Analisis de Circuitos en Ingenieria

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C olor de banda Negro Caf Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris BlancoNumeric value 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1er n mero

2o n mero Banda de tolerancia (ejemplo, oro = 5%plata = 10%, ninguna = 20%)

Multiplicador

1. Escriba el valor num rico correspondiente a la primera banda desde la izquierda.2. Escriba el valor num rico correspondiente a la segunda desde la izquierda3. Escriba el n mero de ceros que indica la banda multiplicadora, la cual representa una potencia de 10.

(negro = sin ceros adicionales, caf = 1 cero, etc.). Una banda multiplicadora de color oro indica que eldecimal se corre un lugar hacia la izquierda; una banda multiplicadora de plata indica que el decimal se corre dos lugares hacia la izquierda.

4. La banda de tolerancia representa la precisi n As que, por ejemplo, no ser a una sorpresa encontraruna resistencia de 100- .

Ejemplo

Rojo Rojo Na ranja Oro = 22,000 o 22 103 = 22 k, 5% de toleranciaAzul Gris Oro = 6.8 o 68 10 1 = 6.8 , 20% de tolerancia

Valores estndar de resistencias con tolerancia de 5%

1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

10. 11. 12. 13. 15. 16. 18. 20. 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 43. 47. 51. 56. 62. 68. 75. 82. 91.

100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910

1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 k

10. 11. 12. 13. 15. 16. 18. 20. 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 43. 47. 51. 56. 62. 68. 75. 82. 91. k

100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 k

1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 M

TABLA

14.1 Pares de transformadas de Laplacef(t) = L1 {F(s)} F(s) = L{f(t)} f(t) = L1 {F(s)} F(s) = L{f(t)}

(t) 11

(et et )u(t) 1

(s + )(s + )u(t)

1

ssin t u(t)

s2 + 2

tu(t)1

s2cos t u(t)

ss2 + 2

tn1

(n 1)! u(t) , n = 1, 2, . . .1

snsin(t + ) u(t) s sin + cos

s2 + 2

et u(t)1

s + cos(t + ) u(t)s cos sin

s2 + 2

tet u(t)1

(s + )2 et sin t u(t)

(s + )2 + 2tn1

(n 1)! et u(t), n = 1, 2, . . . 1

(s + )n et cos t u(t)

s + (s + )2 + 2

Cdigo de colores de las resistencias

1. Escriba el valor numrico correspondiente a la primera banda desde la izquierda.2. Escriba el valor numrico correspondiente a la segunda banda desde la izquierda.3. Escriba el nmero de ceros que indica la banda multiplicadora, la cual representa una potencia

de 10 (negro 5 sin ceros adicionales, caf 5 1 cero, etc.) Una banda multiplicadora de color oro indica queel decimal se corre un lugar hacia la izquierda; una banda multiplicadora de plata indica que el decimal secorre dos lugares hacia la izquierda.

4. La banda de tolerancia representa la precisin. As que, por ejemplo, no sera una sorpresa encontrar unaresistencia de 100 con una tolerancia de 5% cuyo valor medido se encuentre en algn punto dentro delrango de 95 a 105 .

sen

sen

sen

sen

sen

Color de la bandaValor numrico

Negro Caf Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

22 000

1er. nmero

2o. nmero Banda de tolerancia (ejemplo, oro 5%,plata 10%, ninguna 20%)

Multiplicador

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0

sen ax

xdx =

12; a > 0

0; a = 0 12; a < 0

0

sen2 x dx =

0cos2 x dx =

2

0

sen mx sen nx dx =

0cos mx cos nx dx = 0; m = n y m enteros

0

sen mx cos nx dx =

0 ; m n par2m

m2 n2 ; m n impar

A Short Table of Trigonometric Identities

sen ( ) = sen cos cos sen cos( ) = cos cos sen sen cos( 90 ) = sen sen ( 90 ) = cos cos cos = 12 cos( + ) + 12 cos( )sen sen = 12 cos( ) 12 cos( + )sen cos = 12 sen ( + ) + 12 sen ( )sen 2 = 2 sen cos cos 2 = 2 cos2 1 = 1 2 sen2 = cos2 sen2 sen2 = 12 (1 cos 2)cos2 = 12 (1 + cos 2)

sen = ej ej

j2

cos = ej + ej

2

ej = cos j sen

A cos + B sen =

A2 + B2 cos(

+ tan1 BA

)

enteros

Breve tabla de identidades trigonomtricas

1

1

n, n y m enteros

1

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TABLA

6.1 Resumen de circuitos bsicos de amp opsNombre Esquema del circuito Relacin entrada-salida

Amplificador inversor vout = RfR1

vin

Amplificador no-inversorvout =

(1 + Rf

R1

)vin

Seguidor de voltaje vout = vin(tambin conocido como amplificador de ganancia unitaria)

Amplificador sumadorvout = Rf

R(v1 + v2 + v3)

Amplificador diferencia vout = v2 v1

Rf

R1

+

i

i+

ventvsal+

Rf

R1

+

+

vent

vsal+

+

vent+

vsal+

+

i

vsal

+

R

R RL

R

v1

va

vb

Rf

i3

i2

i1+

v2+

v3+

+

i

vsal

+

R

RLR

Rv1

va

vb

R

i2

i1

+ v2

+

sal ent

sal ent

sal ent

sal

sal

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ANLISIS DECIRCUITOS

EN INGENIERA

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ANLISIS DECIRCUITOS

EN INGENIERASPTIMA EDICIN

William H. Hayt, Jr. (finado)Purdue University

Jack E. Kemmerly (finado)California State University

Steven M. DurbinUniversity of Canterbury

Te Whare Wa-nanga o Waitaha

Revisin tcnica:

Ahmed Zekkour ZekkourJefe del rea Elctrica

Universidad Autnoma Metropolitana-Azcapotzalco

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND

LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCOSINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezEditora de desarrollo: Lorena Campa RojasSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin: Carlos Roberto Cordero Pedraza

ANLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERASptima edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2007 respecto a la sptima edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

Fotografas de portada: Imagen de la cabina del avin PhotoLink/Getty ImagesAerogeneradores: Russell Illig/Getty ImagesMultmetro grfico Fluke: Cortesa de Fluke CorporationTarjeta de un Procesador Intel Pentium M (Dothan): Cortesa de Intel Corporation

ISBN-13: 978-970-10-6107-7ISBN-10: 970-10-6107-1(ISBN: 970-10-3694-8 edicin anterior)

Traducido de la sptima edicin en ingls de la obra ENGINEERING CIRCUIT ANALYSIS, byWilliam H. Hayt, Jack E.Kemmerly and Steven M. Durbin. Copyright 2007 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN-10: 0-07-286611-XISBN-13: 978-0-07-286611-7

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Impreso en Mxico Printed in Mexico

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Para Sean y Kristi. La mejor parte de todos los das.

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NUESTRO COMPROMISO CON LA EXACTITUD El lector tiene el derecho de esperar un libro preciso y la divisin de Ingenierade McGraw-Hill invierte una cantidad de tiempo y esfuerzo considerables paraasegurarse de entregarle lo que desea. A continuacin se muestran los diferentespasos que tomamos en este proceso.

NUESTRO PROCESO DE VERIFICACIN DE LA EXACTITUD Primera etapaPaso 1: Un nmero significativo de profesores de ingeniera a nivel universi-tario revisa el manuscrito y reporta los errores al equipo editorial. Los autoresrevisan sus comentarios y efectan las correcciones necesarias en su manuscrito.

Segunda etapaPaso 2: Un experto en el campo de estudio revisa cada ejemplo y ejercicio delmanuscrito final para verificar la exactitud de los ejemplos, ejercicios y respues-tas. Los autores revisan las correcciones que resulten y las incorporan en el ma-nuscrito final y en el manual de soluciones.

Paso 3: El manuscrito se entrega a un editor de textos, que revisa todas las p-ginas a fin de encontrar errores gramaticales y de estilo. Al mismo tiempo, el ex-perto en el campo de estudio comienza a llevar a cabo una segunda revisin dela exactitud. Todas las correcciones se someten de manera simultnea a la con-sideracin de los autores, quienes revisan e integran la edicin y, posteriormen-te, someten las pginas del manuscrito a la composicin de letras de imprenta.

Tercera etapaPaso 4: Los autores revisan sus pruebas con un doble propsito: 1) asegurarsede que se hayan efectuado de forma correcta las correcciones previas y, 2) en-contrar cualquier error que no haya sido detectado.

Paso 5: Se asigna al proyecto un revisor del texto para analizar las pruebas delas pginas, verificar por segunda vez el trabajo del autor, as como para adicio-nar un anlisis crtico al libro. Se incorporan las revisiones en el nuevo lote depginas las cuales son sometidas de nueva cuenta a verificacin por parte del autor.

Cuarta etapaPaso 6: El equipo de autores somete el manual de soluciones a la persona ex-perta en el campo de estudio, a fin de que ste compare las pginas de texto conel manual de soluciones a manera de una revisin final.

Paso 7: El gerente del proyecto, el equipo editorial y el equipo del autor re-visan las pginas del texto como una verificacin final de su exactitud.

El texto de ingeniera resultante ha pasado a travs de varias etapas donde se haasegurado su calidad y se ha verificado que se encuentre libre de errores y quesea lo ms preciso posible. Nuestros autores y el grupo editorial confan que, atravs de este proceso, se entregan libros de texto que sean lderes en el merca-do en cuanto a su precisin e integridad tcnica.

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WILLIAM H. HAYT, JR. curs su licenciatura y maestra en la UniversidadPurdue, y su doctorado en la Universidad de Illinois. Despus de pasar cua-tro aos en la industria, el profesor Hayt ingres a la Facultad de Ingenierade la Universidad Purdue, donde colabor como profesor y jefe de la Escue-la de Ingeniera Elctrica y como profesor emrito luego de retirarse en1986. Adems de la obra Anlisis de circuitos en ingeniera, el profesorHayt es autor de otros tres libros, entre los que se incluyen Teora electro-magntica, ahora publicado en su sexta edicin por McGraw-Hill. El profe-sor Hayt ha pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kap-pa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, Sigma Delta Chi, miembro del IEEE, ASEEy NAEB. Mientras estuvo en Purdue, recibi varios premios a la enseanza,entre los que se cuentan el premio al mejor profesor universitario. Tambinse encuentra en la lista del libro de grandes maestros de Purdue, un muropermanente que se exhibe en Purdue Memorial Union, donde qued inscri-to el 23 de abril de 1999. El libro lleva los nombres del grupo inaugural de225 miembros de la facultad, del pasado y el presente, quienes dedicaronsus vidas a la excelencia en la enseanza y la erudicin. Fueron elegidos porlos estudiantes y colegas como los mejores educadores de Purdue.

JACK E. KEMMERLY recibi su licenciatura con grado Magna Cum Laudepor parte de la Universidad Catlica de Amrica, su maestra por parte de laUniversidad de Denver y su doctorado de la Universidad Purdue. Enseprimero en esta ltima universidad y despus trabaj como ingeniero en je-fe en la Divisin de Aeroneutrnica de Ford Motor Company. Despus in-gres a la Universidad Estatal de California, en Fullerton, donde se desem-pe como profesor, director de la Facultad de Ingeniera Elctrica, directorde la Divisin de Ingeniera y profesor emrito. El profesor Kemmerly hapertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, TauBeta Pi, Sigma Xi, ASEE e IEEE (miembro Senior). Sus intereses fuera dela academia incluyen ser oficial de la Little League y jefe de grupo de losBoy Scouts.

STEVEN M. DURBIN curs su licenciatura, maestra y doctorado en las uni-versidades de Purdue, West Lafayette e Indiana, respectivamente. Luego deobtener su doctorado, ingres al Departamento de Ingeniera Elctrica de laUniversidad de Florida A&M y de la Universidad Estatal de Florida. Enagosto de 2000 acept un puesto acadmico en la Universidad de Canter-bury, en Christchurch, Nueva Zelanda, donde ensea circuitos, electrnica ycursos relacionados con el estado slido; asimismo, realiza investigacionessobre nuevos materiales aplicados a la electrnica y estructuras de dispositi-vos. Es miembro senior del IEEE as como miembro de Eta Kappa Nu, laElectron Devices Society, la American Physical Society y la Royal Societyde Nueva Zelanda.

ACERCA DE LOS AUTORES

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Se pretende que la lectura de este libro sea una experiencia placentera, auncuando el texto sea por necesidad cientficamente riguroso y un tanto ma-temtico. Nosotros, los autores, tratamos de compartir la idea de que elanlisis de circuitos resulta entretenido. No slo es til y del todo esencial parael estudio de la ingeniera, sino tambin una maravillosa capacitacin para elpensamiento lgico: es bueno incluso para aquellos que quiz nunca analicenotro circuito en su carrera profesional. Mirando retrospectivamente, luego de fi-nalizar el curso, muchos estudiantes se sorprenden en verdad por todas las exce-lentes herramientas analticas que se derivan slo de tres leyes cientficas sim-ples: la ley de Ohm y las leyes de tensin y de corriente de Kirchhoff.

En muchas universidades pblicas y privadas, el curso introductorio de Inge-niera Elctrica ser precedido o estar acompaado por uno introductorio de F-sica, en el que se presentan los conceptos bsicos de la electricidad y el magne-tismo, casi siempre a partir del aspecto de campo. Sin embargo, los antecedentesde este tipo no constituyen un prerrequisito, sino que varios de los conceptos b-sicos esenciales de la electricidad y el magnetismo se explican (o revisan), segnse necesite. Para la lectura del libro, slo se requiere haber tomado un curso in-troductorio de clculo como prerrequisito, o quizs como correquisito. Los ele-mentos de circuito se presentan y definen aqu en trminos de sus ecuaciones decircuito; slo se ofrecen comentarios incidentales acerca de relaciones de cam-po pertinentes. En el pasado, tratamos de presentar el curso bsico del anlisis decircuitos viendo en tres o cuatro semanas la teora del campo electromagntico,a fin de poder definir los elementos de circuito con mayor precisin, en trminosde las ecuaciones de Maxwell. Los resultados, en especial con respecto de laaceptacin de los estudiantes, no fueron buenos.

Pretendemos que este texto ayude a los estudiantes a ensearse a s mismosla ciencia del anlisis de circuitos. Est dirigido al estudiante, y no al profesor,pues el primero es quien tal vez dedique ms tiempo a leerlo. Se hizo el mximoesfuerzo para que cada trmino nuevo se definiera claramente cuando se presen-ta por primera vez. El material bsico aparece al inicio de cada captulo y se ex-plica con cuidado y en detalle; se emplean numerosos ejemplos para presentar ysugerir resultados generales. Aparecen problemas prcticos a lo largo de cadacaptulo, los cuales resultan por lo general simples; asimismo, se dan respuestasen orden en las diversas partes. Los problemas ms difciles aparecen al final delos captulos y siguen el orden general de presentacin del material del texto. Es-tos problemas se utilizan en ocasiones para introducir temas menos importanteso ms avanzados, a travs de un procedimiento guiado paso a paso, as como pa-ra presentar temas que aparecern en el siguiente captulo. La presentacin y larepeticin resultante son importantes para el proceso de aprendizaje. En total,hay ms de 1 200 problemas de fin de captulo, adems de numerosos problemasde prctica y ms de 170 ejemplos trabajados. La mayor parte de los ejercicioses nueva en esta edicin, y con el auxilio de varios colegas, cada problema se re-solvi a mano y se verific en computadora cuando as convena.

PREFACIO

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Si en ocasiones el libro parece ser informal, o incluso ligero, se debe a que noes necesario ser secos o pomposos para ser educativos. Las sonrisas sorpresivas enlas caras de nuestros estudiantes rara vez son obstculo para que absorban infor-macin. Si la redaccin del libro tuvo sus momentos de entretenimiento, entonces,por qu no pensar tambin lo mismo en el caso de la lectura? La presentacin delmaterial en el texto representa un proceso evolutivo a travs de los cursos impar-tidos en la Universidad de Purdue; la Universidad Estatal de California, Fullerton;Fort Lewis College en Durango; el programa de Ingeniera conjunto de la Univer-sidad de Florida A&M y la Universidad Estatal de Florida; y la Universidad deCanterbury (Nueva Zelanda). Dichos estudiantes vieron todo desde el principio ysus comentarios y sugerencias frecuentes se agradecen infinitamente.

Es un verdadero honor poder ser el coautor de Anlisis de circuitos en Ingenie-ra, publicado por primera vez en 1962. Ahora en su sptima edicin, este libro haexperimentado tanto un progreso permanente como un cambio importante en la for-ma en que se ensea el anlisis de circuitos. Yo lo utilic como estudiante en la ca-rrera de ingeniera en Purdue, donde tuve la fortuna de tomar este curso con el mismoBill Hayt, que sin duda es uno de los mejores profesores que jams haya tenido.

Existen varias caractersticas dignas de mencionarse en Anlisis de circuitosen Ingeniera que han propiciado su xito. Est muy bien estructurado y probadopor el tiempo, y los conceptos clave se presentan en un formato muy lgico, aun-que tambin se vinculan de manera clara en un marco de referencia mayor. Tam-bin cuenta con anlisis bien ubicados, mezclados con ejemplos de gran utilidady problemas prcticos excelentes. No se escatima cuando se trata de presentar lateora en la que se basa un tema en particular o en el desarrollo de las bases ma-temticas correspondientes. Sin embargo, todo ha sido cuidadosamente disea-do para ayudar al estudiante en el aprendizaje de cmo llevar a cabo el anlisisde circuitos por s mismo; la teora con el propsito de teorizar se deja para otrostextos. Bill Hayt y Jack Kemmerly realizaron un gran trabajo en la creacin dela primera edicin y su deseo de transmitir al lector parte de su entusiasmo des-bordante aparece en cada captulo.

LO NUEVO EN LA SPTIMA EDICIN Cuando se tom la decisin de hacer esta sptima edicin a todo color, todos losmiembros del equipo de produccin hicieron todo su esfuerzo para hacer lo me-jor de esta excitante oportunidad. Un sinnmero de borradores (estoy seguro quealguna persona del departamento de contabilidad los cont), revisiones, mode-los y machotes cruzaron el ether (net), a medida que ponamos todo nuestro es-fuerzo para hacer que todo el trabajo a colores representara un ventaja para elestudiante. El resultado final de este trabajo en equipo, considero, es difcil de al-canzar. Existen muchos otros cambios con respecto a la sexta edicin, aunque seha puesto especial cuidado en la conservacin de las caractersticas clave, el flu-jo general de ideas y el contenido en su totalidad para beneficio de los profeso-res actuales. Por lo tanto, una vez ms, hemos utilizado diferentes iconos:

Ofrece una advertencia de errores comunes

Indica un punto especfico que vale la pena observar

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Denota un problema de diseo para el cual no existe una solucin nica

Indica un problema que requiere del anlisis asistido por computadora

Con la idea de que los paquetes de software sobre ingeniera pueden ser de ayu-da en el proceso de aprendizaje, pero que no deben ser utilizados como muletas,los problemas al final de cada captulo marcados con se encuentran dise-ados de tal forma que el software se utilice para verificar las respuestas y no pa-ra proporcionarlas.

Muchos profesores se ven en apuros para cubrir el material requerido parasu curso especfico sobre circuitos y, por lo tanto, pueden saltarse algunos delos captulos. Esto es particularmente vlido en el tema de amplificadores ope-racionales, por lo que se y subsecuentes captulos se han escrito de tal formaque el material pueda ser omitido sin que ello signifique prdida de claridad oflujo. La decisin de colocar el captulo 6 inmediatamente despus de terminarel anlisis de cd se tom a fin de que los circuitos de amp ops puedan utilizarsepara reforzar las tcnicas del anlisis de circuitos que se estudiaron en captu-los anteriores. Los efectos transitorios y la respuesta en frecuencia, con excep-cin de la velocidad de bajada, se incluyen al final de los captulos relevantes,lo cual evita tener una sobrecarga de informacin, a la vez que proporciona ungran nmero de oportunidades para el uso de los amp ops como ejemplos prc-ticos de los conceptos sobre anlisis de circuitos que se estn estudiando.

Vale la pena tambin mencionar aqu el tema de la frecuencia compleja. BillHayt fue de la idea de que las transformadas de Laplace deberan presentarse co-mo un caso especial de las transformadas de Fourier, esto es, un ejercicio mate-mtico directo. Sin embargo, muchos programas no abarcan los conceptos quese basan en Fourier hasta los cursos posteriores sobre seales y sistemas, por loque l y Jack Kemmerly le presentan al estudiante la nocin de frecuencia com-pleja como una extensin de los fasores. Se ha conservado esta tcnica amigablepara el estudiante y representa una caracterstica de gran valor del texto, dondeotros tratamientos a menudo comienzan el captulo sobre anlisis de Laplace es-tableciendo simplemente la transformada integral.

LOS CAMBIOS EN LA SPTIMA EDICIN INCLUYEN: 1. Un gran nmero de ejemplos nuevos y revisados, en particular en la parte

de anlisis transitorio (captulos 7, 8 y 9).

2. Una gran cantidad de reescritura y expansin del material sobre amp ops enel captulo 6. Este material incluye ahora el anlisis de su uso para construirfuentes de corriente y de voltaje, y de velocidad de bajada, comparadores yamplificadores de instrumentacin. Se analizan a detalle varios tipos de confi-guraciones, pero algunas variaciones se dejan a los estudiantes a fin de quepuedan resolverlas por s mismos.

3. La adicin de varios cientos de problemas al final de cada captulo.

4. Varias tablas nuevas para referencia rpida.

5. Atencin minuciosa a cada ejemplo a fin de asegurar explicaciones conci-sas, pasos intermedios apropiados y figuras adecuadas. Como se hizo en lasexta edicin, cada ejemplo est redactado de forma similar a una preguntade examen y diseado para ayudar en la resolucin de problemas, contra-riamente a la ilustracin del concepto.

D

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6. En respuesta a los comentarios de muchos estudiantes, se ha incluido unagran variedad de problemas al final de cada captulo, en los que se cuentanproblemas directos para proporcionar confianza en s mismo.

7. La seccin de Metas y objetivos al comienzo de cada captulo ha sidorebautizada como Conceptos clave, a fin de proporcionar una referenciarpida del contenido de cada uno.

8. Se han agregado algunas secciones de Aplicacin prctica, a la vez quese han actualizado las existentes.

9. Nuevas fotos, mucha de ellas en cuatro colores, a fin de agregar una pers-pectiva visual de los temas relevantes.

10. El nuevo software multimedia (en lnea) que acompaa a este libro incluyeuna actualizacin, que haba sido anticipada por un largo tiempo, del ma-nual de soluciones COSMOS, creado por los profesores.

La inesperada muerte de Bill Hayt muy al comienzo del proceso de revisin dela sexta edicin represent un golpe muy duro. Nunca tuve la oportunidad de ha-blar con l acerca de las modificaciones planeadas: slo esperaba que las con-tinuas revisiones ayudaran a que este libro hablara a otra generacin de brillan-tes estudiantes jvenes de ingeniera. Mientras tanto, nosotros ([email protected] los editores de McGraw-Hill) le damos la bienvenida a los comentarios y re-troalimentacin por parte de estudiantes y profesores. Ya sean positivos o nega-tivos, sern todos de gran vala para nosotros.

Por supuesto que este proyecto ha sido un esfuerzo de equipo y mucha gen-te ha participado y prestado su ayuda. El apoyo siempre presente de la editorialMcGraw-Hill y del grupo de produccin, que incluye a Melinda Bilecki, Miche-lle Flomenhoft, Kalah Cavanaugh, Michael Hackett, Christina Nelson, Eric We-ber, Phil Meek y Kay Brimeyer se reconoce profundamente. Tambin quisieraagradecer a mi representante local de McGraw-Hill, Nazier Hassan, quien mevisitaba en el campus para tomar una taza de caf y preguntar cmo iban las co-sas. Trabajar con estas personas ha sido verdaderamente increble.

En la sptima edicin, las siguientes personas merecen reconocimiento y unadeuda de gratitud por su tiempo y energa en la revisin de las diversas versio-nes del manuscrito:

Miroslav M. Begovic, Georgia Institute of TechnologyMaqsood Chaudhry, California State University, FullertonWade Enright, Viva Technical Solutions, Ltd.Rick Fields, TRWVictor Gerez, Montana State UniversityDennis Goeckel, Univeristy of Massachusetts, AmherstPaul M. Goggans, University of MississippiRiadh Habash, University of OttawaJay H. Harris, San Diego State UniversityArchie Holmes, Jr. University of Texas, Austin,Sheila Horan, New Mexico State UniversityDouglas E. Jussaume, University of TulsaJames S. Kang, California State Polytechnic University, PomonaChandra Kavitha, University of Massachusetts, LowellLeon McCaughan, University of WisconsinJohn P. Palmer, California State Polytechnic University, Pomona

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Craig S. Petrie, Brigham Young UniversityMohammad Sarmadi, The Pennsylvania State UniversityA.C. Soudack, University of British ColumbiaEarl Swartzlander, University of Texas, AustinVal Tereski, North Dakota State UniversityKamal Yacoub, University of Miami

Se agradecen profundamente los comentarios y sugerencias de los doctoresJim Zheng, Reginald Perry, Rodney Roberts y Tom Harrison del Departamentode Ingeniera Elctrica y Computacin de la Universidad de Florida A&M y laUniversidad Estatal de Florida, as como el increble esfuerzo y entusiasmo deBill Kennedy, de la Universidad de Canterbury, quin efectu la lectura prelimi-nar de cada captulo y proporcion muchas sugerencias tiles. Asimismo, seagradece en especial a Ken Smart y Dermot Sallis por haber proporcionadocomponentes para las fotografas, a Duncan Shaw-Brown y Kristi Durban porlos servicios fotogrficos, a Richard Blaikie por su apoyo con la Aplicacinprctica sobre los parmetros-h, a Rick Millane por su ayuda en la Aplicacinprctica sobre el procesamiento de imgenes, y a Wade Enright por proporcio-nar un sinnmero de fotografas de transformadores (nadie tiene ms fotografasde transformadores que l). Las compaas Cadence y The Mathworks propor-cionaron su amable ayuda con el software de anlisis asistido por computadora,lo cual se agradece profundamente. Phillipa Haigh y Emily Hewat proporcionaronla captura, fotocopiado y revisin en varias etapas del proyecto y, ciertamente,merecen nuestro agradecimiento por escrito por su valiosa ayuda. Asimismo,quisiera expresar mi agradecimiento a mi departamento por otorgarme mi estanciasabtica para comenzar el proceso de revisin, lo que significa que mis colegasamablemente accedieron a llevar a cabo un gran nmero de mis labores cotidianas.

Muchas personas han influido en mi estilo de enseanza a travs de los aos.Entre ellas se incluyen a los profesores Bill Hayt, David Meyer, Alan Weitsmany mi asesor de tesis, Jeffrey Gray, as como el primer ingeniero elctrico que ja-ms haya conocido: mi padre, Jesse Durbin, un egresado del Instituto Tecnol-gico de Indiana. Asimismo, agradezco profundamente la ayuda y aliento a otrosmiembros de mi familia, lo cual incluye a mi madre, Roberta y a mis hermanos,Dave, John y James, as como a mis suegros Jack y Sandy. Por ltimo y ms im-portante: agradezco a mi esposa Kristi por su paciencia, comprensin, aliento yconsejo y a nuestro hijo, Sean, por hacernos la vida muy divertida.

Steven M. DurbinChristchurch, Nueva Zelanda

Agradecemos en especial la valiosa contribucin de los siguientes asesorestcnicos para la presente edicin en espaol:

Francisco Resndiz Rodrguez, ITESM, campus PueblaKatia Romo, ITESM, campus Ciudad de MxicoElise Jurez Pinto, Instituto Tecnolgico de CuliacnArturo Astorga Ramos, Instituto Tecnolgico de MazatlnAlfredo Santana Daz, ITESM, campus TolucaHctor Hernndez Ramrez, Universidad La SalleGermn Garca Bentez, Universidad Autnoma del Estado de Mxico,

campus TolucaJos Waldo Cervantes, Universidad IberoamericanaHomero Nez Ramrez, ITESM, campus MonterreyMartha Salom Lpez, ITESM, campus MonterreyNicols Gonzlez, Universidad Autnoma de Nuevo Len

PREFACIO xv

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Enfoque en la resolucin de problemas

El captulo 1 muestra informacin detallada acercade la forma ms eficiente de atacar un problema deanlisis de circuitos en ingeniera y establece lospasos que se deben tomar para llegar a la solucincorrecta.

VISITA GUIADASECCIN 1.6 ESTRATEGIAS EXITOSAS PARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS 7

describan el circuito. Todo ello permite a un ingeniero dibujar un diagrama es-quemtico, presionar unos cuantos botones y determinar si la operacin de un cir-cuito complejo es la que se esperaba. El nivel de integracin del software paraanlisis moderno de circuitos ha crecido con rapidez, y la meta final es que seaposible sentarse ante una computadora, dibujar un diagrama esquemtico, anali-zar el circuito para verificar su desempeo, presionar unos cuantos botones y ob-tener una versin por completo manufacturada del circuito, lista para probarse!

Sin embargo, es necesario prevenir al lector: por varias razones, el softwarepara el anlisis de circuitos no es de ningn modo sustituto de un buen anlisis ala antigua, con lpiz y papel. Se necesita comprender cabalmente la forma enque funcionan los circuitos a fin de desarrollar la capacidad necesaria para dise-arlos. El simple seguimiento de los movimientos de ejecucin de un paquete desoftware particular puede ayudar a obtener la respuesta para una simple pregun-ta, aunque esto resulta similar a tratar de aprender a tocar el piano a travs de laobservacin de una cinta de video. Podr aprender algunos acordes e incluso unacancin breve, pero resulta muy improbable que alguien lo contrate alguna vez.Otra razn es que los programas muchas veces tienen errores, e incluso sucedecon ms frecuencia que los usuarios muchas veces introduzcan de manera inco-rrecta la informacin. Si no se tiene cierta idea del resultado que se espera, loserrores se notarn cuando ya sea demasiado tarde.

Aun as, el anlisis asistido por computadora es una herramienta poderosa.Permite modificar los valores de los parmetros y evaluar el cambio en el de-sempeo de circuitos y considerar la introduccin de variaciones al diseo deuna manera muy sencilla. El resultado es una disminucin de los pasos repetiti-vos y ms tiempo para concentrarse en los detalles de ingeniera.

1.6 ESTRATEGIAS EXITOSASPARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMASCuando se le pide que seale la parte ms frustrante del anlisis de circuitos, lagran mayora de los estudiantes siente que la mayor dificultad radica en sabercmo comenzar a resolver un problema especfico. La segunda parte ms difcil

Circuito amplificador dibujado con la ayuda de un paquete de software comercial para la captura de esquemas. En la parte interior de la figura: tiempo de simulacin en funcin de la salida.

parece ser obtener un conjunto completo de ecuaciones y organizarlo de modoque parezca manejable.

Muchas veces, el instinto fundamental se basa en leer con rapidez el enuncia-do del problema, y luego buscar, de inmediato, una ecuacin apropiada. Se tiendea aorar los das en que slo se peda la circunferencia de un crculo, o cuandose deba determinar el volumen de una pirmide! Aunque tratar de encontrar unasolucin rpida puede ser algo tentador, una tcnica metodolgica congruentepara resolver problemas dar mejores resultados en el largo plazo.

El diagrama de flujo ubicado a la izquierda se dise para proporcionar ayu-da en las dos dificultades ms usuales: comenzar a resolver un problema y ma-nipular la solucin. Quizs varios de estos pasos parezcan obvios, pero el ordencronolgico, as como el desempeo de cada tarea, es lo que conduce al xito.

Sin embargo, la prctica es la verdadera clave para tener xito en el anlisisde circuitos. La experiencia es el mejor maestro, y aprender de los errores siem-pre ser parte del proceso de convertirse en un ingeniero competente.

LECTURAS ADICIONALESRelativamente econmico, este famoso xito editorial a escala mundial ensea allector la manera de generar estrategias ganadoras al encarar problemas aparente-mente imposibles.

G. Polya, How to Solve It, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1971.

CAPTULO 1 INTRODUCCIN8

Leer el enunciado del problema de manera pausada y cuidadosa

Identificar el objetivo del problema

Recopilar la informacin conocida

Idear un plan

Determinar si se requiere informacin

adicional

Fin

S

No

S

No

Construir un conjunto adecuado de ecuaciones

Buscar la solucin

Un ejemplo cuidadosamenteseleccionado en cada captulo

subsecuente se identifica con estospasos para reforzar de manera

continua las capacidades para laresolucin de problemas.

CAPTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BSICOS260

EJEMPLO 8.2En el circuito de la figura 8.5a, calcular la tensin marcada como v ent H 200 ms.

Identificar el objetivo del problema.En realidad, el diagrama de la figura 8.5a representa dos circuitos diferentes:uno con el interruptor cerrado (figura 8.5b) y otro con el interruptor abierto(figura 8.5c). Determinar v(0.2)en el circuito que se muestra en la figura 8.5c.

Recopilar la informacin conocida.Primero se debe verificar que ambos circuitos se encuentren dibujados ymarcados correctamente. A continuacin se elabora el supuesto de que elcircuito de la figura 8.5b se conect por un largo periodo, para que todotransitorio se haya disipado. Se puede hacer dicho supuesto bajo estas cir-cunstancias a menos que se ordene lo contrario.

Elaborar un plan.El circuito de la figura 8.5c puede analizarse escribiendo una ecuacinKVL. A fin de cuentas, se desea una ecuacin diferencial con v y t slocomo variables; para realizar esta tarea, pueden ser necesarias ecuacionesadicionales y algunas sustituciones. A continuacin se resolver laecuacin diferencial para encontrar v(t).

Construir un conjunto de ecuaciones apropiado.Con referencia a la figura 8.5c, se puede escribir

v + 10iL + 5diLdt

= 0Sustituyendo iL = v/40, se observa que

5

40

dv

dt+

(10

40+ 1

)v = 0

o, ms simplemente,

dv

dt+ 10v = 0 [9]

Determinar si se requiere de informacin adicional.A partir de la experiencia previa, se sabe que una expresin completa de vrequerir el conocimiento de v en un momento especfico, donde t = 0 esel ms conveniente. Podra uno sentirse tentado a mirar la figura 8.5b y es-cribir v(0) = 24 V, lo cual es vlido slo justo antes de que el interruptorabre. La tensin en la resistencia puede cambiar a cualquier valor en el instante en el que se opera; nicamente permanecer sin sufrir ningncambio la corriente que circula por el inductor.

En el circuito de la figura 8.5b, iL = 24/10 = 2.4 A, puesto que el in-ductor acta como un corto circuito ante una corriente directa. Por lotanto, iL(0) = 2.4 A en el circuito de la figura 8.5c, es tambin un puntoclave en el anlisis de este tipo de circuitos. Por lo tanto, en el circuito dela figura 8.5c, v(0) = (40)(2.4) = 96 V.

Intentar resolver.Puede tomarse en cuenta cualquiera de las tres tcnicas bsicas de solucin.Con base en la experiencia, iniciar escribiendo la ecuacin caracterstica

24 V

+v 5 H40

10

t = 0

iL

24 V

+v 5 H

(b)

(a)

(c)

t 0

40

10

iL

+v 5 H

t 0

40

10

iL

FIGURA 8.5 (a) Circuito RL simple con uninterruptor disparado en el tiempo t 0. (b) Elcircuito como se encuentra antes de t 0. (c) El circuito despus de que el interruptor esactivado y se ha quitado la fuente de 24 V.

SECCIN 8.1 EL CIRCUITO RL SIN FUENTE 261

10 V

+v 5 H6

4

t = 0

iL

FIGURA 8.6 Circuito del problema de prctica 8.2.

correspondiente a la ecuacin [9]:

s + 10 = 0Resolviendo, se puede ver que s = 10, por lo que

v(t) = Ae10t [10](la cual, una vez sustituida en el lado izquierdo de la ecuacin [9], dacomo resultado

10Ae10t + 10Ae10t = 0como se esperaba).

Se encuentra el valor de A fijando el valor de t = 0 en la ecuacin [10]y haciendo uso del hecho que v(0) = 96 V. Por lo tanto,

v(t) = 96e10t [11]y v(0.2) = 12.99 V, de un mximo de 96 V.

Verificar la solucin. Es razonable o esperada?Tambin se pudo haber encontrado la corriente del inductor dndose cuentade que el inductor ve una resistencia de 50 en el circuito de la figura8.5c, lo cual proporcionara una constante de tiempo de = 50/5 = 10 s.Asociado con el hecho de que se conoce iL(0) = 2.4 A, se puede escribir,

iL(t) = 2.4e10t A, t > 0A partir de la ley de Ohm, v(t) = 40iL(t) = 96e10t , que es idntica ala ecuacin [11]. No es coincidencia que la corriente del inductor y la ten-sin en la resistencia tengan la misma dependencia exponencial.

PRCTICA

8.2 Determinar la tensin v en el inductor del circuito de la figura 8.6 parat > 0.

Respuesta: 25e2t V.

Determinacin de la cantidad de energaAntes de enfocar la atencin en la interpretacin de la respuesta, se volver a ob-servar el circuito de la figura 8.1 y se verificarn las relaciones de potencia y deenerga. La potencia que se est disipando en la resistencia es

pR = i2 R = I 20 Re2Rt/Ly se puede encontrar la energa total que se convierte en calor en la resistenciamediante la integracin de la potencia instantnea desde un tiempo cero hasta elinfinito:

wR =

0pR dt = I 20 R

0

e2Rt/L dt

= I 20 R(L

2R

)e2Rt/L

0 =

1

2L I 20

ste es el resultado que se espera, ya que la energa total almacenada inicial-mente en el inductor es 12 L I

20 , y no existe ninguna energa almacenada en el induc-

tor en el infinito, puesto que su corriente desciende hasta cero de un momento aotro. Por lo tanto, toda la energa inicial se consume en la resistencia por disipacin.

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Una cantidad de carga que no cambia con el tiempo suele representarse pormedio de Q. La cantidad instantnea de carga (que puede ser o no invariante enel tiempo) a menudo se representa por medio de q(t), o simplemente q. Esta con-vencin se utilizar en lo que resta del texto: las letras maysculas se reser-van para las cantidades constantes (invariantes en el tiempo), en tanto que lasminsculas representan el caso ms general. Segn este punto de vista, es posi-ble representar una carga constante por medio de Q o q, aunque una cantidad decarga que cambia con el tiempo debe representarse con la letra minscula q.

CorrienteLa idea de transferencia de carga o carga en movimiento es de vital impor-tancia cuando se estudian los circuitos elctricos, debido a que al mover una cargade un lugar a otro, tambin se necesita transferir energa de un punto a otro. Lafamiliar lnea de transmisin elctrica que surca los campos es un ejemplo prc-tico de un dispositivo que transfiere energa. Igual importancia tiene la posibili-dad de variar la tasa a la cual se transfiere la carga para comunicar o transferirinformacin. Tal proceso constituye la base de sistemas de comunicacin comola radio, la televisin y la telemetra.

La corriente presente en una trayectoria discreta, como un alambre metlico,tiene un valor numrico y una direccin asociada a ella; es una medida de la ve-locidad a la cual la carga pasa por un punto de referencia determinado en una di-reccin especificada.

Luego de determinar una direccin de referencia, se puede establecer en esecaso que q(t) sea la carga total que ha pasado por el punto de referencia desde untiempo arbitrario t = 0, movindose en la direccin definida. Una contribucina esta carga total ser negativa si la carga negativa se mueve en la direccin dereferencia, o si la carga positiva se mueve en la direccin opuesta. Como unejemplo, la figura 2.2 ilustra una historia de la carga total q(t) que ha pasado porun punto de referencia dado en un alambre (como el de la fig. 2.1).

Se define la corriente en un punto especfico, que fluye en una direccin es-pecificada, como la velocidad instantnea a la cual la carga positiva pasa por esepunto en la direccin especificada. Desafortunadamente, sta es la definicinhistrica, cuyo uso se populariz antes de que se apreciara que la corriente en losalambres se debe en realidad al movimiento de carga negativa, y no a la positiva.La corriente se simboliza mediante I o i, por lo que

i = dqdt

[1]

La unidad de corriente es el ampere (A), cuyo nombre es en honor a A. M.Ampre, un fsico francs. Se suele abreviar como amp, aunque no es oficialy resulta algo informal. Un ampere es igual a 1 coulomb por segundo.

Mediante la ecuacin [1] se calcula la corriente instantnea y se obtiene la fi-gura 2.3. El empleo de la letra minscula i se asocia de nuevo con un valor instan-tneo; una I mayscula denotara una cantidad constante (es decir, invariante en eltiempo).

La carga transferida entre el tiempo t0 y t se expresa como una integraldefinida: q(t)

q(t0)dq =

tt0

i dt

Por lo tanto, la carga total transferida durante todo el tiempo est dada por:

q(t) = t

t0

i dt + q(t0) [2]

CAPTULO 2 COMPONENTES BSICOS Y CIRCUITOS ELCTRICOS12

FIGURA 2.2 Grfica del valor instantneo de lacarga total q(t) que pas por un punto de referenciadeterminado desde t 0.

3

2

1

0

6

5

4

1

2

1 2 3 4 5 6 7 8

q(t) (C)

t(s)

FIGURA 2.3 Corriente instantnea i dq/dt,donde q est dada en la figura 2.2.

0.5

1

1.5

1.5

1

0.5

0

2

1 2 3 4 5 6 7 8

i(t) (A)

t(s)

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Cuando esta ecuacin se grafica sobre los ejes i en funcin de v el resultadoes una recta que pasa por el origen (fig. 2.23). La ecuacin [4] es una ecuacinlineal; adems, se le considera como la definicin de una resistencia lineal. Enconsecuencia, si la proporcin entre la corriente y la tensin asociadas con unelemento de corriente simple es constante, entonces el elemento es una resisten-cia lineal y tiene una resistencia igual a la razn tensin-corriente. La resistenciase suele considerar como una cantidad positiva, si bien es posible simular resis-tencias negativas con circuitos especiales.

De nuevo, debe subrayarse que la resistencia lineal es un elemento de cir-cuito idealizado; constituye slo un modelo matemtico de un dispositivo fsicoreal. Las resistencias se compran o fabrican con facilidad; sin embargo, se de-termin de inmediato que las razones tensin-corriente de estos dispositivos fsi-cos son ms o menos razonablemente constantes slo dentro de ciertos interva-los de corriente, tensin o potencia, y que dependen tambin de la temperatura yde otros factores ambientales. Es comn referirse a una resistencia lineal enforma simple mediante el trmino resistencia; cualquier resistencia que sea nolineal siempre se describir como tal. Las resistencias no lineales no necesaria-mente se consideran elementos indeseables. Si bien es cierto que su presenciacomplica un anlisis, el desempeo del dispositivo quiz dependa o forme partede la mejora de la no linealidad. Por ejemplo, los fusibles para la proteccin con-tra sobrecorrientes y los diodos Zener para regular la tensin son de naturalezano muy lineal, lo cual se aprovecha cuando se usan en el diseo de circuitos.

Absorcin de potenciaLa figura 2.24 muestra varios tipos de resistencia diferentes, as como el smbolode circuito ms utilizado para designarlas. De acuerdo con las convenciones detensin, corriente y potencia ya adoptadas, el producto de v e i da como resul-

SECCIN 2.4 LEY DE OHM 23

FIGURA 2.23 Relacin corriente-tensin de unaresistencia lineal de 2 .

1234567

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10V (volts)

I (amperes)

FIGURA 2.24 (a) Algunos empaques comunes de resistencias. (b) Resistencia de potencia de 560 con una potencia de 500 W. (c) Resistencia de 10 teraohms (10 000 000 000 000 ) y 5% de toleranciafabricada por Ohmcraft. (d ) Smbolo de circuito de una resistencia que se aplica a todos los dispositivosde (a) hasta (c).

(a)

(c) (d)

i

R

v+

(b)


D

D

D

n

(cm

2 /V

s)

ND (tomos/cm3)

1014 1015 1016 1017 1018 1019102

103

104

FIGURA 2.39

39. La tabla 2.3 presenta varios tipos de estndares de alambre de cobre con unaresistividad de aproximadamente 1.7 cm. Utilice la informacin de la tabla 2.4para el alambre 28 AWG para determinar la resistividad del alambre de cobre suavecorrespondiente. Es su valor congruente con el de la tabla 2.3?

40. (a) Presentar tres ejemplos de resistencias no-lineales. (b) Imaginar una bateraconectada a una resistencia. La energa se transfiere desde la batera a la resistenciahasta que la primera se descarga totalmente. Con base en el principio fsico de laconservacin de la energa, a dnde exactamente fue la energa inicialmentealmacenada en la batera?

41. Si el cobre B33 se utiliza para fabricar un alambre circular de un dimetro de 1 mm,cunta potencia se disipar en 100 m de alambre por el que circula una corriente de 1.5 A?

42. Con base a la informacin de la tabla 2.4, disear un dispositivo mecnico que actecontinuamente como una resistencia variable. (Sugerencia: podra ser de ayuda unabobina.)

43. Se puede hacer el modelo del diodo, un dispositivo no lineal muy comn de dosterminales, mediante la siguiente relacin de corriente-tensin:

I = 109(e39V 1)(a) Dibujar la caracterstica de corriente-tensin para V = 0.7 a 0.7 V.(b) Cul es la resistencia efectiva del diodo a V = 0.55 V?(c) A qu corriente el diodo tiene una resistencia de 1 ?

44. Se necesita una resistencia de 10 para reparar un circuito regulador de tensin enuna aplicacin porttil. Los nicos materiales disponibles son carretes de 10 000pies con sus calibres de alambre que se presentan en la tabla 2.4. Disear unaresistencia adecuada.

45. La resistividad del silicio cristalino tipo n est dada por = 1/q NDn , donde q,la carga por electrn, es 1.602 1019 C, ND = nmero de tomos de impureza defsforo por cm3, y n = movilidad del electrn (en unidades de cm2 V1s1). Lamovilidad y la concentracin de impurezas se relacionan por medio de la figura2.39. Suponiendo una oblea de silicio de 6 pulgadas de dimetro y de 250 m deespesor, disear una resistencia de 100 que especifique una concentracin defsforo en el intervalo de 1015 ND 1018 tomos/cm3, as como una geometradel dispositivo adecuada.

34 CAPTULO 2 COMPONENTES BSICOS Y CIRCUITOS ELCTRICOS


INTRODUCCINEn el captulo 2 se presentaron la resistencia as como varios tipos

de fuentes. Despus de definir algunos trminos nuevos sobre

circuitos, se contar con elementos suficientes para comenzar a

analizar circuitos simples realizados a partir de estos dispositivos.

Las tcnicas que se explicarn estn basadas en dos leyes relativa-

mente simples: la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y la ley de

voltajes (tensiones) de Kirchhoff (LVK). La LCK se basa en el

principio de conservacin de la carga, mientras que la LVK se

fundamenta en el principio de conservacin de la energa, por lo

cual ambas son leyes fsicas fundamentales. Una vez que se haya

familiarizado con el anlisis bsico, podr hacer un uso ms

extensivo de LCK y LVK para simplificar combinaciones en serie

y en paralelo de resistencias, fuentes de tensin o fuentes de corriente

y se desarrollarn los conceptos de divisin de tensin y de

corriente. En captulos subsecuentes, se explicarn tcnicas

adicionales que permitirn analizar, de manera eficiente, redes

an ms complejas.

3.1 NODOS, TRAYECTORIAS, LAZOS Y RAMASAhora el foco de atencin se centrar en determinar las relacionescorriente-tensin en redes simples con dos o ms elementos de cir-cuito. Los elementos se conectarn entre s por medio de cables (al-gunas veces denominados hilos de conexin), que tienen una re-sistencia nula. Debido a que la red aparece entonces como varioselementos simples y un conjunto de hilos de conexin, se le da elnombre de red de parmetros concentrados. Surge un problema deanlisis ms difcil cuando se debe enfrentar una red de parmetrosdistribuidos, que contiene un nmero esencialmente infinito de ele-mentos pequeos que se van anulando. En este texto slo se expon-drn las redes de parmetros concentrados.

CONCEPTOSCLAVE

Nuevos trminos sobre circuitos: nodo, trayectoria,lazo y rama.

Ley de Kirchhoff de corriente(LKC).

Ley de Kirchhoff de voltaje(LKV).

Anlisis de circuitos bsicosen serie y en paralelo.

Combinacin de fuentes enserie y en paralelo.

Simplificacin de combinaciones de resistencias en serie y enparalelo.

Divisin de corriente y detensin.

Conexiones a tierra.

Leyes de tensin y de corriente

CA

P

TU

LO

3

35


CAPTULO 3 LEYES DE TENSIN Y DE CORRIENTE36

En los circuitos ensamblados en el mundo real, los ca-

bles siempre tienen resistencia finita. Sin embargo,

dicha resistencia casi siempre es tan pequea, en

comparacin con otras resistencias del circuito, que

puede pasarse por alto sin introducir un error impor-

tante. Por lo tanto, de ahora en adelante, en los cir-

cuitos idealizados, se har referencia a cables de re-

sistencia nula.

FIGURA 3.1 (a) Circuito que contiene tresnodos y cinco ramas. (b) El nodo 1 se vuelve adibujar para considerarlo como dos nodos, aunquesigue siendo uno.

(a)

1

2

3

(b)

1

2

3

Un punto en el cual dos o ms elementos tienen una conexin comn se llamanodo. Por ejemplo, en la figura 3.1a se presenta un circuito que contiene tres nodos.Algunas redes se dibujan de manera que engaan a un estudiante desprevenido quecree que hay ms nodos de los que en verdad existen. Esto ocurre cuando un nodo,tal como el que se indica con el nmero 1 en la figura 3.1a, se muestra como dosuniones separadas conectadas por un conductor (resistencia nula), como en la figu-ra 3.1b. Sin embargo, todo lo que se ha hecho es dispersar el punto comn en unalnea comn de resistencia nula. As, se debe considerar en forma obligatoria la to-talidad de los hilos de conexin perfectamente conductores o las porciones de hilosde conduccin unidos al nodo, como parte de este mismo. Observe tambin que to-do elemento tiene un nodo en cada uno de sus extremos.

Suponga que se parte del nodo de una red y se mueve a travs de un elemen-to simple hacia el nodo del otro extremo. Se contina luego desde ese nodo a tra-vs de un elemento diferente hasta el siguiente, y se prosigue con este movimien-to hasta que se haya pasado por tantos elementos como se desee. Si se encontrun nodo ms de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a travs delos cuales se pas se define como una trayectoria. Si el nodo en el cual se empe-z es el mismo que con el que se finaliz, entonces la trayectoria es, por defini-cin, una trayectoria cerrada o lazo.

Por ejemplo, en la figura 3.1a, si al moverse a partir del nodo 2 por la fuentede corriente hacia el 1, y luego se atraviesa la resistencia superior derecha haciael nodo 3, se establece una trayectoria. Esto es debido a que no se ha continuadode nuevo hacia el nodo 2, completando as un lazo. Si se procede desde el nodo 2a travs de la fuente de corriente hacia el 1, se atraviesa la resistencia izquierda ha-cia el 2, y despus se sube otra vez por la resistencia central hacia el nodo 1, no seest teniendo una trayectoria, ya que se encontr ms de una vez un nodo (en reali-dad dos nodos); tampoco tiene un lazo, puesto que ste debe ser una trayectoria.

Otro trmino cuyo uso probar su conveniencia es el de rama, a la cual se de-fine como una trayectoria nica en una red, compuesta por un elemento simple yel nodo en cada extremo de ese elemento. Por lo tanto, una trayectoria es una co-leccin particular de ramas. El circuito de la figura 3.1a y b contiene cinco ramas.

3.2 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFFAhora cuenta con elementos suficientes para analizar la primera de las dos leyescon las que se honra el nombre de Gustav Robert Kirchhoff (dos h y dos f ), pro-fesor universitario alemn que naci en la poca en que Ohm efectuaba su traba-jo experimental. Esta ley axiomtica se denomina ley de Kirchhoff de corriente(abreviada LKC), la cual establece simplemente que:

La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero.

Esta ley representa un enunciado matemtico del hecho de que la carga no seacumula en un nodo. Un nodo no es un elemento de circuito, y ciertamente nopuede almacenar, destruir o generar carga. En consecuencia, las corrientes debensumar cero. En ocasiones resulta til una analoga hidrulica para aclarar estecaso: por ejemplo, considerar tres tuberas de agua unidas en la forma de una Y.Se definen tres corrientes que fluyen hacia cada una de las tres tuberas. Si seinsiste en que el agua siempre fluye, entonces resulta evidente que no se puedentener tres corrientes de agua positivas, o las tuberas explotaran. Lo anteriorconstituye un resultado de las corrientes definidas como independientes de la di-



FIGURA 3.5 La diferencia de potencial entre lospuntos A y B es independiente de la trayectoriaelegida.

v1

+

v3

+

v2+

A C

B

1

2

3

FIGURA 3.4

+

+

vxRA

13 A

ix

5

6 18 V FIGURA 3.3 (a) Circuito simple en el que se

desea que fluya la corriente a travs de la re-sistencia R3. (b) La corriente que circula por la resistencia R1 se indica de manera que laecuacin de la LCK pueda escribirse. (c) Las corrientes en el nodo superior de R3 se vuelven adibujar por claridad.

(a)

+

R2 R3

R1

5 A10 V

i2 A

(c)

R2 R3

R1

5 A

5 A

i2 A

iR1 (iR1 2 A)

(b)

+

R2 R3

R1

5 A10 V

i2 A

iR1

Determinar si se requiere informacin adicional.Observar que tiene una ecuacin pero dos incgnitas, lo que significa quese necesita obtener una ecuacin adicional. En este punto, se vuelve til elhecho de que sepa que la fuente de 10 V suministra 3 A: la LKC muestraque sta es tambin la corriente iR1 .

Buscar la solucin.Sustituyendo, se tiene que i = 3 2 + 5 = 6 A.

Verificar la solucin. Es razonable o es la esperada?Siempre vale la pena el esfuerzo de verificar una vez ms la solucin.Adems, puede hacerse el intento de evaluar si al menos la magnitud de lasolucin es razonable. En este caso, tiene dos fuentes: una suministra 5 Ay la otra, 3 A. No hay otras fuentes, independientes o dependientes. Porconsiguiente, no se debe esperar encontrar ninguna corriente en el circuitomayor que 8 A.

PRCTICA

3.1 Contar el nmero de ramas y nodos que hay en el circuito de la figura3.4. Si ix = 3 y la fuente de 18 V entrega 8 A de corriente, cul es el valorde RA? (Sugerencia: necesita de la ley de Ohm, as como de la LCK).

Respuesta: 5 ramas, 3 nodos, 1.

3.3 LEY DE TENSIN DE KIRCHHOFFLa corriente se relaciona con la carga que fluye por un elemento de circuito, entanto que la tensin constituye una medida de la diferencia de energa potencial en-tre los extremos del elemento. En la teora de circuitos, la tensin slo tiene un va-lor nico. Por lo tanto, en un circuito, la energa necesaria para mover una cargaunitaria desde el punto A hasta el punto B debe tener un valor independiente de latrayectoria seguida de A a B (a menudo existe ms de una trayectoria). Este hechose puede comprobar por medio de la ley de Kirchhoff de tensin (abreviada LVK):

La suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero.

En la figura 3.5, si se lleva una carga de 1 C de A a B a travs del elemento 1,los signos de polaridad de referencia de v1 muestran que se utilizaron v1 joulesde trabajo.1 Observar que se eligi una carga de 1 C por conveniencia numrica:por lo tanto, se efecta. Ahora bien, si, en vez de eso, se elige proceder de A a B

(1) Observar que se eligi una carga de 1 C por conveniencia numrica; por lo tanto, se efecta (1 C)(v1 J/C) = v1 joules de trabajo.


SECCIN 3.3 LEY DE TENSIN DE KIRCHHOFF 39

por el nodo C, entonces consumir v2 v3 joules de energa. El trabajo realizado,sin embargo, es independiente de la trayectoria en un circuito, por lo cual losvalores deben ser iguales. Cualquier ruta debe conducir al mismo valor de la ten-sin. En otras palabras,

v1 = v2 v3 [3]Resulta que si traza una trayectoria cerrada, la suma algebraica de las ten-

siones en los elementos individuales, a lo largo de ella, debe ser nula. As, se po-dra escribir:

v1 + v2 + v3 + + vN = 0o de manera ms compacta,

Nn=1

vn = 0 [4]

Se puede aplicar la LKT a un circuito de varias maneras diferentes. Unmtodo que propicia menos errores de escritura de ecuaciones, en comparacincon otros, consiste en moverse mentalmente alrededor de la trayectoria cerradaen la direccin de las manecillas de reloj y escribir de manera directa la tensinde cada elemento a cuya terminal (+) se entra, y despus expresar el negativo decada tensin que se encuentre primero en el signo (). Aplicando lo anterior allazo sencillo de la figura 3.5, se tiene

v1 + v2 v3 = 0lo cual concuerda con el resultado previo, ecuacin [3].

En el circuito de la figura 3.6, determinar vx e ix.

Se conoce la tensin en dos de los tres elementos del circuito. De tal modo,la LKT se aplica de inmediato para obtener vx .

Empezando con el nodo superior de la fuente de 5 V, se aplica la LVK enel sentido de las manecillas del reloj alrededor del lazo:

5 7 + vx = 0por lo que vx = 12 V.

La LVK se aplica a este circuito, pero slo dice que la misma corriente(ix ) fluye a travs de los tres elementos. Sin embargo, se conoce la tensinen la resistencia de 100 .

Se puede recurrir a la ley de Ohm,

ix = vx100 =12

100A = 120 mA

PRCTICA

3.2 Determinar ix y vx en el circuito de la figura 3.7.

Respuesta: vx = 4 V; ix = 400 mA.

EJEMPLO 3.2

FIGURA 3.6 Circuito simple con dos fuentesde tensin y una sola resistencia.

+

+

5 V

7 V

100 vx

+

ix

FIGURA 3.7

+

+

3 V

1 V

10 vx

+

ix


Como se puede ver justamente, la clave para analizar de manera correcta uncircuito consiste en marcar primero de manera metdica todas las tensiones y lascorrientes sobre el esquema del circuito. De este modo, la escritura cuidadosa delas ecuaciones LCK o LVK proporcionara relaciones correctas y la ley de Ohmse aplicara como se requiriese, si se obtienen al principio ms incgnitas queecuaciones. Se ilustran estos principios con un ejemplo ms detallado.


EJEMPLO 3.3En el circuito de la figura 3.8 hay ocho elementos de circuito; las ten-siones con pares ms-menos se muestran en los extremos de cada ele-mento. Calcular vR2 (la tensin en R2) y la tensin marcada vx.

El mejor mtodo para determinar vR2 en esta situacin consiste en considerarun lazo en el que sea posible aplicar la LVK. Existen varias opciones, perodespus de observar con cuidado el circuito se descubre que el lazo que estms hacia la izquierda ofrece una ruta directa, ya que dos tensiones se especifican con claridad. Por lo tanto, puede encontrar vR2 si escribe unaecuacin LVK en torno al lazo de la izquierda, empezando en el punto c:

4 36 + vR2 = 0lo que produce vR2 = 32 V.

Para determinar vx , podra considerrsele como la suma (algebraica) delas tensiones de los tres elementos de la derecha. Sin embargo, puesto queno hay valores para estas cantidades, tal procedimiento no suministrarauna respuesta numrica. En vez de eso, se debe aplicar la LVK empezandoen el punto c, moverse hacia arriba y a travs de la parte superior hasta a, atravs de vx hasta b, y por el hilo de conduccin hasta el punto de inicio te-niendo as:

+4 36 + 12 + 14 + vx = 0por lo que

vx = 6 VProcedimiento alterno: conociendo vR2 se podra haber tomado el caminocorto a travs de R2:

32 + 12 + 14 + vx = 0con lo cual se obtendra vx = 6 V tambin en este caso.

FIGURA 3.8 Circuito con ocho elementos en el que se quiere determinar vR2 y vx.

+

+

4 V

+

vx

+

vR2

+

vR1

+

v2 +

+ 12 V

+ 14 V

R1

R2

vs1

bc

a36 V

Los puntos b y c, as como el cable entre ellos, son

parte del mismo nodo.


SECCIN 3.3 LEY DE TENSIN DE KIRCHHOFF 41

Determinar vx en el circuito de la figura 3.9a.

EJEMPLO 3.4

+

vx

(a)

4

8

2 10 60 V ix

+

5 A

+

vx

(b)

4 8

2 10 60 V ix

+

5 A

v10

+

v4+ v8+

i4

i10 i2

FIGURA 3.9 (a) Circuito para el que se va a determinar vxmediante LVK. (b) Circuito con tensiones y corrientes sealadas.

Se debe empezar marcando (sealando) las tensiones y las corrientes en elresto de los elementos de circuito (fig. 3.9b). Observe que vx aparece entrelos extremos del resistor de 2 y la fuente ix tambin.

Si se obtiene la corriente que circula por el resistor de 2 con la ley deOhm se calcular vx . Al escribir la ecuacin apropiada de la LCK, se veque:

i2 = i4 + ixDesafortunadamente, no se tienen los valores de ninguna de estas tres

cantidades. Por lo tanto, la solucin se ha atascado (de manera temporal).Puesto que se conoce el flujo de corriente de la fuente de 60 V, es ms con-

veniente trabajar con ese lado del circuito. Podra obtenerse vx mediante i2, demanera directa de la LVK, en lugar de basarse en el conocimiento de vx . Desdeesta perspectiva, se pueden escribir las ecuaciones LVK siguientes:

60 + v8 + v10 = 0y

v10 + v4 + vx = 0 [5]Esto ya es un avance. Ahora se cuenta con dos ecuaciones con cuatro in-

cgnitas, lo cual significa una ligera mejora que contar con una ecuacin enla que todos los trminos son incgnitas. En realidad, se sabe que v8 = 40 Vpor medio de la ley de Ohm, ya que se dijo que 5 A fluyen a travs de unaresistencia de 8 . Por lo tanto, v10 = 0 + 60 40 = 20 V, de tal forma quela ecuacin [5] se reduce a

vx = 20 v4Si se pudiera determinar v4, se resolvera el problema.

(Contina en la siguiente pgina)


La mejor forma de encontrar el valor numrico de la tensin v4 en estecaso es utilizar la ley de Ohm, la cual requiere contar con un valor para i4. A partir de LCK, se puede ver que

i4 = 5 i10 = 5 v1010 = 5 20

10= 3

de tal forma que v4 = (4)(3) = 12 V y, por lo tanto, vx = 20 12 = 8 V.

PRCTICA

3.3 Determine vx en el circuito de la figura 3.10.

Respuesta: vx = 12.8 V.


FIGURA 3.10

+

vx

2

8

2 10 30 V ix

+

2 A

FIGURA 3.11 (a) Circuito de un solo lazo concuatro elementos. (b) Modelo del circuito con ten-siones de fuente y valores de resistencia dados. (c) Tienen que agregarse al circuito los signos dereferencia de la corriente y de la tensin.

(a)

+

+

+

vs1

vs2

(b)

R1

R2

i

vR2

+

vR1+

i

ii

+

+

vs1

vs2

(c)

R1

R2

3.4 EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZOSe ha podido observar que el uso repetido de LCK y LVK en conjunto con la leyde Ohm puede aplicarse a circuitos no triviales que cuenten con varios lazos yun determinado nmero de elementos. Antes de avanzar ms, ste es un buenmomento para enfocar la atencin en el concepto de circuitos en serie (y, en laseccin siguiente, paralelo), ya que ambos formarn la base de cualquier red quese presente en el futuro.

Se dice que todos los elementos del circuito que conducen la misma corrien-te estn conectados en serie. Como ejemplo, considere el circuito de la figura3.9. La fuente de 60 V est en serie con la resistencia de 8 por ambos circulala misma corriente de 5 A. Sin embargo, la resistencia de 8 no est en seriecon la de 4 ; por ambas circulan corrientes diferentes. Observe que los elemen-tos pueden conducir corrientes iguales y no estar en serie; dos focos de luz elc-trica de 100 W en casas vecinas quizs conduzcan perfectamente corrientesiguales, pero realmente no conducen la misma corriente y no estn en serie.

La figura 3.11a muestra un circuito simple que consiste en dos bateras y dosresistencias. Se supone que cada terminal, hilo de conexin y soldadura tiene re-sistencia cero; juntos constituyen un nodo individual del esquema de circuitosde la figura 3.11b. Ambas bateras estn modeladas por fuentes de tensin idea-les; se supone que cualquier resistencia interna que puedan tener es lo suficien-temente pequea como para que pueda despreciarse. Se supone que las dos re-sistencias son reemplazables por resistencias ideales (lineales).

Se trata de encontrar la corriente a travs de cada elemento, la tensin en ca-da elemento y la potencia que absorbe cada elemento. El primer paso del anli-sis es el supuesto de las direcciones de referencia de las corrientes desconocidas.De manera arbitraria se elige la corriente i en el sentido de las manecillas delreloj que sale de la terminal superior de la fuente de tensin a la izquierda. Taleleccin se indica mediante una flecha marcada i en ese punto del circuito, comose muestra en la figura 3.11c. Una aplicacin trivial de la ley de Kirchhoff de


SECCIN 3.4 EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO 43

corriente asegura que esta misma corriente debe circular tambin por cada unode los dems elementos del circuito; se debe destacar este hecho colocando estavez varios smbolos de corriente alrededor del circuito.

El segundo paso del anlisis consiste en elegir la tensin de referencia paracada una de las dos resistencias. La convencin de signos pasiva requiere que lasvariables de corriente y tensin de la resistencia se definan de manera que la co-rriente entre a la terminal en la cual se localiza la referencia de tensin positivavR1 y vR2. Puesto que ya se ha elegido (de manera arbitraria) la direccin de lacorriente, y se definen como en la figura 3.11c.

El tercer paso es aplicar la ley de Kirchhoff de tensin a la nica trayectoria ce-rrada. Es necesario moverse alrededor del circuito en la direccin de las maneci-llas del reloj, empezar en la esquina inferior izquierda y escribir de manera direc-ta cada tensin que se encuentre primero en su referencia positiva, y expresar elnegativo de cada tensin que se encuentre en la terminal negativa. Por lo tanto,

vs1 + vR1 + vs2 + vR2 = 0 [6]Despus se aplica la ley de Ohm a los elementos resistivos:

vR1 = R1i and vR2 = R2iLa sustitucin en la ecuacin [6] produce:

vs1 + R1i + vs2 + R2i = 0Puesto que i es la nica incgnita, se determina que:

i = vs1 vs2R1 + R2

La tensin o la potencia asociada con cualquier elemento tal vez se obtengaahora mediante la aplicacin de v = Ri, p = vi o p = i2 R .

PRCTICA

3.4 En el circuito de la figura 3.11b, vs1 = 120 V, vs2 = 30 V, R1 = 30 ,y R2 = 15 . Calcular la potencia que absorbe cada elemento.Respuesta: p120V = 240 W; p30V = +60 W; p30 = 120 W; p15 = 60 W.

EJEMPLO 3.5

Calcular la potencia que absorbe cada elemento del circuito que se pre-senta en la figura 3.12a.


2vA

30

15

+

120 V+

vA

+

(a) (b)

i2vA

30

15

v30++

120 V+

vA

+

FIGURA 3.12 (a) Circuito de un solo lazo que contiene una fuente dependiente. (b) Se asignan lacorriente i y la tensin v30 .

y



Primero se asigna una direccin de referencia a la corriente i y una polari-dad de referencia a la tensin v30 como se indica en la figura 3.12b. No esnecesario asignar una tensin a la resistencia de 15 puesto que la tensinde control vA de la fuente dependiente ya est disponible. (Sin embargo, valela pena sealar que los signos de referencia de vA estn invertidos respecto alos que se habran asignado, con base en la convencin de signos pasiva.)

Este circuito contiene una fuente de tensin dependiente, cuyo valor per-manece desconocido hasta que se determine vA. No obstante, se utiliza suvalor algebraico 2vA del mismo modo como si se dispusiera de un valornumrico. En consecuencia, al aplicar la LVK alrededor del lazo:

120 + v30 + 2vA vA = 0 [7]Utilizando la ley de Ohm para introducir los valores de resistencia conocidos:

v30 = 30i and vA = 15iObserve que se requiere el signo negativo, puesto que i fluye hacia la termi-nal negativa de vA.

La sustitucin en la ecuacin [7] produce:

120 + 30i 30i + 15i = 0y por ello se determina que:

i = 8 AAl calcular la potencia absorbida por cada elemento:

p120v = (120)(8) = 960 Wp30 = (8)2(30) 1 920 Wpdep = (2vA)(8) = 2[(15)(8)](8)

1 920 W

p15 = (8)2(15) = 960 W

PRCTICA

3.5 En el circuito de la figura 3.13, encontrar la potencia absorbida por cadauno de los cinco elementos del circuito.

Respuesta: (En el sentido de las manecillas del reloj desde la izquierda) 0.768 W; 1.92 W;0.2048 W; 0.1792 W; 3.072 W.

+

12 V

30

8

7 +

vx

+

4vx

FIGURA 3.13 Circuito de un solo lazo.

En el ejemplo anterior y el problema de la prctica, se pidi calcular la potenciaabsorbida por cada elemento de un circuito. Sin embargo, es difcil pensar enuna situacin en la que todas las cantidades de potencia absorbidas por un circui-to sean positivas, por la sencilla razn de que la energa debe provenir de algnlugar. Por lo tanto, a partir de la conservacin de la energa, es de esperar que lasuma de la potencia absorbida por cada elemento de un circuito sea cero. Enotras palabras, al menos una de las cantidades debe ser negativa (despreciando

y


SECCIN 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS 45

(a)

120 A 30 AR1 R2

(b)

120 A 30 AR1 R2v

+

i1 i2

115

130

115

130

FIGURA 3.14 (a) Circuito de un solo par de nodos. (b) Se asignan una tensin y dos corrientes.

el obvio caso en el que el circuito no est en operacin). Dicho de otra forma, lasuma de la potencia absorbida por cada elemento debe ser igual a cero. Demanera ms prctica, la suma de la potencia absorbida es igual a la suma de lapotencia suministrada, lo que parece lgico de acuerdo al valor.

Lo anterior puede probarse con el circuito de la figura 3.12 del ejemplo 3.5,que consiste en dos fuentes (una dependiente y la otra independiente) y dos re-sistencias. Si se suma la potencia absorbida por cada elemento, se tiene

all elements

pabsorbed = 960 + 1920 1920 + 960 = 0

En realidad (la indicacin en el esquema del circuito es la del signo asociado conla potencia absorbida) la fuente de 120 V suministra +960 W, y la fuente de-pendiente 1 920 W. Por lo tanto, las fuentes suministran un total de 960 1 920 2 880 W. Se espera que las resistencias absorban potencia posi-tiva, que en este caso se adiciona a un total de 1 920 960 2 880 W. Por ende,si tomamos en cuenta cada elemento del circuito,

pabsorbed =

psupplied

como se esperaba.Si se enfoca en el problema de prctica 3.5, la solucin con la que

querr comparar, se observa claramente que las potencias absorbidas suman0.768 + 1.92 + 0.2048 + 0.1792 3.072 = 0. Resulta interesante saber que lafuente de tensin independiente de 12 V absorbe +1.92 W, lo que significa queest disipando potencia y no suministrndola. En su lugar, la fuente de tensindependiente aparenta estar suministrando toda la potencia en este circuito enparticular. Es factible esta situacin? En general, sera de esperar que unafuente suministrara potencia positiva; sin embargo, puesto que los circuitos em-plean fuentes ideales, es factible tener un flujo de potencia neto en cualquier fuente. Sise modifica el circuito de alguna forma, se podr ver que la misma fuente sumi-nistrar la potencia positiva. No se conocer el resultado hasta que se haya lle-vado a cabo el anlisis de circuitos.

3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOSEl compaero de un circuito de un solo lazo que se analiz en la seccin 3.4 esel circuito de un par de nodos, en el que cualquier nmero de elementos simplesse conectan entre el mismo par de nodos. Un ejemplo de este tipo de circuito seilustra en la figura 3.14a. Se conocen las dos fuentes de corriente y los valoresde resistencia. Primero, suponga una tensin en cualquier elemento y asgneleuna polaridad de referencia arbitraria. La LKT obliga a reconocer que la tensinen los extremos en cada rama es la misma que la de los extremos de cualquierotra. Se dice que los elementos de un circuito que tienen una tensin comn en-tre sus extremos estn conectados en paralelo.

> a = [0.5833 -0.3333 -0.25; -0.3333 1.4762 -0.1429; -0.25 -0.1429 0.5929];

>> c = [-11; 3; 25];

>> b = a^-1 * c

b =

5.4124

7.7375

46.3127

>>

donde espacios separan a los elementos a lo largo de las filas y un punto y comaseparan las filas. La matriz denominada b, a la cual tambin se le conoce comovector puesto que tiene slo una columna, es nuestra solucin. Por ende,v1 = 5.412 V, v2 = 7.738 V y v3 = 46.31 V (se ha incurrido en un error por re-dondeo).

Se pudo haber utilizado las ecuaciones LKC como se escribieron al principiosi se emplea al procesador simblico de MATLAB.

>> eqn1 = '-8 -3 = (v1 - v2)/ 3 + (v1 - v3)/ 4';

>> eqn2 = '-(-3) = (v2 - v1)/ 3 + v2/ 1 + (v2 - v3)/ 7';

>> eqn3 = '-(-25) = v3/ 5 + (v3 - v2)/ 7 + (v3 - v1)/ 4';

>> answer = solve(eqn1, eqn2, eqn3, 'v1', 'v2', 'v3');

>> answer.v1

ans =

720/133

>> answer.v2

ans =

147/19

>> answer.v3

ans =

880/19

>>


lo que resulta en respuestas exactas, sin errores por redondeo. La rutina solve()se invoca con la lista de ecuaciones simblicas que se nombran como eqn1, eqn2y eqn3; sin embargo, deben especificarse tambin las variables v1, v2 y v3. Si asolve() se le llama con un menor nmero de variables que de ecuaciones, se ob-tiene una solucin algebraica. Vale la pena hacer un rpido comentario respectode la forma de la solucin; en el argot de programacin, se refiere como algo quese conoce como una estructura; en este caso, a dicha estructura se le llama res-puesta. Se accede a cada componente de la estructura de manera separada pornombre, como se muestra.

CAPTULO 4 ANLISIS NODAL Y DE MALLA BSICOS86

PRCTICA

4.2 Calcular la tensin en cada fuente de corriente del circuito de la figura 4.5.

FIGURA 4.5

3 A 7 A

Nodo de referencia

3 5

4 1

2

Respuesta: v3A = 5.235 V; v7A = 11.47 V.2

Los ejemplos anteriores han demostrado el mtodo bsico para realizar elanlisis nodal, pero vale la pena considerar qu pasa si las fuentes dependientestambin se encuentran presentes.

EJEMPLO 4.3

Determinar la potencia proporcionada por la fuente dependiente de lafigura 4.6a.

FIGURA 4.6 (a) Circuito de cuatro nodos que contiene una fuente de corriente dependiente. (b) Circuito marcado para el anlisis nodal.

vx+ 15 A

1

3i1

2

3

i1

vx+ 15 A

1

3i1

2

3

i1

v2

v1

(a)

Ref.

(b)


SECCIN 4.1 ANLISIS NODAL 87

Se selecciona el nodo inferior como referencia, ya que cuenta con elnmero ms grande de conexiones ramales y se procede a marcar las ten-siones nodales v1 y v2 como se muestra en la figura 4.6b. La cantidad mar-cada vx es, en realidad, igual a v2.

En el nodo 1 se escribe

15 = v1 v21

+ v12

[10]

y en el nodo 2,

3i1 = v2 v11 +v2

3[11]

Desafortunadamente, slo hay dos ecuaciones pero con tres incgnitas,lo cual es el resultado directo de la presencia de la fuente de corriente de-pendiente, puesto que no est controlada por una tensin nodal. Por ende,es necesario desarrollar una ecuacin adicional que relacione i1 con una oms tensiones nodales.

En este caso se encuentra que

i1 = v12 [12]

la cual sustituyndola en la ecuacin [11] obtenemos (con un poco de sim-plificacin)

3v1 2v2 = 30 [13]y la ecuacin [10] se simplifica en

15v1 + 8v2 = 0 [14]Despejando, se encuentra que v1 = 40 V, v2 = 75 V e i1 = 0.5v1 =

20 A. Por lo tanto, la potencia suministrada por la fuente dependiente esigual a (3i1)(v2) = (60)(75) = 4.5 kW.

Se puede observar que la presencia de una fuente dependiente originar lanecesidad de una ecuacin adicional en el anlisis si la cantidad controladora noes una tensin nodal. Ahora veamos el mismo circuito, pero con la variable con-troladora de la fuente de corriente dependiente cambiada a otro valor: la tensinde la resistencia de 3 , la cual es de hecho una tensin nodal. Se encontrar quesolamente se requieren dos ecuaciones para terminar el anlisis.

Determinar la potencia suministrada por la fuente dependiente de lafigura 4.7a.

Se selecciona el nodo inferior como nuestra referencia y se marcan las ten-siones nodales como se muestra en la figura 4.7b. Se ha marcado la tensinnodal vx explcitamente para efectos de claridad, pero no es necesaria estaredundancia. Obsrvese que la seleccin del nodo de referencia es impor-tante en este caso; esto lleva a la cantidad vx la cual es una tensin nodal.

La ecuacin LCK del nodo 1 es,

15 = v1 vx1

+ v12

[15]

EJEMPLO 4.4



CAPTULO 4 ANLISIS NODAL Y DE MALLA BSICOS88

FIGURA 4.7 (a) Circuito de cuatro nodos que contiene una fuente de corriente dependiente. (b) Circuito marcado para el anlisis nodal.

vx+ 15 A

3vx

3

1 2 i1

vx+ 15 A

3vx

3

1 2 i1

vx

v1

(a)

Ref.

(b)

FIGURA 4.8

5 A

A

2

1 2 i1

v2

v1

Ref.

y la del nodo x es

3vx = vx v11 +v2

3[16]

Si se agrupan trminos y se despeja, se encuentra que v1 = 507 V yvx = 307 V. Por lo tanto, la fuente dependiente de este circuito genera(3vx)(vx) = 55.1 W.

PRCTICA

4.3 Determinar la tensin nodal del circuito de la figura 4.8 v1 si A es(a) 2i1; (b) 2v1.Respuesta: (a) 709 V; (b) 10 V.

Resumen del procedimiento bsico del anlisis nodal

1. Contar el nmero de nodos (N).

2. Designar un nodo de referencia. El nmero de trminos en sus ecua-ciones nodales pueden minimizarse seleccionando el nodo con elmayor nmero de ramas conectadas a l.

3. Marcar las tensiones nodales (Existen N 1 tensiones).4. Escribir una ecuacin de LCK de cada uno de los nodos excepto el

de referencia. Sumar las corrientes que fluyen hacia un nodo desde lasfuentes en un miembro de la ecuacin. Del otro lado, sumar las corrientesque circulan hacia afuera del nodo a travs de las resistencias. Ponerparticular atencin a los signos .

5. Expresar cualquier incgnita adicional como corrientes o ten-siones excepto tensiones nodales en trminos de tensiones nodalesapropiadas. Esta situacin puede presentarse si en el circuito hayfuentes de tensin o fuentes dependientes.

6. Organizar las ecuaciones. Agrupndolas de acuerdo con las tensionesnodales.

7. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las tensionesnodales (Existen N 1 tensiones).


APLICACIN PRCTICACreacin de diagramas PSpice con base en nodos

El mtodo ms comn para describir un circuito, en conjun-cin con el anlisis de circuitos asistido por computadora,es un tipo de programa grfico para dibujo de esquemas,de cuya salida se muestra un ejemplo en la figura 4.32. Sinembargo, SPICE se escribi antes del advenimiento de es-te tipo de programas, y como tal requiere que los circuitosse describan en un formato especfico basado en texto. Elformato tiene sus races en la sintaxis utilizada en las tarje-tas perforadas, lo cual le da una apariencia un poco distin-ta. La base para describir circuitos es la definicin de ele-mentos, as que a cada terminal del mismo se le asigna unnmero de nodos. De esa manera, aunque se acaban de es-tudiar dos mtodos de anlisis de circuitos generalizadosdiferentes las tcnicas nodal y de malla resulta intere-sante observar que SPICE y PSpice se elaboraron median-te un mtodo de anlisis nodal muy bien definido.

Aun cuando el anlisis moderno de circuitos se haceen gran medida con un software interactivo orientado agrficas, cuando se generan errores (casi siempre debi-dos a equivocaciones en el dibujo del esquema o al ele-gir una combinacin de las opciones de anlisis), la ca-pacidad para leer la plataforma de entrada basada entextos generados por la herramienta de captura de esque-mas resulta invaluable para el seguimiento del problemaespecfico. La mejor forma de desarrollar una capacidadde este tipo consiste en aprender la manera de ejecutarPSPICE de manera directa, a partir de una plataforma deentrada escrita por el usuario.

Considere, por ejemplo, la muestra de la plataformade entrada siguiente (las lneas que empiezan con un as-terisco son comentarios, y SPICE las pasa por alto).

* Example input deck for a simple voltage divider.

.OP Se pide a SPICE que determine el punto de operacin cd del circuito.

R1 1 2 1k Se define R1 entre los nodos 1 y 2; tiene un valor de 1 kOhms.R2 2 0 1k R2 se define entre los nodos 2 y 0; tiene un valor de 1 kOhms.V1 1 0 DC 5 V1 se define entre los nodos 1 y 0; tiene un valor de 5 V cd.

* End of input deck.

Se puede crear la plataforma de entrada con el pro-grama Notepad de Windows o con su editor de textos fa-vorito. Salvar el archivo bajo el nombre example.cir, in-voca a PSpice A/D (vea el apndice 4). En File, seselecciona Open, se ubica el directorio en el que se sal-va el archivo example.cir y para Files of Type: se selec-ciona Circuit Files (*.cir). Despus de seleccionar el ar-chivo y hacer clic en Open, aparece la ventana PSpiceA/D con el archivo de circuito cargado (figura 4.33a).Una lista de red como sta, que contiene instrucciones de

la simulacin que se va a llevar a cabo, puede hacersecon el software de captura de esquemas o manualmentecomo en este ejemplo.

Se ejecuta la simulacin ya sea haciendo clic en elsmbolo play en color azul en la parte superior derechao seleccionando Run en Simulation. En la esquina infe-rior izquierda de la ventana principal, una ventana de re-sumen ms pequea informa que la simulacin se ejecu-t con xito (figura 4.33b). Para ver los resultados, seselecciona Output File del men View en donde se ver:

**** 02/18/04 09:53:57 ************** PSpice Lite (Jan 2003) *****************


**** CIRCUIT DESCRIPTION

***************************************************************************

.OP

R1 1 2 1k

R2 2 0 1k La plataforma de entrada se repite a la salida como referencia y para ayudarle en la

V1 1 0 DC 5 verificacin de errores.

* End of input deck.


**** 02/18/04 09:53:57 ************** PSpice Lite (Jan 2003) *****************


**** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C

***************************************************************************

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE

( 1) 5.0000 ( 2) 2.5000

VOLTAGE SOURCE CURRENTS

NAME CURRENT

V1 -2.500E-03

(a)

(b)

FIGURA 4.33 (a) Ventana A/D de PSpice con el archivo del circuito cargado. (b) Resumen de laactividad de simulacin.

En el resumen de salida, se proporciona la tensin entre cada nodoy el nodo 0. La tensin de 5 V se encuentra conectada entre los no-dos 1 y 0; asimismo, la resistencia R2, conectada entre los nodos 2y 0, tiene una tensin de 2.5 V, como se esperaba.

Observe tambin una rareza de SPICE: la corrienteproporcionada por la fuente se anota utilizando la convencin designos pasiva (es decir 2.5 mA).

TOTAL POWER DISSIPATION 1.25E-02 WATTS

Como se puede ver, el uso del mtodo basado en tex-tos para describir circuitos es un poco menos fcil para elusuario, en comparacin con las herramientas de capturade esquemas. En particular, resulta muy fcil introducirerrores simples (pero importantes) en una simulacin sise numeran de manera equivocada los nodos, ya que no

hay una visualizacin directa de la plataforma de entra-da, ms all de lo que se escribe en papel. Sin embargo,la interpretacin de la salida es bastante directa, as quevale la pena el esfuerzo de practicar la lectura de unoscuantos archivos de este tipo.


En este punto, el poder real del anlisis asistido por computadora empieza aser patente: una vez que se tiene el circuito dibujado en el programa de captura deesquemas, resulta fcil experimentar con slo cambiar los valores de los compo-nentes y observar el efecto sobre las corrientes y las tensiones. Para obtener unpoco de experiencia a este respecto, tratar de simular cualquiera de los circuitosde los ejemplos previos y de los problemas de prctica.

RESUMEN Y REPASO

Antes de iniciar un anlisis, elaborar un diagrama de circuito claro ysimple. Indicar todos los valores de los elementos y de las fuentes.

Si el anlisis nodal es el mtodo elegido,

Elegir uno de los nodos como el de referencia. Luego marcar lastensiones de nodo v1, v2, . . . , vN1, recordando que se entiende quecada uno se mide con respecto al nodo de referencia.

Si el circuito contiene slo fuentes de corriente, aplicar la L

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Analisis de Circuitos en Ingenieria