Deformação de Vigas em flexão

Tradução e adaptação: Victor Franco

Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill.

Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

Mecânica dos Materiais

9 - 2

Deformação de uma viga sujeita a forças transversais

• A relação entre o momento flector e a

curvatura, para flexão pura, mantém-se

válida para o caso de uma viga em flexão

sujeita a forças transversais:

EI

xM )(1=

ρ

• Para a viga encastrada sujeita a uma força

concentrada na extremidade, temos:

EI

Px−=

ρ1

• A curvatura varia linearmente com x :

• Na extremidade A, ∞== AA

ρρ

,01

• No apoio B,PL

EIB

B

=≠ ρρ

,01

x

9 - 3

• A curvatura é zero nos pontos em que o

momento flector é zero, i.e., nas extremidades e

no ponto E.

EI

xM )(1=

ρ

• A deformação da viga é côncava para cima ∪∪∪∪onde o momento flector é positivo e côncava

para baixo ∩∩∩∩ onde o momento flector é

negativo.

• A curvatura máxima ocorre onde o valor do

momento flector é máximo.

• A equação da deformação da viga – equação da

linha da elástica – é necessária para determinar

a deformação máxima (flecha máxima) e a

rotação.

Deformação de uma viga sujeita a forças transversais

9 - 4

Equação da Linha elástica

• A seguinte relação é válida (demonstrável

através da Análise Matemática):

EI

M

dx

yd

dx

dy

dx

yd

=≈

+

=2

2

232

2

2

1

1

ρ

• Substituíndo e integrando:

( )

( )

( ) 21

00

1

0

2

2

CxCdxxMdxyEI

CdxxMdx

dyEIEI

xMdx

ydEI

xx

x

++=

+=≈

=

∫∫

∫θ

Equação da curvatura:

Equação das rotações:

Equação da linha elástica:

9 - 5

Equação da linha elástica

( ) 21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

++= ∫∫

• As constantes são determinadas a partir das

condições de fronteira.

• Três casos para vigas estaticamente

determinadas:

– Viga simplesmente apoiada

0,0 == BA yy

– Viga em balanço

0,0 == BA yy

– Viga encastrada

0,0 == AAy θ

9 - 6

Determinação da equação da linha elástica a partir

da força distribuída

• Para uma viga sujeita a uma força distribuída,

( ) ( )xwdx

dV

dx

MdxV

dx

dM−===

2

2

• A equação para a deformação será

( )xwdx

ydEI

dx

Md

dx

ydEIxM −==⇒=

4

4

2

2

2

2

)(

( ) ( )

43

2

2213

161 CxCxCxC

dxdxdxdxxwxyEI

++++

−= ∫∫∫∫

• Integrando 4 vezes, obtém-se,

• As constantes são calculadas a partir das

condições de fronteira.

9 - 7

Vigas estaticamente indeterminadas

• Considere-se a viga encastrada em A e com um

apoio móvel em B.

• Condições de equilibrio estático:

000 =∑=∑=∑ Ayx MFF

A viga é estaticamente indeterminada.

( ) 21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

++= ∫∫

• Temos também a equação da deformada,

que introduz duas incógnitas adicionais, mas

que fornece três equações adicionais a partir

das condições de fronteira:

0:00:0 ====θ= yLxyx

9 - 8

Exemplo 9.1

Para a parcela AB da viga, calcular

(a) A equação da linha elástica,

(b) Deformada máxima.

Resolução:

• Escrever uma expressão para M(x)

e para a equação diferencial da

linha elástica.

• Integrar a equação diferencial duas

vezes e aplicar as condições de

fronteira para obter a equação da

deformada.

• Localizar o ponto com tangente

nula ou ponto da deformada

máxima. Calcular a deformada

máxima.

9 - 9

Exemplo 9.1

• Expressão para M(x) e equação diferencial

da linha elástica.

- Reacções:

↑

+=↓=L

aPR

L

PaR BA 1

- Diagrama de corpo livre para secção AD,

( )LxxL

aPM <<−= 0

xL

aP

dx

ydEIxM

dx

ydEI −=⇒=

2

2

2

2

)(

- Equação diferencial da linha elástica,

9 - 10

Exemplo 9.1

PaLCLCLL

aPyLx

Cyx

6

1

6

10:0, em

0:0,0 em

11

3

2

=+−===

===

• Integrar a equação diferencial duas vezes e

aplicar as condições de fronteira para obter

a equação da deformada:

213

12

6

1

2

1

CxCxL

aPyEI

CxL

aP

dx

dyEI

++−=

+−=

xL

aP

dx

ydEI −=

2

2

−=32

6 L

x

L

x

EI

PaLy

⇒+−=

−=⇒+−=

PaLxxL

aPyEI

L

x

EI

PaL

dx

dyPaLx

L

aP

dx

dyEI

6

1

6

1

3166

1

2

1

3

22

Substituíndo,

9 - 11

Exemplo 9.1

• Localizar o ponto de deformada máxima.

−=32

6 L

x

L

x

EI

PaLy L

Lx

L

x

EI

PaL

dx

dym

m 577.03

316

0

2

==⇒

−==

• Deformada máxima.

( )[ ]32

max 577.0577.06

−=EI

PaLy

EI

PaLy

60642.0

2

max =

9 - 12

Exemplo 9.3

Para a viga representada na figura, determinar a reacção

em A, obter a equação da linha elástica e determinar a

rotação em A.

(Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)

9 - 13

Exemplo 9.3

• Análise de momentos numa secção D:

L

xwxRM

Mx

L

xwxR

M

A

A

D

6

032

1

0

30

20

−=

=−

−

=∑

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

−==

• Equação da linha elástica:

9 - 14

Exemplo 9.3

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

−==

• Integrando duas vezes:

21

503

1

402

1206

1

242

1

CxCL

xwxRyEI

CL

xwxREI

dx

dyEI

A

A

++−=

+−== θ

• Aplicar as condições de fronteira:

01206

1:0, em

0242

1:0, em

0:0,0 em

21

403

1

302

2

=++−==

=+−==

===

CLCLw

LRyLx

CLw

LRLx

Cyx

A

Aθ

• Resolver em ordem à reacção em A

030

1

3

1 40

3 =− LwLRA ↑= LwRA 010

1

9 - 15

Exemplo 9.3

xLwL

xwxLwyEI

−−

= 30

503

0120

1

12010

1

6

1

( )xLxLxEIL

wy

43250 2120

−+−=

• Substituir C1, C2, e RA na equação da

linha elástica:

( )42240 65120

LxLxEIL

w

dx

dy−+−==θ

EI

LwA

120

30=θ

• Diferenciar para calculo das rotações:

em x = 0,

Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas:

9 - 16

Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: cont.

9 - 17

Deformadas e rotações de vigas encastradas:

9 - 18

Deformadas e rotações de vigas encastradas: cont.

9 - 19

9 - 20

Método da Sobreposição

Principio da Sobreposição:

• As deformações de vigas sujeitas a

combinações de forças, podem ser obtidas

como a combinação linear das deformações

causadas pelas forças individuais.

9 - 21

Exemplo 9.7

Para a viga sujeita aos carregamentos

representados, determine a rotação e a

deformada no ponto B.

Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II”

como ilustrado, temos:.

9 - 22

Exemplo 9.7

Loading I

( )EI

wLIB

6

3

−=θ ( )EI

wLy IB

8

4

−=

Loading II

( )EI

wLIIC

48

3

=θ ( )EI

wLy IIC

128

4

=

No segmento de viga CB, o momento flector é

zero e a linha elástica é uma recta:

( ) ( )EI

wLIICIIB

48

3

== θθ

( )EI

wLL

EI

wL

EI

wLy IIB

384

7

248128

434

=

+=

9 - 23

Exemplo 9.7

( ) ( )EI

wL

EI

wLIIBIBB

486

33

+−=+= θθθ

( ) ( )EI

wL

EI

wLyyy IIBIBB

384

7

8

44

+−=+=

EI

wLB

48

7 3

=θ

EI

wLyB

384

414

=

Combinando as duas soluções:

9 - 24

9 - 25

9 - 26

9 - 27

9 - 28

9 - 29

9 - 30

Aplicação do método da Sobreposição a vigas

estaticamente indeterminadas

O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar

as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas:

1. Escolher uma das reacções como

redundante e eliminar (ou modificar)

o apoio correspondente.

2. Determinar a deformada da viga

sem o apoio redundante.

3. Tratar a força de reacção redundante

como uma incógnita que, em

conjunto com as outras forças deve

originar deformações compatíveis

com o apoio original.

9 - 31

Exemplo 9.8

Para a viga e carregamento representado na

figura, determinar a reacção em cada apoio e

a rotação na extremidade A.

• Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações.

• Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada

zero no ponto B.

9 - 32

Exemplo 9.8

• Deformada em B devido à força distribuida:

( )

EI

wL

LLLLLEI

wy wB

4

334

01132.0

3

2

3

22

3

2

24

−=

+

−

−=

• Deformada em B devida à força redundante:

( )EI

LRLL

EIL

Ry BB

RB

322

01646.033

2

3=

=

• Para compatibilidade com o apoio B, yB = 0

( ) ( )EI

LR

EI

wLyy B

RBwB

34

01646.001132.00 +−=+=

↑= wLRB 688.0

• Para equilibrio estático,

↑=↑= wLRwLR CA 0413.0271.0

9 - 33

Exemplo 9.8

( )EI

wL

EI

wLwA

33

04167.024

−=−=θ

( )EI

wLLL

L

EIL

wLRA

322

03398.0336

0688.0=

−

=θ

( ) ( )EI

wL

EI

wLRAwAA

33

03398.004167.0 +−=+= θθθEI

wLA

3

00769.0−=θ

Rotação na extremidade A: