COLECC IN DGETI

Geometra y trigonometra

Geometra y trigonometra

Carlos Oropeza Bonilla

Primera edicin, 2012

Oropeza Bonilla, CarlosGeometra y trigonometra / Carlos Oropeza Bonilla.

Mxico : FCE, SEP, DGETI, 2012296 p. : ilus. ; 27 21 cm. (Colec. DGETI) Texto de educacin media superior ISBN 978-607-7523-18-5

1. Geometra Estudio y enseanza 2. Trigonometra Estudio y enseanza 3. Matemticas I. Ser. II. t.

LC QA 154 Dewey 516 O774g

Edicin:Departamento de Libros de Texto, fcedgar Gmez Marn

Diseo de portada:Josefina Aguirre

Diseo de interiores:Jos Luis Acosta Reyes

Formacin:dgar Gmez Marn

Ilustracin:Emelina Paniagua

D. R. Direccin General de Educacin Tecnolgica Industrial, sep Centeno 670, 4 piso, Col. Granjas Mxico C. P. 08400, Mxico, D. F.

ISBN 978-607-7523-18-5

Impreso en Mxico

7Presentacin

La Direccin General de Educacin Tecnolgica Industrial, dependiente de la Sub-secretara de Educacin Media Superior, tiene como objetivo principal formar profesionales en el nivel medio superior que se integren en los mandos medios del mercado laboral, razn por la cual se brinda una formacin integral, dinmi-ca y participativa que permita a nuestros egresados contar con los conocimientos, habilidades, destrezas y valores acordes a las necesidades del sector productivo del pas.

Para lograr lo anterior se deben tomar en cuenta los requerimientos acadmi-cos que sustentan los planes y programas de estudio vigentes en la institucin. As, surge la propuesta de la nueva generacin de libros de texto en la que se conjunta la experiencia docente de los profesores de la dgeti y una metodologa autoins-truccional, lo que da por resultado un material de apoyo para profesores y alum-nos con el cual se pretende formar estudiantes autogestores de su propio proceso de aprendizaje.

Por lo tanto se invita a la comunidad educativa de la dgeti a utilizar el libro de texto con la conviccin de que es el resultado del enorme esfuerzo, trabajo y dedi-cacin de los autores, cuya finalidad es favorecer el proceso de aprendizaje en los estudiantes al mismo tiempo que fortalecer la prctica educativa de los profesores, y con ello contribuir al logro de los objetivos institucionales a favor de la poblacin que la conforma.

Atentamente

Lic. Luis F. Meja PiaDirector General

9ndice

Presentacin 7Introduccin 13

1 Geometra 15Propsito 16

1 .1 Figuras geomtricas 181 .1 .1 Generalidades 18

1 .1 .1 .1 Antecedentes histricos,191 .1 .1 .2 Conceptos bsicos de la geometra,211 .1 .1 .3 Mtodo deductivo,371 .1 .1 . 4 Mtodo inductivo,43

1 .1 .2 ngulos 451 .1 .2 .1 Notacin y clasificacin de ngulos,471 .1 .2 .2 Sistemas de medicin de ngulos,511 .1 .2 .3 Conversiones de radianes a grados y de grados a radianes,531 .1 .2 .4 Teoremas sobre ngulos,59

1 .1 .3 Tringulos 641 .1 .3 .1 Notacin y clasificacin de tringulos,651 .1 .3 .2 Rectas y puntos notables del tringulo,691 .1 .3 .3 . Teoremas sobre tringulos,74

1 .1 . 4 Polgonos 1261 .1 . 4 .1 Notacin y clasificacin,1261 .1 . 4 .2 ngulos interiores y exteriores,1301 .1 . 4 .3 Diagonales,1351 .1 . 4 .4 Permetros y reas,1421 .1 . 4 .5 Teoremas sobre polgonos,153

10

ndice

1 .1 .5 Circunferencia 1541 .1 .5.1 Elementos de la circunferencia,1561 .1 .5.2 ngulos en la circunferencia y el crculo,1591 .1 .5.3 Permetro de la circunferencia,1701 .1 .5.4 reas del crculo,1741 .1 .5.5 reas de figuras circulares,1751 .1 .5.6 Teoremas sobre circunferencia,183

Actividades disciplinares 183Recapitulacin Bloque temtico 1 185Actividades genricas 186

2 Trigonometra 189Propsito 190

2.1 Relaciones trascendentes 1922.1 .1 Funciones trigonomtricas 195

2.1 .1 .1 Relaciones trigonomtricas,1972.1 .1 .2 Funciones trigonomtricas en el tringulo rectngulo,1992.1 .1 .3 Funciones trigonomtricas en el plano cartesiano,2162.1 .1 . 4 Funciones en el crculo unitario,2292.1 .1 .5 Resolucin de tringulos rectngulos y oblicungulos,2322.1 .1 .6 Grficas de las funciones trigonomtricas,245

2.1 .2 Identidades trigonomtricas 2532.1 .2 .1 Identidades fundamentales,2542.1 .2 .2 Demostracin de identidades,266

2.1 .3 Ecuaciones trigonomtricas 2692.1 .3 .1 Propiedades de las ecuaciones trigonomtricas,2702.1 .3 .2 Procedimiento de solucin de ecuaciones trigonomtricas,270

2.1 . 4 Ecuaciones exponenciales 2732.1 . 4.1 Propiedades de la ecuacin exponencial,2732.1 . 4.2 Procedimiento de solucin,275

2.1 .5 Ecuaciones logartmicas 2772.1 .5.1 Propiedades,2782.1 .5.2 Procedimiento de solucin,280

11

ndice

Actividades disciplinares 281

Recapitulacin Bloque temtico 2 284Actividades genricas 286

Autoevaluacin final 288Procedimientos y resultados 291Glosario 293Fuentes consultadas 296

Valores por desarrollar: respeto, responsabilidad, libertad, honestidad, equidad y lealtad.

13

Desde la infancia, los primeros conocimientos del mundo que nos rodea y las formas con las cuales tenemos contacto y percepcin son la pelota, el cubo de dados, el aro, etc., y son las primeras formas geomtricas aprendidas en el entorno del hogar y jardn de nios. Nuestro mundo material est compuesto por formas geomtricas muy variadas y de muy distintas caractersticas, como el cuadrado, el tringulo, el crculo, etctera.

Los pueblos ms antiguos que habitaron la Tierra tuvieron conocimientos muy profundos acerca de las formas geomtricas, de sus caractersticas y propiedades. Estos conocimientos los utilizaron para hacer grandes construcciones, muchas de las cuales hoy conocemos en todo el mundo y de muy distintas pocas, incluyendo a las grandes culturas mesoamericanas, como las de los mayas y de los teotihuaca-nos, que aplicaron la geometra para el estudio del universo.

La geometra es una rama de las matemticas que estudia las figuras geomtri-cas, sus propiedades y caractersticas para poder aplicarlas a la solucin de proble-mas que se presentan en la vida real. Del mismo modo, la trigonometra se encarga del estudio del tringulo y sus propiedades, y se complementa con la geometra.

En el marco de la Reforma Integral del Bachillerato y a partir de los programas actuales 2009, se elabora este libro de texto de geometra y trigonometra con el fin de integrarse como un auxiliar didctico que permita lograr las competencias genricas y disciplinares establecidas en dicha reforma.

Los contenidos se desarrollan en dos unidades: en la primera, Geometra, se estudian los conceptos generales, caractersticas y propiedades de las figuras geomtricas; ngulos, tringulos, polgonos y circunferencia. En la segunda uni-dad, Trigonometra, se estudian las relaciones trascendentes; funciones, identida-des y ecuaciones trigonomtricas, exponenciales y logartmicas.

Con frecuencia algunos jvenes tienen la idea errnea de que el mundo siem-pre ha sido como es ahora, sin ponerse a pensar que muchos hombres hicieron grandes aportaciones para tener los avances de los que hoy podemos disfrutar, pues ni el rey ms rico y poderoso de la antigedad tuvo acceso a luz elctrica, automviles, televisin, celulares y miles de inventos ms que nos hacen la vida ms cmoda y placentera, gracias al desarrollo de la matemtica. Por tal motivo, se introduce en algunos temas datos biogrficos de personajes importantes en la historia de las matemticas, quienes hicieron aportaciones valiosas para el desa-rrollo de esta disciplina. La metodologa empleada en el presente libro te permi-tir aprender y comprender los conceptos fundamentales de la materia a travs de actividades planteadas en forma precisa y clara, en un lenguaje sencillo, sin descuidar la terminologa propia de esta rea de las matemticas aplicadas. Pos-

Introduccin

14

B LO QU E T EM T I CO

teriormente se plantean, como ejemplos, problemas de aplicacin en los cuales se te lleva de la mano paso a paso, explicando detalladamente el proceso de solucin. Para reafirmar los conocimientos y reforzar el aprendizaje, cada tema trae al final un conjunto de ejercicios para resolverlos en forma individual o en equipos. Final-mente, se incorpora una autoevaluacin con el propsito de medir el logro de lo aprendido en cada tema tratado.

Espero que este trabajo te resulte til y motivante. Al mismo tiempo, invito a los compaeros del subsistema dgeti a que lo enriquezcan con sus aportaciones, que al final de cuentas ser su experiencia y creatividad lo que lo haga realidad en las aulas, en beneficio de los educandos.

Carlos Oropeza Bonilla

BLOQUETE

MT

ICO

Geometra

1

16

El estudio de la geometra permite observar, analizar y reflexionar sobre las pro-piedades del plano y del espacio. Por lo tanto, esta observacin y descripcin de los objetos, situaciones y modelos en cuanto a sus formas, dimensiones y propiedades, te ayuda a formar un pensamiento reflexivo cuando identificas propiedades y rela-ciones, construyes y proporcionas argumentos para validarlas, y finalmente esta-bleces relaciones lgicas entre ellas mediante construcciones geomtricas.

As, la importancia del curso se fundamenta en que el dominio de la geome-tra te permite estudiar temas dnde sta se combina con el lgebra para formar estructuras ms complejas con cuyo uso puedas resolver problemas concretos de la vida cotidiana.

.. Los conceptos bsicos de la geometra euclidiana.

.. A identificar diferentes tipos de ngulos, tringulos y polgonos, as como sus propiedades.

.. A resolver problemas que involucren ngulos, tringulos y polgonos.

.. A identificar los elementos y las propiedades de la circunferencia y el crculo, y a aplicarlas en la resolucin de problemas prcticos.

.. Comprendiendo los conceptos bsicos de la geometra.

.. Analizando los ejemplos resueltos.

.. Resolviendo los ejercicios y problemas planteados.

.. Realizando las actividades de aprendizaje propuestas en el texto.

.. Para desarrollar la imaginacin espacial y la capacidad para explorar, represen-tar y describir mi entorno fsico en forma clara y precisa.

.. Para comprender y aplicar mejor mis ideas relacionadas con el nmero, la medi-cin, el espacio y otras partes de las matemticas.

.. Como antecedente de las asignaturas de Geometra Analtica, Clculo, Fsica, etctera.

.. Para lograr algunas de las competencias genricas y disciplinares.

.. Algunos conceptos importantes de matemticas estudiados en la educacin bsica (primaria y secundaria).

Propsito

Qu aprender?

Cmo lo aprender?

Para qu lo aprender?

Lo que debo saber

17

Evaluacin diagnstica

Contesta las siguientes preguntas para repasar brevemente los conocimientos que debes saber, recordarlos y aplicarlos en la construccin del nuevo conocimiento:

1 Escribe en la lnea los conceptos de los siguientes trminos matemticos.a Punto .b Lnea .c Superficie .d Cuerpo geomtrico .e Razn matemtica .f Proporcin .g Permetro .h rea .

Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales o formales.

Argumenta la solucin de un problema obtenida con mtodos numricos, grficos, analticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal o matemtico.

Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

1 Geometra

Operaciones aritmticas bsicas

Conceptos bsicos de punto, lnea, superficie y cuerpo geomtrico

Manejo de escuadras, comps y transportador

Razones y proporciones Manejo de frmulas Permetro y rea

Matemticasbsicas

18

El patio de tu casa, una cancha de futbol, los muebles de una casa o de tu escuela, una tuerca o tornillo son algunos de los innumerables ejemplos en donde se pue-den apreciar figuras geomtricas. En la naturaleza existen cuerpos materiales que nos proporcionan la idea de una forma geomtrica determinada como puede ser volumen, superficie, lnea y punto. Por lo tanto, en la geometra, como disciplina, se distinguen componentes bsicos tales como el plano, el punto, la lnea (recta, curva o quebrada), la superficie, el segmento y otros de cuya combinacin nacen todas las figuras geomtricas.

En sus orgenes, por necesidades prcticas, el hombre utiliz la geometra no como disciplina sino ms bien como el desarrollo, a partir de las propiedades de las figuras geomtricas, de tcnicas usadas para medir, construir o desplazarse. Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen prctico, la geo-metra (medicin de la Tierra), de ser un conjunto de tcnicas, pas a constituir una disciplina matemtica formal, cuyo objeto de estudio son las figuras geomtri-cas y sus propiedades.

Se puede establecer entonces que una figura geomtrica (llamada tambin lugar geomtrico) corresponde a un espacio cerrado por lneas o por superficies. Figuras geomtricas son las lneas, que son unidimensionales (tienen slo una dimensin: longitud); as como los polgonos, de lados rectos, y las figuras de lados curvos (crculo y circunferencia), que son bidimensionales (tienen dos dimensiones: lon-gitud y altura). Es importante recordar que las formas slidas corresponden a los cuerpos geomtricos, que son tridimensionales (tienen tres dimensiones: longitud, altura y profundidad) y se les denomina poliedros, como el cubo y la pirmide, y cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.

Resumiendo, se puede establecer que las figuras geomtricas ms elementales son el punto, la recta y el plano. A travs de transformaciones y desplazamientos de sus componentes generan diversas lneas, superficies y volmenes, que son el objeto de estudio de la geometra.

En el esquema de la figura 1.1 se presenta la clasificacin de las figuras geom-tricas, as podrs entender mejor cada una de ellas y cmo se relacionan entre s.

1 .1 .1 Generalidades

El estudio de la geometra permite observar, analizar y reflexionar sobre las pro-piedades del plano y del espacio. Esta observacin y descripcin de los objetos, situaciones y modelos en cuanto a sus formas, dimensiones y propiedades, es lo que te llevar a formar un pensamiento reflexivo cuando identifiques propiedades

1 .1 Figuras geomtricas

19

1 . 1 Figuras geomtricas

y relaciones, construyas y proporciones argumentos para validarlas, y finalmente establezcas relaciones lgicas entre ellas mediante construcciones geomtricas.

As, la importancia del curso se fundamenta en que el dominio de la geome-tra te permitir estudiar temas donde sta se combina con el lgebra para formar estructuras ms complejas cuyo uso conlleve a resolver problemas concretos que aparecen en la vida cotidiana.

1.1.1.1 Antecedenteshistricos

Las personas desarrollamos de manera natural una gran cantidad de conoci-mientos geomtricos, que se adquieren desde la infancia y se originan en nuestra capacidad de observar e identificar las caractersticas externas de los objetos y comparar formas y tamaos.

A muy corta edad se aprende la nocin de distancia y la conveniencia de que ciertas superficies estn limitadas por lneas, lo cual conduce a reconocer las pri-meras figuras geomtricas, como los tringulos, cuadrados, algunos polgonos y la circunferencia.

Observando el contexto, ste conduce a nociones como el de lneas vertica-les, horizontales, paralelas o perpendiculares, y a diferenciar entre lneas rectas y curvas. De las formas fsicas que percibimos, se extrajeron, desde las pocas ms remotas, las figuras ms ordenadas y sofisticadas de la geometra conocidas actualmente. Estas formas geomtricas las utiliz el hombre de los pueblos anti-

FigurasGeomtricas

Adimensional Unidimensional(lineal)

Bidimensional(superficial)

Tridimensional(volumtrico)

Punto Recta Curva Plano

Superficies

- Tringulos- Cuadrilteros- Polgonos

- Circunferencia- Elipse- Parbola- Hiprbola

Cuerpos geomtricos

- Poliedros- Cilindro- Cono- Esfera

Figura 1.1Clasificacin de las figuras geomtricas

20

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

guos para sus construcciones y para adornarlas con grecas. Esto significa que los seres humanos no slo hemos utilizado la geometra con fines constructivos, sino tambin como una expresin fundamental del arte. No cabe duda de que junto a las necesidades de orden prctico, el arte primitivo contribuy notablemente al desarrollo de la geometra.

Lo ms probable es que los primitivos no se hayan preocupado por sistematizar los conocimientos geomtricos que adquirieron por medio de la experiencia coti-diana, limitndose a resolver problemas entre s, sin considerar las relaciones entre ellos. La geometra se desarroll en forma importante cuando se dieron cuenta de que haba grupos de problemas que podan resolverse aplicando procedimientos semejantes y aprendieron a establecer reglas generales para una gran cantidad de casos similares.

La geometra es considerada la ciencia matemtica ms antigua. En este sen-tido, los estudiosos de la prehistoria opinan que el ser humano lleg a concebir figuras geomtricas y realiz clculos y medidas antes de utilizar propiamente la escritura. A continuacin, se describen brevemente los conocimientos geomtri-cos ms importantes que lograron algunos pueblos de la antigedad.

Sumerios y babilonios. Se supone a los sumerios como los inventores de la rueda aproximadamente 3 500 aos a. C., as como el uso de todas las figuras geomtri-cas y la aritmtica. Los babilonios en Mesopotamia utilizaron la rueda para sus carros de guerra. Descubrieron las propiedades de la circunferencia, le dieron a el valor de 3; le asignaron al ao 360 das, motivo por el cual dividieron la circunfe-rencia en 360 partes iguales, que son los grados sexagesimales, y conocieron tam-bin algunas propiedades del hexgono regular.

Egipto. Las constantes crecidas del ro Nilo inundaban ao con ao las tierras de cultivo de los egipcios, por lo cual tenan que rehacer las divisiones de tierra para calcular los impuestos que el dueo de la superficie cultivada deba pagar a las autoridades hace 3 000 aos. De esta actividad surgi la palabra geometra, la cual se deriva de las palabras griegas geo, tierra, y metrn, medir.

Tambin aplicaron sus conocimientos de geometra en la construccin de grandes pirmides. Calculaban el rea del tringulo issceles, trapecio issceles y crculo, y daban a el valor de 3.1604. Utilizaban regla, comps y escuadra para el diseo de sus construcciones. La geometra de los egipcios fue netamente empri-ca y fueron quienes desarrollaron la forma primitiva de la geometra basados en mediciones y observaciones (mtodo inductivo); las pirmides son una muestra de los conocimientos que ellos tenan de esta ciencia.

Los griegos. Durante siglos, el conocimiento de la geometra creci a tal grado que se fue descubriendo que muchas afirmaciones se podan inferir de otras en forma deductiva, y fueron precisamente los sabios griegos quienes ms la desarro-llaron , y llegaron a la conclusin de que la mayora de las afirmaciones geomtri-cas se deducan de unas pocas proposiciones bsicas (mtodo deductivo).

En Grecia surge la geometra como ciencia deductiva entre los siglos vii a iii a.C., cuando adquiri un aspecto ms terico, de la mano de los grandes matem-ticos, como Tales de Mileto, Pitgoras, Arqumedes, Euclides, Apolonio, etctera.

21

1 . 1 Figuras geomtricas

Euclides fue uno de los ms distinguidos maestros griegos de la universidad de Alejandra y quien por encargo de Ptolomeo, rey de Egipto, reuni y orden todos los conocimientos geomtricos de su poca en el siglo iii a.C., en su obra llama-da Elementos que constituye el primer y ms grande tratado compuesto mediante las reglas de un sistema lgico. A Euclides se le considera el padre de la geometra (euclidiana).

Los Elementos consta de trece libros con 465 proposiciones que comprenden la geometra plana, la geometra del espacio, la teora de nmeros y el lgebra geomtrica griega. Los cinco primeros libros tratan de figuras planas, los cuatro siguientes son llamados aritmticos o teora de nmeros y los tres restantes son dedicados a la geometra del espacio. Tambin dej Euclides un libro titulado Datos y escribi adems sobre las secciones cnicas.

Actividades

Realiza las actividades que se plantean a continuacin. Si encuentras alguna difi-cultad repasa el tema en tu libro de texto.

1 Construye una lnea del tiempo en la cual se especifiquen los periodos y los conocimientos geomtricos ms importantes.

2 Investiga e ilustra en tu cuaderno las biografas de Tales de Mileto, Pitgo-ras, Arqumedes y Euclides.

3 Contesta el siguiente cuestionario.a Qu significa la palabra geometra?b A qu pueblo de la antigedad se acredita el invento de la rueda?c Qu cultura de la antigedad dividi la circunferencia en 360 partes

iguales?d Qu valor le dieron los egipcios a ?e Qu cultura orden los conocimientos empricos de la geometra

para considerarla una ciencia?f Escribe el nombre de tres de los grandes matemticos griegos.g A quin se le considera el padre de la geometra?h Cules son las reas de la geometra que comprende la obra de Eucli-

des llamada Elementos?

1.1.1.2 Conceptosbsicosdelageometra

Antes de comenzar con el estudio de los conceptos bsicos de la geometra es importante establecer una definicin general de geometra:

22

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

La geometra es una rama de las matemticas que estudia las propiedades y caractersticas de las figuras geomtricas y la relacin entre ellas.

La geometra se divide en geometra plana y geometra del espacio. La primera, llamada tambin planimetra, estudia las figuras bidimensionales, o sea, que slo tienen dos dimensiones y se encuentran en un mismo plano. La segunda, o este-reometra, estudia las figuras geomtricas en tres dimensiones, como son el cubo, pirmides, prismas, cilindro y, en general, todos los cuerpos geomtricos. En este curso trataremos la geometra plana o planimetra.

A continuacin, analizars las caractersticas y propiedades de las figuras geomtricas bsicas y elementales.

Punto

Es el elemento geomtrico bsico. No se puede medir, por lo tanto, no tiene dimen-siones, es adimensional, slo tiene posicin. En la figura 1.2 no se puede medir el punto, pero se le puede dar posicin diciendo que se ubica en la esquina superior derecha.

A los puntos se les puede dar una posicin matemticamente precisa mediante un sistema de coordenadas, como el cartesiano.

Lnea

Se define como una sucesin infinita de puntos. Se puede medir lo largo de una lnea, por lo tanto, la lnea es unidimensional, ya que slo tiene una dimensin: su longitud. Existen tres tipos de lneas: recta, curva y quebrada o poligonal.

Superficie

Se considera el lmite o trmino de un cuerpo, que separa y distingue a ste de lo que no forma parte de l. Es una magnitud que expresa la extensin de una figura en dos dimensiones, largo y ancho. La medida de la superficie recibe el nombre de rea, la cual se expresa en unidades cuadradas, que en el Sistema Internacional corresponde al metro cuadrado (m2).

Figura 1.2El punto no tiene

dimensiones, solo posicin

Figura 1.3Lneas recta, curva y

poligonal

23

1 . 1 Figuras geomtricas

Cuerpo geomtrico o slido geomtrico

Toda forma tridimensional, es decir, que tiene tres dimensiones: longitud, altura y profundidad. Geomtricamente, no se considera la materia de un cuerpo, sino slo su forma y dimensiones, por ejemplo, el cubo, cono, esfera, etc. (figura 1.5). La medida de un cuerpo geomtrico se llama volumen y la unidad bsica es el metro cbico (m3).

Desde el punto de vista de la fsica, cuerpo es todo lo que ocupa un lugar en el espacio, tiene extensin limitada y es perceptible por los sentidos.

Lnea recta

La lnea recta se define como aquella que tiene todos sus puntos en una misma direccin; algunos ejemplos pueden ser: un rayo de luz, el borde de una regla, un cordn bien tensado, etctera.

La lnea recta se representa, generalmente, mediante dos letras maysculas con el smbolo en la parte superior, por ejemplo, la recta de la figura 1.6a se representa como AB. Tambin se puede representar con una letra minscula y un subndice (figura 1.6b).

A B

a) b)l1

Propiedades de la recta. Los siguientes enunciados son proposiciones verdade-ras, llamadas axiomas, que establecen algunas propiedades de la recta.

.. La distancia ms corta entre dos puntos es la recta.

.. Por dos puntos solamente pasa una recta.

Figura 1.4Superficies bidimensionales

Figura 1.5Cuerpos geomtricos, tienen tres dimensiones

Figura 1.6 Representacin de una recta

24

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

.. Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas.

.. Dos rectas no pueden tener ms que un solo punto comn.

Segmentos rectilneos. A la parte de recta comprendida entre dos puntos A y B se le denomina segmento rectilneo, y se representa como AB.

A B

Te es posible dar ejemplos reales de tu entorno que te sugieran la idea de segmento rectilneo?

Observa que si en una recta indefinida se fija un punto, ste divide la recta en dos partes opuestas llamadas semirrectas o rayos. En la figura 1.8 el punto O es el origen de las semirrectas, y los sentidos respectivos de cada semirrecta van de O hacia D y de O hacia C. Las semirrectas se representan como y .

OC D

Congruencia de segmentos. Se dice que dos o ms figuras son congruentes cuan-do pueden hacerse coincidir en todas sus partes, esto es cuando las figuras tienen la misma forma y el mismo tamao, por ejemplo dos crculos son congruentes si tienen el mismo radio. Para representar la expresin es congruente con se utiliza el smbolo @.

Se dice que dos segmentos rectilneos son congruentes cuando su longitud es la misma. La congruencia puede darse con dos o ms segmentos, si stos son iguales.

C D

A B

Los segmentos iguales o congruentes tienen las siguientes propiedades mencio-nadas en los postulados:

.. Propiedad de identidad. Todo segmento es igual a s mismo: .

.. Propiedad recproca o simtrica. Si un segmento es igual a otro, el segundo es igual al primero: Si , entonces .

Figura 1.7Segmento rectilneo

Figura 1.8Semirrectas

Si , entonces

@ Figura 1.9

Congruencia de segmentos

25

1 . 1 Figuras geomtricas

.. Propiedad transitiva. Si un primer segmento es igual a un segundo, y el segundo es igual al tercero, entonces el primero es igual al tercero: Si

y , entonces .

Para trazar segmentos iguales o congruentes se utiliza un regla graduada o un comps con el que se mide la longitud de un segmento y se traza el segundo con la misma abertura.

Medida de los segmentos rectilneos. Para medir un segmento es necesario tomar una unidad como patrn y compararla con la longitud del segmento. Recuerda que medir es comparar. Por ejemplo, si queremos medir el segmento y si tenemos como patrn o unidad de medida arbitraria a u, podrs comparar los dos segmen-tos utilizando un comps y comprobars que la unidad de medida u cabe exacta-mente cinco veces en el segmento . En este caso se dice que el segmento mide 5 unidades u de longitud.

u

A B

Existen dos principales sistemas internacionales de medidas:

.. El sistema mtrico decimal (smd), cuyas unidades de medida ms usuales se muestran en la tabla 1.1.

Tabla 1.1 Unidades del sistema mtrico decimal

Unidad Smbolo Equivalencia en m Potencia

Mltiplos

Megmetro Mm 1 000 000 m 106 m

Kilmetro km 1 000 m 103 m

Hectmetro hm 100 m 102 m

Decmetro dam 10 m 101 m

Unidad base de longitud del smd

Metro m 1 m 10 m

Submltiplos

Decmetro dm 0.1 m 10-1 m

Centmetro cm 0.01 m 10-2 m

Milmetro mm 0.001 m 10-3 m

.. El sistema anglosajn, cuyas principales unidades de medida son: milla, yarda, pie y pulgada. La relacin entre ambos sistemas es la siguiente:

Figura 1.10Medir es comparar una longitud cualquiera con una dimensin que se toma como unidad de medida (u)

26

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

1 milla = 1 609.34 m 1 yarda = 0.9144 m 1 pie = 30.48 cm 1 pulgada = 2.54 cm

Los elementos ms comunes para medir longitudes son la regla graduada, el comps, la cinta mtrica; para medir longitudes pequeas y con gran precisin se usan unos instrumentos llamados pie de rey o vernier y el micrmetro o tornillo micromtrico.

Lnea curva

Se define como un conjunto de puntos sucesivos que cambian constantemente de direccin.

Una lnea curva cerrada forma un crculo, una elipse o una figura irregular:

Lnea quebrada o poligonal

Esta lnea est compuesta de varios segmentos rectos que siguen diferentes direc-ciones (figura 1.14). La figura formada por una lnea poligonal cerrada se llama polgono (figura 1.15).

Figura 1.11Vernier o pie de rey y

micrmetro, permiten medir interiores y exteriores circulares, respectivamente

Figura 1.12Lneas curvas

Figura 1.13Lneas curvas cerradas

Figura 1.15Lnea poligonal cerrada (polgono)

Figura 1.14Lnea poligonal abierta

27

1 . 1 Figuras geomtricas

Ejemplos

Analiza cuidadosamente los siguientes ejemplos sobre medida de los segmentos rectilneos, con el fin de que logres la competencia en este aspecto y puedas resol-ver problemas con los cuales te enfrentars en tu vida diaria.

1 Alfonso se va a ir de pesca las prximas vacaciones y compr un carrete de hilo de pescar en cuya etiqueta se especificaba una longitud de 50 yardas. Cuntos metros de hilo contiene el carrete?

Puesto que cada yarda equivale a 0.9144 metros, multiplica 50 yardas por su equivalencia:

50 0.9144 = 45.72 m

2 El ingeniero Carlos Alberto debe colocar varilla de acero de 5/8 de pulgada de dimetro para efectuar el colado de una casa habitacin. A cunto equivale esa medida en centmetros?

5/8 2.54 cm = 12.7/8 = 1.59 cm de dimetro

3 Los caballos cuarto de milla son considerados los mejores caballos de carreras por muchas personas. stos fueron criados por los primeros colonos ingleses que se asentaron en Virginia, Carolina del Norte y del Sur, muy aficionados a las carreras de cuarto de milla que tradicionalmente se llevaban a cabo a lo largo de la calle principal de los pueblos, y de ah proviene su nombre. A cun-to equivale en metros un cuarto de milla?

1/4 1609.34 m = 1609.34/4 = 402.34 m

Actividades

Estos ejercicios te permitirn poner en prctica los conocimientos adquiridos en el estudio de este apartado y desarrollar habilidades para el manejo del espacio geomtrico.

1 Con el empleo de una regla graduada mide los dos segmentos que aparecen en la figura 1.6. Indica claramente la unidad de medida utilizada en el smd y en el sistema ingls.

2 Con qu instrumento mediras el dimetro de una canica?

3 Cul instrumento se utiliza para medir laminillas de oro de 0.003 mm de grosor?

28

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

4 Qu instrumento usaras para medir el grosor de un paquete que contie-ne un millar de hojas blancas tamao carta y cmo deduciras el grosor de cada una de ellas?

5 Cul es la unidad que se emplea para medir la distancia de la ciudad de Mxico a Nueva York?

6 La pantalla de una televisin se mide en pulgadas ('') en forma diagonal. Determina la medida de la pantalla de la televisin de tu casa en pulgadas y centmetros.

7 Para medir longitudes o distancias en astronoma se utiliza como unidad el ao luz, equivalente a la distancia recorrida por la luz en un ao. Si la luz viaja a 300 000 km/s, determina la distancia en km a la estrella ms prxima a nosotros, llamada Alfa Centauro, si sta se encuentra a 4.3 aos luz de la Tierra.

Rectas paralelas

Con toda seguridad has observado en alguna estacin del ferrocarril que las vas del tren en ningn punto se cruzan o intersecan. Los durmientes o travesaos sobre los cuales estn sujetas las vas son perpendiculares a stas, y existe tambin el cambio de vas donde stas forman rectas oblicuas. En seguida, se establecern las propiedades de estos tipos de rectas.

Dos rectas son paralelas cuando, por ms que se prolonguen, no llegan a tener ningn punto en comn, o sea, cuando todos los puntos de una recta estn a la misma distancia de todos los puntos de la otra.

C D

A B

Para representar dos lneas rectas paralelas se usa el smbolo .

. En la figura 1.16

se tiene que .Propiedades de las paralelas. Los principales postulados sobre las propiedades

de las paralelas, determinados por Euclides, son los siguientes:

.. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela a ella y slo una (llamado quinto postulado de Euclides).

C D

A B

Figura 1.16Rectas paralelas

Figura 1.17Quinto postulado

29

1 . 1 Figuras geomtricas

El libro de Euclides los Elementos, que an es vigente en nuestros das, sirvi como texto nico de geometra hasta finales del siglo xix, cuando apareci la geometra no euclidiana, la cual se basa en la negacin de este quinto postula-do de Euclides, aunque conserva los dems.

.. Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre s.

C D

E F

A B

.. Si dos rectas son paralelas, toda recta que corta una de ellas, corta tambin a la otra.

C D

E

F

A B

.. Si dos rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicu-lar a la otra.

C DE

F

A B

En muchas ocasiones, nuestros sentidos nos engaan sobre una situacin que en realidad es muy diferente. Un ejemplo lo tenemos en la siguiente figura:

Figura 1.18Transitividad de las paralelas

Figura 1.19Transversal a dos paralelas

Figura 1.20Perpendicular a dos paralelas

Figura 1.21Son rectas y paralelas?

Si y ,

entonces .

Si y corta a ,

entonces tambin corta a .

Si y , entonces .

30

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

En la figura 1.21 nos hacemos dos preguntas, son rectas las dos lneas vertica-les?, y son paralelas? Utilizando una regla graduada contesta esas dos preguntas.

Con este ejemplo podemos establecer hasta qu punto los sentidos pueden llegar a engaarnos. Por esta razn se establece que en geometra, y en las mate-mticas en general, la intuicin no es vlida como mtodo de demostracin. Este detalle es el que llev a los matemticos modernos a crear la geometra no eucli-diana y a colocar en tela de juicio el quinto postulado de Euclides.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman ngulos iguales. El sm-bolo de perpendicularidad es: .

C

D

A B

Si = = = = 90,entonces AB CD.

Propiedades de las perpendiculares. Las principales propiedades de las perpen-diculares se presentan a continuacin:

.. Dado un punto P perteneciente a una recta o exterior a ella, por l pasa una y slo una perpendicular a dicha recta.

P

Perpendicular

A B

.. Si una recta es perpendicular a otra, sta es perpendicular a la primera.

C

D

A B

Figura 1.22Rectas perpendiculares

Figura 1.23Perpendicular por el punto P

Si AB CD,entonces CD AB.Figura 1.24

Propiedad simtrica de las perpendiculares

31

1 . 1 Figuras geomtricas

Rectas oblicuas

Dos rectas son oblicuas cuando al cortarse no forman ngulos iguales.

C

D

A

B

Trazo de lneas paralelas y perpendiculares

Utilizando regla, comps y escuadra aprende los siguientes mtodos para trazar estas lneas:

.. Trazo de una paralela a una recta r y que pase por un punto p.

El primer mtodo es el ms fcil y usual y consiste en desplazar una escua-dra sobre otra hasta hacerla coincidir con el punto dado como se muestra en la figura 1.26.

Es importante que sepas que el juego de geometra tiene dos escuadras, la de 45 y la de 30-60. Reciben estos nombres porque es la medida en grados de los dos ngulos agudos de cada una de ellas.

..

P

r

Un segundo mtodo es utilizando el comps y la regla, como se ilustra a continuacin:

El punto O es arbitrario y a partir de ah se le da la abertura al comps hasta hacerlo coincidir con el punto dado P. Los radios de los arcos con centros en AA son iguales y se trazan con el comps sin alterar su abertura, obtenin-dose el punto P. La recta PP es paralela a la recta r pasando por el punto P.

P

A O A

P

Figura 1.25Rectas oblicuas

Si ,adems y ,entonces son oblicuas.

Figura 1.26Trazo de paralelas con escuadras

Figura 1.27Trazo de paralelas con comps y regla

32

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

.. Trazo de una perpendicular a una recta r que pase por un punto P.

La forma ms fcil es con el uso de las dos escuadras, como lo indica la figu-ra 1.28.

..

P Perpendicularen el punto P

r

Con el segundo mtodo se utiliza el comps para obtener el pun-to P trazando arcos de igual radio con centro en A y B. La recta PP es la perpendicular a la recta r en el punto P.

..

P

A B

P

r

En caso de que el punto P se encuentre sobre la recta r, se traza una circun-ferencia con centro arbitrario O y radio . El dimetro trazado por A nos da el punto P, obtenindose la perpendicular .

O

P

A Pr

Figura 1.28Perpendicular trazada con

escuadras

Figura 1.29Perpendicular trazada con el

comps

Figura 1.30Perpendicular trazada en un

punto sobre la recta

33

1 . 1 Figuras geomtricas

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento determinado es la recta perpendicular trazada a dicho segmento por su punto medio.

Para trazar una mediatriz a un segmento se utiliza el comps y la regla. En ella se trazan arcos con centro en A y B de igual radio y apoyando el comps en los extremos del segmento, los cuales determinan M y N. La recta MN es la mediatriz del segmento . El punto O es el centro del segmento.

O

M

N

A B

AO = OB

MN AB

Propiedades de la mediatriz. Los siguientes dos teoremas establecen las propie-dades de la mediatriz:

.. Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento.

D

P

C

A B

P es un punto cualquierade la mediatriz CD.

D es el punto mediodel segmento AB.

AD = DB por lo tanto Pequidista de los extremos A y B.

En consecuencia AP = BP.

.. Todo punto equidistante de los extremos de un segmento es un punto de la mediatriz de este segmento.

Actividades

Al resolver los siguientes ejercicios desarrollars habilidades en el manejo de las escuadras para identificar y trazar lneas rectas y perpendiculares. Recuerda que la prctica desarrolla las destrezas.

Figura 1.31Mediatriz de un segmento

Figura 1.32P es equidistante de A y B

P es un punto cualquiera de la mediatriz CD.

D es el punto medio del segmen-to AB.

AD = DB, por lo tanto P equidista de los extremos A y B.

En consecuencia AP = BP.

34

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

1 Observa en tu aula, qu elementos te dan la idea de rectas paralelas, per-pendiculares y oblicuas?

2 Dibuja con regla y comps una perpendicular al segmento AB que pase por el punto P.

P

A B

3 Dibuja con regla y comps una paralela a AB que pase por el punto P.

A B

P

4 Explica y elabora los trazos necesarios.a Si una recta es perpendicular a otra y sta lo es a una tercera, cmo son

la primera y la tercera?b Si una recta es paralela a otra y sta lo es a una tercera, cmo son entre

s la primera y la tercera?c Si una recta es perpendicular a otra y sta es paralela a una tercera,

cmo son la primera y la tercera?d Si una recta es paralela a otra y sta es perpendicular a una tercera,

cmo son la primera y la tercera entre s?

5 Dibuja un segmento de 10 cm y traza su mediatriz.

6 Elige un punto cualquiera de la mediatriz y mide la distancia respectiva a los extremos del segmento.

7 Escoge otros puntos de la mediatriz y procede a medir las distancias a los extremos del segmento.

8 De lo anterior, establece un criterio o principio general sobre el segmento y la mediatriz.

Plano geomtrico

Para comprender lo que es un plano geomtrico, podemos imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones. La superficie de una mesa, el pizarrn, una hoja de papel extendida, nos sugieren la idea de plano. En el espacio y a nues-tro alrededor existe una infinidad de planos.

35

1 . 1 Figuras geomtricas

Determinacin de un plano. Un solo punto del espacio no determina un plano, si apoyamos, por ejemplo, una hoja de cartn sobre la punta de un dedo, el cartn puede tomar una gran cantidad de posiciones, o sea, es inestable. Si lo intentamos con dos dedos sucede lo mismo, por lo tanto, dos puntos tampoco determinan un plano. Sin embargo, si apoyamos el cartn con tres dedos no alineados, ste queda estabilizado, lo cual demuestra que:

.. En el espacio, tres puntos no alineados determinan un plano.

a) 1 punto fijo b) 2 puntos fijos c) 3 puntos no alineados

Como consecuencia del enunciado anterior, otras formas de determinar un pla-no en el espacio son las siguientes:

1. Mediante una recta y un punto exterior a ella.

2. Mediante dos rectas que se corten.

3. Mediante dos rectas paralelas.

Esto se cumple por el hecho de que por dos puntos distintos pasa una sola recta.El plano se indica generalmente con una letra griega.

Posiciones relativas de rectas y planos

Es importante establecer los conceptos siguientes para entender algunos casos de la posicin de rectas y planos.

Puntos colineales son los que estn contenidos sobre una misma lnea recta.Puntos coplanares son los que estn contenidos sobre un mismo plano.

A continuacin se presentan las diferentes posiciones que pueden darse entre rectas y planos del espacio y sus caractersticas:

.. Entre recta y plano.

Posicin relativa:r y p se cortan.La recta y el plano tienen punto comn.

Posicin relativa:r y p son paralelas. La recta y el plano no tienen punto comn.

Posicin relativa:r est contenida en p.La recta y el plano tienen en comn todos los puntos de la recta.

r r

pp

pr

Figura 1.33Tres puntos no alineados determinan un plano

Figura 1.34Posiciones entre recta y plano

36

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

.. Entre dos rectas y un plano.

Dos rectas coplanares son concurrentes cuando tienen dos puntos comunes

Dos rectas coplanares son paralelas cuando estn en un mismo plano y no tienen ningn punto en comn.

Dos rectas coplanares son secantes cuando tienen un punto comn en el cual se intersecan.

mm mn np pp

AB

.. Entre dos planos.

Planos que se cortan son secantes cuando tienen una recta comn.

Planos paralelos no tienen ningn punto en comn.

Un haz de planos es la infinidad de planos que pasan por una recta como se representa en la figura 1.37.

Actividades

A travs del desarrollo de estos ejercicios logrars identificar las distintas posicio-nes entre rectas y planos estudiados y relacionarlos con el entorno.

1 Presta atencin detenidamente en el cuarto donde duermes o tu saln de clases, y por medio de dibujos indica en ellos rectas y planos que sugieran cada una de las distintas posiciones que acabas de estudiar y aprender.

2 Contesta las siguientes preguntas, poniendo en prctica tu imaginacin y auxilindote de dibujos y elementos de tu entorno que te sugieran la idea de rectas y planos, como pueden ser un lpiz, hojas de papel o cartn, la super-ficie de una mesa, etctera.

Figura 1.35Posiciones entre dos rectas y

un plano

Figura 1.36Posiciones entre dos planos

Figura 1.37Haz de planos

37

1 . 1 Figuras geomtricas

a Cuntos planos pasan por un punto?b Cuntas rectas pasan por un punto del espacio?c Cuntos planos pasan por una recta?d Si dos rectas son paralelas a un plano, son necesariamente paralelas

entre s?e Consideras que existe siempre un plano que pase por dos rectas?f Siempre estarn en un mismo plano tres rectas paralelas?g Por qu una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres?h Por qu las cmaras fotogrficas y de video se montan sobre tripis?

1.1.1.3 Mtododeductivo

Diariamente llegamos a conclusiones con base en la informacin que conocemos o tenemos disponible. Por ejemplo, si vemos nubes oscuras acercndose pensamos que va a llover; si sembramos unas semillas de maz, sabemos que stas germina-rn y en poco tiempo tendremos unas plantas de maz. El proceso de analizar la informacin y llegar a conclusiones se conoce como razonar.

En este apartado estudiaremos dos tipos de razonamiento, inductivo y deduc-tivo. Ambos nos ayudan a llegar a conclusiones vlidas sobre observaciones rea-lizadas. El primero se caracteriza porque se llega a una conclusin basada en un nmero limitado de ejemplos. El segundo es el proceso mediante el cual se acepta como vlida una conclusin, y con base en una premisa o suposicin parcial sobre esa conclusin, se llega a otra suposicin parcial.

Razonamiento deductivo

Para un conjunto dado de premisas, si la conclusin de un argumento est garan-tizada en todos los casos, el argumento es vlido; pero no lo es si al menos en un caso la conclusin no est garantizada. En el siguiente ejemplo se ha aplicado el razonamiento deductivo:

Todos los mircoles Alfonso va a clase de natacin. Hoy es mircoles. Por lo tan-to, hoy Alfonso va a clase de natacin.

En este ejemplo se enuncia una generalizacin o premisa mayor al principio. Luego, se hace una observacin incluida en la primera parte de la generalizacin, o premisa menor, que lleva a la conclusin. Una forma de examinar este tipo de pro-blema es organizando las aseveraciones de la forma siguiente:

1. Todos los mircoles Alfonso va a clase de natacin. Premisa mayor

2. Hoy es mircoles. Premisa menor

3. Hoy Alfonso va a clase de natacin. Conclusin

38

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

El razonamiento deductivo es un proceso en el cual se llega a una conclusin vlida a partir de premisas que tambin se aceptan como vlidas.

Otro ejemplo del razonamiento deductivo es el siguiente:

En geometra se afirma que un cuadrado es un tipo de rectngulo. La figura ABCD es un cuadrado; por lo tanto, la figura ABCD es un rectngulo.

1. Un cuadrado es un tipo de rectngulo. Premisa mayor

2. La figura ABCD es un cuadrado. Premisa menor

3. La figura ABCD es un rectngulo. Conclusin

El mtodo deductivo en Grecia

Los conocimientos geomtricos de los egipcios y los mesopotmicos pasaron a los griegos al decaer estos pueblos. Los griegos no se contentaron con extender la cantidad de conocimientos matemticos conocidos, sino que transformaron el conjunto de resultados empricos recibidos de sus antecesores en una ciencia deductiva, es decir, en una disciplina donde las reglas y leyes geomtricas no se inducen de la observacin de una multitud de casos particulares, sino que se esta-blecen deductivamente mediante un razonamiento lgico.

El descubrimiento del razonamiento deductivo en la historia del pensamiento humano marca el nacimiento de la ciencia moderna.

La primera persona a la que se atribuye haber empleado el mtodo deductivo para demostrar un hecho geomtrico fue Tales de Mileto, alrededor del ao 600 a.C., conocido como uno de los siete sabios de la Antigedad. Demostr, entre otras cosas, que el dimetro divide a un crculo en la mitad y que el ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Tales trabaj en la introduccin de elementos muy sencillos, como el bastn y las sombras, para resolver problemas de medicin que se solucionan en forma similar, es decir, introduciendo elementos auxiliares para reducir el clculo de dis-tancias inaccesibles a la determinacin de los elementos de un tringulo.

Figura 1.38El ngulo inscrito en una

semicircunferencia es recto

39

1 . 1 Figuras geomtricas

Pitgoras, quien naci alrededor del ao 572 a.C. en Grecia, sigui trabajando en la sistematizacin de la geometra sobre bases deductivas que inici Tales 50 aos antes. Conoci las propiedades de las paralelas y las utiliz para demostrar que la suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo es igual a dos rectos. Se le atribuye el descubrimiento y la demostracin por mtodos deductivos del teorema que hoy lleva su nombre.

Tambin se acredita a Pitgoras y sus discpulos, llamados pitagricos, el haber introducido el estudio de los nmeros figurados, que relacionan la geometra con la aritmtica y permiten demostrar muchos teoremas importantes sobre los nmeros por medios puramente geomtricos.

Los pitagricos hicieron grandes progresos en la teora de nmeros. Los clasifi-caban en pares e impares segn formas o estructuras asociadas a ellos.

Ejemplos

1 El producto de dos factores desiguales se llamaba oblongo.

(8 = 4 2)

2 Cuando los dos factores eran iguales el nmero se llamaba cuadrado. El cua-drado n-simo de un nmero es la suma de los n primeros nmeros impares:

(1) (4 = 2 x 2 = 1 + 3) (9 = 3 3 = 1 + 3 + 5) (16 = 4 4 = 1 + 3 + 5 + 7)

3 Los nmeros triangulares eran el 1, 3, 6, 10 El n-simo nmero triangular es la suma de los n primeros nmeros.

(1) (3 = 1 + 2) (6 = 1 + 2 + 3) (10 = 1 + 2 + 3 + 4)

Figura 1.39Producto de factores desiguales

Figura 1.40Nmeros cuadrados

Figura 1.41Nmeros triangulares

40

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

4 Descubrieron que la suma de dos nmeros triangulares sucesivos forman jun-tos un cuadrado, por ejemplo:

(3 + 6 = 9)

Los pitagricos desarrollaron la geometra al grado de que formaron cade-nas cada vez ms largas de resultados demostrados a partir de otros resultados. Al incrementarse deductivamente la longitud de estas cadenas de proposiciones conectadas entre s, comenz el siguiente gran avance de la matemtica griega, que consiste en la organizacin axiomtica de la geometra.

Geometra axiomtica

Alrededor del ao 300 a.C., Euclides propuso que la geometra poda construirse como una larga cadena de proposiciones, demostradas por deduccin a partir de un nmero muy reducido de principios o postulados aceptados sin demostracin.

La obra de Euclides, ya mencionada, est organizada axiomticamente y es uno de los ms grandes tratados de la historia de las matemticas y del pensamiento humano. Ejerci una influencia que todava se percibe en el desarrollo de la cien-cia moderna y la enseanza de las matemticas, particularmente de la geometra.

Proposiciones verdaderas

Las proposiciones son enunciados que pueden ser ciertos o falsos sobre una cosa o tema en particular. En geometra se utilizan las proposiciones verdaderas que nos permiten establecer las propiedades de los elementos geomtricos.

Las principales proposiciones matemticas son: axiomas, postulados, definicio-nes, teoremas y corolario.

Axioma. Verdad evidente que no requiere demostracin. Ejemplo: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Postulado. Verdad que se admite sin demostracin, pero que requiere una reflexin. Ejemplo: La recta es la distancia ms corta entre dos puntos.

Definicin. Proposicin que implica una descripcin, clara y precisa de los carac-teres de una cosa. Ejemplo: El tringulo issceles es el que tiene dos lados igua-les y uno desigual.

Teorema. Proposicin verdadera que requiere demostracin. Ejemplo: La suma de los ngulos interiores del tringulo es igual a 180.

Corolario. Proposicin que es consecuencia inmediata de un teorema y no nece-sita demostracin. Ejemplo: Si el teorema es La suma de los ngulos interiores del tringulo es igual a 180, un corolario es Los ngulos agudos de un tringulo rectngulo suman 90.

Figura 1.42La suma de dos nmeros

triangulares da un cuadrado

41

1 . 1 Figuras geomtricas

Actividades

Realiza los siguientes ejercicios a fin de que reafirmes los conocimientos adquiri-dos en este apartado y relaciones estos conocimientos con el espacio que te rodea, lo cual te permitir lograr un aprendizaje significativo.

1 Elabora cinco ejemplos del razonamiento deductivo aplicados a tu vida dia-ria que contengan premisa menor, premisa mayor y conclusin.

2 Investiga tres ejemplos donde se aplique el razonamiento inductivo en las matemticas, sealando la premisa mayor, la premisa menor y la conclu-sin.

3 Investiga dos ejemplos (diferentes a los de este texto) de cada proposicin verdadera (axioma, postulado, definicin, teorema y corolario).

4 Contesta el siguiente cuestionario.a Cmo se conoce una verdad evidente que no requiere demostracin?b Qu es un postulado?c Escribe tres definiciones de algn objeto o fenmeno de tu vida diaria.d Qu es un teorema?e Cmo se denomina una proposicin que es consecuencia inmediata de

un teorema y no necesita demostracin?

El mtodo deductivo y el sistema lgico

Por experiencia hemos aprendido que nuestros sentidos, principalmente la vista y el tacto, resultan ineficaces para obtener informacin cierta del medio circun-dante. Para remediar esta condicin, el ser humano ha recurrido a instrumentos de medicin, dibujos, grficas, pero sobre todo al razonamiento lgico, en parti-cular el deductivo, que es el ms usado en la ciencia, principalmente en la geome-tra. Este razonamiento se basa en ir encadenando conocimientos supuestamente verdaderos para obtener nuevos conocimientos; es decir, se combinan principios necesarios y simples (axiomas, postulados, definiciones, etc.) para deducir nuevas proposiciones. Tambin recibe el nombre de mtodo deductivo y se caracteriza por ir de lo general a lo particular.

Como se estableci, el teorema es una proposicin verdadera que requiere demostracin. La demostracin matemtica consta de un conjunto de razona-mientos lgicos, o sistema lgico, que conducen a la evidencia de la proposicin, a partir de hechos dados o hiptesis incluidas en el enunciado.

La demostracin geomtrica de un teorema consiste en el razonamiento deduc-tivo en el que a partir de ciertas proposiciones (hiptesis) se llega a probar una

42

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

conclusin (tesis). En los distintos pasos de la demostracin se encadenan concep-tos conocidos y verdaderos, como axiomas, postulados, definiciones, teoremas.

Los elementos o partes de la demostracin son:

Figura. Ilustracin grfica de la proposicin que se desea demostrar. Debe conte-ner los trazos principales y los auxiliares.

Hiptesis. Lo que se acepta como cierto y que sirve de punto de partida al razona-miento.

Tesis. Lo que se quiere demostrar.Razonamiento. Serie de afirmaciones y razones que ligan a la hiptesis con la

tesis.Conclusin. La tesis una vez demostrada por el razonamiento.

Ejemplo

Teorema: Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales

Figura Hiptesis Tesis

Razonamiento deductivo

=+ 180xa Por ser ngulos suplementarios.=+ 180xb Por ser ngulos suplementarios.

xbxa +=+ Por propiedad transitiva.Restando x en los dos miembros de la igualdad se llega a la:

Conclusin

ba = Con lo cual queda demostrada la tesis.

Actividades

Reafirma los conocimientos adquiridos realizando los ejercicios que se plantean a continuacin.

1 Contesta las siguientes preguntas con tus propias palabras.

a En qu consiste el razonamiento lgico?b Cules son los elementos de una demostracin?c Qu es una hiptesis?

Los ngulos a y b son opuestos por el vrtice.

xa b

43

1 . 1 Figuras geomtricas

d En qu consiste la tesis?e En qu consiste el razonamiento en una demostracin lgica?

2 Aplica a una situacin de la vida real el razonamiento deductivo incluyendo los elementos que contiene y obteniendo una conclusin.

1.1.1.4 Mtodoinductivo

Como hemos visto, a travs de los tiempos, las ciencias y las matemticas se han desarrollado a partir de observaciones particulares sobre las cuales se han esta-blecido teoras y reglas generales. Este mtodo, que usan los matemticos y los cientficos para examinar sus conjeturas y llegar a convertirlas en teoras, leyes o teoremas, tambin se conoce como mtodo cientfico. Es importante sealar que mientras ms ejemplos examinemos, mejor capacitados estaremos para llegar a establecer una generalizacin. En ocasiones, se busca descubrir un patrn que presente una situacin o problema. Cuando se descubre y se puede continuar apli-cndolo en casos particulares, se ha aplicado el razonamiento inductivo. ste es el proceso de identificar patrones y usarlos para predecir resultados futuros. Se dice que va de lo particular a lo general.

Ejemplos

1 Gema ha estudiado mucho para los dos primeros exmenes de matemticas y ha obtenido excelente calificacin en cada uno. Anoche, Gema estuvo estu-diando para el tercer examen y espera aprobar con la misma nota.

Este ejemplo ilustra cmo a partir de las experiencias particulares de esta estudiante se puede llegar a una conclusin. Sin embargo, puede ser que debi-do a otros factores esta conclusin sea falsa.

2 Hoy el cielo est muy nublado, por lo tanto hoy llover. Al igual que en el ejem-plo anterior, la experiencia nos lleva a una conclusin, misma que puede ser falsa debido a que las condiciones climatolgicas pueden variar en cualquier momento.

El razonamiento inductivo matemtico busca que la conclusin sea verdadera y se aplica como mtodo inductivo.

3 Cules son los prximos tres nmeros en la siguiente sucesin: 1, -2, 4, -8?

Podemos observar que cada nmero en la sucesin es el opuesto del doble del anterior. Se ha aplicado el razonamiento inductivo para descubrir el patrn en la sucesin de nmeros. Entonces, para obtener los siguientes tres nmeros se aplica la regla descubierta:

44

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

(2 -8) = -(-6) = 16

(2 16) = -(32) = -32

(2 -32) = -(-64) = 64

El signo fuera del parntesis significa el opuesto de lo que est dentro.

Actividades

Con el desarrollo de los siguientes ejercicios logrars identificar los mtodos deduc-tivo e inductivo para obtener conclusiones lgicas, que son la base de la geometra. Realzalos con cuidado.

1 Desarrolla tres ejemplos de tu contexto donde se aplique el mtodo inducti-vo y elabora tu conclusin. Bsate en los ejemplos proporcionados.

2 Investiga tres ejemplos donde se aplique o se obtenga una regla o principio a partir del razonamiento inductivo en las matemticas.

3 Describe las diferencias entre razonamiento deductivo y razonamiento inductivo.

4 En cada uno de los siguientes casos determina si el razonamiento aplicado en los planteamientos es deductivo o inductivo. Analiza y discute con tus compaeros las conclusiones y argumenta tu afirmacin.

a El orden de los factores no altera el producto. Esto es 2 4 = 4 2.b Los tcnicos en informtica deben saber muchas matemticas. Alfonso

es tcnico en informtica. Alfonso sabe muchas matemticas.c De acuerdo con los siguientes ejemplos, Patricia llega a la conclusin de

que el orden de los sumandos no altera el resultado.

2 + 8 = 8 + 2 = 10

2.4 + 1.5 = 1.5 + 2.4 = 3.9

d Todos los cuadrados son rombos. La figura GHIJ es un cuadrado. Por lo tanto, la figura GHIJ es un rombo.

e La ropa tendida se moja cuando llueve. Carmen observa por la ventana la lluvia. Determina que la ropa tendida se moj con la lluvia.

45

1 . 1 Figuras geomtricas

1 .1 .2 ngulos

Los ngulos son una de las formas geomtricas bsicas observables en casi todos los elementos de tu entorno fsico. Tu casa forma una gran cantidad de ngulos: paredes, techos, puertas, etc. Slo observa detenidamente en la calle, en la escuela, en las grandes construcciones de edificios, puentes, torres de acero para trasmitir energa elctrica y en la naturaleza misma, por ejemplo, en los ngulos formados por las ramas de los rboles con el tronco o el ngulo de desplazamiento de una ave. Por lo tanto, se hace necesario el estudio de las propiedades y caractersticas de los ngulos y su medida para poder aplicarlos a la solucin de problemas de la vida diaria en nuestro entorno. Las personas construyen el drenaje de la calle donde vives de acuerdo con un ngulo de inclinacin, con ello las aguas negras y de lluvia fluyen con cierta velocidad evitando inundaciones; se le dio cierto ngulo de inclinacin a la tubera para que el agua llegue por gravedad hasta tu casa. Las aeronaves deben medir ngulos de elevacin y depresin para despeje y aterrizaje; los ingenieros que construyen un puente deben medir la inclinacin de sus sopor-tes o en una carretera el ngulo de inclinacin del peralte de una curva para que el automvil no vuelque; los mdicos miden al ngulo de inclinacin preciso para aplicar el lser en operaciones de los ojos. Como te puedes dar cuenta, stos son slo algunos de los miles de ejemplos donde se aplica la medida y propiedades de los ngulos.

Consideras que el avance de la tecnologa hubiera sido posible sin el estudio de los ngulos? Por qu?

Para que comprendas la importancia del estudio de los ngulos en la vida dia-ria, te presento el siguiente relato de cmo se logr medir la circunferencia de la Tierra:

La idea de medir la circunferencia de la Tierra se le ocurri por primera vez a Eratste-nes de Cirene, un matemtico griego nacido por el ao 280 a.C. Los griegos de la poca ya saban de la forma redonda de la Tierra, por lo que no fue Cristbal Coln el primero en descubrirla, como suponen algunos autores. Lo desconocido era el tamao de nues-tro planeta.

Para realizar sus mediciones, Eratstenes slo utiliz una vara (realmente es incre-ble lo que se puede hacer con una vara y un poco de geometra). En un papiro que encontr en la biblioteca de Alejandra, ley acerca de un lugar al sur de Alejandra llamado Siena (hoy Asun), donde se saba que los rayos del Sol caan a plomo (haba un pozo muy profundo en cuyas aguas se poda ver reflejado el Sol justo al medioda)durante el solsticio de verano. Clavando una vara en el suelo en Alejandra un solsticio de verano, Eratstenes observ que all el Sol no pasaba exactamente por el cenit. La vara proyectaba sombra en Alejandra, mas no en Siena.

46

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

Razonando geomtricamente y, en particular aplicando el principio de los ngulos alternos internos, Eratstenes dedujo lo siguiente: si los rayos del Sol inciden directa-mente en Siena, pero en Alejandra hacen un ngulo con la vertical, ese ngulo es igual al que formaran las verticales de las dos ciudades si las prolongramos hasta el centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geogrfica entre Siena y Alejan-dra. Llamemos a este ngulo A. Medido este ngulo, contrat a un camellero para que se fuera caminando a Siena y midiera la distancia entre las dos ciudades (figura 1.43). En unidades actuales, la distancia result ser de cerca de 840 kilmetros.

Rayos del sol

Alejandra Siena

Tierra

Vara

ALongitud

de la sombra

El ngulo A, como comprob Eratstenes, era aproximadamente de 7.5. La distan-cia de Alejandra a Siena, le dijo el camellero, era de unos 5 250 estadios. Un estadio es una medida antigua que equivale a cerca de 157.5 metros. Con esta informacin, efec-to el siguiente clculo: el ngulo A (7.5) es la cuadragsima octava parte de un crculo completo (360), por lo tanto, la distancia entre Alejandra y Siena (5 250 estadios) debe estar en la misma proporcin a la circunferencia total de la Tierra, o sea, sta debe ser 48 veces 5 250 estadios, o 252 000 estadios. Como puedes comprobar la proporcin es la siguiente:

De esta proporcin se despeja el valor de la circunferencia de la Tierra:

Sustituyendo valores:

Puesto que 1 estadio = 157.5 metros, entonces:

Circunferencia de la tierra = 40 000 kilmetros, aproximadamente.

Figura 1.43Clculo de la circunferencia

de la tierra hecho por Eratstenes

47

1 . 1 Figuras geomtricas

El resultado de Eratstenes est asombrosamente prximo a la cifra que se obtiene con mtodos modernos y ms exactos.

1.1.2.1 Notacinyclasificacindengulos

Se llama ngulo la abertura comprendida entre dos rectas que se cortan en un mis-mo punto.

Las rectas se llaman lados del ngulo, y el punto comn, vrtice. Un ngulo se representa con el smbolo .

ngulo

Lado final

Lado inicial

Vrtice

A B

C

Como lo muestra la figura 1.44, las rectas AB y AC se cortan en el punto A. Este punto es el vrtice del ngulo, y sus lados son AB y AC. El lado AB es el inicial y AC el final.

Hay tres formas de designar un ngulo:

.. Con una letra mayscula en el vrtice, si slo es un ngulo; por ejemplo, A en la figura 1.45.

..

A

Con tres letras maysculas, de las cuales la del vrtice se coloca en medio de las otras dos; por ejemplo, BAC, como en la figura 1.44.

.. Con un nmero, una letra minscula o una letra griega que se coloca entre los lados del ngulo y cerca del vrtice; por ejemplo, o 1, como los casos de las figuras 1.46a y b .

A

A

1

a) b)

No debes olvidar que la magnitud de cualquier ngulo no depende de la longi-tud de sus lados, sino de la abertura entre ellos; por ejemplo, los relojes siempre

Figura 1.44Elementos de un ngulo

Figura 1.45ngulo A

Figura 1.46a) ngulo ; b) ngulo 1

48

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

marcan la misma hora sin importar el tamao de sus manecillas, ya que es la aber-tura entre stas la que determina la hora.

El ngulo se genera por dos rectas o lados, de los cuales uno permanece fijo y recibe el nombre de lado inicial del ngulo, y el otro lado gira alrededor del punto fijo o vrtice y recibe el nombre de lado final.

En la figura 1.47, al moverse la recta OB alrededor del punto O en sentido con-trario a las manecillas del reloj permaneciendo fija la recta OA se genera un ngulo positivo AOB menor a 90. Observa cmo si la recta sigue girando sucesivamente en el mismo sentido se generan los siguientes ngulos: AOC de 90, AOD mayor de 90 y menor de 180, AOE de 180, AOF mayor de 180 y menor a 270, AOG de 270, AOH mayor de 270 y menor a 360 y finalmente la lnea regresa a su posicin inicial despus de dar una vuelta completa de 360. Si el lado mvil sigue girando en el mismo sentido, se forman ngulos mayores a 360. Si el lado mvil gira en el mismo sentido a las manecillas del reloj, los ngulos generados son negativos. Este tipo de ngulos los aplicars ampliamente cuando estudies los temas de trigono-metra.

AO

B

C

D

E

F

G

H

Para trazar un ngulo se utilizan las escuadras de 45 y de 30-60 si el ngulo es de cualquiera de estas medidas, combinacin o mltiplos de ellas. En caso contrario se usa la regla y el transportador. En la actualidad, existe software que permite el trazo de ngulos con gran exactitud.

Dos ngulos son congruentes si su abertura mide lo mismo. Para trazar un ngulo congruente a otro con regla y comps se procede como se indica en la figura 1.48. Apoyando el comps en el vrtice O, se trazan los puntos P y P arbitrariamente. Se dibuja el segmento OA y con la misma abertura se trazan los puntos P y P. Se mide la abertura con el comps de P a P y se traza el punto P. Finalmente, se traza OB.

AP

PB

O AP

P

O AP

PB

O

Figura 1.47Clases de ngulos

Figura 1.48ngulos congruentes

AOB @ A'O'B'

49

1 . 1 Figuras geomtricas

Clasificacin de ngulos

A continuacin, se clasifican los ngulos de acuerdo con sus caractersticas para que los identifiques fcilmente y puedas resolver los problemas de aplicacin con los que enfrentes en esta misma asignatura o en otras que ests cursando o vayas a cursar.

En la figura 1.49, las rectas L2 y L3 son perpendiculares. Los ngulos de 90 se indican con un pequeo cuadrado en el vrtice.

..

L2

123

4 5

L1

L3

El ngulo agudo es mayor de 0 y menor de 90, por ejemplo, 1... Un ngulo recto es el que vale 90, por ejemplo, 3... El ngulo obtuso es mayor de 90 y menor de 180, por ejemplo, 5... Son ngulos opuestos por el vrtice los formados por rectas que se interse-

can, y son iguales entre s, por ejemplo, 1 y 4... Dos ngulos son suplementarios si suman 180, por ejemplo, 4 y 5... Dos ngulos son complementarios si suman 90, por ejemplo, 1 y 2... Dos ngulos son adyacentes si tienen un mismo vrtice y un lado comn,

por ejemplo, 1 y 2. .. Dos ngulos son conjugados si suman 360.

..

+ = 360

ngulo llano o colineal es el que mide 180, o una media vuelta, y cuyos lados son prolongacin uno de otro.

..

A = 180oA

ngulo cncavo o entrante es el que mide ms de 180 y menos de 360 (figura 1.52).

Figura 1.49Clasificacin de ngulos

Figura 1.50ngulos conjugados

Figura 1.51ngulo llano

50

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

.. ngulo pergono o perigonal es el que mide 360, o una vuelta. El lado inicial coincide con el final.

..

A = 360A

ngulos consecutivos son los que tienen un lado comn que separa a los otros dos. Varios ngulos son consecutivos si el primero es consecutivo del segundo, ste del tercero, y as sucesivamente. Por ejemplo, en la figura 1.47 los ngulos 1, 2, 3, 4 y 5 son consecutivos.

En la tabla 1.2 se resume lo anterior.

Tabla 1.2 Clasificacin de ngulos

Nombre Caracterstica Figura

ngulo agudo Mide menos de 90 < 90

ngulo recto Mide 90 = 90

ngulo obtuso Mide ms de 90 > 90

ngulo llano o lineal Mide 180 = 180

ngulo entrante Mide ms de 180 y menos de 360180 < < 360

ngulo pergono Mide 360 = 360

ngulos opuestos por el vrtice

Son iguales. =

ngulos complementarios Suman 90 + = 90

ngulos suplementarios Suman 180 + = 180

ngulos conjugados Suman 360 +

Figura 1.52ngulo entrante

Figura 1.53ngulo perigonal

180 < < 360

51

1 . 1 Figuras geomtricas

Propiedades de los ngulos

Los siguientes teoremas que establecen algunas propiedades de los ngulos:

.. Los ngulos que tienen el mismo complemento son iguales.

.. Los ngulos que tienen el mismo suplemento son iguales.

.. Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

.. Los ngulos adyacentes de lados exteriores colineales son suplementarios.

.. Todos los ngulos rectos son iguales.

Bisectriz de un ngulo

La recta que divide un ngulo en dos partes iguales se llama bisectriz.

A

B

C BisectrizO

El procedimiento para trazar la bisectriz de un ngulo, utilizando regla y com-ps, se muestra en la figura 1.54, donde el punto C se obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y en B. Al unir el punto O con el punto C obtienes la bisectriz del BOA.

T mismo puedes comprobar, con un transportador, que la recta OC es la bisec-triz del ngulo mencionado.

Ejemplo

En la figura 1.49, si el ngulo 5 mide 105, determinar los valores de los ngulos 1, 2 y 4.

El ngulo 4 es suplemento del ngulo 5, esto es 4 + 5 = 180, entonces:

4 = 180 - 5 = 180 - 105 = 75

El ngulo 1 es opuesto por el vrtice al ngulo 4, entonces: 1 = 4 = 75. El ngulo 2 es complemento del ngulo 1, esto es 1 + 2 = 90, por lo tanto:

2 = 90 - 1 = 90 - 75 = 15

1.1.2.2 Sistemasdemedicindengulos

Para medir un ngulo dado, ste se compara con otro que se toma como unidad. Existen dos sistemas fundamentales y de uso frecuente: el sexagesimal y el cclico o circular.

Figura 1.54Bisectriz de un ngulo

52

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

Sistema sexagesimal

En este sistema se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales, cada una de las cuales se llama grado sexagesimal y se representa con el smbo-lo (). Cada grado est dividido en 60 partes iguales llamadas minutos () y cada minuto, a su vez, se divide en 60 partes iguales llamadas segundos (). Por lo tanto, un grado sexagesimal es igual a 3 600 segundos.

Puede decirse que un ngulo de un grado mide 1/360 de revolucin, o que una revolucin es igual a 360 grados. Para ngulos menores de un grado se utilizan uni-dades ms pequeas que son el minuto y el segundo sexagesimal.

1 = 60 minutos sexagesimales = 60.

1 = 60 segundos sexagesimales = 60.

La subdivisin en 60 partes ms pequeas de cada unidad es la razn por la que este sistema de medida recibe el nombre de sexagesimal.

El instrumento ms utilizado para medir ngulos en este sistema es el transpor-tador de ngulos, que es un semicrculo con doble graduacin de 0 a 180 (figura 1.55).

Sistema cclico o circular

Este sistema tiene como unidad de medida el radin que se define como la medida del ngulo central de la circunferencia cuyos lados comprenden un arco de igual longitud que el radio de la circunferencia correspondiente. Esto se ilustra en la figura 1.56.

A

B

RadioRadio

RadioO

La longitud del arco AB es igual al radio de la circunferencia. Y por definicin se tiene que AOB = 1 radin.

Figura 1.55Transportador, instrumento

para medir ngulos

Figura 1.56El radin

53

1 . 1 Figuras geomtricas

Como la longitud del radio est contenida 2 veces en la circunferencia, se pue-de deducir que toda circunferencia contiene 2 radianes. Estableciendo la relacin en grados se obtiene la siguiente igualdad:

2 radianes = 360

A partir de esta igualdad se puede construir la siguiente tabla de equivalencias entre los dos sistemas de medicin de los ngulos:

Grados 360 180 90 60 45 30 15 10 1

Radianes 2

Si 2 radianes = 360, entonces el valor de un radin en grados ser:

1 radin =

1 radin = 57.2958

Por lo tanto, el valor de un grado en radianes estar dado por:

1 = radianes

1 = 0.017455 radianes

Los valores decimales no son exactos y estn redondeados, debes recordar que es un nmero irracional. Estas equivalencias son muy importantes ya que te permitirn realizar conversiones de un sistema de medida de ngulos a otro con mucha facilidad, como vers a continuacin.

1.1.2.3 Conversionesderadianesagradosydegradosaradianes

Con las equivalencias obtenidas entre los dos sistemas de medida de ngulos ms usuales, ests en condiciones de realizar conversiones de un sistema de medida de ngulos a otro y en seguida se ejemplifica el procedimiento, aunque es importante considerar que si ya comprendiste estas unidades de medicin puedas realizar tu propio procedimiento.

Conversin de radianes a grados

Para convertir un ngulo dado en radianes a su equivalente en grados, basta mul-tiplicar el nmero de radianes por el equivalente en grados de un radin, o sea por /180, o por 57.2958.

54

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

Ejemplos

1 Expresar radianes en grados.

Multiplicando por , y efectuando operaciones se tiene:

El resultado est expresado en grados y dcimos de grado. Para convertir los dcimos de grado a minutos, recuerda que cada grado tiene 60 minutos, por lo tanto, si multiplicas 0.5 por 60 obtienes el resultado en minutos. Es importante que observes que este mismo procedimiento se aplica para convertir de dci-mos de minuto a segundos.

60 minutos 0.5 = 30 minutos

De donde se obtiene el resultado en grados y minutos:

radianes = 67.5 = 65 30

Para convertir los minutos a grados debes realizar la operacin contraria, o sea, dividir los minutos entre 60; por ejemplo, para expresar 65 30 en dcimos de grado, tendremos que dividir los 30 minutos entre 60 minutos, ya que el gra-

do tiene 60 minutos, esto es, , de modo que 60 30= 60.5.

2 Expresar radianes en grados.

Multiplicando por la equivalencia:

3 Convertir 1.7 radianes a grados.

Multiplicando por la equivalencia en decimales:

(1.7)(57.2958) = 97.4 = 97 24

Conversin de grados a radianes

Para convertir un ngulo expresado en grados a su equivalente en radianes, lo ni-co que tienes que hacer es multiplicar el nmero de grados por su equivalente en radianes, o sea por , o por 0.017455.

55

1 . 1 Figuras geomtricas

Ejemplos

1 Convertir 45 a radianes.

Multiplicando por y efectuando operaciones se obtiene:

(45)

Simplificando se obtiene:

45 = radianes = 0.785 radianes

En muchos problemas de aplicacin, sobre todo en fsica, los valores de los ngulos se manejan en funcin de y el resultado se puede expresar

simplemente como .

Tambin puedes obtener el mismo resultado multiplicando por la equiva-lencia decimal, esto es:

(45)(0.017455) = 0.785 radianes

2 Expresar 108 en radianes.

Multiplicando por la equivalencia:

(108) radianes = 1.8850 radianes

Tambin se puede usar la equivalencia decimal:

(108)(0.017455) = 1.8850 radianes

3 Convertir 385 a radianes.

Efectuando la multiplicacin:

(385) rad = 2.1388 rad = 6.719 rad

Multiplicando tambin por la equivalencia decimal, se obtiene el mismo resul-tado. Comprubalo.

(385)(0.017455) = 6.719

Actividades

Resuelve los siguientes ejercicios sobre conversiones de sistemas de medida de ngulos utilizando la calculadora. Procura reflexionar si los resultados son con-gruentes con las cantidades proporcionadas.

56

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

1 Expresa los siguientes ngulos en radianes.

a 1b -1250c 73 55d 28 48 13e 155 3 8 f 56 17 5g 38

h 255i 42 24j 425k 25 30l 15 13 12m 180n -325

o 760p 125 50q 228 36r 101 47 39 s 35 25 15t 19 33 56

2 Expresa en grados los siguientes ngulos.

a radb 3/4 radc /6 radd 0.79483 rade 2.5378 radf 5 rad

g 0.1679 radh /18 radi 0.65491 radj 0.5 radk 4.8 radl 0.14269 rad

m 3 radn /4 rado 1.3429 radp 0.34671 radq 3.5 radr 0.55666 rad

3 Convertir los siguientes ngulos a grados, minutos y segundos.

a 15.3456b 123.3

c 7.5d 27.873823

e 35.483277f 125.268456

4 Expresar slo en grados los siguientes ngulos.

a 16 28b 44 56

c 8 5d 25 56 34

e 195 30 40f 310 8 2

ngulos complementarios y suplementarios

Como recordars, dos ngulos son complementarios si suman 90 y son suplemen-tarios si suman 180. Ahora se trata de que determines el complemento o suple-mento de ngulos dados, para lo cual slo efectuars una sencilla resta.

Ejemplos

1 Determinar el valor del ngulo complementario o complemento de 60.

57

1 . 1 Figuras geomtricas

Puesto que los ngulos complementarios suman 90, para encontrar el com-plemento de 60 slo basta con restarle a 90 el valor del este ngulo:

(90 - 60) = 30

Por lo tanto, el ngulo complementario de 60 es 30.

2 Cul es el complemento de un ngulo de 12 15?

Se efecta la resta (90 - 12 15).Para que puedas restar los minutos (15) a los grados, es necesario que un gra-do del minuendo (90) lo conviertas en minutos (60), o sea:

89 60

12 15

77 45

De donde el complemento de 12 15 es 77 45.

3 Hallar el complemento de 48 52.

Se procede de la misma forma:

(90 - 48 52)

Efectuando la resta se tiene:

89 60

48 52

41 8

El complemento de 48 52 es 41 8.

4 Establecer el ngulo suplementario de 123.

Se efecta la resta correspondiente, ahora a 180, puesto que los ngulos suple-mentarios suman 180:

(180 - 123) = 57

El suplemento de 180 es 57.

5 Encontrar el suplemento de 98 49.

Se efecta la operacin correspondiente, convirtiendo un grado en minutos:

179 60

98 49

81 11

Por lo tanto, el suplemento de 98 49 es 81 11.

58

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

Actividades

Pon en prctica los conocimientos adquiridos en el desarrollo de este tema reali-zando los siguientes ejercicios, lo que te permitir verificar el avance de tu apren-dizaje.

1 Determina los complementos de los siguientes ngulos.

a 45b 39 15c 12 43

d 26 32 6e 68 23 45f 75 26 58

g 19h 5 2

2 Calcula los suplementos de los siguientes ngulos.

a 90b 101 49c 155 32

d 12 56e 41 20 45f 165 23 18

g 114 34 3h 3 2 5

3 En los siguientes ngulos determina el valor de x y cunto mide cada ngulo en grados.

a El AOD es un ngulo recto.

A

B

CD

2x

3x

x

O

b El AOD es llano.

A

B

C

D

2x3x

5x

O

59

1 . 1 Figuras geomtricas

c El EOA es recto.

A

E

B

CD

3x

5x

1/2 x

1/2 x

O

d El AOC es recto.

A

BC

x + 60

x

O

e ngulos opuestos por el vrtice.

A

B

C

D

x

3x + 10

O

f El AOD es llano.

A

BC

D

3x + 20o80o5x + 40o

O

1.1.2.4 Teoremassobrengulos

A continuacin, se exponen algunos de los teoremas sobre ngulos ms impor-tantes que te servirn de base para resolver infinidad de problemas geomtricos y

60

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

aplicarlos a problemas prcticos. Por tal motivo es muy importante que los anali-ces y comprendas.

Recuerda que un teorema es una verdad matemtica que requiere ser demos-trada, por lo tanto, en este tema aprenders algunas demostraciones de los teore-mas ms comunes sobre ngulos, mientras que otros slo se mencionarn con el fin de que puedas demostrarlos con los elementos ya aprendidos sobre las propie-dades de los ngulos y con el uso del mtodo deductivo. Cuando estudiaste el tema del mtodo deductivo se ejemplific la demostracin de un teorema de los ngulos opuestos por el vrtice, por tal razn ya no se demostrar en este apartado.

Teorema 1. Dos rectas cortadas por una transversal forman ocho ngulos que se relacionan entre s, de la siguiente manera:

.. Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

.. Los ngulos alternos internos son iguales.

.. Los ngulos alternos externos son iguales.

.. Los ngulos colaterales internos son suplementarios.

.. Los ngulos colaterales externos son suplementarios.

.. Los ngulos correspondientes son iguales.

En este caso, a la transversal se le llama tambin secante. Una secante es la lnea recta que corta a dos o ms lneas.

Cuando dos rectas paralelas entre s son cruzadas transversalmente por una recta, las intersecciones forman ngulos cuyas relaciones entre s pueden hacerse tomando como base una de las intersecciones, o bien las dos. Tambin se dice que son dos paralelas cortadas por una secante.

S

L1

L2

3 42 1

6 57 8

Sean L1 y L2 las rectas paralelas entre s que son cruzadas por la recta transversal S formando los ngulos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (figura 1.57), de los cuales son internos aquellos que se encuentran dentro de las paralelas (ngulos 3, 4, 5 y 6), y externos los que estn fuera de ellas (ngulos 1, 2, 7 y 8).

Entender la correspondencia que tienen estos ocho ngulos es muy importante para resolver algunos problemas. Observa a tu alrededor y vers que encuentras estos ngulos en varias estructuras fsicas que te rodean, pues se aplica mucho en arquitectura e ingeniera, en el diseo de muebles y muchas otras reas.

Las relaciones que por su posicin guardan entre s estos ocho ngulos se esta-blecen en la tabla 1.3.

Figura 1.57Paralelas cortadas por una

transversal

61

1 . 1 Figuras geomtricas

Tabla 1.3 Relaciones entre los ocho ngulos que forman dos paralelas cortadas por una transversal

ngulos Definicin Identificacin Caracterstica

Opuestos por el vrtice

Estn formados por rectas que se intersecan, tienen un vrtice comn y los lados de un ngulo son prolongacin

del otro.

1 y 3 2 y 4 5 y 7 6 y 8

Son iguales:1 = 32 = 45 = 76 = 8

Alternos internos Se encuentran en distinto lado de la transversal y por dentro

de las paralelas.

3 y 5 4 y 6

Son iguales:3 = 54 = 6

Alternos externos Se encuentran en distinto lado de la transversal y por fuera de

las paralelas.

1 y 7 2 y 8

Son iguales:1 = 72 = 8

Colaterales internos Se localizan del mismo lado de la transversal y por dentro de

las paralelas.

3 y 6 4 y 5

Son suplementarios:3 + 6 = 1804 + 5 = 180

Colaterales externos Se localizan del mismo lado de la transversal y por fuera de

las paralelas.

1 y 8 2 y 7

Son suplementarios:1 + 8 = 1802 + 7 = 180

Correspondientes Ocupan igual posicin en las paralelas y estn del mismo

lado de la transversal.

1 y 5 2 y 6 3 y 7 4 y 8

Son iguales:1 = 52 = 63 = 74 = 8

Teorema 2. Dos ngulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigi-dos en el mismo sentido son iguales.

Hiptesis: y

ABC y ABC tienen sus lados dirigidos en el mismo sentido.

Tesis: ABC = ABC

Demostracin

Construccin auxiliar: prolongar el lado CB hasta que interseque el lado BA formndose el ngulo .Aplicando el mtodo deductivo, se tiene:

ABC = , por ser ngulos correspondientes.ABC = , por ser ngulos correspondientes.

C

A

A

C

B

B

62

B LO QU E T EM T I CO 1 Geometra

Por lo tanto: ABC = ABC, por propiedad transitiva, con lo cual queda demostrada la tesis y en consecuencia el teorema.

Teorema 3. Dos ngulos que tienen sus dos ngulos respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario son iguales.

Hiptesis: y

ABC y ABC tienen sus lados dirigidos en sentido contrario.

Tesis: ABC = ABC

Demostracin

Construccin auxiliar: prolongar los lados AB y CB para formar el ngulo .Aplicando el mtodo deductivo, se tiene:

ABC = , por tener los lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido (teo-rema 2).

ABC = , por ser ngulos opuestos por el vrtice.

Por lo tanto: ABC =ABC, por propiedad transitiva, con lo cual queda demostrado el teorema.

Teorema 4. Si dos ngulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido y los otros dos en sentido contrario, dichos ngulos son suplementarios.

Hiptesis: y

ABC y ABC tienen sus lados dirigidos en sentido contrario.

Tesis: ABC = ABC

Demostracin

Construccin auxiliar: se prolonga el lado AB y CB formando el ngulo .Aplicando el mtodo deductivo, se tiene:

ABC + = 180 por ser suplementarios.

= ABC, por tener lados paralelos y del mismo sentido (teorema 2).

Por lo tanto: ABC + ABC = 180, por sustitucin, con lo cual queda demos-trada la tesis y en consecuencia el teorema.

CA

AC

B

B

C

AA

C

BB

63

1 . 1 Figuras geomtricas

Actividades

Lo ms importante de los teoremas geomtricos es aplicarlos a la solucin de pro-blemas prcticos. Es por esto que te invito a resolver el siguiente grupo de ejercicios.

1 En los siguientes trazos determina todos los valores de los ngulos numera-dos en la unidad de medida proporcionada por los datos.

a 150o

1 32

b 50o 30

1

32

c 38o 20

132

d

33o

1

3

2

e

30o70o

1 34

5

2

f

30o

90o

60o12