Transformada de Fourier

5. Transformada de Fourier

ITESOSeptiembre-Diciembre 2010Alberto E. Snchez Hernndez

Contenido 5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la

Transformada de Fourier 5.2 Propiedades de la Transformada de Fourier 5.2.1 Linealidad 5.2.2 Simetra 5.2.3 Desplazamiento en el Tiempo y en la

Frecuencia 5.2.4 Diferenciacin e Integracin 5.2.5 Escalamiento en el Tiempo y en la Frecuencia 5.2.6 Convolucin en el Tiempo 5.2.7 Convolucin en la Frecuencia

Contenido 5.3 Transformada de Fourier de Funciones

Peridicas 5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de

un Sistema

5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de Fourier

Permite conocer el contenido de Componentes Frecuenciales de lasseales No Peridicas.Dada una funcin No Peridica:

Versin Peridica Serie de Fourier. Si el Periodo tienda a infinito, las Serie de Fourier

converge en la Transformada de Fourier.

5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de FourierDada una funcin No Peridica:

Esta puede ser aproximada por una funcinperidica cuando T

( ) ( )tftfTT =lim

5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de FourierLa funcin peridica puede aproximarse por la serieexponencial de Fourier, de la manera:

( ) 0 0 2,jn tT nn

f t c eT

=

= =Donde:

( ) ( )0 0/2 /2/2 /2

1 1 , 0, 1, 2, T T

jn t jn tn T

T T

c f t e dt f t e dt nT T

= = =

entonces

( ) ( )

( )

0 0

0 0

/2

/2

/2

0/2

1

12

Tjn x jn t

Tn T

Tjn x jn t

n T

f t f x e dx eT

f x e dx e

=

=

= =


Cambiando w0 por w, obtenemos:

Haciendo T , wdw y nw tiende a la variable continua w; T/2 tiendea ; por lo tanto obtenemos:

( ) ( )/2/2

12

Tjn x jn t

Tn T

f t f x e dx e =

=

( ) ( )( ) [ ]

12

1 ( )2

j x j t

j t

f t f x e dx e d

f t F e d

= =


De donde obtenemos las identidades de Fourier:

( ) ( ) j tF f t e dt

= En el caso de querer obtener la transformada de Fourier que depende de la frecuencia f natural (Hz), tendremos:

( ) ( ) dtetffF ftj 2=


El proceso inverso a la TF, para calcular la Seal en el Tiempo a partir de la transformada de Fourier, es la Transformada Inversa de Fourier (TFI):

( ) ( )12

j tf t F e d

=

En el caso de querer obtener la seal en el tiempo a partirde la transformada de Fourier que depende de la frecuencia f natural (Hz), tendremos:

( ) ( ) 212

j ftf t F f e df

=

Ejemplo 1 Transformada de Fourier

Ejercicio: Obtener la transformada de Fourier de la siguiente funcin, que llamaremos pulso de duracin :

( )

( )

( )

12

02

f t AP t

tP t

t

= = >

A donde


( ) ( ){ } ( ){ }( )/2 /2 /2

/2

2 22

2

j t j j

F f t AP t

AAe dt e ejw

senAsen A

= = = =

= =


( )F

( ){ }arg F

En el dominio de la frecuencia obtenemos F(w):

( ) ( )( )22sen

F A

=

1


( )

=

= 00,1

)(sin xxxsen

xxc

En el dominio de la frecuencia obtenemos F(f).

( ) sin ( )F f A c f =Donde utilizamos la definicin de la funcin sinc(.) como:

( )F f

( ){ }arg F f


(=0.8)

( ) 00 0

0

te tf t

t

>= >

( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0

0

1 1

j tt j t

j t

F e e dt e dt

ej j

+

+

= =

= = + +

Ejemplo 2 Transformada de FourierPara graficar, es necesario separar en parte real e imaginaria la transformada, para poder obtenermagnitud y fase.

( )( )( )

{ } ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 21 1

2 2

1

1( )

arg ( ) tan tan

j jj j

F

F

= + + + = + = + + +

+ = = +


( )1tan


( ) 10== =

tjwtjwt edtet

Transformada de la Funcin Delta de Dirac


( )( ) ( ) ( ) ( 1)f t sen t u t u t=


( ) ( ){ }

( )

1 1

0 011 ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

( ) ( )

2

( )2

12 2 ( ) ( )

1 1 12

1 1 12

j t j tj t j t

j t j t j t j t

j j

j j j j

e eF f t sen t e dt e dtj

e e e edtj j j j

e ej

e e e e

+ +

+

= = =

= = + = + + +

= + + + +

2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 12

1 ( ) ( ) 22

1 ( ) ( ) (cos 1)2 2

j j

j j j j

j j j j

e e

e e e e

j e e e e j senj

= + + + + + += +

+ + = + + =

5.2 Propiedades de la Transformada de Fourier

Linealidad.

Simetra.

Desplazamiento en el Tiempo y en la Frecuencia.

Diferenciacin e Integracin.

Escalamiento en el Tiempo y en la Frecuencia.

Convolucin en el Tiempo Multiplicacin en la Frecuencia.

5.2.1 Linealidad

Si f1(t)F1(w), y f2(t)F2(w), entonces:F {1f1(t)+2f2(t)} 1F1(w)+2F2(w).

Esta propiedad define que la transformada de una suma de funciones ponderadas es igual a la suma ponderada de lastransformadas individuales.

5.2.2 Simetra

Si f(t)F(w), entonces F(t) 2f(-w).

Esto significa que existe un dualidad en los dominiostiempo-frecuencia, que implica que si reconocemosuna forma de onda f1(t), en una funcin F2(w) quequeremos antitransformar, entonces el resultadoesperado f2(t), tendr la misma forma que F1(w).

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 , 22

2 , 2

jwt jwt

jwt jwt

f t F w e dw f t F w e dw

f t F w e dw f w F t e dt

= =

= =

Aplicacin Propiedad de Simetra

( ){ } { } ( ) ( )1 1 2 2t = = =Transformada de la Funcin Constante f(t)=1

Transformada de la Funcin Sinc

( ) ( ) ( ){ } ( ), 2sen tf t F t ft = = ( ){ } 2 2P t sen =

( )2 22tsen P

t =

( ) ( )2sen t Pt

= ( )2 10P

= >

Haciendo

2 =

5.2.3 Desplazamiento en el Tiempo y en la Frecuencia

Desplazamiento en la Frecuencia

Si f(t)F (w), entonces:

Esta propiedad implica que al multiplicar una funcin por unaexponencial compleja de frecuencia angular w0, el espectro de frecuencias se desplazar una cantidad w0. Demostracin:

{ } ( )0 0( ) j tf t e F =

{ } ( )( ) ( ) ( )

0 0

00

( ) j t j t j t

j t

f t e f t e e dt

f t e dt F

=

= =


Desplazamiento en la FrecuenciaEsta propidad tambin es conocida como propiedad de modulacin

{ } ( )0 0 01 2j t j t j te e e dt

= =

( ){ } ( ) ( )0 00 0 012 j t j tsen t e e j jj = = + + ( ){ } ( ) ( )0 00 0 01cos 2 j t j tt e e = + = + +

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 1cos 2 2j t j tF F

f t t f t e f t e + + = + =

Aplicacin Propiedad de Desplazamiento en la Frecuencia

ModulacinEjemplo: F {AP(t)cos(w0t)}

( ) ( ){ }0 0

00 0

s2 2cos

2 22 2

en senA AAP t t

+ = + +


Desplazamiento en el TiempoSi f(t)F (w), entonces:

Esta propiedad implica que un desplazamiento en el tiempo equivale a multiplicar por una exponencial en la frecuencia. El espectro de magnitud de la seal sin desplazar y de la seal desplazada son iguales, cambiando nicamente el espectro de fase. Demostracin:

{ } ( )( ) ( ) ( )0 0

0 0 0( ) , haciendo j t

j x t j t

f t t f t t e dt t t x

f x e dx F e

+

= =

= =

{ } ( ) 00( ) j tf t t F e =

5.2.4 Diferenciacin e Integracin en el Tiempo

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

121 ,

2

1 12 2

12

jwt

jwt

j tj t

j t

d F e dd f t

f t F e ddt dt

d eF d F j e d

dt

d f tF j e d j F

dt

= = = =

= =

Derivacin en el TiempoSi f(t)F (w), entonces:

[ ]( ) ( )d f t j Fdt

= Demostracin:

5.2.4 Diferenciacin e Integracin en el TiempoIntegracin en el Tiempo


( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) { } ( )

, ' ( )

1 1'( ) , ( )

t

t f x dx t f t

t j w f t F wj j

= =

= = =

1( ) ( )t

f x dx Fj

=

El caso general se analizar ms adelante.Demostracin:

Nota: Esto es vlido cuando la seales de media cero, es decir:

( )

= 0dttf

5.2.4 Diferenciacin e Integracin en la FrecuenciaDerivacin en la Frecuencia


( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( ) ,

j t

j tj t

j t

nn

F f t e dt

d f t e dtd ed F

f t dtd d d

d Ff t jt e dt jtf t

d

d Fjt f t

d

= = =

= = =

( ){ } ( )dFjtf td =

5.2.4 Diferenciacin e Integracin en la FrecuenciaIntegracin en la Frecuencia


( ) ( )wf t F djt

=

Aplicacin Propiedad de Derivacin en Tiempo

Transformada de la Funcin Signum

( ) ( )

>=

[ ]* *1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )j t j tF f t e dt f t e dt F = = =

Propiedad de la Paridad-Real, Impar-Imaginaria

Si f1(t)F1(w) y f1(t) es Real Si f2(t)F2(w) y f2(t) es Imaginaria, entonces:

[ ]* *2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )j t j tF f t e dt f t e dt F = = =

Propiedad de la Paridad-Real, Impar-Imaginaria

Si f1(t)F1(w) y f1(-t) = conj(f1(t)) Si f2(t)F2(w) y f2(-t) = -conj(f2(t)) , entonces:F1(w) es Real y F2(w) es Imaginaria

[ ]1 1 1

***

1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j t j t

j t j t

F f t e dt f t e dt

f t e dt f t e dt F

= = = = =

[ ]2 2 2

***

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j t j t

j t j t

F f t e dt f t e dt

f t e dt f t e dt F

= = = = =

Discusin:Podra parecer que u(t)=d(t) y su transformada de Fourier es 1, por lo

tanto U(w) debe ser igual a 1/(jw), entonces cual resultado es correcto?

1/(jw) es una funcin imaginaria pura, por lo cual tiene que venir de unafuncin impar, y la nica que cumple esto es sgn(t).La confusin surge a partir de que el segundo trmino de la transformacin de la derivada de u(t) vale cero por el factor de la delta.

( ){ } ( )1'u t j jj

= +

Aplicacin Propiedad de Integracin en Tiempo

Se desea calcular F {g(t)}, con g(t) definido en la figura siguiente. En lugar de calcular la transformada directamente, se realizar la transformada de x(t), y se utilizar la propiedad de integracin para oftener el resultado deseado; note que g(t) es la integral de x(t), y que x(t) es de media cero.

Aplicacin Propiedad de Integracin en Tiempo

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

/2 /2

/2 /2

2 2

s s2 2

2 2

s2

2

s2

2

T T

j T j T

t

j T j T

T Tx t AP t AP t

T Ten enX AT e AT eT T

g t x t dt

TenATG e eTj

TenG AT T

= + =

= =

=

( ) 2 2 2

2

2

2sin sin2 2

2

Tsen

TsenT TG AT c AT cT

= =

5.2.5 Escalamiento en el Tiempo y en la Frecuencia

Si f(t)F (w), entonces:F {f(t)}1/||F(w / ).

Esta propiedad implica que al contraer una funcin (>1) en el dominio del tiempo, implica una expansin de sucorrespondiente transformada de Fourier en la frecuencia, y escalada (atenuada) en amplitud con 1/ (para mantener la conservacin de energa). En caso de expander la funcin en el tiempo (

5.2.5 Escalamiento en el Tiempo y en la Frecuencia

{ } ( )( ) ( )

( ) , haciendo x

1 1 1

j t

x xj j

f t f t e dt t

f x e dx f x e dx F

= = = = =

Si >0

Si

Aplicacin Propiedad de Escalamiento

Ejemplo, dada P(t), con =1, se obtiene la siguientetransformada F(f) (para que los ejes sean ms claros), entonces:

Aplicacin Propiedad de Escalamiento

Escalando con alfa=.5, obtenemos la siguiente grficaen el tiempo y su correspondiente transformada de Fourier:

5.2.6 Convolucin en el Tiempo

( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

j t j t

j j

f t f t f f t d

f f t d e dt f f t e dtd

f F e d f e d F

F F

= = =

= ==

Si f1(t)F1(w) y f2(t)F2(w), entonces:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

0

( )

1

0 ;

pero 0

0 0 si 0.

t

j t

f t dt f u t d f t u t

f t u t F U Fj

F FF F

j j

F f t e dt f t dt

F f t dt

=

= = = = +

= + = +

= =

= =

Revisin de la Propiedad de Integracin:

5.2.7 Convolucin en la Frecuencia

Si f1(t)F1(w) y f2(t)F2(w), entonces:

( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 11 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 12 2

22

2

j t j t

j j

F F F F d

F F d e d F F e d d

F f t e d F e d f t

f t f t

= = =

= ==

( ) ( ){ } [ ]1 2 1 21 ( ) ( )2f t f t F F =

Ejemplos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 2

3 3 2 2

1,

1,

2,

at

at

a t at at

f t e u t Fa j

f t e u t Fa j

af t e e u t e u t Fa

= = += = = = + = +

Resumen de Propiedades de Fourier

5.3 Transformada de Fourier de Funciones Peridicas

Dada una funcin peridica f(t), con periodo T, entonces su serie de Fourier se puede expresar como:

Y la correspondiente transformada de Fourier:

La transformada de Fourier de una seal peridica es un tren de impulsos a las frecuencias armnicas de la seal, pesados por el coeficiente cn.

( ) 0 0 2,jn tT nn

f t c eT

=

= =( ) ( ){ } { }( ) ( )( ) ( )

0 0

0

0

2

jn t jn tT n n

n n

nn

nn

F f t c e c e

F c n

F f c f nf

= =

=

=

= = = =

=


Por ejemplo: Dado un tren de impulsos, su serie de Fourier es:

Y la correspondiente transformada de Fourier:

La transformada de Fourier de un tren de impulsos es otro tren de impulsos.

( ) ( )( ) ( )

0

0

2

1n

n

F nT

F f f nFT

=

=

=

=

( )T

etT

cT

T

tjnn

11 2/

2/

0 ==


Haciendo para una funcin peridica:

Y denominando F0(w) como la TF de f(t), que representa un solo periodo de la funcin fT(t); obtenemos:

De donde concluimos que dada una transformada de Fourier, la repeticin de esta nos dar coeficientes cn, los cuales son smplemente la evaluacin de la transformada de Fourier en lasfrecuencias armnicas, pesadas en 1/T, es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) 02 20 0 02 2

;T T

jn tj t

T T

F f t e dt F n f t e dt

= =

( ) 2, 1, ,0,1 2/2/

0 ==

netfT

cT

T

tjnTn

( )01 , 0, 1, 2, nc F n nT = =

5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema

Sea H un Sistema Lineal e Invariante en el Tiempo con respuesta al impulso h(t); x(t) una seal de entrada y y(t) surespectiva salida.

y(t)=H[x(t)]

Hx(t) y(t)


Si la relacin entrada salida en el tiempo, es la convolucin de la seal de entrada con la respuesta al impulso en el tiempo, entoncesen la frecuencia es la multiplicacin de sus respectivastransformadas de Fourier

( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( )y t x t h t Y X H = =

A partir de la cual tenemos una manera de obtener la respuesta al impulso, mediante:

Donde H(w), que es la transformada de Fourier de h(t), se conoce comoFuncin de Transferencia, y puede obtenerse a partir de:( )

( ) ( )Y

HX =

( ){ } ( )1 H h t =


Calcular H(w) a partir de la relacin Vo(t)/Vi(t) para el siguiente circuito.

( ) ( ) ( )( ) ( )tvdtti

C

tvdttiC

tRi

o

t

i

t

=

=+

1

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

1 1;

11

1 1

i o

o

i

V R I V Ij C j C

V j C HV Rj CR

j C

= + =

= = =++

5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema A partir de la definicin de H(w), una vez obtenida esta es posible

calcular la salida ante cualquier entrada de la manera: V0(w)=H(w)Vi(w)

IMPORTANTE: La relacin entrada-salida de un circuito (sistema) est dado por la multiplicacin de la funcin de transferencia con la transformada de Fourier de la seal de entrada.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1

2

10 0 02

0

1 tan1

1010cos 2 , cos 2 tan 21 2

i o

H RCRC

v t f t v t f t f RCRC f

= += =

+

Ante una entrada senoidal a un sistema lineal, la salida siempreser senoidal de la misma frecuencia! Aunque con diferenteamplitud y fase.

5.5 Estimacin de un Sistema LITEstimacin del Sistema.- Obtener la Respuesta al Impulsoh(t) asociada al mismo.

Se logra hacer estimacin mediante Fourier dada:

Una Salida y la Entrada correspondiente. La Ecuacin Diferencial Lineal de Coeficientes Constantes

(EDCC) que caracteriza al sistema.

h(t)=H[d(t)]

Hx(t) y(t)

5.5 Estimacin de un Sistema LITEstimacin con un par Entrada-Salida

1. Se tienen un par entrada-salida particular del sistema: x0(t) y y0(t).

2. Se obtienen la TF de la entrada y la salida: X0(w) y Y0(w).

3. Se calcula la Funcin de Transferencia H(w):H(w) = Y0(w)/ X0(w)

4. Se calcula la TFI de H(w):h(t)=TFI{H(w)}

Ntese que no importa el par entrada-salida, siemprese obtiene la misma respuesta al impulso.


Estimacin con un par Entrada-SalidaA partir del ejercicio anterior y su Funcin de Transferencia, reconocemos cual es la transformada inversa de Fourier de la funcin de transferencia del sistema analizado:

( ){ } ( )( ) ( ) ( )

1

1

(Respuesta al Impulso)

1 11

tRC

H h t

h t e u tRCRC j RC

= = = +

5.5 Estimacin de un Sistema LITEstimacin a partir de una EDCC

1. Se aplica la TF a ambos lados de la ecuacin.2. Se factorizan X(w) de un lado y Y(w) del otro lado.3. Se obtiene la funcin racional asociada H(w):

H(w) = Y(w)/ X(w)4. Se calcula la TFI de H(w):

h(t)=TFI{H(w)} Ntese que aqu se desconoce la entrada-salida

especficas, se obtiene h(t) en forma abstracta.


Estimacin a partir de una EDCCVamos a requerir hacer uso de descomposicin por FraccionesParciales:

2 2

2 2

2 2 2 2 2

1( )( )

1( )( ) ( )

1( )( )

1( )( ) ( )

A Bx a x b x a x b

A B Cx a x b x a x b x b

A Bx Cx a x bx c x a x bx c

A Bx C Dx Ex a x bx c x a x bx c x bx c

= + = + +

+= + + + + ++ += + + + + + + + +


{ }

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 1( )( )

1( ) ( )at

d y t ay t x tdt

j Y aY XY j a X

YHX j a

h t e u tj a

+ = + =+ =

= = + = = +

Estimacin a partir de una EDCCLa siguiente EDCC caracteriza a un SLIT dado que x(t) es cualquierentrada y y(t) su respectiva salida:

( ) ( ) ( )d y t ay t x tdt

+ =


{ }

1 1

1 ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) 1( )( )

1 1( )( )

1 ( )( )

a t

d y t ay t x tdt

j Y aY XY j a X

YHX j a

h tj a j a

e u tj a

= = =

= = = = +

= = +

Estimacin a partir de una EDCC

( ) ( ) ( )d y t ay t x tdt

=


{ }( )

22

2 2

2 2

2 2

12 2

( ) ( ) 2 ( )

( ) ( ) 2 ( )

( )( ) 2 ( )( ) 2( )( )

2( ) a t

d y t a y t ax tdt

j Y a Y aX

Y a aXY aHX a

ah t ea

+ = + =

+ == = +

= = +

Estimacin a partir de una EDCC

22( ) ( ) 2 ( )d y t a y t ax t

dt + =


3 2 2

3 2

2

3 2 2

( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ( ) 12 ( ) 21 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 9( ) ( ) 9 ( )( ) ( ) 12( ) ( ) 21 ( )( )(( ) ( ) 9( ) 9) (( ) 12( ) 21) ( )

( ) ( )( )( )

d d d d dy t y t y t y t x t x t x tdt dt dt dt dt

j Y j Y j Y Yj X j X X

Y j j j j j XY jHX

+ + + = + + + + +

= + ++ + + = + +

= =2

3 2

2 2

3 2 2 2

2 2

2

12( ) 21( ) ( ) 9( ) 9

12 21 12 219 9 ( 1)( 9) 1 9

12 21 ( 9) ( 1)haciendo 1 y despejando: 1haciendo 0, usando 1 y despejando: B 12

1 12( )1 ( )

jj j j

z z z z A Bz z z z z z zz z A z B z

z Az A

Hj j

+ ++ + +

+ + + += = ++ + + + + + ++ + = + + +

= == = =

= ++ +31

2

9

1 12( ) ( ) 21 ( ) 9

tth t e u t ej j

= + = + + +

Estimacin a partir de una EDCC 3 2 2( ) ( ) 9 ( ) 9 ( ) ( ) 12 ( ) 21 ( )d d d d dy t y t y t y t x t x t x tdt dt dt dt dt

+ + + = + +

5. Transformada de FourierContenidoContenido5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de Fourier5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de Fourier5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de Fourier5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de Fourier5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de Fourier5.1 Representacin de Seales Aperidicas: la Transformada de FourierEjemplo 1 Transformada de FourierEjemplo 1 Transformada de FourierEjemplo 1 Transformada de FourierEjemplo 1 Transformada de FourierEjemplo 2 Transformada de FourierEjemplo 2 Transformada de FourierEjemplo 2 Transformada de FourierEjemplo 3 Transformada de FourierEjemplo 4 Transformada de FourierEjemplo 4 Transformada de Fourier5.2 Propiedades de la Transformada de Fourier5.2.1 Linealidad5.2.2 SimetraAplicacin Propiedad de Simetra5.2.3 Desplazamiento en el Tiempo y en la Frecuencia5.2.3 Desplazamiento en el Tiempo y en la FrecuenciaAplicacin Propiedad de Desplazamiento en la Frecuencia5.2.3 Desplazamiento en el Tiempo y en la Frecuencia5.2.4 Diferenciacin e Integracin en el Tiempo5.2.4 Diferenciacin e Integracin en el Tiempo5.2.4 Diferenciacin e Integracin en la Frecuencia5.2.4 Diferenciacin e Integracin en la FrecuenciaAplicacin Propiedad de Derivacin en TiempoAplicacin Propiedad de Integracin en TiempoAplicacin Propiedad de Integracin en Tiempo5.2.5 Escalamiento en el Tiempo y en la Frecuencia5.2.5 Escalamiento en el Tiempo y en la FrecuenciaAplicacin Propiedad de EscalamientoAplicacin Propiedad de Escalamiento5.2.6 Convolucin en el Tiempo5.2.7 Convolucin en la FrecuenciaEjemplosResumen de Propiedades de Fourier5.3 Transformada de Fourier de Funciones Peridicas5.3 Transformada de Fourier de Funciones Peridicas5.3 Transformada de Fourier de Funciones Peridicas5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.4 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.5 Estimacin de un Sistema LIT5.5 Estimacin de un Sistema LIT5.5 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.5 Estimacin de un Sistema LIT5.5 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.5 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.5 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.5 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema5.5 Anlisis de la Funcin de Transferencia de un Sistema

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Transformada de Fourier