EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA - MYRMA

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EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA. MECNICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES.

ING. JIMMY FERNANDEZ DIAZ jfd@upnorte.edu.pe

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Qu es una partcula?

Qu condiciones de equilibrio se dan en una

partcula?

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PROBLEMATIZACION

Por qu es importante en anlisis de equilibrio de

partcula en una concentracin de cargas?

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LOGRO DE LA SESION

Al trmino de la sesin, el estudiante desarrolla ejercicios

aplicativos de diversos tipos de concentracin de cargas

tanto en el plano como en el espacio, basado en la teora

de equilibrio de partcula, con precisin, criterio y actitud

crtica.

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Se dice que una partcula est en equilibrio si se encuentra en reposo o si

tiene una velocidad constante (aceleracin cero).

Para mantener el equilibrio o equilibrio esttico es necesario que se

cumpla la Primera Ley de Newton:

EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA

CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA:

La fuerza resultante que acta sobre una partcula debe ser cero.

Esta ley se deriva de la Segunda Ley de Newton F = ma. Como la

partcula est en equilibrio, es decir tiene velocidad constante o permanece

en reposo entonces la aceleracin de la partcula es cero a = 0,

simplificndose la expresin a F = 0

F = 0

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Un Diagrama de Cuerpo Libre DCL es una representacin aislada de

un cuerpo con respecto a su entorno, donde se representan todas las

fuerzas, conocidas y desconocidas, que actan sobre el.

Recuerde que, para que se cumpla la condicin de equilibrio: F = 0

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE - DCL:

TIPOS DE CONEXIONES:

En problemas de Equilibrio de Partculas frecuentemente se

consideran los siguientes tipos de conexiones:

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Resortes:

Cables y Poleas:

Los cables son considerados de peso insignificante

e indeformables y puede soportar slo una tensin

o jaln la cual acta en la direccin del cable.

Resorte elstico lineal o Cuerda

Donde: lo : longitud inicial del resorte (sin carga)

s : deformacin

l : longitud final del resorte (con carga)

Fuerza que acta sobre el Resorte:

F = ks Donde: k : constante de rigidez

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1. Trazar el perfil delineado:

Aqu la partcula debe estar aislada de su entorno.

Antes de aplicar las Ecuaciones de Equilibrio debemos considerar todas

las Fuerzas que actan sobre la partcula, para lo cual es necesario trazar

primero el DCL.

La construccin de un DCL implica seguir los siguientes pasos:

PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR UN DCL.

2. Mostrar todas las Fuerzas:

En el bosquejo, representar todas las fuerzas que actan sobre la

partcula: conocidas y desconocidas, activas y reactivas.

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3. Identifique cada una de las Fuerzas:

Las fuerzas conocidas se representan con sus propias magnitudes y

direcciones. Para las magnitudes y direcciones de las fuerzas

desconocidas se utilizan letras.

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EJEMPLO 01:

La esfera mostrada tiene una masa de 6 kg y est soportada tal como

se muestra. Trazar el DCL de la Esfera y del Nudo C.

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Solucin:

DCL de la Esfera DCL delNudo C

FCE

58.9 N

FCBA

FCE

(Peso que acta sobre la Esfera)

(Fuerza de la Cuerda CE que acta sobre la Esfera) (Fuerza de la Cuerda CBA

que acta sobre el Nudo)

(Fuerza de la Cuerda CE que acta sobre el Nudo)

(Fuerza del Resorte que acta sobre el Nudo)

Convertimos los 6 kg masa a Newtons (peso).

W = 6 kg (9.81 m/s2) = 58.9 N

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SISTEMAS DE FUERZAS COPLANARES

F = 0

Fx i + Fy j = 0 Fx = 0

Fy = 0

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EJEMPLO 02:

Determine la tensin necesaria en los cables BA y BC para sostener el

cilindro de 60 kg que se muestra en la figura.

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Solucin:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

DCL del Cilindro

Fy = 0:

TBD = 60 (9.81) N

DCL del Nudo B

Fx = 0:

Fy = 0:

TC cos45 - (4/5)TA = 0

TC sen45 + (3/5)TA 60(9.81) = 0

TC = 475.66 N = 476 N

TA = 420 N.

(Resp.)

(Resp.)

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EJEMPLO 03:

Determine la longitud requerida para el cable de corriente alterna de la

figura, de manera que la lmpara de 8 kg est suspendida en la posicin

que se muestra. La longitud no deformada del resorte AB es lAB = 0.4 m,

y el resorte tiene una rigidez de kAB = 300 N/m.

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Solucin:

Si se conoce la fuerza en el resorte AB, el alargamiento de dicho resorte lo

encontramos mediante F = ks.

DCL del Nudo A

Fx = 0:

Fy = 0:

TAB - TAC cos30 = 0

TAC = 157 N

TAB = 135.9 N

Peso de la Lmpara:

W = 8 (9.81) N.

W = 78.5 N.

Ecuaciones de Equilibrio:

TAC sen30 - 78.5 = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

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Estiramiento del resorte AB.

(Resp.)

Tenemos: F = k.s

TAB = kAB.sAB

135.9 N = 300 N/m.(sAB)

sAB = 0.453 m

Longitud alargada del resorte AB. lAB = lAB + sAB

lAB = 0.4 + 0.453

lAB = 0.853 m

Longitud del cable AC. 2 m = lAC cos30 + 0.853 m

lAC = 1.32 m

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SISTEMAS DE FUERZAS TRIDIMENSIONALES

F = 0

Fx i + Fy j + Fz k = 0

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0

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EJEMPLO 04:

Una carga de 90 lb est suspendida del gancho que se muestra en la

figura. Si la carga se sostiene mediante dos cables y un resorte con

rigidez k = 500 lb/pie, determine la fuerza presente en los cables y el

alargamiento del resorte para lograr la posicin de equilibrio. El cable

AD se encuentra en el plano xy y el cable AC en el plano xz.

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Solucin:

El alargamiento del resorte podr determinarse luego de haber calculado la

Fuerza que hay en l: F = ks.

DCL del Nudo A

Fx = 0:

Fy = 0:

FD sen30 - (4/5) FC = 0

Ecuaciones de Equilibrio:

-FD cos30 + FB = 0

Fy = 0: (3/5) FC - 90 = 0

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Estiramiento del resorte AB.

(Resp.)

Tenemos: F = k.s

FB = kAB.sAB

207.8 lb = (500 lb/pie)(sAB)

sAB = 0.416 pie

FC = 150 N

FD = 240 N

FB = 207.8 N

(Resp.)

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

(Resp.)

(Resp.)

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EJEMPLO 05:

Determine la fuerza en cada cable que se ha usado para sostener la

caja de 40 lb que se muestra en la figura.

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Solucin:

Expresamos las fuerzas en cada cable de manera vectorial, para lo cual

necesitamos calcular el vector unitario en la direccin de cada fuerza:

F = F uF

)8()4()3(222

843 kjiFB F B

FB = -0.318 FB i 0.424FB j + 0.848FB k

)8()4()3(222

843 kjiFC FC

FC = -0.318 FC i + 0.424FC j + 0.848FC k

FD = FD i

W = -40 k

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Igualamos a cero las componentes i, j, k:

FB + FC + FD + W = 0 F = 0:

-0.318 FB i 0.424FB j + 0.848FB k - 0.318 FC i + 0.424FC j + 0.848FC k + FD i 40 k = 0

(-0.318 FB - 0.318 FC + FD) i + ( 0.424FB + 0.424FC) j + (0.848FB + 0.848FC 40) k = 0

Fx = 0:

Fy = 0:

-0.318 FB - 0.318 FC + FD = 0

0.424FB + 0.424FC = 0

Fy = 0: 0.848FB + 0.848FC 40 = 0

FB = FC = 23.6 lb

FD = 15 lb

(Resp.)

(Resp.)

Condiciones de Equilibrio: