Analisis de Circuitos Con Fourier

Tema III:Análisis de circuitos mediante

la transformada de Fourier

Planteamiento del problema .................................................................................................. 83Determinación de los coeficientes de Fourier.................................................................... 86

Procedimiento general .......................................................................................................... 86Ejemplo ................................................................................................................................ 87Casos particulares ................................................................................................................ 88

Forma trigonométrica de la serie de Fourier..................................................................... 90Formulación ......................................................................................................................... 90Ejemplo 1 de formulación trigonométrica............................................................................. 91Ejemplo 2 de formulación trigonométrica............................................................................. 92Ejemplo 3 de formulación trigonométrica............................................................................. 93Ejemplo 1 de aplicación a un circuito ................................................................................... 94Ejemplo 2 de aplicación a un circuito ................................................................................... 96Cálculos de potencia media .................................................................................................. 98

Formulación exponencial ....................................................................................................... 99Ejemplo 1 de formulación exponencial................................................................................. 99Ejemplo 2 de formulación exponencial................................................................................. 100Error cuadrático medio ......................................................................................................... 101Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ 102

La transformada de Fourier .................................................................................................. 104Consideraciones generales ................................................................................................... 104Definición ............................................................................................................................ 105Condiciones de existencia .................................................................................................... 106Ejemplo de cálculo ............................................................................................................... 107

Transformadas de Fourier...................................................................................................... 108Transformadas de Fourier de funciones elementales............................................................ 108Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. 109Cálculo alternativo de la transformada de Fourier................................................................. 111Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... 113

Aplicación en circuitos ............................................................................................................ 119Comparación con la transformada de Laplace ...................................................................... 119Ejemplo 1............................................................................................................................. 120Ejemplo 2............................................................................................................................. 121

Teorema de Parseval ............................................................................................................... 122Ejemplo 1............................................................................................................................. 123Ejemplo 2............................................................................................................................. 125Ejemplo 3............................................................................................................................. 127

Teorema de Plancherel ........................................................................................................... 128

82 Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Planteamiento del problemax(t) periódica ⇔ x(t) = x(t + nT0) ∀t; n: número entero, T0: periodo fundamental

Ejemplos de funciones periódicas

Vm

v(t)

tT0 2T0 3T0 4T0

Vm

v(t)

tT0 2T0

Vm

v(t)

tT0

2T0-Vm

Vm

v(t)

t3T0T0 2T0

Vm

v(t)

tT0

2T0

Rectificaciónde onda completa

Rectificación

de media onda

Onda cuadrada

Onda triangular

Pulso rectangular

Obtenidas

por saturaciónde transistores

Proporcionadas por

generadores de ondas

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 83


En ingeniería de circuitos tienen interés práctico muchas excitaciones periódicasque no son sinusoidales.

Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras.

En la práctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero periódicas.

Las no linealidades en circuitos provocan la aparición de funciones periódicas lineales.

El análisis de Fourier permite tratar cualquier función periódicacomo una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente.

Una función periódica puede expresarse como serie de Fourier en la forma

f(t) = av + [akcos(kω0t)∑k=1

∞

+ bksen(kω0t)]

siendo

k: número natural.

av, ak, bk: coeficientes de Fourier.

ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental.

kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k.

f(t) se expresa como la suma de una componente continua

y diversas componentes sinusoidales.

Si representa la excitación de un circuito,la salida de éste puede ser calculada aplicando el principio de superposición.



Para que una función pueda ser expresada como serie de Fourier,ha de cumplir las condiciones de Dirichlet:

f(t) tiene un valor único para cualquier valor de t.

f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo.f(t) tiene un número finito de máximos y mínimo en el intervalo de un periodo.

La integral f(t)dtt0

t0+T0

existe.

Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias.

No se sabe cuáles son las condiciones necesarias.

Una función puede no cumplir las condiciones de Dirichlet

y ser expresable como serie de Fourier.



Determinación de los coeficientes de Fourier

Procedimiento general

av = 1T0

f(t)dtt0

t0+T0

ak = 2T0

f(t)cos(kω0t)dtt0

t0+T0

bk = 2T0

f(t)sen(kω0t)dtt0

t0+T0

t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.

Obsérvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo,lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.



Ejemplo

v(t)

Vm

Vm/3

2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t

Vm = 9π V

Se desea obtener los coeficientes de Fourier

de la expansión en serie de Fourierde la tensión mostrada en la figura adjunta.

Suponiendo que T0 = 125.66 ms,se desea obtener los cinco primeros términos

de la citada expansión.

La tensión representada en la figura puede ser expresada matemáticamente como

v(t) = Vm ∀t ⊥ t0 ≤ t ≤ t0 + 2T0/3 v(t) = Vm/3 ∀t ⊥ t0 + 2T0/3 ≤ t ≤ t0 + T0

Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene

av = 1T0

v(t)dt =0

T0

1T0

Vmdt0

2T0/3

+ 1T0

Vm

3dt

2T0/3

T0

= 7π V

ak = 2T0

v(t)cos 2πktT0

dt =

0

T0

2T0

Vmcos 2πktT0

dt

0

2T0/3

+ 2T0

Vm3

cos 2πktT0

dt

2T0/3

T0

= 6k

sen 4πk3

V

bk = 2T0

v(t)sen 2πktT0

dt =

0

T0

2T0

Vmsen 2πktT0

dt

0

2T0/3

+ 2T0

Vm3

sen 2πktT0

dt

2T0/3

T0

= 6k

1 - cos 4πk3

V

Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda

v(t) = 7π - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V



Casos particulares

Simetría par

f(t) = f(-t) T0

T0/20 t

-T0/2

-T0

A

-A

f(t) av = 2T0

f(t)dt0

T0/2

ak = 4T0

f(t)cos(kω0t)dt0

T0/2

bk = 0

Simetría imparf(t) = - f(-t)

T0

0 t-T0/2

-T0

A

-A

f(t)

T0/2

av = 0

ak = 0

bk = 4T0

f(t)sen(kω0t)dt0

T0/2

A una función periódica dada se la puede dotar de simetría par o imparcon sólo elegir adecuadamente el origen de tiempos.



Simetría

de media ondaf(t) = - f(t - T0/2)

av = 0

k par ⇒ ak = 0 = bk

k impar ⇒

⇒ ak = 4T0

f(t)cos(kω0t)dt0

T0/2

⇒ bk = 4T0

f(t)sen(kω0t)dt0

T0/2

Simetría

de cuarto de onday función par

(simetría en tornoal punto medio

de cadasemiciclo)

av = 0

k par ⇒ ak = 0

k impar ⇒ ak = 8T0

f(t)cos(kω0t)dt0

T0/4

bk = 0

Simetríade cuarto de onda

y función impar(simetría en torno

al punto mediode cada

semiciclo)

av = 0

ak = 0

k par ⇒ bk = 0

k impar ⇒ bk = 8T0

f(t)sen(kω0t)dt0

T0/4



Forma trigonométrica de la serie de Fourier

Formulación

Definiendo

zk = ak - jbk Ak = zk = ak2 + bk

2 ϕk = arctgbkak

puede establecerse que

f(t) = av + [akcos(kω0t)∑k=1

∞

+ bksen(kω0t)] = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k=1

∞

Es decir, los términos en seno y coseno de cada armónico de la seriese combinan en un único término de tipo sinusoidal,

lo cual permite tratar la función como una superposiciónde una componente continua y una suma de señales sinusoidales de distintas frecuencias.

Obsérvese que

f(t) par ⇒ Ak = ak, ϕk = 0 °

f(t) impar ⇒ Ak = bk, ϕk = 90 °



Ejemplo 1 de formulación trigonométrica

v(t)

Vm

Vm/3

2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t

Vm = 9π V

Se desea expresar en forma trigonométrica(sólo tres términos significativos)

el desarrollo en serie de Fourierde la tensión representada

en la figura adjunta.

Supóngase que T0 = 125.66 ms.

Como se indicó en un ejemplo anterior,

v(t) = Vm ∀t ⊥ t0 ≤ t ≤ t0 + 2T0/3 v(t) = Vm/3 ∀t ⊥ t0 + 2T0/3 ≤ t ≤ t0 + T0

con lo que

av = 7π V ak = 6k

sen 4πk3

V bk = 6k

1 - cos 4πk3

V

En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla:

k ak (V) bk (V) Ak (V) ϕϕϕϕk (º)

1

2

- 5.22

2.61

9

4.5

10.4

5.2

120

60

con lo que la formulación pedida queda en la forma

v(t) = 7π + 10.4cos(50t - 120 º) + 5.2cos(100t - 60 º) V, t en s




v(t)Vm

tT 2T 3T

0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = Vm

Tt

La tensión periódica mostrada en la figurapuede expresarse como la suma

de una componente continua y una serie deFourier infinita de términos cosenoidales;

cada uno de éstos queda definido por un módulo, una frecuencia angular y una

fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos

cosenoidales.

Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma

v(t) = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k = 1

∞

ω0 = 2πT

av = 1T

v(t)dt0

T

= 1T

Vm

Ttdt

0

T

= Vm

2

ak = 2T

v(t)cos(kω0t)dt0

T

= 2T

Vm

Ttcos(kω0t)dt

0

T

= 2Vm

T2

cos(kω0t)

(kω0)2

+ tsen(kω0t)

kω0 0

T

= 0 V

bk = 2T

v(t)sen(kω0t)dt0

T

= 2T

Vm

Ttsen(kω0t)dt

0

T

= 2Vm

T2

sen(kω0t)

(kω0)2

- tcos(kω0t)

kω0 0

T

= - Vm

kπ

Ak = ak2 + bk

2 = Vm

kπϕk = arctg

bkak

= - 90 °




v(t)Vm

tT 2T 3T

0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = Vm - Vm

Tt

La tensión periódica mostrada en la figurapuede expresarse como la suma

de una componente continua y una serie deFourier infinita de términos cosenoidales;

cada uno de éstos queda definido por un módulo, una frecuencia angular y una

fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos

cosenoidales.

Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma

v(t) = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k = 1

∞ω0 = 2π/T

av = 1T

v(t)dt0

T

= 1T

Vmdt0

T

- 1T

Vm

Ttdt

0

T

= Vm

2

ak = 2T

v(t)cos(kω0t)dt0

T

= 2T

Vmcos(kω0t)dt0

T

- 2T

Vm

Ttcos(kω0t)dt

0

T

=

= Vm

kπ[sen(kω0t)]0

T - 2Vm

T2

cos(kω0t)

(kω0)2

+ tsen(kω0t)

kω0 0

T

= 0 V

bk = 2T

v(t)sen(kω0t)dt0

T

= 2T

Vmsen(kω0t)dt0

T

- 2T

Vm

Ttsen(kω0t)dt

0

T

=

= - Vm

kπ[cos(kω0t)]0

T - 2Vm

T2

sen(kω0t)

(kω0)2

- tcos(kω0t)

kω0 0

T

= Vm

kπ

Ak = ak2 + bk

2 = Vm

kπϕk = arctg

bkak

= 90 °



Ejemplo 1 de aplicación a un circuito

R

CvG(t)

+vC(t)

-

vG(t)

t

T0

Vm

-Vm

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada,

se desea obtener la expresión temporal de vC(t).

La excitación tiene simetría imparen media onda

y en cuarto de onda,con lo que

av = 0ak = 0

bk = 0, k par

bk = 8T0

Vmsen(kω0t)dt0

T0/4

= 4Vm

πk, k impar

La excitación puede ser expresada como serie de Fourier con formulación trigonométrica.

vG(t) = 4Vmπ

cos[(2i - 1)ω0t - 90°]2i - 1∑

i=1

∞La excitación es equivalentea un número infinito de fuentes sinusoidales

conectadas en serie.



Se aplica el principio de superposición teniendo en cuenta que para cada excitación individual y utilizando notación fasorial se cumple

VC = VG

1 + jωRC

Aplicando este resultado a cada componente de la excitación

los fasores de las distintas respuestas individuales están dados por

Primer armónico(i = 1)

⇒ VC1 = 4Vm

π 1 + (ω0RC)2∠- 90° - θ1

, θ1 = arctg(ω0RC)

Tercer armónico(i = 2)

⇒ VC3 = 4Vm

π 1 + (3ω0RC)2∠- 90° - θ3

, θ3 = arctg(3ω0RC)

Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es

vC(t) = 4Vmπ

cos[(2i - 1)ω0t - θ2i-1]

(2i - 1) 1 + [(2i - 1)ω0RC]2∑i=1

∞

, θ2i-1 = 90º - arctg[(2i - 1)ω0RC]

Obsérvese que

C muy grande (cortocircuito) ⇒ θ2i-1 ≈ 90 ° ⇒ vC(t) ≈ - 4Vm

πω0RCcos[(2i - 1)ω0t]

(2i - 1)2∑i=1

∞

Los armónicos de salida decrecen en amplitud en la proporción 1/i2,

mientras que los de la entrada lo hacen en la proporción 1/i(hay gran distorsión -distorsión de fase-).

C muy pequeño (circuito abierto) ⇒ θ2i-1 ≈ 0 ° ⇒ vC(t) ≈ vG(t)

poca distorsión.



Ejemplo 2 de aplicación a un circuito

R

CvG(t)

+v0(t)

-

LT0/2 t

vG(t)

Vm

-Vm

T0

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada,

se desea obtener la expresión temporal de v0(t).

La expresión matemática de la excitación es

vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4 vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4 vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0

La excitación tiene simetría de cuarto de onda y función par, con lo que

av = 0 V bk = 0 V ak = 0 V, k par

k impar ⇒ ak = 8T0

vG(t)cos(kω0t)dt0

T0/4

= 4Vm

πksen πk

2 =

4Vm

πkcos πk

2 - 90 º



En términos fasoriales, la excitación se expresa como

VGk = 4Vm

πk ∠ -90 º

= - j4Vm

πk

En términos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es

V0k = jωLVGk

R(1 - ω2LC) + jωL =

8LVm

RT0 1 - 2πkT0

2

LC + j2πkLT0

= V0k ∠ ϕk

con lo que la expresión temporal pedida es

v0(t) = V0kcos 2πktT0

+ ϕk∑k = 1, impar

∞



Cálculos de potencia media

Sea un elemento de un circuito lineal,en el que la tensión y la corriente son funciones periódicas

expresadas mediante series de Fourier.

v(t) = VDC + VKcos(kω0t - ϕvk)∑k=1

∞

i(t) = IDC + IKcos(kω0t - ϕ ik)∑k=1

∞

Se supone que la corriente entra en el elementopor el terminal marcado como positivo para la tensión.

La potencia media en el elemento está dada por

P = 1T0

v(t)i(t)dtt0

t0+T0

= V DCIDC + V KIKcos(ϕvk - ϕik)

2∑k=1

∞

Es decir, en el caso de una interacción entre una tensión periódica

y la correspondiente corriente periódica,la potencia media total es la suma de las potencias medias

originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia.

Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionanpara dar lugar a potencia media.



Formulación exponencial

Una función periódica también puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresión

f(t) = Ckejkω0t∑

-∞

∞

siendo

Ck = 1T0

f(t)e-jkω0tdtt0

t0+T0

= ak - jbk

2 =

Ak

2 ∠-ϕk

, Ak = ak2 + bk

2 , ϕk = arctgbkak

Ejemplo 1 de formulación exponencial

v(t)Vm

tT0T0-τ/2-τ/2 τ/20

Se desea expresar

la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier

con formulación exponencial.

Ck = 1T0

Vme-jkω0tdt-τ/2

τ/2

= Vm

Te-jkω0t

-jkω0 -τ/2

τ/2

= Vmτ

T sen(kω0τ/2)

kω0τ/2

v(t) = VmτTo

sen(kω0τ/2)kω0τ/2

∑k = -∞

∞

ejkω0t



Ejemplo 2 de formulación exponencial

vi(t)

Vh

Vl

0 t

T0

t0

-t0/2 t0/2

Vh = 2π V, Vl = π V, T0 = 1 s, t0 = 0.25 s

Se desea expresar la tensión indicada

en la figura adjunta como serie de Fourier

con formulación exponencial.

vi(t) = Ckejkω0t, ω 0 = 2π

T0

= 2π rad/s∑- ∞

∞

Ck = vi(t)e-jkω0tdt

t0

t0 + T0

= 1T0

Vhe-jkω0tdt

-t0/2

t0/2

+ 1T0

Vle-jkω0tdt

t0/2

T0 - t0/2

=

= (Vh - Vl)t0

T0

sen(kπt0/T0)

kπt0/T0

Dada la simetría par de la función sen(x)/x, únicamente es necesario calcular los términoscorrespondientes a valores positivos de k; los correspondientes a valores negativos de kcoinciden con sus equivalentes en el intervalo positivo. Obsérvese, además, que todos loscoeficientes son reales, con lo que el espectro de fases es nulo (fase nula para cualquiercomponente). Así, los primeros coeficientes de la serie son

k kππππt0/T0 Ck

0

+ 1+ 2

+ 3+ 4

0

0.25π0.5π

0.75ππ

0.79 V

0.71 V0.5 V

0.24 V0 V

El coeficiente correspondiente a k = 0 se ha obtenido aplicando la regla de l’Hôpital.



Error cuadrático medio

En aplicaciones prácticas, al utilizar una serie de Fourier

para representar una función periódica es preciso truncar la serie,

ya que no es posible trabajar con un número infinito de términos.

Así, se supone que la función ideal f(t) es aproximada por la función práctica fN(t).

f(t) ≈ fN(t) = Ckejω0t∑

k= -N

N

con lo que se comete un error dado por

ε(t) = f(t) - fN(t)

de modo que el error cuadrático medio de la aproximación es

ε2 = 1T0

ε2(t)dtt0

t0+T0

f(t) también puede ser expresada mediante otras series trigonométricasen las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier.

Puede demostrarse que el error cuadrático medio es mínimoprecisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.



Espectros de amplitud y fase

Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una función,en teoría es posible reconstruir dicha función.

Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases

de la formulación exponencial.

Sin embargo, ello requiere una gran potencia de cálculo (series infinitas).

Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representarlas amplitudes y las fases de la formulación exponencial,

como se muestra en las figuras adjuntas.

k, ω0

Ck

Esp

ectr

ode

am

plitu

dE

spec

tro

de f

ase

k, ω0

ϕk

fase

= 0

º

fase

= 0

º

fase

= 0

º

fase

= 0

º

fases no definidaspor ser nulas

las amplitudes

Si se desplaza la funciónun intervalo temporal,

f(t - t0) = Ckejkω0(t - t0)∑

k = -∞

∞

=

= (Cke-jkω0t0)ejkω0t∑

k = -∞

∞

el espectro de amplitud no cambia,el espectro de fase sí cambia.



Los espectros de amplitud y fase también pueden ser representados con ayuda del desarrollo en serie expresado con la formulación trigonométrica.

Obsérvese la relación entre ambas formulaciones:

Formulación exponencial Formulación trigonométrica

f(t) = Ckejkω0t∑

-∞

∞

Ck = Ak

2 ∠-ϕk

f(t) = av + Akcos(kω0t - ϕk)∑k=1

∞

Ak = ak2 + bk

2 , ϕk = arctgbkak

av = 1T0

f(t)dtt0

t0+T0

ak = 2T0

f(t)cos(kω0t)dtt0

t0+T0

bk = 2T0

f(t)sen(kω0t)dtt0

t0+T0

El espectro trigonométrico tiene una amplitud doble que el exponencial.

El espectro de amplitudes trigonométrico sólo tiene componentes

correspondientes a valores positivos de k.



La transformada de Fourier

Consideraciones generales

La serie de Fourier permite describir una función periódica del tiempoen el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.

La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no periódicas.

Esto ya está cubierto por la transformada de Laplace.

La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.

Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretación física más sencilla.



Definición

Dada una función periódica f(t), de periodo T0, a medida que éste se hace más grandese verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier)

f(t) va convirtiéndose en no periódica.

La frecuencia pasa de ser una variable discreta (kω0)

a ser una variable continua (ω).

Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de líneaspara convertirse en las envolventes de las líneas que los constituyen.

Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier

de la función f(t), no necesariamente periódica, mediante la expresión

F(ω) = Ff(t) = f(t)e-jωtdt ⇒-∞

∞

f(t) = 12π

F(ω)ejωtdω-∞

∞

dominiode la frecuencia

dominiodel tiempo



Condiciones de existencia

f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define.

f(t) converge si es una función bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito.

f(t) está bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t,y define un área finita en el intervalo de integración.

Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si

Hay un solo valor de f para cada valor de t.

Tiene un número finito de discontinuidades.

La integral f(t)dt-∞

∞

existe.

Hay funciones de interés práctico que carecen de transformada de Fourier.

En un caso de ese tipo se crea una función en el dominio del tiempoque sí tenga transformada

y que esté tan arbitrariamente próxima a la original como se desee,y se asume que la transformada de Fourier de la función original

coincide con la de la función creada.



Ejemplo de cálculo

Vm

v(t)

tτ

0 ≤ t ≤ τ ⇒ v(t) = Vm - Vmτ t

Se desea obtener la transformada de Fourierdel pulso de tensión mostrado en la figura.

F(ω) = v(t)e-jωtdt - ∞

∞

= Vme-jωtdt 0

τ

- Vmtτe-jωtdt

0

τ

=

= - Vm

jωe-jωt

0

τ -

Vmτ

e-jωt

(- jω)2 (- jωt - 1)

0

τ

= Vm

τω2 - j

Vmω -

Vm

τω2e-jωτ =

= Vm

τω2 [1 - cos(ωτ)] + j

Vmω

sen(ωτ)ωτ - 1



Transformadas de Fourier

Transformadas de Fourier de funciones elementales

Función matemática Transformadade Fourier

Delta de Dirac (impulso unitario)

Escalón unitario

Constante

Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)

Seno

Coseno

Exponencial positiva

Exponencial negativa

Exponencial positiva-negativa

Exponencial compleja

δ(t)

u(t)

A

sgn(t)

sen(ω0t)

cos(ω0t)

e-atu(t), a > 0

eatu(-t), a > 0

e-amod(t), a > 0mod: módulo

ejω0t

1

πδ(ω) + 1jω

2πAδ(ω)

2jω

jπ[δ(ω + ω0) - δ(ω - ω0)]

π[δ(ω + ω0) + δ(ω - ω0)]

1a + jω

1a - jω

2aa2 + ω2

2πδ(ω - ω0)



Transformadas de Fourier operacionales

Operación matemática Transformadade Fourier

Multiplicaciónpor una constante

Suma

Derivada

Integral

Escalado

Desplazamiento

Convolución

Kf(t)

f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...

dnf(t)dtn

f(τ)dτ-∞

t

f(at), a > 0

f(t - t0)

ejω0tf(t)

f(t)cos(ω0t)

x(τ)h(t - τ)dτ-∞

∞

f1(t)f2(t)

tnf(t)

KF(ω)

F1(ω) + F2(ω) + F3(ω) + ...

(jω)nF(ω)

F(ω)jω

1aF ω

a

e-jωt0F(ω)

F(ω - ω0)

F(ω0 - ω) + F(ω + ω0)2

X(ω)H(ω)

12π

F1(u)F2(ω - u)du-∞

∞

jndnF(ω)dωn



Ejemplo

Se desea obtener la función f(t) sabiendo que su transformada de Fourier es

F(ω) = e-jωt0

a + jω

La multiplicación por el término exp(-jωt0)es indicativa de un desplazamiento temporal en un intervalo t0.

Por otro lado, el término 1/(a + jω) es la transformada de Fourierde la función exp(-at).

Combinando ambos razonamientos se llega a

f(t) = F-1F(ω) = e-a(t - t0)



Cálculo alternativo de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una función también puede calcularsemediante el siguiente procedimiento.

F(ω) = f(t)e-jωtdt = A(ω) - jB(ω) = F(ω)e-jϕ(ω)

-∞

∞

, F(-ω) = F*(ω)

A(ω) = f(t)cos(ωt)dt-∞

∞

, función par de ω

B(ω) = f(t)sen(ωt)dt-∞

∞

, función impar de ω

F(ω) = A2(ω) + B2(ω), función par de ω

ϕ(ω) = arctg B(ω)A(ω)

, función impar de ω

F(-ω) = F*(ω)

Si f(t) es una función par, F(ω) es una función par real.

A(ω) = 2 f(t)cos(ωt)dt0

∞

, B(ω) = 0, f(t) = 22π

A(ω)cos(ωt)dω0

∞

Las funciones f(t) y A(ω) son intercambiables, salvo por un factor de escala.

Si f(t) es una función impar, F(ω) es una función impar imaginaria.

A(ω) = 0, B(ω) = 2 f(t)sen(ωt)dt0

∞



Ejemplo

Vhvi(t)

t- t0/2 t0/2

Vh = 2π V, t0 = 0.25 s

Se desea obtener la transformada de Fourierdel pulso de tensión mostrado en la figura.

Vi(ω) = vi(t)e-jωtdt

-∞

∞

= A(ω) - jB(ω)

vi(t) es una función con simetría par, con lo que

B(ω) = 0

A(ω) = 2 vi

0

∞

(t)cos(ωt)dt = 2 Vh

0

t0/2

cos(ωt)dt = 4πω sen 0.125ω V



Utilización de transformadas de Laplacepara hallar transformadas de Fourier

Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales

para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan.

La integral que define la transformada de Fourier

converge si todos los polos de F(s) están en el semiplano izquierdo.Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario

no se cumple la condición relativa a la integralque figura en las condiciones de existencia.

Esta técnica resulta particularmente útil para obtener

la variación con la frecuencia de la función de transferencia de un circuito.

f(t) es una función positiva en el tiempo Ff(t) = Lf(t)s=jω

Ejemplo

f(t) = 0 ∀t ≤ 0-

f(t) = e-atcos(ω0t) ∀t ≥ 0-

⇒ Ff(t) = s + a(s + a)2 + ω0

2s=jω

= jω + a

(jω + a)2 + ω02



f(t) es una función negativa en el tiempo Ff(t) = Lf(-t)s= -jω

Ejemplo

f(t) = 0 ∀t ≥ 0+

f(t) = eatcos(ω0t) ∀t ≤ 0-⇒

Ff(t) = L f(-t)s = -jω =

= s + a(s + a)2 + ω0

2s= -jω

= - jω + a

(- jω + a)2 + ω02

f(t) es una función distinta de cero

f+(t) = f(t) ∀t > 0

f-(t) = f(t) ∀t < 0

Ff(t) = Lf+(t)s=jω + Lf-(-t)s=-jω

f(t) par ⇒ Ff(t) = Lf(t)s=jω + Lf(t)s= -jω

f(t) impar ⇒ Ff(t) = Lf(t)s=jω - Lf(t)s= -jω

Ejemplo

f+(t) = e-at

f-(t) = eat

⇒

Lf+(t) = 1s + a, Lf-(-t) = 1

s + a

Fe-amod(t) = 1s + a s=jω

+ 1s + a s= -jω

= 2aω2 + a2



Ejemplo 1

H(s) = 0.5(s2 + 1012)

s2 + 0.5×106s + 1012

La transformada de Laplace de la función de transferenciade un circuito es la indicada en el recuadro adjunto.

Se desea representar cualitativamente la variacióndel módulo de la función de transferencia

con la frecuencia angular cuando el circuito funcionaen régimen sinusoidal permanente.

Se desea obtener los valores a los que tiende la fasede la función de transferencia

cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.

La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el

enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda

H(ω) = H(s) s = jω = 0.5(1012 - ω2)

(1012 - ω2) + j0.5×106ω = N(ω)

D(ω)

H(ω) = 0.5 1012 - ω2

(1012 - ω2)2 + 0.25×1012ω2

Una representación de esta función

es la mostrada en la figura adjunta.

100

102

104

106

108

1010

1012

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

frecuencia angular (rads/s)

mód

ulo



Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos.

∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω)

ω ≤ 106 rad/s ⇒ ∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) = arctg 0.5×106ω

1012 - ω2

ω → 0 rad/s ⇒ ∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) → 0 ° ⇒ ∠H(ω) → 0 °

ω ≥ 106 rad/s ⇒ ∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) = arctg 0.5×106ω

1012 - ω2

ω → ∞ rad/s ⇒ ∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) → 180 ° ⇒ ∠H(ω) → 0 °



Ejemplo 2

H(s) = 106ss2 + 2×106s + 1012

La transformada de Laplace de la función de transferenciade un circuito es la indicada en el recuadro adjunto.

Se desea representar cualitativamente la variacióndel módulo de la función de transferencia

con la frecuencia angular cuando el circuito funcionaen régimen sinusoidal permanente.

Se desea obtener los valores a los que tiende la fasede la función de transferencia

cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.

La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el

enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda

H(ω) = H(s)s = jω = j106ω

(1012 - ω2) + j2×106ω = N(ω)

D(ω)

H(ω) = 106ω

(1012 - ω2)2 + 4×1012ω2

= 106ωω2 + 1012

Una representación de esta función

es la mostrada en la figura adjunta.

100

102

104

106

108

1010

1012

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

frecuencia angular (rads/s)

mód

ulo



Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos.

∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω)

∠N(ω) = 90 ° ∠D(ω) = arctg 2×106ω

1012 - ω2

ω → 0 rad/s ⇒ ∠D(ω) → 0 ° ⇒ ∠H(ω) → 90 °

ω → ∞ rad/s ⇒ ∠D(ω) → 180 ° ⇒ ∠H(ω) → - 90 °



Aplicación en circuitos

Comparación con la transformada de Laplace

Transformada de Laplace (TL) Transformada de Fourier (TF)

Converge para más funciones de excitación

que la TF.

Permite la inclusión directa

de condiciones iniciales.

La TL unilateral es adecuadapara tratar problemas con condiciones

iniciales que se desarrollan en t > 0.

Proporciona directamente la respuesta

en régimen permanentea una excitación sinusoidal.

Permite considerar funciones negativas

en el tiempo, con lo que es adecuadapara tratar eventos que comiencen

en t = - ∞.

En análisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier,

los elementos pasivos tienen el mismo tratamientoque cuando se emplean fasores e impedancias.



Ejemplo 1

iG(t)

R1 R2

L

i0(t)

+v0(t)

-

Se desea obtener i0(t)utilizando transformadas de Fourier.

iG(t) = Igcos(ω0t), Ig = 50 A, ω0 = 3 rad/s

R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, L = 1 H

Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,

IG(ω0) = FiG(t) = Igπ[δ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)]

Observando que el circuito es un divisor de corriente

y utilizando notación fasorial e impedancias,la función de transferencia es

H(ω) = I0

IG

= R1

R1 + (R2 + jωL) = 1

4 + jω

I0(ω0) = IG(ω0)H(ω0) = 50πδ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)

4 + jω0

A

i0(t) = F -1I0(ω0) = 50π

2πδ(ω - ω0) + δ(ω + ω0)

4 + jω0

ejωtdt-∞

∞

=

= 25 ejω0t

4 + jω0

+ e-jω0t

4 - jω0

= 25 ejω0te -jϕ0t

5 + e

-jω0te jϕ0t

5 = 10cos(ω0t - ϕ0) A, ϕ0 = 36.87 º



Ejemplo 2

iG(t)

R1 R2

L

i0(t)

+v0(t)

-

Se desea obtener v0(t)utilizando transformadas de Fourier.

iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A

R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, L = 1 H

Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,

IG(ω) = FiG(t) = 2Ig

jω = 20

jω A

Observando que el circuito es un divisor de corriente

y utilizando notación fasorial e impedancias,la función de transferencia es

H(ω) = V0

IG

= I0jωL

IG

= R1jωLR1 + (R2 + jωL)

= j4ω5 + jω

Ω

V0(ω0) = IG(ω0)H(ω0) = 805 + jω0

V

v0(t) = F -1V0(ω0) = 80e-5t V, t en s



Teorema de Parseval

JustificaciónLa potencia media de señales de energía finita en el dominio del tiempo es nula.

Por tanto, para comparar señales de este tipo, se recurre a la energía de las señales.

Teorema de Parseval(se cumple si ambas integrales existen)

Las dimensiones de F(ω) son [J/Hz] = [Js]

La energía asociada con una función f(t) relacionada con una resistencia de 1 Ω es

f2(t)dt-∞

∞

= 12π

F(ω) 2dω-∞

∞

Si se trata de una resistencia de valor R,se multiplican ambos miembros de la última ecuación por tal valor.

La energía de la señal, referida a 1 Ω, en un intervalo de frecuencias es

1π F(ω) 2dω

ω 1

ω 2

Interpretación gráfica

ω

F(ω)2

ω1 ω20

0- ω1- ω2

W1Ω = 1π F(ω) 2dωω 1

ω 2

=

= 12π

F(ω) 2dω−ω1

−ω2

+ 12π

F(ω) 2dωω 1

ω 2

El teorema de Parseval permite calcular la energía disponible a la salida de un filtrosin necesidad de determinar la expresión temporal de la tensión en dicha salida.



Ejemplo 1

Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre ω1 y ω2

y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso).

Se desea obtener una representación gráfica cualitativa de mod2[V(ω)] y mod2[V0(ω)],

siendo v(t) y v0(t) las señales de entrada y salida, respectivamente,

y calcular el porcentaje del contenido de energía total referido a una resistencia de 1 Ω de la señal de entrada que está disponible a la salida.

v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, ω1 = 24 rad/s, ω2 = 48 rad/s

v(t) = Ae-atu(t) ⇒

⇒ V(ω) = Aa + jω

⇒ V(ω)2 = A 2

a2 + ω2

ωω1 ω20

0

- ω1- ω2

V(ω)2

La salida es igual a la entrada

en la banda de pasoy nula para cualquier otra frecuencia

ωω1 ω20

0

- ω1- ω2

V0(ω)2



Energía total disponible a la entrada:

Wi = 1πA2

a2 + ω2dω

0

∞

= A2

π1aarctg ω

a 0

∞ = 300 J

Energía disponible a la salida:

W0 = 1πA2

a2 + ω2dω

ω 1

ω 2

= A2

π1aarctg ω

a ω 1

ω2

= 61.45 J

Porcentaje de energía disponible a la salida:

W0

Wi

= 20.48 %



Ejemplo 2

R

C

+vi(t)

-

+v0(t)

-

Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje

de la energía asociada a una resistencia de 1 Ω disponible en la señal de entrada

que está disponible a la salida, y el porcentaje de energía de la señal de salida

que está comprendida en el rango 0 < ω < ω0.

vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, ω0 = 10 rad/s

R = 10 kΩ, C = 10 µF

vi(t) = Ae-atu(t) ⇒ Vi(ω) = Aa + jω

⇒ Vi(ω) 2 = A2

a2 + ω2

Energía total disponible a la entrada: Wi = 1πA2

a2 + ω2dω

0

∞

= A2

π1aarctg ω

a 0

∞ = 22.5 J

Función de transferencia (divisor de tensión): H(ω) = 1/(jωC)R + 1/(jωC)

Transformada de Fourier

de la señal de salida:V0(ω) = Vi(ω)H(ω) = 1/(RC)

[1/(RC) + jω] A2

(a2 + ω2)

Energía disponible a la salida: W0 = 1π V0(ω) 2dω0

∞

= 15 J

Porcentaje de energía disponible a la salida:W0

Wi

= 66.67 %



Energía disponible a la salida

en el intervalo 0 - ω0:W0-ω0

= 1π V0(ω) 2dω0

ω 0

= 13.64 J

Porcentaje de energía disponible a la salida

en el intervalo 0 - ω0:

W0-ω0

W0

= 90.97 %



Ejemplo 3

Sea un pulso rectangular de tensióncomo el indicado en la figura

Vmvi(t)

t- t0/2 t0/2

Su transformada de Fourier es de la formaindicada en la figura siguiente

0

0

Vmt0

Vmt0sinc(ωt0/2)

ω2π/t0

4π/t0- 4π/t0- 2π/t0

Cuanto más estrecho es el pulso,mayor es el intervalo dominantede frecuencias.

Para transmitirlo, el ancho de banda del sistemadebe ser suficiente para incluir al menosla parte dominante del espectro;es decir, la dada por la relación

0 ≤ ω ≤ 2πt0

Teniendo en cuentaque la transformada de Fourier del pulsoestá dada por

V(ω) = Vmt0sen(ωt0/2)ωt0/2

la energía contenida en la parte dominante es

W = 1π V(ω) 2dω =0

2π/t0

(utilizando una tabla de integrales)

= 2Vm

2 t0(1.41815)π

La energía total del pulso es

Wt = 1π V(ω) 2dω =0

∞

Vm2 t0

En consecuencia, la fracción de energía total del pulso contenida en la parte dominante es

WWt

= 90.28 %



Teorema de Plancherel

Relaciona la convolución y las transformadas de Fourier de dos funciones.

Fx(t)*h(t) = Fx(t) Fh(t)

Fx(t) h(t) = Fx(t)*Fh(t)

Con ayuda del teorema de Plancherel es posible mostrar que,

si el espectro de la señal x(t) tiene un ancho de banda W,

el espectro de la señal xn(t) tiene un ancho de banda nW.

Es decir, elevar una señal a una potencia crea componentes espectrales nuevas,

lo cual es de aplicación práctica en la implementación de generadores de armónicos.



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Analisis de Circuitos Con Fourier