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Procesado Digital de SeñalProcesado Digital de Señal
Espacios duales Espacios duales
Transformada de Fourier.
Transformada de Laplace.
Transformada Z
Wavelets
Función de transferencia
Espacios dualesEspacios duales
Un espacio dual es un espacio en el que se representa un conjunto de propiedades de la señal que la reconstruyen de forma completa.
Ejemplos:Transformada de FourierTransformada de LaplaceTransformada de CauchyTransformada ZWavelets
Espacios dualesEspacios duales
Las representaciones duales nos pueden permitir descubrir propiedades de la señal que no tienen por qué ser evidentes a primera vista.
Ejemplo:
1
21
Espacios dualesEspacios dualesPermite a veces eliminación de características indeseadas o
extracción de características buscadas (filtros), compresión, etc.
1
21
Supuesta portadoraeliminada
Transformada de FourierTransformada de FourierEspacio dual más utilizado. Sus funciones base ortonormales son el seno y el coseno.Se define como:
O su transformada inversa:
F =1
2∫−∞
∞
f x e− j x dx
f x =∫−∞
∞
F e j x d
Transformada de FourierTransformada de FourierConvergencia. de la transformada de Fourier.
Fenómeno de Gibbs
Transformada de FourierTransformada de FourierPropiedades de la transformada de Fourier:
Linealidad:
Desplazamiento:
Derivada:
Convolución:
Otras propiedades en:DiscreteTime Signal Processing, A.V. Oppenheim y R.W. Schafer
Fast Fourier Transform and Convolution Algorithms, H.J. Nussbaumer
h x =a f x b g x H =a F b G
h x = f x−x0 H =e− j x0 F
d h x dx
= j H
h x = f x ∗g x H =F G
Transformada de Fourier discretaTransformada de Fourier discretaPara señales discretas es necesario hacer una suposición para
hacerlas infinitas. Esta suposición es que f(x)=f(x+L) donde L es la longitud de la señal. Así la transformada de Fourier se convierte en:
O su transformada inversa:
xm=∑k=0
N−1
X k W−mk ∀ m=0, , N−1 con W=e− j 2 pi /N
X k=∑m=0
N−1
xm W mk ∀ k=0, , N−1 con W=e− j 2 pi /N
FFT (Fast Fourier Transform)FFT (Fast Fourier Transform)Se utiliza con señales con un número de muestras potencia de 2.
Se basa en una propiedad muy sencilla y es que se puede dividir fácilmente la transformada en dos transformadas, una de los elementos pares y otra de los elementos impares.
Tras aplicar recursivamente este método se llega al algoritmo de la mariposa. Si el tamaño de la colección de datos es 2t entonces
El cálculo de d se realiza usando el método de reversión de bits escribiendo l como un tbinario escalándolo hacia la derecha con ti bits e invirtiendo los bits.
x li=x l
i−1W d x lN /2i−1
X k= ∑m=0
N /2−1
x2 m W 2 mkW k ∑m=0
N /2−1
x2 m1W 2 mk
xlN /2 t
i =x li−1−W d x
lN /2 t
i−1
FFT MultidimensionalesFFT MultidimensionalesSe puede generalizar fácilmente la transformada de Fourier a 2
dimensiones.
Por linealidad tenemos que:
Es decir es la transformada por columnas de las filas de transformadas. Las generalizaciones a más dimensiones son evidentes.
Con
X k1 , k 2=∑
m1=0
N1−1
W 1
m1 k1 ∑m2=0
N2−1
xm1 , m2W 2
m2 k 2
W 1=e− j 2 /N1 W 2=e
− j 2 /N2
X k1 , k 2=∑
m1=0
N1−1
∑m2=0
N2−1
xm1 , m2W 1
m1 k1 W 2
m2 k 2
Reorganización de la transformadaReorganización de la transformada
Imagen Centrado del 0Transformada
Transformada de LaplaceTransformada de LaplaceLa trasformada de Laplace es un método operacional por el que muchas
funciones sinusoidales, sinusoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en expresiones algebraicas en la variable complejas, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración por operaciones algebraicas en el plano complejo.
La forma de la transformada de Laplace es:
Y de la transformada inversa:
F s=∫0
∞
f x e−sx dx
f x =1
2 j∫
c− j∞
c j∞
F sesx dx
Transformada ZTransformada ZLa transformada de Fourier juega un papel esencial en la representación y
aná lisis de las señales y sistemas en tiempo discreto.La generalización de la transformada de Fourier es la denominada
transformada Z.La transformada Z es la transformada equivalente a la transformada de
Laplace en señales continuas.
La transformada Z se define como:
Como el número complejo z se puede expresar como:
Z [ f x ]= ∑k=0
k=N−1
x k z−k
Z [ f x ]= ∑k=0
k=N−1
x k r e j−k= ∑k=0
k=N−1
x k r−ke− jk
z=r e j
Transformada ZTransformada ZLa transformada z puede reinterpretarse como la transformada de Fourier
de la señal pesada con una exponencial decreciente.Si r = 1 puede verse que la transformada Z no es otra cosa que la
transformada de Fourier.
Con r = 1
Z [ f x ]= ∑k=0
k=N−1
x k z−k Z [ f x ]= ∑k=0
k=N−1
xk e− jk
Z [ f x ]= ∑k=0
k=N−1
x k r−k e− jk
Otras transformadasOtras transformadasTransfomadas de Haar y Hadamard
Similares a la transformada de Fourier pero que utilizan señales cuadradas en lugar de sinusoidales.Haar las ondas base sólo tiene valores 1 o 0.Hadamard las ondas base sólo tienen valores 1 y 1
Manifiestan su mayor potencialidad a la hora de describir señales o imágenes con pocos niveles y claramente diferenciados
WaveletsWaveletsWavelets son una generalización completa de las transformadas.
Consiste en encontrar una base ortogonal que llene el espacio deseado (si es posible ortonormal)
Es aconsejable que sean invertibles
Sus ventajas son evidentes en muchos casos pues permiten utilizar como funciones base no sólo senos y cosenos sino cualquier otro tipo de funciones que pueden estar más adaptadas para describir el problema.
Matemáticamente son mucho más complejas y difíciles de utilizar.
Función de TransferenciaFunción de Transferencia
TF
Función de Transferencia
m2bk X =F
m2 X b X k X =F
1
m2bk F =X
H F =X
md 2 x t
dt 2b dx
t dt
k x t = f t
ReferenciasReferencias
DiscreteTime Signal Processing,
A.V. Oppenheim y R.W. Schafer
Fast Fourier Transform and Convolution
Algorithms, H.J. Nussbaumer
