ANALISIS DE VIBRACIONES MECANICAS EN COMPONENTES ARMONICAS DE DIFERENTES FRECUENCIAS (TEOREMA DE FOURIER) NELSON EDUARDO JAIMES ARDILA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIAS FISICO MECANICAS ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA BUCARAMANGA 2011 ANALISIS DE VIBRACIONES MECANICAS EN COMPONENTES ARMONICAS DE DIFERENTES FRECUENCIAS (TEOREMA DE FOURIER) NELSON EDUARDO JAIMES ARDILA Trabajo de vibraciones mecnicas para la descomposicin de una vibracin peridica no armnica en sus componentes armnicas. Ing. ALFONSO GARCIA CASTRO UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE INGENIERIAS FISICO MECANICAS ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA BUCARAMANGA 2011 INTRODUCCION Elanlisisdedevibracionesperidicasnoarmnicasdeterminaladescomposicindela vibracin en sus componentes armnicas, de tal forma que la accin de cada una de estas vibraciones determinan la vibracin analizada. A continuacin se desarrolla un proceso en elcualseanalizarandosvibracionesperidicasnoarmnicas,ysedeterminaransus componentes a travs de la implementacin del teorema de Fourier. TEOREMA DE FOURIER cos s tan DESARROLLO yVibracin rectangular o cuadrada con triangular: Primerosedebedeterminarla funcin a trozos que corresponde a la vibracin a analizar: De esta forma tenemos que la funcin que corresponde a esta vibracin es:

Seguidamente se determinanlas variables paradeterminar la amplitud y fase de cada una de las componentes armnicas: ReemplazandoY(t)porlafuncindeterminada anteriormente tenemos que: cos ReemplazandoY(t)porlafuncindeterminada anteriormente tenemos que: cos Para el desarrollo de esta integral se procede a desarrollar una integral por partes: cos sin

Evaluando el intervalo tenemos que: sin cos Como sin cos De esta forma se obtiene la ecuacin general de en funcin de s ReemplazandoY(t)porlafuncindeterminada anteriormente tenemos que: s Para el desarrollo de esta integral se procede a desarrollar una integral por partes: sin cos

sin Evaluando el intervalo tenemos que: Como Teniendo en cuenta que cada una de las componentes armnicas de una vibracin puede ser expresada como una funcin se tiene que: tan Deestaformaseprocedeaevaluarcadaunadelafuncionesparanentre1y10, dependiendodelaprecisinconlaquesedeseelograrunaaproximacinala funcin que esta analizando: Conelobjetivodeevaluarcadaunadelascomponentessedebeasumirun periodo, con lo cual se define: Por lo tanto se tiene: [rad] 1 1,1-1,0039 200,4775-1,5687 3 0,3254-1,3617 400,2387-1,5666 5 0,1925-1,4442 600,1592-1,5645 7 0,137-1,4801 800,1194-1,5624 9 0,1064-1,5002 1000,0955-1,5603 De esta forma se puede determinar el espectro de frecuencia del sistema, para este caso se cuenta con: Enestecasosecuentaconunespectroenelcualse cuenta con una frecuencia en cada uno de los ordenes delsistema,sinembargoseveunatendenciaa disminuir,atalcasoquellegaunpuntoenquela amplitudescasiceroynoinfluyeengranmedidaen el anlisis. Finalmente se puede establecer la evolucin del sistema teniendo en cuenta variaciones en el valor de , para lo cual se cuenta con: De esta forma se puede ver la evolucin de la vibracin para y se puede observar que la suma o respuesta cumple con las expectativas del anlisis. Oscilograma para n=3 Respuesta Oscilograma para n=6 Respuesta Oscilograma para n=10 Respuesta yVibracin con funcin trigonomtrica y constante: Acontinuacinsepresentaelanlisisparaun sistemacompuestoporunafuncin trigonomtricaenlaprimeramitaddelperiodo y una funcin constante en la otra mitad para lo cual definimos la funcin como: cos

Sin embargo para poder desarrollar el anlisis se debe definir el periodo de la funcin, para lo cual se trabajara en un periodo de . Seguidamente se determinan las variables para determinar la amplitud y fase de cada una de las componentes armnicas, para este caso debido a la complejidad del anlisis se decidi usar matlab para el desarrollo de la solucin de las ecuaciones: Reemplazando Y(t) por la funcindeterminada anteriormente tenemos que: cos cos Reemplazando Y(t) por la funcindeterminada anteriormente tenemos que: cos cos

Para cuando y

s Reemplazando Y(t) por la funcindeterminada anteriormente tenemos que: cos s Paia cuanuo y

Tenienuoencuentaquecauaunauelascomponentesaimonicasueunavibiacion pueue sei expiesaua como una funcion se tiene que tan iau -1010,0000 0-0,84880,8488-1,5696 000,0010,0000 0-0,33950,3395-1,5679 000,0010,0000 0-0,21830,2183-1,5662 000,0010,0000 0-0,16170,1617-1,5662 000,0010,0000 0-0,12860,1286-1,5630 e esta foima se pueue ueteiminai el espectio ue fiecuencia uel sistema paia este caso se cuenta con Paiaestecasosecuentaconun espectioenelcualseencuentian algunasfiecuenciassinembaigo algunasotiasnohacenpaiteuel mismouelamismafoimauela anteiioisevequeelespectioempieza ensuvaloimximoyuisminuyehasta cuanuosehacemuypequeoconlo cuallainfluenciaenlavibiacionfinal en minima Finalmentesepueueestableceilaevolucionuelsistematenienuoencuenta vaiiaciones en el valoi ue paia lo cual se cuenta con

Oscilograma para n=3 Oscilograma para n=6 Oscilograma para n=10 Respuesta Respuesta e esta foima se pueue obseivai que la iesolucion ue no peimite obtenei una giafica muy uistinguiua poi lo cual se ueciue uesaiiollai un anlisisms exhaustivo paia n uonue se pueue obtenei Respuesta Oscilograma para n=30 Respuesta Adecuada C0NCL0SI0NES Y 0BSERvACI0NESyEl anlisis ue vibiaciones meuiante el teoiema ue Fouiiei peimite obtenei una muybuenaapioximacionalavibiacionueentiauameuiantela uescomposicion ue la misma en sus componentes aimonicas yEneluesaiiollouelanlisispaiasistemascompuestoconfunciones tiigonomtiicas y funciones ue segunuo o teicei oiuen se uebe tenei especial cuiuauoenelanlisisuelasfasesyaqueunvaloiueceioenelvaloi iepiesentauneiioienelcalculoaluesaiiollai tanpoilocual se uebe uefinii un valoi uistinto ue ceio paia estos casos yPaia el anlisis auecuauo ue sistema poi uescomposicion se uebe establecei un limite ue calculo paia ya que si se foizaia a obtenei exactituu en el calculo se haceextensoypoitantosepueueincuiiiieneleiioiueuaiimpoitanciaa fiecuenciasyamplituuesquepueuennoinfluiiengianmeuiuaenlafuncion en anlisis yConelobjetivoueuesaiiollaianlisisconvelociuausepueuenuesaiiollai piocesosmsipiuosconuiveisasheiiamientascomputacionalestalescomo NatlabEESoNathcauEncuyocasosepueuenevaluaifuncionesms complejasEnestecasoseusomatlabpaiaelanlisispeimitienuoel uesaiiollo ue integiales giaficas e iteiaciones