1º seminario de trigonometría preuniversitario-2006-I - Henry.doc

8/20/2019 1º seminario de trigonometría preuniversitario-2006-I - Henry.doc

1/20

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2006-ISEMINARIO Nº 01

TRIGONOMETRÍA

1. Si se sabe que 25 grados de unsistema N equivalen a 30º, determineuna fórmula de conversión entre elsistema N y el sistema radial.

! N "150

= π#! N "

1$0 25= π

%!N "

30=

π&!

N "

150 2=

π

'!N "

1$0 2=

π

2. Si rad32

π o aºb(c(( son la medida de un

mismo )ngulo, e*+resar en radianes lasiguiente medida a - b c!º.

!3

π#!

/

π%!

10

π

&!12

π'!

15

π

3. Si 2º2( g m

3 5# , alle el valor

de4 2 - #. ! 2 #! 1 %! 0

&! 1 '! 2

/. Si un )ngulo mide 6

aºa a a

a a

÷ ÷

y se

+uede e*+resar como *º y( 7((,entonces al transformar a radianes* - 2y - 7!º se obtiene.

! rad30

π#! rad

80

π%!

2rad

35

π

&! 2 rad/1π '! rad

35π

5. Sig g

m

9º 10 9 :º

1$ 50

− += , entonces el valor

de 9 es4 ! 18,/ #! 2/, %! 3,5&! /3,8 '! 5$,$

8. &e la figura mostrada, calcule 35a

/b

!5

8#!

/

8%! 1

&! /

8'!

5

8

. 'n la figura mostrada ;& es un rayo

móvil, contenido en el +lano que

contiene los rayos fiuego la

alternativa incorrecta es4

225º

! αº βg ? 135º#! 10α :β ? 1350%! α - /5!: ? β - /00!10&! α /5!10 ? β - 100!:'! 10α - : β ? 1350

CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 13

b@am

0

βgαº

#

D


2/20


$. Se mide un )ngulo en los tressistemas de medición angular convencional, tal que se cum+le lasiguiente ecuación4

23 3

33S 100% " 28 0,1/00

π+ + = + π , alle

S - %. ! 1// #! 1/$ %! 152&! 158 '! 180

:. 'l su+lemento de un )ngulo θ es13/.$/º, si dico )ngulo θ esre+resentado en el sistema

centesimal como g#m. &etermine

- #. ! 1$1 #! 8/ %! 5:&! 5/ '! /:

10. Si S y % son el n=mero de gradosse*agesimales y centesimales de unmismo )ngulo y adem)s4

% S * S%

% S 3

+= −

−

%alcule el valor de * +ara que dico)ngulo mida 0,125π rad.

!1

5#!

2

5%!

3

5

&!/

5'! 1

11. Sean S, % y " los n=meros quere+resentan la medida de un )ngulo

en los sistemas se*agesimal,centesimal y radial res+ectivamente sise cum+le4

2 2S %,% S! S,% S!+ = − ,alle 10

' ":

=

!3$/

π#!

3$/0

π%!

3/20

π

&!3220

π'!

3110

π

12. >os )ngulos y # son su+lementarios

y miden *º y 10 - *!g

res+ectivamente. Aalle la medida enradianes de uno de los )ngulos.

! 8

π

#! 5

π

%! /

π

&!3

π'!

2

π

13. Si S, % y " son los n=meros quere+resentan las medidas de un mismo)ngulo, en los sistemas se*agesimal,centesimal y radial, res+ectivamenteBalle la medida del )ngulo enradianes, si se cum+le4

2 2

2 2

% %S 2S 1:"

2S %S %

− − =π− −

!

π#!

2

π%!

3

π

&!/

π'!

5

π

1/. &e la figura, determine el valor de la

e*+resión4 ' ? 11/

α

β

! 120 #! 1$0 %! 2/0&! 300 '! 380

15. >a mitad del n=mero que e*+resa sumedida en grados se*agesimales deun )ngulo e*cede en 52 a cinco vecesel n=mero que e*+resa su medida enradianes. Aalle el n=mero que e*+resasu medida en grados centesimales

considerando

π a+ro*imadamente

igual a 22C. ! 120 #! 1/0 %! 150&! 10 '! 200


(α – 4)º

(– α )g

β(


3/20


18. Siendo " el n=mero de radianes" 1! de un )ngulo que cum+la lasiguiente igualdad4

1" 1 2

" 1− = −

−

Aalle la medida de dico )ngulo en elsistema se*agesimal.

!:0

÷π

o

#!1$0

÷π

o

%!380

÷π

o

&!1$0

π ÷

o

'!380

π ÷

o

1. %alcule " en radianes si se cum+le4

22 2 2

2

S % " S1

12" S % "S % "!

π + + + = + + ÷+ ++ + 2 2

% "1 1

S % " S % "

+ + + ÷ ÷+ + + +

&onde S, % y " son las medidasusuales del mismo )ngulo

!120

π#!

80

π%!

/0

π

&!30π '! 5

120π

1$. &etermine la medida de un )ngulo enradianes, sabiendo que es la menor +osible, si se cum+le la relación 4

2 2a 10ab b% S

ab

+ +− = B a, b ≠ 0 donde

% y S son los n=meros que

re+resentan al )ngulo en los sistemascentesimales y se*agesimales,res+ectivamente.

!5

π#!

2

5

π%!

3

5

π

&!/

5

π '!

3

10

π

1:. Si S, % y " son las medidasen grados se*agesimales, grados

centesimales y radianes! del )ngulocentral del sector circular ;# y

%;& donde, ¼ ¼ # %&> %, > S= = y

% ? #& ? 2", entonces la medida de

θ, en radianes, es4

!5

π#!

10

π %!

5

π

&!10

π'! 1

20. 'n la figura mostrada, ;% ? ;& ? r,

; ? ;# ? ", m∠%;& ? 1 radi)n,alle

+erDmetro del tra+ecio circular E

+erDmetro del sec tor circular %;&=

!2

3#! 1 %!

/

3

&!( )3 2 1

3

−'! 2

21. &e la figura mostrada, determine elvalor de4

ay byF

a* b7

+=

+

!

1

2 #! 1 %! 2

&!1

3'! 3


A

B

C

D

θ0

B

A

D

C

0 S S

x

a

z y

b


4/20


22. Se tienen tres +oleas de radio 1u, 2u y3u res+ectivamente en un mismo+lano, cuyos centros forman untri)ngulo equil)tero cuya longitud es2:u. dem)s dicas +oleas se

encuentran conectadas +or una fa


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! 10 #! 30 %! 80

&! :0 '! 120

2$. Hna bicicleta en un circuito circular recorre un )ngulo central del circuito

igual a2

rad3

π y su rueda barre un

)ngulo de 8/π rad. %alcule cu)l es elradio del circuito en m si el radio de larueda es de 0,125 m. ! $ #! 10 %! 12&! 1/ '! 18

2:. &os ruedas cuyos radios miden 15m y3m recorren es+acios iguales Icu)ntodebe medir el radio de una tercerarueda, +ara que recorriendo el dobledel es+acio de las anteriores realicecomo n=mero de vueltas, cinco vecesla diferencia de las otras dos.

! 1m #! 1,25 m %! 1,5 m&! 1,5 m '! 2m

30. 'n la figura mostradaB ;#, #F% y%N& son sectores circulares, tales

queF% ;#

&N2 /

= = B ; ? ;#,

;F ? F#, FN ? N%. Si m∠ ;# ?m∠#F% ? 30ºB m∠&N% ? 2m∠ ;#B y

la longitud de los arcos #%& es 3

π

metrosB alle en cm! la medida de

; .

! 5 #! 10 %! 15&! 20 '! 25

31. Hn rollo de +a+el, cuyo di)metroe*terior es 30cmB tiene 500 vueltas,fuertemente enrolladas en un cilindrode 10cm de di)metro. %alcule lalongitud en metros! que tiene el+a+el.

! 120π #! 200π %! 150π

&! 100π '! :0π32. 'n la figura mostrada, m∠ #% ? $0ºB

alle a+ro*imadamente la distanciaen metros! recorrida +or el centro dela rueda en ir desde el +unto astael +unto %. 'l radio de la rueda mide15

cmπ

, y en el tramo # la rueda da

seis vueltas y en el tramo #% da

cuatro vueltas.

! 3,0$ #! 3,2/ %! 3,88


r 2

r 1

A

B

B

C

N

M

O

D

B

A

C


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&! 3,:$ '! /,0233. Sean los sectores circulares ;# y

%;&. Si la región ;# tiene un )reade u2 y la región % tiene de )rea2u2. Aalle el )rea en u2! de la región

;#, si ; ? 3u y la longitud de »%&es $u. ! 2 #! / %! 8&! $ '! 10

3/. %alcule el )rea de la su+erficiesombreada, si es el centro del sector circular #' y #%& es un rect)ngulo.

! ( )1

/ 3 38

π − #! ( )1

2 3 33

π −

%! ( )1

3 2 38

π − &! ( )1

3 2 28

π −

'! ( )1

2 3 28

π −

35. &el gr)fico mostrado, el )rea de laregión sombreada es igual al )rea de

la región no sombreada, adem)s lalongitud del arco » # es /u. Aalle la

longitud del arco »&% en u!.

! 3 2 #! / 2 %! 8&! 8 2 '! $

38. Hn sector circular de )ngulo central θradianes tiene un )rea igual a la de untri)ngulo rect)ngulo isósceles. Si sus+erDmetros son tambiJn iguales,

calcule4

/

' = θ + θ ! / - 2 2 #! 2 - / 2

%! 8 K 2 2 &! / 2 2

'! 8 - 2 2

3. 'n una semicircunferencia ;# decentro ; se tra7a el sector circular #;% con un )ngulo central de 120º y

considerando como centro # se tra7aotro sector circular %#& & en # !.

Aalle el )rea de la región %& si ; ? 2 cm.

!23 cm

3

π + ÷ #!

23 cm3

π − ÷

%!23 cm

12

π + ÷

&!22 3 cm

3

π − ÷

'!

( )

23 3 cm

− π

3$. ;# y %;& son sectores circulares.Si ;% ? %#, el )rea de la región %;&

es 1u2 y m »1

%&2

= u. 'ntonces el

+erDmetro del sector %;& es al+erDmetro de sector ;# como4

!

1

38 #!

15

38 %!

1

2

&!3

'!

5

11


A

0

B

C

D

C0

D

A

B

2θθ

B C

2

1

DA


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3:. 'n el gr)fico mostrado las )reas delas regiones sombreadas son S1 y S2 y

cum+len S1 - S2 ? 15π u2. %alcule el)rea de la región no sombreadaen u2!. Si # ? #% ? %& ? &% ? 3u.

! 3π #! 8π %! :π&! 12π '! 12π

/0. 'n la figura mostrada, %; yL;& son sectores circularesB

;& ? 1uB & ? 2uB »m#! ? 8uB

m∠';& ? 2m∠L;'. %alcule en u2!el )rea de la región sombreada.

!

2#! / %!

:

2

&! 5 '! 8

/1. &etermine el )rea m)*ima, en m2, deun sector circular cuyo +erDmetro es20m. ! 2m2 #! /m2 %! $m2

&! 18m2 '! 25m2

/2. Si cos* - 20º! ? sen3* - 10º!B

* ∈ 〈0ºB 28ºM entonces al calcular elvalor de L ? sec/* - /sen22* tg3*,se obtiene4

! 0 #! 1 %! 2&! 3 '! /

/3. %on ayuda de la figura mostrada

calcule4sec * tg*

ctg* csc *

+=

−

!15

2#!

3

10%! 8

&! 8 '! 15

2

//. Si 2θ ∈ 〈0B πC2〉 y tg2θ! ? 12C5,

entonces tgθ, es4 !

1

3#!

2

3%!

/

3

&!5

13 '!

12

13

/5. Si 0 * /

πB adem)s $ sen2* ? 1,

entonces al calcular4

L ? sen/5º - *! - ctg/5º *! seobtiene4

!:

1#!

3%!

/

&!:

/'!

15

/

/8. Se tiene un tri)ngulo #%, en el cual

se tra7an las alturas & y %L

cort)ndose en el +unto A, de modoque A ? 3A&, alle tg#.tg%. ! 1 #! 2 %! 3&! / '! 5

CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA 1!

S2

S1

AB

CD

C

0

"

D

A

C

B

n 12n - 1

*2n


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/. &e la figura mostrada m∠ #% ? :0º,m∠ #& ? α, # ? *, #% ? GB #& ? q.%alcule *.

!+qcos

+ qsen

α− α #!

+qsen

q +cos

α− α

%!+qcos

q +sen

α− α &!

+qcos

q +sen

α− α

'!

+q

+sen q cosα + α

/$. Aalle * 1 de la figura, si #%& es unrect)ngulo

3

!11

:#!

13

:%!

15

:

&!1

:'!

1:

:

/:. &e la figura mostrada, calcule tgα, si F ? F%

!1

3 #!

2

3%!

3

2

&! 3 '!/

3

50. 'n la figura mostrada #%& es un

cuadrado y F' %'= . Aalle el valor de4F ? tg* 2tg* y!

!1

2#! 1 %!

3

2

&! 2 '!5

2

51. 'n la figura si4 # ? #% ? % ? /u y

%& ? 8u, alle tgθ.

!3 3

2#!

3 3

5%!

3 3

&!

3

'!

3

5

52. 'ncuentre el )rea del rect)ngulo m)sgrande que se +ueda inscribir en unacircunferencia dada con radio ".

%onsidere sen2θ ? 2senθ cosθ. ! "2 #! 3"2C2 %! 2"2

&! 3 "2 '! 5"2C2


B

DAC

M

y

A #

B C

x

B

C

D

A

θ

1

3

1

x

37º

α

B

CAM


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53. 'n la figura, se tiene que #%& es uncuadrado. &etermine el valor de

' ? ctgθ - ctgφ, F +unto medio de %&

!1

2#!

1

3%!

1

8

&!5

8'! 5

5/. 'n un tri)ngulo rect)ngulo #% rectoen !, determine4

' ? b

2

- c

2

! sen# %! b

2

c

2

!sen# - %!

sugO.cos2θ ? cos2θ sen2θ ! 2b2 #! 2 %! 1&! 2c2 '! 0

55. 'n la figura mostrada, las )reas de lasregiones +lanas #&%, &L' y #&L

son iguales, m∠#%& ? α. &eterminecosα.

! 2 1+ #! 5 1− %! 2 1−&! 3 1+ '! 3 1−

58. 'n la figura, el cuadrado #%&contiene al cuadrante #%. Si

'# ?

1

/

÷ %', alle /1 senθ.

! 1 #! 2 %! 3&! / '! 5

5. &e la figura #& &%= , alle ctgy

! 2ctg7 ctg* #! 2ctg7 - 2tg*%! 2tg7 tg* &! 2tg7 - tg*'! 2tg7 - 3tg*

5$. 'n la figura mostrada, alle la medidade #& en metros, si # ? 3 - / 3 !m.

! 3 #! / %! 5


DC

B

A"

D A

C B

θ

B C

A D

φ θM

C

D

BA

y

7

*

D

C

BA

37º

30º


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&! 8 '!

5:. %alcule el valor a+ro*imado de

P ctg/1º 50= − ! 5 #! / %! 3

&! 2 '! 1

80. &e la figura mostrada siB # ? 2u,

&' ? 2#%, alle tgθ, sabiendo adem)sque ' es de longitud mDnima

!3

/#!

3

3%!

3

2

&!3

1'! 3 3

81. 'n la figura #F es mediana.

&eterminar sec2θ.

! 1 #! 2 %! 3&! / '! 8

82. >os tri)ngulos #% y &% tienen un

lado com=n ( ) % . Si se sabe que

#' ? &' ? %2

, &% ? m, m∠&% ? αy m∠#% ? βB se le +ide determinar ladistancia entre los +untos # y &.

!m

2cscα senα - β!

#!m

2secα senα - β!

%! m cscα cosα - β!&! m secα cosα - β!'! m cscα senα - β!

83. 'n la figura mostrada, & ? 12u,#& ? $u, 3#! ? /#%!B m∠#%& ? :0ºBm∠%#& ? α. Aalle el valor numJricode L ? 8 23 tgα $ 2 cosα.

! 20 #! 30 %! /0&! /5 '! 50

8/. 'n el tri)ngulo #%, si m∠#& ?m∠#% ? θ, m ∠&% ? α y # ? a,determine &%.


M

B

A

15º θ 30ºC

B

D

A C

D

CA B

α

A

BD

C

A D

B C

θ


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! a Qtgθ - tgα - θ!M#! aQtgθ tgα - θ!M%! a Qtgα - θ! - ctgα - θ!M&! aQctgθ ctgα - θ!M'! aQctgα - θ! ctgθM

85. %on ayuda de la figura mostrada si

# ? 3#%, calcule ' ? tgθ - 1, F+unto medio de & .

!

1

8 #!

1

3 %!

1

2

&!2

3'!

8

88. 'n la siguiente figura, alle cosθ,sabiendo que 4 # ? G ? 2 2 mt

& ? &% ? 8 2+

!8 2

/

+#!

8 2

/

−%!

3

2

&!1

2 '!

5 1

/

−

8. 'n un tri)ngulo rect)ngulo #% recto

en #! se tra7a la bisectri7 & relativa

al lado #% . Si & ? m, alle tg

/ enfunción de los lados del tri)ngulo.

!2m

a b!a c!+ +#!

ac

b c!m c!+ +

%!ab

b c!m c!+ + &!2m

m c!b c!+ +

'!ab

a c!m c!+ +

8$. &esde el +ie de un +oste, se observala +arte m)s alta de un cam+anariocon )ngulo de /5ºB si desde la +artesu+erior del +oste, que tiene :m dealtura, el )ngulo de elevación es alturade 30º. I%u)l es la altura delcam+anarioR

!: 3

2#!

2

1 2+%!

5 3

2

&!: 3

3 1+'!

: 3

3 1−

8:. Hn ombre mide 1,0m de estatura yobserva su sombra a las / de la tarde. sumiendo que amanece a las8.00 am y que el sol ace unsemicDrculo sobre el ombre Icu)ntomide su sombraR ! 1,5/m #! 1,8m %! 2,00m&! 2,55m '! 2,:/m

0. Hn soldado, tirado en el suelo observaun +edestal de 12m de altura, estesostiene un monumento de 13m dealtura. I quJ distancia en m! del+edestal se debe colocar el soldado+ara ver el +edestal y el monumentocon )ngulos de observación igualesR

! /0m #! 50m %! 80m&! 8/m '! 2m


θ

BA

#

D C

θ

A B

CD

M


12/20


1. &os botes son observados desde loalto de un faro en la misma dirección yen el mismo +lano vertical que

contiene al faro. 'l bote m)s cercanose observa con )ngulo de de+resión

αº y el otro con )ngulo de de+resiónde 3º. Si la altura del faro es de25m, ambos botes est)n se+arados+or 20m y el faro esta a 15m sobre el

nivel del mar, alle el valor de tgα.

!/

5#!

5

/%!

8

5

&!5

8 '!

8

2. &esde la +arte su+erior de un edificiode 1.3 metros de altura se observaun auto que se ale


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&!10

5'!

3 10

2

$0. Si cosθ ? cosθ, tgθ ? tgθ!,senθ! ? 1C3, alle el valor de 2

2 secθ ctgθ!. ! $ #! : %! 10&! 11 '! 12

$1. 'n la figura mostrada se tiene al

)ngulo θ en +osición normal. %alculeel valor numJrico de4

L ? 2 tgθ - 8 10 senθ - cosθ!

! 8 #! 8 %! 12&! 1$ '! 20

$2. Si 0º α 380ºB 0º θ 380ºB3

sen 1 cos tg/

π α − + θ = ÷ , calcule

T 2sen ! cos2

θ − α = α + θ + ÷ .

! 1 #! 0 %! 2

2

&! 1 '! 2

$3. &el gr)fico mostrado alle4

S ? senβ - tgα.

!

5#!

5

%!

2

5

&!5

'!

8

5

$/. &e la figura, si F ? F#, alle

' ? secθ cscθ senθ.

!180

81#!

180

81%!

181

80

&! 181

80'! 181

$5. &e la figura mostrada, G ? 18B 12!.

Aalle4 P ? tgα 3 ctgθ, % +araleloal e


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! 1C2 #! 2C3 %! 3C/&! /C5 '! 5C8

$. 'n la figura, alle el radio de lacircunferencia con centro en #, en

tJrminos de m y θ.

!( )

( )

mtg

1 tg

θ+ θ #!

( )

( )

m1 tg !

tg

+ θθ

%!( )

( )

mtg

1 tg

θ+ θ &!

( )mtg 1!

m 1

θ ++

'!( )tg .m 1!

m

θ +

$$. 'n la figura mostrada las coordenadasdel +unto son 2B 3!. %alcule elvalor numJrico de4

L ? 8 tgα! 13 cos2α!

! 28 #! 13 %! 5&! 5 '! 13

$:. &e la figura4 ? 0B /!# ? $B 5!% ? B 0!U 4 baricentro, de la región triangular

#%. Aalle tgθ!.

! 5C3 #! 3C5 %! 3C/&! /C3 '! 2

:0. 'n la figura mostrada, N ? 3N# y lascoordenadas del +unto N son a, 0!. Siel valor del )rea del tri)ngulo ;# es

a2, alle tgα!.

! 3

2 #! 2

3 %!1

3

&!2

3'!

3

2


0

y

x

B

AC

θ

($ 0)

θ

y

xB

α

y

x

A

0

y A

α

N

B

x

y

x

B

C

A

θ0


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:1. &e la figura, si tgα ? 5

12 y

senβ ? 10

13 , alle un valor a+ro*imado de tgθ.

! 0,/:2 #! 0,/2: %! 0,:/2&! 0,2/8 '! 0,2:/

:2. &ada la circunferencia, cuyo centroG! se encuentra en el e


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! 2

3#!

2

3%!

3

2

&!

3

2 '! 1

:8. Si f*! ? ctg cos* , 3

*/ /

π π< ≤ ,

alle la variación de f.

! 〈ctg1B - ∞〉#! 〈 ∞B ctg1M%! Qctg1B - ∞〉&! Q0B ctg1M

'! 〈0B ctg1M

:. Si α y β son dos )ngulos coterminalesy +ertenecen al %, entonces alsim+lificar4

sen sen tg'

cos .cos tg

α − β α= +

α β β , se obtiene4

! 2 #! 1 %! 0&! 1 '! 2

:$. Se tiene un )ngulo θ en +osiciónnormal que verifica las siguientescondiciones4

i. cosθ? cosθ

ii. tgθ ? tgθ

iii.

senθ ?5

3

Aalle F ? 5 cosθ - :cosθ ! 11 #! 10 %! :&! $ '! 8

::. Aalle el signo de la e*+resión ', en loscuatro cuadrantes4

1 cos sen sen cos !sen cos'

1 cos sen sen cos !

+ θ + θ + θ θ θ θ=

− θ − θ + θ θ

! -B -B -B - #! B B B

%! B -B B - &! -B B -B '! -B -B B

100. 'n la circunferencia trigonomJtricamostrada, alle la distancia entre los

+untos G y . m ¼ #G ? θ!.

! cosθ #! senθ%! cos2θ - sen2θ &! senθ - cosθ'! 2

101. 'n la circunferencia trigonomJtricamostrada, » »mG , m= θ = β , luego el)rea de la región triangular ;G, es4

!sen

3 2

θ + β ÷

#!sen

2 2

θ + β ÷

%! ( )sen

2β − θ &!

sen

2 2

θ − β ÷

'! 2senθ β!

102. &ado que4


y

0

x

'

α A

#

α

B

y

0x

'

A

#

Bθ

β


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2cosθ 1!cos* sen*! ? sen* - cos*y θ es del V%, entonces +odemosafirmar que * +ertenece4 ! solo al % #! solo al %%! solo al % &! solo al V%

'! l % ó V%

103. 'n la circunferencia trigonomJtricaque se muestra, alle el )rea de laregión triangular ;(W, en u2.

!1

2#!

1

2senα %!

1

2tgα

&! senα '! tgα

10/. 'n la circunferencia trigonomJtrica

mostrada » »mG , m 2= θ = θ , alle el)rea de la región triangular ;G.&ato4

senα β! ? senα cosβ senβ cosα.

! cosθ #! senθ %! cos2θ&! 1C2!cosθ '! 1C2!senθ

105. 'n la circunferencia trigonomJtrica

mostrada, ¼m;# = α . &etermine el)rea de la región triangular #%.

! cosα #! senα %! cosα&! cosα '! senα cosα

108. 'n la circunferencia trigonomJtrica

ad


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'! secθ - tgθ

10. 'n la circunferencia trigonomJtrica,mostrada, alle el )rea delcuadril)tero mostrado.

! 0,5tgθ - cscθ - 2!#! 0,5cscθ tgθ ctgθ%! 0,5tgθ - ctgθ cscθ!&! 0,5senθ cosθ - tgθ!'! 0,5senθ - cosθ ctgθ!

10$. nalice la verdad o falsedad de lassiguientes +ro+osiciones4

. sen30º senπC8!. coscos*! ≤ cos*, ∀ * ∈ ". csc* ctg* ! VVV #! VLL %! LLV&! VLV '! LLL

10:. %alcule el )rea de la regióntriangular sombreada4 G(W, lacircunferencia es la trigonomJtrica.

! 0,5tgθ #! 0,5cosθ - senθ - 1!%! 0,5cosθ - tgθ! &! 0,5 tgθ'! 0,5cosθ tgθ!

110. 'n la circunferencia trigonomJtricacalcule el valor del )rea de la región

sombreada. Si »mG ? α, m∠GW? :0º

!2 2

α π+ #!

2 /

α π− %! sen

2

α+ α

&! sen2 /

α π+ α − '! sen

2 2

α π+ + α

111.Si/

πα = , calcule4

csc 3 .ctg 85 .ctg /12 2 2

L35

cos .sen 2 .tg 1112 2 2

π π π α − α − α − ÷ ÷ ÷ =π π π α − α − α − ÷ ÷ ÷

! $ 2 #! / 2 %! 2 2

&! 2 2 '! 2

112. Si4


y

0 A

#

* (

W

θ

y

0

#

A

+

*

S

θ

y

0

#

A

+

*

B

α


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senα ? 3

5 ∧ α ∈ %

cosβ ? 5

13 ∧ β ∈ %

%alcule4

( )

( ) ( )

sen 3 cos sec2 2

L3

ctg tg csc2

π π + α + π − α + + β ÷ ÷ =

π α + π − β − − β − π ÷

!11

120#!

31

120%!

33

1/0

&!/1

120'!

51

1/0

113. l sim+lificar4

( )

( )

tg :: * .cos 3 * .sec,:0 *!2

Lctg :1 * .sen /0 *

2

π π + − π − ÷

= π + π + ÷

Se obtiene4

! sen* #! sec* %! tg*&! ctg* '! cos*

11/. "educir4

sen3130º.tg28$0º.cos3550º.ctg32$0ºLcos2830º .sen22:0º.sen110º.sec 2/00º

=

!2

2#!

3

2%!

3

2

&! 1

2'! 1

115. Si 4 * - y ? π

"educir4 L ? sencos*! -sencosy! ! sen* #! seny %! cos*&! cosy '! 0

118. Seg=n el gr)fico mostrado calcule4

( )sen *

tg *2L

cos * ctg */ /

α + β + θ + ÷ α + β + θ − = +α + β + θ α + β + θ − + ÷ ÷

! 2 #!

3

2 %! 0&! 2 '! 3

11. l sim+lificar4

cos *! ctg1$0 *! sen380º *!L

cos1$0º *! sen *!

− + + −= +

+ −se obtiene4

! csc* #! csc* %! sec*

&! sec* '! ctg*

11$. Si los )ngulos internos de untri)ngulo #% est)n en +rogresiónaritmJtica. # %! reducir4

sen 2% 3#! cos# 2 3%!L

sen# %! cos# %!

+ + + += +

− −

! 2 #!

1

2 %! 0

&!1

2'! 1

11:. Si a ? sen200/º y b ? cos200/ºB

entoncesa

b es4

! ctg2/º #! tg/2º %! tg1/º&! ctg88º '! tg3/º


β

α

θ


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120. "educir L ? tg2 - #! ctg %!donde y # son los )ngulos de untri)ngulo.

!1

2#! 1 %! 1

&! tg2# '! ctg2#

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1º seminario de trigonometría preuniversitario-2006-I - Henry.doc