Transformada de Fourier PDF

7/25/2019 Transformada de Fourier PDF

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Instituto Universitario Politcnico

Santiago ario

Extensin Porlamar

Asignatura: Matemtica IV

Realizado por:Marieugenia Rodrguez


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Definicin de transformada de Fourier

Propiedades bsicas de la transformada de Fourier

Tablas de transformada

Uso y aplicaciones de Fourier

Ejercicios de transformada de Fourier


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Definicin

La transformada de Fourier de la funcin es:

La Transformada de es unaaplicacin lineal esta definida y goza deuna serie de propiedades decontinuidad que garantizan que puedeextenderse a espacios de funcionesmayores e incluso a espacios de

funciones generalizadas
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Fourier


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Propiedades bsicas

La transformada de Fourier es una aplicacin lineal:

Valen las siguientes propiedades para una funcin absolutamente integrable :

Cambio de escala:

Traslacin:

Traslacin en la variable transformada:

Transformada de la derivada: Si y su derivada son integrables,

Derivada de la transformada: Si y son integrables, la transformada de Fourier esdiferenciable


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Propiedades bsicas

Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integracin porpartes .

En lo que sigue, definimos la convolucion de dos funciones y en la recta de lamanera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado delos resultados como el que sigue: Si y son funciones absolutamenteintegrables, la convolucin tambin es integrable, y vale la igualdad:

Tambin puede enunciarse un teorema anlogo para la convolucin en la variabletransformada,

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definicin de la transformada deFourier.


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Tabla de transformadas


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Cmo y dnde se aplican

Fourier? APLICACIN EN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEALES:

. El procesamiento de seales se correlaciona con las series de Fourier ya que esta nospermite expresar una funcin peridica de tiempo como la suma de un numero infinito de

senoides cuyas frecuencias estn armnicamente relacionadas La importancia de estoradica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con seales, ya quepara que nosotros podamos procesar estas seales es necesario expresarlas como unacombinacin lineal de trminos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier .


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Cmo y dnde se aplican

Fourier? APLICACIONES EN LA MEDICINA:

Diagnstico automtico: La ecografapermite registrar la vibracin de cada una de

las membranas del corazn, proporcionandouna curva peridica. Un programa deordenador calcula los primeros trminos delas sucesiones (coeficientes de Fourier). Enel caso de la vlvula mitral, son suficientes losdos primeros coeficientes de Fourier para

diagnosticar al paciente. Esta forma dediagnstico disminuye costes en el sistemasanitario y, sobre todo, evita al paciente losriesgos y molestias inherentes a las pruebasendoscpicas


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Cmo y dnde se aplican Fourier? APLICACIONES DIVERSAS:El poder extraordinario y la flexibilidad de las series de Fourier se ponen de manifiesto en

la asombrosa variedad de aplicaciones que estas tienen en diversas ramas de la matemticay de la fsica matemtica desde la teora de nmeros y geometra hasta la mecnicaquntica.

Algunas de las ms importantes aplicaciones de las series de Fourier son: Temperatura de la tierra: Un problema sencillo pero muy interesante es el de calcular la

temperatura de la tierra a una profundidad x a partir de la temperatura de la superficie.Describamos la temperatura de la superficie terrestre como una funcin f peridica en eltiempo t y de periodo 1(un ao). La temperatura y la profundidad en un tiempo y longitudrespectivamente, mayores o iguales a cero son tambin peridicas. Bajo estascircunstancias la temperatura puede ser expandida mediante una serie de Fourier para

cada valor x fijo.Evaluacin de series no triviales: Otra de las aplicaciones de la serie de Fourier es laevaluacin de las series no triviales mediante la identidad de plancherel para calcularalgunas sumas infinitas.


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Cmo y dnde se aplican Fourier? La desigualdad de Wirtinger: La desigualdad de wirtinger es una aplicacin de tipo

matemtica de las series de Fourier para una funcin continua definida en un intervalocerrado

Flujo del calor: Otra de las aplicaciones importantes de la serie de Fourier y en este casode la transformada de Fourier es el problema del flujo del calor. el planteamiento de esteproblema es similar al del problema anterior.

Ecuacin de ondas, Formula de Poisson e Identidad de Jacobi: Las aplicaciones tanto enla ecuacin de ondas, la formula de Poisson y la Identidad de Jacobi son de carctermatemtico riguroso por lo que se dejan indicadas.


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Cmo y dnde se aplican Fourier? El problema isoperimtrico: El problema isoperimtrico que es de carcter matemtico

afirma que si C es una curva cerrada simple con un tipo de clase y de longitud unitaria,entonces el rea A encerrada por la curva satisface cierta desigualdad. La desigualdad sesatisface si y solos si C es una circunferencia. En consecuencia entre todas las curvascerradas simples de longitud unitaria la que encierra mayor rea es la circunferencia.

Solucin de ecuaciones diferenciales: Tal vez una de las propiedades ms importantes delas series de Fourier y en particular de las integrales de Fourier se presenta en la solucinde ecuaciones diferenciales ya que transforma operadores diferenciales con coeficientesconstantes en multiplicacin por polinomios


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Cmo y dnde se aplican Fourier? Teorema de trasplantacin para las series de Fourier Bessel:

La presente aplicacin es de tipo matemtica utilizando una sucesin de ceros positivosde la funcin de Bessel de cierto tipo de orden, en este punto una sucesin de funcionesforman un sistema ortonormal completo. Las series de Fourier asociadas a este sistemaortonormal se denominan series de Fourier-Bessel dentro de este estudio cabe mencionarel teorema de trasplantacin con pesos potenciales para este tipo de series de Fourier quepermite un rango lo mas alto posible para los parmetros involucrados


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Ejercicios


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ejercicios


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