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2 F() exp(i t) df (t)
La transformadade
Fourier
F() f (t) exp(it) dt
La transformada de FourierSea f(t) una función localmente integrable cuya integral valor absoluto esta
acotada en R.
Se define su transformada de Fourier como:
f (t )eit dtF ()
Siendo la anti-transformada o transformada inversa
F ()eit df (t) 1
2
nos permitenEstas expresiones calcular laaexpresión F() (dominio de la frecuencia)
partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.
función F()Notación: A la se le llama
transformadadenota por F o
de Fourier de f(t) y sef , es decir
f f (t )eit dtF[ f (t)] F () ()
expresiónEn forma similar, a laa
que nos
de F()permite obtener f(t) partir se leyllama transformada inversa
decir
de Fourier–1se denota por F ,es
F ()eit dF 1[F ()] f (t) 1 2
Transformadas integrales
b
F ( ) a K ( , t) f (t) dt
–K(,t): núcleo o kernel.
–Asocia a cada función f(t) en el
espacio t,
F() en el
directo o real, otra función
espacio o recíproco.
–Ejemplos: de Fourier, Wavelet,transformada Z, de Laplace, de
Hilbert, de Radon, etc
Un problema que es difícil de resolver en sus"coordenadas" (espacio t) originales, a menudo,
es más sencillo de resolver al transformarlo a
espacio .
Después, la transformada inversa nossolución en el espacio original.
devuelve la
Problem in
Transform space
Relatively easy solution Solution in
Transform space
Inverse transformIntegral transform
Solution of
original problem
Original
problem
Difficult solution
F()Ejemplo.rectangular
Calcular para el pulso
f(t) siguiente:
f(t)1
t
-p/2 0 p/2
Solución.tiempo de
La expresión en el dominio del
la función es:p0
f (t )
1
0
t 2 p p
t 2 2
p t 2
Integrando:p / 2
f (t )eit dt eit dtF () p / 2
p / 2it 1 e ip / 2 ip / 2 1 (e e )i i p / 2
Usando la fórmulade Euler:
ip / 2 ip / 2e e sen(p / 2)
2i
sen(p / 2)F () p sinc(p / 2)p
p / 2
En forma gráfica, F () p sinc(p / 2)la transformada es:
1
0.5
0
w-50 0 50
F(w
) F(w) con p=1
Algunas funciones no poseen transformada de Fourier
La condición de suficiencia para que la transformada de
Fourier de f(x), F() exista es:
2dx g(x)
es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones
que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a
+ y – en general no tienen transformadas de Fourier.
La transformada de Fourier es en general compleja
La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) sonambas en general complejas.
Ff
la transformada
( x)
( x) Fr (k ) iFi (k )
de Fourier puede escribirse
A(k)ei ( k )
De modo que
Ff
A
A
como:
F (k)
2 2 F FF (k)
r i
amplitud o magnitud espectral
fase espectral
2A2 2 2
F F espectro de potenciaFr i
La transformada de Fourier cuando f(x) es real
La TF F(k) es particularmente simple cuando
f(x) es real:
Fr (k ) f (x)cos(kx)dx
Fi (k ) f (x)sin(kx)dx
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
La transformada de Fourier de la
combinación lineal de dos funciones.
F()f(t)
t
F{af (t) bg(t)} G()g(t)
aF{ f (t)} bF{g(t)}t
F() + G()
f(t) + g(t)
t
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
a
2
0 ,
b
2
t
a
21
2
, tf (t) a b 0;
b
2, t
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
f (t) g(t) h(t)
a
2a
2
b 0 , t 0 , t
2b
2
1
1
g(t) h(t)donde ; , t , t
Luego:
f ( ) h () g()
sen(a
)2
sen(b
)2 f ( ) a b
a b
2 2
F()f(t)
Efecto de
la propiedad
de escaladoPulsocorto
Mientra más
corto es el
pulso, más
ancho es el
espectro.
Pulsomedio
Esta es la esencia
del principio de
incertidumbre en
mecánica cuántica.
Pulsolargo
t
t
t
Convolución
Sef(t)
define la integral de convolución de dos funciones
y g(t) del siguiente modo:
f g(t) f (u)g(t u)du
f (t u)g(t)du
Ejemplo visual:
rect(x) rect(x) = (x)*
El teorema de convolución oteorema de Wiener-Khitchine
Convolución en el espacio real es equivalente
multiplicación en el espacio recíproco.
a
