Cindy Wyels

Departmento de Matemáticas y Física

California State University, Channel Islands

2

Paso de empedrados: de un vértice con al menos dos piedritas, quita dos piedritas de este vértice y pone una piedrita en un vértice adyacente.

Distribución de empedrados: la distribución de piedritas en los vértices de una gráfica

1

1

2

4

2

1

Otro ejemplo:

1

1

1

¿Podemos mover una piedrita?

3

¿A cuales vértices podemos mover una piedrita?

Quisiera mover una piedrita a cualquier vértice.

• ¿Cuantas piedritas

necesito dar al distributador si es un enemigo ingénioso?

• ¿Cuantas piedritas necesito dar a la distributadora si es una amiga inteligente?

• ¿Cuantas piedritas necesito dar al distributador si es un enemigo ingénioso?

• ¿Cuantas piedritas se necesita para garantizar que todas las distribuciones sean solubles?

Digamos que una distribución es soluble cuando podemos mover una piedrita a cualquier vértice.

• ¿Cuantas piedritas necesito dar a la distributadora si es una amiga inteligente?

• ¿Cuantos piedritas se necesita para tener al menos una distribución soluble?

3 1

3

2

?

Pregunta: ¿podemos “empedrador” cualquier vértice? (¿Es la distribución soluble?)

3+1

2 1

Sí.

3 1

3

• ¿Necesitamos todas estas piedritas?

22

• ¿Son todas las distribuciones con 9 piedritas solubles? 1

1

1

11

1

1

1

1

El número de empedrados de G, f(G), es el número más pequeno para que toda distribución de f(G) piedritas en los vértices de G sea soluble. (enemigo)

El número óptimo de empedrados de G, fopt(G), es el número mínimo de piedritas para que exista una distribución soluble de fopt(G) piedritas en G. (amiga)

Sea G una gráfica.

Porque hay una distribución insoluble con 9 piedritas en la gráfica de Petersen, ya sabemos que su número empedrado es más de 9.

1

1

1

11

1

1

1

1

Porque hay una distribución soluble con 8 piedritas en la gráfica Peterson, ya sabemos que su número óptimal de empedrados es 8 ó menos.

2 2

3

1

El Número Empedrado de un Camino

f(Pn) = 2n

448 12 2 121

Pn es el camino (“path”) de n+1 vértices.

f(P4) = 16

¿Que es el número t, el más pequeno para que toda distribución de t piedritas en los vértices de Pn sea soluble?

Límites para Números de Empedrados

El diámetro de una gráfica, d, es el largo del camino más grande en la gráfica.

32

Sabemos: n ≤ f(G).

Tenemos 2d ≤ f(G).

Sea G alguna gráfica en n vértices.

Si pongo al menos 2d piedritas en algun vértice, o si pongo al menos 1 piedrita en cado vértice, entonces la distribución tiene que ser soluble.

max{n,2d} ≤ f(G) ≤ (2d-1)(n-1)+1.

Límites para Números de Empedrados

Sea G alguna gráfica con n vértices, y supongamos que G tiene diámetro d.

Empedrados y Gráficas Completas

max{n,2d} ≤ f(G) ≤ (2d-1)(n-1)+1

n ≤ f(Kn) ≤ n

d =1 nos da

esto es f(Kn) = n

K5

10 ≤ f(Pete) ≤ 28.

max{n,2d} ≤ f(G) ≤ (2d-1)(n-1)+1

d = 2 n = 10

Ciclos

f(C2k) = 2k

C5 C6

f(C2k+1) = 2[2k+1/3]+1

Aproximadamente, f(Cn) ~ 2n/2.

Gráficas Telerañas Modificadas

• Una gráfica teleraña modificada, , es una gráfica teleraña con un vértice adicional al centro.

tn,

3,38,5

Gráficas Telerañas en comparición con Gráficas Telerañas Modificadas

Nota que cuando n > 5, cambian los diámetros de las gráficas.

4,6W 5,8W6,4 8,5

5 6,4 diam 64,6 Wdiam 7 8,5 diam 85,8 Wdiam

Pebbling numbers for Modified Web Graphs

n,t 2 3 4 5 6 7

3 7 12 25 46 95 191

4 9 16 32 64 128 256

5 11 18 35 67 131 259

6 13 20 35 68 133

7 15 22 36 69 134

8 19 32 64

9 22 38

NOTA: estos son límites inferiores.

Juan Zuñiga

(estudiante)

Empedrado de Gráficas Empedrado de Gráficas EscaleraEscalera

nnEf 2)(

v

r

32

16

8

4

2 1

:2)( nnEf

La meta es La meta es ww11. Hay 2. Hay 2nn piedritas. piedritas.

Caso 1: Supongamos que Caso 1: Supongamos que vv11 tiene un tiene un

piedrita. piedrita.

Entonces hay a menos Entonces hay a menos 22nn - 1 - 1 piedritas adicionales en el lado piedritas adicionales en el lado derecho o en el lado izquierdo.derecho o en el lado izquierdo.

Pero Pero ff((EEnn-1-1) = 2) = 2nn-1-1: hay bastante : hay bastante para mover una piedrita a para mover una piedrita a vv11 (el (el segundo piedrita en segundo piedrita en vv11) o a ) o a ww11 (la meta).(la meta).

Prueba para

nnEf 2)(

nvnw

1w1v

2v2w

1

nn = 1: = 1: EE11 = = PP22, y ya , y ya sabemos que sabemos que ff((PP22) = 2) = 211..

En general: supongamos En general: supongamos que que ff((EEnn) = 2) = 2nn..

Pongamos 2Pongamos 2nn+1+1 piedritas en piedritas en EEnn+1+1. .

Nota que 2Nota que 2nn+1+1 = 2 = 2nn + 2 + 2nn; ; entonces tenemos bastante entonces tenemos bastante piedritas para mover una piedritas para mover una piedrita a piedrita a ww22, dos veces., dos veces.

Caso 2: Supongamos Caso 2: Supongamos que que vv11 tiene 0 piedritas. tiene 0 piedritas. Vamos a usar el método Vamos a usar el método de inducción.de inducción. 1w1v

2v

nv

2w

nw

0

Caso 3: la meta es Caso 3: la meta es wwkk..Parta la grafica en una copia de Parta la grafica en una copia de

EEkk, y otra copia de , y otra copia de EEnn--kk_1_1..Si no puedo mover una piedrita Si no puedo mover una piedrita

de la copia de de la copia de EEkk á á wwk k , , entonces esta entonces esta EEkk no tiene más no tiene más que 2que 2kk-1 piedritas.-1 piedritas.

Si no puedo mover una piedrita Si no puedo mover una piedrita de la copia de de la copia de EEnn--kk+1+1 á á wwk k , , entonces esta entonces esta EEnn--kk+1+1 no tiene no tiene más que 2más que 2nn--kk+1+1-1 piedritas.-1 piedritas.

Pero, 2Pero, 2kk-1 + 2-1 + 2nn--kk+1+1-1 < 22n n , , entonces algún copia de una entonces algún copia de una escalera más pequeña tiene escalera más pequeña tiene bastante piedritas para llegar bastante piedritas para llegar una piedrita a una piedrita a wwkk. .

1w1v

nvnw

kwkv

Resultados de Escaleras Resultados de Escaleras para para

Victor X. Rodriguez Victor X. Rodriguez (estudiante)(estudiante)

Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas

vértice que corta: si se quita este vértice de la gráfica, sera inconexa.

a

c

b

a

c

b

(Cada vértice invisible recibe 1 piedrita)

3 piedritas en c

Si G tiene un vértice que cortaentonces f(G) > n.

(Cada vértice invisible recibe 1 piedrita)

Teorema: Si una gráfica G en n vértices tiene diámetro 2, entonces f(G) ≤ n+1.

Nota: el corolario implica que casi toda grafica satisface f(G) = n.

Corolario: Si G es 3-conectada y tiene diámetro 2, entonces f(G) = n.

Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas

Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas

3-conectada es necesaria: el diámetro de G es 2, y G tiene ningun vértice que corta, pero f(G) = 7.

Cor: Si G es 3-conectada y tiene diámetro 2, entonces f(G) = n.

3

3 G

Números de Empedrados con Respecto a Propiedades de Gráficas

Cor: Si G es 3-conectada y tiene diámetro 2, entonces f(G) = n.

f(Pete)=10.

Números Óptimos de Empedrados

¿Cual es el número óptimo de empedrados

de la gráfica Petersen?

(4)Indirecta: d = 2

Escriba Pn como P3t+r donde r es 0, 1, ó 2.

Teorema: El número óptimo de P3t+r es 2t + r.

Números Óptimos de Caminos

2

2

1

fopt (P3t+r ) = 2t + r

Escriba Cn como C3t+r donde r es 0, 1, ó 2.

Teorema: El número óptimal de C3t+r es 2t + r.

Números Óptimales de Ciclos

2

2 2

1

1fopt (C3t+r ) = 2t + r

Números Óptimales de Escaleras

Tenemos un método para investigar los números óptimos para todas las gráficas que se pueden definir con inducción.

Una Idea Símilar: Pinzado

Las reglas para mover pinzas: una pinza salta otra hasta un vértice adyacente. La pinza saltada es eliminada.

¿Podemos mover una pinza a cada vértice?

¿Podemos mover una pinza a cada vértice?

¿Qué significa esta situación cuando se habla del número pinzado de esta gráfica?

Los resultados de Jason Counihan (estudiante)

• g(Pn) = n-1

• gopt(P2k+r) = k+r

• g(Pn) = n-1

• gopt(P2k+r) = k+r

• g(Cn) = n-2

• gopt(C2k+r) = k+r

• g(Kn) = gopt(Kn) = 2

• Si G es bipartita, g(G) es más que el número de vértices en el subconjunto más grande.

• Si d es el diámetro de G, entonces g(G) d-1.

Más resultados de Jason Counihan

Otros estudiantes (que conozco) que han descubierto algo de empedrados en gráficas

Victor Moreno, (profesor), Juan Zuñiga, (profesor), Marlene Merchain, Modesty Briggs

Sean Pederson, Ronald Martinez, Philip Gonzalez, Victor Rodriguez

Además: Karl Fedje, Blaise Djegoue, y Jason Counihan

Algunas Preguntas Abiertas

• Relaciones de la conexión de vértices y el número de empedrados

(al estilo: vértice que corta => f(G) > n)

• Falta mucho de saber en cuanto a determinar números óptimos de empedrados de varios tipos de familias de gráficas.

• Es posible encontrar una conexión más fuerte entre el diámetro, el número de vértices, y el número de empedrados?

Más Preguntas Abiertas

• La conjetura de Graham (muy famosa)

• El número de empedrados del producto de n copias de C5 (Herscovici y Higgins ya resolvieron el caso de n = 2)

• Números de pinzados para muchos tipos o familias de gráficas

Y más… ¡Si no les falta imaginacion, no les faltarán de preguntas!

¿Cuales resultados van a descubrir

Ustedes?

Mi pregunta final (para hoy):