002 Kimia Kuantum Modul 2

8/18/2019 002 Kimia Kuantum Modul 2

1/12

IGMA SANJAYA-KIMIA KUANTUM 1

MODUL 2:

LANDASAN KIMIA KUANTUMKimia kuantum merupakan cabang ilmu kimia dengan fokus utama membahas penerapan

mekanika kuantum pada model fisik dan percobaan dari sistem kimia. Kimia kuantum juga sering

disebut sebagai mekanika kuantum molekular.

Perkembangan kimia kuantum bergantung pada prinsip dasar mekanika kuantum dan penerapannya

pada ilmu kimia. Dalam rangka mempelajari prinsip dasar mekanika kuantum tersebut, maka dalam

modul ini dibahas postulat yang mendasari perkembangan mekanika kuantum.

2.1. Fungsi gelombang

Postulat pertama mekanika kuantum menyatakan bahwa keadaan sistem secara lengkap

ditentukan dengan fungsi gelombang yang bergantung pada koordinat partikel dan waktu, = , (2.1)

Fungsi (huruf besar psi) merupakan fungsi matematika yang disebut fungsi keadaan (state function)atau fungsi gelombang (wave function). Fungsi tersebut merupakan fungsi dari koordinat partikel dan waktu

.

Fungsi gelombang memberikan informasi lengkap bagi sistem partikel, termasuk sistem yang tersusun

atas lebih dari satu partikel. Sebagai contoh sistem satu partikel dalam tiga dimensi ditulis dengan

notasi = , = , ,, dengan = , , merupakan koordinat partikel, sistem duapartikel ditulis sebagai = , , = . . . . . . dengan = . . merupakan koordinat dari partikel 1 dan = . . merupakan koordinat dari partikel 2, danseterusnya.

Fungsi gelombang tidak memiliki arti fisik, namun fungsi gelombang tersebut memuat semuainformasi yang dapat diukur tentang partikel. Max Born pada tahun 1926 memberikan interpretasi

bagi fungsi gelombang

. Born menjelaskan bahwa fungsi gelombang

mengandung seluruh

informasi dinamik dari sistem dan kuadrat fungsi gelombang tersebut pada suatu lokasi menentukan

kebolehjadian atau probabilitas menemukan partikel dalam lokasi tersebut,

= ||dτ (2.2)Penjelasan Born sebenarnya merupakan interpretasi bagi fungsi gelombang satu dimensi. Namun

sebagai generalisasi, interpretasi kuadrat fungsi gelombang dari Born pada persamaan (2,2) telah

diperluas pada penerapan dalam ruang tiga dimensi. Pada persamaan tersebut, merupakankebolehjadian menemukan partikel, d=ddd merupakan elemen volume dari ruang tigadimensi, || merupakan nilai mutlak dari .Fungsi gelombang merupakan kuantitas kompleks, sedangkan sistem merujuk pada partikel nyata.Dengan demikian kuadrat fungsi gelombang || yang menunjukkan rapat kebolehjadian


2/12


menemukan partikel secara nyata, harus melibatkan konjugat kompleks ∗ dari fungsi gelombang.Kebolehjadian menemukan partikel pada persamaan (2.2) lalu dapat diekspresikan dengan

melibatkan fungsi gelombang partikel dan konjugat kompleksnya,

= ∗dτ (2.3)Sebagai contoh, fungsi gelombang yang merupakan kuantitas komplek didefinisikan dalam bentuk

= + i , dengan f dan g merupakan fungsi-fungsi nyata sedangkan i = √ 1 merupakan bilanganimaginer. Konjugat kompleksnya menjadi ∗ = i . Untuk mendapatkan konjugat kompleksnya,bentuk i dalam fungsi gelombang harus diganti dengan – i. Berdasarkan hal ini maka rapatkebolehjadian menjadi nyata karena merujuk pada keberadaan partikel secara nyata, tidak negatif dan

tidak melibatkan keadaan imaginer, ∗ = + .Tidak semua fungsi gelombang dapat dipakai sebagai identitas keadaan sistem dalam mekanika

kuantum. Fungsi gelombang yang dipakai mewakili sistem partikel harus memenuhi tiga syarat, yaitu:

(1) fungsi gelombang harus bernilai tunggal, (2) fungsi gelombang harus kontinu, dan (3) fungsi

gelombang harus kuadratik integrabel atau memiliki bentuk kuadrat yang dapat diintegrasimenghasilkan nilai tunggal tertentu.

Fungsi gelombang yang memenuhi syarat pertama harus merupakan fungsi gelombang yang memiliki

satu dan hanya satu nilai pada setiap titik dalam ruang. Fungsi gelombang yang memiliki lebih dari

satu nilai pada setiap titik dalam ruang tidak memenuhi syarat untuk mewakili sistem partikel. Sebagai

contoh suatu fungsi dalam arah x, , yang ditunjukkan pada gambar 2.1. tidak memenuhipersyaratan untuk mewakili sistem partikel dalam satu dimensi. Fungsi tersebut tidak bernilai tunggal

karena memiliki lebih dari satu nilai pada beberapa titik dalam koordinat x.

Gambar 2.1. Suatu fungsi multinilai yang tak memenuhi fungsi gelombang sistem

Syarat kedua mengharuskan fungsi gelombang kontinu, tidak terputus-putus. Nilainya tidak boleh

membuat lompatan sehingga tidak bersambung atau diskontinu antara satu titik dengan titik yang

lain. Sebagai contoh fungsi gelombang diskontinu pada gambar 2.2. tidak dapat mewakili sistem dalam

mekanika kuantum karena memiliki lompatan nilai dari satu titik ke titik yang lain.

Gambar 2.2. Suatu fungsi diskontinu yang tak memenuhi fungsi gelombang sistem

x

y

y

x


3/12


Syarat ketiga menunjukkan bahwa fungsi gelombang yang tidak kuadratik integrabel atas seluruh

bagian ruang tidak dapat dipakai merepresentasikan sistem dalam mekanika kuantum. Sebagai contoh

fungsi yang dinyatakan sebagai = pada gambar 2.3. merupakan fungsi yang tidak kuadratikintegrabel. Hasil integrasi fungsi kuadratnya dalam selang ∞ sampai +∞ menghasilkan nilai tidakhingga, ∫ 4d = ∞ − ∞ = ∞.

Gambar 2.3. Suatu fungsi tidak kuadratik integrabel yang tak memenuhi fungsi gelombang sistem

Fungsi gelombang yang memenuhi ketiga syarat di atas disebut sebagai fungsi gelombang yang

berperilaku baik atau well behaved .

Fungsi gelombang partikel boleh jadi berada pada rentang lokasi ∞ sampai ∞. Kebolehjadiantotalnya merupakan jumlah seluruh kebolehjadian-kebolehjadian dalam rentang lokasi dari ∞ sampai ∞. Kebolehjadian total tersebut diekspresikan sebagai integral dari sejumlah kuadrat fungsigelombang atas keseluruhan bagian ruang. Menurut syarat ketiga dari fungsi gelombang di atas,

kebolehjadian total harus dapat menunjukkan kepastian bernilai tunggal,

∫ ∗ d τ = 1

− (2.4)

Sebagai contoh atom hidrogen memiliki satu elektron, maka kebolehjadian total harus memberi

kepastian hanya menemukan satu elektron dalam total ruang atom hidrogen. Fungsi gelombang yang

memenuhi hal ini disebut ternormalisasi.

Fungsi gelombang yang tidak memenuhi persamaan (2.4) merupakan fungsi gelombang yang belum

ternormalisasi. Sebagai contoh fungsi gelombang yang belum ternormalisasi yang memiliki kuadratik

integrabel bernilai ,∫ ∗ d τ = − (2.5)

Syarat ketiga memungkinkan fungsi gelombang dapat dinormalisasi dengan cara mengalikannyadengan suatu konstanta yang mampu menormalisasikannya. Dalam kasus persamaan (2.5) konstanta

yang dimaksudkan adalah 1 ⁄ . Fungsi gelombang hasil kali tersebut menjadi fungsi gelombangternormalisasi

karena dapat memenuhi persamaan (2.4),

∫ ∗ d τ = 1− (2.6)

Contoh soal:

Tentukanlah bentuk gelombang ternormalisasi bila kebolehjadian menemukan elektron dalam ruangsuatu atom sama dengan dua.

x

y


4/12


Diketahui:

∫ ∗ d τ = 2− Jawab:

Fungsi gelombang ternormalisasi menjadi:

√ Sehingga memenuhi keadaan ternormalisasi

∫ ∗ d τ = 1−

Hal lain yang perlu diperhatikan dari suatu fungsi gelombang berhubungan dengan fungsi gelombang

ternormalisasi adalah fungsi gelombang bersifat ortogonal yang harus memenuhi syarat ortogonalitas,

∫ ∗ d τ = 0

− (2.7)bagi ≠ . Fungsi gelombang yang memenuhi syarat yang ditunjukkan persamaan (2.4) danpersamaan (2.7) disebut dengan fungsi gelombang ortonormal yang memenuhi syarat normalitas dan

ortonornalitas,

∫ ∗ d τ = − (2.8)dengan disebut delta Kronikle yang memiliki nilai = 1 untuk = karena memenuhisyarat normalitas pada persamaan (2.4) dan = 0 untuk ≠ karena memenuhi syaratortogonalitas pada persamaan (2.7).

2.2.

Operator

Postulat kedua mekanika kuantum menyatakan bahwa untuk suatu variabel dinamika atau

observable (yang dapat diamati) selalu berkaitan dengan suatu operator Hermite.

Postulat kedua ini menunjukkan bahwa setiap variabel dinamika yang diamati pasti memiliki padanan

operator Hermite dalam mekanika kuantum. Operator Hermite digunakan untuk menghasilkan

informasi tentang variabel dinamika seperti energi, momentum, kecepatan, posisi dan lain-lain.

Yang dimaksud dengan operator adalah sesuatu yang bekerja pada suatu keadaan untuk

menghasilkan keadaan yang lain. Operator mengubah suatu fungsi menjadi fungsi yang lain. Suatu

operator ditulis dengan huruf kapital yang diberi topi. Sebagai contoh merupakan operator .Operator hermite disyaratkan dalam mekanika kuantum karena harus menghasilkan nilai nyata. Sifat

fisik seperti energi, posisi, momentum dan lain-lain sebagai hasil kerja operator dalam pengukuran

memiliki nilai nyata.

Beberapa operator Hermite yang umum dipakai dalam mekanika kuantum dapat dilihat pada tabel

sebagai berikut.

Tabel 2.1. Observable atau variabel dinamik dan operator Hermite yang terkait.

Observable Simbol

operator

Operasi kerja dari operator

Nama simbol

Posisi ̂ dikalikan dengan


5/12


Momentum ℏ( +

+

) Energi kinetik ℏ2

+

+

Energi potensial dikalikan dengan Energi total

ℏ

+

+

+

Momentum sudut ℏ( ) ℏ(

) ℏ(

)

Catatan untuk operator energi kinetik dalam mekanika kuantum, operator tersebut juga sering ditulis

dengan menggunakan notasi yang lain, = ℏ ∇, dengan ∇=

+

+

.Operator posisi ̂ dan operator momentum dalam mekanika kuantum disebut sebagai operatorfundamental. Operator-operator yang lain seperti operator energi kinetik, operator energi total,operator momentum sudut dan lain-lain dapat diturunkan dari kedua operator ini.

Contoh soal:

Tentukan bentuk operator energi kinetik dari partikel yang bergerak pada arah dalam mekanikakuantum

Rasional:

Energi kinetik: = v =

= Diketahui:

= =ℏ

Jawab:

= (ℏ ) = ℏ

2.3. Nilai Eigen

Postulat ketiga dalam mekanika kuantum menyatakan bahwa setiap pengukuran variabel dinamik

yang dapat diamati (observable) selalu berkaitan dengan operator , nilai yang diamati merupakannilai eigen atau eigen value yang memenuhi persamaan nilai eigen,

= (2.9)Postulat ketiga ini merupakan titik pusat dari mekanika kuantum.

Nilai eigen dalam mekanika kuantum haruslah nyata, tidak boleh mengandung i = √ 1, karenadihasilkan sebagai hasil kerja operator Hermite. Nilai-nilai variabel dinamis yang dihasilkan dapat

terkuantisasi, walaupun masih mungkin menghasilkan nilai eigen yang kontinu yaitu pada kasuspartikel bebas.


6/12


Bila sistem merupakan keadaan eigen atau eigenstate dari operator dengan nilai eigen , makasetiap pengukuran besaran pasti menghasilkan . Fungsi eigen tersebut dapat selalu dipilihsedemikian rupa sehingga disamping ternormalisasi juga orthogonal, atau dengan kata lain fungsi

eigen harus ortonormal. Keadaan ini sangat berguna karena dapat menyederhanakan perhitungan

secara matematis.

Contoh soal:

Tentukan energi kinetik dari sistem satu partikel yang bergerak bebas dalam satu dimensi arah dimana sistem partikel tersebut direpresentasikan dengan fungsi gelombang = dan = ℏ dan energi total dari partikel tersebut dalam bergerak pada arah sama dengan 9 × 1 0− Joule.

Diketahui:

Operator energi kinetik satu dimensi: = ℏ

= Jawab:

= ℏ

= ℏ

− = ℏ

= ℏ = ℏ

ℏ = = 9 × 1 0−J.

Energi kinetik partikel bebas arah sama dengan energi total partikel arah Hal penting yang perlu difahami dari postulat ketiga adalah bahwa setelah pengukuran dapatmenghasilkan beberapa nilai

. Fungsi gelombang

terurai menjadi beberapa keadaan eigen

yang

berkaitan. Pada kasus terdegenerasi maka merupakan proyeksi dari pada bagian ruangterdegenerasi. Dengan demikian pengukuran mempengaruhi keadaan sistem. Fakta ini digunakandalam memperluas uji eksperimental dari mekanika kuantum.

2.4. Nilai ekspektasi

Postulat keempat mekanika kuantum menyatakan bahwa jika sistem berada dalam keadaan yang

digambarkan dengan suatu fungsi gelombang ternormalisasi maka nilai rata-rata dari variabelyang dapat diamati yang berkaitan dengan ditentukan melalui

〈〉 = ∫ ∗ − (2.10)Karena kuantitas yang diukur berkaitan dengan ketidak pastian, maka melalui postulat ini dapat

diinterpretasikan bahwa nilai rata-rata efektif 〈〉 dari pengukuran kuantitas yang diharapkanmuncul dari sejumlah pengukuran. Hal itu menyebabkan nilai rata-rata efektif 〈〉 disebut sebagai nilaiekspektasi atau nilai harapan yang dihasilkan dari pengukuran. Sebagai contoh nilai ekspektasi radius

elektron dalam keadaan dasar dari atom hidrogen sama dengan nilai rata-rata efektif 〈〉 yangdiharapkan muncul dari sejumlah besar pengukuran radius tersebut pada atom hidrogen.

Persamaan (2.10) memiliki bentuk yang berbeda bila fungsi gelombang yang digunakan dalam

pengukuran bukan fungsi gelombang yang ternormalisasi,


7/12


〈〉 = ∫ ∗∫ ∗ (2.11)Formulasi ini menunjukkan bahwa fungsi gelombang yang belum ternormalisasi harus dinormalisasi

terlebih dulu dengan cara yang ditunjukkan dengan persamaan (2.4).

Contoh soal:

Partikel bermassa 1,6×10−kg yang bergerak dengan energi 3,2×10−J satu dimensi arah ditentukan dengan fungsi gelombang = dengan = ℏ . Tentukan hasil pengukuranterhadap momentum dari partikel yang bergerak bebas dalam satu dimensi arah tersebut.Diketahui:

Operator momentum satu dimensi: =ℏ dengan vektor satuan arah =

Jawab:

Nilai ekspektasi momentum pada arah 〈〉 = ∫ ∗

∫ ∗

=∫ − ℏ dx−

∫ ∗dx−

=ℏ[]

∫ ∗dx−∫ ∗dx−

=ℏk = 2 = 2 × 1 , 6 × 1 0−k g × 3 , 2 × 1 0−J = 3,2 × 10−kg.m.s− =

Jadi = 3 , 2 × 1 0−kg.m.s− 2.5. Persamaan Schrödinger

Mekanika kuantum berkembang pesat setelah penemuan sifat dualitas gelombang-partikel yangditegaskan melalui hipotesis de Broglie dan pembatasannya dalam menjelaskan sistem mikroskopis

yang diatur dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg. Werner Heisenberg pada tahun 1925

menjelaskan mekanika ini secara matriks yang kemudian dikenal sebagai mekanika matriks. Dengan

cara berbeda, Erwin Schrödinger pada tahun 1926 menjelaskan mekanika kuantum dengan cara

meneruskan ide gelombang dari de Broglie yang kemudian lebih dikenal sebagai mekanika gelombang.

Kedua mekanika tersebut, yaitu mekanika matriks dan mekanika gelombang, memberikan hasil yang

ekivalen dan menjadi kajian utama dalam mekanika kuantum.

Penjelasan Erwin Schrödinger tentang mekanika kuantum yang kemudian disebut persaman

Schrödinger merupakan sesuatu yang baru. Persamaan tersebut lebih bersifat sebagai fostulat karena

kebenarannya tidak dapat diturunkan dari penjelasan fisika yang ada pada saat itu. Persamaan


8/12


Schrödinger tersebut melibatkan sistem yang bergantung pada waktu dan sistem yang tidak

bergantung waktu.

2.5.1. Persamaan Schrödinger bergantung waktu

Postulat kelima mekanika kuantum menyatakan bahwa fungsi gelombang atau fungsi keadaan

suatu sistem yang bergerak terhadap waktu ditentukan dengan persamaan Schrödinger yang

bergantung waktu,

ℏ , = , (2.12)Notasi pada postulat kelima ini merupakan operator Hamilton, suatu operator yang berhubungandengan variabel dinamika energi total dari partikel seperti ditunjukkan dalam tabel 2.1. Dengan

menerapkan bentuk-bentuk operator energi tersebut, persamaan Schrödinger bergantung waktu

dapat ditulis dengan notasi yang lebih panjang,

ℏ , = ℏ , + , + , + , (2.13)atau

ℏ , = ℏ

∇, + , (2.14)Persamaan Schrödinger bergantung waktu berlaku bagi partikel yang bergerak bebas tanpa potensial

= 0, partikel bebas yang bergerak dengan potensial tetap =konstan, sampai partikel yangmengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu. Persamaan Schrödinger ini

secara nyata telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil-hasil eksperimen.

Walaupun demikian, persamaan Schrödinger tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisikayang ada.

Persamaan yang diajukan oleh Erwin Schrödinger pada tahun 1926 ini merupakan sesuatu yang baru

yang tidak dapat diturunkan dengan metode elementer. Persamaan ini dianggap sebagai satu postulat

dalam mekanika kuantum. Nilai kebenaran persamaan Schrödinger secara wajar diperoleh tanpa

melalui penurunan rumus, melainkan atas dasar hasil-hasil yang diturunkan dari persamaan

Schrödinger itu sendiri.

Persamaan Schrödinger sebagai postulat kelima ini merupakan persamaan pokok dalam mekanika

kuantum. Persamaan Schrödinger bergantung waktu merupakan hukum dinamika dalam mekanika

gelombang yang menjadi cabang dari mekanika kuantum.

Persamaan Schrödinger bergantung waktu mengandung turunan awal persamaan gelombang dari

gerak partikel yang bergantung pada waktu. Hal ini memungkinkan untuk menentukan keadaan fungsi

gelombang partikel pada waktu tertentu jika diketahui fungsi gelombang partikel pada saat awal .Evolusi waktu atau kebergantungan waktu dari suatu keadaan dihasilkan dengan menyelesaikan

persamaan Schrödinger tersebut. Sebagai contoh dapat ditentukan fungsi gelombang dari partikel

bebas yang tanpa energi potensial membatasi geraknya atau = 0 sebagai penyelesaianpersamaan Schrödinger bergantung waktu,

, = A∙−

(2.15)


9/12


Notasi A menandai amplitude, vektor gelombang, frekuensi anguler, dan perkalian skalar duabuah vektor menghasilkan bentuk skalar = ∙ . Penyelesaian persamaan Schrödinger ini diperoleh melalui anggapan bahwa fungsi gelombang , merupakan hasil kali dari bagian fungsi gelombang yang hanya bergantung ruang yang ditulisdengan psi dalam hurup kecil dan bagian fungsi gelombang yang hanya bergantung pada waktu ,, = (2.16)Berdasarkan hal ini persamaan Schrödinger (2.12) dapat dipisahkan menjadi bagian yang hanya

bergantung pada waktu dan bagian yang hanya bergantung pada posisi,

ℏ

f = (2.17)

Operasi kerja dari operator Hamilton yang tidak bergantung waktu pada fungsi gelombang yanghanya bergantung pada posisi menghasilkan energi total dari partikel pada posisi tersebut. Karenabagian kanan persamaan (2.17) menghasilkan energi total dari partikel maka bagian kirinya juga

menghasilkan hal yang sama,

ℏ

f = = (2.18)

Penyelesaian bagian persamaan ini yang hanya bergantung waktu lalu menjadi setara dengan − ℏ⁄ dan penyelesaian bagian yang hanya bergantung posisi setara dengan . Substitusi hasil-hasil inipada persamaan (2.16) dan penyetaraan hasilnya dengan persamaan (2.15) menyebabkan diperoleh

nilai dari momentum anguler, yaitu = ℏ⁄ yang sebanding dengan = ℎ⁄ . Kesebandingan inimenunjukkan hubungan antara energi dengan frekuensi seperti yang dipakai Planck, Einstein, dan

Bohr yang dihasilkan dari penyelesaian persamaan Schrödinger bergantung waktu.

Kebergantungan waktu osilasi dari amplitude kebolehjadian tidak mempengaruhi rapat kebolehjadian

atau sifat variabel dinamika yang teramati karena dalam perhitungan besaran-besaran ini, bagian

imaginer hilang melalui perkalian dengan kompleks konjugasinya seperti ditunjukkan pada persamaan

(2.4).

2.5.2. Persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu

Persamaan Schrodinger dapat diturunkan untuk menghasilkan persamaan (2.17) dengan

menggunakan prinsip pemisahan variabel. Bagian kiri persamaan tersebut merupakan bagian yang

hanya bergantung waktu dan bagian kanan hanya bergantung posisi.

Bagian kanan persamaan (2.17) yang tidak bergantung waktu dapat digunakan untuk memrediksikan

bahwa fungsi gelombang dapat membentuk keadaan stasioner. Keadaan yang juga disebut sebagai

orbital, seperti orbital dalam atom maupun orbital dalam molekul. Keadaan stasioner ini sangat

penting dalam mekanika kuantum. Keadaan stasioner dapat digunakan untuk lebih memudahkan

dalam menyelesaikan persamaan Schrodinger bergantung waktu pada setiap keadaan.

Orbital sebagai keadaan stasioner yang berada dalam atom maupun dalam molekul adalah tetap

dalam waktu. Hal ini terjadi karena gaya-gaya yang bekerja dalam sistem atom atau sistem molekul

yang terisolasi hanya bergantung pada posisi atau koordinat partikel.

Operator Hamilton yang bekerja pada sistem atom atau sistem molekul yang terisolasi tidak

bergantung pada waktu. Seperti telah dijelaskan di atas, ini menyebabkan bagian yang tidak

bergantung waktu dari persamaan (2.17) menghasilkan energi total partikel sebagai nilai eigen dari


10/12


operasi kerja operator Hamilton yang tidak bergantung waktu pada fungsi gelombang partikel yang

hanya bergantung pada posisi,

= (2.19)atau

ℏ ∇ + = E (2.20)yang ditulis dengan menerapkan definisi operator Hamilton yang ditunjukkan pada tabel 2.1.

Persamaan (2.19) atau persamaan (2.20) disebut sebagai persamaan Schrödinger yang tidak

bergantung waktu. Persamaan tersebut menjelaskan bahwa bila operator Hamilton bekerja padafungsi gelombang dengan hasil yang sebanding dengan fungsi gelombang yang sama maka merupakan suatu keadaan stasioner dan tetapan kesebandingan merupakan energi darikeadaan stasioner tersebut.Penyelesaian Persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu (2.19) atau (2.20) merupakanfungsi gelombang yang tidak bergantung waktu dan hanya merupakan fungsi posisi atau koordinat

partikel,

= (2.21)Keadaan yang menghasilkan sebagai fungsi gelombang yang hanya bergantung posisi atau koordinatpartikel disebut keadaan stasioner. Pada keadaan ini rapat kebolehjadian dan rapat energi bersifat

konstan terhadap waktu. Keadaan stasioner menunjukkan tempat keberadaan partikel dalam sistem

terisolasi dalam atom maupun dalam molekul.

Contoh soal:

Tentukan fungsi gelombang dari partikel yang bergerak bebas dalam satu dimensi arah sebagaipenyelesaian persamaan Schrödinger yang tidak bergantung waktu.

Diketahui:

= ℏ

+ = 0 untuk partikel bebas

Jawab:

= ℏ2

=

=

2ℏ

Dengan mendefinisikan = dan = ℏ diperoleh + = 0

Karena

≠ 0, maka ini terpenuhi bagi

+ = 0 atau + = 0


11/12


Dengan demikian

+ = 0 menghasilkan ~− = 0 menghasilkan ~ Fungsi gelombang sebagai penyelesaian persamaan Schrödinger menjadi

= + − dengan dan merupakan tetapan.

2.6. Permutasi simetri dari fungsi gelombang

Postulat keenam mekanika kuantum menyatakan bahwa semua fungsi gelombang harus

antismetrik terhadap pertukaran semua koordinat dari satu permion dengan yang lainnya. Spin

elektronik harus dimasukkan dalam himpunan koordinat tersebut.

Dalam pemahaman terhadap postulat keenam ini, perlu diketahui bahwa ada dua jenis partikel yang

dikelompokkan dengan bilangan kuantum spin. Partikel-partikel dengan bilangan kuantum spin bulat

seperti 0, 1, 2, 3 dan seterusnya disebut boson, contohnya inti atom helium dan foton. Sedangkan

partikel-partikel dengan bilangan kuantum spin setengah bulat seperti 1 2⁄ , 3 2⁄ , 5 2⁄ dan seterusnyadisebut fermion, contohnya elektron dan proton.

Kelompok partikel fermion dan kelompok partikel boson mengikuti aturan yang berbeda dan memiliki

peran yang berbeda pula. Kunci perbedaan kedua kelompok partikel tersebut adalah pada prinsip

eksklusi Pauli yang diikuti secara ketat oleh kelompok partikel fermion, yaitu: tidak dapat dua fermion

yang identik secara simultan memiliki semua bilangan kuantum yang sama. Sedangkan kelompok

partikel boson tidak mengikuti prinsip eksklusi Pauli, tetapi mengikuti aturan statistik Bose-Einsteindan tidak mempunyai batasan. Partikel boson dengan partikel boson yang lain dapat berada bersama

pada keadaan yang identik.

Fungsi gelombang, seperti telah dijelaskan pada postulat pertama, selain dapat memberikan informasi

bagi sistem satu partikel juga dapat memberikan informasi untuk sistem yang tersusun lebih dari satu

partikel,

= , , … , N, (2.22)Notasi menandai posisi partikel ke- dalam ruang tiga dimensi. Fungsi gelombang dalam persamaanini merupakan fungsi kompleks dengan variabel

3 + 1.

Dalam mekanika kuantum, ada perbedaan mendasar di antara partikel-partikel identik dengan

partikel-partikel yang dapat dibedakan. Sebagai contoh dua elektron merupakan partikel identik yang

secara fundamental tidak dapat dibedakan.

Partikel-partikel yang dapat dibedakan tidak mempunyai sejumlah bilangan kuantum yang sama

sehingga tidak ada syarat fungsi gelombang harus simetrik atau anti simetrik terhadap pertukaran

koordinat. Namun untuk partikel-partikel identik, agar diketahui pertukaran posisi antara partikel satu

dengan yang lain, maka fungsi gelombang harus simetrik atau antisimetrik terhadap pertukaran

koordinat,

… , , … , b, … = ±… , , … , , … (2.23)


12/12


Tanda + digunakan bagi partikel-partikel yang semuanya boson, sedangkan tanda – dipakai untukpartikel-partikel yang semuanya fermion. Fungsi gelombang simetrik secara total dalam posisi-posisi

boson, sedangkan antisimetrik secara total dalam posisi-posisi fermion. Fitur antisimetrik dari fermion

mengikuti prinsip eksklusi Pauli.

Fungsi gelombang total, berdasarkan persamaan (2,23), harus antisimetrik terhadap pertukaran darisemua koordinat, yaitu koordinat ruang spasial maupun koordinat spin, dari satu fermion dengan

fermion-fermion yang lain. Sedangkan boson pasti simetrik pada operasi semacam itu.

Permutasi simetri dari fungsi gelombang akan dibahas lebih lanjut pada perkuliahan tentang spin

elekron.

Ringkasan

Perkembangan kimia kuantum bergantung pada prinsip mekanika kuantum yang diterapkan

pada ilmu kimia. Ada enam postulat dasar yang mendasari perkembangan prinsip mekanika kuantum,

yaitu tentang: fungsi gelombang, operator, nilai eigen, nilai ekspektasi, persamaan Schrödinger, dan

permutasi simetri. Fungsi gelombang merepresentasikan informasi secara lengkap tentang sistem

partikel. Variabel dinamika yang dapat diobservasi dari sistem memiliki padanan operator Hermite

dalam mekanika kuantum. Nilai yang dihasilkan dari operasi kerja operator Hermite pada suatu

keadaan eigen dari sistem disebut sebagai nilai eigen. Pengukuran nilai suatu kuantitas yang memiliki

variasi sangat besar terhadap fungsi eigen menghasilkan nilai rata-rata efektif yang disebut sebagai

nilai ekspektasi. Fungsi gelombang pada setiap lokasi dihasilkan dari penyelesaian persamaan

Schrödinger yang bergantung waktu. Fungsi gelombang stasioner yang menggambarkan sistem hanya

bergantung pada posisi dapat dihasilkan dari penyelesaian persamaan Schrödinger yang tidak

bergantung waktu. Fungsi gelombang sebagai penyelesaian persamaan Schrödinger disamping

memberikan informasi lengkap untuk satu partikel, juga bagi sistem banyak partikel atau sistemdengan jumlah partikel lebih dari satu. Bagi sistem dengan partikel-partikel yang identik maka fungsi

gelombang totalnya harus antisimetrik terhadap pertukaran dari semua koordinat dari satu fermion

dengan fermion-fermion yang lain.

Soal-soal

1.

Analisis apakah fungsi gelombang cosinus merupakan fungsi gelombang yang well behaved .

2. Buatlah fungsi gelombang ternormalisasi yang jumlah total kebolehjadiannya bernilai 27 3. Analisis mengapa perhitungan secara matematis dalam mekanika kuantum dapat

dimudahkan dengan penggunaan fungsi gelombang yang bersifat ortonormal4.

Turunkan operator momentum sudut partikel dari operator fundamental posisi dan

momentum.

5. Bila fungsi gelombang dinyatakan sebagai , = − tentukan nilai ekspektasi daripengukuran energi kinetik.

6.

Tentukan fungsi gelombang dari partikel yang bergerak dalam ruang waktu sebagai

penyelesaian persamaan Schrodinger bergantung waktu.

Documents

002 Kimia Kuantum Modul 2