Series de Fourier

Series de Fourier

1

Sensibilización

http://cmportal.itesm.mx/wps/portal

Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY 2

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

Fue en Grenoble ( Sur de Francia ) donde Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) condujo sus experimentos sobre la propagación del calor que le permiten modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas.

Estos trabajos provocan un adelanto en el proceso de modelación matemática en fenómenos físicos y contribuyeron a los fundamentos de la termodinámica.

Sin embargo, la simplificación excesiva que proponen estas herramientas fue muy debatida, principalmente por Pierre-Simon Laplace y Joseph-Louis Lagrange.

http://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier



http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica

http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace



http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange


http://maps.google.com.mx/maps?q=Grenoble&hl=es&prmd=ivns&gs_upl=2844l2844l0l3297l1l1l0l0l0l0l187l187l0.1l1l0&um=1&ie=UTF-8&hq=&hnear=0x478af48bd689be6f:0x618c10cd6e995398,Grenoble,+Francia&gl=mx&ei=64GwTtSTK6GtsAKX4YzDAQ&sa=X&oi=geocode_result&ct=title&resnum=3&ved=0CBgQ8gEwAg


Fourier, seguidor de la teoría matemática de la conducción del calor, estableció la ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor solucionándolo por el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. En esto introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier.

El trabajo de Fourier provee el ímpetu para más tarde trabajar en series trigonométricas y la teoría de las funciones de variables reales.

En la obra Théorie analytique de la chaleur (Teoría Analítica del calor) (1822) de Fourier, los dos primeros capítulos tratan problemas sobre difusión de calor entre cuerpos disjuntos en cantidad finita, es decir el problema discreto.




En el capítulo III Difusión del calor en un cuerpo rectangular infinito es donde Fourier introduce su método original de trabajo con series trigonométricas.

Otro trabajo importante de J. Baptiste J. Fourier fue en el método de eliminación para la solución de un sistema de desigualdades, teoría muy usada actualmente para programación lineal.




Conceptos Principales

En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que: cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas armónicamente.

Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una serie de Fourier.

Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma de senoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no todas están relacionadas armónicamente.

Al igual que las series de Fourier, la integral de Fourier, llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).





La mayoría de las señales se distorsionan cuando pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es una señal sinusoidal pura.

Sumando las primeras 40 componentes defrecuencia de la señal periódica.

Las primeras componentes de frecuencia son:

Sumando las primeras 3 componentes defrecuencia de la señal periódica.

Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.




AplicacionesContenido: Señales y sistemas .

Señal Sistema Respuesta

Señal= función real del tiempo

)(tf

Señal eléctrica: forma de onda de voltaje o corriente Resistencia estándar, para todos los cálculos de energía y potencia se asume una resistencia de 1 ohm.

frecuenciaffase

fangularfrecuencia

amplitudA

tAtf

:,:

2:

:

)cos()(




Justificación: :Señales y sistemas .

Análisis de Fourier descompone una señal en una suma de señales senoidales y analiza como se distribuye la energía y la potencia en cada una de esas frecuencias

Las señales se clasifican en: • Señales de Energía y • Señales de Potencia

Las Señales de Energía es una señal en forma de pulso que existe sólo en un intervalo finito de tiempo, o en la que al menos tiene la mayor parte de la energía concentrada en un intervalo finito de tiempo




Señales y sistemas .

Energía disipada por la señal en el intervalo de tiempo es:

dtt

ttfE

2)(2

1

Señal de energía se define como la señal que tiene energía finita aún cuando el intervalo de tiempo es infinito esto es cuando

quemenordttfE ;2

)(





Las primeras componentes de frecuencia son: Sumando las primeras 3 componentes de

frecuencia de la señal periódica.Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.

Ejemplos: Señales de pulso RectangularSeñales de pulso SenoidalSeñales de pulso Exponencial Señales de pulso Gaussiano





Potencia promedio disipada por la señal

dtt

ttf

ttP

2)(

)12(

1 2

1





Señal de Potencia, se define como la señal que tiene potencia promedio finita, pero diferente de cero, aún cuando el intervalo de tiempo es infinito esto es cuando:

dttfT

T

T

2

)(lim02/

2/



Cuando se aplica a un sistema lineal invariante en el tiempo, una señal sinusoidal no cambia su formapero sí cambian:– Su amplitud.– Su fase.

• En general, el cambio en la amplitud y en la fase dependen:– del sistema.– de la frecuencia de la señal sinusoidal.





Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.




Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda .

Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier.

Imágenes en 3D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: YongKeun Park, Michael Feld y Subra Suresh)

Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno

http://www.falstad.com/membrane/

Sensibilización:Otra razón para estudiar a Fourier


http://www.falstad.com/mathphysics.html


http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_05_06/io2/public_html/images/percusion/modostimbal2.jpg


Departamento de Matemáticas Campus MONTERREY


16

Hacia las Series de Fourier ( justifications matemáticas)

Continua por partes

La teoría de Series de Fourier trabaja con desarrollos en series trigonométricas. Primero revisaremos algunas propiedades de las funciones, particularmente importantes para este estudio: la continuidad por partes, la periodicidad y la simetría par e impar.

Un función es continua por partes en [a, b] si f es continua en cada punto [a, b], excepto posiblemente para un número finito de puntos donde f tiene una discontinuidad de salto . Tales funciones son integrables en cualquier intervalo finito donde sean continuas por partes.

Periodicidad

Una función es periódica con periodo T si para toda x en el dominio de f . Si se cumple lo anterior, tambien se cumple f(t)=f(t+2*T)=f(t+3T) etc. El menor valor positivo se llama el período fundamental.

)()( xfTxf

Las funciones trigonométricas sen x y cos x son ejemplos de funciónes periódicas, con período fundamental 2π y tan x es períodica con período fundamental π.




17

Función Par

Una función par es aquella que satisface para toda x en el dominio de f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al eje y.

)()( xfxf

Una función impar es aquélla que satisface para toda x en el dominio de f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al origen.

)()( xfxf

Función Impar

x

xx

cos

,....,,1 42Ejemplos

Ejemplos 53 ,, xxx




El producto de dos funciones pares es una función par.

El producto de dos funciones impares es una función par.

El producto de una función par y una impar es impar

La suma ( resta ) de dos funciones pares es una función par.

La suma ( resta ) de dos funciones impares es una función impar.

adxxf

a

a

dxxf

0

)(2)(Si f es una función par, entonces

Si f es una función impar entonces 0)(

a

a

dxxf

Propiedades



Determina si la funciones siguientes son de la forma par o impar, o ninguna de ellas.

19

205

025)()8

)()6

4)()4

cos)()23

xx

xxxf

eexf

xxxf

xxxf

xx



Producto interno de Funciones

Funciones ortogonales

El producto interno de dos funciones en un intervalo [a,b]es el numero obtenido al evaluar la integral

b

a

dxxfxfff )(2)(12,1

Se dice que dos funciones son ortogonales en un intervalo [a,b] si el producto interno entre ellas es cero, es decir si:

0)()(, 2121 b

a

dxxfxfff


2,1 ff

2,1 ff



]2,2[2

cos)(,1)()8

.n

]2

,0[3)(,)()7

],[3)(,cos)()4

]1,1[1)(,)()2

21

21

21

22

31

tambienesto. cumpleimpar mcon x)*sen(m entre producto el :ota

enx

xfxf

enxsenxfsenxxf

enxsenxfxxf

enxxfxxf

Determina si las funciones dadas son ortogonales en el intervalo indicado.




]2,2[2

cos)(,1)()8 21 enx

xfxf

]3,3[3

cos)(,1)()9 21 enx

xfxf

]2,2[2

)(,1)()10 21 enx

senxfxf

]3,3[3

)(,1)()11 21 enx

senxfxf

],[)(,1)(* 21 ppenp

xsenxfxf




EN GENERAL, EL CONJUNTO

FORMA UN CONJUNTO ORTOGONAL, ES DECIR…LOS PRODUCTOS INTERNOS ENTRE ELLOS SON SIEMPRE CERO EN EL INTERVALO [-P,P]




A continuación algunos lineamientos:

• Norma cuadrada

)(

2)(

tffunciónlade

tf




2

1

2

1

0)()(*)(*)(

t

t

dttntmdt

t

t

tmtn

1

)()( tnnftf

Dos funciones complejas son ortogonales en el intervalo [t1, t2] si

Dos funciones complejas son mutuamente ortogonales en el intervalo [t1, t2] si

mnsinK

mnsidt

t

t

tmtn

;0)(*)(2

1


)(*)( tmtn



ntodaparadt

t

t

tnnK ,12)(2

1

• Se dice que el conjunto de funciones está normalizado si

• Si el conjunto de funciones es ortogonal y esta normalizado se llama conjunto ortonormal

1

)()(

n

tnnftf


)(tn

)(tn

• Una función arbitraria se puede representar en una serie de funciones ortogonales como

)(tf

• en donde los coeficientes pueden determinarse como

)(tnf



1

)()(

n

tnnftf


• en donde los coeficientes pueden determinarse como sigue: Sea:

)(tnf

1

**

1

)(*)(

*

1

)(*)(

2

1

2

1

2

1 nmKm

t

t

dtmnnf

t

t

t

t

dtmn

tnnfmtf

mn

tnnfmtf

Por tanto:

2

1

2

1

*

*)(

t

t

dtmn

t

t

dtntf

nf

2

1

)(*)(1

t

t

dttntfnKnf

O bien:




• Cálculo del error que se tiene al aproximar con una sumatoria de N términos en lugar de una serie infinita

De donde el error cuadrático :

O bien:

)(tf

)(

1

)()( tN

n

tnnftfN

N

n

tnnftf

t

t

N

n

tnnftfdt

t

t

tN

1

)()(

1

)()(2

)(2

1

2

1

nKN

nnfdt

t

t

tfdt

t

t

tN

2

1

2)(2

)(2

1

2

1




• desarrollando se llega a

De donde el error cuadrático para un conjunto ortogonal completo :

ParsevaldeTeoremanK

n

tfdt

t

t

tf ,

2

1

)(

2

)(2

1

02

)(2

1

dt

t

t

tNLimN

Parseval de Teorema n K

n

t f dt

t

t

t f,

2

1

) (

2

) (2

1

1

)()(

n

tnnftf Es la representación en una serie generalizada de Series de Fourier




• Cierta función rectangular esta definida

21,1

101)(

x

xtf

Se desea aproximar esta función de energía finita empleando un conjunto de funciones definidas por

0),()( quemayorntnsentn

Solución: El conjunto es un conjunto ortonormal en

)( tnsen

mn

mntmsentnsen

0

12

0)()(




• Por lo tanto

En donde

1

0

2

1)()()(

2

0)( dttnsendttnsendttnsentfnf

)(

1

)( tnsen

nnftf

2

0)(2

2

0

)()(

dttnsen

dttnsentf

nf

)}(cos1{22

1

)cos(1

0

)cos(

nnn

tn

n

tn




• Por lo tanto

En donde el error cuadrático integral puede calcularse a partir de

nKt

t

N

n

tfdttfdtt

t NN

2

1

)(2)(2

2

1

2

1

......)5(

5

13

3

14)( tsentsentsentf

2

0379.)

4(22

1 e

2

0119.

2

3

42422

3 e

2

0134.

2

5

42

3

42422

5 e

2

0101.

2

7

42

5

42

3

42422

7 e




• Por lo tanto %192/

2

0379.)

4(22

1 e

%102/2

0119.

2

3

42422

3

e

%7.62/2

0134.

2

5

42

3

42422

5

e

%1.52/2

0101.

2

7

42

5

42

3

42422

7

e

Alrededor del 95% de la energía esta contenida en los primeros cuatro términos




34

SERIE DE FOURIER ( Equivalencia en la representación en serie trigonométrica de f(t) )

Definición 1. Sea f una función continua por partes en el intervalo [-T,T]. La serie de Fourier de f es la serie trigonométrica

)cos(2

)(1

0

n

nn p

xnsenb

p

xna

axf

Donde y están dadas por las fórmulas:na nb

,....2,1,0cos)(1

ndxp

xnxf

pa

p

pn

,....3,2,1)(1

ndxp

xnsenxf

pb

p

pn

Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente




35

EJEMPLO 1

xx

xxf

0,

0,0)(

0

cos1

cos)(1

nxdxxnxdxxfan

Calcular la serie de Fourier de

Solución En este caso, T=π. Obtenemos los coeficientes con las fórmulas anteriores.

n n

usenuun

uduun

0 022cos

1cos

1

,...3,2,1,111

1cos1

22 n

nn

nn

0 0

2

0 22

1)(

1 xxdxdxxfa




36

EJEMPLO 1 (continuación)

0

)(1

)()(1

dxnxxsendxnxsenxfbn

Solución

n n

uuusenn

duuusenn

0 022cos)(

1)(

1

,..3,2,1.)1(cos 1

nnn

n n

1

1

2)(

)1(cos1)1(

1

4)(

n

nn nxsen

nnx

nxf

Por lo tanto,

...5cos

25

13cos

9

1cos

2

4xxx

...3

3

12

2

1xsenxsensenx



EJEMPLO 2 Calcular la serie de Fourier de

xx

xxf

0,

0,0)(

12

)(1

cos)1(11

4)(

n

n nxsenn

nxn

xf


Solución: Usted podrá llegar a esta representación, puede utilizar el tutorial, si lo hace en la calculadora, puede acceder al proceso de solución en la pagina del curso.




Gráfica del problema anterior

38

http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/home.htm

http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/home.htm



EJEMPLO 3 Calcular la serie de Fourier de

xx

xxf

0,

0,0)( 2





40

EJEMPLO 4

x

xxf

0,1

0,1)(


Solución De nuevo, T=π. Observe que f es una función impar. Como el producto de una función impar y una función par es impar, f(x) cos nx también es una función impar. Así,

,....2,1,0,0cos)(1

nnxdxxfan

Además, f(x) sen nx es el producto de dos funciones impar y por tanto es una función par, de modo que

,...3,2,1,)1(12cos2

)(2

)()(1

00

nnnn

nxdxnxsendxnxsenxfb

n

n

imparnn

parn

,4

,0

Así

...)5(5

1)3(

3

1)(

4)(

])1(1[2~)(

1

xsenxsenxsennxsenn

xfn

n




41

EJEMPLO 5 11,)( xxxf Calcular la serie de Fourier de

Solución En este caso T=1. Como f es una función par, f(x)sen nπx es una función impar. Por consiguiente,

,....3,2,1,0)()(1

1 ndxnxsenxfbn

Como f(x) cos nπx es una par, tenemos

1

1

1

0

1

0

20 12)( xxdxdxxfa

Por lo tanto

1222

...5cos25

13cos

9

1cos

4

2

1cos]1)1[(

2

2

1~)(

n

n xxxxnn

xf

1

1

1

0 022

1

0

2 cos2

cos2cos)(n

n uduun

xxdxnxxdxnxfa

,...3,2,1],1)1[(2

)1(cos2

][cos2

2222022 n

nn

nusenuu

nnn




42

RECORDEMOS LAS PROPIEDADES DE FUNCIONES PARES E IMPARES

SUPONGAMOS QUE f (x) espar

)cos(2

)(1

0

n

nn p

xnsenb

p

xna

axf

ENTONCES

pp

pn dxp

xnxf

pdx

p

xnxf

pa

0cos)(

2cos)(

1

p

pn dxp

xnsenxf

pb 0)(

1

Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente

YA QUE EL PRODUCTO DE PARES ES PAR

YA QUE EL PRODUCTO DE PAR POR IMPAR ES IMPAR




43

SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER

Definición 2. Sea f(x) continua por partes en el intervalo [0,T]. La serie de cosenos de Fourier de f(x) en [0,T] es

1

0 ,cos2 n

n T

xna

a Donde

T

n ndxT

xnxf

Ta

0,...1,0,cos)(

2

La serie de Fourier de senos de Fourier de f(x) en [0,T] es

1

,n

n T

xnsenb

Donde

T

n ndxT

xnsenxf

Tb

0,...2,1,)(

2




44

EJEMPLO 1

xx

xxxf

2,20,

)(

0

2/

02/

)()(2

)(2

)()(2

dxnxsenxdxnxxsendxnxsenxfbn


Solución Usamos las fórmulas anteriores con T=π, para obtener

n

n

nduuusen

ndxnxsenusenudu

n

2/22/

2/

02)(

2)(2

2

n

n

nuuusen

n

nn

nuuusen

n

2/2

2/

02)]cos()([

2

2coscos

2cos)(

2

imparnn

parnn

senn

n

,)1(4

,0

2

4

2

2/)1(2




45

EJEMPLO 1 (continuación)

0

2...5

25

13

9

14)12(

)12(

)1(4

k

k

xsenxsensenxksenk

Solución Así que al hacer n=2k+1, tenemos que la serie de senos de Fourier para f(x) es

La función f(x) es continua y f ´(x) es continua por partes en (0,π), de modo que el teorema de la convergencia puntual de las series de Fourier implica que

....5

25

13

9

14)( xsenxsensenxxf

Para toda x en [0,π]




46

SERIE DE FOURIER COMPLEJA

Sea f una función de variable real, periódica con periodo fundamental p. Supongamos que f es integrable en [-p/2,p/2]. La serie de Fourier en este intervalo es

1

0 ,)()cos(2

1

nonon xnsenbxnaa

Con . Se reescriben las ecuaciones como p/20

10 ,

2

1

2

1

2

10000

n

xinxinn

xinxinn ee

ibeeaa

10 ,)(

2

1)(

2

1

2

100

n

xinnn

xinnn eibaeibaa

En la serie sea y para cada entero positivo 00 2

1ad )(

2

1nnn ibad




47

Entonces la serie llega a ser

SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación)

xin

nn

xin

nn

n

xinn

xinn ededdededd 0000

110

10 ][

Ahora consideramos los coeficientes. Primero, 2/

2/00 )(1

2

1 p

pdttf

pad

Y, para n=1,2,…

2/

2/

2/

2/ 00 )()(2

2)cos()(

2

2

1)(

2

1 p

p

p

pnnn dttnsentfp

idttntf

pibad

2/

2/

0)(1 p

p

tin dtetfp

Y, para n=1,2,…

2/

2/

2/

2/

00 )(1

)(1 p

p ntinp

p

tin

n ddtetfp

etfp

d




48

SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación 2)

Ponemos estos resultados en la serie para obtener

11

000

n

xinn

n

xinn ededd

11

000

n

xinn

n

xinn ededd

n

xinn

nn

xinn ededd 00

0,0

Hemos encontrado esta expresión rearreglando los términos en la serie de Fourier de una función periódica f .




49

TEOREMA

Sea f periódica con un periodo fundamental p. Sea f suave a pedazos en [-p/2, p/2]. Entonces, en cada x la serie de Fourier converge a

))()((2

1 xfxf

El espectro de amplitud de la serie de Fourier compleja de una función periódica es la gráfica de los puntos , en donde es la magnitud del complejo .

Algunas veces este espectro de amplitud es llamado también espectro de frecuencia.

),( 0 ndn nd nd




50

EJEMPLO4/3)( xxf Sea para para todo x. Entonces f es periódica con

periodo fundamental 8. )()8(,80 xfxfyx

Aquí p=8 y . Recordemos que en las fórmulas para los coeficientes se puede realizar la integración sobre cualquier intervalo de longitud 8. Aquí es conveniente usar [0,8] en lugar de [-4,4] debido a como está definida f(x). Entonces.

4/0

0

40 34

3

8

1tdtd

Si usamos el intervalo [-4,4], entonces podríamos calcular

0

4

4

00 34

3

8

1)8(

4

3

8

1tdtdttd

Ahora, 8

0

4/ 3

4

3

8

1

n

idtted in

n La serie de Fourier compleja es

0,

4/133

nn

ixnenn

i

Esta serie converge a f(x) para 0< x <8, 8< x <16, 16 < x < 24…. .8< x <0, -16 < x < -8

Para trazar el espectro de amplitud, calculamos . Como el espectro de amplitud es un trazo de los puntos n

dd n

3,30 4/0 nn

n

n

3

,4


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