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Introducción a la Matemática Universitaria
12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12
12
Desigualdades e Inecuaciones y
12
10
Funciones 8
6
4
Plano Cartesiano y rectas 2
x
Circunferencia 2 4
6
Elipse 8
10
Hipérbola
Parábola Nora Scoppetta José Sarabia Profesor Asociado Profesor Titular UNEXPO
En honor a la Universidad Nacional Experimental Politécnica "Antonio José de Sucre"
en su quincuagésimo aniversario 2012
INDICE GENERAL CAPÍTULO I Desigualdades e Inecuaciones
1. Propiedades de orden en R ......................................................................... 1 2. Inecuaciones de grado uno ......................................................................... 2 3. Inecuaciones Algebraicas ............................................................................ 8
Ejercicios propuestos .................................................................................. 14 4. Valor absoluto .............................................................................................. 15 Ejercicios
propuestos .................................................................................. 22
CAPÍTULO II FUNCIONES
1. Introducción y definición de función.......................................................... 25 Ejercicios propuestos .................................................................................. 29 2. Funciones definidas seccionalmente .......................................................... 30 3.
Funciones pares e impares.......................................................................... 31 Ejercicios propuestos................................................................................... 32 4.
Funciones monótonas (crecientes y decrecientes)............................................ 33 5. Tipos de funciones ....................................................................................... 34
Ejercicios propuestos ................................................................................... 38 6. Transformación de funciones ..................................................................... 40 7. Combinación de funciones .......................................................................... 43
Ejercicios propuestos ................................................................................... 46 8. Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva ............................................... 48 9. Funciones trigonométricas inversas ........................................................... 52 Ejercicios propuestos ................................................................................... 57
CAPÍTULO III 1. Plano Cartesiano. Distancia entre dos puntos en . Fórmula de punto
medio.................................................................................................................
60 Ejercicios propuestos..................................................................................... 64 2. Recta.................................................................................................................. 66
Ejercicios propuestos....................................................................................... 79 3. Circunferencia.................................................................................................. 80 Ejercicios propuestos..................................................................................... 86
ii
4. Elipse................................................................................................................. 91
Ejercicios propuestos....................................................................................... 111 5. Hipérbola........................................................................................................... 117
Ejercicios propuestos....................................................................................... 136 6. Parábola............................................................................................................. 140 Ejercicios propuestos........................................................................................ 158
Bibliografía.............................................................................. 161 iii
INTRODUCCIÓN El presente texto de Introducción a la Matemática Universitaria, tiene dos objetivos fundamentales: uno, el de reforzar algunos contenidos de Educación Secundaria, y el otro, el de introducir algunos conceptos manejados como cosa conocida, en los cursos de Cálculo I. Es bien conocido entre los profesores y alumnos de las Universidades del país, que un alto porcentaje de las causas del fracaso de un buen número de estudiantes de primer semestre, en la asignatura denominada Cálculo I, o Análisis I, se debe a graves fallas en los conceptos de matemática elemental, al hecho de no tener buenos métodos de estudio, y muchas veces a no tener práctica con ejercicios de razonamiento.
En este texto, contemplamos el estudio de algunas propiedades del conjunto R, así como la resolución de inecuaciones de diferentes tipos. Luego pasamos al estudio de funciones, donde aprovechamos para repasar algunas propiedades de funciones muy conocidas, insistiendo sobre todo con las funciones trigonométricas. Como tercera y última parte, damos algunos tópicos de Geometría Analítica, como: sistemas de coordenadas, punto medio, recta, circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. En todos los capítulos intentamos entrenar al alumno en la lectura y comprensión, bien razonada de las demostraciones. Esto con el objeto de remediar la casi inexistencia de estos procesos mentales, sobre todo por la ausencia del estudio de los diferentes temas de Geometría en el bachillerato. Ciencia esta que desde hace siglos es bien conocida, por tener esta virtud.
La idea que nos impulsa para publicar el texto en INTERNET, es sobre todo económica, ya que de esta manera consideramos que se abaratan los costos de adquisición de libros para nuestros estudiantes. Asimismo, aspiramos que nuestros colegas, así como los estudiantes nos hagan llegar los errores advertidos, problemas y contenidos interesantes, que ellos consideren puedan enriquecer el libro. Esto lo pueden hacer, enviándolos a nuestros correos electrónicos: [email protected] y [email protected]
Gustosamente, daremos respuestas a las inquietudes mostradas por nuestros lectores.
Los autores
Barquisimeto, 2012
iv
CAPÍTULO I DESIGUALDADES E INECUACIONES EN R 1. Propiedades de orden en R
Definición. Sean diremos que . O sea, . Asimismo
(se lee menor o igual). Finalmente escribimos . O sea, sii . Propiedades. Sean .
a) (Reflexiva) b) (Antisimétrica) c) (Transitiva) d) e) f) Sea g) Sea Nota: ">" cumple con todas las propiedades anteriores (cambiando ), excepto la a).
Demostración:
a) pues . Ya que ( ó ) b) .
En R un número puede ser: ó ó . Luego si , entonces: (!), pues
(¡lo contrario!), luego . c) De acuerdo a la definición de , tenemos:
( ) ( ) a ≥ b ⇒ a b ≥
0 (
Lasumadedosnúmerosnonegativos b ≥ c ⇒ b c ≥
0 es siempre un número no negativo
). a b + b c = a c
≥
0 ⇒ a ≥
c Entonces
:
a ≥ b ∧ b ≥ c ⇒ a ≥
c
d)
Aplicación de la propiedad anterior: Resolver la inecuación: Le sumo ¡en ambos miembros!
. Es decir los valores de forman el conjunto: ∞ . (¡En un momento recordamos esto!) e) Ejercicio f) Sea . ((+).(no negativo)=(no negativo))
(o lo que es lo mismo)
1
g) Ejercicio
Intervalos: Antes de seguir recordemos la notación de intervalos
∞
∞
∞
∞
∞ ∞
2. Inecuaciones de grado uno
Las propiedades de " " y " " (también de " " y " "), se pueden usar para resolver inecuaciones de grado uno, es decir inecuaciones de la forma (o también con
). Ejemplo: Resolver: Solución: Sumamos en ambos miembros , o sea:
2
( 3 x + 2 + 3 x + 1 ) ≥ 5 x 1 + ( 3 x
+
1 ) 3 x + 2 3 x + 1 ≥ 5 x 1 3 x
+
1 3 ≥
2
x
( Reducimos términos semejantes)
Multiplicamos por 1/2 (Es importante observar que 1/2 >0 ) . Y obtenemos:
O sea, el conjunto solución es: ∞ .
Reglas prácticas 1) Observe que si A está en un miembro de la inecuación ( digamos construida con ≤ ), o sea:
sumamos (A) y tenemos: . O sea, ¡pasa al segundo miembro con el signo cambiado!
Aplicamos la regla práctica a:
2) Si , en la inecuación: . Multiplicamos por (positivo), y tenemos:
O sea, el , pasa dividiendo y conserva el sentido de la desigualdad. Por ejemplo:
O sea: ∞ .
Ejemplo. Resolver:
Solución:
o sea: ∞
Nota: en el ejemplo usamos la consecuencia de la regla práctica 2, es decir si , multiplicamos por , en ambos miembros, y tenemos:
Es decir si un número divide a la incógnita (x en este caso), pasa multiplicando, conservando el sentido de la desigualdad si , o cambiando el sentido de ésta, si :
3
El 9 pasa dividiendo y el 6, multiplicando. 3) Si , en la inecuación tenemos:
(¡Cambia por >!)
Por ejemplo:
O sea: , de manera que: ∞
Ejercicio resuelto En la especificación de una receta dice que el plato que se está preparando debe hornearse entre y . ¿Cuál es el intervalo correspondiente para ?, sabiendo que . Donde es la temperatura en que corresponde a grados Fahrenheit. Solución El planteamiento es: Se trata de dos inecuaciones, las cuales podemos resolver al mismo tiempo.
Sumamos en todos los miembros:
Multiplicamos por: y tenemos:
Finalmente, resulta:
O sea el intervalo en es: . Ejercicio resuelto Resuelva el sistema de inecuaciones: Solución Debemos resolver cada inecuación e intersectar las soluciones. 1
2
1 2 3 x 1 ≥ 5 x + 4 ⇔ 2 x ≥ 5 ⇔ x ≤ 5 2 ⇒ S
= ⎛ ⎝ ∞ ,
5 2
⌉ ⌋ 6 x + 8 < 4 x
3
⇔ 2 x < 11 ⇔ x < 11 2 ⇒ S = ⎛ ⎝ ∞ , 11 2 ⎞ ⎠ ⇒ S = S ⋂ S
⎛ ⎝ ∞ , 5 2 ⌉ ⌋ ⋂ ⎛ ⎝ ∞ , 11 2 ⎞ ⎠ = ⎛ ⎝ ∞ ,
11 2
⎞ ⎠ Hallemos la solución total mediante un gráfico. 4
Ejercicio resuelto
Resolver el sistema:
Solución
Hacemos una representación gráfica de las soluciones particulares para encontrar la solución del sistema.
De la gráfica anterior vemos fácilmente que la solución es: Nota: Un sistema de ecuaciones puede no tener solución, o sea puede ser incompatible. Por ejemplo:
Cláramente: (Haga el gráfico de S 1
y S 2
)
Ejercicios Propuestos 1) En los literales de esta pregunta, resuelve la inecuación y representa gráficamente el conjunto
solución.
a) ; b) ; c) ; d) Resp. ; b) (8, ; c) ; d)
5
2) Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) b) c) d)
e)
f)
g)
h) Resp. a) [4,7/3]; b) (6,4]; c) (3/2, d) (12,16); e) (10,1/6); f) (2,4); g) (13/9,9); h) (5,8)
3) Sean tales que . Demuestre que ¿Es verdadero el recíproco? Resp. Si, multiplique por y use la propiedad (f) de >.
4) Sean . Demuestre que . ¿Es cierta la propiedad si no son necesariamente positivos?. Resp. No; pruebe con 1 y 2
5) Demuestre que si .
6) Demuestre que: a) b) (*)c) ∑ n
2 i ≥ ∑ i j i 1 1
i j n
d) a a a = ≤ < ≤
a > 0 ⇒ a
+ 1 a
> 1 e) Para a , b > 0 se tiene que:
ab
≤
a + 2
b f) ab 1 1 + ab 2 2 ≤ a 1 2 + a 2 2 ∙ b 1 2 + b 2 2
(Desigualdad de Cauchy
Schwartz) g) (media aritmética) h) (media geométrica)
6
