SÉRIES DE FOURIER TRANSFORMADA DE LAPLACE

Indira SantanaLuciana Freitas

Michel LinoThales Santana

Séries de Fourier

• Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)• Imortalizado por suas series trigonométricas• Estudo da propagação de calor considerando-

as onda • Decomposição de funções periódicas em

funções seno e cosseno

Séries de Fourier

Séries de Fourier

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

Séries de Fourier

f(x) = a0+ a1 sen(x) +a2 sen(2x) +a3 sen(3x)+ ... + b1 cos(x) + b2 cos(2x) + ...

f(x)sen(3x) = a0 sen(3x) + a1 sen(x) sen(3x) + a2 sen(2x) sen(3x) + a3

sen2(3x) + ... + b1 cos(x) sen(3x)+ ...

Multiplicando toda a equação que define a série por sem(3x):

Tirando a média de cada termo da equação:

< f(x)sen(3x) > = < a0 sen(3x) > + < a1 sen(x) sen(3x) > +< a2 sen(2x) sen(3x) > + < a3sen2(3x) > + ... + < b1 cos(x) sen(3x) > + ...

Todas as médias da direita são nulas, exceto a do termo correspondente a a3. Isso acontece porque cada termo da esquerda (menos o termo de a3) contém a média de um seno ou um cosseno em um período, que é zero. Logo:

Ou

Séries de Fourier

Assim fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx), verificamos, portanto, que:

• a0 = < f(x) > = média de f(x).

• an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).

• bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Se soubermos calcular essas médias, saberemos achar os coeficientes e os termos da série de Fourier.

Transformada de Laplace

• É um método simples que serve para transformar uma Equação Diferencial com condições iniciais em uma equação algébrica, sem que seja necessária a Solução Geral da EDO.

• Ocorre quando há uma descontinuidade na função.

• A transformada de Laplace depende de ‘s’, enquanto que a função original que sofreu a transformação depende de ‘t’.

• Seja f: [0,+∞) −→ R. A transformada de Laplace da função f(t) é denotada e definida por:

Transformada de Laplace

se a integral imprópria converge, pelo menos para algum valor de s.

Transformada de Fourier

• Caso especial da transformada de Laplace unilateral

• Utilizada para determinar a resposta de circuitos elétricos lineares a uma perturbação que ocorre após estabelecidas as condições iniciais.

• Pode ser interpretada como caso limite da série de Fourier quando o período tende ao infinito

Transformada de Fourier• Aplicação da transformada de Fourier:Exemplo: Uma fonte de corrente aperiódica em

um circuito elétrico. Determinar i0(t) no circuito abaixo utilizando a

Transformada de Fourier, quando a corrente de entrada é função sinal, isto é, ig(t) = 20 sgn(t):

• Encontramos a transformada de Fourier de da seguinte forma:

= F{f(t) =20sgn(t)} = 20 () =• Encontramos a função de transferência H(ω)

usando o circuito elétrico, através da função:H(ω)=

• Então vamos encontrar a transformada de Laplace H(s) para encontrar a transformada de Fourier.

H(s)=

• Utilizando a relação anterior e substituindo s= na função de transferência H(ω) no universo da transformada de Fourier:

H(s)= • Encontramos a transformada de Fourier ,

através da transferência de Fourier:

• Encontrar a transformada inversa de Fourier de , expandiremos esta função em frações parciais na seguinte forma:

Onde encontramos o valor de A=10 e B=-10

• Usando a relação anterior e as tabelas de transformadas de Fourier obteremos