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Anlisis Combinatorio

Profesor:

Daniel Quinto Pazce

Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1

SEMESTRE ACADEMICO-3015-1

1

TEMARIO:

1. Introduccin

2. Principio del Producto

3. Principio de la Suma

4. Principio de Potencia

5. Factorial

6. Permutacin

7. Variacin

8. Combinacin

9. Aplicaciones


2

1.Introduccin

El anlisis combinatorio es un sistema que permite agrupar y ordenar, de diversas formas elementos de un conjunto.

El problema general es contar cuantos grupos de m elementos se pueden formar a partir de un conjunto de n elementos.

Hay que tener en cuenta los elementos que forman el grupo, y si importa o no el orden de los mismos.

La segunda condicin que hay que tener en cuenta es, si se repite o no se repite el mismo subconjunto dentro del grupo de n elementos.

El conteo es una asociacin entre un conjunto de nmeros y un conjunto de objetos. Ni = [ Ai ]

Matematica Discreta: Daniel A. Quinto Pazce-2015-1 3

1.- PRINCIPIO DEL PRODUCTO

Se dice que los Subconjuntos de A={A1, A2, A3 , An }

se lleva a cabo n actos y cada acto se realiza

A1 A2 A3 , An, formas diferentes, entonces el

numero de formas de Subconjuntos A es:

N(formas) = A1*A2* A3 ** An ( incluyentes)

Ejemplo 1

En la etapa final de un torneo de Brasil 2014, cuatro equipos : Argentina ( A ), Brasil ( B),Per ( P ), Uruguay (U), disputan el primer y segundo lugar (campen y subcampen). De cuntas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?


PROBLEMA

Solucin:

Acto: disputar el 1 lugar y 2 lugar

4 3

4 x 3

n(maneras) = 12

Ejemplo 2

De cuantas maneras podemos clasificar a una persona a la cual se hace una encuesta con relacin a su sexo,

estado civil y estatura.


PROBLEMA

Actos de encuesta:

Sexo Estado Civil Estatura

(M, F) (S, C, V, D) (B, M, A)

2 4 3

n (maneras)=2*4*3 = 24

PROBLEMA 3

Un empleado tiene 5 corbatas diferentes, 8 camisas diferentes y 10 pantalones diferentes de cuantas maneras se puede vestir en forma diferente?.


PROBLEMA

Acto de vestirse

Corbatas Camisas Pantalones

5 8 10

n (maneras)=5*8*10

= 400


Ejercicios

1. De cuantas maneras diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultneamente?

2. Con las cifras 3 y 7.

Cuantos nmeros de 2 cifras se pueden formar?.


2.PRINCIPIO DE LA SUMA

Se dice que los Subconjuntos de A,

A={A1, A2, A3 , An }

se lleva a cabo n actos y cada acto se realiza

A1 U A2 U A3 U , U An formas diferentes, entonces el numero de formas diferentes de A es:

N(formas) = A1+A2+ A3 ++ An (excluyentes)


PROBLEMAS

EJEMPLO 1

Un ingeniero puede elegir un proyecto de trabajo entre 3 listas diferentes si cada uno de las listas contiene respectivamente 5, 7,9 proyectos de trabajo Cuantos posibles proyectos tiene el ingeniero a elegir?

Acto: Proyecto de trabajo

Lista 1 Lista 2 Lista 3

5 7 9

n (proyectos)=5+7+9=21


PROBLEMAS

EJEMPLO2

Un postulante debe decidir por una de las tres carreras profesionales que ofrece una universidad:

- Medicina (4 especialidades)

- Educacin (3 especialidades)

- Derecho (4 especialidades)

De cuantas maneras se pueden elegir una especialidad?

Acto: Eleccin de una especialidad

Medicina Derecho Educacin

4 4 3

n (maneras)=4+4+3=11


4.Principio de Potencia

Se dice que en los subconjuntos de A= {A1, A2,.. An} se lleva acabo en n actos iguales (con repeticin) y cada acto se realiza de A A A formas diferentes de A

(Si importa el orden). El numero de formas se cumple:

n(formas)= A . A.. A=

n

nA


EJEMPLO

Cuantas cadenas de 8 bits comienzan con 101

b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

2 2 2 2 2 1 0 1

n(cadenas)= =32

Sea A el conjunto de palabras de 4 letras si llamamos A al alfabeto entonces hallar el cardinal de A: |A|


SOLUCION

Sabemos que las letras del Alfabeto : A=26

A= {A1, A2, A3, A4}

A A A A

26 26 26 26

4

|A| =


5.Factorial (PERMUTACION)

Se dice que en los subconjuntos de A definidos A={A1,A2,A3,An} , que se lleva a cabo en n actos diferentes, (sin repeticin) y cada acto se realiza 1x 2x 3 x.x n formas diferentes de A, (si importa el orden) se cumple:

n(formas)= n! , p(n) = n! N! = 1 *2 *3 *4*...*N

N! = N*(N-1)!

0! = 1! = 1


EJEMPLO

De cuantas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra software.

S O F T W A R E

1 2 3 4 5 6 7 8

n (formas)=1x2x3x.x8

=8!=40320


EJEMPLO

De cuantas formas diferentes se pueden hacer sentar a cuatro personas uno al lado del otro en fila.

n(formas)=4*3*2*1

=4!=24

P4 P3 P2 P1


EJEMPLO

Determine el nmero de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D.

P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Representacion:


EJERCICIO

Cuntas permutaciones se pueden formar con los nmeros 0, 1, 3, 5, 6, 9 si el nmero 3 esta despus de la segunda posicin y el nmero 6 debe ir en cualquier lugar que este posterior al lugar del nmero 3.


NOTA

Se denominan permutaciones de N elementos, los diferentes grupos que se pueden formar, tomndolos todos cada vez.

Las permutaciones implican orden.

Cada conjunto ordenado de N elementos se denominar una permutacin de los N elementos diferentes.

La formula es P(N) = N!, donde P(N) corresponde al nmero de permutaciones posibles


6.Permutacin Circular

Se dice que los subconjuntos de A, A= {A1, A2,, An} se lleva acabo en n actos s (sin repeticin) y cada acto se realiza A1xA2xxAn x A-1, formas s de A

(no importa el orden). Se cumple

n(formas)=P(, n) =(n-1)! ,


EJEMPLO DE PERMUTACION C.

De cuntas maneras se pueden hacer sentar a 4 personas, alrededor de una mesa circular; y exprese el hecho grficamente.

Sea: H1, M1, H2, M2

n(maneras) = P( , 4 )=(4-1)!

= 3! = 6


Expresando Grficamente:

H1

M1 H2

M2

H1

M1 M2

H2

H1

H2 M2

M1

H1

H2 M1

M2

H2

M1 H2

H1

H1

H1 M2

M1


6.Permutacin

Ejemplo1 :

De cuntas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?

Solucin :

Se trata de una permutacin circular


EJEMPLO

b) De cuantas maneras se puede sentar 3 parejas casadas alrededor de una mesa circular si no debe haber 2 mujeres juntas ni 2 hombres juntos?Justifique grficamente este hecho.

Sea H1, H2, H3, M1, M2, M3

n(maneras) = P( , 4 )*2!=(4-1)!*2! = 3!*2! = 12


Expresando Grficamente:H1

M1 M2

H2 H3M3

H1M1 M3

H2 H3M2

H1M1 M2

H3 H2M1

H1M1 M2

H3 H2M3

H1M2 M1

H2 H3M2

H1M2 M3

H2 H3M1

H1M2 M1

H3 H2M3

H1M3 M1

H3 H2M2

H1M3 M2

H3 H2M1

H1M3 M1

H3 H2M2

H1M1 M2

H2 H3M3

H1M3 M2

H2 H3M1


EJEMPLO

Hallar el numero de maneras de 5 personas alrededor de una mesa circular, si dos de ellas insisten en sentarse uno al lado del otro.

n(maneras)=p((4, )x2!

=3!x2! =12


7.Variacion

Se dice que en los subconjuntos de A={A1,A2,A3,An}.Se lleva acabo n actos en el orden de k en k (sin repeticin) y cada acto se realiza A1,A2,.,An-k+1 formas diferentes de A (Si importa el Orden)

Se Cumple:

n(formas) = v(n, k)


FORMULA

V(n, k) =

n (n-1)(n-2).(n-k+1) k factor

V(3, 2) =

3 (2) = 6

!,0

( )!

nk n

n k


6)!23(

!3

29

Ejemplo

Determine el nmero de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (K= 2), muestre grficamente el hecho.

4

2

4! 4 3 2 112

4 2 ! 2 1

x x xV

x


Se muestra grficamente


Ejemplo


Ejercicio:

A= {a, b, c} V (3, 2)=?

V(3,2) = = 6)!23(

!3

3x2=6

Ejercicio: Elabore un algoritmo que Calcule V(3, 2) y que grafique su diagrama de arbol.

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Variacion con Repeticion

Se dice que en los subconjuntos de A, A= {A1, A2,, An} se lleva a cabo de n actos en el orden K

(con repeticin) y cada acto se realiza K1, K2,, Kn, formas diferentes de A (si importa el orden).


Variacion con repeticion

n!

N(formas= K1!*K2!*K3!*...*Kn


Ejemplo

Determinar las palabras de 9 letras que se pueden construir como resultado de ordenar las letras de las palabras cocodrilo.COCODRILOC : 2O : 3

D: 1 9!R : 1 n (formas) =I : 1 2!*3!*1!* 1!* 1!* 1!L : 1

Ki =9=n 9!

2!*3!


Ejemplo

Determine el N de trayectorias lineales que pueden ser alcanzados, en forma horizontal o vertical y siempre ascendentemente desde el punto A(2,1) hasta B(7,4)


V: 3H: 5

Z: 8

N(maneras)= 8!3!*5!


Ejemplo

R

R

R A

A

V A

V

R: 3V: 2A: 3

8

N(maneras) =

8!3!*2!*3!


8.Combinacin

Se dice que en los subconjuntos de A A={A1,A2,A3,An}.Se lleva acabo n actos en el orden de k en k (sin repeticin) y cada acto se realiza A1,A2,.,An-k+1 formas diferentes de A (No importa el Orden)

El nmero de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con 0< k < n ,est dada por:


frmula


frmula


!

! !

( 1)...( 1)

!

nk

n

n k n kC

k n n n k

kk factores

41

EJEMPLO

Ejemplo 1: Si disponemos de 5 puntos no colineales ,cul es el

mximo nmero de tringulos que se podrn formar? Solucin : Para dibujar un tringulo solo es necesario 3 puntos

en el plano, luego se escogern 3 puntos (k = 3) de un total de 5 puntos (n = 5). Adems no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinacin.


PROPIEDADES


10

n n

n

1

1

N N

K K

N

Kforma recursiva

43

Ejercicio


De cuntas maneras se pueden dar tres cartas de una baraja de 52 que consta de cuatro grupos (figuras) de 13 cartas diferentes? El orden no hace diferencia.

Un anfitrin realiza una fiesta para los miembros del comit de caridad al que pertenece. Debido a que su casa es muy pequea solo puede invitar a 11 de los 20 miembros del comit. De cuantas maneras puede elegir a los 11 invitados?

Lina y Paty han comprado un billete de loteria. Para ganar el premio mayor deben acertar a cinco nmeros del 1 al 49, y adems a un nmero del 1 al 42. De cuntas formas pueden seleccionar los seis nmeros de su billete?

44

Ejercicio


En la preparatoria, el maestro de deportes debe seleccionar a

nueve nias de primer y segundo ao para formar el equipo

representativo de volleyball. Si hay 28 nias en primer ao y 25 en

segundo Cuntos equipos diferente puede armar? Ahora, si dos

nias de primero y una de segundo son muy buenas jugadoras y

deben estar en el equipo. De cuntas maneras puede elegir al

resto del equipo? Finalmente, para cierto torneo las reglas dictan

Que el equipo debe consistir de cuatro nias de primer ao y cinco

de segundo Cuntas combinaciones son posibles? Ahora el

maestro de deportes debe formar cuatro equipos con nueve nias

cada uno de 36 estudiantes. De cuantas maneras puede

seleccionar y armar los equipos?

45

Combinacion con repeticion

Se dice que en los subconjuntos de A, A= {A1, A2, A3 An} se lleva a cabo en n actos en el orden k con repeticin y cada acto se realiza de formas s de A (no importa el orden). Se cumple:


FORMULA

1( ) n knn formas


Ejemplo

Cuantas soluciones en los enteros n negativos tiene la ecuacin:

X1+X2+X3+X4=29

N=29

K=4

n (soluciones)=

= 4960

29 4 1 32 32

29 29 3


Ejercicio


La presidente Humala tiene cuatro vicepresidentes: Betty, Goldie, Mary y Mona. Ella desea distribuir S/.10000, en billetes de S/. 1000, como bono navideo entre ellas. Considerando que uno o ms vicepresidentes pueden no recibir nada, de cuntas formas puede dar los billetes?Ahora, si cada vicepresidente recibe al menos S/. 1000, de cuntas maneras puede dar los bonos?Y si cada vicepresidente recibe al menos S/. 1000, y Mona al menos S/. 5000, de cuntas maneras puede distribuir el dinero restante?

49

Teorema Binomial


0 1 1 2 2

1 1 0

0

( ) ...0 1 2

1

n n n n

nn n k n k

k

n n nx y x y x y x y

n n nx y x y x y

n n k

50

Teorema Binomial


4 4 3 2 2

3 4

3 12 54

108xy 81

x y x x y x y

y

1 1k n k k

k

nT x y

k

Termino Un Cualquiera

51

Teorema Binomial

Hallar el tercer termino de

K+1=3, n=4


2 4 2 23

2 2 2

4( 1) (3 )

2

=(6x )(9 ) 54

T x y

y x y

43x y

52

Ejercicio

En la expansin (x + y)7. Cul es el coeficiente de x5y2 ?

En la expansin (2u 3v)7. Cul es el coeficiente de

u5v2 ?


BIBLIOGRAFIA


Libro de textoRosen, K. H. Matemticas discretas y sus aplicaciones, 5a Edicin, McGrawHill,

2004.Grimaldi, R. P, Discrete and Combinational Mathematics: An Applied

Introduction, 5a Edicin, Pearson Addison Wesley, Libros de consultaJohnsonbaugh, R, Matemticas Discretas, 4a Edicin, Prentice Hall, 1999. Grossman, Peter. Discrete mathematics for computing. 2a edicin. New York :

Palgrave Macmillan, 2002. Haggarty, Rod. Discrete mathematics for computing. Harlow, England ; New

York : Addison-Wesley, 2002 . Anderson, James Andrew. Discrete mathematics with combinatorics. Upper

Saddle River, N.J. : Prentice Hall, 2001. Scheinerman, Edward R. Matemticas discretas. Mxico : Thomson Learning,

2001. Kolman, B., Busby, R. C. y Ross, S. C. Estructuras de matemticas discretas

para la computacin. 2 Edicin. Mxico : Prentice-Hall Hispanoamericana , 1997.

54

Anlisis Combinatorio

FIN CLASE


Anlisis Combinatorio Ejercicios

1. Cuntas permutaciones se pueden formar con los nmeros 0, 1, 3, 5, 6, 9 si el nmero 3 esta despus de la segunda posicin y el nmero 6 debe ir en cualquier lugar que este posterior al lugar del nmero 3.



2. En la final de la Olimpiada Matemtica 2007 de cierto pas se premiaron a 12 estudiantes:2 con medalla de Oro, 4 con medalla de Plata y 6 con medalla de Bronce. De cuntas maneras se pueden colocar en fila para tomarles la Foto Anual de Medallistas 2007 si: los estudiantes



Que obtuvieron medalla de Oro debe ir juntos en el centro y los dems puede ir en cualquier otra posicin de manera que a la derecha de los estudiantes con medalla de Oro queden exactamente 2 estudiantes con medalla de Plata y 3 con medalla de Bronce.



3. Se tiene dos canastas, cada una tiene 12 bolas enumeradas del 1 al 12. De cada canasta se sacan 7 bolas y se anotan los nmeros de las 14 bolas extradas, determine una frmula que indique de cuntas maneras se puede obtener k nmeros repetidos con k pertenece { 2, 3, 4, 5, 6, 7}



4. Sea A un conjunto de n elementos y B un conjunto de n - 1 elementos. Cuntas funciones sobreyectivas existen de A a B?



5. Cuntos anagramas se pueden hacer con las letras de la palabra "ENSEANZA" si las letras E,S,E deben ir juntas en cualquier orden.



6. Cuntos anagramas existen de la palabra Matemtico", en los cuales las dos a no estn juntas, ni las dos m, ni las dos t?.



7. En un concurso, Mario, Lucia y Sandra han ganado 12 premios: 7 viajes para una persona al Cuzco y 5 premios sorpresa distintos. Sin embargo dichos premios van a ser distribuidos aleatoriamente entre los participantes mencionados. De cuntas maneras se puede distribuir. dichos premios si a Mario le toque por lo menos 2 viajes y solamente 2 premios sorpresa.




8. De cuntas maneras se pueden distribuir 5 libros distintos de probabilidad entre Jorge, Karla y Anthony si a cada uno le corresponde al menos un libro?

64


9. Dados dos conjunto A y B tales que [A] = n, [B] = m con n > m, determine el nmero de funciones sobreyectivas de A en B.



FIN DE LOS EJERCICIOS


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