Circuitos y Sistemas Comunicaciones - Analisis de Fourier

Circuitos y Sistemas de Comunicaciones 1

Área de Ingeniería

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Señales y Ruido

• De la onda recibida la parte deseada se llama señal y la no deseada ruido.

• Las características principales que utilizaremos para describir las ondas que estaremos estudiando son:

- Valor DC - Magnitud del Espectro- Valor RMS - Espectro de Fase- Potencia Normalizada - Densidad Espectral de Potencia- Ancho de Banda



• Las formas de ondas pueden ser funciones de tiempo o de frecuencia: V(t), I(t), B(f), S(f)

• Las formas de onda físicamente realizables satisfacen varias condiciones:

1.- Tiene valores diferentes de cero y duración finita.2.- Tiene frecuencias diferentes de cero y frecuencia finita.3.- Es una función de tiempo continua.4.- Sólo tiene valores reales.5.- Tiene valor máximo finito.

• Algunas veces se utilizan modelos matemáticos que quebrantan algunas de estas condiciones.

Señales y Ruido



Señales y Ruido



Señales y Ruido

• Promedio en Tiempo de una Señal:

• El promedio es una operación lineal por lo que se cumple que:



Señales y Ruido

• Señal Periódica:

To es el número positivo más pequeño que cumple la igualdad.

• Promedio de una Señal Periódica:



Señales y Ruido• Valor DC:

• Potencia Instantánea:

• Potencia Promedio:



Señales y Ruido• Valor RMS:

• Potencia Normalizada:



Señales y Ruido

• Forma de Onda de Potencia (matemática): si w(t) tiene potencia promedio total normalizada finita y no cero. 0 < P < ∞

• Energía Total Normalizada:

• Forma de Onda de Energía (Física): si w(t) tiene energía promedio total normalizada finita y no cero. 0 < E < ∞

• Las ondas sólo son uno de estos tipos ó ninguno. Ej.: e-t.



El Decibel• El decibel (dB) es una medida logarítmica de base 10 que

relaciona dos cantidades.

• Su uso más común es para relacionar dos potencias.



Relación Señal a Ruido• Es la relación entre la potencia de la señal que nos

interesa sobre la potencia del ruido recibido representada en decibeles.



Unidades Absolutas

• En algunos casos nos interesa expresar niveles de potencia en decibeles pero que reflejen valores absolutos.



Funciones Relacionadas

• Función Delta Dirac:

• Propiedades




• Función Escalón Unitario:

• Relación funciones Delta Dirac – Escalón Unitario:



Fasores

• Las señales senoidales se encuentran con frecuencia en los sistemas de comunicaciones.

• Para facilitar el trabajo con estas funciones se utiliza un tipo de notación llamada notación fasorial.

• Esta notación viene dada por:



Funciones Ortogonales

• Una señal f(t) definida para todos los valores del tiempo en el intervalo (t1, t2) se especifica dando un valor a f(t) para cada t.

• Esta señal podría ser aproximada tomando los puntos de inflexión y luego uniendo estos puntos.



Funciones Ortogonales• Otra forma de expresar esta función es mediante una

sumatoria de funciones.

• Los (t) forman un conjunto de funciones especial.

• De manera similar a los vectores cada función representa una “dimensión”.

• El conjunto de funciones debe ser linealmente independiente.



Funciones Ortogonales

• Cualquier función de energía finita puede ser expresada mediante la sumatoria de sus componentes siempre que estas formen un conjunto completo ortogonal.

• Se dice que n(t) y m(t) son ortogonales entre sí en el intervalo de a < t < b si:

• Si Kn = 1 las funciones son ortonormales. * = es el conjugado.



Serie de Fourier• La Serie de Fourier nos presenta una forma de expresar señales

periódicas como sumatorias de funciones ortogonales, específicamente en senos y cosenos ó de manera exponencial.

• Puede representarse en forma trigonométrica o exponencial.

• Para la forma exponencial, una función w(t) se representa:



Serie de Fourier• Para la forma trigonométrica, una función w(t) se

representa:



Transformada de Fourier

• Para evaluar las frecuencias presentes en una forma de onda no periódica se debe de evaluar de -∞ < t < ∞.

• La transformada de Fourier surge de esta necesidad y su resultado es lo que conocemos como el “espectro” de una forma de onda.

• El espectro del voltaje o corriente es el nivel relativo de una frecuencia comparada con otra.

• Nos lleva una forma de onda del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.




• La transformada de Fourier de una forma de onda w(t) es:

•Como e–j2πf es complejo, W(f) tiende a ser complejo.

• W(f) se puede dividir en su parte real e imaginaria.




• De igual forma:

donde

es la magnitud

es la fase



Transformada Inversa de Fourier

• La forma de onda en el dominio del tiempo se puede hallar a partir de su espectro utilizando la transformada inversa de Fourier.

Ambas transformadas forman un par.

• La notación utiliza las formas de onda descritas con mayúsculas son del dominio de la frecuencia y las minúsculas del tiempo.




• Para poder aplicar la transformada de Fourier se deben de cumplir ciertas condiciones básicas:

1.- En cualquier intervalo de tiempo, w(t), posee un sólo valor con un número finito de máximos, mínimos y discontinuidades.2.- w(t) es absolutamente integrable.

• Estas condiciones son suficientes pero no necesarias.• En general, la transformada se puede aplicar si se cumple que:



Propiedades de la Transformada de Fourier• Simetría Espectral de Señales Reales:

Si w(t) es real, W(-f) = W*(f) * = conjugadow*(t) = w(t)

Si w(t) es par, W(f) es realSi w(t) es impar, W(f) es imaginariaSi w(t) es real, |W(-f)| = |W(f)|

ø(-f) = -ø(f) ø = theta (fase)

• Teorema de Parseval:



Propiedades de la Transformada de Fourier

• Densidad Espectral de Energía:

• Energía Total Normalizada:










• Densidad Espectral de Potencia:

w/hz



Práctica #1: Próxima semana.Serie Fourier, Energía, Potencia y Señales: Roden: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.5 Energía y Potencia:Lathi: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.8, 2.3.1, 2.3.2, 2.4.1, 2.4.2, 2.8.1, 2.8.2, 2.8.4, 2.9.1, 3.1.4-3.1.8.

Práctica #2: Semana siguiente.Transformadas y Propiedades:Lathi:3.2.1-3.2.5, 3.3.1-3.3.4, 3.3.7, 3.3.9Couch: 2.2, 2.4, 2.7a, 2.18Oppenheim (Primera Edición): 4.17, 4.18

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