UNIVERSIDADE TECNOL OGICA FEDERAL DO PARAN APROGRAMA DE P OS-GRADUAC AO EM MATEM ATICA

ALEX ISSAMU MORIYA

OS TEOREMAS DE FUNC OES INVERSA E IMPLICITA E SUASAPLICAC OES

MONOGRAFIA DE ESPECIALIZAC AO

CAMPO MOUR AO

2011

ALEX ISSAMU MORIYA

OS TEOREMAS DE FUNC OES INVERSA E IMPLICITA E SUASAPLICAC OES

Monografia apresentada ao Programa de Pos-graduacao em Matematica da Universidade Tec-nologica Federal do Parana como requisito par-cial para obtencao do ttulo de Especialista emCiencias Area de Concentracao: Matematica.

Orientador: Juan Amadeo Soriano Palomino

CAMPO MOUR AO

2011

TERMO DE APROVAC AO

Alex Issamu Moriya

Os Teoremas de Funcoes Inversa e Implcita e suas Aplicacoes

Monografia apresentada ao Programa de Pos-graduacao em Matematica da Universidade Tec-nologica Federal do Parana como requisito parcial para obtencao do ttulo de Especialista emCiencias Area de Concentracao: Matematica.

Orientador: Prof. Msc. Adilandri

Prof. Msc. Mercio

Prof. Msc. Lobeiro

Campo Mourao, 2010

A minha esposa Satiko e ao meus pais.

AGRADECIMENTOS

Agradeco primeiramente a Deus.

Minha querida esposa que sempre esteve ao meu lado nos momentos difceis.

Aos meus pais que sempre me deram forca nas horas mais crticas de minha vida.

Ao professor Juan pela paciencia e atencao.

Ao professor Adilandri, pela paciencia, amizade e competencia.

Ao meu amigo Marco Tadeu pela forca e pouso.

Aos amigos Odemir Brill, Roney Peterson e Willian Baraviera, pelos dias descontraidos.

Ao Edilson pela atencao, competencia e pelos cafes dos Domingos.

Ate onde as leis da matematica se refiram a realidade, elas estao longede construir algo certo; e, na medida em que constituem algo certo, naose referem a realidade

(Albert Einstein)

RESUMO

MORIYA, Alex Issamu. Os Teoremas de Funcoes Inversa e Implcita e suas Aplicacoes. 60 f.Monografia Programa de Pos-graduacao em Matematica, Universidade Tecnologica Federaldo Parana. Campo Mourao, 2011.

Neste trabalho vamos estudar um dos temas centrais na Teoria da Analise o Teorema da FuncaoInversa. Em seguida aplicando este teorema demonstraremos o Teorema da Funcao Implcita.Tambem apresentaremos algumas aplicacoes deste teorema que e um resultado central da analise.

Palavras-chave: Funcao Inversa, Funcao Implcita

ABSTRACT

MORIYA, Alex Issamu. Title in English. 60 f. Monografia Programa de Pos-graduacao emMatematica, Universidade Tecnologica Federal do Parana. Campo Mourao, 2011.

In this paper we study one of the central themes in the Analysis Theory Inverse Function Theo-rem. Then applying this theorem will demonstrate the Implicit Function Theorem. We will alsointroduce some applications of this theorem is a central result of the analysis.

Keywords: Inverse Function, Implicit Function.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 DERIVADA PARCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15FIGURA 2 DERIVADA DIRECIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16FIGURA 3 FUNC AO DIFERENCI AVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19FIGURA 4 FUNC AO DIFERENCI AVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21FIGURA 5 INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

SUM ARIO

1 DESENVOLVIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 LIMITES E CONTINUIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 FUNC OES CONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 CONTINUIDADE UNIFORME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 FUNC OES REAIS DE N VARI AVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1 DERIVADAS PARCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 DERIVADAS DIRECIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 FUNC OES DIFERENCI AVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 VETOR GRADIENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.5 REGRAS B ASICAS DE DERIVAC AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.6 CASO GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.7 A MATRIZ JACOBIANA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.8 REGRA DA CADEIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.9 O TEOREMA DO VALOR M EDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.10 DERIVADAS PARCIAIS (CASO GERAL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.11 CONDIC OES SUFICIENTES PARA A DIFERENCIABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . 335.12 FUNC OES DE CLASSE C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.13 PROJEC AO ORTOGONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 TEOREMA DA FUNC AO INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.1 TEOREMA DA FUNC AO INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 M ETODO DAS CARACTERISTICAS UMA APLICAC AO DO TEOREMA DA FUNC AO

INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.1 TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 APLICAC AO DO TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 CONCLUS AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59REFER ENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

81 DESENVOLVIMENTO

Para a melhor compreensao vamos realizar uma introducao de Limites e Continuidades,segue da, Funcoes Diferenciaveis de n variaveis definida por f : Rn R, onde passaremospor definicoes de funcoes Gateaux derivavel ou derivadas parciais, funcoes diferenciaveis ouFrechet-derivaveis dadas por f : R onde

f (xo +h) = f (xo)+L(h)+ rxo(h)

com L linear e o resto satisfazendolimh0

rxo(h)h ,

estudaremos a parte de Vetor Gradiente, Regras de Derivacao, Caso Geral, Matriz Jacobiana,Regra da Cadeia, Teorema do Valor Medio, Condicao de Diferenciabilidade, Funcao de ClasseC1 e entraremos assunto que e um dos temas principais da Analise Matematica, O Teoremada Funcao Inversa com a aplicacao no Metodo das Caractersticas e O Teorema da FuncaoImplcita outro resultado central da Analise com a aplicacao em Multiplicadores de Lagrange.Onde o conteudo foram das referencias, (CIPOLATTI, 2002), (LIMA, 2009a),(LIMA, 2009b),(RUDIN, 1971), (BARTLE, 1983),(GUIDORIZZI, 2000).

92 LIMITES E CONTINUIDADES

Nesta parte tem como objetivo estudar definicoes de limite e continuidade, para funcoes deR

n em Rm. Neste momento vamos denotar indistintamente as normas euclidianas, isto e,as normas da forma 2 de Rn e Rm.

Definicao 2.1 Sejam f : A Rn Rm, xo A e b Rm. Dizemos que b e o limite de f (x)quando x se aproxima de xo em A (relativamente a`s normas euclidianas) se

para todo > 0, existe > 0 tal que x A e 0 < x xo< implique f (x)b<

Neste caso denotamoslim

xxof (x) = b

Como a metrica da bola provem da norma euclidiana, podemos usar a definicao acima comonotacao de bola, isto e,

> 0, > 0 tal que x A (B (xo)\{xo}) f (x) B(b).

Ou de forma mais concisa

> 0, > 0 tal que x f (A (B (xo)\{xo})) B(b)

Podemos definir a continuidade em forma da definicao de limite:

Definicao 2.2 Se todo ponto xo A e um ponto isolado, entao toda aplicacao f : ARn Rme contnua no ponto xo. Porem, se xo A entao f e contnua no ponto xo se, e somente se,lim

xxof (x) = b

Teorema 2.1 Sejam f : A Rn Rm, f = ( f1, f2, . . . , fm), onde fi : A Rn R, i =1, . . . ,m, xo A e b Rm, b = (b1,b2, . . . ,bm). Entao

10

limxxo

f (x) = b limxxo

fi(x) = bi, i = 1, . . . ,m.

Demonstracao: Suponhamos limxxo

fi(x) = bi e seja > 0. Entao existem 1,2, . . . ,m > 0 taisque x A e 0 < x xo < i implica fi(x) bi <

m, i = 1, . . . ,m. Se pegarmos a base

canonica de Rm dada por {e1,e2, . . . ,em}, agora pegarmos = min{1,2, . . . ,m} temos parax A e 0 < x xo< vem que

f (x)b = | f1(x)b1|+ | f2(x)b2|+ + | fm(x)bm| | f1(x)b1|e1+ | f2(x)b2|e2+ + | fm(x)bm|em< e1+ 2e2+ + mem

Se pegarmos = min{ 1 , . . . , m} temos

f (x)b<

Reciprocamente, se limxxo

f (x) = b, para > 0 dado, existe > 0 tal que se xA e 0 < xxo< entao f (x)b< . Como | fi(x)bi| f (x)b para todo i = 1, . . . ,m segue o resultado.

Teorema 2.2 Seja f : ARn Rm e xo A. Entao

limxxo

f (x) = b{xk}k A tal que xk xo f (xk) b.

Demonstracao: Exerccio.

Teorema 2.3 Sejam f ,g : ARn R e xo A. Se

limxxo

f (x) = bhspace0.3cm e hspace0.3cm limxxo

g(x) = c,

entaolimxxo

( f g)(x) = b climxxo

( f g)(x) = bcAlem disso, se c 6= 0 entao

limxxo

( fg

)(x) =

bc.

Demonstracao: Exerccio.

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3 FUNC OES CONTINUAS

Definicao 3.1 Seja f : A Rn Rm e xo A A. Dizemos que f e continua em xo selim

xxof (x) = f (xo). Mais precisamente,

> 0, > 0 tal que x xo< f (x) f (xo)<

.

Podemos ainda escrever a definicao acima em notacao de bola aberta de raio com centro emxo denotado por B(xo), ou seja, podemos dizer que f e continua no ponto xo se, e somente se,

> 0, > 0 tal que f (AB (xo)) f (x) B( f (xo)).

Ou de forma mais concisa.

> 0, > 0 tal que f (AB (xo)) B( f (xo)).

Observacao: Como estamos trabalhando funcoes de f : A Rn Rm os fatos abaixo e dire-tamente liga as propriedades de limite:

a) Supor que f = ( f1, f2, . . . , fn) e continua em xo A se, somente se, para cada fi : ARn Rforem continuas em xo.

b) Sejam f ,g : ARn R funcoes continuas no ponto xo e R, entao vem que f +g, f ge f sao continuas no ponto xo. Se g(x) 6= 0, entao as funcoes fg sao continuas em xo.

c) A continuidade da funcao no ponto xo independe das normas aqui utilizadas de Rn e Rm.

Teorema 3.1 Sejam f : A Rn Rm e g : B Rn Rm tais que f (A) B. Se xo A,y0 BB, lim

xof (x) = yo e g e continua em yo o que implica que lim

xo(g f )(x) = g(yo)

Demonstracao: Seja > 0. E pela continuidade da g em yo temos, existe > 0 tal quey BB(yo) g(y) B

(g(yo)

). Como lim

xof (x) = yo, existe > 0 tal que x

(B (xo) \

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{xo})A f (x) B(yo).

Portantox (B (xo)\{xo})A y = f (x) B(yo)

e consequentementeg( f (x)) B(g(yo))

.

Teorema 3.2 Todas as normas em Rn sao equivalentes.

Demonstracao: Seja uma norma qualquer em Rn e 1 a norma 1 definida por x1 =|x1|+ + |xn|. Dado x Rn, temos

x =n

i=1

xiei x n

i=1

xiei Mx1,

onde {e1,e2, . . . ,en} e a base canonica de Rn e M = max{ei; i = 1, . . . ,n}. Seja K = {x R

n;x1 = 1} e f (x) = x. Entao f :Rn R e funcao contnua (relativamente a noma 1)de Rn. Como k e um fechado e limitado, e portanto compacto, segue do corolario anterior queexiste x K tal que m := f (x) = min f (K). Observe que m > 0, pois se 0 = m = x x = 0.Seja x um ponto qualquer de Rn. Entao y = xx1 K e

m f (y) = xx1

= xx1 mx1 x

Definicao 3.2 Quando uma funcao f e contnua em todos os pontos de seu domnio, dizemossimplesmente que f e funcao contnua.

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4 CONTINUIDADE UNIFORME

Vimos anteriormente que uma funcao e contnua quando e contnua em todos os pontos deseu domnio. podemos dizer, portando, que a continuidade e um conceito local. Isso se expressana definicao, pelo fato de que, para cada e para cada x, = (,x) depende de epsilon e doponto x. A definicao que introduzimos a seguir expressa um conceito global de continuidade,continuidade uniforme.

Definicao 4.1 Seja ARn e f : ARm uma funcao. Dizemos que f e uniformemente contnuaem A se > 0 existe > 0 tal que se x,y Ax y< , entao f (x) f (y)< .

Definicao 4.2 Uma funcao f : A Rn Rm e dita Lipschitz-contnua em A se existe M > 0tal que

f (x) f (y) Mx y, x,y A

Proposicao 4.1 Seja f :Rn Rm uma funcao linear. Entao f e Lipschitz-contnua.

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5 FUNC OES REAIS DE N VARI AVEIS

5.1 DERIVADAS PARCIAIS

Quando se estuda funcoes reais de n variaveis, isto e, definidas em subconjuntos do espacoR

n, f : Rn R, e se busca para essa funcao uma nocao de derivada que tenha propriedades

analogas a`s da derivada de uma funcao definida num intervalo, a ideia que se apresenta maisnaturalmente e a de derivada parcial, que exploremos agora.

Para efeito de derivacao, onde se compara o acrescimo f (xo +h) f (xo) da funcao f com oacrescimo h > 0 dado ao ponto xo, o domnio mais adequado para uma funcao e um subconjuntoaberto Rn pois, neste caso, dado xo , tem-se ainda xo + h para todo acrescimo hsuficientemente pequeno.

Seja, pois, f : R uma funcao real, definida num subconjunto aberto Rn, a i-esimaderivada parcial de f no ponto xo (onde 1 i n) e o limite

fxi

(xo) = lim0

f (xo +ei) f (xo)

quando tal limite existe.

No entanto o smbolo pode ser denotado como fxi , tambem como fyi

,

f zi

, etc. O queimporta no smbolo nao e o nome da variavel, x,y ou z, etc. O importante e o ndice i quetrata-se da funcao na i-esima variavel, seja qual for smbolo utilizado, podendo utilizar da forma fv (xo).

O caso particular n = 2 onde o grafico da funcao e uma superfcie em R3; a restricao de fao segmento de reta que passa por c = (a,b) e e paralela ao eixo das abscissas tem como grafico

a curva plana obtida nessa superfcie fazendo y constante, igual a b. Logo fx (c) e a inclinacaoda reta tangente a essa curva, no ponto (a,b, f (a,b)), ao plano paralelo ao eixo x.

Assim a derivada parcial da funcao real f (x1,x2, . . . ,xn), faz com que todas as variaveis setornem constantes exceto a i-esima, e aplicando as regras usuais de derivacao nesta variavel.

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Figura 1: Derivada ParcialFonte: GeoGebra

5.2 DERIVADAS DIRECIONAIS

Vendo que as derivadas parciais, desacompanhadas de hipoteses adicionais, apenas forneceminformacoes sobre a funcao ao longo de retas paralelas ao eixos, tentamos estender a nocao dederivada a outras direcoes alem dessas. Isto nos leva ao importante conceito de derivada dire-cional ou funcao Gateaux derivavel.

Definicao 5.1 Sejam f : R definida no aberto Rn , xo e h Rn, e dita Gateauxderivavel em xo se f possui derivadas direcionais em xo em todas as direcoes de h, por definicao,o limite

fh (xo) = lim0

f (xoh) f (xo)

quando tal limite existi.

Definicao 5.2 Uma funcao f : Rn R e dita Gateaux derivavel em xo se f possui derivadasdirecionais em xo em todas as direcoes de u.

Observacao:De forma sutil as funcoes Gateaux derivavel podem parecer, a` primeira vista, ageneralizacao natural para a definicao de derivada de uma funcao real de uma variavel. Entre-tanto, a existencia das derivadas direcionais nao assegura a regularidade de f em torno do pontoxo, como no caso de uma variavel (caso n = 1). De fato, contrariamente ao caso unidimen-sional, uma funcao que e Gateaux-diferenciavel num ponto xo nao necessariamente contnua

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neste ponto. Por exemplo, consideremos

f (x) =

xy2

x2 + y4se (x,y) 6= (0,0)

0 senao

Figura 2: Derivada direcionalFonte: Maple

Se h = (h1,h2) e um vetor unitario qualquer, entao aplicando a definicao de limite

fh (0,0) = lim0

f ((0,0)+h) f (0,0)

= lim0f ( (h1,h2))

= lim0f ((h1,h2))

= lim0h1 2h22

2h21+ 4h42 1

= lim0 3h1h22

3(h21+h42)

= lim0h1h22

h21+h42

=h1h22h21

=h22h1

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segue que fh (0,0) =

h22h1 se h1 6= 00 senao.

Entretanto, f nao e contnua em (0,0). De fato, f (t2, t) = 12 t 6= 0

5.3 FUNC OES DIFERENCI AVEIS

Consideremos agora funcoes de domnio Rn um conjunto aberto, imagemR, normaeuclidiana em Rn e f : R

Definicao 5.3 Dizemos que f e diferenciavel (ou Frechet-derivavel) em xo se existemfuncoes L,rxo :Rn R tais que

f (xo +h) = f (xo)+L(h)+ rxo(h), (1)

com L linear e rxo satisfazendolimh0

|rxo(h)|h = 0 (2)

Se rxo(h) satisfaz ( 2 ), dizemos que rxo(h) e funcao 0(h). Para simplificarmos a notacao,escrevemos simplesmente r(h), deixando de explicitar que r depende de xo.Se f e funcao diferenciavel em xo, entao a transformacao linear L e denominada diferenciavelde f no ponto xo que e denotada por f (xo).Desigualdade de Young:

Lema 5.1 Seja p e q tais que 1 < p, q < + e 1p + 1q = 1. Entao, para todo x,y R, vale adesigualdade

|xy| xp

p+

xq

q

Exemplo 5.1 Consideremos f (x,y) = xy. Se h = (h1,h2), entao

f (xo +h1,yo +h2) = xoyo + xoh2 + yoh1 +h1h2

Como L(h) = xoh2 + yoh1 e linear e r(h) = h1h2 satisfaz |r(h)|h h2 0 se h 0, temos quef e diferenciavel em (xo,yo) e sua diferencial e f (xo,yo)(h) = xoh2 + yoh1

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Exemplo 5.2 Seja f : Rn R um funcao linear. Entao f (xo + h) = f (xo)+ f (h). Se consid-erarmos r(h) = 0 para todo h Rn, onde

f (xo +h) = f (xo)+L(h)+ r(h)f (xo +h) = f (xo)+L(h)+0f (xo +h) = f (xo)+ f (h)

fica satisfeita com L(h) = f (h), o que nos leva a concluir que f e diferenciavel no ponto xo ef (xo) f .

Lema 5.2 Se f e uma funcao diferenciavel no ponto xo , L1 e L2 sao diferenciaveis de f ,entao L1 = L2.

Demonstracao: De fato, suponhamos que para todo h Rn,

f (xo +h) = f (xo)+L1(h)+ r1(h)f (xo +h) = f (xo)+L2(h)+ r2(h)

(3)

com L1 e L2 lineares e r1 e r2 funcoes o(h) (funcoes que tendem a zero). Agora pegamos aprimeira igualdade e subtramos da segunda de (3), onde obtemos,

L1(h)L2(h) = r1(h) r2(h).

Tomemos agora h = ei, onde R+ e ei e a base canonica de Rn, da

L1(ei)L2(ei) = r2(ei) r1(ei) [L1(ei)L2(ei)] = r2(ei) r1(ei) [L1(ei)L2(ei)] r2(ei)+ r1(ei)

L1(ei)L2(ei) = r2(ei)+r1(ei)L1(ei)L2(ei) = r2(ei) +

r1(ei)

|L1(ei)L2(ei)| = r2(ei) + r1(ei)

|L1(ei)L2(ei)| |r2(ei)| +|r1(ei)|

Fazendo 0, vamos obter que L1(ei) = L2(ei) para n = 1, . . . ,n.Portanto L1(ei) L2(ei).

Exemplo 5.3 Seja f :R2 R a funcao definida por

f (x,y) =

|x|yx2 + y2

se (x,y) 6= (0,0)

0 se (x,y) = (0,0)

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Figura 3: Funcao DiferenciavelFonte: Maple

Vamos verificar se f e contnua em (0,0). Dado > 0.

| f (x,y) (0,0)| = | f (x,y)| = |x|yx2+y2

= |x||y|x2+y2Utilizando a desigualdade de Young ( 5.1) temos,

|x| |y|x2 + y2

(

12 x2 + 1

2 y2) 1

x2 + y2

=12

x2 + y2x2 + y2

=12

x2 + y2x2 + y2

x2 + y2

=12

x2 + y2

tomando = 2 obtemos,

| f (x,y) (0,0)| 12

x2 + y2 0 > 0 tal que

x2 + y2 < | f (x,y) (0,0)|< . f e contnua em (0,0).Vamos provar que f e Gateaux-derivavel (derivada parcial) em (0,0). De fato, sejam (xo,yo) =

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(0,0) e v = (v1,v2) R2, por definicao, temos

lim0

f ((xo,yo)+v) f (xo,yo) = lim0

f ((0,0)+ (v1,v2)) f (0,0)

= lim0

f ((v1,v2))0

= lim0

|v1|v2(v1)2 +(h2)2

1

= lim0

| ||v1|v2| |

v21 + v22

= lim0

|v1|v2v21 + v

22

=|v1|v2v21 + v

22

Portanto fv (0,0) =

|v1|v2v21 + v

22

. Assim existe fv (0,0), para todo v R2 implica que f e

Gateaux-derivavel em (0,0). Suponhamos que f e diferenciavel em (0,0). Logo existemf (0,0), r :R2 R tais que

f ((0,0)+(h1,h2)) = f (0,0)+ f (0,0)(h1,h2)+ r(h1,h2)

f (h1,h2) = f (0,0)+ f (0,0)(h1,h2)+ r(h1,h2)satisfazendo

lim(h1,h2)(0,0)

|r(h1,h2)|h21 +h22

= 0 (4)

segue

f (h1,h2) = |h1|h2h21 +h22

e

f (h1,h2) = 0+ r(h)

r(h) = |h1|h2h21 +h22

agora substituindo na condicao (4), obtemos

lim(h1,h2)(0,0)

|h1|h2h21 +h22 1h21 +h22 = lim(h1,h2)(0,0)

|h1||h2|h21 +h22

21

mas se tomarmos o caminho h1 = 0, teremos

limh20

0h2

= 0

se pegarmos outro caminho h1 = h2, obteremos

limh10

|h1||h1|h21 +h21

= limh10

h212h21

= limh10

12

=12

logo nao existe o limite, ou seja,

lim(h1,h2)(0,0)

|r(h1,h2)|h21 +h22

Portanto f nao e diferenciavel no ponto (0,0).

Exemplo 5.4 Seja f :R2 R a funcao definida por

f (x,y) =

2y|x|x2x4 + y2

se (x,y) 6= (0,0)0 se (x,y) = (0,0)

Figura 4: Funcao DiferenciavelFonte: Maple

Verificar se f e continua em (0,0). Dado > 0

| f (x,y) (0,0)| = | f (x,y)| =2y|x|x2

x4+y2

= 2x2|y||x|x4+y2

22

Utilizando a desigualdade de Young ( 5.1) temos,

2x2y|x|x4 + y2

2(

12

x4 +12

y2) 1

x4 + y2 |x|

= 212

x4 + y2

x4 + y2 |x|

= |x|

x2 + y2 <

tomando = obtemos,

| f (x,y) (0,0)|

x2 + y2 < =

assim > 0 > 0 tal que

x2 + y2 < | f (x,y) (0,0)| < f e contnua em (0,0)Vamos provar que f e Gateaux-derivavel (derivada parcial) em (0,0). De fato, sejam (xo,yo) =(0,0) e v = (v1,v2) R2 vetor unitario, por definicao, temos

lim0

f ((xo,yo)+v) f (xo,yo) = lim0

f ((0,0)+ (v1,v2)) f (0,0)

= lim0

f ((v1,v2))0

= lim0

2v2|v1|(h1)2(v1)4 +(v2)2

1

= lim0

2 4v2|v1|v21 5v41 + 3v22

= lim0

2v2|v1|v21v41 +

v22

=2v2|v1|v21

v41

=2v2v1

Portanto fh (0,0) =

2x2y|x|x4 + y2

. Assim existe fh (0,0), para todo hR2 implica que f e Gateaux-

derivavel em (0,0). Vamos verificar se a funcao e diferenciavel Suponhamos que f e difer-enciavel em (0,0). Logo existem f (0,0), r :R2 R tais que

f ((0,0)+(h1,h2)) = f (0,0)+ f (0,0)(h1,h2)+ r(h1,h2)

f (h1,h2) = f (0,0)+ f (0,0)(h1,h2)+ r(h1,h2)

23

satisfazendolim

(h1,h2)(0,0)|r(h1,h2)|

h21 +h22= 0 (5)

segue

f (h1,h2) = |h1|h2x21 + y

22

e

f (h1,h2) = 0+ r(h)

r(h) = |h1|h2x21 + y

22

agora substituindo na condicao (5), obtemos

lim(h1,h2)(0,0)

|h1|h2h21 +h22 1h21 +h22 = lim(h1,h2)(0,0)

|h1||h2|h21 +h22

mas se tomarmos o caminho h1 = 0, teremos

limh20

0h2

= 0

se pegarmos outro caminho h1 = h2, obteremos

limh10

|h1||h1|h21 +h21

= limh10

h212h21

= limh10

12

=12

logo nao existe o limite, ou seja,

lim(h1,h2)(0,0)

|r(h1,h2)|h21 +h22

Portanto f nao e diferenciavel no ponto (0,0). Podemos observar que a existencia das derivadasparciais (Gateaux-derivavel) nao implica que a funcao seja diferenciavel, mesmo que seja con-tinua no ponto.

Proposicao 5.1 Se f e diferenciavel em xo , entao f e continua em xo.

Demonstracao: Pela definicao da diferenciabilidade temos que f (xo + h) = f (x0) + L(h) +r(h), satisfazendo limh0 r(h)h = 0. Portanto, para todo > 0 existe 1 > 0 tal que h < 1implica em que |r(h)|h < , tomemos = 1, entao 1 > 0 tal que h< 1 implica

|r(h)|h < 1.

24

Como L :Rn R e linear, segue da Proposicao (4.1) que existe 0 tal que |L(h)| h,para todo h Rn. Dado > 0 seja = min{1, 1+}. Entao se x e tal que x xo< ,temos

| f (x) f (xo)| (1+ )x xo<

25

5.4 VETOR GRADIENTE

Embora a existencia das derivadas parciais de uma funcao qualquer, nao implique na difer-enciabilidade da funcao, mas quando a diferencial existe, e dada pelas derivadas parciais, comoveremos a seguir.

Seja uma funcao e diferenciavel f : R, definida no aberto Rn.Afirmacao: Se L : Rn R e linear, entao existe um b = (b1,b2, . . . ,bn) Rn tal que L(h) =b;h para todo h = (h1,h2, . . . ,hn) Rn.De fato, seja {e1,e2, . . . ,en} a base canonica de Rn e bi = L(ei). Entao,

L(h) = L(

n

i=1

hiei

)=

n

i=1

hiL(ei) =n

i=1

hibi = b;h

Dizemos que b e a representacao matricial de L relativamente a` base canonica.Seja L = f (xo) a diferencial de uma funcao f . Entao, L(h) = b;h para algum b Rn e paratodo h Rn. Considerando h = ei temos da definicao de diferenciabilidade

f (xo +ei) = f (xo)+L(ei)+ r(ei)

satisfazendo lim0

r(ei) = 0

f (xo +ei) f (xo) = L(ei)+

r(ei)

fazendo tender a zero, obtemos

L(ei) = lim0

f (xo +ei) f (xo) =

fxi

(xo).

O vetor e denotado por

f (xo) =( f

x1(xo), . . . ,

fxn

(xo)

)e denominado vetor gradiente de f em xo e e tal que se f e funcao diferenciavel em xo , entao

f (xo)(h) = f (xo);h

Observe se caso o vetor gradiente exista nada podemos dizer sobre a diferenciabilidade dafuncao, mas caso a f seja diferenciavel podemos dizer que o vetor gradiente e a representacaomatricial de f (xo) relativamente a base canonica de Rn.

26

5.5 REGRAS B ASICAS DE DERIVAC AO

Proposicao 5.2 Sejam f ,g : R duas funcoes diferenciaveis em xo. Entao

a) f +g e diferenciavel em xo e ( f +g)(xo) = f (xo)+g(xo);

b) f g e diferenciavel em xo e ( f g)(xo) = f (xo)g(xo)+ f (xo)g(xo)

c) se g(xo) 6= 0 entao f /g e diferenciavel em xo e ( f /g)(xo) = f (xo)g(xo) f (xo)g(xo)

g(xo)2.

Demonstracao: a) Como f ,g sao diferenciaveis,

f (xo +h) = f (xo)+L(h)+ r1(h)

g(xo +h) = g(xo)+G(h)+ r2(h)

somando f e g

f (xo +h)+g(xo +h) = f (xo)+g(xo)+L(h)+G(h)+ r1(h)+ r2(h)

colocando r(h) = r1(h)+ r2(h)

f (xo +h)+g(xo +h) = f (xo)+g(xo)+L(h)+G(h)+ r(h)

com L(h)+G(h) linear e r(h)h tendendo a zero.

limh0

f (xo +h)+g(xo +h) ( f (xo)+g(xo))h = L(h)+G(h)

denotando L(h) = f (x) e G(h) = g(x) vem o resultado acima.

Demostracao: b) Multiplicando as funcoes f ,g, obtemos

f (xo +h)g(xo +h) = ( f (xo)+L(h)+ r1(h))(g(xo)+G(h)+ r2(h))

f (xo +h)g(xo +h) = f (xo)g(xo)+ f (xo)G(h)+g(xo)L(h)+R(h)onde R(h) = f (xo)r2(h)+L(h)G(h)+L(h)r1(h)+g(xo)r1(h)+r1(h)G(h)+r1(h)r2(h) fazendoh 0

limh0

f (xo +h)g(xo +h) f (xo)g(xo)h = f (xo)G(h)+g(xo)L(h)+ limh0

R(h)h

como G(h) = g(h) e L(h) = f (h) e f (xo)g(xo)+ f (xo)g(xo) e linear com R(h) tendendo azero, temos que

( f g)(xo) = f (xo)g(xo)+ f (xo)g(xo)

27

5.6 CASO GERAL

Antes de definirmos a diferenciabilidade de uma funcao f :Rn Rm, que nos exige fatosbasicos da Algebra Linear, sejam eles.a) Se L : Rn Rm e uma transformacao linear, fixadas as bases canonicas de Rn e Rm, existeuma matriz Amn = [ai j] tal que

L(x) = Ax, x Rn

Sendo A chamada de a matriz associada a` transformacao linear L ou de representacao matricialde L relativamente as base canonicas de Rn e Rm, linha e coluna respectivamente.Vamos representar a matriz associada a um transformacao L por [L].b) Seja duas transformacoes lineares L1 : Rn Rm e L2 : Rm Rk, definimos a composta daduas transformacoes L2 L1 :Rn Rk e dada por

[L2 L1] = [L2] [L1]

Agora vamos definir o comportamento da funcao f :Rn Rm.

Definicao 5.4 Uma funcao f : Rm e dita Frechet-derivavel no ponto xo se existemfuncoes L :Rn Rm e rxo :Rn Rm tais que

f (xo +h) = f (xo +L(h)+ rxo(h)) (6)como L e linear e rxo(h) tende a zero mais rapido, isto e, satisfazendo a condicao

limh0

rxo(h)h = 0 (7)

Por simplicidade de notacao escrevemos r(h), deixando de forma implcita a dependencia de rem relacao ao ponto xo.Caso a funcao f seja diferenciavel no ponto xo, entao a transformacao linear L e denominada adiferencial de f no ponto xo ou Frechet-derivavel de f em xo, vamos de notar de f (xo), ou seja,f (x0) = L.

Lema 5.3 Uma funcao f : Rm, f = ( f1, f2, . . . , fm) e diferenciavel no ponto xo se e so-mente se cada uma de suas componentes fi : R e diferenciavel no ponto xo.

Demonstracao: Se cada fi e diferenciavel em xo, entao existem funcoes Li e ri satisfazendo (1)tais que Li e linear e satisfaca

limh0

|ri(h)|h = 0

28

Sejam L = (L1,L2, . . . ,Lm) e r = (r1,r2, . . . ,rm). Entao, e claro que f (xo +h) = f (xo)+L(h)+r(h) segue do Teorema (3.2) que

r(h)h C

r(h)1h = C

n

i=1

|ri(h)|h 0 se h 0.

Reciprocamente, se f e diferenciavel em xo, entao existem funcoes L = (L1,L2, . . . ,Lm) lineare r = (r1,r2, . . . ,rm) satisfazendo (6) e ( 7). Como cada Li e linear e

|ri(h)|h

r(h)h

temos o resultado.

29

5.7 A MATRIZ JACOBIANA

Se f = ( f1, f2, . . . , fm) : Rn Rm e uma funcao diferenciavel em xo , entao suadiferencial (ou sua derivada de Frechet) f (xo) e uma transformacao linear de Rn em Rm. Amatriz associada a f (xo) relativamente a`s bases canonicas de Rn e Rm e dada por

[ f (xo)] =

f1x1

(xo) f1x2

(xo) f1xn (xo).

.

.

.

.

.

...

.

.

.

fmx1

(xo) fmx2

(xo) fmxn (xo)

Observe que as linhas de [ f (xo)] sao formadas pelos gradientes de cada fi em xo.

No caso em que m = n a matriz [ f (xo)] e denominada de Matriz Jacobiana de f em xo. O seudeterminante e denominado de Jacobiano de f em xo, que denotamos por

J f (xo) = det[ f (xo)]

Observacoes: Se J f (xo) 6= 0, entao a matriz [ f (xo)] e inversvel. Como f (xo) aproximaf (x) f (xo) na vizinhanca de xo, seria razoavel esperar que f tambem fosse inversvel nasproximidades de xo. De fato e quase isso, como veremos mais a` frente no estudo do Teoremada Funcao Inversa.

30

5.8 REGRA DA CADEIA

Teorema 5.1 (Regra da Cadeia) Sejam subconjunto aberto deRn e A subconjunto aberto deR

m. Suponhamos f : Rm e g : ARk duas funcoes tais que f ()A. Se f e diferenciavel

no ponto xo e g e diferenciavel em yo = f (xo), entao g f e diferenciavel no ponto xo e

(g f )(xo) = g(yo) f (xo)

Em particular[(g f )(xo)] = [g(yo)][ f (xo)].

Demonstracao: Sejam L = f (xo) e G = g(yo). Pela definicao da diferenciabilidade

f (xo +h) = f (xo)+L(h)+ r f (h), h Rn

g(yo + k) = g(yo)+G(k)+ rg(k), k Rm

satisfazendo as condicoes

limh0

|r f (h)|h = 0 e limk0

|rg(k)|k = 0

Portanto, podemos escrever

g( f (xo +h)) = g( f (xo))+G(L(h))+ r(h),

onde r :Rn Rk e definida por r = G r f + rg (L+ r f ).Alem disso,

r(h)h

G(r f (h))h +

rg(L(h)+ r f (h))h .

Pelo Lema (5.3), podemos escreverr(h)h

r f (h)h +

rg(k)k

kh ,

onde k = L(h)+ r f (h).Como k h+r f (h), temos

r(h)h

r f (h)h +

rg(k)k

( +

r f (h)h

)e conclumos o resultado, visto que k 0 quando h 0 .

31

5.9 O TEOREMA DO VALOR M EDIO

O Teorema do Valo Medio se estende para o caso de funcoes deRn emR e sua demonstracaoe consequencia direta da Regra da Cadeia, como se ve na prova do resultado a seguir.

Teorema 5.2 Seja f : Rn R uma funcao diferenciavel de x1 e x2 dois pontos quaisquer deR

n. Entao existe x sobre o seguimento de reta que liga x1 a x2 tal que

f (x2) f (x1) = f (x);x2 x1

Demonstracao: Consideremos :RRn a parametrizacao (t) = x1 + t(x2 x1) da reta quepassa por x1 e x2. E facil ver que e funcao diferenciavel e (to)(t) = x2x1 para todo to R.Seja g : R R a funcao real definida pela composicao g(t) = g((t)). Pelo Teorema 5.1, ge uma funcao derivavel e g(t) =

f ((t));x2 x1. Pelo Teorema do Valor Medio parafuncoes reais de variavel real, g(1)g(0) = g(to) para algum to ]0,1[. Assim denotando porx = (to), segue o resultado.

Observacao 5.1 O Teorema do Valor Medio nao e valida para funcoes f :Rn Rm, se m > 1.Em particular, nao vale para curvas em Rm.

32

5.10 DERIVADAS PARCIAIS (CASO GERAL)

Seja f :Rn Rm uma funcao diferenciavel em xo. Entao a diferencial f (xo) fica determi-nada pela matriz [ f (xo)].

Se xRn com x =(y,z) o domnio definido porRn =RkRl , assim x =(y1,y2, . . . ,yk,z1,z2, . . . ,zl),entao podemos escrever

[ f (xo)] =

f1y1 (xo)

f1yk (xo)

f1 z1 (xo)

f1 zl (xo)

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

fmy1 (xo)

fmyk (xo)

fm z1 (xo)

fm zl (xo)

Se considerarmos os blocos B e C definidos respectivamente por

f1y1 (xo)

f1yk (xo)

.

.

.

...

.

.

.

fmy1 (xo)

fmyk (xo)

,

f1 z1 (xo)

f1 zl (xo)

.

.

.

...

.

.

.

fm z1 (xo)

fm zl (xo)

entao para todo h = (h1,h2) RkRl , temos

f (xo)h = Bh1 +Ch2.

As transformacoes lineares associadas a`s submatrizes B e C sao denominadas parciais de f emrelacao respectivamente a y e z em xo e denotamos

B =[ f

y (xo)], C =

[ f z (xo)

]Com esta notacao podemos escrever

f (xo)h = fy (xo)h1 + f z (xo)h2

Com a notacao das derivadas parciais, a Regra da Cadeia toma a seguinte forma

Teorema 5.3 Seja f :RkRl Rm uma funcao diferenciaveis em xo,yo. Sejam :Rn1 Rke :Rn2 Rl funcoes diferenciaveis tais que (uo) = xo e (vo) = yo. Entao g :Rn1+n2 Rmdefinida por g(u,v) = f ((u),(v)) e diferenciavel em (uo,vo) e

[g(uo,vo)] =[ f

x (xo,yo)][

u (uo)]+

[ fy (xo,yo)

][v (vo)

].

33

5.11 CONDIC OES SUFICIENTES PARA A DIFERENCIABILIDADE

Para verificarmos se uma funcao qualquer e diferenciavel, devemos recorrer para as definicoesdisponveis ate o momento. Onde e motivado a obter o Teorema que nos fornece condicoes su-ficiente para a diferenciabilidade de uma funcao qualquer.

Teorema 5.4 Se uma f : R possui de derivadas parciais em todos os pontos do abertoRn e cada uma delas e contnua no ponto xo, entao f e diferenciavel no ponto xo.

Demonstracao: `A guisa de simplicidade, faremos a demonstracao no caso n = 2; o caso geralsegue por argumento analogo.Seja h = (h1,h2) = h1e1 +h2e2, onde {e1,e2} e a base canonica de R2. Entao

f (xo +h) f (xo) = f (xo +h) f (xo +h1e1)+ f (xo +h1e1) f (xo) (8)

Como a funcao g(t) = f (xo +h1e1 + te2) e derivavel com derivada contnua em torno de t = 0,temos do Teorema do Valor Medio para funcoes reais que g(h2)g(0) = g( )h2. Portanto,

f (xo +h1e1 +h2e2) f (xo +h1e1) = fx2 (xo +h1e1 +2e2)h2,

onde 2 ]0,h2[. Analogamente, a funcao t f (xo + te1) e derivavel com derivada contnuaem torno de t = 0. Logo,

f (xo +h1e1) f (xo) = fx1 (xo +1e1)h1, 1 ]0,h1[.

Portanto,f (xo +h) f (xo) = fx1 (xo + e1)h1 +

fx2

(xo +h1e1 + e2)h2.Denotando por

r(h) =( f

x1(xo + e1) fx1 (xo)

)h1 +

( fx2

(xo +h1e1 + e2) fx2 (xo +h1e1))

h2, (9)

temos

f (xo +h) = f (xo)+ f (xo);h+ r(h).Para concluir que f e diferenciavel basta mostrar que r(h) e de ordem o(h).Por hipotese, dado > 0, existe > 0 tal que se x B (xo), entao fxi (x) fxi (xo)

< 4 .

34

Em particular, se x,y B (xo), entao fxi (y) fxi (x)< 2 .

Portanto, se h< , segue de (9)

|r(h)|< 2|h1| +

2|h2| h1

e consequentemente,|r(h)|h1 <

e o resultado segue da equivalencia das norma em Rn.

35

5.12 FUNC OES DE CLASSE C1

Se f : Rn Rm e uma funcao diferenciavel em cada ponto x do seu domnio, entaopodemos considerar a funcao linear f (x), diferencial de f em x. Temos assim a aplicacao

f : L(Rn,Rm),x 7 f (x),

onde L(Rn,Rm) denota o espaco de todas as aplicacoes lineares deRn emRm. f e denominadaa funcao diferencial de f (ou funcao derivada de Frechet de f ).Observe que, fixada uma base nos espacos Rn em Rm, como por exemplo a base canonica,entao cada elemento T de L(Rn,Rm) pode ser representado por uma matriz [T ] de Mmn.

Exemplo 5.5 Se f (x,y) = (xy,x2 + y2) entao f :R2 L(R2,R2) e dada por

[ f (x,y)] =[

y x

2x 2y

]

Exemplo 5.6 Se f : Rn R e definida por f (x) = x22, entao f (x) = 2x para todo x Rn.Logo f 2I, onde I denota a funcao identidade de Rn em Rn.

Se m = 1, entao o espaco L(Rn,Rm) pode ser identificado com Rn (ou mais precisamente comM1n), isto e, L(Rn,Rm) = Rn. Neste caso, se f : R e a funcao diferenciavel, podemosfazer a identificacao

f : Rnx 7 f (x)

Definicao 5.5 Dizemos que uma funcao diferenciavel f : Rm e de classe C1 (ou continu-amente diferenciavel) em xo se f e funcao contnua em xo. Dizemos que f e de classe C1em se f e funcao contnua em todos os pontos de .

Como ja vimos anteriormente, uma funcao f pode possuir derivadas parciais e nao se difer-enciavel. De fato, pode nem mesmo ser contnua. Entretanto, se f e uma funcao convexa epossui derivadas parciais, entao ela e necessariamente de classe C1.

Teorema 5.5 Seja um aberto convexo de Rn e f : R uma funcao convexa que possuiderivadas parciais em todos os pontos de . Entao f e de classe C1.

36

Demonstracao: Como f e convexa, entao

f (y+(1 )x) f (y)+(1 ) f (x) (10)

para todo x,y e 0 1. Seja K um subconjunto compacto de . Entao existe > 0 talque x + sei para todo x K, |s| < , e i = 1, . . . ,n, onde {e1,e2, . . . ,en} e a base canonicade Rn. Assim, para y = x+ sei obtemos de (10)

f (x+ sei) f (x) f (x+ sei) f (x).

Passando ao limite nesta desigualdade quando 0+ temos que

s f (x) ei f (x+ sei) f (x).

Como esta desigualdade tambem e valida substituindo s por s, segue que se s ]0, [, entaof (x) f (x sei)

s f (x) ei f (x+ sei) f (x)

s(11)

para todo x K e i = 1, . . . ,n.Se f nao e C1, entao existe > 0, xo e uma sequencia {xk}k 1 em tal que xk xo e

| f (xk) f (xo)|> , k. (12)

Seja K = {xo,x1,x2, . . . ,}. Se |s|< 2 e k e suficientemente grande, entao xk sei e como fe continua em , segue de (11) que a sequencia { f (xk) ei} e limitada, para cada i = 1, . . . ,n.Portanto, passando a uma subsequencia se necessario, podemos supor que existe u Rn talque f (xk) u. Portanto, passando ao limite quando k em (11), temos, para s ]0, 2 [ ei = 1, . . . ,n

f (xo) f (xo sei)s

u ei f (xo + sei) f (xo)s

. (13)

Fazendo s 0+ em (13) obtemos f (xo) = u, o que esta em contradicao com (12). Portanto,x f (x) e contnua em .

37

5.13 PROJEC AO ORTOGONAL

A projecao ortogonal sobre um convexo fechado C de Rn definido por

PC :Rn Rnx 7 PC

onde PC(x) e denominado projecao ortogonal de x sobre C que e importante pois na analiseconvexa e surge com frequencia nas aplicacoes.

Teorema 5.6 Seja C um conjunto convexo e fechado de Rn e considere a funcao f : Rn Rdefinida por

f (x) =

x 12

PC(x);PC(x)

, (14)

Entao f e funcao de classe C1 em Rn e f = PC.

Demonstracao: Sejam xo e h em Rn. Entao podemos escrever

f (xo +h) = f (xo)+ PC(xo);h+ r(h),

onder(h) = 1

2PC(xo)22

12PC(xo +h)22 + xo +h;PC(xo +h)PC(xo).

Como g(x) = 12x22 e diferenciavel com g(x) = x para todo xRn, temos do Teorema do ValorMedio,

12PC(xo)22

12PC(xo +h)22 = (1)PC(xo)+PC(xo +h);PC(xo)PC(xo +h),

para algum ]0,1[. Logo,

r(h) = xoPC(xo);PC(xo +h)PC(xo)PC(xo +h)PC(xo)22 + h;PC(xo +h)PC(xo)(15)

Como as duas primeiras parcelas do lado direito de (15) sao negativas, temos

r(h) h2PC(xo +h)PC(xo)2 h22

Por outro lado, considerando v = 1 , temos

r(h) = vPC(xo)+(1 v)PC(xo +h);PC(xo)PC(xo +h)+ xo +h;PC(xo +h)PC(xo)= xo +hPC(xo +h);PC(xo +h)PC(xo)+ vPC(xo)PC(xo +h)22 0

Portanto, 0 r(h) h22 e temos a conclusao.

38

6 TEOREMA DA FUNC AO INVERSA

Vamos aqui tratar um dos temas principais da Analise o Teorema da Funcao Inversa, ondedada uma funcao linear g :Rn Rn definida por g(x) = xA, onde A e a matriz quadrada nn.Para obtermos a inversa da g basta que detA 6= 0 onde g1 :Rn Rn e dada por g1(x) = xA1.Mas caso a g (ou g1) seja Frechet-derivaveis no ponto xo em Rn, escrevemos g(xo) = A (ou(g)1 = A1). Agora vamos pegar um subconjunto aberto Rn e uma funcao f : Rnque seja Frechet-derivavel no ponto xo , pela definicao de diferenciabilidade

f (xo +h) = f (xo)+A(h)+ r(h),

onde A,r(h) :Rn Rn e a condicao que A matrix linear e limh0

r(h)h = 0, onde

f (xo) = limh0

f (xo +h) f (xo)h ,

sendo a funcao f :Rn Rn que melhor aproxima de xo .No entanto e sutil pesar que se a funcao f : Rn e diferenciavel no ponto xo e a MatrizJacobiana dada por A = [ f (xo)] tal que

J f (xo) = det[A] = det[ f (xo)] 6= 0,

nos leva que a f seja inversvel nas proximidades de xo.Desta maneira temos que nao e verdadeira, mesmo para n = 1.Seja a funcao f :RR definida por

f (x) ={

x2 + x

2 sen 1x

se x 6= 0,0 se x = 0.

Derivando a funcao f em todos os pontos de R obtemos

f (x) ={

12 +2x sen

1x cos 1

xse x 6= 0,

12 se x = 0.

39

Se f fosse inversvel numa vizinhanca de xo = 0, entao seria necessariamente injetora nessavizinhanca. Como f (0) = 1/2, seria necessariamente crescente na vizinhanca do ponto zero.No entanto isto seria impossvel porque f (x) muda de sinal infinita vezes proximo ao pontozero. Observe que se f fosse contnua em xo = 0, entao f (x) > 0 para x suficientemente

Figura 5: InversaFonte: Maple

proximo de xo = 0 e teramos o resultado desejado.

6.1 TEOREMA DA FUNC AO INVERSA

O Teorema da Funcao Inversa se aplica para funcao f : V V com V Rn. Vamos utilizarindistintamente a norma com norma euclidiana 2 deRn e a norma induzida L(Rn,Rn).

Teorema 6.1 Seja Rn aberto e f : Rn funcao de classe C1 tal que J f (xo) 6= 0. Entaoexiste o > 0 tal que

a) f e injetora em U = Bo(xo);

b) V = f (U) e aberto;

c) f1 : V U e de classe C1 e [( f1)( f (xo))] = [ f (xo)]1.

Demonstracao: Faremos a demonstracao em quatro etapas.Etapa 1: Vamos provar que existe um 1 tal que f e injetora em B1(xo).

40

Fazendo f (xo) = A e J f (xo) 6= 0, por hipotese A1 esta bem definida.Como f e de classe C1, dado > 0, existe > 0 (dependendo de e xo) tal que

x xo< f (x)A< . (16)

Como B (xo) e aberto, entao podemos tomar x B (xo) e h 6= 0 tal que x+h B (xo).Afirmo: f (x+h) 6= f (x) se > 0.Com efeito Seja : [0,1] Rn definida por (t) = f (x + th) tAh. Entao e de classe C1no intervalo aberto ]0,1[ em virtude do Teorema da Regra da Cadeia obtemos, (t) = f (x +th)hAh. E pelo Teorema Fundamental do Calculo temos

(1)(0) = 1

0 (t)dt,

isto e,f (x+h)Ah f (x) =

10

( f (x+ th)A)hdt.Em particular

f (x+h) f (x)Ah 1

0 f (x+ th)Ahdt

como x+ th B (xo), t ]0,1[ segue de (16) que

f (x+h) f (x)Ah< 1

0hdt = h (17)

ou seja, f (x+h) f (x)Ah< h (18)

temos h= A1Ah A1Ah segue da que h A1Ah e obtemos de (18)

f (x+h) f (x)Ah < A1Ah f (x+h) f (x)Ah > A1Ah

(19)

usando (19), obtemos

f (x+h) f (x) = f (x+h) f (x)Ah+Ah Ah f (x+h) f (x)Ah> Ah A1Ah> Ah A1Ah> (1 A1)Ah

f (x+h) f (x)> (1 A1)Ah (20)

41

Tomando-se = 12A1 e 1 < obtemos de (20):

f (x+h) f (x)> 12Ah. (21)

Como a matriz A possui inversa, Ah 6= 0 h 6= 0 onde temos que f e injetiva.Etapa 2: Vamos provar que existe 2 tal que f

(B2(xo)

)e aberto.

Por hipotese f e de classe C1, x 7 J f (x) e uma funcao contnua. Logo, existe > 0 tal queJ f (x) 6= 0 x B (xo).Considere-se 2 = min{1, }. Entao J f (x) 6= 0 para todo x B2(xo) e f injetora em B (xo).Provemos que W = f (B2(xo)) e um conjunto aberto.Seja y1 W . Entao pela definicao de imagem existe um unico x1 B2(xo) tal que f (x1) = y1.Tome r > 0 tal que Br(x1) B2(xo) e considere a fronteira

K = Br(x1) e u(x) = f (x) f (x1).

u : K Ru 7 u(x) = f (x) f (x1)

onde u e contnua pois, f e contnua e a norma de uma funcao contnua e contnua.Como K e compacto e u e funcao contnua, existe x K tal que

m := inf{u(x);x K}= u(x).

Observe que x K x 6= x1 f (x) 6= f (x1) pela injetividade da f e pela definicao de mtemos, m = u(x) = f (x) f (x1)> 0 ,ou seja m > 0.Afirmo: B m

2( f (x1)) Br(x1)W.

Com efeito, tome y B m2( f (x1)). Isto e, y f (x1)< m2 . Definindo

w : Br(x1) Rx 7 w(x) = f (x) y.

Como Br(x1) e compacto, existe x Br(x1) tal que

w(x) = min{w(x);x Br(x1)}.

Observe quew(x) w(x1),

f (x) y f (x1) y < m2w(x) = f (x) y f (x1 y)< m2 .

42

Observe tambem que se x K, entao

w(x) = f (x) y f (x) f (x1) f (x1 y) m m2 =m

2.

Portanto x / K, o que implica x Br(x1).Afirmo: f (x) = y, isto e y f (Br(x1)).Com efeito, se x e o ponto de mnimo de w(x) em Br(x1), entao x tambem e ponto de mnimo deg(x) = 12 f (x)y2. Como x e ponto interior, g(x)h = 0, h Rn, o que implica que h Rn.

g(x) = 12 f (x) y2

g(x) = 12

f (x) y; f (x) y

aplicando a diferenciabilidade em g0 = g(x)h = 12

(f (x) y; f (x)h

+

f (xh); f (x) y)

= 12

(f (x) y; f (x)h

+

f (x) y; f (x)h)

= 12

(2

f (x) y; f (x)h)

=

f (x) y; f (x)h

=[ f (x)]T ( f (x) y);h.

para todo h Rn. Entao [ f (x)]T ( f (x) y) = 0.Agora, como

det[ f (x)]T = det[ f (x)]= J f (xo) 6= 0

segue-se quef (x) y = 0,

ou ainda, f (x) = y, e a afirmativa esta provada.

Etapa 3: Se U = B2(xo) e V = f (U), entao f1 : V U e diferenciavel.Seja y V (y = f (x), x B2(xo)) e tome r > 0 suficientemente pequeno tal que y+k V paratodo k tal que k< r,

h = f1(y+ k) xh+ x = f1(y+ k)

f (h+ x) = f ( f1(y+ k))f (h+ x) = y+ k

k = f (h+ x) yk = f (h+ x) f (x). (22)

43

Como f e diferenciavel em x U , entao:

f (x+h) = f (x)+ [ f (x)](h)+ r f (h) (23)satisfazendo a condicao

limh0

r f (h)h = 0. (24)

De (22) e (23) obtemos quek =

[ f (x)](h)+ r f (h). (25)Ja que xU = B2(xo) entao, J f (x) 6= 0 e f (x) e inversvel, consequentemente existe

[ f (x)]1.Assim, seja B = [ f (x)]1. Multiplicando a matriz B em (25), obtemos

Bk = B f (x)h+Br f (h)Bk = h+Br f (h)

h = BkBr f (h)

Tambem h = f1(y+ k) f1(y).Portanto,

f1(y+ k) f1(y) = BkBr f (h)f1(y+ k) = f1(y)+BkBr f (h)

Para provar que f1 e diferenciavel, basta provar que

limk0

Br f (h)k = 0 (26)

De fato, como na Etapa 1 temos:

k= f (x+h) f (x) 12Ah (27)

Por outro lado como A e inversvel temos h = A1Ah, aplicando a norma h = A1Ah A1Ah, da

Ah hA1 (28)

De (27) e (28) obtemos que

k 12hA1

1k

2A1h

44

e

0 Br f (h)k = Br f (h)1k

Br f (h)2A1

h=

2A1Br f (h)h

0 Br f (h)k 2A1Br f (h)

h

Quando k 0 implica h 0 o que implica por (24) 2A1Br f (h)

h tende a zero, assim

0 Br f (h)k 0,

como queriamos

limh0

r f (h)h = 0.

Logo, f1 e diferenciavel em y = f (x) V , por tanto existe[ f1](y) e [ f1](y) = [ f (x)]1 = [ f ( f1(y))]1para todo y V .

Etapa 4: f1 : V U e de classe C1.De fato, A = f (x1) e B = f (x2). Como f e de classe C1, dado > 0, existe > 0 tal que

x2 x1< f (x2) f (x1)<

Como f e de classe C1, dado > 0, existe > 0 tal que

x2 x1< BA<

Visto que B1A1 = B1(AB)A1, obtemos

B1A1 B1ABA1

Por outro lado, h Rn, temosh = A1Ah,

aplicando norma

h= A1Ah A1Ah Ah hA1 , h Rn. (29)

45

Tambem temos,Bh = Ah+BhAh

= Ah+(BA)h Ah(BA)h Ah(BA)h

subtituindo (29) hA1 (BA)h.

Portanto,Bh

(1

A1 (BA))h.

Observamos que,

x2 x1< BA< BA> 1A1 BA>

1A1

(

1A1 BA

)h

(1

A1 )h

Onde obtemos que,

x2 x1< Bh (

1A1

)h

Escolhendo = 12A1 0 e o 2 correspondente, obtemos

Bh (

1A1

12

A1)h

(1

2A1)h

ondeBh 1

2A1h.

Tomando k = Bh temos B1k = h, aplicando norma, obtemos

B1k = hB1k = 2A1Bh

B1k 2A1kB1 2A1

46

Portanto, se x1 x2< , conclumos

B1A1 B1BAA1 2A1BAA1= 2A12BA< 2A12.

Deste modo, obtemos

x1 x2< B1A1< 2A12 [ f (x2)]1 [ f (x1)]1< 2A12

Isso mostra que f1 e de classe C1.

Definicao 6.1 Seja f : U V uma funcao bijetora. Dizemos que f e um homeomorfismo entreU e V se f e f1 sao contnuas. Dizemos que f e um difeomorfismo entre U e V se f e f1sao diferenciaveis.

Podemos reescrever o Teorema da Funcao Inversa utilizando a terminologia da definicaoacima, que fica:

Teorema 6.2 Se f e funcao de classe C1 e J f (xo) 6= 0, entao existem vizinhancas abertas U eV respectivamente de xo e f (xo) tais que f e difeomorfismo de classe C1 entre U e V .

6.2 M ETODO DAS CARACTERISTICAS UMA APLICAC AO DO TEOREMA DA FUNC AOINVERSA

Nesta parte vamos mostrar uma aplicacao direta do Teorema da Funcao Inversa, o Metododa Caractersticas para a solucao de equacoes a derivadas parciais de primeira ordem, vamosenunciar o problema.

Problema: Seja uma curva de R2 parametrizada por : I , onde I e umintervalo de R e um aberto em R2. Sejam a,b,c : R funcoes dadas.Determinar uma funcao (x,y) solucao da equacao

a(x,y)x +b(x,y)

y = c(x,y), (30)

cujos os valores sobre a curva sao prescritos, isto e, (( )) = o( ) onde o :I R e uma funcao dada.

47

Podemos encontrar a solucao do problema acima mudando as coordenadas de maneira apro-priada, que pode se includa pelo seguinte argumento: fixado um ponto o = (so) = (xo,yo)de , considere a curva ( ) = (x( ),y( )) que passa por o, isto e, (0) = o. Definidaz( ) = (x( ),y( )), onde e solucao de (30). Se e diferenciavel, temos pela Regra daCadeia,

dzd =

( );(( ))= dxd x + dxd y ,

pois, note que, ponto fixo e

(0) = o = (so) = (xo,yo)( ) = (x( ),y( ))z( ) = (x( ),y( ))= (( ))= ( )( )

agora derivando ( ), obtemos

( ) = (x( ),y( )) =( x

,y

),

diferenciando z( ) = (x( ),y( ))= (( ))dzd =

x

dxd +

x

dxd

dzd =

(( ))x

dxd +

(( ))x

dxd

dzd =

dxd

(( ))x +

dxd

(( ))y

dzd =

(dxd ,

dxd)

;

(

(( ))x ,

(( ))y

)dzd =

( );(( ))

ondedzd =

( );(( ))= x dxd + x dxd

Portanto, se satisfaz o sistema de equacoes diferenciais ordinariadxd = a(x,y), x(0) = xo,dyd = b(x,y), y(0) = yo,

(31)

podemos obter a solucao resolvendo

dzd = c(x,y), z(0) = o(so).

48

Se repetirmos o argumento anterior para todos os pontos (s), s I, obtemos uma famlia decurvas - as curvas caractersticas - sobre as quais o solucao pode ser determinada.Antes de analisarmos as condicoes para as quais o metodo funciona (e onde entra o Teorema daFuncao Inversa), vejamos um exemplo cuja solucao explcita pode ser calculada.

Exemplo 6.1 Considere (s) = (s,s2). Determinar (x,y) solucao de

xx + y

y = xy (32)

tal que ((s)) = sen(x2), para todo s R.

Solucao: Consideremos o sistema (equacao caractersticas)

dxd = x, x(0,s) = s,dyd = y, y(0,s) = s

2,

dzd = xy, z(0,s) = sen(s

2)

(33)

Resolvendo as duas primeiras equacoes de (33), temos,dxd = x

dxd x = 0

multiplicando por e , obtemosdxd e

xe = 0

entaod

d[x( ,s)e

]= 0,

integrando de 0 a , obtemos 0

ddt[x(t,s)et

]dt = 0

x( ,s)e = sx( ,s) = se

de modo analogo, obtemos y( ,s) = s2e . Para simplificar a notacao, vamos utilizar x no lugarde x( ,s) (x depende de e s), de modo analogo para y, segue que{

x = se ,y = s2e .

(34)

49

Substituindo (34) na terceira equacao de (33) e resolvendo, isto e,dzd = xy

temosdzd = s

3e2 , (35)

integrando (35) de 0 a , obtemos

z( ,s) z(0,s) =

0

[s3e2t

]dt

=

0

[s3e2t

]dt

=s3e2

2 s

3e0

2

=s3e2

2 s

3

2

=s3

2

(e2 1

),

como z(0,s) = sen(s2)

e substituindo,

z( ,s) sen(s2) = s32

(e2 1

)obtemos,

z( ,s) = s3

2

(e2 1

)+ sen

(s2). (36)

Mudando as variaveis adequadamente, isto e,

x = se xs

= e , (37)

da mesma formay = s2e y

s2= e , (38)

de (37) e (38), obtemosx

s=

ys2

yx

= s, (39)

e observe ques =

x

e , (40)

de (39) e (40), surge

yx

=x

e e = x

2

y e2 =

(x2

y

)2(41)

50

Explicitando e s em funcao de x e y, ou seja, substituindo (39) e (41) em (36) encontramos asolucao

z = (x,y) = 12

xy 12

(yx

)3+ sen

(yx

)2.

Observacao: O exemplo evidencia o ponto-chave do metodo. De fato, a solucao das duasprimeiras equacoes de (33) determine uma mudanca de variaveis, isto e uma funcao

f :R2 R2( ,s) 7 f ( ,s) = (x,y)

Se f e inversvel, entao obtemos a solucao por

f ( ,s) = (x,y) ( ,s) = f1(x,y),

entao

(x,y) = z( ,s) = z( f1(x,y))= (z f1)(x,y).Aplicando o Teorema da Funcao Inversa temos que, se o jacobiano e diferente de zero para todoponto pertencente a esta curva de (x,y) R2, teremos que f admite inversa na vizinhancade . Levando em consideracao os dados do problema, a saber, a curva inicial (s) = (x,y) =(1(s),2(s)

)e o campo de vetores (x,y) 7 (a(x,y),b(x,y)), a condicao

J f(x,y)

=

dxddyd

dxds

dyds

= x y 1(s) 2(s)

= a(x,y) b(x,y) 1(s) 2(s)

= a((s)

)b((s)

) 1(s) 2(s)

6= 0J f((s)

) 6= 0indica que os vetores (a,b) e

( 1(s), 2(s)

)sao linearmente independentes. Temos, portanto,

uma condicao geometrica para que o metodo forneca solucao, a saber, que o campo (a,b) sejatransversal a` curva .

51

7 TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA

Neste captulo vamos estudar outro resultado central da Analise, o Teorema da FuncaoImplcita. A motivacao de estudar este Teorema e considerando em particular equacao da cir-cunferencia unitaria x2 + y2 1 = 0. Podemos colocar a variavel y de forma explicita comofuncao da variavel x:

y =

1 x2 ou y =

1 x2

Mais precisamente, se : [1,1] R e a funcao definida por (x) =

1 x2 (ou (x) =

1 x2), entao esta implcita na equacao da circunferencia.De modo analogo, a equacao 5x2 +5y26xy8 = 0 descreve uma elipse central em (0,0).Embora explicar y em funcao de x nao seja uma tarefa tao imediata, vemos pela figura que existeuma funcao :]a,b[R que y = (x) esta implcita na equacao da elipse.O mesmo pode feito para mais variaveis. Por exemplo, no sistema{

x2 + y2 + z21 = 0,x2 + z25 = 0,

a variavel z pode ser facilmente expressa como funcao das outras por

z =

1 x2 y2 ou z =

5+ x2

Mas o que dizer do sistema {x3 + x2y2 + xyz24 = 0,x2 xyz+ y2z25 = 0,

Os exemplos acima nos remetem a` seguinte questao:

52

Problema: Dada f :Rk+m Rm e (xo,yo) Rk+m tal que f (xo,yo) = 0, deseja-sesaber se existe Rk aberto e uma funcao : Rm satisfazendo

a) xo e (xo) = yo;

b) f (x,(x))= 0, para todo x Se a resposta for afirmativa, dizemos que e funcao implcita para a equacao f (x,y) = 0 navizinhanca de xo.Seja f :Rn Rm com (n = k+m) a funcao linear dada por f (z) = Az onde A e a matriz mn.Seja o ponto z = (x,y) = (x1,x2, . . . ,xk,y1,y2, . . . ,ym), podemos escrever f (x,y) = Az = Bx+Cy,onde B e C sao submatrizes respectivamente de ordem m k e mm, isto e, A = [B C] ecomposta por bloco B e C.Se C e inversvel, podemos explicitar y como funcao de x pois

Bx+Cy = 0 y =C1Bx.

Neste caso, se :Rk Rm e funcao linear definida por (x) =C1Bx , entao esta implcitana equacao f (x,y) = 0 na vizinhanca de xo, qualquer que seja xo.Observe que neste caso particular, os blocos B e C sao as derivadas parciais de f . De fato,

B =[ f

x (xo,yo)]

e C =[ f

y (xo,yo)]

e

=[ f

y (xo,yo)]1[ f

y (xo,yo)]

(42)

Diretamente pode-se tratar a questao via Teorema da Funcao Inversa pode ser observada sereescrevermos a equacao f (x,y) = 0 na seguinte forma. Seja g : Rn Rn com n = k + m afuncao linear definida por g(x,y) =

(x, f (x,y)). Entao g(z) = Ax, onde A e a matriz representada

por

A =

[Ik OB C

],

Onde Ik e a matriz identidade de ordem k k O uma matriz nula de ordem km. Sabemos daAlgebra Linear que detA = detC. Assim, se C e inversvel, tambem e a matriz A e e facil deverificar que

A1 =

[Ik O

C1 C1

].

Portanto,g(x,y) = (x,0) (x,y) = g1(x,0) = (x,C1Bx)

53

temos aqui novamente a solucao desejada em (18).

7.1 TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA

Teorema 7.1 Seja f :RkRm Rm uma funcao de classe C1. Suponha f (xo,yo) = 0 e

det[ f

y (xo,yo)]6= 0.

a) Entao existem uma vizinhanca aberta de xo Rk e uma funcao (unica) : Rm declasse C1 tal que yo = (xo) e f (x,(x)) = 0 para todo x .

b) Existe um aberto U contendo (xo,yo) emRkRm tal que o par (x,y)U verifica f (x,y) = 0se e somente se y = (x) para todo x

Demonstracao: Nada perderemos em generalidade supondo que xo = 0 e yo = 0.Seja g : Rk Rm Rk Rm a funcao definida por g(x,y) = (x, f (x,y)). Entao g e de classeC1 e a matriz Jacobiana de g em zo = (xo,yo) = (0,0) e

[g(0,0)] =

Ik O[ fx (0,0)

] [ fy (0,0)

] .Pois se colocarmos

f :RkRm Rm g :RkRm RkRm(x,y) 7 f (x,y) = y (x,y) 7 g(x,y) = (x, f (x,y))

onde x = (x1,x2, . . . ,xk) e y = (y1,y2, . . . ,ym) assim (x,y) = (x1,x2, . . . ,xk,y1,y2, . . . ,ym), apli-cando em g obtemos

g(x,y) =(g1(x,y), . . . ,gk(x,y),gk+1(x,y) . . . ,gk+m(x,y)

)=

(x1, . . . ,xk, f1(x,y), . . . , fm(x,y)

)

54

onde g1(x,y) = x1, . . . ,gk(x,y) = xk,gk+1(x,y) = f1(x,y), . . . ,gk+m(x,y) = fm(x,y) derivando gem relacao zo = (xo,yo) = (0,0), temos

[g(0,0)

]=

g1x1

(0,0) g1x2(0,0) g1xk

(0,0) g1y1(0,0) g1ym (0,0)

g2x1

(0,0) g2x2(0,0) g2xk

(0,0) g2y1(0,0) g2ym (0,0)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

gkx1

(0,0) gkx2(0,0) gkxk

(0,0) gky1(0,0) gkym (0,0)

gk+1x1

(0,0) gk+1x2(0,0) gk+1xk

(0,0) gk+1y1(0,0) gk+1ym (0,0)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

gk+mx1

(0,0) gk+mx2(0,0) gk+mxk

(0,0) gk+my1(0,0) gk+mym (0,0)

,

derivando em relacao as variaveis x1,x2, . . . ,xk,y1,y2, . . . ,ym, obtemos

[g(0,0)

]=

1 0 0 0 00 1 0 0 0.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

0 0 1 0 0 f1x1

(0,0) f1x2 (0,0) f1xk

(0,0) f1y1 (0,0) f1ym

(0,0)

f2x1

(0,0) f2x2 (0,0) f2xk

(0,0) f2y1 (0,0) f2ym

(0,0)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

fmx1

(0,0) fmx2 (0,0) fmxk

(0,0) fmy1 (0,0) fmym

(0,0)

,

de maneira simplificada,

[g(0,0)

]=

Ik O[ fx (0,0)

] [ fy (0,0)

] ,onde Ik e a matriz identidade de ordem k k e O e a matriz nula de ordem mm. Sabemos daAlgebra Linear que o jacobiano de [g(0,0)] e dado por

Jg(0,0) = det

Ik O[ fx (0,0)

] [ fy (0,0)

] = det[ fy (0,0)]6= 0

55

entao

Jg(0,0) 6= 0

Segue do Teorema da Funcao Inversa que existe um aberto U contendo (0,0) Rk Rm talque V = g(U) e um aberto e a restricao de g a U e uma bijecao sobre V . Com inversa continuah : V U que pertence a` classe C1(V ) e com h(0,0) = (0,0). Ora h tem a forma

h(x,z) =(h1(x,z),h2(x,z)

), para (x,z) V,

onde h1 : V Rk e h2 : V Rm. Como

(x,z) =(gh)(x,z) = g(h(x,z))= g(h1(x,z),h2(x,z))= (h1(x,z), f (h1(x,z),h2(x,z)))

temos que:x = h1(x,z) e z = f

(h1(x,z),h2(x,z)

).

Logo h toma a forma mais simples

h(x,z) =(x,h2(x,z)

).

Ora se pi :RkRm Rm e definida por pi(x,z) = z entao pi e linear e contnua e(pi h)(x,z) = pi(h(x,z))= pi(h1(x,z),h2(x,z))= h2(x,z), para (x,z) V

ou sejah2 = pi h.

Portanto, h2 C1(V ) e temos.

z = f (x,h2(x,z)) para (x,z) V. (43)Seja agora = {x Rk : (x,0) V} tal que e um aberto contendo 0 Rk e definamos(x) = h2(x,0) para x .Calculando e 0, obtemos que

(0) = h2(0,0) =(pi h)(0,0) = pi(h(0,0))= pi(0,0) = 0

Como (x) = h2(x,0) para x , entao e de classe C1().De (43) e para x temos que

0 = f (x,h2(x,0))= f (x,(x))

56

ou seja, f (x,(x))= 0, para todo x .Isso mostra a parte a) do teorema.

Agora vamos mostrar a parte b) do teorema.De fato,() Seja (x,y) U tal que f (x,y) = 0. Entao

g(x,y) =(x, f (x,y))= (x,0) V dado,

decorre que x . Alem disso,

(x,y) =(hg)(x,y) = h(g(x,y))= h(x,0) = (x,h2(x,y))= (x,(x))

de modo que y = (x) para todo x .() Seja (x,y) U tal que y = (x) para todo x . Entao

f (x,y) = f (x, f (x,y)).Isso mostra a parte b)

Observacao: Caso a f e de classe Cp a tambem sera de classe Cp.

7.2 APLICAC AO DO TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA

Exerccio 7.1 Considere o sistema de equacoes{sen(x+ y+ z) = z4

x y+ z = sen(x4 + y4 + z4)(44)

a) Prove que existem funcoes reais e diferenciaveis de 1(z) e 2(z) definidos para |z| suficien-temente pequeno tais 1(0) = 2(0) = 0 e

(x,y,z) =(1(z),2(z),z

)e solucao do sistema (44).

Solucao: Consideremos as seguintes funcoes,

f1(x,y,z) = sen(x+ y+ z) z4,f2(x,y,z) = x y+ z sen(x4 + y4 + z4),

57

Seja f definida por

f :R3 R2(x,y,z) 7 f (x,y,z) = ( f1(x,y,z), f2(x,y,z))

=(sen(x+ y+ z) z4,x y+ z sen(x4 + y4 + z4))

A funcao f satisfaz as condicoes do Teorema da Funcao Implcita. De fato,

A funcao f e de classe C.

f (0,0,0) = (sen(0)0,0 sen(0))= (0,0).

det[ f

(x,y)(x,y,z)]

= det

f1x

f1y

f2x

f2y

= det

[cos(x+ y+ z) cos(x+ y+ z)

1 cos(x4 + y4 + z4)4x3 1 cos(x4 + y4 + z4)4x3

],

aplicando no ponto (0,0,0)

det[ f

(x,y)(0,0,0)]

= det[

1 11 1

]=2 6= 0

logo, satisfaz as condicoes do Teorema da Funcao Implcita.

Portanto, existe um intervalo aberto I contendo o ponto zero e uma funcao

: I R R2z (z) = (1(z),2(z)).

Aplicando no ponto (0,0), obtemos

(0) =(1(0),2(0)

)= (0,0)

onde1(0) = 2(0) = 0.

Alem disso, o Teorema da Funcao Implcita nos fornece a seguinte relacao:

f ((z),z) = (0,0) se z If((

1(z),2(z)),z)

= (0,0) se z I

58

entao

(0,0) =(

sen(1(z)+2(z)+ z

) z4,1(z)2(z)+ z sen(41 (z)+42 (z)+ z4))implica que

0 = sen(1(z)+2(z)+ z

) z40 = 1(z)2(z)+ z sen

(41 (z)+42 (z)+ z4

),

da segue que a solucao do sistema na forma implcita e:{sen

(1(z)+2(z)+ z

)= z4

1(z)2(z)+ z = sen(41 (z)+42 (z)+ z4

)para todo z I.

59

8 CONCLUS AO

O Teorema da Funcao Inversa e um dos temas principais da Analise Matematica, pois dadauma funcao qualquer f : V V com V Rn existe uma inversa f1 : V V se satisfaz ascondicoes do Teorema. Como aplicacao do Teorema temos o Metodo das Caractersticas parasolucao de equacoes a derivadas parciais de primeira ordem, cujo metodo com baseia em trocade variaveis, que e possvel pela existencia da funcao inversa, a existencia da inversa e dadapelo Jacobiano diferente de zero, a f e inversvel localmente.

O Teorema da Funcao Implcita e uma consequencia do Teorema da Funcao Inversa, ondetem objetivo mostrar a solucao de um sistema complicado de forma implcita desde que satisfacaas condicoes do Teorema, e este e a elegancia do Teorema, pois mesmo que nao saiba a formaexplicita e possvel mostrar a solucao implcita da equacao no intervalo aberto.

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REFER ENCIAS

BARTLE, R. G. Elementos de Analise Real. 1. ed. Rio de Janeiro: Campus, 1983.

CIPOLATTI, R. Calculo Avalcado I. 1. ed. Rio de Janeiro: Universidade Federal do Rio deJaneiro, 2002.

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Calculo Volume 3. 4. ed. Sao Paulo: Livros Tecnicos S.A.e Universidade de Sao Paulo, 2000.

LIMA, E. L. Analise Real volume 2, Funcoes de n Variaveis. 4. ed. Rio de Janeiro: InstitutoNacional de Matematica Pura e Aplicada, 2009.

LIMA, E. L. Curso de analise Vol.2. 11. ed. Rio de Janeiro: Instituto Nacional de MatematicaPura e Aplicada, 2009.

RUDIN, W. Princpios de Analise Matematica. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros Tecnicos S.A. eUniversidade de Brasilia, 1971.