,75.

Probabilitas tepat terdapat 2 komponen yang tidak mengalamikerusakan jika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:

Probabilitas terdapat 2 komponen atau lebih yang tidak rusakjika dilakukan pengujian sebanyak 4 kali:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2109,025,075,02!2!

!475,0175,0C2 222424

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−== −XP

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

9492,0

0508,01

25,075,01!1!

!425,075,0

0!2!

!41

75,0175,0C1 112

3140

1

0x

44

=−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−−=≤−=≥ ∑=

−xx

xXPXP


Hubungan Distribusi Binomial danBernoulli

Y ∼ binomial (n, p)

Xi ∼ Bernoulli (p)

∑=

=n

iiXY

1

Xi independen dan identik


Hampiran Distribusi Binomial terhadapHipergeometris

X ∼ hipergeometris (n, S, N); n/N → 0

X ∼ binomial (n, p); p = S/N


Contoh Perhitungan

Suatu pabrik menerima pasokan material sebanyak 5000 unit dengan 1000 unit diantaranya adalah material jenis A. Jika 10 unit dipilih secara random, probabilitas tepat terdapat 3 unit material jenis A yang terpilih:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2013,0

8,02,03!7!

0!1

1C3

73

310

500010003

5000100010

3

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−== −XP


Distribusi Binomial Negatif (Pascal)

X ∼ binomial negatif (k, p)Parameter:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +=−=

−−−

lainnya ;0

,1, ;1C 11

x

kkxpp

xf

kxkxk L

p

kX =μ

( )2

2 1

p

pkX

−=σ



Percobaan Binomial Negatif

Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependen

Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usahaadalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknyausaha agar terjadi sukses ke‐k merupakanvariabel random binomial negatif


Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.0500

0.0600

0.0700

0.0800

0.0900

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

k = 2; p = 0,2

k = 2; p = 0,5

Variabel random X banyaknya usaha untuk memperoleh k sukses


Probabilitas Variabel Random BerdistribusiBinomial Negatif

( ) ( ) kxkxk ppxXP −−− −== 1C 11

( ) ( )∑=

−−− −=≤

r

kx

kxkxk pprXP 1C 1

1


Contoh Perhitungan

Probabilitas produk cacat adalah 0,1.

Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannyaproduk yang cacat yang ketiga pada pengambilan kelima?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,02!2!

4!1,011,0C5 2335315

13 ==−== −−−XP


Definisi Lain dari Variabel Random Binomial Negatif & Fungsi Dist. Prob.

Variabel random binomial negatif X dapat juga didefinisikan sebagaibanyaknya gagal sebelummemperoleh k sukses

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−=

−+

lainnya ;0

,2,1,0 ;1C 1

x

xpp

xf

xkkxx L

Parameter:

k bulat > 0; p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:p

pkX

)1( −=μ

( )2

2 1

p

pkX

−=σ


( ) ( )xkkxx ppxXP −== −+ 1C 1

( ) ( )∑=

−+ −=≤r

x

xkkxx pprXP

0

1 1C


Contoh Histogram Distribusi Binomial Negatif

k = 2; p = 0,2

Variabel random X banyaknya gagal sebelum memperoleh k sukses


Contoh Perhitungan


Jika produk diambil satu per satu, probabilitas terambilnyaproduk baik (tidak cacat) sebanyak dua sebelum menghasilkanproduk cacat ketiga?

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0049,09,01,02!2!

4!1,011,0C2 2323132

2 ==−== −+XP


Distribusi Geometris

X ∼ geometris (p)Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−=

−

lainnya ;0

,2,1 ;1 1

x

xpp

xf

x L

pX

1=μ

2

2 1

p

pX

−=σ



Percobaan Geometris

Percobaan terdiri atas n usaha yang salingindependen

Tiap usaha hanya terdiri dari dua kejadianyang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas tiap sukses untuk tiap usahaadalah tetap, yaitu p (probabilitas gagal, 1 – p)

Variabel random yang menyatakan banyaknyausaha agar terjadi sukses pertamamerupakan variabel random geometris


Contoh Histogram Distribusi Geometris

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x

f(x)

p = 0,5

p = 0,2

Variabel random X banyaknya usaha untuk memperoleh suksespertama


Probabilitas Variabel Random BerdistribusiGeometris

( ) ( ) 11 −−== xppxXP

( ) ( )∑=

−−=≤r

x

xpprXP1

11


Contoh Perhitungan


Jika produk diambil satu per satu, probabilitas ditemukannyaproduk yang cacat pada pengambilan ketiga?

Rata‐rata banyaknya pengambilan untuk menemukan produkcacat?

( ) ( )( ) ( )( )

081,09,01,01,011,03 213 ==−== −XP

101,0

1==Xμ


Definisi Lain dari Variabel Random Geometrisdan Fungsi Distribusi Probabilitas

Variabel random geometris X dapatjuga didefinisikan sebagaibanyaknya gagal untukmemperoleh sukses pertama


( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧ =−=

lainnya ;0

,2,1,0 ;1

x

xpp

xf

x L

Parameter:

p (0 ≤ p ≤ 1)

Rataan:

Variansi:p

pX

−=1μ

2

2 1

p

pX

−=σ

( ) ( )xppxXP −== 1

( ) ( )∑=

−=≤r

x

xpprXP0

1


Contoh Histogram Distribusi Geometris

p = 0,2

Variabel random X banyaknya gagal sebelum memperoleh suksespertama


Contoh Perhitungan


Jika produk diambil satu per satu, probabilitas diperoleh duaproduk baik (tidak cacat) sebelum diperoleh produk cacat?

Rata‐rata banyaknya produk baik (tidak cacat) yang diperolehsebelum menemukan produk cacat?

( ) ( )( ) ( )( )

081,09,01,01,011,02 22 ==−==XP

91,0

9,0

1,0

1,01==

−=Xμ


Hubungan Distribusi Binomial Negatif danGeometris

X ∼ binomial negatif (k, p); k = 1

X ∼ geometris (p)


Distribusi Poisson

X ∼ Poisson (λ) Parameter:

λ > 0

Rataan:

Variansi:

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧=

=

−

lainnya ;0

,2,1,0 ;!

x

xx

e

xf

x

Lλλ

λμ =X

λσ =2X

Fungsi distribusi probabilitas:λ rata‐rata kejadian

per interval waktu atau

daerah tertentu


Ciri‐Ciri Proses Poisson

Jumlah kejadian yang terjadi dalam suatu interval waktu ataudaerah tertentu adalah independen terhadap jumlah kejadiandalam interval waktu atau daerah yang lain.

Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada interval waktuatau daerah yang sangat kecil adalah proporsional terhadappanjang interval waktu atau luas daerah dan tidak tergantungpada jumlah kejadian yang terjadi di luar interval waktu ataudaerah ini.

Probabilitas lebih dari satu kejadian dalam interval waktuatau daerah yang sangat kecil adalah diabaikan


Contoh Histogram Distribusi Poisson

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.1600

0.1800

0.2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

f(x)

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

f(x)

λ = 2

λ = 5


Probabilitas Variabel Random BerdistribusiPoisson

( )! x

exXP

xλλ−==

( ) ∑=

−

=≤r

x

x

x

erXP

0 !

λλ


Contoh Perhitungan

Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahuiberdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari. Probabilitas bahwa terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguanper hari?

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

02925,0

01892,000045,000005,0 ! 4

10

! 1

10

! 0

10

!

10

415

410110010

4

0

10

=+++=

+++=

=

≤−=≥

−−−

=

−

∑

L

Leee

x

e

XPXP

x

x


Hampiran Distribusi Poisson terhadapBinomial

X ∼ binomial (n, p); n →∞; p → 0

X ∼ Poisson (λ); λ = np


Contoh Perhitungan

Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusakadalah 0,01.

Jika terdapat sebanyak 1000 produk, probabilitas terdapat 10 produk yang dibuang karena rusak?

( )( )

( )( )( )

0,0378

! 5

105

1001,01000

510

=

==

==

−eXP

λ


Ciri Reproduktif Variabel Random Poisson

Xi ∼ Poisson (λi)

∑=

=n

iiXY

1

Y ∼ Poisson (λ), λ = λ1 + λ2 + ... + λn

Xi saling independen


Contoh Perhitungan

Banyaknya gangguan mesin A yang terjadi per hari diketahuiberdistribusi Poisson dengan rata‐rata 10 gangguan per hari. Banyaknya gangguan mesin B yang terjadi per hari diketahuiberdistribusi Poisson dengan rata‐rata 5 gangguan per hari.

Probabilitas banyaknya gangguan sebanyak 5 per hari adalah:

( ) ( )

00194,0

! 5

155

15510

515

21

=

==

=+=+=

−eXP

λλλ

Documents

Distribusi Probabilitas Diskret Teoritis