30
Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta DEEC/ IST Isabel Lourtie TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discr Função resposta de frequência e resposta impulsional Amostragem de sinais

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

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TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA. Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos Função resposta de frequência e resposta impulsional - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos

Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos

Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos

Função resposta de frequência e resposta impulsional

Amostragem de sinais

Page 2: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

nhTF

Motivação

njenx nh ?ny

SLIT

nj

k

kj

k

knj

k

eekh

ekh

knxkh

nxnhny

njjnj eeHnyenx

Espectro de frequência

n

njj enxeX

deeXnx njnj

22

1 jeH

Page 3: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Definição

n

njj enxeXnx

0

01

n

nj

n

njn

n

njnj

ae

eaenuaeX

jn

aeanua

1

11;1

Exponencial direita

1;1 anuanx n

1 nx

n0

Série geométrica:

1;

1;1

1

r

rr

rr

N

Nn

n

jae1

1

r

Page 4: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Espectro de frequência da exponencial real

sincos1

1

1

11;1 jaaae

anuaj

n

cos21

1

sincos1

1

1

1

2

222

aa

aaaeeX

j

j

cos1

sinarctanarg

a

aeX j

Page 5: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Transformada de Fourier Discreta

é sempre periódica em com período jeX 2

Demonstração

n

nkjkj enxeX 22

n

knjnj eenx 2

1

j

n

nj eXenx

Exponenciais complexas discretas com frequências separadas de um múltiplo de representam a mesma exponencial

2

Page 6: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Definição

22

1deeXnxeX njjj

jeXjjj eeXeX arg

jeX

2

1

22

2

jeXarg

2

1 2

2

2

1

2arg

1:22

j

j

eX

eX

2

2

2

2

1

deenx nj

j

2

2

2

2

1

de

nj

2

2

2

22

1

nj

enj

2

2

2

2

22

1 njnj

eenj

2

2sin2 nj

2

12

sin

n

nnx

Page 7: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Convergência da Transformada de Fourier Discreta

Condição suficiente para a existência de transformada de Fourier:

é absolutamente somável, i.e., nx

n

nx

ou

é de energia finita, i.e., nx

n

nx2

Vários sinais não periódicos, como o escalão unitário, e os sinais periódicos, não satisfazem estas condições.

Page 8: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Sinais periódicos

njnjnjj ededeeXnx 00

2

22

1

2

1

Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é periódica de período e que para é ?

nx 02 jeX2

jeX

0

2

20 20 40 40

22 0

TF0nje

Page 9: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Sinais periódicos

Ex. 1

22TF1 0njj eeXnnx

22 0

TF0nje

jeX

2

22 44 0

Page 10: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

22

22222

1

2TFcosTF

00

00

0

00 njnj een

Ex. 2

Sinais periódicos

22 0

TF0nje

jeX

22 44 00

Page 11: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Sinais periódicos

Nk

knNj

keanx2

é periódico com período fundamental e, portanto, com frequência fundamental

N nx

N2

Nkk

j kN

aeX 2

2

TF

Série de Fourier do sinal periódico nx

Coeficientes da série de Fourier:

Nn

knNj

k enxN

a21

Combinação linear de exponenciais complexas de frequências Nkk 2

N

Page 12: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

periódico com períodoka 12N

2

1;

2

1:65 4433 jaaaak

Série de Fourier

Ex. 1

nnnx

2

3cos

3

2sin

3

210

2

320

124,3mmc4

4

3

2

33

1

2

2

2

1

1

00

00

NN

N

22

2

3

2

3

3

2

3

2njnjnjnj

ee

j

ee

Nk

knNj

keanx2

Nn

knNj

k enxN

a21

6

2

N

Mas

...... 2

5

22

3

2

7

njnjnjnj

eeee

pelo que ...... 153921 aaaa

4a9a 9a4a

njnjnjnjee

je

je 2

3

3

2

3

2

2

3

2

1

2

1

2

1

2

1

Page 13: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Série de Fourier

2

1

4

2

4

14

n

knj

k enxaN

2222 0100

4

1 kjkjkjeee

kje 2

4

1

2

1

12

2

1

22

4

1

4

1

k

knj

k

knjkjeeenx

Nk

knNj

keanx2

Nn

knNj

k enxN

a21

Ex. 2 nx

n

1

4 0 4 8812

… …

12 114

11

2cos

2

1

4

1

nkj

k nnxea

11

21

2 14

1 njnjnjeee

Page 14: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier

P1. Linearidade jj ebXeaXnbxnax 21

TF

21

kbXkaXnbxnaxN

21

2SF,

21

P2. Translação no Tempo jnj eXennx 0

TF

0

kXennxkn

NjN 02

2SF,

0

P3. Translação na Frequência 00

TF jnj eXnxe

0

2SF,2

0

kkXnxeNn

Njk

Page 15: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

P4. Inversão Temporal jeXnx

TF

kXnxN

2SF,

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier

P5. Convolução jj eXeXnxnx 21

TF

21

kXkNXnxnxN

21

2SF,

21

N

nxxnxnx

2121 Convolução circular:

P6. Diferenciação na Frequência

d

edXjnnx

jTF

Page 16: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier

P7. Soma no Tempo

k

jjj

n

keXeXe

x 21

1 0TF

P8. Simetria Se nx é uma função real, então

jj eXeX *TF: kXkX *SF:

P9. Modulação jjj ePeSeRnpnsnr

2

1TF

kPkSkRnpnsnrN

2SF,

Page 17: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

2sin2 j

0Para é 2

Exemplo

111 NnuNnu

jjNjNjjNjjNjj eUeeeeUeeUeeX 111

1

21

11

TF

1 jj

eeUnu

Tabela:

2

1sin2 Nj

2sin

21

sin N

eX j

Linearidade + Translação no TemponN N

nx1

… …

j

NjNjjjjNjjNjjeUeeeeUeeeee 1

2

1

2

1

21

222

22

1sin2

12

1sin2

2

Nje

eNj

j

j

22

1

2

1sin2

jjee

Nj

Page 18: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Resposta Impulsional Resposta em Frequência

nxnhny nx nh jjj eXeHeY jeX jeH

jeHnhTF

Baixa Frequência:

Alta Frequência:

...4,2,0

...5,3,

jeH

2 2

… …

0

Filtro passa-baixo

jeH

2 2

… …

0

Filtro passa-alto

Page 19: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Resposta em Frequência

jeX jeH1 jeH 2

jeY jj eHeH 21

jeX jeY

SLITs em série

jeH1

jeH 2

jeX jeY jj eHeH 21

jeX jeY

SLITs em paralelo

jeX jeY jeH1

jeH 2

jj

jj

eHeH

eHeH

21

1

1

Realimentação

Page 20: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Equação às Diferenças Resposta em Frequência

nySLIT

nx

M

kk

N

kk knxbknya

00

M

kk

N

kk knxbknya

00

TFTF

M

kk

N

kk knxbknya

00

TFTFLinearidade

Translação no tempo

jkjM

kk

N

k

jkjk eXebeYea

00

jkjM

kk

jN

k

kjk eXebeYea

00

N

k

kjk

kjM

kk

j

jj

ea

eb

eX

eYeH

0

0

Page 21: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

Amostragem de sinais

t

x(t)

0 T 2T 3T-T-2T-3T 4T-8T -6T-5T-4T 5T-7T-8 n0 1 2 3-1-2-3

xd(n)=x(nT)

-7 -6 -5 -4 54

Page 22: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

modelo matemático

tp

txp tx

n

nTttp

n

p

nTtnTx

tptxtx

Amostragem de sinais

t

xp(t)

-2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T

t

x(t)

0

p(t)

t0 T 2T 4T 5T-T 3T-2T

1

Page 23: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Relação entre os espectros de e tx txp

jPjXjXtptxtx pTF

p 2

1

k Tk

TjP

22

Tabela

djX

T

k

TdjXjPjX

kp

22

2

1

2

1

k

djXT

k

T 21

k T

kjX

T

21

k

sp kjXT

jX 1

- frequência de amostragemTs 2

Page 24: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Relação entre os espectros de e tx txp

k

sp kjXT

jX 1 jX

M M

1

Ms T 2

2

jX p

T1

2s

ss2s

… …

Ms T 2

2

jX p

ss

T1

… …

Page 25: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Teorema da Amostragem

0, jXM

Ms T 2

2

tx

txSeja um sinal contínuo de banda limitada tal que

Então é univocamente determinado pelas suas amostras sse a frequência de amostragem

M2 - ritmo de Nyquist

Page 26: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd

txp

n

njnj

nd

jd enTxenxeX

n

Tnj

np enTxnTtnTxjX TF

nTtnTxtxn

p

Tjdp eXjX

Page 27: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd

txp

Tjdp eXjX Mudança de escala: T jX p

T1

2s

ss2s

……

T1

jd eX

2 2

……

Page 28: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Amostragem e Reconstrução jX

M M

1

jX r

M M

1

T

t

tth

TjH s

s

s

2sin

2;0

2;

dthxthtxtx ppr

nn

nTthnTxdthnTnTx

t

nTtnTxtx s

nr

2sin

fórmula de interpolação

jX p

T1

2s

ss2s

tp

tx

n

p nTtnTxtx

… …

Page 29: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Amostragem de uma sinusoide ttx 50cos)(

)( jX

5050Ms 2100150

txttxr 50cos)(

T

)( jX p

5050 100200 150 200100150

T

T

……

Page 30: TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

ttx 50cos)(

)( jX

5050

Amostragem de uma sinusoide

Ms 210040

txttxr 10cos)(

T)( jX p

5050

40

90 9010

40

10

T

T

80 80

……