Introdu cao`aAnaliseRealProf. Me. Wendhel RaaCoimbraUniversidadeFederal deMatoGrossodoSul20102Sumario1 OsN umerosReais 11.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 ValorAbsolutoouM odulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Supremoe Inmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 FuncoesLimitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 SequenciasdeN umerosReais 92.1 SequenciaMon otona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Subsequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 ConvergenciadeSequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 SequenciasLimitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 PropriedadesAritmeticasdoLimitedeSequencias . . . . . . . . . . . . 162.6 SequenciasdeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 LimitesInnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Series 273.1 TestesdeConvergenciaparaSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.1 TestedaComparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2 SeriesAlternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3 TestedaRaiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.4 TestedaRazao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 ConjuntosEnumeraveis 395 TopologianaReta 455.1 ConjuntosAbertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.2 ConjuntosFechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3 Pontosdeacumulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.1 Pontosdeacumulacaolaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Fronteiradeumconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534 SUMARIO5.5 Conjuntoscompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Captulo1OsN umerosReais1.1 DesigualdadesAxiomas: Sao resultados aceitos sem demonstracao. Verdades absolutas, inquestionaveis.Partindode axiomas constroem-se teorias na matematica. Comoexemplo, temosaGeometriaEuclidiana, quetemalicerceemaxiomasfundamentaisrelativosapontos,planoseretas.Oconjuntodosn umerosreaiseformadopelajuncaodosn umerosracionaiseirra-cionais. Tal conjunto e costumeiramente representavel numa reta, a reta real, obedecendoa ordem natural de seus elementos. Mostraremos em breve que os n umeros reais preenchemtotalmenteestareta.AlgunssubconjuntosimportantesdeRsao:N Conjuntodosn umerosnaturaisunidocomozero.Z Conjuntodosn umerosinteiros.Q=_ab; a Z, b Z_ Conjuntodosn umerosracionais.R+= {x R|x>0}.R= {x R|x51n25nseja convergente, e suciente provar que

n>101n25n< . Mas,comovimos,sen 10,1n25n112n2=2n23.1. TESTESDECONVERGENCIAPARASERIES 33Como2n2< entao 1n25n< Exemplo3.10

n32n + 10n6n5+ n24convergeoudiverge?Solu cao. Sabemosquen32n + 10n6n5+ n24n3n612n6n3(2n10) n3e n6(n5n2+4)>n612n6para n grande (Veriqueasdesigualdades).Da,n32n + 10n6n5+ n242n3n6=2n3ecomo2n3< entao

n32n + 10n6n5+ n24<

Exemplo3.11

n2n2nn31convergeoudiverge?Solu cao.n2nn31n212n2n3=n22n3=12n.Como

12n=12

1n= ,entao

n2nn31= Exemplo3.12Adivergenciadasseries

n11nr/sonder, s Z+ers1.Solu cao. Sers=1entao

n11nr/s=

n11nedivergente.Sejarsnr/sns>nrs>r.Comos>r,entao n,1nr/s>1n.Logo,pelotestedacomparacao

n11nr/s= 34 CAPITULO3. SERIESExerccio3.2Asseries

n11nr/s,onders>1,convergem.Exemplo3.13

n1sen3n2n2n + 9(Dica: Useseriesabsolutamenteconvergentesetestedacomparacao.)Solu cao. Para termos a serie

an convergente e suciente provarmos que

|an|< sen3n2n2n + 9=|sen3n2||n2n + 9| 1n2n + 91n2n2==1n2n1n212n2=2n2Como1n2< entaoaseriedadatambemconverge. 3.1.2 SeriesAlternadasSaoasseries

n=1(1)n an, an>0Proposicao3.5Se (an)e umsequenciade termos positivos decrescentes e tal quean 0entao

n=1(1)n+1 aneconvergente.Demonstra cao. Parapr oximosemestre. Exemplo3.14

n=1(1)n1neconvergentemas

n=1(1)n1n=

n=11n= Observa cao3.4 Uma serie como exemplo acima, isto e,

anconvergente mas

|an|= , echamadacondicionalmenteconvergente.3.1.3 TestedaRaizTeorema3.3Seja

xnuma serie de termos positivos tal que limnnxn=a entao(i) Se0 a1entao

xn= 3.1. TESTESDECONVERGENCIAPARASERIES 35Demonstra cao. Pr oximosemestre. Exemplo3.15

n=1(1)n 2n2nnconvergeoudiverge?Solu cao. Veremosseestaserieconvergeabsolutamente.(1)n 2n2nn=2n2nn=xnOra,nxn=n2 nn2nnn=n2 nn nnnTemos,limnnxn=limnn2 limnnn limnnn limn1n=0