FACULTAT d' ECONOMIAUNIVERSITAT DE VALENCIA

LICENCIATURA EN C.C. ACTUARIALES Y FINANCIERAS

MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA ACTUARIOS

CURSO 2003-2004

PRÁCTICAS.- (Documento 2)

DEPARTAMENTO: ECONOMIA FINANCERA PROFESOR : MANUEL VENTURA MARCOhttp://www.uv.es/~venturae-mail: manuel.ventura@uv.es

Tema 1EL PROCESO DE INTEGRACIÓN

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ü Alberca, P. (2000): "Prácticas con Mathematica. Álgebra y Cálculo, Cuaderno I". Ed. Aljibe,Archidona. Págs. 73 a 80.

S 681.3.06 ALB

ü Huang , C.J. and Crooke, P.S. (1997): "Mathematics and Mathematica for Economists".Blackwell. Págs. 16-27, 32-37, y 69 a 77.

S 681.3.06 HUA

ü Pérez, C. (1995): "Cálculo simbólico y numérico con Mathematica". Ed. RA-MA, Madrid. Págs.585 a 592, 609 a 640, y 671 a 679.

S 681.3.06 MATHEPER

à Funciones propias de Mathematica para calcular integrales

Las funciones básicas predefinidas para el cálculo integral son Integrate[] y NIntegrate[].Mientras Integrate[] permite cálculos de:

integral indefinida (aunque, ¡ojo!, no incluye en el resultado la constante de integración por lo que la mismadebe añadirse)

In[1]:= Integrate@Sqrt@xD + Log@xD, xD + k

Out[1]= k − x +2 x3ê23

+ x Log@xDexpresión en la que Sqrt[] significa raíz cuadrada y Log[] logaritmo neperiano, otras dos funciones propiasde Mathematica (recuerde que el argumento va entre corchetes),

de integral definida (especificando límites de integración) tanto simbólicos:

In[2]:= Integrate@x∗Sin@xD, 8x, a, b<DOut[2]= a Cos@aD − b Cos@bD − Sin@aD + Sin@bD

maa04D2.nb 2

donde Sin[] y Cos[] son las funciones propias seno y coseno, pudiendo observarse que el producto serepresenta mediante * (aunque opcionalmente puede dejar un espacio en blanco y Mathematica entiende tambiénque quiere multiplicar. Para los principiantes es recomendable el asterisco), como numéricos:

In[3]:= Integrate@x∗Sin@xD, 8x, Piê2, Pi<DOut[3]= −1 + π

Los mismos resultados conseguiríamos si en vez de teclear utilizamos las paletas. Por ejemplo:

In[4]:= ‡π2

π

x∗Sin@xD x

Out[4]= −1 + π

Advertir que es el operador diferencial, no la letra d, de modo que si por accidente se borra puede conseguirsetecleando la siguiente secuencia:

ÂddÂ

Si en la anterios salida queremos un valor numérico con 5 dígitos de precisión:

In[5]:= N@%, 5DOut[5]= 2.14159

Alternativamente podemos utilizar el comando NIntegrate[] que sólo sirve para integración definidanumérica:

In[6]:= NIntegrate@x∗ Sin@xD, 8x, Piê2, Pi<DOut[6]= 2.14159

ü Integración de funciones por partes

Para el cálculo de una integral definida en funciones discontinuas o funciones continuas pero no diferen-ciables se recomienda la aplicación de NIntegrate[] o alternativamente aplicar la función N[] o elcomando N sobre el resultado de Integrate[]. Por ejemplo, definimos la función

3 maa04D2.nb

In[7]:= signo@x_ ê; x < 0D := −1;signo@x_ ê; x == 0D := 0;signo@x_ ê; x > 0D := 1;Plot@signo@xD, 8x, −1, 1<,

AxesLabel → 8"x", "fHxL"<, PlotRange → 8−1.5, 1.5<D;

-1 -0.5 0.5 1x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5fHxL

y aplicamos

In[11]:= Integrate@signo@xD, 8x, −1, 1<DOut[11]= ‡

−1

1

signo@xD x

In[12]:= N@%DNIntegrate::ploss :

Numerical integration stopping due to loss of precision. Achieved neither therequested PrecisionGoal nor AccuracyGoal; suspect one of the following:highly oscillatory integrand or the true value of the integral is 0. If yourintegrand is oscillatory try using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate.

Out[12]= 0.

o bien

In[13]:= NIntegrate@signo@xD, 8x, −1, 1<DNIntegrate::ploss :

Numerical integration stopping due to loss of precision. Achieved neither therequested PrecisionGoal nor AccuracyGoal; suspect one of the following:highly oscillatory integrand or the true value of the integral is 0. If yourintegrand is oscillatory try using the option Method−>Oscillatory in NIntegrate.

Out[13]= 0.

Otro ejemplo

maa04D2.nb 4

In[14]:= Clear@x, fD;f@x_D := Which@0 ≤ x ≤ 1, x^2, 1 < x ≤ 2, 2 − xD;Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, AxesLabel → 8"x", "fHxL"<D;

0.5 1 1.5 2x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fHxL

In[17]:=Integrate@f@xD, 8x, 0, 2<D

Out[17]= ‡0

2

Which@0 ≤ x ≤ 1, x2, 1 < x ≤ 2, 2 − xD x

Como puede observarse no obtiene una solución explícita. Sin embargo,

In[18]:= NIntegrate@f@xD, 8x, 0, 2<DOut[18]= 0.833333

Si queremos resolver el problema que se plantea con Integrate[] la solución consiste en dividir en subdo-minios tomando como referencia los puntos de discontinuidad:

In[19]:=A1 = Integrate@x^2, 8x, 0, 1<D;A2 = Integrate@2 − x, 8x, 1, 2<D;8A1 + A2, N@A1 + A2D<

Out[21]= 9 56, 0.833333=

Otro ejemplo más:

In[22]:= ‡−a

a

Abs@xD x ê. a → 1 êê NOut[22]= 1.

à La Integral como Antiderivada

En un primer acercamiento al proceso de integración este suele concebirse como inverso del proceso dederivación. Es decir, que si F[x] es una función real diferenciable tal que su derivada es f[x],

F'[x] = f[x],

5 maa04D2.nb

entonces F[x] es una primitiva o antiderivada (integral indefinida es el conjunto de antiderivadas: F[x] + K)de la función f[x]. Existen múltiples aplicaciones al campo económico de esta idea, que si además comporta laconsideración de un valor concreto para la constante de integración reciben, en términos de matemática aplicada,la denominación de poblemas de valor inicial.

Por otra parte, cuando f[x] es integrable Riemann en un intervalo [a, b] y posee primitiva F[x], laforma más sencilla y habitual para calcular la correspondiente integral de Riemann es mediante la Regla deBarrow

Ÿabf@xD x = F@bD − F@aDü Obtención de Funciones Totales a partir de Funciones Marginales

La estimación y cálculo de funciones totales (coste, ingreso, beneficios, consumo, etc.) a partir de funcionesmarginales es la aplicación más relevante de la idea de integral como antiderivada. Además, a la constante deintegración se le suele atribuir un claro significado económico (coste fijo, consumo autónomo, etc.).

ü Aplicación: Beneficio Total a partir de Beneficio Marginal

Definimos las funciones de ingreso marginal y de coste marginal:

In[23]:= Clear@IMg, CMg, qD;IMg@q_D := 2000 − 20∗q − 3∗ q2;CMg@q_D := 60∗q2 − 25∗q + 0.2;

Obtenemos la función de ingreso total integrando la función de ingreso marginal y con el supuesto de quetodos los ingreson por ventas (si q = 0 entonces IT = 0, por lo que la constante de integración será nula)

In[26]:= IT = Integrate@IMg@qD, qDOut[26]= 2000 q − 10 q2 − q3

También podemos obtener el ingreso medio o función de demanda:

In[27]:= pd =Integrate@IMg@qD, qD

qêê Simplify

Out[27]= 2000 − 10 q − q2

Como el coste marginal se define como la variación en el coste total ante un cambio infinitesimal en laproducción, el coste total es el resultado de integrar la función de coste marginal, siendo la antiderivada deCMg[q] el coste variable CV[q] , mientras que la constante de integración se interpreta como el coste fijo, CF,que no depende del nivel de producción. Así pues,

In[28]:= CV = Integrate@CMg@qD, qDOut[28]= 0.2 q −

25 q2

2+ 20 q3

maa04D2.nb 6

In[29]:= CF = 4000;CT = CV + CF

Out[30]= 4000 + 0.2 q −25 q2

2+ 20 q3

Por lo tanto, la función de beneficio total será

In[31]:= BT = IT − CT

Out[31]= −4000 + 1999.8 q +5 q2

2− 21 q3

In[32]:= Plot@BT, 8q, 0, 10<, AxesLabel → 8"Cantidad", "Beneficio Total"<D;

2 4 6 8 10Cantidad

-4000

-2000

2000

Beneficio Total

El mismo resultado puede obtenerse directamente si definimos

In[33]:= BMg = IMg@qD − CMg@qDOut[33]= 1999.8 + 5 q − 63 q2

y procedemos a integrar

In[34]:= BT = ‡ BMg q + k

Out[34]= k + 1999.8 q +5 q2

2− 21 q3

y como existe un coste fijo, determinamos el valor de la constante de integración

In[35]:= Solve@BT == −CF ê. q → 0, kDOut[35]= 88k → −4000<<

7 maa04D2.nb

ü Obtención de stocks a partir de flujos (funciones de acumulación)

ü Stock de capital e inversión

Cuando el proceso de formación de capital se considera continuo en el tiempo, la variación en el stock(existencias) de capital ante un cambio infinitesimal en la variable tiempo es, si no hay depreciación, lainversión neta: I(t). Por lo tanto, si I(t) es la tasa de cambio temporal en el stock de capital, K(t), entonces elstock de capital acumulado se obtiene como la antiderivada del flujo de inversión. Un ejemplo al respecto:

In[36]:= Clear@Inv, t, K, k, K0D;Inv@t_D := a∗ tb;

K@tD = J‡ Inv@tD t + kN ê. 8a → 10, b → 2ê3<Out[38]= k + 6 t5ê3que si sabemos que K(0) = 500, por ejemplo, da lugar a

In[39]:= K0 = Solve@K@tD 500 ê. t → 0, kDOut[39]= 88k → 500<<Por lo que la trayectoria temporal de la función de acumulación de capital será

In[40]:= K@tD ê. K0Out[40]= 8500 + 6 t5ê3<In[41]:= Plot@%, 8t, 0, 10<, AxesLabel → 8"t", "KHtL"<D

2 4 6 8 10t

550

600

650

700

750

KHtL

Out[41]= Graphics

Por su parte, si en vez de determinar la trayectoria temporal del stock de capital lo que interesa es el nivel deformación de capital en un determinado intervalo temporal debemos recurrir a la integral definida

In[42]:= ∆K = ‡t0

t1Inv@tD t ê. 8a → 10, b → 2ê3, t0 → 1, t1 −> 5< êê N

Out[42]= 81.7205

maa04D2.nb 8

à Funciones sin antiderivada

La idea expuesta de la integración como proceso inverso al de derivación está limitado por existir funci-ones sin primitiva elemental (no existe ninguna función ni combinación de funciones algebrauicas y/o trascen-dentes que al derivarla de lugar a las mismas), lo que significa que no podemos aplicar el Tma. fundamental delcálculo ni la regla de Barrow. Algunas de estas funciones son:

E−x2 ,

Ex2 ,

Sin@xDx ,

Cos@xDx ,"###############################

1 − k2 Sin@xD2 ,

Ex

x ,

1Log@xD ,

Sin[Sin[x]]

De hecho, si procedemos a integrar mediante Mathematica alguna de estas funciones da resultados extranos parapersonas no habituadas a trabajar con las mismas

In[43]:= ‡ −x2 x

Out[43]=12è!!!π Erf@xD

donde Erf[x] es una función integral conocida como función de error

In[44]:= Erf@xD ==2è!!!!π

∗‡0

x

E−t2 t

Out[44]= True

Otro ejemplo relevante es

In[45]:= ‡ 1

Log@xD x

Out[45]= LogIntegral@xDdonde LogIntegral[x] es otra función integral conocida como la función logaritmointegral.

9 maa04D2.nb

En estos casos de funciones sin antiderivada, o incluso con integrando complicado, uno de los procedimientosbásicos para poder obtener un resultado aceptable consiste en efectuar una aproximación polinómica mediantedesarrollos de Taylor. En Mathematica la función propia adecuada es

In[46]:= Clear@f, xD;Series@f@xD, 8x, a, 5<D

Out[47]= f@aD + f @aD Hx − aL +12f @aD Hx − aL2 +

16fH3L@aD Hx − aL3 +

124

fH4L@aD Hx − aL4 +1120

fH5L@aD Hx − aL5 + O@x − aD6Puede observarse que si pedimos un desarrollo de orden n = 5, en el output aparece un término que representa elresto o error, O[x-aD6 . Este término se puede suprimir mediante la función Normal[], anidando en la misma lafunción Series[],

In[48]:= Normal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DDOut[48]= f@aD + H−a + xL f @aD +

12H−a + xL2 f @aD +

16H−a + xL3 fH3L@aD +

124

H−a + xL4 fH4L@aD +1

120H−a + xL5 fH5L@aD

En un caso concreto el procedimiento funciona de la siguiente forma

In[49]:= Clear@f, xD;f@x_D := Exp@−x2D;aproximacion1 = Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[51]= 1 − x2 +x4

2−x6

6

In[52]:= aproximacion2 = Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DDOut[52]= 1 − x2 +

x4

2−x6

6+

x8

24

In[53]:=Plot@8f@xD, aproximacion1<, 8x, 0, 2<, PlotStyle → 88<, Thickness@0.02D<D;

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

maa04D2.nb 10

In[54]:= Plot@8f@xD, aproximacion2<, 8x, 0, 2<, PlotStyle → 88<, GrayLevel@0.5D<D;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

Puede observarse que hasta x = 1 las dos aproximaciones son bastante cerradas a la verdadera función, por lo quevamos a restringir el gráfico al intervalo [0, 1]

In[55]:=Plot@8f@xD, aproximacion1<, 8x, 0, 1<, PlotStyle → 88<, Thickness@0.02D<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

In[56]:= Plot@8f@xD, aproximacion2<, 8x, 0, 1<, PlotStyle → 88<, GrayLevel@0.5D<D;0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

quedando claro que la aproximación de mayor orden es más cerrada y en general lo será más a mayor orden deldesarrollo de Taylor (en este caso de MacLaurin al ser en x = 0). Las aproximaciones polinómicas mediante losdesarrollos de Taylor tienen un determinado radio de convergencia en los que se mantienen aceptablemente cercade la función original, y que en nuestro ejemplo sería el intervalo [0, 1], por lo que

11 maa04D2.nb

‡0

1

f@xD x ≈ ‡0

1

aproximacion x

De hecho,

In[57]:= Ia1 = ‡0

1

aproximacion1 x

Out[57]=2635

In[58]:=

Ia2 = ‡0

1

aproximacion2 x

Out[58]=56517560

In[59]:=

IR = ‡0

1

f@xD x

Out[59]=12è!!!π Erf@1D

siendo el error cometido en términos absolutos

In[60]:= E1 = IR − Ia1 êê NOut[60]= 0.00396699

In[61]:=E2 = IR − Ia2 êê N

Out[61]= −0.00066264

y en términos relativos

In[62]:= ER1 = AbsA E1

IRE

Out[62]= 0.00531181

In[63]:=

ER2 = AbsA E2

IRE

Out[63]= 0.000887277

Dentro del radio de convergencia, se aconseja ir aumentando el orden de la aproximación para afinar más elresultado (es conveniente que repita el proceso que se ha descrito para desarrollos de Taylor de orden superior alos tratados, así como para otras funciones de las descritas sin antiderivada). Aunque depende de cada caso enconcreto a estudiar, suelen admitirse errores que van entre 0.001 y 10-10 , existiendo técnicas para acotar el errorconsiderando el último sumando de la primitiva de la aproximación en el extremo superior.

maa04D2.nb 12

à La Integral Definida como Área

ü Cálculo de áreas

Para una función no negativa el cálculo de la integral definida sabemos que representa el área que encierra elgrafo de la función, y = f(x), con el eje de abcisas, OX, entre los límites de integración, x = a y x = b. Así pues,a efectos prácticos podemos aplicar el Tma. fundamental del cálculo integral y en base a la Regla de Barrow

AREA =F[b]-F[a]=Ÿab f@xD x

En la Estadística Matemática, para las variables aleatorias continua, conocida la función de densidad f(x), elcálculo de P(a § X § b) equivale al cálculo del área, ya que

P Ha ≤ X ≤ bL = F@bD − F@aD = Ÿab f@xD x

donde ahora F(x) es la función de distribución.

ü Una aplicación actuarial

La distribución del coste de la siniestralidad de una cartera de seguros viene dada por la siguiente función dedensidad exponencial negativa

In[64]:= Clear@f, xD;f@x_D := 0.005∗E^−H0.005∗ xL;

cuya representación gráfica es

In[66]:= Plot@f@xD, 8x, 0, 1000<, AxesLabel → 8"x", "fHxL"<D;

200 400 600 800 1000x

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

fHxL

La definición de la función f[x] es diferida (:=). Por su parte, en la representación gráfica mdiante lafunción Plot[] se ha asignado etiquetas a los ejes.

La probabilidad de que el coste de un siniestro esté comprendido entre 120 y 600 u.m. se obtiene como

13 maa04D2.nb

In[67]:= Integrate@f@xD, 8x, 120, 600<DOut[67]= 0.499025

Matemáticamente es el área encerrada entre la gráfica de f[x],el eje de abcisas, y las recta x = 120 y x =600.

Para representar un área es conveniente cargar la función FilledPlot[] del paquete adicional Graphics,ya que el mismo no está en el Kernel básico de Mathematica. Podemos hacerlo de dos formas:

In[68]:= << Graphics`FilledPlot`

o alternativamente

Needs@"Graphics`FilledPlot`"Ddonde ` es la tilde del acento grave (abierto). Una vez cargada la función podemos aplicarla:

In[69]:= FilledPlot@f@xD, 8x, 120, 600<,AxesOrigin → 80, 0<, AxesLabel → 8"x", "fHxL"<D;

200 300 400 500 600x

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

fHxL

200 300 400 500 600x

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

fHxL

Si a partir de siniestros de cuantía 1000 u.m. existe un reaseguro del exceso sobre dicha cuantía (Excess ofLoss), el coste medio de un siniestro se puede calcular definiendo

In[70]:= F@a_D := Integrate@f@xD, 8x, 0, a<D;la función de distribución de f(x) para valores de x œ [ 0 , a), y luego mediante el cálculo de la esperanza

In[71]:= m = Integrate@x ∗f@xD, 8x, 0, 1000<D + 1000∗H1 − F@1000DL êê NOut[71]= 198.652

donde 1-F[1000] es precisamente la cola derecha de la distribución

maa04D2.nb 14

In[72]:=FilledPlot@1 − F@xD, 8x, 1000, 2500<, AxesLabel → 8"x", "fHxL"<D;

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400x

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

fHxL

1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400x

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

fHxL

ü Área limitada entre curvas

En general, dadas dos funciones integrables Riemann f(x) y g(x) en [a, b]

AREA =Ÿab » f@xD − g@xD » x

No obstante, si las dos funciones son no negativas, f(x)¥ 0 y g(x)¥0 en [a, b], simplemente

AREA =Ÿabf@xD − g@xD x

Un ejemplo: se definen dos funciones y se cargan en memoria

In[73]:= Clear@f, g, xD;f@x_D := Hx − 2L^2 − 1;g@x_D := x − 1;

Se determinan los puntos de corte de las dos funciones. Si las dos funciones son polinómicas entonces lafunción Solve[] funciona muy bien, pero para otro tipo de funciones es más aconsejable utilizar Fin-Root[]. En nuestro caso las dos son polinómicas

In[76]:= Solve@f@xD g@xD, xDOut[76]= 88x → 1<, 8x → 4<<

15 maa04D2.nb

In[77]:= FilledPlot@8f@xD, g@xD<, 8x, 1, 4<, Fills → 8881, 2<, GrayLevel@.6D<<D

1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

1

2

3

1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

1

2

3

Out[77]= Graphics

Procediendo a la pertinente descomposición a la vista del gráfico

In[78]:= Solve@f@xD 0, xDOut[78]= 88x → 1<, 8x → 3<<In[79]:= A1 = Abs@Integrate@f@xD, 8x, 1, 3<DDOut[79]=

43

In[80]:= A2 = Integrate@g@xD, 8x, 1, 3<DOut[80]= 2

In[81]:= A3 = Integrate@g@xD − f@xD, 8x, 3, 4<DOut[81]=

76

In[82]:= Área = A1 + A2 + A3

Out[82]=92

No obstante, mediante un sólo cálculo

In[83]:= Área = ‡1

4

Abs@f@xD − g@xDD x

Out[83]=92

ü Aplicación: Excedente del consumidor y del productor

Definimos las funciones de demanda y oferta y encontramos la cantidad de equilibrio

In[84]:= Clear@pd, ps, qD;pd@q_D := 4∗H25 − q^2L;ps@q_D := 52 + q + q^2;Solve@pd@qD ps@qD, qD

Out[87]= 99q → −165=, 8q → 3<=

maa04D2.nb 16

In[88]:=qe = q ê. %@@2DD

Out[88]= 3

Con /. (Replace All) se asignan valores en la expresión respecto de la que pretendemos realizar algunaoperación mediante el correspondiente comando.

Podemos representarlo gráficamente

In[89]:= Plot@8pd@qD, ps@qD<, 8q, 0, 4<, AxesOrigin → 80, 50<,AxesLabel → 8"q", "p"<, PlotStyle → 88<, Dashing@80.02<D<D;

1 2 3 4q

40

60

70

80

90

100

p

El excedente total es el área comprendida entre las dos curvas para valores de q œ [0,3]

In[90]:= ET = Integrate@pd@qD − ps@qD, 8q, 0, qe<DOut[90]=

1892

El excedente del consumidor es

In[91]:= EC = Integrate@pd@qD, 8q, 0, qe<D − pd@qeD∗qe

Out[91]= 72

Para verlo gráficamente cargamos FilledPlot

17 maa04D2.nb

In[92]:= Needs@"Graphics`FilledPlot`"D;g@q_D := pd@qeD;FilledPlot@8pd@qD, g@qD<, 8q, 0, qe<,

AxesLabel → 8"q", "p"<, AxesOrigin → 80, 64<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3q65

70

75

80

85

90

95

100

p

0.5 1 1.5 2 2.5 3q65

70

75

80

85

90

95

100

p

Por su parte, el excedente del productor es

In[95]:= EP = ps@qeD ∗qe − Integrate@ps@qD, 8q, 0, qe<DOut[95]=

452

Gráficamente

In[96]:= h@q_D := ps@qeD;FilledPlot@8ps@qD, h@qD<, 8q, 0, qe<, AxesLabel → 8"q", "p"<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3q

54

56

58

60

62

64

p

0.5 1 1.5 2 2.5 3q

54

56

58

60

62

64

p

ü Otra aplicación: Distribución de la renta

Si representamos por n el número de individuos de una población y F[r] representa el % de dicha poblacióncuya renta es menor o igual al nivel r, entonces n*F[r] es el total de individuos con una renta menor o iguala r. Si f[r] es la función de densidad, entonces

n∗‡a

b

f@rD r

da el número de individuos con rentas en [a, b],

n∗‡a

b

r∗f@rD r

maa04D2.nb 18

da la renta total de los individuos cuyo nivel de renta está comprendido en [a, b], y

m =n∗ Ÿabr ∗f@rD r

n∗ Ÿabf@rD r

da la renta media de los individuos con rentas en el intervalo [a, b].

Por su parte, dada una función de distribución de la renta

F@rD = ‡0

r

f@sD s

tal que

F@0D 0

Limit@F@rD, r → ∞D 1

y tomamos la función inversa R:p∈[0, 1]→ R[p] = r, entonces se define la curva de Lorentz, que seusa para estudiar la concentración de la renta, como la gráfica de la función

L@pD =n∗ Ÿ0R@pDr∗f@rD r

n ∗ Ÿ0∞r∗f@rD r=Ÿ0R@pDr∗f@rD r

m

Observe que L[p]∈[0, 1]. El grado de desviación se mide por el coeficiente de desigualdad: área entrela curva y la diagonal dividida entre el área bajo la diagonal, o por el coeficiente de Gini

Gini = 2 ∗ikjjjj‡01p p − ‡

0

1

L@pD py{zzzz = 1 − 2∗‡

0

1

L@pD p

ü Una advertencia

Existen algunos conceptos económicos y financieros representables mediante el concepto de integraldefinida que no se ajustan a la interpretación como área: beneficios, saldos financieros o reservas, saldos decomercio exterior, etc. En general se trata de conceptos que se obtienen como resultado de dos flujos (netflow= inflow - outflow) de distinto signo en los que el stock final es positivo o negativo en función de la evoluciónde los flujos. A modo de ejemplo, considérese la determinación del beneficio acumulado durante el periodo[0, 10], así como el beneficio medio en dicho periodo a partir de la función de beneficio instantaneo

In[98]:= Clear@t, bD;b@t_D := t2 ∗Sin@tD + 10

In[100]:= << Graphics`FilledPlot`

19 maa04D2.nb

In[101]:= FilledPlot@b@tD, 8t, 0, 10<,AxesLabel → 8"tiempo", "beneficio instantaneo"<D;

2 4 6 8 10tiempo

-40

-20

20

40

60

beneficio instantaneo

2 4 6 8 10tiempo

-40

-20

20

40

60

beneficio instantaneo

El cálculo correcto es

In[102]:= B = ‡0

10

b@tD t êê NOut[102]= 169.349

sin considerar el valor absoluto de la función en los tramos en los que toma valores negativos. Por lo tant, elbeneficio medio durante el periodo será

In[103]:= B¯

=B

10

Out[103]= 16.9349

à Métodos numéricos para Integración Definida (Cuadratura)

Se trata de métodos de aproximación que reemplazan el integrando por una expresión más facil deintegrar con la finalidad de obtener resultados bastante precisos sin un excesivo esfuerzo computacional cuandoel integrando no tiene antiderivada en términos de funciones elementales, tiene una expresión complicada o sóloes conocido su valor para ciertos valores tabulados de la variable de referencia, x (Un ejemplo pueden ser lastablas de mortalidad). Así pues, los métodos de integración numérica tienen por objetivo la aproximación deintegrales definidas mediante fórmulas tipo

‡a

b

f@xD x > ‚k=0

n

wk f@xkDdenominadas fórmulas de cuadratura en n+1 puntos: medias ponderadas de valores del integrando en puntos deuna partición del dominio de integración [a, b], 8x0, x1, ..., xn<denominados también puntos muestrales, nodos de integración o nodos de cuadratura; siendo los 8w0, w1, ..., wn<los pesos, coeficientes de ponderación o ponderaciones. A la diferencia entre el valor auténtico de la integral y dela aproximación se le denomina error de truncamiento.

maa04D2.nb 20

Cuando la aproximación se hace mediante interpolación polinómica de grado n (se utilizan n+1 puntos)

‡a

b

Pn@xD x

la formula resultante es de la familia Newton-Cotes: regla del trapecio, regla de Simpson, regla de Boole, etc. Sedice que las fórmulas son cerradas cuando a y b forman parte de la partición y abiertas si no es el caso. Por otraparte, señalar que la elección de una partición uniforme comporta pesos (coeficientes de ponderación) constantes,wk= h para todo k.

La evaluación numérica de integrales mediante los métodos de punto medio, trapecios, Simpson (tanto seansimples como compuestos) comienza mediante los siguientes pasos:

1) Partición uniforme de [a, b] con x0= a y xn = b

2) h = (b-a)/n

3) xk = a+k*h

a partir de aquí cada método realiza la evaluación de forma distinta.

ü Métodos de rectangulo: extremo inferior, extreno superior y punto medio

En realidad son un caso especial de Sumas de Riemann en las que la partición se toma con todos los subinterva-los de la misma longitud y los puntos de evaluación de la función son respectivamente el extremo inferior, elextremo superior y el punto medio de cada subintervalo:

‡a

b

f@xD x ≈ ‚k=1

n

f@a + Hk − 1L ∗hD ∗h

‡a

b

f@xD x ≈ ‚k=1

n

f@a + k ∗hD ∗h

‡a

b

f@xD x ≈ ‚k=1

n−

fAa + Hk − 1L ∗h +h

2E∗h

Las dos primeras reglas son adecuadas cuando las funciones son monótonas, decreciente y creciente respectiva-mente, mientras que la regla del punto medio suele aplicarse en funciones cuya expresión es complicada y/opresentan tanto tramos crecientes como decrecientes.

ü Ejemplo

Cálculo de

21 maa04D2.nb

‡0

1

f@xD x

mediante las reglas del extremo inferior, extremo superior y punto medio con n = 10 para la función

In[104]:= Clear@f, xD;f@x_D := Exp@−x2D

In[106]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =

b − a

n;

REI = ‚k=1

n−1

f@a + Hk − 1L ∗hD ∗h êê NOut[108]= 0.733331

In[109]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =

b − a

n;

RES = ‚k=1

n−1

f@a + k∗ hD ∗h êê NOut[111]= 0.677817

In[112]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =

b − a

n;

RPM = ‚k=1

n−1

fAa + Hk − 1L ∗h +h

2E ∗h êê N

Out[114]= 0.706575

Si ahora consideramos n = 100

In[115]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =

b − a

n;

REI = ‚k=1

n−1

f@a + Hk − 1L ∗hD ∗h êê NOut[117]= 0.746226

In[118]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =

b − a

n;

RES = ‚k=1

n−1

f@a + k∗ hD ∗h êê NOut[120]= 0.739979

maa04D2.nb 22

In[121]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =

b − a

n;

RPM = ‚k=1

n−1

fAa + Hk − 1L ∗h +h

2E ∗h êê N

Out[123]= 0.743112

ü Regla compuesta del trapecio (método trapezoidal)

Es similar al método del punto medio pero usando el segmento (cuerda) que une dos puntos sucesivos de lafunción, de ahí que se denomine también método de interpolación lineal

‡a

b

f@xD x ≈ ‚k=1

n−1

f@a + k ∗hD ∗h +h

2∗Hf@aD + f@bDL

Cuando f[x] œ 2 [ a, b], su grado de precisión es 1 (quiere decir que es exacta para funciones lineales), siendoel error de truncamiento

Error =−h2

12∗Hb − aL ∗f''@cD

donde c ∈ (a, b), pudiéndose acotar por

Error ≤ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ M ∗

Hb − aL312∗ n2

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒdonde M es un mayorante de f''[a,b].

ü Ejemplo

Para el mismo ejemplo que antes

In[124]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;h =

b − a

n;

CTRAPECIO = ‚k=1

n−1

f@a + k∗ hD ∗h +h

2∗Hf@aD + f@bDL êê N

Out[126]= 0.746211

Si n = 100,

In[127]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;h =

b − a

n;

CTRAPECIO = ‚k=1

n−1

f@a + k∗ hD ∗h +h

2∗Hf@aD + f@bDL êê N

Out[129]= 0.746818

23 maa04D2.nb

ü Regla compuesta de Simpson (regla 1/3 o de interpolación cuadrática)

En la regla de Simpson 1/3 (hay otra que es la 3/8) se realiza una interpolación cuadrática entre tres puntosconsecutivos de la gráfica de la función, por lo que n, el número de subintervalos ha de ser par al involucrar enel cálculo a los subintervalos de dos en dos. Considerando que n = 2*m

‡a

b

f@xD x ≈h

3 ikjjjjjf@aD + f@bD + 2∗

ikjjjjj‚k=1

m−1

f@a + 2∗k∗hDy{zzzzz + 4∗ikjjjjj‚k=1

m

f@a + H2∗k − 1L∗hDy{zzzzzy{zzzzzCuando f[x] œ 4 [ a, b], el grado de precisión es 3 (es una fórmula exacta para funciones cúbicas) y el error detruncamiento es

Error = −h4

180 Hb − aL ∗fIV@c D

donde c ∈ (a, b), pudiéndose acotar por

Error ≤ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ M ∗

Hb − aL5180∗n4

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒdonde M es un mayorante de fIV[a, b].

ü Ejemplo

Para el mismo ejemplo que antes

In[130]:= 8a = 0, b = 1, n = 10<;m = nê2;h =

b − a

n;

CSIMPSON =

NA h3

ikjjjjjf@aD + f@bD + 2∗

ikjjjjj‚k=1

m−1

f@a + 2∗k∗hDy{zzzzz + 4∗ikjjjjj‚k=1

m

f@a + H2∗k − 1L∗hDy{zzzzzy{zzzzzEOut[133]= 0.746825

Si n = 100,

In[134]:= 8a = 0, b = 1, n = 100<;m = nê2;h =

b − a

n;

CSIMPSON =

NA h3

ikjjjjjf@aD + f@bD + 2∗

ikjjjjj‚k=1

m−1

f@a + 2∗k∗hDy{zzzzz + 4∗ikjjjjj‚k=1

m

f@a + H2∗k − 1L∗hDy{zzzzzy{zzzzzEOut[137]= 0.746824

maa04D2.nb 24

à Integración Impropia

El concepto de integral impropia es una extensión del concepto de integral Riemann a funciones definidas endominios no acotados y/o a funciones no acotadas en el dominio de integración. Se define una integral impropiade primera especie como

Ÿa∞f@xD x = LimitAŸabf@xD x, b → ∞EŸ−∞

b f@xD x = LimitAŸab f@xD x, a → −∞ESi el límite existe entonces se dice que la integral es convergente, interpretándose como el área total de la regióncomprendida entre la gráfica y = f[x], el eje de abcisas, y la correspondiente línea vertical: x = a o x = b

Mathematica también calcula integrales impropias directamente de forma correcta, advirtiendo que no convergen

In[138]:= ‡−∞

∞

x3 x

Integrate::idiv : Integral of x3 does not converge on 8−∞, ∞<.Integrate::idiv : Integral of x3 does not converge on 8−∞, ∞<.

Out[138]= ‡−∞

∞

x3 x

u ofreciendo su valor en el caso en que sí sean convergentes

In[139]:= ‡1

∞ Log@xDx2

x

Out[139]= 1

También puede ofrecer el Valor principal de Cauchy si se le indica esta ópción dentro de la función propiaIntegrate[]. Por ejemplo

In[140]:= Clear@x, aD;VPC = Limit@Integrate@x3, 8x, −a, a<, PrincipalValue → TrueD, a → ∞D

Out[141]= 0

De cara al análisis de la convergencia o divergencia, dos ejemplos especialmente relevantes son:

In[142]:= ‡0

∞−a∗x x

Out[142]= IfARe@aD > 0, 1a, ‡

0

∞−a x xE

25 maa04D2.nb

In[143]:= ‡1

∞ 1

xr x

Out[143]= IfARe@rD > 1,1

−1 + r, ‡

1

∞

x−r xEObserve que el hecho de que el integrando sea convergente no garantiza que lo sea la integral impropia:

In[144]:= 9LimitA 1x, x → ∞E, ‡

1

∞ 1

x x=

Integrate::idiv : Integral of1x

does not converge on 81, ∞<.Out[144]= 90, ‡

1

∞ 1x

x=Una integral impropia de segunda especie surge cuando f[x] no está acotada en x = a, x = b o en

algún punto intermedio: Ÿabf@xD x = LimitAŸa+σ

bf@xD x, σ → 0EŸabf@xD x = LimitAŸab−σf@xD x, σ → 0EŸabf@xD x = LimitAŸac−σ

f@xD x, σ → 0E + LimitAŸc+γ

b f@xD x, γ → 0ESi el límite existe entonces se dice que la integral es convergente, en otro caso será divergente. El ejemplo másimportante de cara al análisis de convergencia o divergencia es

In[145]:= Clear@x, a, b, rD;‡a

b 1Hx − aLr x

Out[146]= IfAa < b && b > 0 && Re@rD < 1, H−a + bL1−r

1 − r, ‡

a

bH−a + xL−r xEPor ser de mayor interés a nuestros propósitos, en lo que sigue nos centraremos en el análisis de convergencia enintegrales impropias de primera especie, advirtiendo que también existen análisis similares para las de segundaespecie.

ü Test de Comparación

Si f y g son continuas en [a, ¶) y se cumple

∀ x ≥ a;f@xD ≤ g@xD

entonces

‡a

∞

f@xD x ≤ ‡a

∞

g@xD x

maa04D2.nb 26

por lo que si

‡a

∞

g@xD x

es convergente, entonces

‡a

∞

f@xD x

también es convergente. Por contra, si

∀ x ≥ a;f@xD ≥ g@xD

entonces

‡a

∞

f@xD x ≥ ‡a

∞

g@xD x

por lo que si

‡a

∞

g@xD x

es divergente, entonces

‡a

∞

f@xD x

también es divergente.

ü Un ejemplo

In[147]:= Clear@f, g, xD;x ∈ Reals; x ≥ 1;

f@x_D :=1 + Sin@xD

x2;

g@x_D :=2

x2

27 maa04D2.nb

In[151]:=Plot@8f@xD, g@xD<, 8x, 1, 4<, PlotStyle → 8Thickness@0.01D, 8<<D;

1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

In[152]:=TrueQ@f@1D ≤ g@1DD

Out[152]= True

In[153]:= TrueQ@f@1.5D ≤ g@1.5DDOut[153]= True

In[154]:= TrueQ@f@10D ≤ g@10DDOut[154]= True

In[155]:= TrueQ@f@100D ≤ g@100DDOut[155]= True

In[156]:= TrueQ@f@1000D ≤ g@1000DDOut[156]= True

In[157]:= TrueQ@Limit@f@xD, x → ∞D ≤ Limit@g@xD, x → ∞DDOut[157]= True

Podemos concluir que en como en x∈[1, ∞) la integral de g[x] converge y la función g[x] mayora af[x], entonces la integral en x∈[1, ∞) de f[x] también es convergente.

ü Estudio de la convergencia de función de error

La función E-x2 no tiene antiderivada pero es integrable Riemann por ser continua. Por otra parte sabemosque es una función simétrica respecto del eje de ordenadas

maa04D2.nb 28

In[158]:= Clear@x, f, gD;Plot@Exp@−x2D, 8x, −2, 2<D

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Out[159]= Graphics

por lo que para estudiar la convergencia o divergencia de

‡−∞

∞

f@xD x

podemos centrarnos en la integral impropia

‡0

∞

f@xD x

Elegimos como función de comparación

In[160]:= g@x_D := Exp@−xDde la que sabemos que

In[161]:= ‡a

∞

g@xD x

Out[161]= −a

es convergente.

In[162]:=Plot@8Exp@−x2D, Exp@−xD<, 8x, 0, 5<, PlotStyle → 88<, GrayLevel@0.8D<D

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Out[162]= Graphics

29 maa04D2.nb

Es obvio que la integral

‡0

1

f@xD x

dará un valor real (es un área definida), por lo que la comparación ha de establecerse en el intervalo [1, ¶), enel que

E−x ≥ E−x2 ≥ 0

por lo que

In[163]:= ‡1

∞

Exp@−x2D x ≤ ‡1

∞

g@xD x

Out[163]= True

ü Criterio o Test del Cociente

Si f[x] es no negartiva e integrable Riemann en [a, M] y g[x] es no negativa e integrable Riemann en [b,M], entonces cuando x→∞

aL Límx→∞ f@xDg@xD = 0,

bL Límx→∞ f@xDg@xD = c ∈ ++,

cL Límx→∞ f@xDg@xD = ∞,

entonces

aL Si Ÿb∞ g@xD x es convergente, Ÿa∞ f@xD x es también convergente,

bL Ÿb∞ g@xD x es convergente ↔ Ÿa∞ f@xD x también converge,

cL Si Ÿb∞ g@xD x es divergente, Ÿa∞ f@xD x es también divergente.

ü Un ejemplo

Queremos estudiar la convergencia de la integral

‡1

∞ 3

Ex + 5 x.

Dado que sabemos que

maa04D2.nb 30

‡1

∞

E−x x

es convergente, entonces

In[164]:= SimplifyA 3Ex+51Ex

EOut[164]=

3 x

5 + x

In[165]:= Limit@%, x → ∞DOut[165]= 3

Por lo que

‡1

∞ 3

Ex + 5 x

es también convergente

ü Test de comparación para funciones con cambio de signo: Convergencia Absoluta o Incondicional

Por funciones con cambio de signo entendemos funciones que a lo largo del dominio de integración toman tantovalores positivos como negativos. En dicho caso podemos aplicar el siguiente test

Si Ÿa∞ »f@xD » x es convergente, entonces Ÿa∞f@xD x es absolutamente convergente.

ü Un ejemplo típico

In[166]:= Clear@f, g, xD;x ≥ 1;

f@x_D :=Sin@xD

x2;

g@x_D :=1

x2;

31 maa04D2.nb

In[170]:=Plot@8f@xD, g@xD<, 8x, 1, 8<,PlotStyle → 88<, GrayLevel@0.6D<, PlotRange → AllD

2 3 4 5 6 7 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Out[170]= Graphics

In[171]:= Plot@8Abs@f@xDD, g@xD<, 8x, 1, 8<,PlotStyle → 88<, GrayLevel@0.5D<, PlotRange → AllD

2 3 4 5 6 7 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Out[171]= Graphics

In[172]:=TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 1D

Out[172]= True

In[173]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 2DOut[173]= True

In[174]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 5DOut[174]= True

In[175]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 8DOut[175]= True

In[176]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → 10DOut[176]= True

maa04D2.nb 32

In[177]:= TrueQ@Abs@f@xDD ≤ g@xD ê. x → ∞DOut[177]= True

En conclusión, como el valor absoluto de la función está mayorada por una función de comparación conver-gente, entonces la integral impropia de la función es absolutamente convergente.

Una advertencia: hay integrales impropias que son convergentes pero no absolutamente convergentes, tal es elcaso de Ÿ1∞ Sin@xD

x x

aunque no entraremos en detalles.

ü Una aplicación de las integrales impropias: el cuerno o trompeta de Gabriel.

Una aplicación geométrica de la integración impropia es la siguiente:

In[182]:= Clear@f, xD;f@x_D := 1ê x;

In[184]:= Plot@f@xD, 8x, 0, 2<, PlotRange → 80, 10<D;

0.5 1 1.5 2

2

4

6

8

10

y vamos a crear un cuerpo de revolución al hacer rotar la curva y = x−1 sobre el eje de abcisas. Para verlográficamente cargamos

In[185]:= Needs@"Graphics`SurfaceOfRevolution "̀Dy luego procedemos a ejecutar el comando

33 maa04D2.nb

In[186]:= SurfaceOfRevolution@f@xD, 8x, 0.1, 3<, AxesLabel → 8"y", "z", "x"<D;

-2

0

2y

-2

0

2z

0

1

2

3

x

-2

0

2y

-2

0

2z

La figura que genera tiene la peculariedad de que para x œ [ 1, ¶) el volumen que encierrra es infinito siendo susuperficie infinita

In[187]:= V = Integrate@Pi∗f@xD^2, 8x, 1, Infinity<DOut[187]= π

In[188]:= S = IntegrateA2∗Pi∗f@xD ∗è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + Hf'@xDL^2 , 8x, 1, Infinity<E

Integrate::idiv : Integral of"################1 + 1

x4

xdoes not converge on 81, ∞<.

Integrate::idiv : Integral of"################1 + 1

x4

xdoes not converge on 81, ∞<.

Out[188]= 2 π ·1

∞ "##############1 + 1x4

x x

o bien

In[189]:= LimitA2 ∗Pi∗IntegrateAf@xD∗è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + Hf'@xDL^2 , 8x, 1, b<E, b → InfinityE

Out[189]= ∞

ü Aplicación estadística: la distribución de Cauchy

En Estadística Matemática los momentos para las variables aleatorias continuas se definen como integralesimpropias de primera especie

αr = E@xrD = ‡−∞

∞

xr f@xD x

µr = E@Hx − α1LrD = ‡−∞

∞Hx − α1Lr f@xD x

maa04D2.nb 34

donde a1 es esperanza, media o valor esperado o medio y m2 es la varianza. Además, recuerde que dada lafunción de densidad se obtiene la función de distribución como

In[190]:= F@x_D := ‡−∞

x

f@yD y

La distribución de Cauchy es una distribución continua de probabilidades de apariencia muy similar a laNormal estándar pero con momentos radicalmente diferentes. Si analizamos su función de densidad

In[191]:= fCauchy@x_D :=1

Pi∗

1

1 + x2;

vemos que cumple que es positiva

In[192]:= Plot@fCauchy@xD, 8x, −5, 5<D;

-4 -2 2 4

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

y además

In[193]:= ‡−∞

∞

fCauchy@xD x

Out[193]= 1

Sin embargo

In[194]:= α1 = ‡−∞

∞

x∗ fCauchy@xD x

Integrate::idiv : Integral ofx

1 + x2does not converge on 8−∞, ∞<.

Integrate::idiv : Integral ofx

1 + x2does not converge on 8−∞, ∞<.

Out[194]=Ÿ−∞

∞ x1+x2 x

π

la media de la distribución es divergente, lo que podemos apreciar gráficamente

35 maa04D2.nb

In[195]:=Plot@x∗ fCauchy@xD, 8x, −5, 5<D;

-4 -2 2 4

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

No obstante

In[196]:= VPC =

Limit@Integrate@x∗ fCauchy@xD, 8x, −a, a<, PrincipalValue → TrueD, a → ∞DOut[196]= 0

maa04D2.nb 36