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UUNIVERSIDADNIVERSIDAD P POLITÉCNICAOLITÉCNICA DEDE M MADRIDADRIDDDEPARTAMENTOEPARTAMENTO DEDE M MATEMÁTICAATEMÁTICA A APLICADAPLICADA (E.U.I.T.I.) (E.U.I.T.I.)

AAMPLIACIÓNMPLIACIÓN DEDE M MATEMÁTICASATEMÁTICAS (P (PLANLAN 2.002) 2.002)CCURSOURSO 2.007 / 2.008 2.007 / 2.008

MMATERIALATERIAL PARAPARA P PROFESORESROFESORES

INTRODUCCIÓNA continuación, y Tema a Tema, se recogen los correspondientes Objetivos así como enunciados de Cuestiones y Problemas.Las Cuestiones y Problemas con asterisco (*) NO se realizarán en clase: son para que el Alumno practique por su cuenta.

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I.- CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

1.- FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. LÍMITES. CONTINUIDAD. DERIVACIÓN PARCIAL

OBJETIVOS:Analizar los conceptos de límite, continuidad, derivadas parciales y direccionales de una función real de varias variables reales. Se hará especial énfasis en los aspectos de tipo gráfico y geométrico.

CUESTIONES1) Represéntense gráficamente cada uno de los conjuntos siguientes:

a) b)

2) Hállese el dominio de las siguientes funciones:a) b)

3) Dada se define conjunto de nivel de valor como el conjunto dado por . Cuando se denominan curvas de nivel, y cuando superficies de nivel. Descríbanse las curvas o superficies de nivel de las siguientes funciones:

a) b) c)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

es continua en .

(Cuestión 1 propuesta en Junio del 2.007)

5) Estúdiese si es verdadero o falso la que dados y

se verifica que .(Cuestión 1 propuesta en Febrero del 2.007)

6) Dada la función si , , estúdiese su

continuidad.UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (E.U.I.T.I.) – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (PLAN 2002)

CURSO 2.007 / 2.008 - MATERIAL PARA PROFESORES - 2 de 17

(Cuestión 1 propuesta en Septiembre del 2.006)

══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Calcúlense los siguientes límites cuando existan:a) b) c)

2) Calcúlese donde .

3) Estúdiese si existen las derivadas parciales de primer orden en de la función

.


4) Sea si y . Calcúlense ( ) y

( ).══════════════════════════════════

2.- FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL. LA DIFERENCIAL

OBJETIVOS:Definir los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad para funciones vectoriales de variable vectorial. Se comenzará por la diferencial de una función real de dos variables reales remarcando las implicaciones geométricas.

CUESTIONES

1) Hállese el dominio de la función .

2) Dada la función , obténgase, si existe,

.

3) Estúdiese la continuidad de la función vectorial de variable vectorial .

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA (E.U.I.T.I.) – AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (PLAN 2002)CURSO 2.007 / 2.008 - MATERIAL PARA PROFESORES - 3 de 17

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:La densidad de una sal en un disolvente viene dada por

. La dirección que debe seguirse empezando en el punto para que la variación de densidad sea máxima es .

(Cuestión 1 propuesta en Febrero del 2.006)

══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Hállese el plano tangente a la superficie paralelo al plano .

2) Dada la función :

a) Estúdiese la continuidad de en .b) Estúdiese la diferenciabilidad de en .(Problema 1 propuesto en Junio del 2.004)

3) (*) Dada la función :

a) Estúdiese continuidad, existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad de en .

b) Estúdiese la diferenciabilidad de en .(Problema 1 propuesto en Septiembre del 2.004 [modificado])

4) Dada la función , se pide:

a) Estúdiese la continuidad de .b) Hállense las derivadas parciales de .c) Estúdiese la diferenciabilidad de en .(Problema 1 propuesto en Junio del 2.006)

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3.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS. REGLA DE LA CADENA

OBJETIVOS:Analizar, comprender y manejar la diferencial de una función de función.

CUESTIONES


1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Sean con y con . Sea

. Si la matriz jacobiana de en es , obténganse

y .(Cuestión 1 propuesta en Junio del 2.006 [modificada])

2) Dada con e , calcúlense ( ) y ( ).

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Si es una función derivable, entonces la función verifica la ecuación .


══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Dadas y , pruébese que es diferenciable en y lo es en . Calcúlese la matriz jacobiana de

en .

2) Dadas y , calcúlense:

a) .

b) (*) .══════════════════════════════════

4.- FUNCIONES INVERSAS E IMPLÍCITAS

OBJETIVOS:Analizar y comprender el enunciado de los teoremas de la función inversa y de la función implícita. Aprender a obtener la diferencial de la función inversa y diferenciales y derivadas de funciones implícitas, insistiendo en los casos que se presentan más frecuentemente y en los aspectos geométricos involucrados.

CUESTIONES1) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

Sea derivable y con derivada continua tal que . Entonces la función admite inversa

local diferenciable en todo punto de .(Cuestión 2 propuesta en Septiembre del 2.005)


2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:La ecuación define implícitamente a como

función de , , en un entorno del punto . Entonces se

verifica que la derivada de en el punto es . (Cuestión 2 propuesta en Junio del 2.007)

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Sea derivable de orden dos con . La ecuación

define implícitamente en un entorno del punto una función , y la recta tangente a dicha curva en el punto es .


4) Obténgase la tangente a la curva intersección de las superficies , en el punto .

(Cuestión 2 propuesta en Junio del 2.006 [modificada])

══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Dada definida por , se pide:a) Pruébese que es diferenciable en y calcúlese la matriz jacobiana en

.

b) Calcúlese .

2) Dada definida por , se pide:a) ¿Existe inversa de ? En caso afirmativo hállese dicha función.b) Calcúlese .

3) Dada :a) Pruébese que define a como función implícita de e ,

, en un entorno de .b) Hállese el plano tangente a en .c) Dada la función , pruébese que es localmente

invertible en . Calcúlese la matriz jacobiana de en .(Problema 1 propuesto en Septiembre del 2.007)


4) Pruébese que el sistema define a y como funciones

implícitas diferenciables de y de en un entorno del punto . Calcúlense y .

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5.- FÓRMULA DE TAYLOR. EXTREMOS

OBJETIVOS:Analizar, comprender y manejar la fórmula de Taylor. Establecer las condiciones necesarias y suficientes de los extremos relativos para funciones reales de clase 2 insistiendo en las de dos variables. Introducir los extremos condicionados y manejar el método de los multiplicadores de Lagrange.


La función tiene un mínimo en y un punto de silla en el punto .


2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Sea y el polinomio de Taylor de grado de en . Entonces .


3) Calcúlense los polinomios de Taylor de orden 2 y de orden 3 de la función en y en .

══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Hállense tres números positivos, , y , tales que su suma sea y la suma de sus productos tomados de dos en dos sea máxima.(Problema 1 propuesto en Junio del 2.007)

2) Dada la función :

a) Estúdiese la diferenciabilidad de en .b) Calcúlense los extremos relativos de la función .(Problema 1 propuesto en Junio del 2.005)

3) Hállense las dimensiones del más económico recipiente con forma de paralelepípedo recto abierto por arriba, de 96 cm.3 de capacidad sabiendo que la base cuesta 30 u.m./cm.2 y los laterales 10 u.m./cm.2. (u.m. significa unidades monetarias).

4) Obténganse los extremos de la función con la restricción .

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II.- CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES

6.- OPERADORES DIFERENCIALES EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES

OBJETIVOSDefinir y analizar los conceptos de campo escalar y campo vectorial, así como los de gradiente, rotacional y divergencia. Analizar sus diferentes propiedades. Introducir el operador nabla de Hamilton, establecer algunas igualdades notables y las condiciones para que campos vectoriales sean gradientes o rotores.


Sea siendo . Entonces y

.(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.004)

2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Sea . Entonces

, siendo un campo escalar, solo cuando .(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.007)

══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Supuesto que el campo representa el campo de velocidades de un fluido, ¿cómo ha de ser , para que el fluido sea incompresible?

2) Calcúlense las líneas de rotor del campo vectorial . Obténgase la que pasa por .

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7.- INTEGRACIÓN MÚLTIPLE

OBJETIVOSDefinir la integral doble. Analizar sus propiedades e interpretación geométrica. Calcular integrales dobles sobre rectángulos y sobre recintos convexos. Aprender la técnica del cambio de variables. Realizar el trabajo análogo para integrales triples. Analizar el concepto de las integrales múltiples impropias.

CUESTIONESRazónese si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1) Sea , entonces .(Cuestión 4 propuesta en Septiembre del 2.005)


2) (*) Sea continua en tal que , , . Entonces .


3) .(Cuestión 4 propuesta en Junio del 2.004)

4) (*) , siendo .(Cuestión 3 propuesta en Junio del 2.007)

5) Hállese:a)

b) .

6) (*) Hállese siendo el recinto limitado por las rectas , , .

7) Calcúlese .

8) Sea el subconjunto de delimitado por las superficies , , y . Hállese .

══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) (*) Hállese siendo la región del primer cuadrante encerrada entre las parábolas e .

2) Hállese siendo el triángulo limitado por las rectas , , .

3) Hállese el área comprendida entre las circunferencias y y las rectas e .

(Problema 2 propuesto en Febrero del 2.004)

4) Hállese siendo el primer cuadrante. Dedúzcase del

resultado el valor de .

5) Calcúlese, utilizando coordenadas esféricas, el volumen del sólido.

(Problema 2 propuesto en Junio del 2.007)

6) Calcúlese siendo el recinto limitado por la superficie cilíndrica y los planos , .


7) Calcúlese el volumen del sólido limitado por , , con .(Problema 2 propuesto en Septiembre del 2.007)

8) El depósito de gasolina de una refinería tiene forma esférica de radio . ¿Qué volumen de gasolina hay dentro del depósito si el nivel de la misma está a una altura .(Problema 2 propuesto en Junio del 2.003)

9) Hállese el volumen de la región limitada por , , .(Problema 2 propuesto en Junio del 2.006)

10) Hállese el volumen del cuerpo limitado por las superficies y .

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8.- INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE

OBJETIVOSDefinir la integral curvilínea en y en . Analizar su utilidad y propiedades. Definir el concepto de función potencial. Aprender a obtenerla. Introducir el elemento de área de una superficie y el cálculo del área de superficies. Definir y calcular integrales de superficie.

CUESTIONES

1) Calcúlese la integral de línea siendo :a) el segmento de recta que une y , desde hasta .b) el arco de circunferencia de centro el origen que une y , en el mismo

sentido.2) Sea la forma diferencial . ¿Admite

función potencial? En caso afirmativo, hállese dicha función potencial.3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

La integral , siendo

recorrida en sentido positivo y , ; ,

; , .(Cuestión 3 propuesta en Septiembre del 2.006)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:La integral de línea , siendo y con

, ; , ; , .



5) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Bajo el efecto del campo vectorial el trabajo

realizado al moverse una partícula desde el punto al punto

siguiendo el camino rectilíneo es menor que haciéndolo sobre la curva .


══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Hállese el trabajo realizado por una partícula sometida al campo de fuerzas cuando recorre las curvas:

a) dada por entre los puntos y .b) dada por entre los puntos y .c) dada por entre los puntos y .d) dada por entre los puntos y .

2) Calcúlese el trabajo realizado por una partícula sometida al campo de fuerzas al desplazarse desde

hasta a lo largo de la curva en el primer

octante.3) Calcúlese el área de la superficie limitada por , .

(Problema 2 propuesto en Septiembre del 2.006)

4) Calcúlese el área de la superficie cilíndrica , comprendida entre los planos , .

5) Supuesta la tierra esférica de radio km., determínese el área de la porción de superficie terrestre comprendida por los meridianos de longitud y , y

los paralelos de latitud y .(Problema 2 propuesto en Junio del 2.005)

6) Calcúlese siendo la cara externa de la superficie cónica

limitada por en el primer octante.

7) Calcúlese siendo la superficie cilíndrica situada en el primer octante y limitada por .

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9.- TEOREMAS INTEGRALES

OBJETIVOSEstablecer el teorema de Green-Riemann, así como el de Stokes y el de Gauss-Ostrogradski o de la divergencia. Aprender a utilizarlos en las aplicaciones.

CUESTIONES1) Indíquese razonadamente si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

Sea un campo vectorial de clase y un recinto cerrado y acotado del plano cuya frontera es la curva cerrada . Se sabe que

, recorriendo en sentido positivo y siendo el elemento de

longitud de arco, y que . Entonces el área de es .(Cuestión 4 propuesta en Febrero del 2.004)


La integral , siendo .


3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Sean ; , armónicas. Entonces el flujo exterior del campo a través de cualquier superficie cerrada de

es CERO.(Cuestión 3 propuesta en Junio del 2.003)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:, siendo .


══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Calcúlese , siendo la curva que encierra el dominio de la figura en el sentido que indican las flechas.

(Problema 1 propuesto en Junio del 2.003)


2) Aplicando el teorema de Stokes, calcúlese:a) , siendo la circunferencia de ecuaciones

paramétricas , , , para .

b) siendo sabiendo que su proyección

sobre está orientada positivamente.3) Calcúlese el flujo, primero aplicando la definición y después mediante el

Teorema de la Divergencia, del campo vectorial a través de la superficie .(Problema 2 propuesto en Febrero del 2.007)

4) Calcúlese el flujo del campo , , a través de la

superficie .(Problema 2 propuesto en Septiembre del 2.005)

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III.- ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADA DE LAPLACE

10.- ECUACIONES DE PRIMER ORDEN. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD. DIFERENTES TIPOS DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

OBJETIVOS:Conseguir la capacidad de identificar distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, determinar su resolubilidad y aplicar técnicas de resolución adecuadas.


Si es una diferencial exacta, entonces también lo es.


2) Hállese la solución general de la ecuación diferencial .

3) Obtenga la curva que pasa por el punto y es tal que, en cada uno de sus puntos, la pendiente de la recta tangente tiene por valor el doble del producto de la abscisa por la ordenada.

4) Hállese la solución general de la ecuación diferencial .5) (*) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

La ecuación diferencial admite un factor integrante que sólo es función de .

(Cuestión 5 propuesta en Junio del 2.007)══════════════════════════════════


PROBLEMAS1) Hállese la solución general de la ecuación diferencial

.

2) Hállese la solución general de el problema de valor inicial , .

3) Hállese la solución general de la ecuación .

4) Hállese la solución general de la ecuación diferencial sabiendo que admite un factor integrante de la forma .(Problema 3 propuesto en Junio de 2.006)

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11.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SUS APLICACIONES

OBJETIVOS:Manejar las técnicas básicas de obtención de la transformada de Laplace y de su inversa. Aplicarlas a la resolución de ecuaciones diferenciales, sobre todo lineales.

CUESTIONES1) (*) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:

La transformada inversa de Laplace de (ó )

es la función real de variable real .(Cuestión 5 propuesta en Septiembre del 2.004)

2) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Si y son funciones de en para las que existen y , y

teniendo en cuenta la expresión de , se verifica la igualdad:

.(Cuestión 7 propuesta en Junio del 2.003)

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:La ecuación diferencial con tiene a

como solución.(Cuestión 6 propuesta en Septiembre del 2.005)

4) Utilizando las propiedades de la transformada de Laplace calcúlese la transformada de:a) .

b) .


5) Calcúlese la transformada de Laplace de la función periódica .


(ó ).


══════════════════════════════════PROBLEMAS

1) Calcúlese la transformada de Laplace de .

2) Hállese la función que satisface .(Problema 3 propuesto en Febrero del 2.007)

3) (*) Hállese la solución de la ecuación con .(Problema 3 propuesto en Septiembre del 2.005)

4) Sea la ecuación diferencial , , siendo una función periódica. La transformada de Laplace de una solución de dicha ecuación es

(ó ). Hállense , y .(Problema 3 propuesto en Junio del 2.004)

5) Hállese la solución de la ecuación diferencial siendo

, , .(Problema 3 propuesto en Septiembre del 2.006)

6) Obténgase la función que satisface .(Problema 3 propuesto en Junio del 2.007)

7) Dado el sistema de ecuaciones diferenciales , con las

condiciones , , hállense e .══════════════════════════════════

12.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

OBJETIVOS:Obtener la capacidad de identificar distintos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior, determinar su resolubilidad y aplicar las técnicas de resolución adecuadas.



Sea una ecuación diferencial lineal homogénea de orden dos que tiene como solución . Entonces no puede ser de coeficientes constantes.


2) Analice la dependencia o independencia lineal de las funciones ,

, .(El tercer sistema se propuso como la Cuestión 5 en Junio del 2.004)

3) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:La solución de la ecuación diferencial , con

está acotada en .(Cuestión 6 propuesta en Febrero del 2.007)

4) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Si las raíces de la ecuación característica asociada a una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes son y , la ecuación es .


5) Razónese si es verdadera o falsa la siguiente afirmación:Todas las soluciones de , con , son periódicas.

(Cuestión 6 propuesta en Septiembre del 2.007)══════════════════════════════════

PROBLEMAS1) Halle las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales lineales

homogéneas:a) .b) .c) .d) .e) .

2) (*) Se considera la ecuación diferencial con coeficientes constantes , , que admite por soluciones particulares e

.a) Calcúlense los coeficientes .b) Hállense la solución general de la ecuación homogénea asociada a la

anterior y la particular con los valores iniciales .c) Hállese la solución de donde los son los

calculados anteriormente y es tal que .(Problema 3 propuesto en Junio del 2.003)


3) a) Determínese la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden tres que tiene como soluciones

, .b) Si es la ecuación del apartado anterior, resuélvase

con , .(Problema 3 propuesto en Septiembre del 2.007)

4) El movimiento de un electrón de masa y carga en un campo eléctrico y otro magnético constantes de intensidades de campo respectivas y , viene dado por el sistema de ecuaciones . Sabiendo que , ,

y son constantes, y suponiendo que , hállense e , es decir, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del electrón.

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