LP Predavanja Uvod

7/18/2019 LP Predavanja Uvod

http://slidepdf.com/reader/full/lp-predavanja-uvod 1/42

Kvantitativne metode u ekonomiji i

menadžmentu

Linearno programiranje

Required reading (pp. 453 – 477 and 489 - 527) in

R. Somun-Kapetanović. A. Arnaut-Berilo, E. Šehić,

E. Kahvić-Begić: Kvantitativne metode u ekonomijii menadžmentu , Ekonomski fakultet u Sarajevu,

2009.

.

1Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu



Uvod

• Problemi programiranja se bave efikasnošću korištenja ilialokacije ograničenih resursa s ciljem da se zadovolji

objektivnost

• Najpoznatiji ekonomski problemi koji se rješavaju

matematičkim programiranjem su: određivanje optimalnog proizvodnog plana,

problem optimalnog transporta,

optimalne alokacije resursa,

optimalne raspodjele kadrova na radne zadatke itd.

• Leonid Kantorovich, George Dantzing, J. Von Neumann,

Narendra Karmarker.




3

Matematičko okruženje

• Skup svih matrica dimenzije n x 1 nad poljem realnih

brojeva čini jedan vektorski prostor nad poljem R. Taj

vektorski prostor označit ćemo saV

n

, a elemente tog

prostora (matrice tipa n x 1) zvaćemo vektorima (vektor

kolone).

• Bazu vektorskog prostora Vn čini n linearno nezavisnih

vektora.

• Primjer baze:

1

0

0

,...,

0

1

0

,

0

0

1

B

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu



4

Matematičko okruženje

• Primjeri konveksnih skupova u ravni

A

B




5

• Matematički, LP je pronalaženje tzv. uslovnog ekstrema.Treba pronaći ekstremnu vrijednost (max/min) odabranelinearne funkcije više promjenljivih, tako da optimalnakombinacija vrijednosti tih promjenljivih zadovolji

postavljena ograničenja.

• Skup tih ograničenja izražava se odgovarajućim sistemomlinearnih (ne)jednačina sa promjenljivim od čijih vrijednostizavisi vrijednost linearne funkcije ’’cilja’’.





• Linearnim programiranjem moguće je rješavati svaki problemkoji možemo predstaviti odgovarajućim modelom linearnog

programiranja.

• Osnovni preduslov za kompletiranje modela LP je:

– Linearnost

– Izvjesnost

– Djeljivost

– Nenegativnost

• Svaki model LP sastoji se od:– funkcije cilja,

– sistema ograničenja i

– Uslova nenegativnosti

Svojstva linearnih programa




7

Primjer 1

Provjeriti da li je dati problem, problem linearnogprogramiranja i postaviti model:

Kompjuterska firma MSA prizvodi dva modela mini

kompjutera: Alfa i Beta.– Firma zapošljava 5 tehničara. Svaki od njih radi 160 sati

mjesečno na montaži.– Za sklapanje kompjutera Alfa potrebno je 20 sati rada

tehničara dok je za model Beta potrebno je 25 sati rada.

– Svaki kompjuter Alfa ostvaruje profit od 120 USD a Betaprofit od 180 USD.

Odrediti program mjesečne proizvodnje kompjutera saciljem da se maksimizira profit.




8

Primjer 2

Ako se u prethodnom problemu postave dodatna

ograničenja:

– U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 10

kompjutera Alfa i barem 15 kompjutera Beta.– Na svaki proizvedeni kompjuter Beta potrebno je

proizvesti najmanje dva kompjutera Alfa

kako bi onda izgledao model?




9

Opšti polazni model LP-a

– Razvijeni (ekstenzivni) oblik

– Kondenzovani oblik

– Matrični oblik

Simetrični modeli

Standardni model LP-a




10

Primalni model linearnog programiranja

• Polazni oblik primalne funkcije cilja ˝ f ˝

ili ˝kondenzovano˝

nn xc xc xc f

Min

Max ...)

.

.(

2211

n

p

p p xc f Min

Max

1

).

.(




11

Polazna primalna ograničenja ˝ I.tipa ˝


za

K nn K K K

nn

nn

d xa xa xa

d xa xa xa

d xa xa xa

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

...

..................................................

...

...

k

n

p

pkp d xa 1

K k ,1




12

Polazna primalna ograničenja ˝ II.tipa ˝


za

L K nn L K L K L K

K nn K K K

K nn K K K

d xa xa xa

d xa xa xa

d xa xa xa

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

................................................................

...

...

l

n

p

plp d xa

1

L K K l ,1




13

Polazna primalna ograničenja ˝ III.tipa ˝


za

R L K nn R L K R L K R L K

L K nn L K L K L K

L K nn L K L K L K

d xa xa xa

d xa xa xa

d xa xa xa

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

...........................................................................

...

...

r

n

p

prp d xa 1

R L K L K r ,1




14

Opšti polazni primalni model LP

n

p

p p xc f Min

Max

1.

.1

L K K l zad xa l

n

p

plp

,11

R L K L K r zad xa r

n

p

prp

)(,11

K k zad xa k

n

p pkp ,11

)(;,103 R L K mn p za x p

2




16

Simetrični modeli

n

p

p p xc Maxf

1

1

K k zad xa k

n

p

pkp ,1

1

00;;,10 R L K mn p za x p

n

p

p p xc f

1

min2

Ll zad xa l

n

p

plp ,1

1

;0;0;;,10 R K Lmn p za x pKvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu



17

Simetrični polazni primarni model

1 1

1 1

1

( .)

( .)

n n

p p p p p p

n n

kp p k kp p k p p

n

lp p l p

SLU ČAJ Max f

Max f C x (Max.)f C x

I a x d a x d k

II a x d

1

1

1

1

( )

( )

n

lp p l p

n

rp p r n prp p r n

prp p r

p

a x d l

a x d r

III a x d

a x d

0 0 p p x x p




18

1

1

.

, 1 , m

0 1

gdje su:

( ) 2

n

p p p

n

ip p i p

p

kp i

ip

Max f C x

a x d i ,m m R

x p ,n

m m R K L R R K L R

a i d

a

1 1

1

k

lp i l

rp i r

d za p ,n k ,K i k

a '' d d '' '' l K ,K L i l

a '' d d ''

1

1

m

rp i r

'' r K L ,K L R i r

a '' d d '' '' '' i m ,m R





19

1 1

1 1

1

( .)

( .)

( )

n n

p p p p p p

n n

kp p k kp p k p p

n

lp p l p

SLU ČAJ Min f

Min f C x (Min.)f C x

I a x d a x d k

II a x d

1

1

1

1

( )

n

lp p l p

n

rp p r n prp p r n

prp p r

p

a x d l

a x d r III a x d

a x d

0 0 p p x x p Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu




20

1

1

.

, 1 , m

0 1

gdje su:

( ) 2

n

p p

pn

ip p i p

p

kp i

ip

Min f C x

a x d i ,m m R

x p ,n

m m R K L R R K L R

a i d d

a

1 1

1

k

lp i l

rp i r

za p ,n k ,K i k

a '' d d '' '' l K ,K L i l

a '' d d ''

1

1

m

rp i r

'' r K L ,K L R i r

a '' d d '' '' '' i m ,m R





21

Primjer 3

Dat je opšti polazni model LP-a

transformisati dati model u simetričan, pa ga

zapisati u matričnom obliku.

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

min 80 120 80

I 2 3 1000

2 200

100

, , 0

f x x x

x x x

x x

x x x

x x x




22

Standardni model LP-a

• Ograničenja se transformišu u jednačine

– Izravnavajuće varijable

• I tipa, oslabljena ili neiskorištena

• II tipa, suvišak– Vještačke varijable




23

Primjer 4

Dat je opšti polazni model LP-a

Izvršiti standardizaciju modela, pa ga zapisati u matričnom

obliku.

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

min 80 120 80

I 2 3 1000

2 200

100

, , 0

f x x x

x x x

x x

x x x

x x x




24

Opšti standardni primalni model LP

-a

r l k p x x x x x

d x xa

d x x xa

d x xa

x M x M x x xC f Min

Max

l nr nl nk n p

r r r n

n

p

prp

l l l nl n

n

p

plp

k k k n

n

p

pkp

l r

r n

l

l nl n

k

k n

n

p

p p

,,,,0;0,0;0;03

2

00.

.1

*

,

1

,*

1

,

1

*

1




25

Standardni primalni model LP-a u kondenzovanom obliku

Standardni primalni model LP-a u matričnom obliku

mn R L K n N N s x

R L K mmid xa

xC f Min

Max

s

i

N

s

sis

N

s

s s

,10

,1,1

1

dim1"

dim"0

dim1"

dim1

md

N ma x

N xd xa

N jeC xC f

Min

Max

i

is s

si sis

T s s

T s


Opšti standardni primalni model LP

-a



26

Najčešće korištene metode za rješavanje modela linearnogprogramiranja su:

1. rafička metoda

2. Simpleks metoda





27

rafička metoda

• Primjenjuje se u slučajevima kada polazni oblik modela LP sadržidvije promjenljive {x1; x2}

• Grafička metoda služi da lakše shvatimo: – Oblast svih mogućih rješenja; – Kada je neko ograničenje suvišno;

– Šta je jednoznačno a šta višeznačno rješenje; – Postojanje ’’uskih grla’’ kod optimuma i sl.

• Sastoji se od grafičkog prikaza cijelog modela LP, funkcije cilja iograničenja u 2-dim. koordinatnom sistemu XOY

• Funkcija cilja (Min./Max) se predstavlja jednparametarskomporodicom pravih linija

• ’’Ograničenja jednačine’’ se predstavljaju pravim linijama a’’ograničenja nejednačine’’ poluravnima.




28

Model LP kod grafičke metode

(sa tri ograničenja sva tri tipa)

2211.

.1 xC xC f

Min

Max

3232131

2222121

1212111

2

d xa xa

d xa xa

d xa xa

0;03 21 x x

Funkcija cilja

Ograničenja

Opšti uslovi




29

0

X1

'''')(1212111 tipa I eogranicenjd xa xa

X2

12

1

ad

11

1

a

d

Ograničenje I tipa

11

1

12

12

1

21

0

0

a

d X X

a

d X X

Skup mogućih

rješenja za dato

ograničenje

Ako je a 11, a 12, d 1 >0


S

kup mogućih rješenja

(ograničenje I tipa



30

Mogući oblici skupa mogućih rješenja kod

ograničenja tipa “ ”

0 x 1

x 2

1k

k

a

d

Ograničenje I tipa

Skup mogućih

rješenja za dato

ograničenje

2k

k

a

d

0 x 1

x 2

1k

k

a

d

Ograničenje I tipaSkup mogućih

rješenja za dato

ograničenje

2k

k

a

d

0 x 1

x 2

Ograničenje I tipa

Skup mogućih

rješenja za dato

ograničenje

2k

k

a

d

0 x 1

x 2

Ograničenje I tipa

Skup mogućih

rješenja za dato

ograničenje

1k

k

a

d

0 x

1

x 2

Ograničenje I tipa

Skup mogućihrješenja za dato

ograničenje

0 x 1

x 2

Ograničenje I tipa

Skup mogućih

rješenja za dato

ograničenje




31

0

X1

'''')(2222121 tipa II eogranicenjd X a X a

X2

22

2

a

d

21

2

a

d

Ograničenje II tipa

21

2

12

22

2

21

0

0

a

d X X

a

d X X

Skup mogućih rješenja za dato

ograničenje

Ako je a21, a22, d 2 >0Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu

S


(ograničenje II tipa



32

Mogući oblici skupa mogućih rješenja kod

ograničenja tipa “ ”

0

x 2

2l

l

a

d

1l

l

a

d



ograničenje

x 1

0;0;0 21 l l l d aa

0

x 2

2l

l

a

d

1l

l

a

d


Skup mogućih

rješenja za datoograničenje

x 10;0;0 21 l l l d aa

0

x 2

2l

l

a

d

1l

l

a

d



ograničenje

x 10;0;0 21 l l l d aa

0

x 2

2l

l

a

d

1l

l

a

d



ograničenje

x 10;0;0 21 l l l d aa




33

0

X1

'''')(3232131

tipa III eogranicenjd X a X a

X2

32

3

a

d

31

3

a

d

Ograničenje III tipa

31

3

12

32

3

21

0

0

a

d X X

a

d X X

Ako je a 31, a 32, d 3 >0


S


(ograničenje III tipa



34

0

X1

X2

Ograničenje I tipa ’’≤’’

Ograničenje II tipa ’’≥’’

Ograničenje III tipa ’’=’’

Skup mogućih riješenja predstavlja duž BC.

A (I∩II) C (II∩III)

B (I∩III)

f 0

translacija

f 0


S


(sa tri ograničenja sva tri tipa)



35

0

X1

X2

Ograničenje I tipa ’’≤’’

Ograničenje II tipa ’’≥’’

Ograničenje III tipa ’’=’’



B (I∩III) f 0

f 0

2211: X C X C f Maxcilja Funkcija

B - najudaljenija tačka od ishodišta(maksimalna vrijednost funkcije cilja)


S


(sa tri ograničenja sva tri tipa i Max



36

0

X1

X2

Ograničenje I tipa

’’≤’’


’’≥’’

Ograničenje III tipa

’’=’’



B (I∩III)

f 0

f 0

2211: X C X C f Mincilja Funkcija

C - najbliža tačka ishodištu (minimalna

vrijednost funkcije cilja


S


(sa tri ograničenja sva tri tipa i Min



37

• Na osnovu prethodnih razmatranja vidimo da se

grafički metod određivanja rješenja zadatka linearnogprogramiranja sastoji od slijedećih aktivnosti:

1. Formulisanje problema u obliku zadatka linearnogprogramiranja;

2. Grafičko predstavljanje pravih koje reprezentuju(ne)jednačine sistema ograničenja;

3. Identifikacija skupa mogućih rješenja za koja suzadovoljene sve (ne)jednačine sistema ograničenja iopšti uslov nenegativnosti.

4. Nanošenje prave koja reprezentuje funkciju cilja –

f0

rafička metoda




38

5. Translacija prave funkcije cilja slijeva udesno, (nanošenjeparalelnih pravih) sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravukoja sa skupom mogućih rješenja ima samo jednuzajedničku tačku;

6. Utvrđivanje optimalnih vrijednosti promjenljivih X1 i X2u vidu koordinata ekstremne tačke skupa mogućihrješenja najudaljenije od koordinatnog početka(identifikacijom sa grafika ili rješavanjem sistema

jednačina pravih na čijem presjeku se tačka nalazi), i

7. Određivanje vrijednosti funkcije cilja za optimalnevrijednosti promjenljivih.

rafička metoda




39

Riješiti problem iz primjera 1 i primjera 2

upotrebom grafičke metode

400

15

32

X1

X2

I




40

Rješenje modela iz primjera 2

400

15

32

B

C

A

R

K

III

I

II

Model iz primjera 2 nema rješenje jer je skup svih mogućih rješenjaprazan skup. Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu



41

Primjer 3:

• U proizvodnom pogonu firme mogu se proizvoditi dva proizvoda(P1, P2). Strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet 450sati a drugog (S2) kapacitet od 600 sati.

• Potreban broj sati rada strojeva u proizvodnji jedinice proizvodaje sljedeći:

• Na temelju analize troškova zna se da treba proizvesti najmanje

100 jedinica P1.• Prihod po jedinici P1 je 10KM i po jedinici P2 je 10KM.

Sastaviti model LP ako je cilj maksimizirati mjesečni prihodfirme. Napraviti dualni model i dati optimalne vrijednostidualnih varijabli. Protumači rezultate

S1 S

2

P1 2 2

P2 1 2




42

Rješenje:

0,

100

60022

4502

1010max

21

1

21

21

21

x x

x

x x

x x

x x f




43

rafički prikaz rješenja zadatka 3:

0

X1

X2

I

Optimalno riješenje je:

• Koordinate tačke B(150, 150)

• Koordinate tačke C(100, 200)

•f(C)=f(B)=3000•Optimalno riješenje je duž BC

B (I∩II)

250

II

300

200

450

f 0

III

100

f

C (II∩III)


Documents

LP Predavanja Uvod