Teoria de La Desicion

Autor:

Comunicaciones Digitales y Analgicas

TTEEOORRAA DDEE LLAA DDEECCIISSIINN PPAARRAA SSIISSTTEEMMAASS BBIINNAARRIIOOSS

VERSIN PREVIA (03-2006) Ing. Franco A. Bucafusco

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Comunicaciones digitales y analgicas (66.78) Autor: Ing. Franco A. Bucafusco Teora de la decisin para sistemas binarios

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Tabla de contenidos:

TEORA DE LA DECISIN Y RECEPTORES PTIMOS (SISTEMA BINARIO) ....................................................................... 1 TEORA DE LA DECISIN Y RECEPTORES PTIMOS (SISTEMA BINARIO) ....................................................................... 3

4.1.1. CLCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR DE SMBOLO .......................................................................................................... 9

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Teora de la decisin y receptores ptimos (sistema binario) Para cualquier sistema de transmisin de informacin digital ser necesario interpretar los smbolos

recibidos en el equipo receptor. Estos smbolos recibidos no sern los mismos que los que fueron enviados dado que el canal les agregar ruido y, por otro lado, los distorsionar. En esta seccin solo se analizar con que criterio tomar decisiones sobre el origen de cada smbolo recibido sin tener en cuenta la distorsin del canal.

Otro aspecto a tener en cuenta antes de abordar este tema es que esta teora abarca una amplia gama de aplicaciones y para cada caso existen diferentes tipos de criterios. En el caso que nos interesa, utilizaremos el criterio de Bayes.

Para simplificar las expresiones y comprender ms los conceptos involucrados, supondremos que nuestro sistema de comunicaciones es binario. Esto indica que en cada ranura de tiempo de duracin Tb, solo habr dos smbolos posibles transmitidos con cierta probabilidad de ocurrencia cada uno.

s1(t) con probabilidad P1

s2(t) con probabilidad P2

P1 y P2 se denominarn probabilidades a priori. Segn la teora de la informacin orientada al modelado de un canal de transmisin, el canal se modela mediante el uso de una matriz. Si asociaremos el anlisis que se presentar en esta seccin con dicha teora, se podra ver que se tratar de un canal binario simtrico. Volviendo a dicho concepto, este tipo de canal poseer iguales posibilidades de una mala interpretacin de s1 por s2 o de s2 por s1, por eso se lo denominar simtrico. La matriz asociada a dicho canal tambin ser simtrica.

En cada ranura temporal (de duracin Tb) en donde se transmiten los smbolos el receptor recibir una seal s(t) que se parecer mas a s1(t) o a s2(t) en funcin de cual de los dos sea realmente. La decisin entonces se basar en la observacin de todo el intervalo de tiempo Tb y se tomar al final de dicho intervalo, o sea en un instante (referido al instante donde comienza cada smbolo) equivalente al tiempo de binit.

La forma de s(t) ser:

s(t)=si(t)+r(t)

Donde r(t) ser la seal aleatoria que caracterice al ruido que ingrese el canal. Esto har que s(t) tambin sea en definitiva una seal aleatoria, dado que si(t) estar definida instante a instante (segn que smbolo se haya transmitido)

Supongamos que para una cierta ranura de tiempo observamos s(t) entonces, como decidimos en favor de uno u otro smbolo?

Dependiendo de las caractersticas probabilsticas de la seal aleatoria r(t) y de P1 y P2 podrn definirse dos probabilidades, diferentes a las probabilidades P1 y P2.

Estas sern las denominadas probabilidades a posteriori que sern:

P( s1(t ) / s(t) ) P( s2(t ) / s(t) ) Ecuacin 8.1

Estas probabilidades indicarn o medir con que probabilidad puedo decir que se envo el smbolo s1(t) pero condicionado a la observacin de s(t).

El criterio de Bayes dice entonces que si P( s1(t ) / s(t) ) > P( s2(t ) / s(t) ) decidiremos que s(t) ser con mayor probabilidad igual a s1(t) que a s2(t).

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Si en dicho criterio aplicamos la regla de Bayes, entonces llegaremos a la siguiente expresin que es realmente el criterio adoptado para luego definir al receptor ptimo (cabe aclarar que este receptor optimo se definir para un modelo del ruido que introduce el canal de transmisin de informacin. Si es modelo es aproximadamente vlido, el receptor optimo que se implemente funcionar. En otro caso dejar de ser ptimo y su comportamiento, por consiguiente, no ser el esperado).

)2/)(()1/)((

mtsPmtsP >

)1()2(

mPmP se decidir por m2 y por m1 en caso contrario.

Ecuacin 8.2 Cada una de las probabilidades condicionales de la regla de decisin dependern, como indicamos

anteriormente, de las caractersticas probabilsticas del proceso r(t).

Volveremos a mencionar que el ruido considerado en este texto ser la mayora de las veces como ruido blanco gaussiano aditivo. Si al ruido blanco terico se lo filtra mediante un pasabajos ideal (aqu supondremos que el sistema receptor limita el ancho de banda) entonces dicho ruido dejar de ser blanco para ser coloreado y poseer las caractersticas tambin vistas con anterioridad.

Para encontrar las probabilidades condicionales de la Ecuacin 8.2, asociadas al modelo del canal adoptado, se emplear un modelo discreto para la observacin de la seal recibida. Luego, a partir de estos anlisis, se llevarn las expresiones al caso continuo que es el que nos interesa.

Si al ruido filtrado se lo muestrea cada T=/AB (el ancho de banda en este caso ser arbitrario) entonces dichas muestras estarn descorrelacionadas y por consiguiente sern variables aleatorias independientes. Dicha variables aleatorias tendrn 10

2 .2/ = TRR que es el valor de la funcin de auto-correlacin para =0.

Entonces a la seal s(t) la muestrearemos utilizando como tiempo de muestreo el T indicado. Esto generar de s(t) un vector de K muestras donde K=Tb/T (Figura 8.1). s(k. T)= si(k. T) + r(k. T) sk=sik+rk Ecuacin 8.3

Eso hace que para calcular la funcin probabilidad del vector r sea simplemente la multiplicacin de la funcin probabilidad de una sola variable gausiana.

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Figura 8.1. Ejemplo de una seal determinada (a) del ruido que introduce el canal (b), de la seal contaminada con dicho

ruido (c) y el vector de muestras correspondiente al muestreo de la seal contaminada (d)

La funcin probabilidad de la variable aleatoria (discreta) ri (ri = muestra del proceso r(t)) ser:

=

2

2 21exp

..2

1)(R

k

R

kr

rP

Ecuacin 8.4

por consiguiente la funcin probabilidad del vector r ser:

( )

=

=

Kk

R

K

RK R

k

R

rr

rP 222/2

2

2 .21exp...2

21exp

..2

1)(

Ecuacin 8.5 Ahora bien, si despejamos rk de la Ecuacin 8.3 y remplazamos en la expresin de la Ecuacin 8.5

obtendremos la expresin de la funcin probabilidad del vector s condicionada a las muestras del mensaje si (vector is ). Esta ser:

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( ) ( )

= K

ikkR

K

Ri ssssP2

2

2/2

.21exp...2)/(

Ecuacin 8.6 Esta funcin de probabilidad es la versin discretizada de las funciones de densidad de la Ecuacin 8.2 por

lo tanto, se reemplazar en dicha ecuacin para obtener una regla de decisin en funcin de las muestras (y luego de s(t)).

( )( )

Kkk

R

Kkk

R

ss

ss

212

222

.21exp

.21exp

2

1

PP

Ecuacin 8.7 aplicando el logaritmo natural en ambos miembros para deshacernos de las exponenciales:

( ) ( )21222.21

kkK

kkR

ssss

2

1lnPP

Ecuacin 8.8 Si reemplazamos la expresin de R2 y expandimos los trminos elevados al cuadrado, entonces

llegaremos a la siguiente expresin:

( ) K

kkK

kkk TssTsss2

12

212 21).(

2

10 ln2 P

PR

Ecuacin 8.9 Esta ltima expresin es de nuestro inters dado que ahora la llevaremos al caso continuo haciendo:

tTk

dtT.

entonces quedara:

[ ] + TbTbTb dttsdttsdttststs0

21

0

22

012 )(2

1)(21)()()(

2

10 ln2 P

PR

Ecuacin 8.10 Si analizamos esta expresin podremos advertir que el clculo de la segunda y la tercera integral

corresponde a la de la energa de cada uno de los smbolos:

=Ts

i dttsEi0

)(

Ecuacin 8.11 Agrupando dichas energas la Ecuacin 8.10 quedar entonces de la siguiente manera.

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[ ] Tb dttststs0

12 )()()(

+

2

1012 ln.2

1PPREE

Ecuacin 8.12 Esta ultima ecuacin muestra que si logrramos implementar un circuito que calcule la integral, luego

bastara con una comparacin para decidir por uno u otro smbolo. En efecto, este es el proceso que se realiza para la decisin. La segunda parte de la desigualdad ser un valor constante (para un sistema definido en su totalidad) al que llamaremos umbral. Dicho umbral ser la frontera de decisin entre un smbolo y otro. Se puede observar que depende de las probabilidades a priori de ocurrencia de cada smbolo.

El circuito para implementar este tipo de sistema de decisin se puede observar en la Figura 8.2. Cada uno de los subloques (marcados en gris) se llamarn filtros correladores (dado que implementan de forma circuital el calculo de la correlacin de la seal de entrada con una seal dada).

Figura 8.2. Diagrama en bloques del detector optimo para sistemas binarios en presencia de ruido blanco gaussiano.

Para realizar una conceptualizacin de este circuito primero repasaremos el concepto de correlacin. La funcin de correlacin da una idea de cuan relacionadas estn dos muestras de dos seales separadas en una diferencia de tiempo . Cuando la seal s(t) ingrese al receptor, ambos filtros correladores generarn a su salida valores de tensin que describirn cuan parecidas son la seal de entrada con las seales que representan cada uno de los smbolos. Dichos valores de tensin, se restarn y luego se comparar el resultado con el valor de umbral. El ruido, en este concepto, al sumarse a la seal original, generar que ambos filtros correladores entreguen tensin a la salida, haciendo que el valor de tensin de la resta sea menor, y por consiguiente dicha tensin se acerque al umbral (y en el peor de los casos, que lo supere, y que esto genere un error de interpretacin).

Para analizar cual seria el nivel de tensin optimo de la seal proveniente de la resta de las salidas de los filtros correladores (V1 en caso de que s(t)=s1(t) y V2 en caso de que s(t)=s2(t)) de sS(t) deberemos reemplazar en la Ecuacin 8.12 la expresin de s(t) por s1(t) o s2(t).

Para s1(t) el valor de tensin sS(Tb) ser:

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[ ]

1211

0

21

021

01211

..)(

)()()()()()()(

EEETbsV

dttsdttstsdttststsTbsV

S

TbTbTb

S

==

===

Ecuacin 8.13 Para s2(t) el valor de tensin sRS(Tb) dar un resultado similar siguiendo el mismo procedimiento que

resultara:

2122 ..)( EEETbsV S ==

Ecuacin 8.14

En ambas expresiones se introdujo una constante denominada . Dicha constante es el valor de la correlacin (normalizada) entre las seales s1(t) y s2(t), que son fijas para cada sistema (y por lo tanto su valor es conocido). Su valor estar comprendido entre -1 y 1.

dttstsEE

Tb=0

2121

)().(1 Ecuacin 8.15

Conceptualmente se puede observar que cuando las seales correspondientes a los smbolos son muy parecidas, entonces el valor de ser alto, y esto provocar que los valores de V1 y V2 sean cercanos. En este caso, habr ms posibilidades de confundir un smbolo con otro. En consecuencia, el valor de deber ser lo mas negativo posible para lograr menos confusiones.

Ahora bien, nos preguntaremos, Cmo afecta el ruido en la decisin que se toma a partir del valor de sRS(Tb)? Esto lo podremos evaluar reemplazando s(t) = r(t), de la misma forma que hicimos con s1(t) y s2(t), en la Ecuacin 8.12. En este caso, habr que tener cuidado, dado que r(t) es un proceso aleatorio, y no se podr hablar de un calculo de tensin. Por ello, calcularemos la varianza (potencia) del proceso rS(Tb).

El desarrollo de dicho reemplazo es el siguiente:

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[ ] [ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ]

dttstststsR

dtdttststststtR

dtdttststststrtrE

dtdttststststrtrE

dttststrdttststrEtrE

Tb

TbTb

TbTb

TbTb

TbTb

SSR

.)().(2)()(2

'..)'()'()()()'(2

'..)'()'()()()'()(

'..)'()'()()()'()(

')'()'()'()()()()(

021

22

21

0

0 01212

0

0 01212

0 01212

012

012

22

+=

=

=

=

==

[ ]212102 ...2.2 EEEERSR += Ecuacin 8.16

En esta ltima expresin podemos ver que la potencia de rS(t) es mayor al la potencia de ruido a la entrada.

4.1.1. Clculo de la probabilidad de error de smbolo Para realizar el calculo de la probabilidad de error del smbolo en primer lugar hay que pensar que el valor

de tensin luego del bloque restador, sRS(Tb)= sS(Tb) + rS(Tb), ser una variable aleatoria. La nica fuente de aleatoriedad que dicha seal ser el trmino del ruido. Por eso, la funcin densidad de probabilidad ser gaussiana pero dependiendo del smbolo verdadero que intento transmitirse, los valores medios de dicha funcin de densidad sern V1 y V2. Por ende, dichas funciones de densidad de probabilidad sern condicionadas al smbolo transmitido.

Ahora bien, Cmo se calcular, empleando dichas funciones de densidad de probabilidad, la probabilidad de una decisin incorrecta? La respuesta se encuentra calculando la probabilidad de que el valor de sRS(Tb) se encuentre del lado incorrecto del umbral establecido (por ejemplo, si el smbolo transmitido fue el 1, entonces habr que calcular la probabilidad de que SRS(Tb), con media V1, supere el valor de VU). Dicho concepto se encuentra expresado grficamente en la Figura 8.3.

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Figura 8.3. Funciones de densidad de probabilidad condicionales al mensaje enviado utilizando para la deteccin el detector optimo.

Habiendo calculado las probabilidades de errores condicionadas a cada smbolo, luego para calcular la probabilidad de error total habr que hacer un promedio ponderado de dichas probabilidades.

Entonces1:

)(.)(. 2211RS

U

RS

UE

VVQP

VVQPP

+= Ecuacin 8.17

Con esta expresin podremos conocer la probabilidad de error de cualquier sistema de transmisin empleando solo dos smbolos y el cual se base en un canal de transmisin en donde solo el factor degradante de la seal sea el ruido blanco gausiano aditivo.

Cuando se vean los diferentes tipos de sistemas de transmisin binarios se utilizaran estos resultados para calcular la probabilidad de error de cada uno de ellos.

1 La funcin Q( a ) indicar el rea bajo una curva gausiana desde el valor a hacia el infinito.

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