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8/19/2019 Cap 2 - Cinematica de La Particula - 2D
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Movimiento en el plano
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8/19/2019 Cap 2 - Cinematica de La Particula - 2D
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Vector posición y desplazamientoEl vector posición r va del
punto O a la posición P de
la partícula.
El vector desplazamiento r
indica el cambio de posiciónentre dos instantes de tiempo:
12 r r r
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Ley de movimiento
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Expresa la posición de la partícula en función del tiempo:
)(t r r
En componentes:
)(
)(
t y y
t x x
Ejemplo: Dada la ley de movimiento de una partícula
)3;( 2t t r
Hallar su posición para t = 2 s.
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Vector Velocidad
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En componentes x e y:
La veloc idad nos indica hacia donde se mueve la
par tícu la
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Módulo y dirección de la velocidad
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El módu lo de la
velocidad es la rapidez
En todo pun to de
la trayector ia el
vector velocidad
es tangente a latrayectoria.
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Vector aceleración
En componentes x e y:
El vector aceleración
apun ta hacia el interior
de la cu rva desc ri ta
por la partícu la
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Componentes tangencial y normal de la aceleración
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aceleración tangencial (a T )
Es la componente de la
aceleración paralela a lavelocidad.
aceleración normal (a N )
Es la componente de la
aceleración perpendicular ala velocidad.
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aceleración tangencial (a T )
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Su función es cambiar
(aumentar o disminuir) el
módulo de la velocidad
(rapidez) de la partícula.
(+) a favor de la velocidad.
() en contra de la velocidad.
(Cantidad escalar)
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aceleración normal (a N )
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Su función es cambiar la
dirección de la velocidad
de la partícula.
(Cantidad escalar)
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Ejemplo 1
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Los autos de carrera
por lo general frenan
al entrar en una curvay aceleran al salir de
ella.
En la curva, el auto tiene una aceleración tangencial
(que produce el cambio en su rapidez) y una aceleración
normal (que produce el cambio en su dirección)
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Ejemplo 2
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Vectores de velocidad y aceleración para una partícula
que pasa por un punto P de una trayectoria curva con
rapidez: (a) decreciente, (b) constante y (c) creciente.
( ) ( ) ( )a b c
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Trayectoria
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Es el camino o recorrido seguido por la partícula. La
trayectoria es el camino y por lo tanto es independiente
del tiempo.
Trayectoria
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Ejercicio 1
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Una partícula se mueve en el plano X-Y con la
siguiente ecuación de movimiento:
donde a y b son constantes positivas, r está en metros
y t en segundos.
a) Hallar la ecuación de la trayectoria y graficarla.
b) Encontrar la velocidad y la aceleración de la partícula para todo instante.
c) Demostrar que la velocidad es perpendicular a la
aceleración en todo instante.
ˆ ˆ( ) cos( ) sen( )r t a bt i a bt j
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Solución (a)
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ˆ ˆ( ) cos( ) sen( )r t a bt i a bt j
Dada la ley de movimiento:
La expresamos en componentes, x e y, para eliminar el tiempo:
)(
)cos(
bt bsen y
bt a x
Elevando al cuadrado y sumando:
2222222)()(cos abt senabt a y x
222 a y x Circunferencia de radio “a”
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Solución (b)
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ˆ ˆ( ) cos( ) sen( )r t a bt i a bt j
Dada la ley de movimiento:
Derivando, obtenemos la velocidad:
jbt abibt abdt
r d v ˆ)cos(ˆ)(sen
Derivando, obtenemos la aceleración:
jbt senabibt abdt
vd a ˆ)(ˆ)(cos 22
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Solución (c)
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Para todo instante se tiene que:
jbt abibt abv ˆ)cos(ˆ)(sen
jbt senabibt aba ˆ)(ˆ)(cos 22
vava
0
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Ejercicio 2
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La ecuación de la trayectoria de una partícula es
y = x2, x 0
donde x e y están en metros. La componente de la
velocidad en el eje x es constante e igual a 2 m/s. Si para
t = 0s la partícula estaba en el origen ( x = 0 m e y = 0 m),
determinar:
a) La ley del movimiento de la partícula.
b) La velocidad y la aceleración de la partícula en
cualquier instante de tiempo.
c) El desplazamiento de la partícula entre t = 1s y t = 2s.
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Solución
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cte22
0
)(constantem/s2
t dt xdt
dva
v
x x
x
Para t =0s, x = 0 = cte:
t x 2
De la ec. de la trayectoria:
22 4t x y
a) La ley de movimiento:
b) Velocidad y aceleración:
2m/s)8;0(dt
vd a
c) Desplazamiento:
m)12;2(12 r r r
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Ejercicio 3
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Una partícula se mueve en el plano X-Y con la
siguiente ecuación de movimiento:
donde r está en metros y t en segundos.
a) Hallar la ecuación de la trayectoria y graficarla.
b) Para t = 1s, encontrar la componente de laaceleración paralela a la velocidad.
c) Repetir la parte b) para t = 2s.
)42;()( 2 t t t t r
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Solución (a)
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y
x
t t y
t x
42 2
Reemplazando:
x x y 42 2
2)1(2 2 x y
Notar que x 0, ya que t 0.
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Solución (b)
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m)42;()( 2
t t t t r
m/s)44;1(
t dt
r d
v
2m/s)4;0(dt
vd a
Para t = 1s:
m/s)0;1(v
2m/s)4;0(a
Para t = 2s:
m/s)4;1(v
2m/s)4;0(a
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Movimiento de proyectiles
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Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da
una velocidad inicial y a continuación sigue una
trayectoria determinada por su peso.
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Movimiento de proyectiles
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El movimiento
de un proyecti l siempre se da en
el plano vertical
que contiene al
vector velocidad
inicial
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Movimiento de proyectiles
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g a
a
y
x
0
oo y
oo x
θ vv
θ vv
o
o
sen
cos
Proyectil lanzado desde el origen (0; 0) con una
rapidez inicial vo y un ángulo o con la horizontal.
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Ecuación de la trayectoria
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Eje x : 0 xa
Eje y : g a x
Vector Velocidad
La trayectoria es
una parábola.
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Ejercicio 1
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Desde una altura de 45 m una persona lanza una piedra con
una rapidez inicial de 20 m/s y un ángulo de 30º sobre la
horizontal. Determinar:
a) El tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo.
b) La rapidez de la piedra justo antes de tocar el suelo.
c) El punto de impacto de la piedra con el suelo.
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Solución (a)
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m/s32,17º30cos20 xo
v
m/s10º30sen20 yo
v
En componentes:
a) Cálculo del tiempo:
045109,4 2 t t
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Solución (b)
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b) Cálculo de la rapidez de impacto:
Cuando llega al suelo: t = 4,22 s
Remplazando:
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Solución (c)
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t x 32,17
Cuando llega al suelo:
t = 4,22 s.Remplazando:
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Ejercicio 2
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Hallar vo mínima
para que la piedra
llegue al suelo yla distancia s a la
que cae la piedra.
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Solución
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La rapidez mínima se obtiene cuando la piedra pasa por
el punto B.Tiempo para llegar a B:
2)8,9(214 t
s9,0t
Para que pase por B:
6)9,0( o B v x
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Solución (cont.)
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Tiempo para llegar a C:
2)8,9(
2
18 t
s28,1t
En la horizontal:
m54,8)28,1)(67,6(
C xm54,8 s
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Ejercicio 3
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La canica mostrada en
la figura sale del punto
A con una velocidadhorizontal de 25 m/s e
impacta en el punto B
del plano inclinado.
Hallar la distancia “d”
que separa a los puntos
A y B .
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Solución
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º35send
º35cosd
2)8,9(2
1t y
t x 25
Cuando llega al punto B:
t d 25º35cos
2)8,9(
2
1º35sen t d
Resolviendo:
m109
s57,3
d
t
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Ejercicio 4
35
Una bola de nieve rueda por
el techo de un granero y sale
de él con una rapidez de 7 m/s
y una inclinación hacia abajo
de 40º. El borde del techo está
a 14 m del suelo. Una estatua
de 1,9 m de alto está a 4 m
del granero. ¿Caerá la bola de
nieve sobre la estatua?
8/19/2019 Cap 2 - Cinematica de La Particula - 2D
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Solución
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t x )º40cos7(
Para llegar a la estatua: x = 4 m.
Reemplazando:
t )º40cos7(4 s75,0t
A qué altura estaría la bola:
2)75,0)(8,9(2
1)75,0()º407( sen y
2)8,9(2
1)º407( t t sen y
Pasa a 7,87 m del suelo.
N l á