04-Flexao Pura - PT

8/10/2019 04-Flexao Pura - PT

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Flexo pura

Traduo e adaptao: Victor Franco

Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf McGraw-Hill.Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education.

Mecnica dos Materiais


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Flexo pura

4 - 2

Flexo pura: Viga que no troo CD estsujeita a flexo pura devida aos doisbinrios iguais e opostos que actuam nomesmo plano


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4 - 3

Outros esforos que provocam flexo

Foras excntricas : foras axiais cujalinha de aco no passa no centride daseco produzem foras internas

equivalentes a uma fora axial e ummomento.

Foras transversais : Foras

concentradas ou distribudas transversaisproduzem foras internas equivalentes auma fora de corte e um momento.


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4 - 4

Vigas sujeitas a flexo e esforos transversos


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Flexo pura

4 - 5


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4 - 6


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4 - 7

Viga simtrica sujeita a flexo pura

==

== ==

M dA y M

dA z M

dAF

x z

x y

x x

0

0

Foras internas:

As foras internas em qualquer secotransversal so equivalentes a um binrio.O momento desse binrio o momento flector M na seco.

y

z


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4 - 9

Deformaes devidas a flexo

Considere-se uma viga de comprimento L.

Aps deformao, o comprimento da superfcieneutra mantm-se L.

Nas outras seces:

( )

( )

max

max / /

'

c

y

c y

y y L

y y L L

y L

x

x

x

=

=

======

=

linearm.)varia(deform.


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Tenses devidas a flexo

Para um material linear e elstico:

linearm.)varia(tensomax=

==

c y

E c y

E

x

m x x

Para equilibrio esttico:

=

===

dA yc

dAc y

dAF x x

max

max

0

0

O primeiro momento de rea emrelao superficie neutra zero.Assim, a superfcie neutra temnecessariamente de passar no

centride da seco transversal.

Para equilibrio esttico:

I y M

c y

S M

I Mc

c I

dA yc

M

dAc y ydA y M

x

x

x

=

=

==

=

=

==

max

max

max2max

max

doSubstituin


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Deformaes numa seco transversal A deformao devida ao momento flector M

quantificada pela curvatura da superfcie neutra

EI M

I Mc

Ec Ec

c

=

==

=

1

11

1

max

max

Embora as seces transversais se mantenhamplanas quando sujeitas a flexo, as deformaes no

plano so diferentes de zero:

= =

= =

y

y

x z

x y


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Momento de inrcia de uma seco - reviso

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Second moments or moments of inertia of anarea with respect to the x and y axes,

== dA x I dA y I y x 22

Evaluation of the integrals is simplified bychoosing d to be a thin strip parallel to one ofthe coordinate axes.

For a rectangular area,

331

0

22 bhbdy ydA y I h

x ===


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Raio de girao:

4 - 13

Consider area A with moment of inertia I x.Imagine that the area is concentrated in athin strip parallel to the x axis withequivalent I x.

A

I k Ak I x x x x ==

2

k x = radius of gyration with respect tothe x axis

Similarly,

A J k Ak J

A

I k Ak I

OOOO

y y y y

==

==

2

2

222 y xO k k k +=


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Momentos de inrcia de seces

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4 - 16

Propriedades geomtricas das seces normalizadas

secodaflexoaresistencidemdulo

secodainrciademomento

max

==

=

==

c I

W

I

W M

I c M

f

f

HEA, HEB

IPEUPN IPN

Perfis normalizados


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4 - 17


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Exemplo 4.2

Um componente de ferro-fundido sujeito

a um Momento de 3 kN.m. Sabendo que E = 165 GPa e desprezando os raios deconcordancia, calcular: (a) as tensesmximas em traco e em compresso,

(b) o raio de curvatura do componentedeformado.

Resoluo:

Calcular a localizao docentride da seco e omomento de inrcia da seco:

( ) +=

= 2d A I I

A A y

Y x

Calcular as tenses mximas:

I Mc

=max

Calcular a curvatura:

EI M

= 1


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4 - 30

Exemplo 4.2 cont.

Tenses mximas em compresso e em traco:

49

49

max

m10868

m038.0mkN3m10868

m022.0mkN3

==

==

=

I c M

I c M

I Mc

B B

A A

MPa0.76+= A

MPa3.131= B

Curvatura:

( )( )49- m10868GPa165mkN3

1

=

= EI

M

m7.47

m1095.201 1-3

=

=


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4 - 31

As tenses devidas a um carregamento axialdescentrado, calculam-se sobrepondo a tensonormal axial com a distribuio linear causadapelo momento flector

( ) ( )

I My

AP

x x x

=

+= flexoaxialnormal

Carrregamento axial descentrado

Fora descentrada

Pd M

PF

== Esta sobreposio s vlida em regime

elstico e para pequenas deformaes, comefeito desprezvel na geometria.


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Exemplo 4.8

A tenso admissivel para a peaem ferro fundido representadana figura, de 30 MPa em

traco e 120 MPa emcompresso.

Determinar a maior fora P quepode ser aplicada pea.

49

23

m10868

m038.0

m103

=

==

I

Y

A


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4 - 33

Exemplo 4.8 Fora descentrada e momento flector:

flectormomento

adescentradfora

m

====

==

PPd M

P

d

028.0

028.0010.0038.0

Tenses crticas e foras mximas:

kN77MPa1201559kN6.79MPa30377

=====+=

PPPP

B

A

kN0.77=P Mxima fora P admssivel:

Sobreposio das tenses:( )( )

( )( ) PPP I

Mc AP

PPP

I

Mc

AP

A B

A A

155910868

038.0028.0103

37710868

022.0028.0

103

93

93

=

==

+=

+

=+=


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4 - 34

Concentrao de tenses

I c M

K = max

Tenso mxima:


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4 - 35


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Unsymmetric Bending

Analysis of pure bending has been limitedto members subjected to bending couplesacting in a plane of symmetry.

Will now consider situations in which thebending couples do not act in a plane ofsymmetry.

In general, the neutral axis of the section willnot coincide with the axis of the couple.

Cannot assume that the member will bendin the plane of the couples.

The neutral axis of the cross sectioncoincides with the axis of the couple

Members remain symmetric and bend inthe plane of symmetry.


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Unsymmetric Bending

Wish to determine the conditions underwhich the neutral axis of a cross section

of arbitrary shape coincides with theaxis of the couple as shown.

couple vector must be directed alonga principal centroidal axis

inertiaof product I dA yz

dAc

y zdA z M

yz

m x y

===

===

0or

0

The resultant force and momentfrom the distribution ofelementary forces in the sectionmust satisfy

coupleapplied M M M F z y x ==== 0

neutral axis passes through centroid

=

===

dA y

dAc ydAF m x x

0or

0

defines stress distribution

inertiaof moment I I c

I

dAc y

y M M

zm

m z

===

==

Mor


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Unsymmetric Bending

Superposition is applied to determine stresses inthe most general case of unsymmetric bending.

Resolve the couple vector into components alongthe principle centroidal axes.

sincos M M M M y z ==

Superpose the component stress distributions

y

y

z

z x I

y M

I y M

+=

Along the neutral axis,( ) ( )

tantan

sincos0

y

z

y z y

y

z

z x

I I

z y

I y M

I y M

I

y M

I y M

==

+=+==


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Example 4.08

Determine the angle of the neutral axis.

143.3

30tanin9844.0

in359.5tantan 4

4

=

== y

z I I

o4.72=


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