Analise Dimensional

5/28/2018 Analise Dimensional

1/32

Anlise dimensional


2/32

Programa

>Anlise dimensional

>Teoria da semelhana>Modelao fsica da propagao de ondas>Modelao fsica de estruturas de proteco

costeira e porturia>Gerao de ondas em laboratrio>Instrumentos de medio e tcnicas de anlise de

dados>Estudo de caso


3/32

Objectivos

>No final desta unidade os alunos devero ser

capazes deDado um conjunto de variveis relevante para umfenmeno fsico, determinar um conjunto completo denmeros adimensionais associado a essas variveis

Verificar se uma expresso dimensionalmentehomogneaEscrever as dimenses das principais variveis emhidrulica martima


4/32

Dimenses

>Relacionar quantidades fsicas quaisquer com

quantidades fsicas bsicasDimenses bsicas em Hidrulica

o [Massa] = Mo [Comprimento] = L

o [Tempo] = TDimenses de uma quantidade fsica qualquer X

o [X] = M LT


5/32

Dimenses (exemplos)

>Velocidade = comprimento / tempo

[velocidade] = [comprimento] / [tempo] [velocidade] = L / T = L T-1

>Acelerao = velocidade / tempo [acelerao] = [velocidade] / [tempo] [acelerao] = L T-1/ T = L T-2

>Fora = massa * acelerao [fora] = [massa] * [acelerao] [fora] = M L T-2


6/32

Dimenses (exemplos)

DimensesDefinioGrandeza

trabalho / tempoPotncia

fora x comprimentoTrabalho, energia

massa x velocidadeQuantidade de Movimento

massa / volumeMassa volmica

fora / volumePeso volmico

fora / reaPresso

massa x aceleraoFora

--Massa

velocidade / tempoAceleraocomp / tempoVelocidade

--Tempo

comp x comp x compVolume

comp x comprea

--Comprimento

MLT


7/32

Dimenses (exemplos)


M L2 T-3trabalho / tempoPotncia

M L2 T-2fora x comprimentoTrabalho, energia

M L T-1massa x velocidadeQuantidade de Movimento

M L-3massa / volumeMassa volmica

M L-2 T-2fora / volumePeso volmico

M L-1 T-2fora / reaPresso

M L T-2massa x aceleraoFora

M--Massa

L T-2velocidade / tempoAceleraoL T

-1

comp / tempoVelocidade

T--Tempo

L3comp x comp x compVolume

L2comp x comprea

L--Comprimento

MLT


8/32

Dimenses (exemplos)

M L2 T-3trabalho / tempoPotncia

M L2 T-2fora x comprimentoTrabalho, energia

M L T-1massa x velocidadeQuantidade de Movimento

M L-3massa / volumeMassa volmica

M L-2 T-2fora / volumePeso volmico

M L-1 T-2fora / reaPresso

M L T-2--Fora

Mfora / aceleraoMassa

L T-2velocidade / tempoAceleraoL T

-1


T--Tempo

L3comp x comp x compVolume

L2comp x comprea

L--Comprimento

FLTMLT



9/32

Dimenses (exemplos)

F L T-1M L2 T-3trabalho / tempoPotncia

F LM L2 T-2fora x comprimentoTrabalho, energia

F TM L T-1massa x velocidadeQuantidade de Movimento

F L-4 T2M L-3massa / volumeMassa volmica

F L-3M L-2 T-2fora / volumePeso volmico

F L-2M L-1 T-2fora / reaPresso

FM L T-2massa x aceleraoFora

F L-1 T2Mfora / aceleraoMassa

L T-2L T-2velocidade / tempoAceleraoL T

-1

L T-1


TT--Tempo

L3L3comp x comp x compVolume

L2L2comp x comprea

LL--Comprimento

FLTMLT



10/32

Unidades

> Medida convencional de uma quantidade fsica

> o valor padro de uma grandeza e pode ser utilizado paraexprimir o resultado dessa grandeza

> Sistema de unidades: um conjunto coerente de unidades Unidades fundamentais: so fixadas arbitrariamente

Unidades derivadas: obtm-se das anteriores a partir dasequaes de definio

> Sistema internacional Massa - quilograma massa Comprimento - metro Tempo - segundo

> Sistema mtrico gravitatrio Fora - quilograma fora Comprimento - metro Tempo - segundo


11/32

Unidades (exemplos)

F L T-1

F L

F T

F L-4 T2F L-3F L-2

F

F L-1 T2L T-2L T

-1

T

L3L2L

FLT

M L2 T-3

M L2 T-2M L T-1M L-3

M L-2 T-2M L-1 T-2M L T-2

M

L T-2L T

-1

T

L3L2L

MLT

Dimenses

kgf m s-1WPotncia

kgf mJTrabalho, energia

kgf skg m s-1Quantidade de Movimento

u.m.m. m-3kg m-3Massa volmica

kgf m-3N m-3Peso volmico

kgf m-2PaPresso

kgfNFora

u.m.m.kgMassa

m s-2m s-2Aceleraom s

-1

m s-1

Velocidade

ssTempo

m3m3Volume

m2m2rea

mmComprimento

FLTMLT

UnidadesGrandeza


12/32

Converso de unidades

> 1 u.m.m. = C kg

1 u.m.m a massa que para ser movida com acelerao unitria (1 ms-2) necessita de uma fora de 1 kgf nela actuante

1 u.m.m. = 1 kgf / 1 m s-2

1 kgf a fora actuante na massa de 1 kg sujeita aco da gravidade(g = 9.8 m s-2 )

Da segunda lei de Newton (F = m a) essa fora 1 kg x 9.8 m s-2 =

9.8 N, logo 1 kgf = 9.8 N

Logo 1 u.m.m. = 9,8 x 1 N / 1 m s-2 = 9,8 kg

C = 9,8

Ainda no est bem explicado (provavelmente eliminar)


13/32

Anlise dimensional

> Procedimento racional de combinao de grandezas fsicasem variveis adimensionais pelo qual se reduz o nmero devariveis a considerar no estudo de um dado problema

> Mtodo para deduzir informao acerca de um determinadofenmeno baseado no pressuposto de que este pode ser

descrito por uma equao dimensionalmente correctaevolvendo determinadas variveis

> Isoladamente, a anlise dimensional fornece apenasrelaes qualitativas entre as variveis. Contudo, quandocombinada com procedimentos experimentais, podefornecer resultados quantitativos e equaes de previsoexactas


14/32

Procedimento

>Identificar o conjunto de variveis independentes

com relevncia para o processo>Decidir qual delas ser a varivel dependente

>Determinar quantos produtos adimensionaisindependentes podem ser criados a partir dasvariveis

>Reduzir as variveis do processo ao nmeroadequado de variveis adimensionaisindependentes


15/32

Utilidade

>Classificar equaes e determinar quo geral asua aplicabilidade

>Converter equaes ou dados de um sistema deunidades para outro

>Desenvolver equaes em termos de variveis doprocesso

>Sistematizar a recolha de dados num programa

de ensaios e reduzir o nmero de variveis quetem de ser investigado

>Estabelecer os princpios de projecto, operao e

interpretao de resultados de ensaios em modelo


16/32

Homogeneidade dimensional

> Uma equao dimensionalmente homognea se a sua forma nodepende das unidades das variveis utilizadas na equao

> Isto , uma equao dimensionalmente homognea est semprecorrecta , quaisquer que sejam as unidades utilizadas, desde quepertencendo a um sistema de unidades dimensionalmentecoerente

> Em equaes dimensionalmente homogneas com somas oudiferenas de termos, todos os termos tm que ter as mesmasdimenses

> Equaes em que se verifique a homogeneidade dimensional so abase para a aplicao da anlise dimensional a problemas fsicos

> Na anlise dimensional assume-se que a soluo de um problemafsico pode ser expressa por uma equao dimensionalmentehomognea

As equaes fundamentais da fsica so dimensionalmentehomogneas, logo todas as relaes que sejam delas derivadastambm devem ser dimensionalmente homogneas


17/32

Verificao de homogeneidade

dimensional

>Equao de Bernoulli fluidos reais

>Frmula de Gaukler Manning Strickler

>Comprimento de onda em grandes profundidades


18/32

Identificao de conjunto de

variveis independentes

>GeomtricasComprimento, rea, volume, ngulo

>Propriedades materiaisDensidade, viscosidade dinmica, tenso superficialPermeabilidade da fronteira, granulometria e densidadedos sedimentos, rugosidade

>Efeitos externosPresses, velocidades, aceleraes

>No esquecerVarivel tempoParmetros fsicos constantes

Independncia das variveis


19/32

Vantagens da criao de

nmeros adimensionais

> Reduo do nmero de variveis a investigar(experimentalmente, numericamente ou em medies de

campo)> Grficos com nmeros adimensionais fornecem mais

informao do que grficos com variveis dimensionais, porser possvel cobrir uma gama de parmetros maior

> Pontos em grficos adimensionais podem ser comummentedeterminados utilizando modelos reduzidos de tal forma queos nmeros adimensionais se mantm na escala reduzida

> Nmeros adimensionais podem ser utilizados como base

para o projecto de modelos fsicos e para interpretao dosresultados obtidos

> Nmeros adimensionais permitem o planeamento deexperincias e a apresentao de resultados experimentais

de forma condensada e sistemtica


20/32

Nmeros adimensionais

(exemplos)

> A criao de nmeros adimensionais a partir das variveisde um problema algo arbitrria

> Nmeros adimensionais conhecidos

> Reynolds

> Froude

> Euler

> Weber

> Cauchy

> Mach

> Strouhal


21/32

Conjuntos completos de

nmeros adimensionais

>Para qualquer conjunto finito de variveis quedescrevem um processo fsico possvel definirum conjunto completo de nmeros adimensionais

>Um conjunto de nmeros adicionais associado a

um dado conjunto de variveis fsicas completoseQualquer nmero adicional nesse conjunto independente dos outros produtos

Todas as outras combinaes adimensionais que sepodem formar com as mesmas variveis do origem aum nmero adimensional que se pode escrever como oproduto de potncias dos nmeros adimensionais doconjunto


22/32

Conjunto completo (exemplo)

>Exemplo 2.3


23/32

Teoremas anlise dimensional

> Uma equao dimensionalmente homognea pode serreduzida a uma relao entre um conjunto completo de

nmeros adimensionais (para que serve um conjunto completo de nmeros adimensionais)

> Numa equao dimensionalmente homognea envolvendo

n variveis, a quantidade de nmeros adimensionais quepodem ser formados dessas n variveis dada por n-r,em que r o nmero de dimenses fundamentais varridopor aquelas variveis

(qual o nmero mximo de nmeros adimensionais num conjunto completo)

> Se x1=f(x2,x3,x4,,xn) for uma equao dimensionalmentehomognea envolvendo n variveis, ento ela pode serescrita p1=F(p2,p3,,pn-r)


24/32

Parmetros em escoamentos de

fenmenos costeiros

>Exemplo 2.5


25/32

Gerao de estados de agitao

limitada pelo fetch

>Exemplo 2.6


26/32

Procedimento de clculo de

conjunto completo> Determinar as variveis importantes do problema

> Montagem de matriz com o expoente de cada dimenso fundamental contida nas

dimenses de cada varivel> Determinar o nmero de nmeros adimensionais necessrios para formar o conjunto

completo (n-r) em que n o nmero original de variveis independentes e r o nmerode dimenses fundamentais contido naquelas variveis

> Estabelecer as r equaes independentes envolvendo os n expoentes k de cadavarivel partindo da definio dos nmeros adimensionais ou da inspeco da matrizcom as dimenses das variveis

> Para cada nmero adimensional especificar (n-r) valores dos expoentes k, sendo osrestantes r valores determinados da soluo do sistema de r equaes

> Formar o nmero de nmeros adimensionais pretendidos. Confirmar que cada varivelinicial aparece em pelo menos um dos nmeros adimensionais formados. Tentar

incluir argumentos fsicos na seleco dos expoentes> Verificar que os nmeros obtidos so mesmo adimensionais

> Reflectir sobre possveis relaes entre os nmeros adimensionais


27/32

Seleco de expoentes

> A anlise dimensional no nos fornece qualquer indicaosobre quais os nmeros adimensionais mais importantes.

Alguns conselhos para a escolha dos expoentes> Cada uma das variveis controlveis nas experincias s

deve aparecer num nico nmero adimensional

> A varivel dependente no deve aparecer em mais do queum nmero adimensional

> Sempre que possvel, manipular os expoentes para obternmeros adimensionais conhecidos (Reynolds, Froude,

etc.)> Escrever a matriz de variveis e dimenses por forma que a

primeira varivel seja a varivel dependente, a segundavarivel aquela que mais fcil controlar nas experincias e

assim por diante


28/32

Estabilidade do manto protector

de quebra-mares de taludes

>Exemplo 2.7


29/32

Nmeros adimensionais e dados

experimentais

>A determinao da relao entre os nmerosadimensionais implica a realizao deexperincias

>Quanto maior o nmero de nmerosadimensionais mais difcil ser estabelecer essa

relao devido quantidade de dados necessria


30/32

Um nico nmero adimensional

>O nmero adimensional deve ser constante

>Bastaria uma nica experincia para determinaresse valor

>Contudo, sensato realizar vrias experincias para se obter um valor confivel do parmetroAvaliar a variabilidade dessa constante (que pode indiciara necessidade de acrescentar mais variveis na descrio

do fenmeno)


31/32

Lei de Stokes para escoamento

viscoso

>Exemplo 2.9


32/32

Dois ou mais nmeros

adimensionais

> P1 = F(P2)> Varia-se p2 e mede-se p1

> Embora se possa ajustar a curva para essa relao no se deveesquecer que a relao encontrada s vlida para a gama de p2testada

> P1 = F(P2,P3)> Um nmero adimensional mantido constante, o outro variado e

medido o P1> Obtm-se famlias de curvas s quais se podem ajustar expresses

> Quando o nmero de nmeros adimensionais muito grande, ficamais difcil a realizao de ensaios e o estabelecimento de umaformulao emprica baseada nos resultados experimentais.Nesses caos a explorao de modelos fsicos tem como objectivodeterminar apenas algumas das caractersticas destes problemas

mais complexos

Documents

Analise Dimensional