Trigonometría PSU (1)

7/29/2019 Trigonometra PSU (1)

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Prof.: Guillermo Corbacho [email protected]

Parinacota, Quilicura.2013 1

TrigonometraEjercicios resueltos PSU

INTRODUCCINEl presente trabajo es una recopilacin en su muy amplia mayora, de ejercicios

PSU (Prueba de Seleccin Universitaria) propuestos de los cules muchas veces el

alumno se desazona por el hecho de no saber resolverlos. Es por ello que nace la

idea de comentar por escrito el desarrollo y solucin de los ejercicios. De este

modo se pretende ayudar a internalizar los contenidos que van participando en

cada solucin.Este trabajo no tiene la altura para reemplazar clases presenciales de esta materia.Por lo tanto, ser ms til para aquel alumno que s haya asistido, visto y prestado

atencin en aula, de nociones de trigonometra para la educacin media

secundaria.

Al igual que otros trabajos similares, este puede ser consultado por profesores,

dado que, en mi experiencia, la formacin universitaria como docente ha sido

ms orientada a contenidos de educacin superior en lugar de las necesidades

prcticas de la educacin bsica y media. Como son estas el de trabajar

directamente en sus contenidos, elaborando guas e instrumentos de evaluacin,que podra haber sucedido desde los primeros semestres de la carrera, de manera

conjunta y graduada con los estudios superiores.

Para su presentacin, he subdividido los ejercicios segn su solucin, en los

siguientes tems:

I. Introduccinpg. 2.II. Razones o funciones trigonomtricas.

ii.1) La razn senopg. 4.ii.2) La razn coseno::.pg. 6.ii.3) La razn tangente...pg. 8.ii.4) Doble tangentes..pg. 15.ii.5) Combinacin de razones trigonomtricas.pg. 18.

ii.5.1) con teorema de Pitgoras...pg. 23.ii.5.2) con tros Pitagricos..pg. 27.

III.Identidades trigonomtricas..pg. 33.IV.Ecuaciones trigonomtricaspg. 41.V.Clculo de reas.pg. 44.VI.Insuficiencia de datos.pg.48.


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TrigonometraI. Introduccin.

1. DefinicinRama de la geometra que estudia en tringulos, las relaciones entre sus lados y ngulos.Aunque se estudia comnmente en tringulos rectngulos, hay relaciones vlidas paratringulos no rectngulos, como las que vern en el ltimo problema resuelto y en el

primer ejercicio propuesto de la gua de ejercicios.

2.Razones trigonomtricas en el (tringulo) rectnguloLas relaciones entre los lados del rectngulo (catetos e hipotenusa) y los ngulos se

denominan razones trigonomtricas.Por ejemplo: Sea el ABC, rectngulo en C.Las relaciones mas importantes que hallamos entre los lados del se definen como:

cateto opuesto

hipotenusa

asen

c

cateto adyacentecos

hipotenusa

b

c

cateto opuesto

cateto adyacente

atg

b

As, en el rectngulo ABC de la segundafigura, tenemos:

,6.05

3

sen ,8.05

4

sen

,8.05

4cos ,6.0

5

3cos

75.04

3tg , 33.1

3

4tg

3. Tabla de valores, de las principales funciones trigonomtricas en ngulos notables

Es importante que noten como aumenta la cantidad subradical en el numerador de larazn sen y como los valores de cos se obtienen invirtiendo el orden de los valoresen la tabla de sen . Para ngulos complementarios, los valores de seno y coseno soniguales.

cos 0 = sen 90; cos 30 = sen 60, cos 45 = sen 45, cos 60 = sen 30,cos 90 = sen 0.

ngulo sen cos tg

0 0 12

2

2

4 0

302

1

2

1

2

3

3

3

3

1

452

2

2

2 1

602

3

2

1

2

1 3

1

3

90 12

2

2

4

0 no existe


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Es importante hacer notar quesen

tgcos

para cualquier medida de .

Otras funciones trigonomtricas, aunque menos usadas, son las funciones inversas de las

mencionadas: hipotenusa 1cosec

cateto opuesto sen

c

a

hipotenusa 1sec

cateto adyacente cos

c

b

cateto adyacente 1cotg

cateto opuesto tg

b

a

Las funciones inversas entre s para un mismo ngulo dado, al multiplicarse entre sresultan igual al valor nmero 1.

cosec sen = 1 sec cos = 1 cotg tg = 1

Ejemplos:cosec 30 sen 30 = 1 sec 60 cos 60 = 1 cotg 10 tg 10 = 1

Pasemos ahora a ver ejercicios y problemas de aplicacin. Que es lo que ms interesa al finy al cabo


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II.1. La funcin Seno.

1) En un tringulo ABC, calcular la base AB si BC = 2 mA) 6 mB) 2 6 mC) 2 2 mD) 6 3 mE) 6 m

Solucin:Notemos que la suma de los ngulos que nos proporcionan en la base es 90, por

lo que necesariamente debe haber un ngulo recto en el vrtice C para que

sumados con los ngulos agudos, resulte 180. Por lo tanto estamos en presencia de

un tringulo rectngulo en C.

La razn trigonomtrica que relaciona el valor que nos dan en el cateto opuesto

a y la base que nos solicitan hipotenusa es seno. As que aplicamos seno de

30.

m

cateto opuesto a 30sen 30 =

hipotenusa (lado ms grande del tringulo rectngulo)

1 2

=2 AB

Haciendo producto cruzado:

AB = 2 2 m. Alternativa C).

2) El ABC es rectngulo en C, c =10 cm., sen = 25

. Entonces a =

A) 4B) 4 2 C) 2 21 D) 9E) 116

Solucin:

Formando con la medida de seno de alfa un tringulo

semejante al que nos dan, con la medida:

sen=2

5

cateto opuesto 2=

hipotenusa 5

La gracia de los

s semejantes es que podemos comparar dos lados homlogos semejantes entre s y concluir la misma relacin existente para el resto de lados

homlogos semejantes del . As, al comparar notamos que:

Lados ABC Lados ABC

AB = 5 AB = 10

Lados ABC = mitad lados ABC

BC = 2 BC = 4

Alternativa A).


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3) El permetro del rombo ABCD mide 40 cm. Si BD = 12, entonces sen =A) 0,6B) 0,8C)

0,75D) 0,5

E) 0,66Solucin:

Primero recordemos que en un rombo, todos sus lados son iguales, por lo tanto:

AB = BC = CD = DA = 10 cm.

y las diagonales se dimidian perpendicularmente en la mitad.

Esto es: si BD = 12 cm., entonces BO = OD = 6 cm.,

como muestra la figura:

Donde O es el punto medio de la diagonal BD.

y sen

cateto opuesto a BO 6 cm

0,6hipotenusa DA 10 cm

Recordemos que la divisin por 10 corre la coma

decimal del nmero a dividir en un espacio.

Alternativa A).


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II.2. La razn Coseno

4) Una escalera se encuentra apoyada contra un muro. La distancia entre el pie de laescalera y el muro es de 1,2 metros. Cunto mide la escalera si forma un ngulo de 60con el suelo?

A) 6

35

[m]

B) 2 [m]C) 2,4 [m]D) 2,4 3 [m]E) 6 3 [m]

Solucin:

El ejercicio relaciona:

cateto adyacente a los 60 -pues hay un dato conocido ah; con la hipotenusa donde est la incognita.

La razn trigonomtrica que relaciona cateto adyacente e hipotenusa es la razn

coseno. Pues bien, aplicamos su definicin entonces:

cos 60 =cateto adyacente (junto) a los 60

hipotenusa (lado opuesto al ngulo recto)

Y por la tabla de valores para razones trigonomtricas, cos 60 = . Mientras queel cateto adyacente mide 1,2 [m] y la hipotenusa mide x. Estos valores

simplemente, los reemplazamos en la igualdad de la definicin de coseno.

x1 1,2 [m]=2

Y despejamos el valor x por producto cruzado:

x = 2,4 [m]

Alternativa D).


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5) El tringulo equiltero ABC tiene un permetro de 30 cm. Si el ACD 30 , entoncesCD =

A) 5 3 B) 10 3 C) 5 2 D) 10 2 E) 2 3

Solucin:

En todo tringulo equiltero:

Cada ngulo del vrtice mide 60. su bisectriz coincide con la altura y dimidia al lado opuesto.

CD es bisectriz y altura, pues ADC 90 y el tringulo ADC es rectngulo.

Adems, si su permetro es de 30 cm. AB = BC = CA = 10 cm y AD = 5 cm.

Nos preguntan por CD , el cual es el cateto adyacente al ngulo de 30, por lo que

la razn trigonomtrica apropiada para usar, por su definicin es:cateto adyacente

coseno =hipotenusa

Ahora bien, coseno de un ngulo agudo, (esto es, menor de 90) es igual al seno de

su complemento. Sealo esto porque es conveniente aprenderse entre ambos, solo

los de seno.

Veamos numricamente que significa.

El complemento de 30 es 60 cos 30 = seno 60

y por la tabla para senos:

Grados 0 30 45 60 90

sen 0 0= = 0

2 2

1 1=

3 2

2

2

3

2

4 2= =1

2 2

y esta a su vez se puede recordar fcilmente para que los ngulos notables.

Notemos que los numeradores tienen el patrn de ir aumentando en uno la

cantidad subradical dentro de la raz-, partiendo de 0:

0,

1, 2, 3, 4

mientras que todos los denominadores son un medio.As que se puede hacer en cualquier momento esta tabla, sin aprenderse

propiamente de memoria sus valores, solo el patrn en su construccin.

As, cos 30 = sen 60 =3

2

Y ahora usamos el dato de la medida del lado AB en el tringulo rectngulo ADC:

cateto adyacentecos 30 =

hipotenusa

3 CD=

2 AB3 CD

= y ahora despejamos CD2 10

103

2= CD (simplificando a 10 y 2, por 2)

5 3 =CD

Alternativa A) Este ejercicio se puede resolver tambin por Pitgoras.


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II.3. La razn o funcin trigonomtrica tangente

6) En el tringulo ABC rectngulo en C, AC = 9 y tg = 0,75. Cunto mide BC ?A) 9B) 12C) 15D) 6,75E) 11,25

Solucin:

Haremos la diferencia entre catetos e hipotenusa. Al primero lo sealar como

sinnimos de lados respecto al ngulo dado, mientras que a la hipotenusa, que

siendo un lado ms del tringulo, es uno muy particular, de tal modo que nunca

me referir a el como lado simplemente.

As que por lados me referir casi exclusivamente a los catetos, no as a la

hipotenusa que como sabemos, es el lado opuesto al ngulo recto. Pero por

lado no me referir a ella. A la hipotenusa, aquel lado opuesto al ngulo recto, laexcluyo en principio de ejercicios que incluyen a la tangente.

Ahora, comencemos por la informacin que nos da el enunciado que nos sugiere

recordar la definicin de tangente y ver porque vale la pena olvidarse de la

hipotenusa:

cateto opuesto a (lado opuesto a )tg =

cateto adyacente a (lado cercano a )

BCtg =

AC

Reemplazando en la ltima igualdad los datos del enunciadoBC

0,75=9

y despejando BC: BC = 9 0,75 = 6,75 Alternativa D).

7) La base de una torre a un punto de observacin es de 50 m y el ngulo de elevacin alextremo superior es de 30. Hallar la altura h de la torre.

A) 50

3 m

B) 2502

m

C) 3253

m

D) 50 2 m E) 350

3m

Solucin:

Tenemos datos en el cateto opuesto y el cateto adyacente. La funcin que

relaciona a ambos catetos, respectivamente, es la funcin tangente.

As que empleamos tal razn trigonomtrica.

h

m

cateto opuesto a 30tg 30= cateto adyacente (cercano) a 30

3=

3 50Efectuando producto cruzado en la ltima igualdad:

m h50 3 = 3 y despejando la altura h.

3m h

50 3= Alternativa E).


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9) Qu altura tiene un rbol si proyecta una sombra de 20 m, cundo el ngulo deelevacin del sol es de 45?

A) 10 m.B) 20 m.C) 20

3

3

m.

D) 20 mE) 20 3 m

Solucin:

En relacin al ngulo de 45, los otros dos datos que hay son:

lado (cateto) opuesto al ngulo que es la altura h del rbol;y el lado (cateto) adyacente o cercano al ngulo, la sombra de 20 m.

Por lo tanto hay que buscar aquella funcin o razn que relacione los ladosopuesto y adyacente respectivamente. Y por definicin, es la funcin tangente. As,

h

mtg 45 =

20Y despejando la altura h pedida.

tg m h45 20 =

Y consultando la tabla de valores para tag 45, su valor es uno. As, la igualdad

anterior nos queda:

m h120 =

m h20 =

Alternativa B).

Es decir, la misma distancia que la sombra del rbol.Hint.: En general en un tringulo rectngulo, si observamos un ngulo de 45 en

l, ambos lados catetos sern SIEMPRE de igual medida entre s.

Si recuerda este dato:EN UN SEGUNDO OBTIENE LA RESPUESTA.

10)Determina el mnimo ngulo de inclinacin al partir del cul el avin pueda despegary sobrevolar el cerro.

A) 15B) 30C) 45D)

60E)Ninguna de lasanteriores.

Solucin:

Tenemos datos en el lado o cateto opuesto y en el lado o cateto adyacente

(cercano) a . Y la razn trigonomtrica que relaciona a ambos lados es la

tangente.

1

cateto opuesto 20tg = =

cateto adyacente

m3

60 m

3

3=

3 donde hemos simplificado 20 m.

De la tabla de ngulos notables para la razn trigonomtrica tangente:

Grados 0 30 45 60 90

tg 0 3

3

1 3 No

existe.

El ngulo para el cul la tangente toma el valor3

3es 30. Alternativa B).


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11)El tringulo equiltero tiene 20 cm de lado. Entonces el radio rde la circunferenciainscrita en el es:

A) 5

3 cm

B) 5 3 cm2

C) 10 cm.D) 10 3 cm

3

E) 10 3 cm Solucin:

Lo que debemos saber de un tringulo equiltero:

En un tringulo equiltero, todos sus ngulos del vrtice son iguales a 60. Cada una de las bisectrices, adems de bisectar dividir en dos ngulos

iguales a cada ngulo del vrtice pasan por el centro de la circunferenciainscrita en el.

Las bisectrices tambin coinciden con las transversales de gravedad dimidian al lado opuesto que interceptan.

Por otra parte, los lados del tringulo son tangentes a la circunferencia.Esto es, los puntos de intercepcin entre el tringulo y la circunferencia

define ngulos rectos con el radio de la circunferencia.

El radio dimidia cada lado del tringulo. Esto es, intercepta cada lado en supunto medio.

Con objeto de esclarecer toda esta informacin, sepresenta la figura de la derecha, en relacin al tringulo

del enunciado.

Nos piden el radio r de la circunferencia. El cual se

halla sobre el ADo, rectngulo en D. Donde o es el

radio de la circunferencia inscrita y D punto medio del

lado AB.

En tal , ADo rectngulo en D, hay sealados datos en el cateto opuesto y en el

cateto adyacente al ngulo de 30. Y la razn trigonomtrica que relaciona a

ambos catetos, conforme revisamos las definiciones de las razonestrigonomtricas, es la razn tangente. As que aplicamos su definicin aqu:

r

cateto opuestotg 30=

cateto adyacente

tg 30=10 cm

Y despejando el valor del radio r, obtenemos:r =10 tg 30 cm

Tenemos una expresin para el radio. El valor de la tangente de 30 lo podemosencontrar en la tabla de razones trigonomtricas para ngulos notables. Su valor

es3

3. Reemplazando este valor en la igualdad anterior:

r10 3

= cm3

Alternativa D).


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12)En la siguiente figura se tiene que tag 0,3 . Entoncesx =A) 8B) 8 2 C) 12D) 4

10 E) Otro valor.

Solucin:

Del enunciado:

tg = 0.3

Y reemplazando tg por su definicin:

cateto opuesto a= 0.3

cateto adyacente (cercano) a

El lado opuesto a mide 4:4

= 0.3CA

Adems, 0.3 es un nmero infinito peridico muy conocido e igual a1

3.

Reemplazando en la igualdad anterior, esta nos queda:

4 1=

CA 3

y resolviendo CA por medio del producto cruzado, CA = 12. El tringulo nos

queda como se muestra en la derecha.

Y para conocer la medida del tercer lado, x

aplicamos Pitgoras:

x

x

x

x

2 2 24 +12 =

216 +144 =

2160 =

160

Es lo ms comn y usual reducir la cantidad subradical:

x 160 1610 4 10 pues 16 4 Alternativa D).


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13)Cul de los siguientes ngulos cumple con que la tangente sea un valor negativo?A) 181B) 335C) 85D) 0,52E)

258

Solucin:

La funcin tangente, en el plano cartesiano, viene dada por tgy

x

Es decir, se rige por la regla de los signos de la multiplicacin y divisin.

Para que la tangente sea negativa,x ey deben tener signos distintos en cada uno de

los cuadrantes en los cuales se divide el plano cartesiano.

Recordemos adems, que cada cuadrante contiene 90, como muestra la figura:

Los cuadrantes dondex ey son de distintos signos, son el II y el IV. Contndoseen sentido contrario a las agujas del reloj. Los ngulos que contiene tales

cuadrantes son, respectivamente: (90, 180] y (270, 360]

Ahora veamos cules de los ngulos de las alternativas se halla en uno de estos

intervalos.

El ngulo es 335, que se halla en el IV cuadrante.

Alternativa B).


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14)El ngulo de inclinacin de la recta: 3y3x5 = 0 es:A) 1B) 30C) 45D) 60E)

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Solucin:

El ngulo de inclinacin de una recta o pendiente en el plano cartesiano es fcil

reconocerlo por la funcin tangente, viene dada por tagy

x

Lo que debemos formar es el cuociente de los coeficientes de la recta que

contienen ay ex respectivamente.

En la recta dada, ambas variables, x e y, tienen coeficiente numrico valor que

los acompaa igual a 3. As que reemplazamos en la frmula tgy

x

los valores

dex e y por 3:

As:

3tg 1

3

y

x

Ahora buscamos en la tabla de valores para razones trigonomtricas, dado en la

introduccin, para que valor de la tangente, esta vale 1. En este caso, solo he

resumido la tabla para los valores de la tangente.

Grados 0 30 45 60 90

tg 0

3

3 1

3 No existe.

Y observamos que la tangente de un ngulo mide 1 si el ngulo es 45. Por lo

tanto, el ngulo de inclinacin de la recta dada en el plano cartesiano es de 45.

Alternativa C).

Para el ejercicio no es necesario graficar la recta 3y 3x 5 = 0. Solo porque meencanta ver que todo calza, veremos a continuacin su grfica.

En ella se puede observar los 45 grados de inclinacin que forma la recta con

respecto al eje X, que es el con el cual se relaciona la funcin tangente.


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II.4. Doble tangentes15) Los ngulos de depresin desde un punto A ubicado sobre el techo de un edificio y un

punto B situado en una ventana, 15 metros directamente bajo A, son 30 y 60respectivamente.Cul es la altura h del edificio?

A) 17,5 mB) 30 mC) 22,5 mD)No se puede determinar.E)Ninguna de las anteriores.

Solucin:

El mecanismo o procedimiento a utilizar en este ejercicio de doble tangente es

extraer una igualdad en cada una de las tangentes y luego dividirlas entre s,

como se muestra a continuacin:

De la tabla de valores para la tangente:

3

33

hh

3 cateto opuesto a 30 3tg 30 = =

cateto adyacente a 30 3

BC 3 BC 3= = 3BC = (*)

BA 3

3

hh

cateto opuesto a 60tg 60 = 3 =

cateto adyacente a 60

BC BC= 3 = 3 BC = 15 3 (**)

BD 15

(Note en la figura que BD + 15 m = h BD = h 15 m)

De cada una de las tangentes hemos obtenido una expresin de igualdad (*) y

(**).

Dividindolas entre s lado, nos queda:

(*) 3

(**)

h

h

15 3

3BC=

BC

Simplificando en el lado izquierdo por BC y en el lado derecho por 3 nos

queda:

h

h

15

3=

1

Haciendo producto cruzado:

h h3 15 =

y resolviendo la ecuacin para h:

3h 45 = h

3h h = 45 m

2 h = 45 m h = 22,5 m Alternativa C).

Grados 0 30 45 60 90tg 0 3

3

1 3 No existe.


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htg

dh

d

d h

60=

3 =

3 = (*)

16)Al situarse a cierta distancia de la base de un rbol se ve la cima de ste con un ngulode elevacin de 60. Con qu ngulo de elevacin se ver la cima del rbol a unadistancia igual al triple que la inicial?

A) 15B)

20C) 30

D) 45E) 60

Solucin:

Como tenemos dos ngulos, al igual que en el ejercicio anterior, es conveniente

considerar la funcin tangente para cada uno.

Notemos que tenemos tres incgnitas d, h y x y dos igualdades o ecuaciones.

En problemas con dos tangentes suele ser comn que las incgnitas superen el

nmero de ecuaciones. Un procedimiento tpico y muy conveniente es dividir

lado a lado las expresiones (ecuaciones) obtenidas entre s. Esto har desaparecer

un par incgnitas d y h.

*

** 3

d h

d x h

3=

tg

Simplificando por d en el lado izquierdo y dividiendo por h en el lado derecho:

:3

xx

x

3=1 Y despejando tg al lado derecho

tg

3= tg

3

De la tabla:

Grados 0 30 45 60 90

tg 0

3

3

1 3 No existe.

El valor del ngulo para el cual tangente es igual a3

3. El ngulo que tiene tal

tangente es 30. Por lo tanto, el ngulo buscado es 30.

Alternativa C).

3

hx

dd x h

tg =

3tg = (**)


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17) Un joven quiere medir la altura de un rbol desde su casa. Al medir desde el pie de sucasa encuentra que l ngulo de elevacin del rbol es 45. Se sube luego al techo, queest a seis metros del suelo y halla que el ngulo de elevacin ahora es 30. Cul esla altura del rbol?

A) 18

3 mB) 3 3 mC) 3 3 3 mD) 3 3 mE) 3 3 3 m

Solucin:

Sea h la altura del rbol.Sea d la distancia de la base del rbol a la casa.Datos que nos dan:

Desde el pie de la casa, el ngulo de elevacin son 45. La altura de donde se registran los 30 desde el techo es 6 metros menosque la altura h del rbol. Esto es: (h 6) [m]

Apliquemos ahora tangentes para ambos ngulos de elevacin:

h d hd

cateto opuesto a los 45tg45=

cateto adyacente (cercano) a los 45

1= Donde aplicamos tg 45 = 1 (*)

Concluimos que la distancia desde el pie de la casa al rbol es la misma que la

altura del rbol.

Por otra parte:

h

d

3 3

3 3

cateto opuesto a los 30tg30=

cateto adyacente (cercano) a los 30

6= Donde aplicando tg 30 =

Hacemos producto cruzado:

d h 3 = 3 6 (**)

De (*) se obtuvo que d= h. Reemplazando en la igualdad de arriba:

h h

h h

h h

h

3 = 3 6

3 = 3 18

18 = 3 3

18=

3 3

Racionalizando el denominador:

h

318 18

93

6

3+ 318 3+ 3= = =

23 3 3+ 3 23 3

6

3+ 3 3

13+ 3 m

Alternativa E)


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II.5. Combinacin de razones trigonomtricas

18)Cul es el valor de sen 30 + cos 60?A) 0B) 1

2

C) 1D) 2

2

E) 1Solucin:

Para ngulos complementarios entre s:

coseno de un ngulo = seno del complemento de tal ngulo.

As, como 30 y 60 son ngulos complementarios entre s:

cos 60 = sen 30

y la suma del enunciado se modifica y es igual a:

sen 30 + cos 60

= sen 30 + sen 30

= 2 sen 30 y sen 30 =

= 2 2

= =12

Alternativa E)

19)El valor de 2 2sen 45 cos 30 es:A) 2

2 3

B) 54

C) 54

D) 2

2 3

4

E)N.A.Solucin:

Consultando la tabla dada en la introduccin de este trabajo, de valores para

funciones - o razonestrigonomtricas para ngulos notables, se observar que:

sen 45 =2

2y cos 30 =

3

2

Por lo tanto,

2 22 32 2sen 45 + cos 30= +

2 2

2 3 5= + =

4 4 4

Alternativa B).


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19)Si x = 30, entonces Cul(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?I.

3sen 2

2x II.

1cos 2

2x III. sen 2x = 2 senx

A) Solo I.B) Solo II.C) Solo III.D) Solo I y II.E) I, II y III.

Solucin:

Six = 30 sen 2x = 60

Observando la tabla de valores para razones trigonomtricas:

Y observando cada una de las aseveraciones I, II y III, tenemos:

I. sen 2x = sen 60 =3

2I. Es verdadera.

II. cos 2x = cos 60 =1

2II. Es verdadera.

III. como vimos en I: sen 2x =3

2

En cambio:2 senx = 2 sen 30 = 2

1

2= 1 por lo tanto, III. Es falsa.

Luego, solo I y II son verdaderas.

Alternativa D).

ngulo

sen cos tg

0 0 4 2= =12 2 0

30

1 1=

2 2

3

2

1 3=

33

452

2

2

2 1

603

2

1 1=

2 2

3= 3

1

90

4 2= =1

2 2

0 no existe


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20)En el tringulo ABC, rectngulo en C, tg = 1. Entonces sen =A) 1B) 1

2

C)

3

2

D) 2 E) 2

2

Solucin:

El valor tg = 1 es un valor muy conocido. Para que ngulo ?

La tabla de valores para razones trigonomtricas

Nos muestra que tg = 1 cuando = 45 sen = sen 45 =2

2

Alternativa E).

Nota: tambin se puede resolver este ejercicio usando teo. de Pitgoras.

21)De la figura se desprende que cotg tg =A) 1B) 1

2

C) 712

D) 2111

E) 2512

Solucin:

Alternativa C).

cotg tg

cateto adyacente (cercano) a cateto opuesto a=

cateto opuesto a cateto adyacente (cercano) a

8 cm 6 cm 4 3 44 33 16 9 7= = = = =

6 cm 8 cm 3 4 43 12 12

ngulo sen cos tg

0 04 2

= =12 2

0

301 1

=2 2

3

2

1 3=

33

452

2

2

2 1

603

2

1 1=

2 2

3= 3

1

904 2

= =12 2

0 no existe


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22)sen cos 303tg cotg 45

4

A) 1B) 3 C)

3

2

D) 34

E) 34

Solucin:

3

4

180sen cos 30 sen cos 30

sen 60 cos 303= =180 tg 45 cotg 45tg cotg 45 tg cotg 45

4

Como 30 y 60 son ngulos complementarios entre s: cos 30 = sen 60.

2sen 60 2= = sen 60tg 45 cotg 45

razones inversas entre s

1

y sen 60 =3

2. Con lo que la igualdad del enunciado se transforma en:

=

23

2=

3

4

Alternativa E).


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23)ABCD es un cuadrado de lado 3 cm. Entonces, 2 2 22 sen 2 cos sen A) 0B) 1C) 2D) 4E) 16

Solucin:

La nica diferencia, por definicin, entre seno y coseno radica en la medida de los

catetos del tringulo rectngulo.

Pues

cateto opuesto a cateto adyacente (cercano) a

sen = y cos =hipotenusa hipotenusa

Pero en el tringulo rectngulo ABC, los catetos tienen igual medida entre s, por

lo tanto:

2 2 2

2 2

sen = cos

sen = cos trasladando sen

0 = cos sen formamos el parntesis ms interno igual a cero.

Reemplazando esta igualdad en el parntesis ms interno, la expresin del

enunciado equivale a:

0

0

0

2 2 22 sen 2 cos sen = 20 = 0

Donde se ha usado sucesivas multiplicaciones por cero al interior de los parntesis,

resultando finalmente igual a cero (propiedad absorbente del cero).

Alternativa A)

Note que en este ejercicio, el valor propiamente tal del lado del cuadrado es

irrelevante. Lo nico que fue relevante es que los catetos tienen igual medida al

formar parte de un cuadrado. Lo que hacen que la diferencia entre ellos sea

nula.


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II.5.1. Razones trigonomtricas combinadas con teorema de Pitgoras

24)En el tringulo rectngulo de la figura, sen =A) 13

5

B) 513

C) 1312

D) 1213

E)

119

12

Solucin:x

cateto opuesto a

senhipotenusa 12

Donde por la figura, la hipotenusa el lado que se opone al ngulo recto y se

observa que mide 12 unidades. En cambio se desconoce el valor del lado o (cateto)

opuesto al ngulo .

En la figura, seax la medida desconocida del lado del tringulo. Por la definicin

de seno que es lo que nos piden es importante hallar su valor y reemplazarlo en

la definicin de arriba.

Pues bien, si se tiene la medida de dos de los tres lados de un tringulo rectngulo,

podemos aplicar Pitgoras, que dice:

La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos

As que:

2

2

2

2

x

x

x

x

x

2 212 = 5 +

144=25+

144 25 (despejamos x)

119 = (ahora sacamos raz cuadrada)

119 =

Luego, el cateto opuesto a , que inicialmente llamamosx, mide 119 .

Ahora podemos completar la definicin de seno dada inicialmente, conocido los

valores que lo componen:

cateto opuesto a 119sen = =hipotenusa 12

Alternativa E).


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25)En el tringulo rectngulo de la figura, cos = 34

. Entonces tg =

A) 54

B) 53

C) 35

D) 73

E)Ninguna de las anteriores.Solucin:

3

cos =4

cateto adyacente cercano al ngulo 3=

hipotenusa 4

De la figura se observa que el cateto adyacente b es exactamente 3. Por lo que la

hipotenusa c ha de ser exacatamente igual a 4.

Ahora bien, como tenemos dos de tres lados de un tringulo rectngulo, el tercero

se puede hallar por teo. de Pitgoras. Para qu? para que conocidas las medidas de

todos los lados, hallar de entre las distintas razones trigonomtricas que existen

entre los lados, la solicitada tg.As que, hallemos la medida del lado faltante a por teo. de Pitgoras:

9

c a b

a

a

2 2 2= +

2 2 24 = +3

216 = +

De donde:

a

a

a

216 9 =

27 =

7 =

y finalmente, aplicamos la definicin de tangente:

a

b

cateto opuesto a 7tg = = =

cateto adyacente 3

Alternativa D).


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26)El ABC es rectngulo en C, c =10 cm., sen = 25

. Entonces b =

A) 4B) 4 2 C) 2 21 D) 9E) 116

Solucin:

Formando un tringulo semejante al que nos dan, con la medida:

sen=2

5

cateto opuesto 2=

hipotenusa 5

La gracia de los s semejantes es que podemos comparar dos lados homlogos

semejantes- entre s y concluir la misma relacin existente para todos los lados

semejantes. As, al comparar los lados AB y AB notamos que:

Lados ABC Lados ABC

AB = 5 AB = 10

Lados ABC = mitad lados

ABC

O bien Lados ABC = doble lados

ABCBC = a = 2 BC = a = 4

Ahora tenemos dos medidas del tringulo ABC. Para hallar el tercer lado,

aplicamos Pitgoras:

2 2

c a b

b b

b

2 2 2= +

2 2 210 = 4 + b

100 =16+ =100 16 = 84

= 84 = 421 = 2

21

Alternativa C)


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27)Sies un ngulo agudo y 57

sen entonces, cul de las siguientes afirmaciones es

verdadera:

I.

2 3cos

7

II. 3sec6

III. 7cosec5

A) Solo I.B) Solo II.C) Solo III.D) I y III.E) I, II y III.

Solucin:

Por definicin de la razn trigonomtrica seno, esta relaciona la medida del cateto

opuesto al ngulo dado y lo sita en el antecedente o numerador de una razn

o fraccin y en el consecuente de la razn o denominador de la fraccin,sita la medida de la hipotenusa.

De acuerdo a esto y debido al dato del enunciado:5

7

sen

5 estar en el cateto opuesto;

y 7 en la hipotenusa.

y formamos un tringulo rectngulo semejante al de la figura con estos datos:

El valor para el cateto b, adjunto al ngulo se obtendra por teo. de Pitgoras:

2

2

c a b

b

b b

b

2 2 2= +

2 27 = 5 +

249 = 25+ 49 25 =

= 24 = 46 = 2 6

En este tringulo, al ser semejante, se DEBEN verificar I, II y III y veremos queexpresiones son verdaderas o falsas.

As, en nuestro tringulo rectngulo semejante-con los valores de a, b yc dados,

I. 2 3cos =7

? Veamos:

cateto adyacente (al lado) de 2 6cos = =

hipotenusa 7I. Es Falsa.

II. 3sec =6

? sec es el recproco de cos .

Es decir, 7 7 6sec = =122 6

II. Es falsa.

III. 7cosec =5

? Se debe saber que cosec es el recproco de seno.

Es decir, 7

cosec =5

. III. Es verdadera.

Alternativa C).


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II.5.2. Razones trigonomtricas combinadas con tros Pitagricos.

28)En la figura, ABC rectngulo en C, AC = 3 cm y AB = 5 cm. Entonces, sencos

est

representado por la fraccin:

A) 43

B) 54

C) 45

D) 3

4

E) 35

Solucin:

EL TRO PITAGRICO PRIMITIVO DE MAYOR FAMA est formado por losvalores 3, 4 y 5.

Este tro de nmeros se denomina pitagrico porque satisfacen el teo. de Pitgoras

2 2 2c a b y cada tro de nmeros pitagricos nos dice que si se conoce la medida de dos

lados, entonces necesariamente la medida faltante corresponde al otro valor del

tro, sin necesidad de usar teo. de Pitgoras.

En nuestra figura, tenemos las medidas de dos lados: 3 y 5. que forman parte del

tro pitagrico ms famoso. Entonces, necesariamente, son 4 unidades. BC = 4

cm.

As, el tringulo dado nos queda con las medidas de todos sus lados:

Ahora bien, es primordial aprender y tener siempre la definicin de tangente:

sen= tg

coscateto opuesto

=cateto adyacente

4= 3

Alternativa A).


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29)La figura nos muestra un poste de 4 m de alto, que proyecta en cierto instante unasombra de 3m. Si es el ngulo de inclinacin de los rayos del en dicho instante,entonces sen =

A) 53

B) 34

C) 43

D) 45

E) 35

Solucin:

Se debe notar que la figura forma un tringulo rectngulo, dado que los postes seconstruyen perpendicularmente a la base del suelo.

Las medidas de los lados de un tringulo rectngulo 3, 4 y 5 SIEMPRE estarn en

el. Forman el tro pitagrico primitivo ms famoso ms usado. Se llama primitivo

porque a partir de el se forman otros tros pitagricos: amplificandolos por dos: 6,

8 y 10. Amplificndolos por tres: 9, 12 y 15. Amplificndolos por cuatro: 12, 16 y

20, etc.

As que 5 m es la medida faltante. La medida de la hipotenusa, el mayor de los

lados.

Ahora bin, recordando la definicin de seno de un ngulo:cateto (lado) opuesto a 4

senhipotenusa 5

Alternativa D).


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30)Si cos = 0,6 y es un ngulo agudo entonces tg =A) 3

5

B) 45

C) 54

D) 43

E) 53

Solucin:

cos = 0,6

cateto adyacente (cercano) a 6

=hipotenusa 10

Con este dato podemos formar un tringulo rectngulo cuyas medidas no sern

iguales, pero s sern semejantes, todas las relaciones entre los lados. En particular,

las razones trigonomtricas y muy particularmente, tg.

Los valores 6 y 10 son mltiplos de 3 y

5 que pertenecen al tro pitagrico

primitivo ms conocido:

El valor por el cual multiplicar al tro primitivo para obtener la medida de los tres

lados se puede observar que es 2. Pues basta con observar aquella regularidad en

los dos lados conocidos.

Por lo tanto, la medida del tercer lado, se obtiene de: 4 2 = 8, como la medida

del lado faltante.

Ahora podemos hallar la razn entre los

lados del que definen la tangente.

8=

10

4=5

cateto opuesto atg =

cateto adyacente (cercano) a

y podemos simplificar por dos

Alternativa B).

3 4 5

6 10


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31)Sabiendo que 3sen5

, entonces el valor de cos tag sen es igual a:

A) 1,55B) 0,95C) 1,45D) 1,95E) 0,77

Solucin:

3 cateto opuesto al ngulo

sen = =5 hipotenusa

Obtendremos las medidas de un tringulo rectngulo,

como muestra la figura, con:

3 igual al cateto opuesto al ngulo ; 5 igual a la hipotenusa lado mayor- de un tringulo rectngulo.

Vamos a obtener la medida del lado, cateto b.

Pero Oh! en lugar de usar teo. de Pitgoras, recordemos el tro primitivo 3, 4, 5

Los dos primeros valores son los catetos y el ltimo es la hipotenusa.

Como dos de los tres valores estn en la figura, se deduce que necesariamente

por ser ABC un rectngulo, 4 y nada ms que el, ha de ser el valor faltante y

correspondiente al cateto (o lado) b. (3,4 y 5 tro pitagrico primitivo)

As que las medidas del tringulo rectngulo sobre el cual verificaremos el

enunciado tiene las siguientes medidas:

Ahora veamos:cos tag sen

Aplicamos las definiciones de coseno, tangente y seno respectivamente, para

obtener:

cateto adyacente a cateto opuesto a cateto opuesto acos + tag sen = +hipotenusa cateto adyacente a hipotenusa

Donde segn la figura, el cateto adyecente (cercano) a mide 4 unidades, el

opuesto 3 y la hipotenusa 5. Reemplazamos y nos queda:

4 3 3

= +5 4 5

4 3 3

= +5 4

Como hay dos denominadores iguales -correspondientes a la primera y tercera

fraccin, ambos se pueden unir en una sola fraccin, conservando el denominador

comn y manteniendo sus numeradores. Resolviendo:

1 3= +5 4

= 0,2 + 0,75 = 0,95 donde 0,2 = 0,20.

No olvide respetar el orden de las dcimas y centsimas, etc. en la suma de

nmeros decimales.

Alternativa B).


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32)El ABC es rectngulo en C. Entonces cos CAB A) 5

3

B) 34

C) 43

D) 45

E) 35

Solucin:

Identifiquemos elementos:

La hipotenusa siempre se opone al vrtice en donde se halla el ngulo recto. En

este caso, opuesto al vrtice C. Es decir, la hipotenusa es AB . Por lo tanto, AC y

CB son los catetos.

Recordemos adems, que en una denominacin de un ngulo con tres letras, el

ngulo en mencin se halla en el vrtice de la letra de al medio. En este caso, el

CAB del enunciado se halla en el vrtice A del tringulo.

Aplicando para tal ngulo, la definicin de coseno:

cateto adyacente al vrtice A AC 3cos CAB = = =

hipotenusa AB 5

Cmo sabemos que la hipotenusa AB mide 5?Fcil. De la figura se desprende que los catetos AC y CB miden 3 y 4 unidades

respectivamente. Y como 3 y 4 son dos nmeros que integran el tro pitagrico

primitivo 3, 4 y 5, se deduce que la medida desconocida del lado AB , que es la

hipotenusa, pues se opone al ngulo recto, necesariamente ha debe medir 5 si el

tringulo ABC es rectngulo.

Alternativa E).


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33)Sea ABC un tringulo rectngulo en C. Si sen = 35

y 6 cmBC , entonces el

permetro del tringulo es:A) 12 cm.B) 14 cm.C) 16 cm.D) 18 cm.E) 24 cm.

Solucin:

Aplicamos la definicin de seno a ver que resulta!:

=cateto opuesto

senhipotenusa

3 6 [cm]=

5 hipotenusa

Aplicamos ahora producto cruzado para hallar la hipotenusa.3 hipotenusa = 30 [cm]

hipotenusa = 10 [cm]

Ahora poseemos las unidades en cm. de dos de los tres lados. Las medidas

conocidas son: 6 y 10.

Pues bien, ambos valores son la amplificacin por dos del tro pitagrico

primitivo 3, 4 y 5, como muestra la siguiente tabla:

3 4 5

6 10

El nico valor faltante, se obtiene de amplificar el tro pitagrico primitivo por el

mismo valor con el cual calzan los otros dos. Esa es la importancia de tener

siempre presente los tros primitivos pitagricos en tringulos rectngulos.

La medida del lado faltante es, tras amplificar el valor cuatro del tro nos da (en

cm):

4 2 = 8

As que las medidas de los tres lados del tringulo rectngulo son: 6, 8 y 10 cm.Y su suma o permetro nos da 24 cm.

Alternativa D).


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III. Identidades trigonomtricas.

34)Si tgx = 3, entonces 2sen2

cos

x

x

A) 1B) 3C) 6D) 3 E) 9

Solucin:

La identidad de la tangente respecto a seno y coseno es:

xx

x=

sentg

cos

Reemplazamos el valor de la tg x dado en el enunciado a la igualdad anterior

queda:x

x3 =

sen

cos

y si comparamos con lo pedido, notamos que solo falta elevar al cuadrado. Al

hacerlo, debemos respetar la igualdad, por lo que debemos elevar al cuadrado a

ambos miembros de ella:

x

x9 =

2sen

2cosAlternativa E).

35)sen2(2) + cos2(2) =A) 1B) 2C) 4D) 4 sen2 cos2E) 8 sen2 cos2

Solucin:

sen2 (algo) +cos2 (algo) = 1

Independientemente de si el argumento de las funciones trigonomtricas sean ,

2, etc. Halla lo que halla en el argumento en nuestro caso, entre parntesis de

las funciones seno y coseno, ambas elevadas al cuadrado y sumadas dan 1.Solo debe haber tres requisitos para reconocer tal identidad fundamental en

trigonometra: que los argumentos de ambas funciones, los algo sean iguales en ambasfunciones;

que ambas funciones sean seno y coseno respectivamente, no importa el orden; y que ambas funciones estn elevadas al cuadrado.

As, identificamos la alternativa correcta en segundos.

Alternativa A).


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36)La expresin sen (cotg + csc ) es equivalente a:A) sen + 1B) tg + 1C) cos + 1D) 2 2cos sen E) ctg tg

Solucin:

El mecanismo principal a seguir al reducir o trabajar identidades trigonomtricas,

es dejar todo expresado en trminos de seno y coseno.

Para esto, hemos de saber que:

cotg = al inverso de la tangente =

cos

sen

y csc = al inverso de seno =

1

sen

Notemos como regla nemotcnica que:

cosecante (csc) y coseno (cos) se parecen en la forma de escribirlos.Ambas comienzan con c.

As como tambin secante (sec) y seno (sen). Ambas comienzan con s.Sin embargo,

csc es la funcin inversa de sen y sec es la funcin inversa decos.

La regla nemotcnica es traicionar el parecido de las funciones inversas csc y sec

en cuanto a la inicial con la que se inicia al escribirlas, con las funciones cos y

sen. Volviendo al enunciado:

1

cossen cotg csc = sen

sen sen

Y sumando las fracciones con denominador comn, nos queda :

cos 1= sen

sen

y simpli :

ficando por sen

= cos 1

Alternativa C).


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37)En el ABC se verifica(n):I. sen 30c b II. cos 60c b III.

2 22 230 60

2 2

a bsen sen

c c

A) Slo I.B)

Slo II.C) Slo III.

D) I, II y III.E)Ninguna de las anteriores.

Solucin:

Analicemos cada una de las alternativas:

c b

b

c

I. Si sen 30=

sen 30=

Lo cual es Falso, puesa b

c ccateto opuesto a 30

sen 30= =hipotenusa

c b

b

c

II. Si cos 60=

cos 60=

Lo cual es Falso, puesa b

c c

cateto adyacente (cercano) a 60cos 60= =

hipotenusa

a b

c c

2 2II. sen 30+ sen 60

2 2cateto opuesto a 30 cateto opuesto a 60

2 2

hipotenusa hipotenusa

2 2=

2 2III Es Verdadera.

Luego, slo III es correcta.

Alternativa C)


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38) 2 2sen cos cos senx x y x x x y x A) x y B) sen cosx x C) 2 2sen cosx x D) 1E) 2 2x y

Solucin:

Aplicando la frmula del binomio al cuadrado: 2 2 22a b a ab b

a x x b y xcon = sen y = cos el primer binomio se transforma en:

2sen cosx x y x x x xy x x y x 2 2 2 2sen 2 sen cos cos (*)

Para el segundo binomio, a x x b y x= cos y = sen :

cosx x y x 2+ sen = x x xy x x y x2 2 2 2cos + 2 cos sen + sen (**)

Sumando a ambos lados de la igualdad (*) y (**) los trminos centrales del lado

derecho se cancelan entre s.

2 2sen cos cos senx x y x x x y x

=x x2 2sen + x x2 2cos + y x 2 2cos y x2 2+ sen

Factorizando x2 e y2 :

= x x x y x x

1 1

2 2 2 2 2 2sen cos cos sen

(Usando la identidad fundamental x x2 2sen cos =1 ) la igualdad de arriba seconvierten en:

=x y2 2

Alternativa E).


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39)Cul de las siguientes expresiones es o son verdadera(s)?I.

1 1 1

2 2 2 2cos cossen sen

II.cosec

seccotg

III. 2 2cos

1 costg

A) Slo I.B) Slo II.C) Slo I y II.D) Slo I y III.E) I, II y III.

Solucin:

Analicemos cada una de las alternativas. Para ello veamos si partiendo de un lado

de cada igualdad, podemos llegar al otro lado en cada una de ellas.

I.

1

2 21 1 cos 1

2 2 2 2 2 2cos cos cos

sen

sen sen sen

Es Verdadera.

En donde hemos tenido en cuenta:a c ad bc

b d bd

y la identidad fundamental: 2 2cos 1sen

II.

1 1

11 cosecsen sensec = = = =1 coscos cotgcos

sen sen

Es Verdadera.

En donde hemos tenido en cuenta identidades bsicas y hemos amplificado la fraccin

por

1

sen.

III. Partamos del lado derecho de esta igualdad porque hay ms informacin quetrabajar- y veamos si llegamos al lado izquierdo.

22 2

1 cos 12cos

sentg

2cos

21 sen

2simplificando por cos

As que 2 2 21 cos

1tg sen (*)

Ahora bien, 2 2sen +cos =1

2 2cos =1 sen /

= 2cos 1 sen (**)

Reemplazando (**) en el lado derecho de la igualdad:

2 21 tg cos = cos III. Es Verdadera.

Luego, se cumplen I, II y III.

Alternativa E).


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40)5 tg + 2 sec2 =A) tg 2 2 g 1t B) 5 cos C) tg 1 2 g 1t D) A y BE)Ninguna de las anteriores.

Solucin:

Expresaremos todo en trminos de seno y coseno, teniendo presente que:

sen

tgcos

y sec

1

cos

5 tg + 2 sec2 =

5sen 2+

2cos cosamplificando la primera fraccin por cos

5 sen cos 2= +2cos cos cos

5 sen cos + 2=2cos

Y no se saca nada en limpio, pues nos ha quedado una expresin ms compleja.

Para casos como este existe la importante identidad que podemos trabajar:

2 2sen +cos =1

2cos

2 2 2sen +cos =1 / : cos

2sen 1+1 =

2cos

2 2tg +1= sec (*)

Reemplazando el valor de sec2 que result de (*) en el enunciado:

5 tg + 2 sec2

= 5 tg + 2 (tg2 + 1) = 5 tg + 2 tg2 + 2 = 2 tg2 + 5 tg + 2 (**)

Analicemos cada una de las alternativas, a ver si llegamos a (**):

A)

2

2

gtg t tg tg tg

tg tg tg

tg tg

+2 2 + 1 = 2 +1 +2 2 +1

= 2 + + 4 + 2

= 2 +5 +2

Que es idntico a (**) y a su vez, al enunciado.

Por lo tanto,

La alternativa A) es la correcta.


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41)La expresin 2 245 +3 cosec 45sen 30 cos 60

2 sec

A) 1B) 10

4

C) 16D) 20E) 40

Solucin:

1 4

= = 22 2

4

1sec 45=

cos 45

1 12sec 45= = =2 2cos 45

2

2

(*)

Donde : 1 1

a a b a c ac

b c b b

c

= = =

En nuestro ejercicio en1

2

4

a b c=1; = 2; = 4 .

1 1A su vez cosec 45 = = = sec 45

sen 45 cos 45

2 2

cosec 45=sec 45=2

(**)

En el denominador del enunciado, notamos que 30 y 60 son ngulos

complementarios, por lo tanto cos 60 = sen 30

sen 30 cos 60 = sen230

y 1

sen 30=2

sen2

30 =1

4

1 1 =

2 2(***)

Reemplazando (*), (**) y (***) en el enunciado:

10

4 6

22+32

1

4

2 2 4 102 sec 45 +3 cosec 45= = = 40

sen 30 cos 60 1

Alternativa E).


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42)La expresin 1 cos 1 cos1 1

x x

sen x sen x

A) 1B) 2sec x C)

2tg x D) 1

E) 2cotg x Solucin:

Aplicamos la propiedad distributiva:

a b c d a c d b c d ac ad bc bd = y regla de los signos en:

x x xx x x x x

x x x x x x x x

02

20

1 1+ cos cos 1+ cos1 cos 1+ cos 1+cos cos cos = =

1 sen 1+sen 1 1+sen sen 1+sen 1+sen sen sen

x

x

2= (*)

2

1 cos

1 sen

Ahora sera bueno echar mano de la principal identidad trigonomtrica:

x x x x 2 2 2 21= sen +cos 1 cos = sen (**)

x x x x 2 2 2 21= sen +cos 1 sen = cos (** *)

Reemplazando las igualdades (**) y (***) en el numerador y denominador

respectivamente de (*), esta nos queda:

2x xx

2sen= = tg

2cos

Alternativa C)


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IV. Ecuaciones Trigonomtricas

43)El valor de x en la siguiente expresin tg 45 tg 3tg 2tg 45 tg

xx

x

1es:

A)1

3

B) 1

3

C) 30D) 60E) 3

3

Solucin:

De la tabla:

Grados 0 30 45 60 90tg 0 3

3

1 3 No existe.

Se puede ver que tg 45 = 1 por lo que reemplazamos este valor en la expresin

del enunciado y nos queda:

13 2

1 3 2

1 3

2

xx x

x

x x x x

x x

x

tgtg / 1 tg amplificando por el denominador

1 tg

tg tg 1 tg 1 tg

tg tg

tg

23 2 2x x tg tg 2

21 3 2

23 2 1

23 1

12

3

1

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x

cancelando tg

tg

tg

tg

tg

tg

1 3tg Pues si racionalizando el denominador : =

33 y

y buscando para que valor de la tangente, esta toma el valor3

3, observamos que

lo si el ngulo es de 30.

Alternativa C).


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44) Si secx + cosec (90 x) =y. Six = 60, entoncesy =A) 1B) 2C) 2

3 6

3

D) 4E) 6 3

Solucin:

Six= 60secx + cosec (90x) =ysec60 + cosec (9060) =y

sec60 + cosec 30 =y

Como 60 y 30 son ngulos complementarios entre s, sec60= cosec 30.

Reemplazando en la igualdad anterior:2 cosec 30 =y (*)

Como1 1 1

cosec 30= = =1 =12 = 21sen30 22

:

Reemplazando este valor en el lado izquierdo de (*)

2 2 =y

4 =y

Alternativa D).

45)Calcule el valor dex.A) 12B) 14C) 16D) 18E) 20

Solucin:Se tienen expresiones algebraicas en el cateto opuesto y el cateto adyacente del

ngulo alfa. Por lo tanto, la razn trigonomtrica que corresponde ver es la queasocia a ambos catetos, esta es, la funcin tangente.

x

6 330=

+ 4tg Donde tg 30

3=

3

x

3 6 3=

3 + 4Haciendo producto cruzado, nos queda:

x

x

x

x

3 + 4 = 3 6 3

3 + 4 3 =18 3

3 = 18 3 4 3

3 =14 3

Cancelando 3 a ambos lados:

x = 14

Alternativa B).


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46) tgx + cotgx = 2. Six es un ngulo agudo,x =A) 30B) 45C) 60D)

75E)Ninguna de las anteriores.

Solucin:El primer procedimiento es reducir a senos y cosenos, sabiendo que:

x xx x

x x

sen costg = y cotg =

cos sen

El lado izquierdo de la igualdad se modifica a:x x

x x

= 2sen cos

+

cos senHaciendo producto cruzado:

x x

x x

2 2= 2

sen + cos

cos sen

Recordando la identidad fundamental: x x2 2sen + cos = 1

y reemplazndola en la igualdad anterior, esta nos queda:

x x

1= 2

cos sen

Invirtiendo lado a lado la igualdad, esta nos queda:

x x 12

cos sen =

De la tabla de valores para razones trigonomtricas:

De la tabla se puede calcular y verificar mentalmente para los distintos ngulos

de la tabla, multiplicando las columnas sucesivas de seno y coseno, y encontrar

que para 45:2

2 2 4 1= =

2 2 4 4 2cos 45 sen 45 = =

Entonces 45 satisface sucesivamente las igualdades que se derivan a partir delenunciado. Por lo tanto: x = 45 Alternativa B).

ngulo sen cos tg

0 04 2

= =12 2

0

30

1 1

=2 2

3

2

1 3

= 33

452

2

2

2 1

603

2

1 1=

2 2

3= 3

1

904 2

= =12 2

0 no existe


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V. Clculo de reas de tringulos

47)Sea un ABC rectngulo en C con AB = 3 . Cul es el rea del tringulo?A)

2 3

3

B) 3 38

C) 7 38

D) 9 38

E)No se puede calcular.Solucin:

En todo tringulo, su rea viene dada por el semiproducto de la base por la altura,

sin embargo, en el caso de un tringulo rectngulo, su rea tambin puedeobtenerse por el semiproducto de los catetos. Esto implica que si conocemos las

medidas de los catetos, obtendremos su rea.

Pues bien, para hallar la medida del cateto opuesto BC , conocido el valor de su

hipotenusa AB , usaremos la razn seno que es la que compara ambos lados.

BC

ABsen 30=

1 BC haciendo producto cruzado

=2 3

33 = 2BC BC =

2

Para hallar la medida del cateto adyacente AC , conocido el valor de su hipotenusa

AB , usaremos la razn coseno que es la que compara ambos lados.AC

ABcos 30=

Y por ser 30 complementario con 60, cos 30 = sen 60, el cual es igual a3

2

AC

AB

3=

2

3 AC 3haciendo producto cruzado= 32 3

= 2AC AC =2

Y el semiproducto de los catetos BC y AC es:

aab

c bc

3 33 3

BCAC 42 2= =2 2 2

y como = obtenemos :

3 3=

8

Alternativa B).

Nota: tambin se puede usar teo. de Pitgoras tras hallar uno de los catetos para

hallar la medida del tercer lado del .


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48)El rea de un tringulo equiltero de 8 cm por lado es:A) 4 3 cm2B) 16 cm2C) 16

3

3

cm2

D) 16 3 cm2E) 48 cm2

Solucin:

El rea de todo tringulo rectngulo viene dado por el semiproducto de la base

por la altura.

Hemos de recordar que en un tringulo equiltero, la altura y transversal de

gravedad bajada desde un mismo vrtice coinciden entre s, as como con la

bisectriz de ste.As, si dibujamos un tringulo equiltero y la altura bajada desde uno de sus

vrtices y llamanos A al rea del tendramos:basealtura

A =2

Particularmente, en la figura dibujada:AB CDA=

2

Ahora bien. La altura define dos tringulos rectngulos.

Usaremos uno de ellos para calcular la altura, nicovalor desconocido.

h

ADtg 30= (*)

tg 30 =3

3y AD =

8 cm=

2

AB= 4 cm

2

Reemplazando los valores de tg 30 y AD en (*)

h

3 4 cm=

3

Haciendo producto cruzado:h h

12 cm3 =12 cm =

3

Si racionalizamos h, esta nos queda:

h12 cm 12 cm 3 12 3

= = = cm = 4 3 cm33 3 3

Reemplazando el valor de la altura y el lado o base igual a 8 cm en la frmula del

rea:

4basealtura 8A = =2

4 3

2 2 2cm = 16 3 cm

Alternativa D).


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49) Si AB = 8 cm, el rea del ABC rectngulo en C es:A) 16 sen 40 cm2B) 32 cos 50 cm2C) 16 tg 50 cm2D) 32 cos 40 2cmsen 50 E) 32 sen 50 cos 50 cm2

Solucin:

El rea A de un tringulo rectngulo se puede calcular tambin como el

semiproducto de sus catetos. En nuestra figura:

ACBCA =

2

Se tiene la medida de la hipotenusa. Esto implicar que tendremos valores de

seno y coseno en la expresin del rea. Dado que la hipotenusa aparece en ambasdefiniciones. Veamos:

cateto opuesto a los 50sen 50 =

hipotenusa

BCsen 50 =

8

BC = 8 sen 50 (*)

Reemplazando las expresiones halladas para BC y AC de (*) y (**) en la expresin

del rea A.8 cos 508 sen 50 64 sen 50 cos 50

A = = = 32 sen 50 cos 502 2

Alternativa E).

50)Si AB = 12 cm, el rea del ABC rectngulo en A es:A) 144 sen 40 cm2B) 72 cos 20 cm2C) 72 tg 20 cm2D) 36 cos 20 2cm

sen 70

E) 12 sen 70 cos 20 cm2Solucin:

Observemos que no hay ningn valor en la hipotenusa por lo que a diferencia del

ejercicio anterior, los catetos no se podrn relacionar con ella, sino que solo entre

s. Es decir, no habr senos ni cosenos en la expresin del rea.

La razn trigonomtrica que relaciona solo a los catetos entre s es la tangente. As

que esta ser la razn trigonomtrica a usar.

El rea, como semiproducto de los catetos es, en la figura del enunciado, con los

catetos CA y AB= 12 cm2. Solo falta hallar la medida del cateto CA.

As:CAAB

A =2

con

= 722 2

12 tg 20 12 144 tg 20A = = tg 20 Alternativa C).

cateto cercano a los 50cos 50 =

hipotenusa

ACcos 50 =

8

AC = 8 cos 50 (**)

CAtg 20=

AB

CAtg 20= CA =12 tg 20

12


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51) El rea del escaleno ABC es:A) 25 2

3 1 cm2

B) 25 22 1 cm2

C) 25 23 1 cm2

D) 10 sen 45 cos 30 cm2E) 10 sen 30 cos 45 cm2

Solucin:

Un tringulo escaleno cuyos ngulos de la base suman 75. Esto implica que el

ngulo del vrtice C es igual a: 180 75 = 105.

Es decir, aparentemente no tenemos recursos trigonomtricos. Pero si bajamos la

altura hc = CD .El rea A del tringulo ABC se puede calcular

como la suma de las reas de los s ACD y

BCD ambos rectngulos en D.

A = A1 + A2

Usando el semiproducto de los catetos en cada uno de los s rectngulos:

1ADDC

A =2

(*) y (**) en A1:

2cm25

2

5 35 2A = = 3 cm1 2

Mientras:(**)

2 2DCDB 5 cm DB

A = A =2 2

e hicimos notar anteriormente que si visualizamos uno de los ngulos agudos

iguales a 45 en un rectngulo, entonces los catetos son iguales DB = 5 cm

2225

A = cm2

Finalmente:

A = A1 + A2 =

25

2

2

3 cm +

225

cm2 = 2

3 +1

25

cm2 Alternativa A).

cateto cercano a los 30cos 30 =

hipotenusa

ADcos 30 =

10 cm

AD =10 cos 30

3= 10 cm

2

= 5 3 cm (*)

cateto opuesto a los 30sen 30 =

hipotenusaDC

sen 30 =10 cm

DC =10 cm sen 30

= 5 cm (**)


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En las preguntas de este tem no se pide la solucin del problema, sino que indicar si

los datos proporcionados en el enunciado del problema ms los indicados en las

afirmaciones (1) y/o (2) son suficientes para llegar a la solucin.

VI. Evaluacin de insuficiencia de datos

Las instrucciones son:Marcar la letra:

A) (1) por s sola.Si la afirmacin (1) por s sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmacin (2) por s sola no lo es.

B) (2) por s sola.Si la afirmacin (2) por s sola es suficiente para responder a la pregunta,pero la afirmacin (1) por s sola no lo es.

C) Ambas juntas, (1) y (2).Si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a lapregunta, pero ninguna de las afirmaciones por s sola es suficiente.

D) Cada una por s sola, (1) (2).Si cada una por s sola es suficiente para responder a la pregunta.

E) Se requiere informacin adicional.Si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la preguntay se requiere informacin adicional para llegar a la solucin.

52)En el ABC, rectngulo en C se puede determinar su permetro si:(1) 1cos

2

(2) AB = 24 cm.A) (1 por s sola).B) (2 por s sola).C) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por s sola (1) y (2)E) Se requiere informacin adicional.Solucin:

Usando slo (1):

Por definicin de coseno:

1 cateto adyacente a 1

cos = =2 hipotenusa 2

Esto nos dice que la hipotenusa mide el doble que el cateto adyacente.

Sea x = AC AB = 2xy la medida de AB se puede expresar en funcin dex por teo. de Pitgoras:

2 2

22 2

2

x x

x x

x

x

2 2 2AB = BC + AC

22 = BC +

4 = BC +

2Necesariamente BC = 3

BC = 3

Luego, la medida de los lados, en funcin dex son:

AC =x AB = 2x BC = 3x (*)


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Pero, aunque podemos expresar los lados en funcin de un valor x sus

medidas, por lo que conocer el permetro del tringulo.

Ahora si tan solo pudisemos conocer el valor de x

(2) por s sola tampoco resuelve nada. Pues con el valor de un solo lado del

tringulo no se puede determinar los otros dos.

Combinando (1) y (2):

De (2) AB = 24 cm.

De (1) en (*) 2x = 24 cm

x =12 cm.

Reemplazando el valor dex en (*) y sumando los lados se halla el permetro:

36 + 12 3 cm. que no es necesario calcular, pues no lo piden,

solo nos consultan por los datos que es(son) necesarios para calcularlo.Luego, son necesarias ambas (1) y (2) para conocer el permetro del tringulo.

Alternativa C).

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Trigonometría PSU (1)