Transformadad de fourier

8/18/2019 Transformadad de fourier

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Transformada de Fourier Transformada de Fourier

http://www.fiec.espol.edu.echttp://www.fiec.espol.edu.ec

http://www.fiec.espol.edu.ec/http://www.fiec.espol.edu.ec/http://www.fiec.espol.edu.ec/


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Transformadas de Fourier Transformadas de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 –Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 –18301830

!ontri"u#o a la idea de $ue una!ontri"u#o a la idea de $ue unafunci%n puede ser representada porfunci%n puede ser representada porla su&a de funciones sinusoidalesla su&a de funciones sinusoidales

)2

sin()2

cos()(1 1 T

kt b

T

kt act f

k k

k k

π π

∑ ∑∞

=

∞

=

++=


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Trasformada de Fourier Trasformada de Fourier

's interesante desco&poner una's interesante desco&poner unaseal en sinusoides por la:seal en sinusoides por la:

) F*+',*+-+ **+-,F*+',*+-+ **+-,

'so 2arantia $ue si entra un'so 2arantia $ue si entra unsinusoide a un siste&a lineal solosinusoide a un siste&a lineal solo4ariar5 su fase # su a&plitud pero su4ariar5 su fase # su a&plitud pero su

frecuencia sera la &is&afrecuencia sera la &is&a


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+ependiendo del tipo de funci%n $ue+ependiendo del tipo de funci%n $uese desee transfor&ar se utilianse desee transfor&ar se utiliandiferentes &todosdiferentes &todos


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-periodiodicas-periodiodicas!ontinuas!ontinuasransfor&ada de Fourierransfor&ada de Fourier

eri%dicas !ontinuaseri%dicas !ontinuaseries de Fouriereries de Fourier

-peri%dicas +iscretas-peri%dicas +iscretas. +iscreta en ie&po de. +iscreta en ie&po deFourierFourier

eri%dicas +iscretaseri%dicas +iscretasransfor&ada +iscreta deransfor&ada +iscreta deFourierFourier


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osotros &ane9a&os seales con unosotros &ane9a&os seales con unn&ero finito de &uestrasn&ero finito de &uestras

;a# dos opciones;a# dos opciones) !on4ertirlas a -peri%dicas +iscretas!on4ertirlas a -peri%dicas +iscretas

) !on4ertirlas a eri%dicas +iscretas!on4ertirlas a eri%dicas +iscretas ara sintetiar una seal aperi%dicaara sintetiar una seal aperi%dica

se necesita un n&erose necesita un n&ero infinitoinfinito dedesinusoidessinusoides


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or lo tanto nos concentrare&os enor lo tanto nos concentrare&os enla ransfor&ada +iscreta de Fourierla ransfor&ada +iscreta de Fourier

,la&ada &5s co&n&ente por su,la&ada &5s co&n&ente por susi2las en in2les +Fsi2las en in2les +F

ara hacerlo de"e&os pensar en laara hacerlo de"e&os pensar en laseal di2ital co&o peri%dica< o seaseal di2ital co&o peri%dica< o sea$ue se repite indefinida&ente$ue se repite indefinida&ente


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'=isten dos &aneras de atacar'=isten dos &aneras de atacar&ate&5tica&ente la +F&ate&5tica&ente la +F

) +F inusoidal (>eal+F inusoidal (>eal

) +F '=ponencial (!o&ple9o+F '=ponencial (!o&ple9o


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DFT RealDFT Real

e "asa en calcular los coeficientese "asa en calcular los coeficientesde la si2uiente ecuaci%n:de la si2uiente ecuaci%n:

∑∑==

+=2/

0

2/

0

)/2sin()/2cos(][ N

k

k

N

k

k N knb N knan x π π

][][Im

][][Re

nbn X

nan X

=

=


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DFT RealDFT Real


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DFT RealDFT Real


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DFT ComplejoDFT Complejo

e "asa en la identidade "asa en la identidad

+e tal &anera $ue:+e tal &anera $ue:

)()cos( xisen xeix +=


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Real vs. ComplejoReal vs. Complejo

,a 4erdadera transfor&ada de,a 4erdadera transfor&ada deFourier es co&ple9a por naturaleaFourier es co&ple9a por naturalea

;acerla real per&ite estudiarla;acerla real per&ite estudiarla&e9or< pero introduce ciertos&e9or< pero introduce ciertospro"le&aspro"le&as

osotros utiliare&os las dososotros utiliare&os las dosdependiendo de la aplicaci%ndependiendo de la aplicaci%n


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El dominio de la frecuenciaEl dominio de la frecuencia

-plicar la transfor&ada de fourier a-plicar la transfor&ada de fourier auna seal en el do&inio del tie&pouna seal en el do&inio del tie&potiene co&o efecto e=presar esa sealtiene co&o efecto e=presar esa seal

en el do&inio de la frecuenciaen el do&inio de la frecuencia ?@nA+F(=@nA?@nA+F(=@nA or lo tanto el e9e = de laor lo tanto el e9e = de la

transfor&ada de fourier representatransfor&ada de fourier representafrecuenciafrecuencia


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'l e9e = se puede e=presar de C'l e9e = se puede e=presar de C&aneras:&aneras:

) Fracci%n de la frecuencia de DuestreoFracci%n de la frecuencia de Duestreo

) &ero de Duestra&ero de Duestra

) Frecuencia atural (radianesFrecuencia atural (radianes

) Frecuencia -"solutaFrecuencia -"soluta


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Inversa de la DFTInversa de la DFT

-sE co&o pode&os ir del do&inio del-sE co&o pode&os ir del do&inio deltie&po al do&inio de la frecuenciatie&po al do&inio de la frecuencia

sa&os la in4ersa de la +F parasa&os la in4ersa de la +F parapasar de la frecuencia al tie&popasar de la frecuencia al tie&po

or lo tanto pode&os 4er $ue alor lo tanto pode&os 4er $ue alpasar del tie&po a la frecuencia solopasar del tie&po a la frecuencia soloesta&os e=presando la &is&aesta&os e=presando la &is&ainfor&aci%n de otra &anerainfor&aci%n de otra &anera


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Inversa de la DFTInversa de la DFT

'so nos lle4a a un concepto &u#'so nos lle4a a un concepto &u#i&portante en analisis de seales #i&portante en analisis de seales #siste&as: +ualidadsiste&as: +ualidad


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Cálculo de la DFTCálculo de la DFT

;a# 3 &todos para calcular la +F;a# 3 &todos para calcular la +F

) +F por ecuaciones si&ultaneas+F por ecuaciones si&ultaneas

) +F por correlaci%n+F por correlaci%n

) FFFF

;o# 4ere&os los dos pri&eros;o# 4ere&os los dos pri&eros


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DFT por ecuacionesDFT por ecuaciones

simultaneassimultaneas ene&os 4alores en tie&po # ha#ene&os 4alores en tie&po # ha#

$ue calcular 4alores en frecuencia$ue calcular 4alores en frecuencia +e"e&os escri"ir ecuaciones+e"e&os escri"ir ecuaciones

lineales independienteslineales independientes

∑∑ == +=2/

0

2/

0)/2sin()/2cos(][

N

k

k

N

k

k N knb N knan x π π

∑∑ ==+=

2/

0

2/

0

)/2sin()/2cos(]1[ N

k

k

N

k

k N k b N a x π π


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DFT por ecuacionesDFT por ecuaciones

simultaneassimultaneas e puede resol4er usando lose puede resol4er usando los

&todos co&o 'li&inaci%n de auss&todos co&o 'li&inaci%n de auss ero en la pr5ctica es &u# lentoero en la pr5ctica es &u# lento olo se utilia de &anera te%ricaolo se utilia de &anera te%rica


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DFT por correlaciónDFT por correlación

!orrelaciona&os la seal ori2inal con!orrelaciona&os la seal ori2inal concada una de las funcionescada una de las funcionessinusoidales "asesinusoidales "ase

'sto si2nifica &ultiplicar cada punto'sto si2nifica &ultiplicar cada puntode la seal de entrada por la funci%nde la seal de entrada por la funci%nsinusoidal # lue2o su&ar todos lossinusoidal # lue2o su&ar todos los

puntospuntos


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DFT por correlaciónDFT por correlación

∑

∑

−

=

−

=

−=

=

1

0

1

0

)/2sin(][][Im

)/2cos(][][Re

N

i

N

i

N kii xk X

N kii xk X

π

π

∑=

= M

i

ibianc

0

][][][


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D F T

p o

r c o

r r e l a c i

ó n

D F T

p o r c o

r r e

l a c i ó n


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Notación Polar Notación Polar

al co&o representa&os a la funci%nal co&o representa&os a la funci%nen frecuencia con una parte real #en frecuencia con una parte real #una i&a2inaria pode&os e=presarlauna i&a2inaria pode&os e=presarla

en for&a de Da2nitud # Faseen for&a de Da2nitud # Fase Da2 ?@0A # Fas ?@0A son calculadas aDa2 ?@0A # Fas ?@0A son calculadas a

partir de >e ?@0A # *& ?@0A # asi conpartir de >e ?@0A # *& ?@0A # asi con

las de&as &uestraslas de&as &uestras


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'sta for&a de representar la funci%n'sta for&a de representar la funci%nen frecuencia nos a#uda aen frecuencia nos a#uda a4isualiarla &e9or4isualiarla &e9or


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e calcula de la si2uiente &anerae calcula de la si2uiente &anera


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sa&os la notaci%n polar parasa&os la notaci%n polar para4isualiar la seal4isualiar la seal

sa&os la notaci%n rectan2ular parasa&os la notaci%n rectan2ular parahacer los c5lculoshacer los c5lculos


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Análisis Espectral Análisis Espectral

!o&o #a 4i&os< en &uchas seales

frecuenciafrecuencia '9e&plo de esto:'9e&plo de esto:

) onidoonido

) >adar u"&arino>adar u"&arino

) !olor!olor


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ara analiar este tipo de seales elara analiar este tipo de seales eldo&inio del tie&po es insatisfactoriodo&inio del tie&po es insatisfactorio

rate de analiar su 4o si&ple&enterate de analiar su 4o si&ple&ente4iendo a for&a de la seal en tie&po4iendo a for&a de la seal en tie&po

e utilia la transfor&ada de fouriere utilia la transfor&ada de fourierpara representar estas seales enpara representar estas seales enfrecuencia # asi poderlas analiarfrecuencia # asi poderlas analiar


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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

Time(seconds)

Vowel A


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"tene&os la transfor&ada de"tene&os la transfor&ada deFourierFourier

"tene&os la parte real # la"tene&os la parte real # la2rafica&os2rafica&os


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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000104

105

106

107

108

109

1010

1011

1012

Frequency(Hz)

P o w e r

Vowel A (256 samples - hamming)


38/59


Ga&os to&ando 2rupos de &uestrasGa&os to&ando 2rupos de &uestras# realia&os la &is&a tcnica ## realia&os la &is&a tcnica #lue2o las 2rafica&os 9untaslue2o las 2rafica&os 9untas


39/59


Seconds

H

z

Sida.txt, 256, hamming

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


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- representar una funci%n en sus- representar una funci%n en susco&ponentes de frecuencia se leco&ponentes de frecuencia se lella&a -n5lisis 'spectrallla&a -n5lisis 'spectral

os per&ite sa"er $ue frecuenciasos per&ite sa"er $ue frecuenciasest5n presentes dentro de una sealest5n presentes dentro de una seal


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-l to&ar un 2rupo de &uestras-l to&ar un 2rupo de &uestrasesta&os &ultiplicando la funci%n poresta&os &ultiplicando la funci%n poruna 4entana cuadradauna 4entana cuadrada

'so pro4oca distorsiones en las'so pro4oca distorsiones en lasfrecuencias o"tenidasfrecuencias o"tenidas


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ultiplicación por !entanaultiplicación por !entana


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!entanas!entanas

'=isten 4arias 4entanas'=isten 4arias 4entanas

) !uadrada!uadrada

) Barlett (trian2uloBarlett (trian2ulo

) Helch (para"olaHelch (para"ola

) ;ann (;annin2;ann (;annin2

) ;a&&in2;a&&in2


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!entanas!entanas

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000102

104

106

108

1010

1012

Vowel O - SQUARE (256 samples)

Frequency(Hz)

P o w e r

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000102

104

106

108

1010

1012

Vowel O - BARTLETT (256 samples)

Frequency(Hz)

P o w e r

0 1000 2000 3000 4000 5000 600010

2

104

106

108

1010

1012

Vowel O - WELCH (256 samples)

Frequency(Hz)

P o w e r

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

102

104

106

108

1010

1012

Vowel O - HANN (256 samples)

Frequency(Hz)

P o w e r

Cuadrada "arlett

elc$ %ann


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ResoluciónResolución

i to&a&os &5s puntos tendre&osi to&a&os &5s puntos tendre&osuna &e9or definici%n en frecuenciauna &e9or definici%n en frecuencia

ero e&peorara la definici%n en tie&poero e&peorara la definici%n en tie&po i to&a&os &enos puntos< tendre&osi to&a&os &enos puntos< tendre&os

una &e9or definici%n en tie&pouna &e9or definici%n en tie&po ero e&peorara la definici%n de laero e&peorara la definici%n de la

frecuenciafrecuencia


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Seconds

H z

Sidai.txt, 64, hamming

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


48/59


Seconds

H z


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


49/59


Seconds

H z


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


50/59


Seconds

H z


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


51/59


Seconds

H z


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500


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Respuesta en FrecuenciaRespuesta en Frecuencia

-si co&o en el do&inio del tie&po-si co&o en el do&inio del tie&poun siste&a puede ser caracteriadoun siste&a puede ser caracteriadopor su >espuesta a *&pulsopor su >espuesta a *&pulso

'n la Frecuencia un siste&a se'n la Frecuencia un siste&a secaracteria por su >espuesta encaracteria por su >espuesta enFrecuenciaFrecuencia

,a relaci%n entre las dos es la,a relaci%n entre las dos es latransfor&ada de Fouriertransfor&ada de Fourier


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Duchas 4eces pode&os entenderDuchas 4eces pode&os entender&e9or el funciona&iento de un&e9or el funciona&iento de unsiste&a si analia&os la >espuesta asiste&a si analia&os la >espuesta a

Frecuencia en 4e de la >espuesta aFrecuencia en 4e de la >espuesta a*&pulso*&pulso


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Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia

ii

) =@nA I h@nA #@nA=@nA I h@nA #@nA

'ntonces'ntonces

) ?@fA ;@fA K@fA?@fA ;@fA K@fA

>espuesta>espuesta

) Dultiplicaci%nDultiplicaci%n


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Convolución en FrecuenciaConvolución en Frecuencia

!on4olucionar dos seales en el!on4olucionar dos seales en eldo&inio del tie&po< si2nificado&inio del tie&po< si2nifica&ultiplicarlas en el do&inio de la&ultiplicarlas en el do&inio de la

frecuenciafrecuencia K 4ice4ersaK 4ice4ersa

ciaci


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C

o n v

o l u

c i ó

n e

n F r e

c u e

n c

C

o n v o l u

c i ó

n e

n F r e

c

u e

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Transformadad de fourier