MECHANICS OF

MATERIALS

Fourth Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER

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4 Flexão Pura

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4 - 2

Flexão Pura

Flexão Pura

Outros tipos de Carregamento

Componente Simétrico em Flexão Pura

Deformações à Flexão

Deformação Devido à Flexão

Propriedades da Secção da Viga

Propriedades das Formas de Secção Padrão

Americana

Deformações numa Secção Transversal

Problema 4.2

Exemplo 4.03

Problema 4.4

Exempl0 4.03

Carregamento Axial Excêntrico Relativamente a

um Plano de Simetria

Exemplo 4.07

Problema 4.8

Flexão Assimétrica

Caso Geral de Carregamento Axial Excêntrico

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4 - 3

Flexão Pura

Flexão Pura: Componentes prismáticos

sujeitos a momentos iguais e opostos a

actuando no mesmo plano longitudinal

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Outros Tipos de Carregamento

• Príncipio da Sobreposição: A tensão

normal devida à flexão pura pode ser

combinada com a tensão normal devida

ao carregamento axial e com a tensão de

corte devida ao carregamento transversal

para caracterizar o estado total de

tensões.

• Carregamento Excêntrico: Cargas

axiais que não passam pelo centróide da

secção produzem forças internas

equivalente a uma força axial e a um

momento

• Carregamento Transversal: Cargas

concentradas ou distribuídas transversais

produzem forças internas equivalentes a

uma força de corte e a um momento

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Flexão Pura em Componentes Simétricos

MdAyM

dAzM

dAF

xz

xy

xx

0

0

• Estes requisitos podem ser aplicados às adições das

componentes e dos momentos das forças internas

elementares estaticamente indeterminadas.

• As forças internas numa secção arbitrária são

equivalentes a um binário de forças. O momento do

binário na secção é o momento flector.

• Da estática, o momento M consiste de duas forças

forças iguais e opostas.

• A soma das componentes das forças é nula em

qualquer direcção.

• O momento é o mesmo em torno de qualquer eixo

perpendicular ao plano do momento e nulo em

torno de qualquer eixo contido no plano.

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Deformações em Flexão

Viga em flexão pura, com um plano de

simetria :

• O componente permanece simétrico

• Flecte uniformemente para formar um arco circular

• O plano da secção passa através do centro de

curvatura do arco e mantém-se plano

• O comprimento da fibra superiora diminui o da

inferiora aumenta

• Tem que existir uma superfície neutra paralela às

superfícies superioras e inferioras e para a qual o

comprimento permanece inalterado

• As tensões e deformações são negativas

(compressão) acima da superfície neutra e positivas

(tracção) abaixo dela

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Deformação Devido à Flexão

Considere-se uma viga de comprimento L.

Após deformação, o comprimento da superfície

neutra permanece L. Nas outras secções

horizontais,

mx

m

m

x

c

y

cρ

c

yy

L

yyLL

yL

or

e)linearment variadeformação (a

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3 - 8

Ilustração da Flexão de Vigas

• Ilustração da flexão de uma viga e convenção de

sinais: M8.8 do Mecmovies

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Tensões Devido à Flexão

• Para um material linear elástico,

e)linearment varia(tensãom

mxx

c

y

Ec

yE

• Para equilibrio estático,

dAyc

dAc

ydAF

m

mxx

0

0

O 1º momento de área relativamente

à superfície neutra é nulo. Donde, a

superfície neutra deve passar pelo

centróide da secção.

• Para equilibrio estático,

I

My

c

y

S

M

I

Mc

c

IdAy

cM

dAc

yydAyM

x

mx

m

mm

mx

doSubstituin

2

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Propriedades da Secção da Viga

• A tensão normal máxima devida à flexão,

secção da módulo

secção da inércia de momento

c

IS

I

S

M

I

Mcm

A secção da viga com o maior módulo de

secção terá uma menor tensão máxima

• Considere uma viga de secção rectangular,

Ahbhh

bh

c

IS

613

61

3

121

2

Entre duas vigas com a mesma área da secção

transversal, a viga mais alta será a mais

efectiva a resistir à flexão.

• Vigas estruturais de aço são projectadas para

terem um módulo de secção o maior possível.

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Deformações numa Secção Transversal

• A deformação causada pelo momento flector M é

quantificada pela curvatura da superfície neutra

EI

M

I

Mc

EcEcc

mm

11

• Embora os planos das secções de mantenham

planos quando sujeitos à acção de momentos

flectores, as deformações no plano não são nulas,

yyxzxy

• A expansão acima da superfície neutra e a

contracção abaixo dela causam curvatura no

plano,

caanticlásti curvatura 1

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Propriedades das Formas Padrão Americanas

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4 - 13

Problema 4.2

Um componente de ferro fundido de

uma máquina é actuado por um

momento de 3 kN-m. Sabendo que E =

165 GPa e desprezando o efeito das

concordâncias, determine (a) as tensões

máximas de tracção e compressão, (b)

o raio de curvatura

SOLUÇÃO:

• Baseado na geometria da secção,

calcule a localização do centróide e o

momento de inércia.

2dAIIA

AyY x

• Aplique a fórmula da flexão elástica

para determinar as tensões máximas

de tracção e compressão.

I

Mcm

• Calcule a curvatura

EI

M

1

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4 - 14

Problema 4.2

SOLUÇÃO:

Baseado na geometria da secção, calcule a

localização do centróide e o momento de

inércia.

mm 383000

10114 3

A

AyY

3

3

3

32

101143000

104220120030402

109050180090201

mm ,mm ,mm Area,

AyA

Ayy

49-43

23

12123

121

23

1212

m10868 mm10868

18120040301218002090

I

dAbhdAIIx

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Problema 4.2

• Aplique a fórmula da flexão elástica para

determinar as tensões máximas de tracção e

compressão.

49

49

m10868

m038.0mkN 3

m10868

m022.0mkN 3

I

cM

I

cM

I

Mc

BB

AA

m

MPa 0.76A

MPa 3.131B

• Calcule a curvatura

49- m10868GPa 165

mkN 3

1

EI

M

m 7.47

m1095.201 1-3

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Propriedades Geométricas das Secções

• Jogos de determinação das propriedades

geométricas de secções: M8.1-8.3 do Mecmovies