Chap 5- 1

Konsep-Konsep Konsep-Konsep ProbabilitasProbabilitas

Chap 5- 2

Konsep-konsep probabilitasPengertian Probabilitas (Obyektif: klasik &

empiris, Subyektif)Istilah-istilah dalam probabilitas: eksperimen,

hasil, kejadian, mutually exclusive, collectively exhaustive, independent, permutasi, dan kombinasi.

Aturan probabilitas: aturan penjumlahan & aturan perkalian

Penggunaan Diagram pohon untuk menyusun & menghitung probabilitas

Chap 5- 3

Definisi

Probabilitas adalah ukuran dari kemungkinan bahwa sebuah peristiwa di masa depan akan terjadi.

P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A terjadi

Nilai probabil i tas hanya antara 0 dan 1 atau 0 ≤ P(A) ≤ 1

Sebuah nilai mendekati nol menunjukkan kemungkinan tidak terjadi. Nilai mendekati satu berarti kemungkinan terjadi.

Pendekatan penentuan probabil i tas:1. Probabil i tas Obyektif: klasik dan empiris 2. Probabil i tas Subjektif.

Chap 5- 4

Istilah penting dalam probabilitasEksperimen (Experiment): proses yang

menghasilkan satu kejadian dari beberapa pengamatan.Misal: Melempar sebuah dadu

Hasil (outcome): keluaran atau output tertentu dari sebuah eksperimen.Misal: Dari eksperimen melempar dadu, hasil yang

mungkin adalah munculnya angka 1, 2, 3 ,4, 5 atau 6.Kejadian (Event): kumpulan dari satu hasil atau lebih

dari suatu eksperimen. Misal: Kejadian yang diamati dari melempar dadu

adalah munculnya angka genap: 2, 4 dan 6.

Chap 5- 5

Probabilitas KlasikProbabilitas klasik berlaku jika hasil-hasil dari

sebuah eksperimen semuanya memiliki peluang yang sama.

Pada metode ini probabilitas dapat ditentukan sebelum eksperimen dilakukan karena jumlah keseluruhan hasil telah diketahui.

Misal: Dari eksperimen melempar dadu, berapa probabilitas muncul angka 5?

P(5)= 1/ 6

Jumlah hasil yang diharapkanProbabilitas Kejadian =

Jumlah seluruh hasil yang mungkin

Chap 5- 6

Probabilitas EmpirisProbabilitas empiris: Probabilitas sutau kejadian yang

muncul merupakan proporsi atau bagian dari kejadian serupa yang telah terjadi sebelumnya.

Pendekatan probabilitas empiris didasarkan pada “Hukum Jumlah Besar” (Law of Large Number) yang menyatakan bahwa semakin banyak pengamatan akan menghasilkan perkiraan probabilitas yang lebih akurat.

Jumlah kemunculan suatu kejadianProbabilitas Empiris =

Jumlah seluruh pengamatan

Chap 5- 7

Contoh 1Selama 5 tahun mengajar, Prof. Budi telah memberi nilai A

pada 186 mahasiswa dari total 1200 mahasiswa yang pernah diajarnya. Berapa probabilitas seorang mahasiswa bisa memperoleh nilai A pada semester ini? Ini adalah contoh probabilitas empiris. Untuk menghitung probabilitas memperoleh nilai A:

0.1551200186P(A) ==

Hasil ini juga disebut “Probabil i tas tanpa syarat” (Unconditional probabil i ty)

Seringkali yang dicari adalah probabil i tas dapat nilai A untuk siswa yang belajar l10 jam atau lebih per minggu. Hal ini disebut “Probabil i tas Bersyarat “ (conditional probabil i ty). P(A | belajar 10 jam atau lebih per minggu)

Chap 5- 8

Probabilitas SubyektifProbabilitas subjektif didasarkan hanya pada

informasi yang tersedia, berdasarkan perasaan subyektif.

Misalnya:Memperkirakan kemungkinan bahwa perekonomian

Indonesia akan tumbuh 5% pada tahun ini. Memperkirakan kemungkinan bahwa Anda akan

menikah sebelum usia 30 tahun.

Chap 5- 9

Mutually Exclusive, Independent and Collectively Exhaustive eventsMutually exclusive (tidak terikat satu sama lain/saling

lepas): munculnya satu kejadian, meniadakan kejadian yang lain. Tidak ada kejadian lain yang mucul pada waktu yang bersamaan.

Collectively exhaustive (kumpulan lengkap): Kumpulan semua kejadian yang mungkin. Dalam satu eksperimen harus ada satu kejadian yang muncul.

Independent (saling bebas): munculnya satu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas kejadian lain. Untuk dua kejadian yang berbeda waktunya.

Chap 5- 10

Contoh 2Sebuah dadu dilempar sekali.

Budi hanya perduli dengan munculnya angka genap, yaitu, 2, 4, 6.

Arman hanya perduli dengan munculnya angka kurang dari atau sama dengan 3, yaitu, 1, 2, 3.

Maria hanya perduli dengan munculnya angka 6.Sonia hanya perduli dengan munculnya angka ganjil, yaitu 1, 3,

5.

Sebuah dadu dilempar dua kali.Dani hanya perduli dengan munculnya angka genap pada

lemparan pertama, yaitu, 2, 4, 6.Sarah hanya perduli dengan munculnya angka genap pada

lemparan kedua, , yaitu, 2, 4, 6.

Chap 5- 11

Definisi continuedEksperimen: Melempar dadu.• Hasil: Hasil yang mungkin adalah angka-angka 1, 2,

3, 4, 5, dan 6.Kejadian/event: Bagi Budi: munculnya bilangan genap, yaitu, 2, 4, 6. Bagi Arman: munculnya angka kurang dari atau

sama dengan 3, yaitu, 1, 2, 3. Untuk Maria: munculnya angka 6. Untuk Sonia: munculnya angka ganjil, yaitu 1, 3, 5.

Chap 5- 12

Mutually Exclusive, Independent and Collectively Exhaustive events

Mutually exclusive atau tidak terikat satu sama lain.Kejadian untuk Budi dan Arman tidak mutually

exclusive (saling terikat) - keduanya ada angka 2.Kejadian untuk Budi dan Maria tidak mutually

exclusive (saling terikat) - keduanya mengandung 6.Kejadian untuk Arman dan Maria mutually

exclusive (tidak saling terikat) - tidak ada angka yang sama.

Kejadian untuk Budi dan Sonia mutually exclusive (tidak saling terikat) - tidak ada angka yang sama.

Chap 5- 13

Mutually Exclusive, Independent and Collectively Exhaustive events

Independent atau saling bebas: munculnya satu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas kejadian lain. P(A&B) = P(A)*P(B)Tidak independent atau tidak saling bebas:

Antara kejadian Budi & Arman. Antara kejadian Budi & Maria. Antara kejadian Arman & Maria. Antara kejadian Budi & Sonia.

Independent:Antara kejadian Dani & Sarah:

P(Dani & Sarah) = P(Dani)*P(Sarah)

Chap 5- 14

Mutually Exclusive, Independent and Exhaustive events

Collectively exhaustive atau Kumpulan Lengkap: Kumpulan semua kejadian yang mungkin.Kejadian untuk Budi (angka genap) & kejadian untuk

Sonai (angka ganjil) adalah collectively exhaustive atau kumpulan lengkap semua hasil yang mungkin terjadi.

Kejadian untuk Budi (angka genap) & kejadian untuk Maria (angka 6) bukan collectively exhaustive atau bukan kumpulan lengkap.

Chap 5- 15

Struktur Probabilitas dua kejadian yang tidak

saling terikat (bukan mutually exclusive)

Union = “atau” = gabungan. Simbol: U.Intersection = “dan” = irisan. Simbol: ∩.Contoh: Jika diketahui X = {1, 4, 7, 9} dan

Y = {2, 3, 4, 5, 6}, makaXUY = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}X∩Y = {4}

Chap 5- 16

Aturan Probabilitas

Aturan penjumlahan khusus : Berlaku untuk dua kejadian A dan B yang mutually exclusive (tidak saling terikat), maka probabilitas kejadian A atau B adalah jumlah probabilitas keduanya :

P(A atau B) = P(A) + P(B)

P(A U B) = P(A) + P(B)

Chap 5- 17

Contoh 3Emprit Airways mengumpulkan data

penerbangan dari Surabaya ke Jakarta:

Kedatangan Frequency

Lebih Awal 100

Tepat Waktu 800

Terlambat 75

Dibatalkan 25

Total 1000

Chap 5- 18

Contoh 3 continuedJika A adalah kejadian

pesawat datang lebih awal, maka

P(A) = 100/1000 = 0.1.

Jika B adalah kejadin pesawat terlambat, maka

P(B) = 75/1000 = 0.075.

Probabilitas pesawat datang lebih awal atau terlambat :

P(A atau B) = P(A) + P(B)

= 0.10 + 0.075 =0.175.

Kedatangan Frequency

Lebih Aw al 100

Tepat Waktu 800

Ter lambat 75

Dibatalkan 25

Total 1000

Chap 5- 19

The Complement Rule

Aturan Komplemen (Complement rule) dipergunakan untuk menentukan probabilitas suatu kejadian dengan mengurangi probabilitas tidak muculnya kejadian tersebut dari 1.

Jika P(A) adalah probabilitas kejadian A dan P(~A) adalah komplemen dari A,

P(A) + P(~A) = 1 atau P(A) = 1 - P(~A).

Chap 5- 20

The Complement Rule continuedDiagram Venn mengambarkan aturan

komplemen, sbb:

A ~A

Chap 5- 21

Contoh 4Dari Contoh 3. Gunakan aturan komplemen untuk

menentukan probabilitas pesawat lebih awal (A) atau terlambat (B).

Kedatangan Frequency

Lebih Aw al 100

Tepat Wakt u 800

Ter lambat 75

Dibatalkan 25

Total 1000

P (A atau B) = 1 - P(C atau D)

JikaC adalah kejadian pesawat datang tepat waktu, maka P(C) = 800/1000 = 0.8.

JikaD adalah kejadian pesawat dibatalkan, maka P(D) = 25/1000 = 0.025.P(A or B) = 1 - P(C or D)

= 1 - [0.8 +0.025] =0.175

Chap 5- 22

Contoh 4 continued

P(A atau B) = 1 - P(C atau D)

= 1 - [0.8 +.025] =0.175

C.8

D.025

~(C or D) = (A or B) 0.175

Chap 5- 23

Aturan Penjumlahan umum

Jika A dan B adalah dua kejadian yang tidak mutually exclusive, maka P(A atau B) adalah:

P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)

Chap 5- 24

Aturan umum PenjumlahanDiagram Venn menggambarkan aturan ini:

A dan BA

B

Chap 5- 25

Contoh 5

Satu sampel yang terdiri dari 500 siswa, 320 memiliki Stereo, 175 memiliki TV, dan 100 memiliki keduanya:

Stereo 320

Both 100

TV175

Chap 5- 26

Contoh 5 continued

Jika satu siswa diambil secara acak, berapa probabilitas seorang siswa hanya memiliki stereo, hanya memiliki TV, dan memiliki stereo dan TV?

P(S) = 320/500 = .64.P(T) = 175/500 = .35.P(S dan T) = 100/500 = .20.

Satu sampel yang terdiri dari 500 siswa, 320 memiliki Stereo, 175 memiliki TV, dan 100 memiliki keduanya.

Chap 5- 27

Contoh 5 continued

Jika satu siswa diambil secara acak, berapa probabilitas seorang siswa memiliki stereo atau TV?

P(S atau T) = P(S) + P(T) - P(S dan T) = .64 +.35 - .20 = .79.

Satu sampel yang terdiri dari 500 siswa, 320 memiliki Stereo, 175 memiliki TV, dan 100 memiliki keduanya.

P(S) = 320/500 = .64.P(T) = 175/500 = .35.P(S dan T) = 100/500 = .20.

Chap 5- 28

Probabilitas Gabungan (Joint Probability)

Probabilitas Gabungan (joint probability) mengukur kemungkinan dua atau lebih kejadian terjadi bersama-sama.

Misalnya: dalam contoh 3, kejadian seorang siswa memiliki stereo dan TV di kamarnya.

P(dadu=5 dan dadu=6) =0 karena dua kejadian tersebut mutually exclusive.

Chap 5- 29

Aturan Perkalian khusus

Aturan Perkalian Khusus berlaku untuk dua kejadian A dan B yang independent atau saling bebas.

Dua kejadian A dan B independent atau saling bebas jika munculnya salah satu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas munculnya kejadian yang lain.

Aturan perkalian khusus: P(A dan B) = P(A)P(B)

Chap 5- 30

Contoh 6

Budi punya dua saham, IBM dan General Electric (GE). Probabilitas kenaikan harga saham IBM pada tahun depan adalah 0.5 sedangkan untuk GE, 0.7. Anggap kedua saham independen. Berapa probabilitas harga kedua saham tsb naik?

P(IBM and GE) = (.5)(.7) = .35.

Chap 5- 31

Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability)

Probabilitas Bersyarat (Conditional probability) adalah probabilitas muculnya suatu kejadian , apabila diketahui kejadian lain telah terjadi sebelumnya.

Probabilitas kejadian A setelah kejadian B terjadi ditulis P(A|B).P(Perempuan | Manajemen)P(Bayi perempuan | Hasil USG perempuan)

Chap 5- 32

Aturan Perkalian Umum

Aturan Perkalian Umum digunakan untuk menentukan probabilitas gabungan dari dua kejadian. Tentunya dua kejadian yang tidak saling bebas.

Aturan ini menyatakan untuk dua kejadian A dan B, probabilitas gabungan kedua kejadian diperoleh dengan mengkalikan probabilitas A dengan probabilitas bersyarat dari B setelah A terjadi.

Chap 5- 33

Aturan Perkalian Umum

Probabiltas gabungan, P(A dan B):

P(A dan B) = P(A)P(B/A) atau

P(A dan B) = P(B)P(A/B)

P (hasil test perempuan dan lahir perempuan) = P(lahir perempuan) * P(hasil test perempuan| lahir perempuan)

P (test USG laki-laki dan lahir laki-laki) = P(lahir laki-laki) * P(test USG perempuan| lahir laki-laki)

Chap 5- 34

Contoh 7

Dekan FE mengumpulkan informasi mahasiswa S1 di fakultasnya:

Jurusan Lk Pr Total

Akuntansi 170 110 280

Keuangan 120 100 220

Pemasaran 160 70 230

Manajemen 150 120 270

Total 600 400 1000

Chap 5- 35

Contoh 7 continued

Jika seorang mahasiswa dipilih secara acak, berapakah probabilitas bahwa mahasiswa tsb adalah perempuan (F) jurusan akuntansi (A)

Jika mahasiswa tsb perempuan, berapa probabil i tas mahasiswa tersebut dari jurusan Akuntansi?

Pendekatan 1:P(F dan A) = P(F)* P(A|F) = [400/1000]*[110/400] = 0.11

Jurusan Lk Pr Total

Akuntansi 170 110 280

Keuangan 120 100 220

Pemasaran 160 70 230

Manajemen 150 120 270

Total 600 400 1000

Chap 5- 36

Diagram Pohon (Tree Diagrams)

Diagram Pohon adalah grafik yang berguna untuk menggambarkan probabilitas bersyarat dan probabilitas gabungan, yang tersusun dalam beberapa tahap perhitungan.

Contoh 8: Dalam tas berisi 7 bola merah dan 5 bola biru, Anda mengambil 2 bola secara berurutan dengan tidak memasukkan kembali bola yang telah diambil. Susun diagram pohon dari informasi tsb.

Chap 5- 37

Contoh 8 continued

M1

B1

M2

B2

M2

B2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

Chap 5- 38

Contoh 8 continued

M1

B1

M2

B2

M2

B2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

Diagram pohon menggambarkan dengan jelas hubungan antara probabil i tas gabungan dan probabil i tas bersyarat.Anggap A (B) adalah kejadian bola merah pada pengambilan pertama (kedua).

P(B|A) = 6/11

P(A) = 7/12

P(A dan B) = P(A)*P(B|A)= 6/11 * 7/12

7/12

6/11

Chap 5- 39

Bayes’s RuleAllows computation of an unknown conditional

probability, P(B|A), by converting it to a known conditional probability, P(A|B)

For k mutually exclusive events,

1 1 2 2

( ) ( | )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ... ( ) ( | )i i

ik k

P B P A BP B A

P B P A B P B P A B P B P A B=

+ + +

Chap 5- 40

Bayes’s Rule Example

A company manufactures mp3 players at two factories. Factory I produces 60% of the mp3 players and Factory II produces 40%. Two percent of the mp3 players produced at Factory I are defective, while 1% of Factory II’s are defective. An mp3 player is selected at random and found to be defective. What is the probability it came from Factory I?

Chap 5- 41

Bayes’s Rule Example

FactorFactory IIy II

FactorFactory Iy IP(I) = .6

P(D|I) = .02

P(G|I) = .98

P(II) = .4P(D|II) = .01

P(G|II) = .99

DefectiDefectiveve

DefectiDefectiveve

GoodGood

GoodGood

( ) ( | ) .6*.02( | ) .75

( ) ( | ) ( ) ( | ) .6*.02 .4*.01

P I P D IP I D

P I P D I P II P D II= = =

+ +

Chap 5- 42

Prinsip-prinsip Menghitung

Rumus Perkalian menyatakan bahwa jika ada m cara untuk melakukan suatu hal dan n cara untuk melakukan hal yang lain, maka ada m x n cara untuk melakukan keduanya.

Jumlah total susunan= (m)(n)

Contoh 10: Budi punya 10 baju dan 8 dasi. Berapa pasangan baju dan dasi yang dimiliki?

(10)(8) = 80

Chap 5- 43

Prinsip-prinsip MenghitungPermutasi susunan apapun dari r objek yang

dipilih dari sekelompok n objek yang ada.

Note: urutan susunan diperhatikan dalam permutasi, a b c berbeda dengan b a c.

r)!(nn!Prn −

=

Chap 5- 44

Prinsip-prinsip MenghitungKombinasi adalah jumlah dari cara

memilih r objek dari sekelompok n objek tanpa memperhatikan susunannya.

r)!(nr!n!Crn −

=

Chap 5- 45

Contoh 11Ada 12 pemain di tim basket di FE unair.

Pelatih harus memilih lima pemain di antara dua belas pemain tsb untuk bermain di kuarter pertama. Ada berapa banyak kelompok yang berbeda?

7925)!(125!

12!C512 =−

=

Chap 5- 46

Contoh 11 continuedMisalkan bahwa selain memilih grup pemain,

Pelatih juga harus mengurutkan peringkat masing-masing pemain dalam lineup awal sesuai dengan kemampuan mereka.

95,0405)!(12

12!P512 =−

=

Chap 5- 47

Learning exercise 1: University Demographics

Current enrollments by college and by sex appear in the following table.

College Ag-For Arts-Sci Bus-Econ

Educ Engr Law Undecl

Totals

Female 500 1500 400 1000 200 100 800 4500Male 900 1200 500 500 1300 200 900 5500Totals 1400 2700 900 1500 1500 300 1700 10000 If I select a student at random, answer the following:

Find P(Female or Male) Find P(not-Ag-For) Find P(Female |BusEcon) Find P(Male and Arts-Sci) Are “Female” and “Educ” Statistical independent?

Why or Why not?

Chap 5- 48

Learning exercise 1: University Demographics

College Ag-For Arts-Sci Bus-Econ

Educ Engr Law Undecl

Totals

Female 500 1500 400 1000 200 100 800 4500Male 900 1200 500 500 1300 200 900 5500Totals 1400 2700 900 1500 1500 300 1700 10000

P(Female or Male) =(4500 + 5500)/10000 = 1P(not-Ag-For) =(10000 – 1400) /10000 = 0.86

P(Female | Bus Econ) = 400 /900 = 0.44P(Male and Arts-Sci) =1200 /10000 = 0.12

Are Female and Educ Statistical independent? P(female and Educ)=1000 /10000 = 0.1P(female) =4500 /10000 = 0.45 P(Educ) =1500 /10000 = 0.15

P(female and Educ)> P(female)*P(Educ) = 0.0675

NO!

Chap 5- 49

Learning exercise 2: Predicting Sex of Babies

Many couples take advantage of ultrasound exams to determine the sex of their baby before it is born. Some couples prefer not to know beforehand. In any case, ultrasound examination is not always accurate. About 1 in 5 predictions are wrong. In one medical group, the proportion of girls correctly identified is

9 out of 10 and the number of boys correctly identified is 3 out of 4. The proportion of girls born is 48 out of 100.

What is the probability that a baby predicted to be a girl actually turns out to be a girl?

Formally, find P(girl | test says girl).

Chap 5- 50

Learning exercise 2: Predicting Sex of Babies

P(girl | test says girl) In one medical group, the proportion of girls correctly identified is 9 out of

10 and the number of boys correctly identified is 3 out of 4. The proportion of girls born is 48 out of 100.

Think about the next 1000 births handled by this medical group. 480 = 1000*0.48 are gir ls 520 = 1000*0.52 are boys Of the gir ls, 432 (=480*0.9) tests indicate that they are

gir ls. Of the boys, 130 (=520*0.25) tests indicate that they are

gir ls. In total, 562 (=432+130) tests indicate gir ls. Out of these

462 babies, 432 are girls. Thus P(gir l | test says gir l ) = 432/562 = 0.769

Chap 5- 51

Learning exercise 2: Predicting Sex of Babies

480 = 1000*0.48 are girls 520 = 1000*0.52 are boys Of the girls, 432 (=480*0.9) tests indicate that they are

girls. Of the boys, 130 (=520*0.25) tests indicate that they

are girls. In total, 562 tests indicate girls.

Out of these 562 babies, 432 are girls. Thus P(girls | test syas girls ) = 432/562 = 0.769

1000*P(girls)

1000*P(boys)

1000*[P(gir ls)*P(test says gir ls|gir ls) + P(boys)*P(test says gir ls|boys)]

1000*P(boys)*P(test says gir ls | boys)

1000*P(gir ls)*P(test says gir ls|gir ls)

1000*P(gir ls)*P(test says gir ls|gir ls)

1000*[P(gir ls)*P(test says girls|gir ls) + P(boys)*P(test says gir ls|boys)]