Integrantes:Integrantes:

Ender Sifontes C.I: 18.827.706Ender Sifontes C.I: 18.827.706

José Infante C.I: 17.161.855José Infante C.I: 17.161.855

Aular Gregory C.I: 18.013.774Aular Gregory C.I: 18.013.774

Néstor Gonzáles C.I: 19.297.838Néstor Gonzáles C.I: 19.297.838

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAREPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO DEL ESTADO BOLIVAR INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO DEL ESTADO BOLIVAR SECCION “10N” ELECTRICIDADSECCION “10N” ELECTRICIDAD

Profesor:Profesor:

Wuilmer ColmenaresWuilmer Colmenares

Ciudad Bolívar Abrir 2010Ciudad Bolívar Abrir 2010

ContenidoContenido

•Reseña Histórica Reseña Histórica

•Definición y FormulaDefinición y Formula

•Propiedades Propiedades

•Ejercicios (Aplicaciones Básicas y En el Ejercicios (Aplicaciones Básicas y En el Campo de Ing. Eléctrica)Campo de Ing. Eléctrica)

•Reseña Histórica de Carlos FourierReseña Histórica de Carlos Fourier

Carlos Fourier. Fundador de la escuela de economistas reformadores, llamada Societaria o Carlos Fourier. Fundador de la escuela de economistas reformadores, llamada Societaria o Falansteriana, nació en Besanzon el 7 de abril de 1772, murió en París en 1837: era hijo de un Falansteriana, nació en Besanzon el 7 de abril de 1772, murió en París en 1837: era hijo de un comerciante de paños, y estuvo empleado en varias casas de comercio hasta la edad de 60 comerciante de paños, y estuvo empleado en varias casas de comercio hasta la edad de 60 años. Se entregó muy joven a la vida solitaria y a investigaciones especulativas sobre la años. Se entregó muy joven a la vida solitaria y a investigaciones especulativas sobre la organización de la sociedad, Publicó sus ideas por primera vez en 1808 bajo el título de organización de la sociedad, Publicó sus ideas por primera vez en 1808 bajo el título de «Teoría de los cuatro movimientos». «Teoría de los cuatro movimientos».

Se proponía en ella fundar un orden social en que todas las pasiones humanas, buenas o Se proponía en ella fundar un orden social en que todas las pasiones humanas, buenas o malas, encontrasen un lugar legítimo y una satisfacción que redundase en provecho general, malas, encontrasen un lugar legítimo y una satisfacción que redundase en provecho general, en que todas las capacidades fuesen aplicadas y donde fuese un derecho y un atractivo para en que todas las capacidades fuesen aplicadas y donde fuese un derecho y un atractivo para todos, y no una obligación penosa acudir al bienestar universal; y para este fin, quería asociar todos, y no una obligación penosa acudir al bienestar universal; y para este fin, quería asociar a los hombres en capital, trabajo y talento por grupos, series, después falanges, por medio de a los hombres en capital, trabajo y talento por grupos, series, después falanges, por medio de la «atracción apasionada,» que, según él, es la ley de la humanidad. la «atracción apasionada,» que, según él, es la ley de la humanidad.

A pesar del poco éxito que tuvieron sus teorías, continuó desarrollándolas en el «Tratado de la A pesar del poco éxito que tuvieron sus teorías, continuó desarrollándolas en el «Tratado de la asociación doméstica agrícola» (1822), en el «Nuevo Mundo industrial» (1829), y en «La falsa asociación doméstica agrícola» (1822), en el «Nuevo Mundo industrial» (1829), y en «La falsa industria» (1835); creó en 1832, ayudado por algunos discípulos, el diario el Falansterio que industria» (1835); creó en 1832, ayudado por algunos discípulos, el diario el Falansterio que vio la luz dos años seguidos, y que después de esta interrupción volvió a publicarse en 1836, vio la luz dos años seguidos, y que después de esta interrupción volvió a publicarse en 1836, bajo el título de la «Falange o diario de la ciencia social,» cuya publicación no ha cesado bajo el título de la «Falange o diario de la ciencia social,» cuya publicación no ha cesado después. después.

Su doctrina poco fácil de comprender en sus obras, ha sido resumida y aclarada por M. V. Su doctrina poco fácil de comprender en sus obras, ha sido resumida y aclarada por M. V. Consideran, uno de sus discípulos, en un libro intitulado «Destino Social.» Madama Gatti de Consideran, uno de sus discípulos, en un libro intitulado «Destino Social.» Madama Gatti de Gamond publicó en 1838 «Fourier y su sistema;» pero esta obra, no ofrece según los Gamond publicó en 1838 «Fourier y su sistema;» pero esta obra, no ofrece según los falansterianos, sino una exposición defectuosa. {falansterianos, sino una exposición defectuosa. {Diccionario Universal de Historia y Geografía,Diccionario Universal de Historia y Geografía, Establecimiento tipográfico de D. Francisco de Paula Mellado, Madrid 1847, Establecimiento tipográfico de D. Francisco de Paula Mellado, Madrid 1847,

•Definiciones y FormulasDefiniciones y Formulas

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier (1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas 1830), es una representación de una función periódica como una suma de funciones periódicas de la formade la forma

que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier han sido definidas desde entonces.

Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=Nos preguntamos: si y=ff(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible (x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cualdeterminar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremosexcepto cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos sonEntonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras, (1)En otras palabras, (1)

En la que (2)En la que (2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), esLa ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es (3) (3)

DescripciónDescripción

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria mediante la superposición de un número suficientemente grande de una precisión arbitraria mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función Toda función f(t)f(t) periódica de periodo periódica de periodo PP, se puede representar en forma de una suma infinita de , se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,funciones armónicas, es decir,

donde el periodo donde el periodo P=2P=2p/p/ww, y , y aa00, a, a11, ...a, ...aii ... ... y y bb11, b, b22, .... b, .... bii .... .... son los denominados coeficientes de son los denominados coeficientes de

Fourier. Fourier.

Para aplicar el teorema de Fourier a una función periódica dada, es necesario determinar los Para aplicar el teorema de Fourier a una función periódica dada, es necesario determinar los coeficientes coeficientes aaii y y bbii..

•PropiedadesPropiedades

La serie de fourier de la función f(x)La serie de fourier de la función f(x)

a(0) / 2 + (k=1..) (a(k) cos kx + b(k) sin kx) a(0) / 2 + (k=1..) (a(k) cos kx + b(k) sin kx) a(k) = 1/PI f(x) cos kx dxa(k) = 1/PI f(x) cos kx dxb(k) = 1/PI f(x) sin kx dx b(k) = 1/PI f(x) sin kx dx

El residuo de la serie de fourierEl residuo de la serie de fourier..

Sn(x) = la suma de los primeros n+1 términos a x. Sn(x) = la suma de los primeros n+1 términos a x. el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt el residuo(n) = f(x) - Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt Sn(x) = 1/PI f(x+t) Dn(t) dt Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [ 2sin(x/2) ] Dn(x) = Dirichlet kernel = 1/2 + cos x + cos 2x + .. + cos nx = [ sin(n + 1/2)x ] / [ 2sin(x/2) ]

Teorema de RiemannTeorema de Riemann. .

Si f(x) es continuo a excepción de un número finito de saltos finitos en todos los intervalos finitos Si f(x) es continuo a excepción de un número finito de saltos finitos en todos los intervalos finitos pues: pues: lim(k->) f(t) cos kt dt = lim(k->)f(t) sin kt dt = 0 lim(k->) f(t) cos kt dt = lim(k->)f(t) sin kt dt = 0

La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario. La serie fourier de la función f(x) en un intervalo arbitrario.

A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ] A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(PI)x / m) + B(k) (sin k(PI)x / m) ] a(k) = 1/m f(x) cos (k(PI)x / m) dxa(k) = 1/m f(x) cos (k(PI)x / m) dxb(k) = 1/m f(x) sin (k(PI)x / m) dxb(k) = 1/m f(x) sin (k(PI)x / m) dx

La Integral Fourier de la función f(x)La Integral Fourier de la función f(x)

f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy a(y) = 1/PI f(t) cos ty dta(y) = 1/PI f(t) cos ty dtb(y) = 1/PI f(t) sin ty dtb(y) = 1/PI f(t) sin ty dtf(x) = 1/PI dy f(t) cos (y(x-t)) dt f(x) = 1/PI dy f(t) cos (y(x-t)) dt

Casos Espaciales de la Integral FourierCasos Espaciales de la Integral Fourier

si f(x) = f(-x) pues si f(x) = f(-x) pues f(x) = 2/PI cos xy dy f(t) cos yt dtf(x) = 2/PI cos xy dy f(t) cos yt dtif f(-x) = -f(x) then if f(-x) = -f(x) then f(x) = 2/PI sin xy dy sin yt dtf(x) = 2/PI sin xy dy sin yt dt

(Transforms) de Fourier(Transforms) de Fourier

Transform Fourier Coseno Transform Fourier Coseno

g(x) = (2/PI)f(t) cos xt dt g(x) = (2/PI)f(t) cos xt dt

Transform) Fourier Seno Transform) Fourier Seno

g(x) = (2/PI)f(t) sin xt dt g(x) = (2/PI)f(t) sin xt dt

Identidades de los (tranforms)Identidades de los (tranforms)

Si f(-x) = f(x) pues Si f(-x) = f(x) pues Transform Fourier Coseno ( Tranform Fourier Coseno (f(x)) ) = f(x)Transform Fourier Coseno ( Tranform Fourier Coseno (f(x)) ) = f(x)Si f(-x) = -f(x) pues Si f(-x) = -f(x) pues Transform Fourier Seno (Transform Fourier Seno (f(x)) ) = f(x)Transform Fourier Seno (Transform Fourier Seno (f(x)) ) = f(x)

•Ejercicios de Aplicación BásicaEjercicios de Aplicación Básica

EjercicioEjercicio

Calcule la serie de Fourier de la funciónCalcule la serie de Fourier de la función

c) Respuestac) Respuesta

Definición. Si Definición. Si f(t)f(t) es una función periódica es una función periódica f f ((tt)) = f = f ((t+Tt+T), entonces su ), entonces su serie de Fourier serie de Fourier está dada está dada por:por:

donde donde w = 2p f w = 2p f = = 2p / T2p / T. Esta serie es válida para un intervalo de ancho . Esta serie es válida para un intervalo de ancho TT, y, y

EjercicioEjercicio

Demuestre estas fórmulas (use la definición de producto interno, introducido al inicio deDemuestre estas fórmulas (use la definición de producto interno, introducido al inicio de este este tema).tema).

2,

,0

tM

tMtf

5,03

0,50

t

ttf

k

kbaa kk

cos13,0,2

30

tkbtka+2a = f(t) kk

1=k

0

sincos

2

2

2

2

sin

cos

T

Tk

T

Tk

dttkf(t)T

2 = b

dttkf(t)T

2 = a

kk fc ,

I

b

a

dttgtf

dttgtfgf

)()(

)()(,

Ejercicios Ejercicios

Calcule la serie de Fourier para Calcule la serie de Fourier para ff((tt) = exp (- ) = exp (- tt) en [0, 0.5] y ) en [0, 0.5] y

grafique los valores de grafique los valores de ckck y y f k.f k.

función periódica exp(-t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-1.1 -0.6 -0.1 0.4 0.9

Respuesta:Respuesta:

79.0,4arctan

,161

279.0

79.0

,161

879.0,

161

279.0

0

22

0

2222

ck

kc

ak

kb

ka

k

k

kk

•Ejercicios en el Campo de la In. EléctricaEjercicios en el Campo de la In. Eléctrica

Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario u(t):u(t):

•Graficar U(w)=F[u(t)]Graficar U(w)=F[u(t)]•¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)?¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)?•¿Cuál es la frecuencia predominante?¿Cuál es la frecuencia predominante?

u(t)

0

1

t

Cuando la función f(t) está dada por una lista de N valores f(t1), Cuando la función f(t) está dada por una lista de N valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces la integral que define la Transformada de Fourier:la integral que define la Transformada de Fourier:

Se convierte en la sumatoriaSe convierte en la sumatoria

(Donde k es la frecuencia discreta)(Donde k es la frecuencia discreta)Llamada Transformada Discreta de FourierLlamada Transformada Discreta de Fourier

dte)t(f)(F tj

Nn1para,e)t(f)n(FN

1k

)1k(jk

Nn2

Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):

Solución. Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

n

2

n

2/T

2/T

2T1 cdt)]t(f[

])1(1[c nn1

n

...491

251

91

18

c 2n

2

n

•Referencias BibliografiítasReferencias Bibliografiítas

• http://www.math2.org/math/advanced/es-fourier.htm• http://mwt.e-technik.uni-ulm.de/lehre/http://mwt.e-technik.uni-ulm.de/lehre/

basic_mathematics/fourier_es/node2.php3basic_mathematics/fourier_es/node2.php3• http://www.geocities.com/informal8m/http://www.geocities.com/informal8m/

Historiamates.htmHistoriamates.htm• http://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.dochttp://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.doc• http://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.dochttp://www.mor.itesm.mx/~rfernand/SeriFou.doc