IWM-220 Parte 2 - Analisis Diferencial y Analisis Dimensional

8/17/2019 IWM-220 Parte 2 - Analisis Diferencial y Analisis Dimensional

1/45

Cinemática de fluidos, análisis

diferencial

y análisis dimensional

aplicado en MFProf. Alex Flores M.

Universidad Técnica Federico Santa MaríaPrimer semestre de 2016


2/45

ANÁLSIS DIFERENCI


3/45

Análisis diferencial El análisis diferencial aplica las leyes de conservación a unaregión (volumen o sistema) infinitesimal de fluido. Coneste método se obtienen las ecuaciones diferenciales del

movimiento de una partícula fluida. Es un método útil para determinar la variación de laspropiedades de los fluidos de un punto a otro y proporciona una comprensión más profunda de losmecanismos de transporte de masa, momentum y energía.

Dichas leyes generales en forma diferencial se aplican acualquier fluido en movimiento.

Las ecuaciones diferenciales pueden expresarse en forma vectorial o tensorial, empleando notación indicial.


4/45

Cinemática de los fluidos En la dinámica de partículas y cuerpos rígidos, es posibledescribir el movimiento de forma discreta.

En un sistema de masa deformable (fluido) existe unnúmero infinito de elementos lo que imposibilita ladescripción individual.

Sin embargo, se describe el comportamiento de todas laspartículas en función de un elemento infinitesimal

(partícula f luida). El elemento infinitesimal debe contener un númerosuficiente de moléculas para considerarlo un continuo y debe ser lo suficientemente pequeño para considerar queno tiene variaciones macroscópicas.


5/45

Cinemática de los fluidos El movimiento de la partícula fluida se describe en funciónde coordenadas espaciales y del tiempo. Por ejemplo, lastres componentes y el campo vectorial de flujo ,expresadas en coordenadas cartesianas son: = , , , ; = , , , , , , = + +

Las líneas de corriente son las envolventes de los vectoresde velocidad de las partículas f luidas en el campo de flujo.Las velocidades vectoriales son tangentes a dichas líneas decorriente.

Un tubo de corriente es un conjunto de líneas de corrienteque atraviesan un área infinitesimal. No existe flujo a través

de la superficie lateral de un tubo de corriente.


6/45

Cinemática de los fluidos Aplicando el enfoque lagrangiano para describir el campo deflujo, podemos evaluar la aceleración total de una partículafluida mediante la derivada material tal que:

= , , , = + + + = , , , = + + +

=

, , , =

+ · La aceleración total está formada por una variación temporal dela velocidad (aceleración local) y una parte advectiva (oconvectiva) debida a la acceleración de la partícula transportadade punto a punto en el campo de flujo.


7/45

Cinemática de los fluidos Asimismo, la derivada material o sustancial se puede aplicar acualquier campo vectorial (escalar o tensorial) del flujo:

, , , =

+ + + , , , = + · Así, el primer término resulta de la variación local del campo enel tiempo (

) y el segundo término de la advección (

· ) o

cambio de posición de la partícula a lo largo de una línea decorriente. Obsérvese que el operador advectivo · resulta enun escalar y el gradiente está dado por:

= + +


8/45

Cinemática de los fluidos Existen cuatro tipos de deformación y movimiento de unapartícula de fluido: translación, rotación, dilatación del volumen

y deformación angular. La translación y rotación son producto del movimiento lineal o

angular sin cambios de forma de la partícula fluida. La dilataciónvolumétrica y deformación angular suponen un cambio de forma y/o tamaño de ésta. La tasa de dilatación (deformación lineal) de un volumeninfinitesimal se expresa mediante la divergencia del campo de

velocidades, cuyas componentes son (

= ,, ):

= ∀ = + + = · La dilatación puede relacionarse a la estructura espacial de losgradientes de velocidad, lo que impacta la conservación de lamasa en un volumen de fluido.


9/45

Cinemática de los fluidos La tasa de deformación angular es el promedio de los gradientesde velocidades lineales de las partículas originalmenteperpendiculares entre si.

Las componentes de la tasa de deformación angular son:

= 12 + ; = 12 + ; =

12 +

Estas deformaciones angulares son producto de los gradientes de velocidad y esfuerzos cortantes sobre el elemento de fluido. Finalmente, el tensor de deformación (rango 2) tendrá comocomponentes las tasas de dilatación y deformación angular :

=


10/45

Cinemática de los fluidos La rotación se define como la velocidad angular promedio de dospartículas que originalmente estaban perpendiculares entre si.

Las componentes de la rotación de una partícula fluida alrededor

de los ejes cartesianos se expresa como: = 12 ; = 12 ; = 12

El vector de rotación es: = + + La vorticidad se define como el doble de la rotación:

= 2 Es decir, el campo de vorticidad resulta del rotacional(determinante) aplicado sobre el campo de velocidades: = × = + +


11/45

Cinemática de los fluidos

a) traslación b) rotaciónc) dilatación volumétricad) deformación angular


12/45

Ejemplo 1: cinemática de fluidos A partir de un campo vectorial de velocidad definido por = 3 ++, determinar el campo de aceleración total, campo de vorticidad y el tensor de deformación de una partícula fluida.

a) Aplicando la derivada sustancial al campo de velocidades, primero se

define la aceleración local con la derivada temporal:

= + + = (3 ) + ( ) + ( ) = 3 +0 +

Luego la aceleración debida a la advección: = 3 , = 2 , =

Así, la aceleración total de la partícula sería la suma de las anteriores:

=

=

+ · = 3 + 3 ++ +2


13/45

b) El campo de vorticidad se obtiene calculando el rotacional(determinante) entre el gradiente y un campo de velocidad. Velocidad: = 3 + + Vorticidad: = × = 2 =

3 = 2 +0

c) El tensor de deformación incluye dilatación y deformación angular:

= = 12 + 12 +⋮ ⋱ ⋮Tensor de deformación: 2 = 0 0 0 +2

0 +2 0

Ejemplo 1: cinemática de fluidos


14/45

Conservación de la masa La ecuación de continuidad debe mantenerse para cualquiercampo de flujo sin importar las simplificaciones que se tomen.Es decir, a nivel geofísico, la tasa de cambio de masa por unidad

de volumen debe ser igual a cero. A partir del teorema de transporte Reynolds aplicado a un VCinfinitesimal, y aplicando la derivada sustancial a la densidad delfluido que lo atraviesa, se obtiene:

+ · =

+(

· )

+ · = 0 + · = 1 + · = 0 Si el flujo es incompresible ( = 0), la continuidad sereduce a una tasa de dilatación volumétrica nula: · = 0.


15/45

Ejemplo 2: continuidadCompruebe si el siguiente campo de flujo es incompresible.

Velocidad: = 10 + + 5 + +3 + 3R/ Para que el flujo sea incompresible, la divergencia de la

velocidad debe tener al menos dos términos de la misma magnitud y signos opuestos.

· = + + = 10 + 10 +3 +∴ Efectivamente, por simple inspección de su tasa de dilataciónnula se comprueba que el campo de flujo satisface la continuidad y es incompresible.


16/45

Conservación de momentum La ecuación vectorial de la conservación de momentum (balances defuerzas) consiste de tres ecuaciones diferenciales parciales no-lineales y vectoriales que expresan la tasa de variación tridimensional

de la cantidad de movimiento en una partícula fluida. Aplicando el teorema de transporte de Reynolds a un VCinfinitesimal y la derivada sustancial al momentum ( ) se obtiene:

+ · = + · ( ) + + · = + =

La expresión resultante es la 2da. Ley de Newton por unidad de volumen diferencial que, generalmente, se reduce a = debido alprincipio de continuidad = 0.


17/45

Conservación de momentum El vector de fuerza integra las fuerzas de cuerpo y fuerzas desuperficie: = + .

Las fuerzas de cuerpo en general se expresan como el vector:

= ℎ = cos+cos+cos Cuando = = 90° y = 0°, resulta ser: = . Las fuerzas de superficie en el eje cartesiano , debidas a losesfuerzos cortantes y normales, se expresan así:

− = + + + Para los ejes y las fuerzas − y − se formulan de formaanáloga. En forma vectorial se escribe = + · , donde es el tensor de esfuerzos.


18/45

Conservación de momentum Al combinar las expresiones anteriores para la aceleración y lasfuerzas se obtiene la forma diferencial para la conservación demomentum (sistema de 4 ecuaciones abierto con 13 variables):

+ · = + El tensor de esfuerzos (rango 2) contiene las nueve componentesde los esfuerzos (cortantes y normales) que se ejercen sobre las carasde un elemento infinitesimal de fluido. Estos esfuerzos se puedenexpresar en función de las tasas de deformación según la ley deStokes = , o sea:

= 2 13 · + +

⋮ ⋱ ⋮


19/45

Ecuaciones de Navier-Stokes Las ecuaciones de Navier-Stokes (NS) son formas diferencialesgenerales que expresan el balance de fuerzas y momentum paraun fluido newtoniano en movimiento, que resultan al relacionarde forma lineal los esfuerzos y las tasas de deformación con unmódulo de viscosidad constante (ley de Stokes).

Para un flujo incompresible ( · = 0) se reduce el términodifusivo al laplaciano de la velocidad: · = · =.

La expresión general de las ecuaciones de NS para fluidos

newtonianos e incompresibles es: = + · = +

Así, las ecs. NS junto con la continuidad forman un sistemacerrado de 4 ecuaciones para resolver las 4 variables

y.


20/45

Dinámica de Fluidos Computacional


21/45

Ecuación de Euler Para resolver las ecs. NS generalmente se utilizan aproximacionesnuméricas con métodos computacionales (CFD) y/o se asumen ciertassimplificaciones para las condiciones de contorno.

En este sentido, para un flujo ideal se puede considerar que los efectos de lafricción son muy pequeños respecto a los demás términos (

= 0),

obteniendo así la ecuación de Euler : = . En un punto dentro de un campo de flujo, donde la velocidad y la presiónson funciones de las coordenadas espaciales normal y tangencial a la líneade corriente ( y , respectivamente) y del tiempo , a partir de la 2da. Ley de Newton se obtienen las ecuaciones de Euler en ambas direcciones:

1 + = y 1 = + En la dirección normal a la línea de corriente la presión es inversamenteproporcional al radio de curvatura de ésta, y en la dirección tangencial la

presión es inversamente proporcional a la velocidad.


22/45

Ejemplo 3: ecuación de Euler Determine el gradiente de presión suponiendo un flujo incompresiblede aire ( = 1,23 /), sin roce vertical, con el sgte. campo de flujo:

= 10 + ; = 10 + ; = 0

R/ El gradiente de presión se calcula aplicando la ecuación general de Euler,desagregada para las tres componentes espaciales:

= + → = + + + = 1,23 +

= + → = + + + = 1,23 + = + → = = 1,23 9,81 = 12,07

∴ =

+ + =1,23+

+ 12,07


23/45

Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli expresa la forma integral de la conservación deenergía mecánica y resulta de la integración de la ec. Euler sobre unalínea de corriente. Asumiendo que para un diferencial de distanciasobre la línea de corriente los tres términos de la ec. Euler tangencialse definen como:

= ; = ; = Se obtiene una ODE, que al integrarse resulta en una constante:

+ + = 0 → +2 + = . La ec. Bernoulli relaciona la entalpía debida al f lujo (o a la presión), laenergía cinética y la energía potencial del fluido. Este principio serestringe a un flujo ideal estacionario, incompresible, sin fricción y a lo

largo de una línea (o tubo) de corriente.


24/45

Ecuación de Bernoulli Esta relación del balance de la energía mecánica fue enunciada porprimera vez por Daniel Bernoulli en 1738 como el trabajo realizadopor las fuerzas de presión y de gravedad que igualan el aumento deenergía cinética de una partícula fluida.

La ec. de Bernoulli aproxima el balance de energía entre la presión,la velocidad y la elevación entre diferentes puntos del f lujo sobre lalínea de corriente.

Para efectos prácticos, la ec. de Bernoulli se divide entre paraobtener el balance de energía mecánica en términos de la cargatotal (altura H ): + 2 + = .

Asimismo, la ec. de Bernoulli también relaciona las diferencias depresión estática ( ), presión dinámica isentrópica ( 2) y presión hidrostática ( ) tal que:

∆ +∆ 2+ ∆ =.


25/45

Método de Pitot y de Venturi Para calcular la rapidez promedio de flujo en un punto sobre lalínea de corriente con un tubo de Pitot y un piezómetro, secalcula la presión de estancamiento tal que: = 2 .

El tubo Venturi mide la rapidez de flujo basándose en que lapresión es inversamente proporcional a la velocidad cuando elflujo pasa por un cambio de sección: = 2 ℎ 1 .


26/45

Ejemplo 4: Bernoulli y tubo pitotSe inserta un tubo pitot en un flujo de aire de tal manera que la presiónmedida por el piezómetro es la p. de estagnación ( ). Si la diferencia depresión es 30 mm de mercurio determine la rapidez de flujo.R/ Se aplica la ecuación de Bernoulli asumiendo que es un flujo

estacionario, incompresible y sin fricción a lo largo de la línea de corrientede estagnación. A partir de la presión de estancamiento, la rapidez deflujo se obtiene con:

= 2 = 2 ℎ = 2 ℎ

= 2 10001,23 9,81 0,03 13,6 = 80,8∴ Si la velocidad del sonido es 343 m/s y el número de Mach es Ma = 0,236para esta rapidez del aire, se comprueba que el f lujo es incompresible.


27/45

Interpretación de la ec. de energía Al aplicar la ecuación general de la energía para un tubo decorriente, definido con una superficie de control infinitesimal, setiene:

= ∆ +∆ +∆ 2 + ∆ Basándose en la relación de Bernoulli, el flujo se consideraestacionario e incompresible para una línea de flujo donde no serealiza trabajo mecánico o por esfuerzos viscosos. En tal caso se

tiene = = 0 y ∆ + ∆ 2 + ∆ = 0. Por ende, para un sistema de fluido ideal sometido únicamente auna fuente de calor se deduce que la transferencia de calor estádada por una variación de su energía interna debida al cambio detemperatura: = ∆ = ∆.


28/45

Ejemplo 5: calor en flujo sin roceDeterminar el aumento de temperatura para el agua almacenada en unestanque a 10 ft de altura y que sale por una boquilla con sección de 0,864in2, si un intercambiador de calor le entrega 10 kW continuamente.R/ Asumiendo que el f lujo es estacionario e incompresible, que el estanqueestá abierto ( = = ) y que la partícula parte de la superficie delagua dentro del estaque ( ≈ 0), con la ecuación de Bernoulli se encuentrala velocidad de salida:

= 2 = 2 32,2 10 = 25,4 Aplicando la ecuación de continuidad a un flujo incompresible:

= = 1,94 / 0,864/144 25,4 / = 0,296 /De la ecuación de la energía se tiene que la diferencia de temperatura es:

∆ = = 10 3413 / ℎ 1ℎ 3600 0,296 / 32,2 / ° = 0,995


29/45

ANÁLSIS DIMENSIONA


30/45

Análisis dimensional El análisis dimensional sirve para estudiar los fluidos a partir deparámetros sin dimensiones que reduce el número de variablesindependientes necesarias para el problema.

Se basa en la homogeneidad dimensional que establece que todotérmino aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones.

El cálculo en este tipo de análisis implica que las unidades deben serhomogéneas en cada término. Por ejemplo, las unidades de energíason J, N-m o kg-m 2/s 2. De tal manera que los términos en la ecuación

de Bernoulli deben tener las dimensiones [m/t2L].

La homogeneidad dimensional garantiza que si cada término sedivide entre un conjunto de variables y constantes, cuyo productotenga las mismas dimensiones, toda la ecuación queda sindimensiones.


31/45

Análisis dimensional Si además de adimensionalizar la ecuación, sus términos son deorden de magnitud igual a uno ésta se considera una ecuaciónnormalizada .

Los parámetros o grupos adimensionales (

Π) son un conjunto de

variables dimensionales y adimensionales combinadas conconstantes dimensionales que miden una cantidad específica delproblema.

Se utilizan constantes dimensionales tales como la aceleracióngravitacional ( ), la posición inicial ( ), la velocidad verticalinicial ( ), la viscosidad ( ), etc.

La ventaja de utilizar los grupos adimensionales en sistemas deecuaciones que no se pueden resolver analíticamente es lareducción de parámetros y una mejor comprensión de lasrelaciones entre variables del problema.


32/45

Ejemplo 6: adimensionalizaciónEncontrar la forma adimensional de la siguiente ecuación de movimiento y susolución paramétrica:

= → = + 12 R/ Las dimensiones primarias de los parámetros son:

= ; = ; = ; = ; = [ ]Por inspección se identifica que las dimensiones de altura y tiempo se puedeneliminar convirtiéndolas en variables adimensionales tal que:

∗ = y ∗ = Al sustituir se obtiene:

= ∗ ∗ = ∗∗ = → ∗∗ = 1De esta ecuación se deduce el grupo adimensional de Froude: = . Alsustituirlo se obtiene la ecuación adimensional y su solución paramétrica:

∗

∗= 1

→∗

= 1+∗ ∗

2


33/45

Leyes básicas adimensionales Las ecuaciones de conservación de masa y momentum en dosdimensiones son:

+ = 0 + = + +

+ = + + Para adimensionalizar las ecuaciones es necesario definir losparámetros involucrados de longitud ( , ), velocidad ( , ) y presión, junto con sus respectivas dimensiones primarias ( , ∞, ):

∗ = ;∗ = ; ∗ = ∞; ∗ =

∞; ∗ =

∞


34/45

Leyes básicas adimensionales Al sustituir los parámetros adimensionales en las ecuaciones seobtiene el conjunto adimensional de continuidad y Navier-Stokes:

∞ ∗∗ +

∗

∗ = 0∞ ∗ ∗∗ + ∗ ∗∗ = ∞ ∗∗ + ∞ ∗∗ + ∗∗

∞ ∗ ∗∗ + ∗∗

∗ = ∞∗

∗ + ∞∗

∗ +∗

∗

Luego, dividendo la continuidad por ∞/ y las ecs. NS por ∞ ,se reformula el sistema con el número de Froude ( = ∞/ ,relación de fuerza de inercia y fuerza gravitacional) y el número deReynolds ( = ∞ , relación entre la fuerza de inercia y la fuerzadebida a los esfuerzos viscosos (fricción).


35/45

Leyes básicas adimensionales Finalmente el conjunto de ecuaciones adimensionales resulta ser:∗

∗ +∗

∗ = 0∗

∗

∗ + ∗∗

∗ = ∗

∗ + 1∗

∗ +∗

∗

∗∗

∗ + ∗∗

∗ = 1 ∗

∗ + 1∗

∗ +∗

∗ Se tienen 5 parámetros (variables dimensionales) y 3 dimensiones

primarias (constantes dimensionales). Se puede predecir cuando el flujo es laminar o turbulento a partir de lamagnitud del número de Reynolds. Para resolver el sistema deecuaciones es conveniente aplicar la adimensionalización a lascondiciones de borde igualmente.


36/45

Teorema Pi de Buckingham El teorema Π de Buckingham establece que el número esperadode grupos adimensionales ( k ) es igual al numero de variables ( n)menos el numero de dimensiones primarias del problema ( j):

= . Los pasos a seguir para el método de Buckingham:1. Hacer la lista de parámetros involucrados;2. Seleccionar las dimensiones primarias;

3. Formular las variables adimensionales en términos de lasdimensiones primarias;4. Seleccionar los parámetros repetitivos;5. Genera los grupos Π mediante el agrupamiento de parámetros;6. Verificar que los términos sean adimensionales.


37/45

Ejemplo 7: Método de BuckinghamEl diámetro de las gotas formadas en una tobera aspersora depende deldiámetro de la tobera, la velocidad característica , la densidad , la viscosidad y la tensión superficial del fluido y la aceleración de lagravedad . Determine un conjunto de parámetros adimensionales quecaracterice el problema.

R/ Se busca que el diámetro de las gotas esté expresado en términos de lasdemás variables tal que: = , , , , , . Según el método deBuckingham, hay = 7 variables y = 3dimensiones básicas ya que variables [dimensiones]: [ ], [ ], [ /], [ / ], [ / ], [ / ],

[L/]. Aplicando el teorema Π ( = ), se pueden definir = 4grupos adimensionales independientes.Habitualmente, las variables que se repiten son , ,, y se pueden formarlos parámetros independientes de forma que:

Π = Π = Π= Π=


38/45

Ejemplo 7: Método de BuckinghamLuego, se determinan los exponentes de los parámetros independientes enfunción de las dimensiones primarias. A partir de la ecuación del grupo Π:

= Exponente de :0 = Exponente de :0 = + 3 +1Exponente de :0 = De donde se deduce que = 1, y se reduce el grupo a Π = /. Aplicando el mismo procedimiento para los demás parámetros, se obtiene:

Π = Π = Π = ∴ El fenómeno físico en cuestión puede expresarse como una relaciónfuncional entre los grupos Πdefinidos tal que:

Π= ΠΠΠ → =


39/45

Análisis dimensional y similitud Si no se conocen las ecuaciones a resolver para un problema, es unapráctica común de ingeniería experimentar utilizando un modelo aescala geométrica. De los resultados correctamente escalados, sepuede aplicar la técnica de análisis dimensional para diseñar y experimentar con un prototipo.

El análisis dimensional sirve para generar parámetrosadimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y a obtenerleyes de escalamiento para predecir el desempeño del prototipo o la

relación entre los parámetros. El análisis dimensional está basado en la similitud dinámica , queincluye tres condiciones: semejanza geométrica, semejanzacinemática y semejanza dinámica.

S. geométrica implica la misma forma entre modelo y prototipo.


40/45

Análisis dimensional y similitud S. cinemática implica que la velocidad en cualquier punto del flujodel modelo es proporcional a la velocidad en un puntocorrespondiente en el flujo del prototipo. La semejanza geométricaes requisito para la semejanza cinemática.

S. dinámica implica que todas las fuerzas en el flujo del modelo seescalan por un factor constante a las fuerzas correspondientes en elflujo del prototipo. Este factor de escala de fuerza puede ser menor,igual o mayor a uno que indica si la razón de las fuerzas del modelo

y prototipo. La semejanza cinemática es condición necesaria peroinsuficiente para la s. dinámica. En un campo de flujo, la similitud completa entre un modelo y unprototipo se logra sólo cuando existen similitudes geométrica,cinemática y dinámica.


41/45

Análisis dimensional y similitud Para garantizar la similitud completa, el modelo y el prototipodeben ser geométricamente similares, y todos sus grupos Πindependientes deben coincidir. Así se garantiza que los grupos Πdependientes del modelo se igualen con los Π dependientes delprototipo.

Por ejemplo, para evaluar la velocidad de f lujo y la fuerza de arrastresobre un modelo y un prototipo, considerando el flujoincompresible, los dos grupos Π necesarios son:

Número de Reynolds: Π = = Coeficiente de arrastre: Π = = Dado que el se puede expresar en términos de , consideramosque Π es independiente y Π = (Π) dependiente.


42/45

Principales grupos adimensionales Reynolds ( = ): es la relación entre las fuerzas deinercia y las fuerzas viscosas.

Froude ( = ): es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitacionales. Weber ( We = ): es la relación entre las fuerzas deinercia y las fuerzas de tensión superficial. Mach ( = ): es la relación entre la velocidad de flujo y la velocidad del sonido.

Factor de fricción ( = 2 ): es la relación entre lafricción en la pared y las fuerzas de inercia. Coeficiente de sustentación ( = ): es la relaciónentre las fuerzas de sustentación y las fuerzas de presióndinámica.


43/45

Ejemplo 8: modelaciónEl coeficiente = ∆ 2 de una válvula con diámetro de 600 mm,para agua a 70 °F ( = 1,059 ×10− ) que f luye a una rapidez entre 1 y 2,5 m/s, tiene que determinarse a partir de una válvula geométricamentesimilar de 300 mm de diámetro usando aire a 80 °F ( = 1,8×10− ).¿Cuáles son los rangos necesarios de rapidez del aire?R/ El rango del número de Reynolds para la válvula prototipo es:

− = = 1 0,61,059 ×10− 0,3048 = 610 ×10−− = = 2,5 0,6

1,059 ×10−

0,3048 = 1525 ×10−

Para la válvula modelo el rango de rapidez, se igualan los Re tal que:

610 ×10− = 0,31,8×10− 0,3048 → = 30,61525×10− = 0,3

1 8×10−

0 3048 → = 85


44/45

Ejemplo 9: similitud conRe y EuSe desea experimentar con un submarino modelo construido a escala 1 =1:10 con agua a 20°C. Determine la relación de fuerzas de arrastre y larelación de velocidades entre el modelo y el prototipo.R/ Para que haya similitud dinámica, es necesario que los números deReynolds del modelo y prototipo sean iguales de manera que:

= = En este caso las viscosidades son iguales; por tanto, se tiene:

= = = 10 Asimismo, se pueden igualar los números de Euler para el arrastre tal que:

= − 2 = −

2∴ −

− = = 1 = 10 1 10 = 1


45/45

Ejemplo 10: similitud conFr Se construye a escala 1 = 1:50 un modelo de vertedero de una represa, elcual funciona con agua al igual que el prototipo. Si el caudal medido en elmodelo es de 300 litros/segundo (LPS) determine el caudal del prototipo.R/ Para que exista similitud total entre el modelo y prototipo para este

problema, se debe igualar el número de Froude tal que:

= = → = = 1 Asimismo, el caudal es proporcional a la velocidad multiplicada por el área:

= = = De donde se obtiene el caudal del prototipo a partir de dicha relación:

∴ = = 50 300 1 1000 = 5303

Documents

IWM-220 Parte 2 - Analisis Diferencial y Analisis Dimensional