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TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico, proveniente del griego, es “medida del triángulo". Estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas

Los griegos y los hindúes la consideraron como una básica herramienta de la Astronomía.

Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP

Las funciones trigonométricas intervienen en el estudio de todo fenómeno periódico, es decir de fenómenos que se repiten regularmente.

Por ejemplo: la respiración, el movimiento de los planetas, el sonido, el movimiento de un péndulo, el de un resorte del que se ha suspendido un peso, la corriente alterna, movimiento de una rueda ylos latidos del corazón, etc.

Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano.- FAU- UNLP

Ángulos orientados o en posición normal en un sistema cartesiano:

Su vértice coincide con el origen de coordenadasy su lado inicial coincide con el eje positivo de las x

La semirrecta parte desde una posición inicial y gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal

Se puede realizar más de un giro completo.


o

Se considera al plano cartesiano dividido en cuatro sectores, llamados cuadrantes.


SENTIDO NEGATIVO(horario)

SENTIDO POSITIVO(antihorario)

Sistema Circular o Radial:

La unidad es el radián.

En una circunferencia completa hay 2π radianes.Un ángulo central de1 radián es el que determina un arco que tiene una longitud igual al radio. s = r entonces s/r = 1

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS


Sistema Sexagesimal:La unidad angular es el grado sexagesimal que es lanoventa-ava parte del ángulo recto

1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales)

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales)

1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales)


Ángulo Sistema sexagesimal

Sistema circular

1 giro 360º 2

llano 180º

recto 90º /2

Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla:


r

y

OP

Psen 0deordenada

hipotenusa

opuestocateto

0

0

adyacentecateto

opuestocateto

x

ytg

Con x0 0

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

r

x

OP

Pdeabscisacos 0

hipotenusa

adyacentecateto


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS DE LAS ANTERIORES

Definimos las razones trigonométricas recíprocas de lasanteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente:


Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores.Estas razones dependen sólo del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo construído.


CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

CENTRO: En el origen de coordenadas

RADIO: Unitario


Signos de las razones trigonométricas

Pueden ser positivas o negativas, dependiendo del cuadrante en que se halle la razón trigonométrica



Ejemplos:

1° ¿Qué signo tendrá la tang 280° ?

Si 280° IV Cuadrante Seno es negativo y el Coseno es positivo

Tang 280° ES NEGATIVAa

2° Si sec es negativa y la cotang es positiva, ¿a qué cuadrante pertenece ?

sec es negativa II ó III c.

cotang es positiva III y IV c. III cuadrante


3° Si 9/2 < < 5¿qué se puede asegurar respecto del signo desen , cos y tg ?

Si 9/2 < < 5 90° < < 180°

II c.

sen es positivo, cos es negativo y tg es negativo


PARA UN ÁNGULO CUALQUIERA, PUEDE APLICARSE EL TEOREMA DE PITÁGORAS:

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍAÓ RELACIÓN PITAGÓRICA

Dividimos ambos miembros por (hipotenusa)2:

(cat. op.)2 + (cat. ady.)2 = (hipotenusa)2

2

2

2

2

2

2

(hip.)

(hip.)

(hip.)

ady.) (cat.

(hip.)

op.) (cat.


1 (hip.)

ady.) (cat.

(hip.)

op.) (cat.2

2

2

2

(sen )2 + (cos )2 = 1

sen 2 + cos 2 = 1

IDENTIDAD PITAGÓRICAPermite calcular el valor de todas las funciones

trigonométricas, conocida una de ellas


sen 2 + cos 2 = 1

21cos sen

2cos1 sen


Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo αSi: sen = -3/5 y < 3/2

Si sen2 + cos2 = 1

Ejemplo:

Si III C. cos = - 4/5

3

51cos

senec

4

5

cos

1sec

5

4

25

16

5

31|cos|

2

21cos sen

3

41cot

tgag

;;

4

3

5

45

3

costan

seng


Función 0° 90° 180° 270°

seno 0 1 0 -1

coseno 1 0 -1 0

tangente 0No

existe0

No existe

ALGUNOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

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Por el teorema de Pitágoras:x2 + y2 = 1

x = y por triángulo isósceles

VALORES PARA EL ÁNGULO DE 45° Ó /4

Ángulo seno coseno tang

45° 1Taller Vertical N° 1 de

Matemática-Díaz-Fileni-Toscano.FAU- UNLP 2

2

2

2

VALORES PARA EL ÁNGULO DE 30° y 60° ó /6 y /3

30°

60°

M

11/2

POM es rectángulo POP´ es equilátero

PM = 1/2

sen 30° = 1/2

Por el teorema de Pitágoras: PM2 + OM2 = OP2

(1/2)2 + x2 = 12

3 x

3/4 x

1/4-1x 2

2

3 30 cos


seno coseno tangente

30°1/2

60°1/2


32

3

2

3

2

3


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo consiste en hallar:

sus lados, ángulos y área

Necesitamos contar con dos datos, por ej. dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto

Si Relacionamos lados con ángulos, recurriremos

a las: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO- COSENO- TANGENTE

Para hallar uno de los lados conociendo los otros

dos, aplicamos el TEOREMA DE PITÁGORAS

Recordar: + = 90°Taller Vertical N° 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Necesitamos contar con tres datos, uno de los cuales debe ser un lado

Se utilizan:

TEOREMA DEL SENO

TEOREMA DEL COSENO

LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DEL TRIÁNGULO ES IGUAL A 180°


“EN TODO TRIÁNGULO CADA LADO ES PROPORCIONAL AL SENO DEL ÁNGULO OPUESTO”

TEOREMA DEL SENO


TEOREMA DEL COSENO

“EL CUADRADO DE UN LADO DE UN TRIÁNGULOES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DELOS OTROS DOS LADOS, MENOS EL DOBLEPRODUCTO DE DICHOS LADOS POR EL COSENODEL ÁNGULO COMPRENDIDO”


TEOREMA DEL COSENO


DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS

Los tres lados Los tres ángulos

Un lado y los ángulos adyacentes Dos lados y un ángulo

Dos lados y el ángulo comprendido Un lado y dos ángulos

Dos lados y el ángulo opuesto a uno

de ellosUn lado y dos ángulos

T. SENO

T. COSENO

T. SENO

T. COSENO


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