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Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo 𝑥(𝑛):
𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞
𝑛=−∞
A DTFT é uma função complexa da variável real e contínua 𝜔.
A DTFT é uma função periódica com período 2𝜋:
𝑋 𝑒𝑗(𝜔+2𝜋𝑘) = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗(𝜔+2𝜋𝑘)𝑛∞
𝑛=−∞
= 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞
𝑛=−∞
= 𝑋 𝑒𝑗𝜔
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Por ser uma função complexa da variável real 𝜔, pode ser expressa
como:
𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 + 𝑗𝑋𝐼 𝑒
𝑗𝜔 ou, na forma polar:
𝑋 𝑒𝑗𝜔 = Π 𝜔 𝑒𝑗Θ(𝜔)
onde
Π 𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 2+ 𝑋𝐼 𝑒
𝑗𝜔 2
e
Θ 𝜔 = ∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = atan (𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 /𝑋𝑅 𝑒
𝑗𝜔 )
são os espectros de módulo e de fase, respectivamente, de 𝑥 𝑛 .
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Exemplo: A DTFT de
𝑥 𝑛 = (0,6)𝑛𝑢(𝑛) é
𝑋 𝑒𝑗𝜔 = (0,6)𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛
∞
𝑛=0
=1
1 − 0,6𝑒−𝑗𝜔
ou seja,
Π 𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔) =1
1 − 0,6cos (𝜔) 2 + (0,6 sen 𝜔 )2
e
Θ 𝜔 = ∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −atan (0,6 sen 𝜔 /(1 − 0,6 cos 𝜔 ))
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Relações de simetria da DTFT:
Para uma sequência 𝑥(𝑛) real:
𝑋 𝑒𝑗𝜔∗= 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛
∞
𝑛=−∞
∗
= 𝑥(𝑛)𝑒𝑗𝜔𝑛∞
𝑛=−∞
= 𝑋 𝑒−𝑗𝜔
Portanto:
𝑋𝑅 𝑒
𝑗𝜔 = 𝑋𝑅 𝑒−𝑗𝜔 → função par
𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 = −𝑋𝐼 𝑒
−𝑗𝜔 → função ímpar
Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)
Também tem-se, para uma sequência 𝑥(𝑛) real:
𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋(𝑒−𝑗𝜔) → função par
∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −∠𝑋 𝑒−𝑗𝜔 → função ímpar
Para uma sequência 𝑥(𝑛) par:
𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 = 0
Para uma sequência 𝑥(𝑛) ímpar:
𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 = 0
DTFT Inversa
A sequência 𝑥(𝑛) pode ser obtida a partir de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 através da
IDTFT:
𝑥 𝑛 =1
2𝜋 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔𝜋
−𝜋
Existe uma relação de unicidade entre uma sequência e sua DTFT:
A expressão da IDTFT exprime 𝑥(𝑛) como uma soma contínua de
sequências exponenciais complexas cujas amplitudes e fases são
determinadas por 𝑋 𝑒𝑗𝜔 .
𝑥(𝑛) ⟷ 𝑋 𝑒𝑗𝜔
Convergência da DTFT
A DTFT existirá se a série
𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞
𝑛=−∞
convergir.
Se 𝑥(𝑛) for absolutamente somável, ou seja:
𝑥(𝑛) < ∞
∞
𝑛=−∞
então a série acima convergirá uniformemente para uma função
contínua de 𝜔, tal que
𝑋 𝑒𝑗𝜔 < ∞,∀𝜔
A série é então denominada absolutamente convergente.
Convergência da DTFT
Exemplo: a sequência 𝑥 𝑛 = (0,6)𝑛𝑢(𝑛) é absolutamente somável
pois
𝑥(𝑛) =
∞
𝑛=−∞
(0,6)𝑛=1
1 − 0,6= 2,5
∞
𝑛=0
indicando que a série (0,6)𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛∞𝑛=0 converge uniformemente
para 1
1−0,6𝑒−𝑗𝜔.
Sequência absolutamente somável tem energia finita:
𝑥(𝑛) 2∞
𝑛=−∞
≤ 𝑥(𝑛)
∞
𝑛=−∞
No entanto, uma sequência com energia finita não necessariamente
será absolutamente somável.
Convergência da DTFT
Exemplo: a sequência
𝑥 𝑛 =1
𝑛𝑢(𝑛 − 1)
tem energia mas não é absolutamente somável. A série que define a
sua DTFT converge no sentido médio quadrático para uma função de
𝜔.
Convergência da DTFT
Definido a soma parcial:
𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛
𝑙
𝑛=−𝑙
a sequência de funções 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 , 𝑙 = 1,2,3,⋯ convergirá
uniformemente para a série que define a DTFT X 𝑒𝑗𝜔 se
existir um inteiro 𝐿 tal que:
X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 < 휀, ∀𝜔, ∀𝑙 > 𝐿
para um 휀 tão pequeno quanto se queira. Ou seja:
lim 𝑋𝑙𝑙→∞𝑒𝑗𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔)
A DTFT de uma função absolutamente somável é contínua, pois é o limite de
funções contínuas 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 .
Convergência da DTFT
Convergência no sentido médio quadrático:
𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛
𝑙
𝑛=−𝑙
a sequência de funções 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 , 𝑙 = 1,2,3,⋯ convergirá
no sentido para médio quadrático se existir um inteiro 𝐿 tal que:
X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 2𝑑𝜔
∞
−∞
< 휀, ∀𝑙 > 𝐿
para um 휀 tão pequeno quanto se queira. Ou seja:
lim𝑙→∞ X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒
𝑗𝜔 2𝑑𝜔
∞
−∞
= 0
Convergência da DTFT
Exemplo: Seja
𝑥 𝑛 =𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)
𝜋𝑛
Esta sequência não é absolutamente somável, mas tem energia finita
(𝜔𝑐/𝜋). A soma finita:
𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 =
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)
𝜋𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛
𝑙
𝑛=−𝑙
apresenta oscilações que não diminuem de amplitude quando se
aumenta 𝑙. Este comportamento é conhecido como fenômeno
de Gibbs.
Convergência da DTFT
Representação em Transformada de Fourier de sequências
que não são absolutamente somáveis nem tem energia finita:
Exemplo: a série da DTFT da sequência senoidal complexa
𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛
não converge uniformemente nem quadraticamente.
É possível entretanto definir a DTFT desta sequência pelo trem de
impulsos de Dirac:
𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 2𝜋𝛿𝐷(𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘)
∞
𝑘=−∞
Convergência da DTFT
Uma outra sequência importante que não é absolutamente somável
nem tem energia finita é o degrau unitário u 𝑛 . Esta sequência pode
ser representada no domínio da frequência por
.
𝑈 𝑒𝑗𝜔 =1
1 − 𝑒−𝑗𝜔+ 𝜋𝛿𝐷(𝜔 + 2𝜋𝑘)
∞
𝑘=−∞
Propriedades da DTFT
Sejam 𝑔(𝑛) ↔ 𝐺(𝑒𝑗𝜔)e ℎ(𝑛) ↔ H(𝑒𝑗𝜔). Então as seguintes
propriedades são validas:
(i) Linearidade:
𝛼𝑔 𝑛 + 𝛽ℎ 𝑛 ↔ 𝛼𝐺 𝑒𝑗𝜔 + 𝛽𝐻 𝑒𝑗𝜔
(ii) Deslocamento no tempo:
𝑔(𝑛 − 𝑛0) ↔ 𝑒−𝑗𝜔𝑛0𝐺(𝑒𝑗𝜔)
(iii) Deslocamento na frequência:
𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑔(𝑛) ↔ 𝐺(𝑒𝑗(𝜔−𝜔0))
Propriedades da DTFT
(iv) Reversão no tempo:
𝑔(−𝑛) ↔ 𝐺(𝑒−𝑗𝜔)
(v) Diferenciação na frequência:
𝑛𝑔(𝑛) ↔ 𝑗𝑑𝐺(𝑒𝑗𝜔)
𝑑𝜔
(vi) Convolução:
𝑔 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 ↔ 𝐺 𝑒𝑗𝜔 𝐻 𝑒𝑗𝜔
Propriedades da DTFT
(v) Modulação:
𝑔 𝑛 ℎ 𝑛 ↔1
2𝜋 𝐺 𝑒𝑗𝜃 𝐻 𝑒𝑗(𝜔−𝜃)𝜋
−𝜋
𝑑𝜃
Relação de Parseval:
ℎ 𝑛 2∞
𝑛=−∞
=1
2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔
2
𝜋
−𝜋
𝑑𝜔
Propriedades da DTFT
DTFTs mais usadas: 𝛿 𝑛 ⟷ 1
1 −∞ < 𝑛 < ∞ ⟷ 2𝜋𝛿 𝜔 + 2𝜋𝑘
∞
𝑘=−∞
𝑢 𝑛 ⟷1
1 − 𝑒−𝑗𝜔+ 𝜋𝛿 𝜔 + 2𝜋𝑘
∞
𝑘=−∞
𝑒𝑗𝜔0𝑛⟷ 2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘
∞
𝑘=−∞
𝛼𝑛𝑢 𝑛 , ( 𝛼 < 1) ⟷1
1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔
(𝑛 + 1)𝛼𝑛𝑢 𝑛 , ( 𝛼 < 1) ⟷1
1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔 2
−𝛼𝑛𝑢 −𝑛 − 1 , ( 𝛼 > 1) ⟷1
1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔
ℎ𝐿𝑃 𝑛 =𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)
𝜋𝑛 , −∞ < 𝑛 < ∞ ⟷ 𝐻𝐿𝑃 𝑒
𝑗𝜔 = 1, 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 0, 𝜔𝑐 < 𝜔 ≤ 𝜋