Resolucion Trigonometría (1)

8/17/2019 Resolucion Trigonometría (1)

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Concepto y desarrollo de problemas

trigonométricos y vectoriales

Biomecánica


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Objetivo

• Conocer las bases conceptuales de la físicaaplicada a la biomecánica


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Repaso conocimientos básicos

• Por todos es conocido el teorema dePitágoras, mediante el cual se puede calcularel valor de uno de los lados si se conocen los

otros dos, a partir de la siguiente ecuación:AB2 = AC2 + AB2


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• Consideremos el triángulo rectángulo ABC dela figura. Si establecemos relaciones entre loslados, seis relaciones pueden ser establecidas:

AC/AB , AC/BC, BC/AB, BC/AC, AB/BC, AB/AC


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• En trigonometría estas relaciones recibennombres de acuerdo al lado localizado enrelación con uno de los dos ángulos agudos

(menores de 90º). Por ejemplo, si el ángulo ABCes nombrado por la letra griega , el seno dees la relación entre el lado opuesto al ángulo (eneste caso, AC) y la hipotenusa del triángulo (eneste caso, AB). Entonces:

• seno de = lado opuesto / hipotenusa = AC / AB


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• De la misma manera se han dado otros nombresa estas relaciones, pero en biomecánica sólo seutilizan dos mas : el coseno y la tangente de:

• coseno de = lado adyacente / hipotenusa = BC / AB

• tangente de = lado opuesto / lado adyacente = AC / BC

• El seno, coseno y tangente del ángulo son amenudo abreviadas por sus iniciales : sen, cos ytan.


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• Una de las grandes aplicaciones de estas funciones es quesi se conoce el ángulo y la dimensión de uno de los lados,se pueden calcular las longitudes de los otros dos lados deltriángulo: si el ángulo es de 60º y la hipotenusa mide 5 cm,el lado opuesto medirá

seno de = lado opuesto / hipotenusa = AC / ABsen de = AC / AB

sen 60º = AC / 5 cm

AC = sen 60º * 5 cmAC = 0.8 * 5 cm

AC = 4.04 cm


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• y el lado adyacente medirá :

coseno de = lado adycente / hipotenusa = BC / AB

cos de = BC / AB

BC = cos 60º * 5 cm

BC = 0.5 * 5BC = 2.5 cm


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• Por otra parte, si sólo se conocieran las longitudes de dos de sus lados, sepuede calcular la dimensión del otro lado o los ángulos que forman eltriángulo. Si en el problema anterior, se conociera la hipotenusa (5 cm) y ellado opuesto (4 cm),

seno de = lado opuesto / hipotenusa = AC / ABseno de = AC / AB

seno de = 4 / 5seno de = 0.8 = sen(-1) 0.8 = 53º

(Hipotenusa)2 = (lado opuesto)2 + (lado adyacente)2(5)2 = (4)2 + (BC)2

BC = (25 - 16)BC = 3


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Sumatoria de vectores

• Para sumar cantidades vectoriales se debe tener encuenta el algebra vectorial. Existen variosprocedimientos para sumar vectores, para lo cual

realizaremos un ejemplo:Sean A, B, C y D cuatro vectores los cuales serepresentan en la gráfica.


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• La regla de la cola con la punta:

Esta regla establece que para sumar variosvectores, se coloca uno como base y el siguientese coloca de manera que la punta del primero secontinúe con la cola del segundo, y asísucesivamente. El vector resultante será el

vector que una la cola del primero con la puntadel último.


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Aplicaciones

• Dado el lanzamiento de una bola de beisbol:

Velocidad vertical (Vy) = 10 pies/s

Velocidad horizontal (Vx) = 25 pies/s

• Problema: Buscar

1. La resultante R o velocidad de lanzamiento

2. El ángulo de liberación

• Sistema Métrico: kilómetro por hora (km/h) = 0.28 m/segmetro por segundo (m/seg)metro por minuto (m/min)

• Sistema Inglés:

• millas por hora (millas/h ó mph = 1.47 pies/segpies por minuto (pies/min)pies por segundo (pies/seg) = 0.68 millas/h

• Equivalencias:

• 1 km/h = 0.62 millas/h1 milla/seg = 0.45 m/seg

1 milla/seg = 26.8 m/min1 milla/h = 0.45 m/seg


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Solución

• En primera instancia, se puede emplear el Teorema dePitágoras para resolver este problema. El teoremapostula que en todo triángulo rectángulo el cuadradode la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de las longitudes de los catetos. Lasolución de este problema se puede resolver, entonces,como sigue:

R2 = Vy2 + Vx2 R2 = 102 + 252

R2 = 100 + 625R2 = 725R = 725R = 26.94 pies/seg


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Solución

• Empleando el método trigonométrico,tenemos que:

Opuesto

Tan = ------------Adyacente

Vy 10Tan = ------ = -----

Vx 25

= tan(-1) 0.4 = 22°


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Movimientos

• Desplazamiento: El desplazamiento (d) representa lavariación de la posición de un cuerpo u objeto conreferencia las coordenadas/ejes x-y. El desplazamiento(d) es un vector, ya que posee dirección (positiva o

negativa). La distancia representa una cantidad escalarque describe la longitud de la trayectoria recorrida,donde se incluyen las variaciones en dirección (simprees positiva). Utilizando como referencia un eje Xdado, d es la diferencia entre las coordenadas final ( x f )

e inicial ( x i ) del cuerpo/objeto sobre la escala:

• d = xf - xi


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• Velocidad: La velocidad promedio (Vp) de uncuerpo o implemento deportivo es eldesplazamiento dividido por el tiempo (t )

transcurrido:Vp =

xf - xi ----------tf - ti

Vp =

d

----t


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• Aceleración: La aceleración (a) es el cambiode velocidad por unidad de tiempo:

a =v - v0

-------------t


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Torque de Fuerza

• Aisladamente, cuando un músculo esquelético se contrae, generauna tensión/fuerza de naturaleza lineal. Debido a que los músculostrabajan en relación al tipo de movimiento que realiza unaarticulación, la tensión o fuerza que éstos producen dependerá delángulo específico en que se encuentre el segmento corporal que semueve en relación a la articulación.

• Esto se conoce como el torque de fuerza (TF), el producto de lafuerza lineal y el brazo de fuerza del músculo con referencia alcentro de rotación articular (o fulcrum). En términos biomecánicos,esto se define como la distancia perpendicular desde la línea deacción del músculo hasta el centro de rotación localizado en una

articulación dada (d ó BF). El torque de fuerza se puede expresar,también, matemáticamente como sigue:TF = F x d (de Fuerza)TF = F x BF


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Ejercicio

• El bíceps braquial ejerce una acción muscular (contracción) queequivale a una fuerza de 120 libras (F). Esta fuerza se aplica a unadistancia de 1 pulgada desde el eje de rotación articular (BF). Elsegmento del antebrazo y mano posee una masa (peso) de 10libras. La resistencia de la gravedad y el centro de gravedad dedicho segmento se encuentra a 10 pulgadas del eje (FR).

F = 120 lbsBF = 1 pulgR = 10 lbsBR = 10 pulg

Problema: ¿Cuanto es el torque de fuerza y el de resistencia?, buscar• Torque de Fuerza (TF)• Torque de Resistencia (TR)


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Solución

TF = F x BFTF = 120 lbs x 1 pulgTF = 120 pulg-lbs

TR = F x BRTR = 10 lbs x 10 pulgTR = 100 pulg-lbs


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Ejercicios (2 personas)

• si 60º y la hipotenusa mide 5 cm,determine:

1)Cateto opuesto

2)Cateto adyacente

• Si Cat. Op.= 10 cm, Hip.=15, determine:

1)

2)Cat. Ady.


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• Un saltador de vallas logra superar unobstáculo con un salto vertical de 10 m/s yhorizontal de 25 m/s. Determine:

• Ángulo de salto con el cuál supero elobstáculo

• Velocidad total o resultante del salto


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• Un sujeto realiza una flexión de codo con unamancuerna de 10 kg con una fuerza de 16 Kg.El punto de aplicación de la fuerza se

encuentra a 2,45 cm desde la articulación. Elsegmento del antebrazo y mano posee unpeso de 4,52 kg. La mancuerna se encuentra a25 cm del eje de rotación.

Determine:• Tf y Tr


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• Dado los vectores:

a) 23N arriba

b) 24N derecha

c) 20N (45° sobre eje X)

d) 22N (65° bajo eje X)

Sume:

a+b+c+d b+a+c+d c+a+b+d d+a+b+c

d+c+b+a c+d+b+a b+d+a+c a+d+c+b


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Control sumativo (secc 203)

• si 55º y la hipotenusa mide 7 cm, determine(2 ptos c/u):

1)Cateto opuesto

2)Cateto adyacente

• Si Cat. Op.= 8 cm, Hip.=12, determine (2ptos c/u):

1)

2)Cat. Ady.


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• Un sujeto realiza un salto largo de 8 metros,superando un obstáculo de 5 metros.Determine (3 ptos c/u):


• Distancia resultante del salto


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• Un sujeto realiza una flexión de rodillas contrauna resistencia externa de 28N, generando untorque de 32Nm, el músculo agonista genera unafuerza de 3N, junto al motor principal. El punto

de aplicación de la fuerza se encuentra a 4 cm desu eje articular. El segmento de la pierna mide 20cm y tiene un peso de 3N.(3 ptos c/u)

Determine:

• Fuerza muscular del motor principal para elTorque

• Tr


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• Dado los vectores:

a) 3N derecha

b) 4N arriba

c) 4N (45° sobre eje X)

d) 3N (45° bajo eje X)

Grafique vectores y obtenga resultante gráfica

de las siguientes sumatorias (8 pts):a+b+c+d d+a+b+c b+d+a+c a+d+c+b


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Control sumativo (Secc 201)


1)Cateto opuesto

2)Cateto adyacente


1)

2)Cat. Ady.


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• Un sujeto realiza una extención de rodillas contrauna resistencia externa de 15N, generando untorque de 28Nm, el músculo agonista genera unafuerza de 5N, junto al motor principal. El punto


Determine:


• Tr


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• Dado los vectores:a) 3N derecha

b) 4N arriba

c) 4N (45° sobre eje X)d) 3N (45° bajo eje X)


de las siguientes sumatorias (8 pts):d+b+c+a d+a+b+c d+b+a+c a+d+c+b


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Control sumativo (Secc 201 b)


1)Cateto opuesto

2)Cateto adyacente


1)

2)Cat. Ady.


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• Un sujeto realiza una extención de rodillas contrauna resistencia externa de 15N, generando untorque de 28Nm, el músculo agonista genera unafuerza de 5N, junto al motor principal. El punto


Determine:


• Tr


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• Dado los vectores:a) 3N derecha

b) 4N arriba

c) 4N (45° sobre eje X)d) 3N (45° bajo eje X)


de las siguientes sumatorias (8 pts):d+b+c+a d+a+b+c d+b+a+c a+d+c+b


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