ECUACI0NES DIFERENCIALES

Paul Blanchard

Robert L. Devaney

Glen R. Hall Boston University

~ ~ International Thomson Editores

An International Thomson Publishing Company I(!)P

Mxico' Albany Bonn Bastan' Johannesburgo' Londres' Melbourne Nueva York Pars' San Francisco' San Juan, PR Santiago' Sao Paulo Singapur Tokio'

Toronto Washington

Traduccin de libro: Differential Equat/Ons, publicado en ingls por Brooks/Cole Publishing. 1998, Broo!

SOBRE LOS AUTORES

Paul Blanchard

Paul Blanchard creci en Sutton, Massachusetts, hizo su licenciatura en Brown University y recibi su Ph.D. de la Yale University. Ha enseado matemticas universitarias durante veintc aos, principalmente en la Bastan University. Ha sido coautor de varios libros y contribuido con captulos a cuatro libros de texto diferentes. Su principal rea de investi-gacin matemtica son los sistemas dinmicos complejos analticos y los conjuntos pun-to asociados, los conjuntos Julia y el conjunto Mandelbrot. Recientemente su inters se ha centrado en reformar el curso tradicional de ecuaciones diferenciales, y preside el Bastan University Differential Equations Project y dirige los talleres de este innovativo enfoque para la enseanza de las ecuaciones diferenciales.

Robert L. Devaney

Robert L. Devaney creci en Methuen, Massachusetts. Recibi su grado de licenciatura del Holy Cross College y su Ph.D. de la Universidad de California en Berkeley. Ha im-partido ctedra en la Bastan University desde 1980. Su principal rea de investigacin son los sistemas dinmicos complejos y ha dado conferencias en todo el mundo sobre este te-ma. En 1996 recibi el National Excellence in Teaching Award de la Asociacin Matem-tica de Amrica.

Glen R. Hall Glen R. Hall pas la mayor parte de su juventud en Denver, Colorado. Su grado de Licen-ciatura lo recibi del Carleton College y su Ph.D. de la University of Minnesota. Sus in-tereses de investigacin son principalmente la dinmica de bajas dimensiones y la mec-nica celeste. Ha publicado numerosos artculos sobre la dinmica de mapeos circulares y anulares. Por sus investigaciones, la National Science Foundation y la Sloan Foundation le han otorgado becas posdoctorales.

PREFACIO

El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicacin de las ideas y proce-dimientos del clculo a nuestra vida cotidiana. Podra decirse que el clculo fue desarro-llado bsicamente para que los principios que gobiernan muchos fenmenos pudieran ser expresados en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente, fue dif-cil transmitir la belleza del tema en el tradicional primer curso sobre ecuaciones diferen-ciales, porque el nmero de ecuaciones que pueden tratarse con procedimientos analticos es muy limitado. En consecuencia, el curso se enfoc ms en los procedimientos que en los conceptos.

Este libro es una consecuencia de nuestra opinin de que ahora podemos efectuar una revisin radical y abordamos nuestro curso actualizado con varias metas en mente. En primer lugar, el nfasis tradicional en ardides y procedimientos especializados para resol-ver ecuaciones diferenciales ya no es apropiado, dada la tecnologa disponible. En segun-do lugar, muchas de las ecuaciones diferenciales ms importantes no son lineales y los procedimientos numricos y cualitativos son ms efectivos que los analticos para estos casos. Finalmente, el curso de ecuaciones diferenciales es uno de los pocos cursos a nivel de licenciatura donde es posible dar a los estudiantes una breve visin de la naturaleza de la investigacin matemtica contempornea.

Los enfoques cualitativo, numrico y analtico De acuerdo con ello, este libro se desva radicalmente del tpico texto "recetario de coci-na" sobre ecuaciones diferenciales. Hemos eliminado la mayor parte de los procedimien-tos especializados para obtener frmulas de soluciones y los hemos reemplazado con te-mas que se centran en la formulacin de ecuaciones diferenciales y la interpretacin de sus soluciones. A fin de adquirir un entendimiento de stas, resolvemos una ecuacin des-de tres puntos de vista diferentes.

El principal enfoque que adoptamos es cualitativo. Esperamos que los estudiantes sean capaces de visualizar las ecuaciones diferenciales y sus soluciones de muchas mane-ras geomtricas. Por ejemplo, usamos campos de pendientes, grficas de soluciones, cam-pos vectoriales y curvas solucin en el plano fase como herramientas para un mejor en-tendimiento de las soluciones. Tambin pedimos a los estudiantes que adquieran destreza para moverse entre las representaciones geomtricas y analticas ms tradicionales.

Como el estudio de las ecuaciones diferenciales resulta ms fcil usando la compu-tadora, tambin hacemos nfasis en los procedimientos numricos. Suponemos que los es-tudiantes tienen algn acceso a procedimientos tecnolgicos que facilitan la aproximacin a las soluciones y a las grficas de esas soluciones. Aun cuando podemos encontrar una

v

vi PREFACIO

frmula explcita para una solucin, a menudo trabajamos numrica y cualitativamente con la ecuacin para entender la geometra y el comportamiento a largo plazo de las so-luciones. Cuando podemos encontrar soluciones explcitas fcilmente (como en el caso de ecuaciones separables de primer orden o sistemas lineales de coeficientes constantes), efectuamos los clculos. Pero nunca dejamos de examinar las frmulas resultantes que ob-tenemos tambin con los puntos de vista cualitativo y numrico.

Cambios especficos Existen varios aspectos especficos en los que este libro difiere de otros en este nivel. Primero, incorporamos el modelado en forma integral. Esperamos que los estudiantes en-tiendan el significado de las variables y parmetros de una ecuacin diferencial y que sean capaces de interpretarlo en trminos de un modelo particular. Ciertos modelos apa-recen repetidamente como temas secuenciales y son tomados de varias disciplinas, de ma-nera que los estudiantes con diferente preparacin curricular encuentren temas familiares.

Tambin adoptamos un punto de vista dinmico para sistemas. Siempre estamos interesados en el comportamiento a largo plazo de las soluciones de una ecuacin y, usan-do todos los enfoques apropiados delineados arriba, pedimos a los estudiantes predecir este comportamiento. Adems, reiteramos el papel de los parmetros en muchos de nues-tros ejemplos y estudiamos especficamente la manera en que cambia el comportamiento de las soluciones cuando esos parmetros son modificados.

Igual que en otros textos, comenzamos con las ecuaciones de primer orden, pero el nico procedimiento analtico que usamos para encontrar soluciones en forma cerrada es el de separacin de variables (y, al final de captulo, uno o dos factores de integracin pa-ra tratar ciertas ecuaciones lineales). Ms bien, resaltamos el significado de una ecuacin diferencial y sus soluciones en trminos de su campo de pendientes y de las grficas de sus soluciones. Si la ecuacin diferencial es autnoma, tambin analizamos su lnea fase. Este anlisis sirve como una introduccin elemental a la idea de un plano fase, que juega un papel fundamental en captulos subsecuentes.

Pasamos directamente de las ecuaciones de primer orden a los sistemas de ecuacio-nes diferenciales de primer orden. En vez de considerar las ecuaciones de segundo orden por separado, las convertimos a sistemas de primer orden. Cuando aqullas se tratan co-mo sistemas, podemos usar los procedimientos cualitativos y numricos ms fcilmente. Por supuesto, despus empleamos la informacin obtenida con estos procedimientos, pa-ra recuperar informacin sobre las soluciones de la ecuacin original.

Tambin iniciamos nuestro aprendizaje de los sistemas con un enfoque general. No restringimos de inmediato nuestra atencin a los sistemas lineales. Los procedimientos cualitativos y numricos funcionan igualmente bien cuando un sistema no es lineal y puede avanzarse un largo trayecto hacia el entendimiento de los sistemas, sin tener que recurrir a los procedimientos algebraicos. Sin embargo, las ideas cualitativas no nos dan una vi-sin completa del asunto, por lo que, en forma natural, llegamos a la idea de linearizacin. Con este antecedente en los conceptos geomtricos y cualitativos fundamentales, proce-demos a analizar los sistemas lineales con detalle. Como siempre, no slo damos nfasis a la frmula para la solucin general de un sistema lineal, sino tambin a la geometra de sus curvas solucin y de los eigenvectores y eigenvalores asociados.

Si bien nuestro estudio de sistemas requiere un uso mnimo del lgebra lineal, sta no es un prerrequisito definitivo. Como tratamos principalmente con sistemas bidimensio-nales, desarrollamos todos los mtodos algebraicos necesarios segn avanzamos. En el proceso, prestamos mucha atencin a la geometra relacionada con los eigenvectores y ei-gen valores.

PREFACIO vii

Estos temas fonnan el ncleo de nuestro enfoque. Sin embargo, hay muchos aspec-tos adicionales que nos gustara tratar en el curso. En consecuencia, hemos incluido el anlisis de ecuaciones forzadas de segundo orden, de sistemas no lineales, de las transfor-madas de Laplace, de mtodos numricos y de sistemas dinmicos discretos. Aunque al-gunos de esos temas son tradicionales, siempre los presentamos de manera consistente con el enfoque desarrollado en la primera mitad del texto.

Al final de cada captulo hemos incluido varios "laboratorios". Nuestra ms exitosa modificacin del curso tradicional impartido en la Boston University ha sido efectuar ex-perimentos numricos detallados y escribir sus reportes. Los trabajos de laboratorio sobre-salientes son difciles de escribir y calificar, pero consideramos que el beneficio para los estudiantes es extraordinario.

Rutas a travs de este libro Hay varias rutas posibles que pueden seguir los profesores al usar este libro. Pensamos que los captulos 1-3 fonnan el ncleo (con la posible excepcin de las secciones 2.5 y 3.8 que tratan sistemas tridimensionales). La mayor parte de los ltimos captulos suponen que el lector est familiarizado con este material. Ciertas secciones como la 1.7 (bifurcaciones) y la 1.9 (cambio de variables) pueden pasarse por alto si se tiene cuidado al escoger el ma-terial de las secciones subsecuentes. Sin embargo, el material sobre las lneas y planos fa-se, anlisis cualitativo y soluciones de sistemas lineales es de gran importancia.

Una ruta tpica para un curso de ingeniera sera estudiar los captulos 1-3 (dejando de ver tal vez las secciones 1.9, 2.5 Y 3.8). Esos captulos tomarn aproximadamente dos tercios de un semestre. En el tercio final del curso podran verse las secciones 4.1-4.3 (ecuaciones lineales forzadas de segundo orden y resonancia), la seccin 5.1 (Iineariza-cin de sistemas no lineales) y el captulo 6 (transfonnadas de Laplace). Los captulos 4 y 5 son independientes uno del otro y pueden estudiarse en cualquier orden. En particu-lar, la seccin 5.1 sobre linearizacin de sistemas no lineales cerca de puntos de equilibrio fonna un excelente remate para el material relativo a sistemas lineales del captulo 3.

Tambin es posible cubrir las secciones 6.1 y 6.2 (transfonnadas de Laplace para ecuaciones de primer orden) inmediatamente despus del captulo l. Como hemos apren-dido de nuestros colegas en el College of Engineering de la Boston University, algunos programas de ingeniera ensean un curso sobre teora de circuitos que usa la transfor-mada de Laplace, antes de que sea conveniente. Por ello, las secciones 6.1 y 6.2 estn es-critas de manera que el curso sobre ecuaciones diferenciales y sobre circuitos elctricos puedan proceder en paralelo. Sin embargo, de ser posible, recomendamos esperar a cubrir todo el captulo 6 hasta que el material en las secciones 4.1-4.3 haya sido estudiado.

Algunos profesores tal vez desearan sustituir el material sobre dinmica discreta (captulo 8) por las transfonnadas de Laplace. Un curso para estudiantes con una fuerte base en fsica podra ver ms del captulo 5, inclusive un tratamiento de los hamiltonianos (seccin 5.3) y de los sistemas de gradiente (seccin 5.4). Un curso dirigido hacia mate-mticas aplicadas podra incluir un anlisis ms detallado de mtodos numricos (ca-ptulo 7).

Cambios en la primera edlcl6n Nos sentimos muy halagados por la recepcin que ha tenido la edicin preliminar de este libro desde su publicacin en 1995. Nos sentimos especialmente endeudados con el gran nmero de lectores y profesores que nos han hecho comentarios sobre varios puntos de la edicin previa. De acuerdo con ellos, hemos hecho algunos cambios en esta edicin. Los ms importantes estn relacionados con tratamientos ms completos de las ecuaciones

vIII PREFACIO

forzadas de segundo orden y de la resonancia, as como con un tratamiento revisado de las transformadas de Laplace. El material en el captulo 2 se reescribi por completo para seguir ms de cerca nuestra intencin de presentar mtodos analticos, cualitativos y nu-mricos para sistemas en una etapa temprana. Se han agregado dos apndices. El primero es un tratamiento alternativo de las ecuaciones lineales de primer orden y puede usarse en lugar de la seccin 1.8. El segundo es un repaso de los nmeros complejos y de la frmula de Euler.

La mayor parte de los cambios restantes tienen que ver slo con reajustes menores de temas, de manera que los profesores puedan evitar saltos dentro de un captulo. Como con cualquier revisin importante de un curso existente, anticipamos que este libro conti-nuar evolucionando en futuras ediciones. Recibimos comentarios, sugerencias y crticas. La mejor manera de hacerlo es enviar un e-mail a odes@math.bu.edu. Trataremos de res-ponderle y definitivamente leeremos y consideraremos todo comentario.

Nuestro sitio en la Web y pginas auxiliares Los lectores y profesores son invitados a hacer un extenso uso de nuestro sitio en la red.

http://math.bu.edulodes

En estas pginas hemos colocado una gua on-line para los profesores, que incluye un anlisis de cmo usar el texto. Tambin hemos anexado muestras de planes de estudio proporcionados por los usuarios de varias instituciones, as como la informacin de talle-res y seminarios relacionados con la enseanza de las ecuaciones diferenciales. Adems mantenemos una lista de fe de erratas. El Instructor's Guide with Solutions, disponible para los profesores que han adoptado el libro como texto, contiene una copia dura de la gua on-line junto con las soluciones para todos los problemas.

Nuestro editor, Brooks/Cole, mantiene tambin el DiffEQ Resource Center en

http://diffeq.brookscole.com

Estas pginas contienen informacin extensa acerca de la enseanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales, incluyendo un arreglo extenso de laboratorios e ideas de proyectos, as como conexiones con otras pginas relacionadas con dicha enseanza.

El proyecto de ecuaciones diferenciales de la Universidad de Boston Este libro es un producto del ahora completo Proyecto sobre Ecuaciones Diferenciales de la Universidad de Bastan, patrocinado por la National Science Foundation (NSF Grant DUE-9352833) y la Universidad de Bastan. La meta de ese proyecto fue reestructurar a nivel mundial el curso tradicional sobre ecuaciones diferenciales. Estamos especialmente agradecidos por ese apoyo.

Paul Blanchard Robert L. Devaney Glen R. Hall Boston University

RECONOCIMIENTOS

Al pasar de los escritos preliminares a la primera edicin, la lista de gente a la que tene-mos el privilegio de dar nuestras gracias ha crecido exponencialmente. Para esta edicin, nuestra mxima deuda es con Gareth Roberts. Como director del proyecto, l supervis la produccin del texto y grficas. Como matemtico y profesor, ha sido un crtico y asis-tente invaluable. Igual que su predecesor Sam Kaplan, quien fue el director del proyecto para la edicin preliminar, Gareth dej su marca en este texto en muchas maneras positi-vas. Gracias, Gareth.

Con excepcin de unas cuantas figuras dibujadas profesionalmente, este libro fue producido en su totalidad en el Departamento de Matemticas de la Universidad de Bos-ton usando el macropaquete ASTEX de Alex Kasman en conjuncin con LATEX2e. Alex es un verdadero mago del TEX y cualquiera que est escribiendo un libro de texto podra tomar en cuenta su paquete. De hecho, las grficas macros de Alex son sumamente tiles en muchos contextos (vea la pgina web de Alex disponible en el sitio http://math.bu.edu).

Gran parte del trabajo de produccin, solucin de ejercicios, revisin de la exacti-tud e interpretacin de las figuras fue hecho por nuestro equipo de estudiantes graduados: BiII Basener, Lee DeVille y Stephanie Ruggiano. Ellos invirtieron largos das y noches en el laboratorio de cmputo para terminar este libro. Dependimos mucho del trabajo hecho por Adrian Iovita, Kinya Ono, Adrian Vajiac y Nuria Fagella durante la produccin de la edicin preliminar.

Muchas otras personas en la Universidad de Bastan hicieron contribuciones impor-tantes. En particular, nuestros profesores asistentes Duff Campbell, Michael Hayes, Eileen Lee y Clara Bodelon tuvieron que soportar los dolores de cabeza asociados con nuestra experimentacin.

Recibimos apoyo de muchos de nuestros colegas en la Universidad de Boston y de otras instituciones. Nuestro presidente, Marvin Freedman. nos apoy a todo lo largo del proyecto. Fue un placer especial para todos nosotros trabajar ntimamente con colegas del College of Engineering: Michael Ruane (quien coordina el curso de circuitos), Moe Wasserman (quien permiti a uno de los autores asistir a su curso) y John Baillieul (miem-bro de nuestra junta directiva). Damos las gracias tambin a Donna Molinek (del David-son College), Carolyn Narasimhan (DePaul University) y James Walsh (Oberlin College) por organizar talleres para profesores en sus campus.

Como se mencion en el prefacio, este libro no existira si nuestro proyecto no hu-biese recibido apoyo de la Divisin de educacin a nivel de licenciatura de la National Science Foundation, y agradecemos a los directores del programa en esta institucin por su entusiasmo y apoyo. Damos las gracias tambin a los miembros de la junta directiva

Ix

x RECONOCIMIENTOS

John Baillieul, Morton Brown, John Franks, Deborah Hughes Hallett, Philip Holmes y Nancy Kopell. Todos contribuyeron con su valioso tiempo durante los talleres y viajes a la Universidad de Boston.

Nos sentimos halagados de que muchos de nuestros colegas fuera de la Universidad de Boston estuviesen dispuestos a ayudarnos con este proyecto. Bill Krohn nos dio valio-sos consejos respecto a nuestra presentacin de las transformadas de Laplace, y Bruce Elenbogen ley en forma total las primeras pruebas de los captulos iniciales. Las prime-ras pruebas de nuestras notas originales fueron probadas en clase bajo diferentes situacio-nes por Gregory Buck, Scott Sutherland, Kathleen Alligood, Diego Benedette, Jack Doc-kery, Mako Haruta, Jim Henle, Ed Packel y Ben Pollina.

Estamos halagados con la recepcin dada a la edicin preliminar de este texto, y particularmente agradecidos por la paciencia con que los estudiantes y profesores por igual han aceptado nuestro primer intento. Muchos nos han escrito excelentes comenta-rios y sugerencias. A todos les damos las gracias. En la direccin de la pgina web citada en el prefacio puede encontrarse una lista actualizada.

En la creacin de ambas ediciones del texto se han hecho revisiones concienzudas y exhaustivas que han proporcionado una gran ayuda. Las de la edicin preliminar fueron hechas por Charles Boncelet, de la University of Delaware; Dean R. Brown, de la Youngs-town State University; Michael Colvin, de la California Polytechnic State University; Pe-ter Colwell, de la Iowa State University; James P. Fink, del Gettysburg College; Michael Frame, del Union College; Donnie Hallstone, del Green River Community College; Step-hen J. Merrill, de la Marquette University; LTC Joe Myers, de la U.S. Military Academy; Carolyn C. Narasimhan, de la DePaul University; Roger Pinkham, del Stevens Institute of Technology; T. G. Proctor, de la Clemson University; Tim Sauer, de la George Mason University; Monty J. Strauss, de la Texas Tech University, y Paul Williams, del Austin Cornmunity College.

Los revisores de esta edicin fueron David Arnold, del College of the Redwoods; Steven H. Izen, de la Case Western Reserve University; Joe Marlin, de la North Carolina State University; Kenneth Meyer, de la University of Cincinnati; loel Robbin, University of Wisconsin en Madison; Clark Robinson, de la Northwestern University, y Jim Walsh, del Oberlin College.

Finalmente, como todo autor sabe, escribir un libro requiere considerables sacrifi-cios de la familia. Gracias especiales a Lori, Kathy y Dottie.

G.R.H., R.L.D., P.B.

NOTA AL ESTUDIANTE

Este libro probablemente es diferente a la gran parte de sus textos de matemticas. Si lo hojea, ver que hay muy pocas frmulas "enmarcadas", ninguna nota al margen y muy po-cos procedimientos de n pasos. Lo hemos escrito de esta manera porque pensamos que us-ted est ahora en una etapa de su educacin en que debe aprender a identificar y trabajar efectivamente con las matemticas inherentes de la vida cotidiana. En el desempeo de su carrera profesional, nadie le pedir que haga todos los ejercicios impares al final de algn manual para empleados, sino que le darn algn problema cuya composicin matemtica puede ser difcil de identificar y le pedirn que haga lo ms que pueda con l. Uno de nues-tras' objetivos en este libro es comenzar a prepararlo para este tipo de trabajo evitando ejercicios algortmicos artificiales.

Nuestra intencin es que lea este libro como cualquier otro texto, trabaje con los ejercicios, releyendo las secciones y ejemplos conforme sea necesario. Aunque no contiene ejemplos modelo, encontrar los anlisis llenos de ejemplos. Puesto que una de nuestras metas principales es demostrar cmo se usan las ecuaciones diferenciales para modelar sistemas fsicos, solemos comenzar con la descripcin de un sistema fsico, construimos un modelo y luego lo estudiamos para hacer conclusiones y predicciones acerca del siste-ma original. En muchos de los ejercicios se le pide producir o modificar un modelo de un sistema fsico, analizarlo y explicar sus conclusiones. Esto es material difcil y tendr que practicar. Como los das en que se poda uno ganar la vid.a enfrascndose en difciles cl-culos han pasado a la historia (en la actualidad, esto lo hacen las computadoras), tendr que aprender esas habilidades y esperamos que este libro 10 ayude a desarrollarlas.

Otra maneta en que este libro puede diferir de sus textos previos es que esperamos que haga un uso razonable de una calculadora grfica o de una computadora al intentar re-solver los ejercicios y tareas de laboratorio. La computadora no har los razonamientos, pero le proporcionar la evidencia numrica que esencialmente es imposible obtener de otra manera. Una de nuestras metas es darle prctica como consumidor sofisticado de ci-clos de computadora, as como un sano escepticismo respecto a los resultados proporcio-nados por sta.

A propsito de lo anterior, sabe que uno de los autores cometi uno o dos errores en su vida que los otros dos autores no detectaron. Por esto, mantenemos una lista muy cor-ta de erratas en nuestro sitio en la web http://math.bu.edu/odes. Por favor consulte esta pgina si piensa usted que algo que ha ledo no es correcto.

Finalmente, usted debe saber que los autores toman el estudio de las ecuaciones di-ferenciales m'lY en serio. Sin embargo, nosotros mismos no nos tomamos muy en serio (y

xl

xli NOTA AL ESTUDIANTE

ciertamente, tampoco a los otros dos autores). Hemos tratado de expresar tanto la belleza de las matemticas as como parte de la alegra que implica trabajar con ellas. Si piensa que algunas de las bromas son viejas o estpidas, tal vez tenga razn.

Todos los que hemos trabajado en este libro aprendimos algo acerca de las ecuacio-nes diferenciales a lo . largo del camino, y esperamos ser capaces de comunicar nuestra apreciacin por la belleza del tema y rango de aplicaciones. Nos gustara or sus comen-tarios. Sintase libre de enviarnos un e-mail a odes@math.bu.edu. Algunas veces esta-mos ocupados y no siempre podemos responder, pero lo leeremos y apreciaremos su re-troalimentacin.

Nos dio gran gusto escribir este libro. Esperamos que se diviertan leyndolo.

e.R.H., R.L.D., p.E.

CONTENIDO

1 ECUACIONS DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1 1.1 Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales 2

1.2 Procedimiento analtico: separacin de variables 19

1.3 Procedimiento cualitativo: campos de pendientes 35

1.4 Tcnica numrica: mtodo de Euler 52

1.5 Existencia y unicidad de las soluciones 63

1.6 Equilibrios y lnea de fase 74

1.7 Bifurcaciones 93

1.8 Ecnaciones diferenciales lineales 107

1.9 Cambio de variables 117

Laboratorios para el captulo 1 132

2 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 139 2.1 Modelacin por medio de sistemas 140

2.2 Geometra de sistemas 156

2.3 Mtodos analticos para sistemas especiales 173

2.4 Mtodo de Euler para sistemas 184

2.5 Ecuaciones de Lorenz 198

Laboratorios para el captulo 2 207

3 SISTEMAS LINEALES 211 3.1 Propiedades de sistemas lineales y el principio de linealidad 212

3.2 Soluciones de lnea recta 235

3.3 Planos fase para sistemas lineales con eigenvalores reales 250

xIII

xlv CONTENIDO

3.4 Eigenvalores complejos 264 3.5 Casos especiales: eigenvalores repetidos y cero 282

3.6 Ecuaciones lineales de segundo orden 297

3.7 El plano traza-determinante 312

3.8 Sistemas lineales tridimensionales 325

Laboratorios para el captulo 3 341

4 FORZAMIENTO Y RESONANCIA 347 4.1 Osciladores armnicos forzados 348

4.2 Forzamiento senoidal 362

4.3 Forzamiento no amortiguado y resonancia 373

4.4 Amplitud y fase del estado permanente 385

4.5 El puente del estrecho de Tacoma 391

Laboratorios para el captulo 4 401

5 SISTEMAS NO LINEALES 403 5.1 Anlisis del punto de equilibrio 404

5.2 Anlisis cualitativo 422

5.3 Sistemas hamiltonianos 434

5.4 Sistemas disipativos 453

5.5 Sistemas no lineales en tres dimensiones 470

5.6 Forzamiento peridico de sistemas no lineales y caos 477

Laboratorios para el captulo 5 493

6 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 497 6.1 Transformadas de Laplace 498

6.2 Funciones discontinuas 510

6.3 Ecuaciones de segundo orden 519

6.4 Funciones delta y forzamiento de impulso 533

6.5 Convoluciones 541

6.6 Teora cualitativa de las transformadas de Laplace 549

Laboratorios para el captulo 6 558

CONTENIDO xv

7 MTODOS NUMRICOS 561 7.1 Errores numricos en el mtodo de Eu\er 562

7.2 Como mejorar el mtodo de Euler 574 7.3 El mtodo de Runge-Kutta 582

7.4 Los efectos de la aritmtica finita 592

Laboratorios para el captulo 7 596

8 SISTEMAS DINMICOS DISCRETOS 599 8.1 La ecuacin logstica discreta 600

8.2 Puntos fijos y puntos peridicos 612 8.3 Bifurcaciones 621

8.4 Caos 630

8.5 Caos en el sistema de Lorenz 638

Laboratorios para el captulo 8 644

Al'ndlce A Revisin de ecuaciones lineales de primer orden 650

Apndice B Nmeros complejos y frmula de Euler 661 Sugerencias y respuestas 665

ndice 725

1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Este libro trata de cmo podemos predecir el futuro. Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de cmo son las cosas y cules son las reglas que gobiernan los cambios que ocurrirn. Del clculo sabemos que el cambio es medido por la derivada, y usarla para describir cmo se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales.

Convertir las reglas que gobiernan la evolucin de una cantidad en una ecuacin diferencial se llama modelacin, y en este captulo estudiaremos muchos modelos. Nuestra meta es emplear la ecuacin diferencial para predecir el valor futuro de la cantidad que se est modelando.

Existen tres tipos bsicos de tcnicas para efectuar esas predicciones. Las tcnicas analticas implican encontrar frmulas para los valores futuros de la cantidad. Los mtodos cualitativos se apoyan en un esbozo burdo de la grfica de la cantidad como funcin del tiempo, y en la descripcin de su comportamiento a largo plazo. Las tcnicas numricas requieren que efectuemos clculos aritmticos (o bien que los haga una computadora) que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad. En este captulo presentaremos y usaremos estos tres procedimientos.

1

2 CAPnuLO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

t. t MODELACIN POR MEDIO DE ECUACIONES DIfE.RENCIALES

Qu es un modelo?

La parte ms difcil al usar las matemticas para estudiar una aplicacin es la conversin de los fenmenos de la vida real al formalismo matemtico. Por lo general esto es com-plicado porque implica la conversin de hiptesis imprecisas en frmulas muy precisas. No hay manera de evitarlo. La modelacin no es fcil y la mejor manera de lograrla es la misma requerida para tocar en Carnegie Hall: practicar, practicar y practicar.

Es importante recordar que los modelos matemticos son como otros tipos de modelos. El objetivo no es producir una copia exacta del objeto "real", sino ms bien representar al-gunas caractersticas de la cosa real. Por ejemplo, un retrato de una persona, un maniqu y un cerdo pueden ser modelos de un ser humano. y aunque ninguno es una copia perfec-ta de ste, s poseen ciertos aspectos en comn con un ser humano. La pintura describe la apariencia fsica de un individuo en particular; el maniqu porta ropa tal corno una perso-na y el cerdo est vivo. Cul de los tres modelos es "mejor" depende de cmo usemos el modelo: para recordar viejos amigos, para comprar ropa o para estudiar biologa.

Los modelos matemticos que estudiaremos son sistemas que evolucionan con el tiempo, pero con frecuencia tambin estn supeditados a otras variables. De hecho, los sis-temas del mundo real pueden ser notoriamente complicados; la poblacin de conejos en Wyoming depende del nmero de coyotes, del nmero de linces, del nmero de leones de montaa, del nmero de ratones (alimento alternativo para los depredadores), de las prc-ticas usuales agrcolas, del clima, de varias enfermedades tpicas de los conejos, etc. Po-demos elaborar un modelo de la poblacin de conejos suficientemente simple para que sea entendible, slo haciendo hiptesis simplificadoras y englobando los efectos que puedan o no ser comunes.

Una vez elaborado el modelo, debernos comparar las predicciones de ste con los datos del sistema. Si el modelo y el sistema concuerdan, tendremos confianza en que las hiptesis hechas al crear el modelo son razonables y que podemos usarlo para hacer pre-dicciones; si no concuerdan, entonces debernos estudiar y mejorar nuestras suposiciones. En todo caso, aprendemos ms acerca del sistema al compararlo con el modelo.

Los tipos de predicciones que son razonables dependen de nuestras hiptesis. Si nuestro modelo se basa en reglas precisas como las leyes de Newton sobre el movimiento o las reglas del inters compuesto, entonces podemos usarlo para hacer predicciones cuan-titativas muy exactas. Si las hiptesis son menos precisas o si el modelo es una versin simplificada del sistema, entonces sera absurdo tratar de obtener predicciones cuantita-tivas exactas. En este caso, deberamos usar el modelo para hacer predicciones cualitati-vas, tales como "la poblacin de conejos en Wyoming aumentar ... ". La lnea divisoria entre predicciones cualitativas y cuantitativas es en s misma imprecisa, pero veremos que con frecuencia es mejor y ms fcil usar cualitativamente aun el ms preciso de los modelos.

Algunas sugerendas para la construcd6n de modelos Los pasos bsicos para elaborar un modelo son:

Paso 1 Establezca claramente las hiptesis en que se basar el modelo. stas deben des-cribir las relaciones entre las cantidades p

1.1 Modeladn por medio de ecuadones diferendales 3

Paso 3 Use las hiptesis formuladas en el paso 1 para obtener ecuaciones que relacionen las cantidades del paso 2.

En el paso 1, o paso "cientfico", describimos cmo creemos que funciona el sistema fsico o, por lo menos, cules son sus aspectos ms importantes. En algunos casos, esas hiptesis son bastante especulativas, por ejemplo, "a los conejos no les preocupa su sobrepobla-cin". En otros casos, las hiptesis son bastante precisas y bien aceptadas, como "la fuerza es igual al producto de la masa y la aceleracin". La calidad de las hiptesis determina la validez del modelo y las situaciones en que el modelo es pertinente. Por ejemplo, algunos modelos de poblacin se aplican slo a pequeas poblaciones en grandes entornos, mien-tras que otros consideran espacios y recursos limitados. Muy importante es evitar "hip-tesis ocultas" que hagan al modelo parecer misterioso o mgico.

El paso 2 es donde nombramos las cantidades que se estudiarn y, en caso necesa-rio, describimos las unidades y escalas implicadas. Pasar por alto este paso es como deci-dir que usted hablar un idioma propio sin decirle a nadie qu significan las palabras.

Las cantidades en nuestros modelos se agrupan en tres categoras bsicas: la varia-ble independiente, las variables dependientes y los parmetros. En este libro, la variable independiente es (casi) siempre el tiempo. El tiempo es "independiente" de cualquier otra cantidad en el modelo. Por otra parte, las variables dependientes son cantidades que son funciones de la variable independiente. Por ejemplo, en la frase "la posicin es una fun-cin del tiempo", queremos decir que la posicin es una variable que depende del tiempo. Es posible enunciar vagamente el objetivo de un modelo expresado en trminos de una ecuacin diferencial como "describa el comportamiento de la variable dependiente con-forme cambie la variable independiente". Por ejemplo, podemos preguntar si la variable dependiente aumenta o disminuye o si oscila o tiende a un lmite.

Los parmetros son cantidades que no cambian con el tiempo (o con la variable in-dependiente) pero que pueden ajustarse (por causas naturales o por un cientfico efectuan-do el experimento). Por ejemplo, si estamos estudiando el movimiento de un misil, la ma-sa inicial de ste es un parmetro. Si estamos analizando la cantidad de ozono en las ca-pas superiores de la atmsfera, entonces la velocidad con que se liberan los fluorocarbo-nos de los refrigeradores es un parmetro. El aspecto ms importante del estudio de un modelo consiste en determinar la manera en que cambian las variables dependientes cuan-do ajustamos los parmetros.

En el paso 3 formulamos las ecuaciones. La mayor parte de los modelos que consi-deraremos son expresados como ecuaciones diferenciales. En otras palabras, esperamos encontrar derivadas en nuestras ecuaciones. Ponga atencin a frases como "razn de cam-bio de ... " o "tasa de crecimiento de ... ", ya que razn de cambio es sinnimo de derivada. Por supuesto, ponga atencin tambin a "velocidad" (derivada de la posicin) y "acelera-cin" (derivada de la velocidad) en modelos de fsica. La palabra es significa "es igual" e indica dnde se encuentra la igualdad. La frase "A es proporcional a B" significa A = kB, donde k es una constante de proporcionalidad (a menudo un parmetro en el modelo).

Una importante regla emprica que usamos al formular modelos es: Simplifique siempre que pueda el lgebra. Por ejemplo, al modelar la velocidad v de un gato al caer de un edificio alto, podramos suponer que:

La resistencia del aire crece al aumentar la velocidad del gato.

Esta hiptesis supone que la resistencia del aire proporciona una fuerz

4 CAPTULO 1 Ecuadones diferenciales de primer orden

es decir, un parmetro, Ambas expresiones crecen cuando v se incrementa, por lo que sa-tisfacen la hiptesis, Sin embargo, muy probablemente ensayaramos primero kv porque es la expresin ms simple que satisface la hiptesis, De hecho. resulta que kv genera un buen modelo para la cada de cuerpos de pequea densidad, como los copos de nieve. pe-ro kV- es un modelo ms apropiado para objetos densos como gotas de lluvia,

Veremos ahora una serie de modelos de crecimiento de poblaciones, basados en va-rias suposiciones acerca de las especies implicadas, Nuestra meta aqu es estudiar cmo pa-sar de un conjunto de suposiciones a un modelo, Esos ejemplos no son modelos del "estado del arte" de la ecologa de poblaciones, pero son apropiados para considerarlos inicialmen-te, Tambin empezaremos a describir las tcnicas analticas. cualitativas y numricas que usaremos para hacer predicciones basadas en esos modelos. Nuestro acercamiento preten-de ser slo ilustrativo; analizaremos esas tcnicas matemticas con mucho mayor detalle a lo largo de todo el libro.

Crecimiento ilimitado de la poblacin Un modelo elemental del crecimiento de una poblacin se basa en la hiptesis de que

La velocidad de crecimiento de la poblacin es proporcional al tamao de la poblacin.

Observe que la razn de cambio de una poblacin slo depende del tamao de sta, En particular, las limitaciones de espacio o recursos no tienen efecto. Esta hiptesis es razo-nable para pequeas poblaciones en grandes entornos, por ejemplo, los primeros brotes de moho en una pieza de pan o los primeros colonizadores de Estados Unidos,

Como la hiptesis es tan simple, esperamos que el modelo tambin lo sea. Las can-tidades implicadas son

t = tiempo (variable independiente), P = poblacin (variable dependiente) y k = constante de proporcionalidad (parmetro) entre la tasa

de crecimiento de la poblacin y el tamao de sta,

El parmetro k suele llamarse "coeficiente de velocidad de crecimiento", Las unidades para esas cantidades dependen de la aplicacin, Si estamos modelan-

do el crecimiento de moho en el pan. entonces t podra medirse en das y P(t) sera el rea cubierta por el moho o bien el peso del moho. Si estamos hablando de la poblacin europea en Estados Unidos, entonces t probablemente se medir en aos y P(t) en millones de per-sonas, En este caso haramos corresponder t = O a cualquier tiempo que quisiramos, El ao 1790 (el ao del primer censo) es una opcin conveniente,

Expresemos ahora nuestra hiptesis usando esta notacin, La tasa de crecimiento de la poblacin P es la derivada dPldt, Puesto que sta es proporcional a la poblacin, se ex-presa como el producto, kP, de la poblacin P y la constante k de proporcionalidad, Por consiguiente, nuestra hiptesis se expresa por la ecuacin diferencial

~; = kP, En otras palabras, la razn de cambio de P es proporcional a p,

ste es nuestro primer ejemplo de una ecuacin diferencial. Asociada con ella hay varios adjetivos que describen su tipo, En particular, se trata de una ecuacin de primer

1 . 1 Modeladn por medio de ecuadones diferendales 5

orden porque contiene slo primeras derivadas de la variable dependiente. y es una ecua-cin diferencial ordinaria porque no contiene derivadas parciales. En este libro tratare-mos slo con ecuaciones diferenciales ordinarias.

Hemos escrito esta ecuacin diferencial usando la notacin de Leibniz. es decir. dPldt, y es la que tenderemos a usar. Sin embargo, hay muchas otras maneras de expresar la misma ecuacin diferencial. En particular, tambin podramos escribirla como P' = kP o como P = kP. La notacin "punto" suele utilizarse cuando la variable independiente es el tiempo t.

Qu predice el modelo? Ms importante que los adjetivos o cmo se escribe la ecuacin es preguntar qu nos di-ce acerca de la situacin que se est modelando. Como dPldt = kP para alguna constan-te k, dPldt = O si P = O. Entonces la funcin constante P(t) = O es una solucin de la ecuacin diferencial. A este tipo especial se le denomina solucin de equilibrio porque es constante para siempre. En trminos del modelo de poblacin, corresponde a una especie que es no existente.

Si P(to) * O en algn tiempo to, entonces en el tiempo t = to dP dt = k P(to) f O.

En consecuencia, la poblacin no es constante. Si k > O y peto) > O, tenemos dP dt = kP(to) > O,

en el tiempo t = fo Y la poblacin est creciendo (como era de esperarse). Conforme t crece, P(t) se vuelve mayor, por lo que dPldt aumenta. A su vez, P(t) crece an ms rpida-mente. Es decir, la velocidad de crecimiento crece en relacin directa con la poblacin. Podemos esperar por lo tanto que la grfica de la funcin P(t) tenga la forma mostrada en la figura 1.1.

El valor de P(t) en t = O se llama una condicin inicial. Si comenzamos con una condicin inicial diferente obtenemos una funcin P(t) distinta, como se indica en la fi-gura 1.2. Si peO) es negativa (recordando que k > O), tenemos entonces dPldt < O para

P

P(t)

P(O)

figura 1.1 La grfica de una funcin que satisface la ecuacin diferencial

dP di = kP.

P

figura 1.2 Las grficas de diversas funciones que satisfacen la ecuacin diferencial dPldt = kP. Cada una tiene un valor diferente en t = O.

6 cAPITuLO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

t = O, por lo que P(t) inicialmente est disminuyendo. Al crecer t, P(t) se vuelve ms ne-gativa. La imagen debajo del eje t es la reflexin de la imagen superior, aunque esto no es "fsicamente importante" porque una poblacin negativa no tiene sentido.

Nuestro anlisis de la manera en que P(t) crece cuando t aumenta se llama anlisis cualitativo de la ecuacin diferencial. Si todo lo que nos interesa es saber si el modelo predice "explosiones de poblacin", entonces podemos responder que "s, en tanto que P(O) > O".

Soluciones analticas de la ecuacin diferencial Si, por otra parte, conocemos el valor exacto Po de P(O) y queremos predecir el valor de P(lO) o P(lOO), entonces necesitamos informacin ms precisa sobre la funcin P(t). El par de ecuaciones

dP = kP dt ' P(O) = Po,

se llama problema de valor inicial. y una solucin al problema de valor inicial es una funcin P(t) que satisface ambas ecuaciones. Es decir

dP dt = kP para toda t y P(O) = Po.

En consecuencia, para solucionar esta ecuacin diferencial debemos hallar una funcin P(t) cuya derivada sea el producto de k con P(t). Una manera (no muy sutil) de encontrar-la es hacer una conjetura. En este caso, es relativamente fcil ver cul es la forma correcta para P(t), porque sabemos que la derivada de una funcin exponencial es esencialmente ella misma. (Podemos eliminar este proceso de conjeturar usando el mtodo de separacin de variables que describiremos en la seccin siguiente. Pero por ahora ensayaremos el m-todo exponencial y veamos a qu nos conduce.) Despus de un par de intentos con varias formas de dicha funcin, vemos que

P(t) = '

su derivada, dPldt = k', es el producto de k con P(t). Pero existen otras soluciones po-sibles, ya que P(t) = c

' (donde e es una constante) da dPldt = c(k') = k(c' ) = kP(t).

As dPldt = kP para toda t y para cualquier valor de la constante c. Existe un nmero infinito de soluciones para la ecuacin diferencial, uno para cada

valor de c. Para determinar cul de sas es la correcta para la situacin considerada, usa-mos la condicin inicial dada. Tenemos

Po = P(O) = e . eH = e . ea = e . 1 = c.

En consecuencia, debemos escoger e = Po, por lo que una solucin del problema del va-lor inicial es

P(t) = POl .

Hemos obtenido una frmula para nuestra solucin, no solamente una imagen cualitativa de su grfica.

La funcin P(t) se llama solucin al problema del valor inicial as como solucin particular de la ecuacin diferencial. El conjunto de funciones P(t) = c' se llama solu-

Tabla 1.1

1.1 Modeladn por medio de ecuadones diferendales 7

cin general de la ecuacin general, porque podemos usarla para encontrar la respuesta particular correspondiente a cualquier problema de valor inicial. La figura 1.2 consiste en las grficas de funciones exponenciales de la forma PCt) = ct con varios valores de la constante e, es decir, con diferentes valores iniciales. En otras palabras, es una imagen de la solucin general de la ecuacin diferencial.

La poblacin de Estados Unidos Para ejemplificar cmo puede usarse este modelo, consideremos las cifras de los censos de Estados Unidos desde 1790 dadas en la tabla 1.1.

Veamos qu tan bien se ajusta el modelo de crecimiento ilimitado a estos datos. Me-dimos el tiempo en aos y la poblacin PU) en millones de personas. Hacemos que t = O sea el ao 1790, por lo que la condicin inicial es P(O) = 3.9. El problema correspondien-te de valor inicial

dP=kP P(O) 39 dt ' = .,

tiene P(t) = 3.9 ekt como solucin. Pero no podemos usar este modelo para hacer predic-ciones porque no conocemos el valor de k. Sin embargo, sabemos que la poblacin en el ao 1800 era de 5.3 millones y podemos usar este valor para determinar k. Si hacemos

5.3 = P(lO) = 3.9 ek' JO

tenemos entonces

( 5.3) lOk=ln -3.9 k ~ 0.03067.

Cifras de los censos de Estados Unidos, en millones de personas (vase Funk y Wagnalls, Almanaque Mundial de 1994)

Ao Real P(t) - 3.geo.03067t Ao Real P(t) = 3.geo.03067/ 1790 O 3.9 3.9 1930 140 122 286 1800 10 5.3 5.3 1940 150 131 388 1810 20 7.2 7.2 1950 160 151 528

1~20 30 9.6 9.8 1960 170 179 717 1830 40 12 13 1970 180 203 975 1840 50 17 18 1980 190 226 1320 1850 60 23 25 1990 200 249 1800 1860 70 31 33 2000 210 2450 1870 80 38 45 2010 220 3320 1880 90 50 62 2020 230 4520 1890 100 62 84 2030 240 6140 1900 110 75 114 2040 250 8340 1910 120 91 155 2050 260 11300 1920 130 105 210

8 CAPITULO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

Nuestro modelo predice entonces que la poblacin dc Estados Unidos est dada por

PU) = 3.geo.03067t

Como vemos en la figura 1.3, este modelo de PU) predice razonablemente bien la poblacin hasta aproximadamente 1860, pero despus de este ao la prediccin resulta muy grande. (La tabla 1.1 incluye una comparacin de los valores predichos con los datos reales.)

Nuestro modelo es bastante bueno siempre que la poblacin sea relativamente pe-quea. Sin embargo, con el paso del tiempo el modelo predice que la poblacin continua-r creciendo sin lmite, y obviamente esto no sucede en el mundo real. En consecuencia, si queremos un modelo que sea exacto sobre una escala grande de tiempo, debemos tomar en cuenta el hecho de que las poblaciones existen en una cantidad finita de espacio y con recursos limitados.

p

200

100

70 140

figura 1.3 Los puntos representan datos reales del censo y la lnea continua es la solucin del modelo de crecimiento exponencial

dP di = 0.03067 P

El tiempo t se mide en aos desde el ao 1790.

Modelo logstico de la poblacin Para ajustar el modelo de crecimiento exponencial de la poblacin que tome en cuenta un entorno y recursos limitados, agregamos las hiptesis:

Si la poblacin es pequea, la razn de crecimiento de la poblacin es proporcional a su tamao.

Si la poblacin es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos, la poblacin disminuir. Es decir, la razn de crecimiento es negativa.

Para este modelo usamos de nuevo

t = tiempo (variable independiente), P = poblacin (variable dependiente), k = coeficiente de la razn de crecimiento

para poblaciones pequeas (parmetro).

Sin embargo, nuestra hiptesis acerca de recursos limitados introduce otra cantidad, el tamao de la poblacin que corresponde a ser "demasiado grande". Esta cantidad es un segundo parmetro, denotado por N, que llamamos la "capacidad de soporte" del entorno. En trminos de la capacidad de soporte, estamos suponiendo que PU) crece si PU) < N. No obstante, si P(t) > N, suponemos que P(t) est decreciendo.

Usando esta notacin, podemos reescribir nuestras hiptesis como:

dP kp P - (. h' ) dt = SI es pequen a pnmera Ipotesls.

. dP O ( d h' .) SI P > N, dt < segun a Ipotesls.

1 . 1 Modeladn por medio de ecuadones diferendales 9

Queremos tambin que el modelo sea "algebraicamente simple" o por lo menos tan simple como sea posible, por lo que tratamos de modificar el modelo exponencial lo mc-nos posible. Por ejemplo, podramos intentar una expresin de la forma

dP dt = k . (algo) . P.

Queremos que el factor "algo" sea cercano a I si P es pequea, pero si P > N, queremos que "algo" sca negativo. La expresin ms simple que tienen estas propiedades es la fun-cin

(algo) = (1 - ~). Note que esta expresin es igual a I si P = O y es negativa si P > N. Nuestro modelo es entonces

dP=k(l-~)P dt N' ste se llama el modelo logstico de la poblacin con velocidad de crecimiento k y ca-pacidad N de soporte. Se trata de otra ecuacin diferencial de primer orden. Se dice que esta ecuacin es no lineal porque su lado derecho no es una funcin lineal de P como 10 era en el modelo de crecimiento exponencial.

Anlisis cualitativo del modelo logstico Aunque la ecuacin diferencial logstica es ligeramente ms complicada que la del mode-lo de crecimiento exponencial, no hay modo de que podamos conjeturar soluciones. El mtodo se separacin de variables analizado en la seccin siguiente produce una frmula para la solucin de esta ecuacin diferencial particular. Pero por ahora nos apoyaremos meramente en mtodos cualitativos para ver qu anticipa este modelo a largo plazo.

Primero, sea

el lado derecho de la ecuacin diferencial. En otras palabras, la ecuacin diferencial pue-de escribirse como

dP (P) dt = f(P) = k 1 - ti P.

Podemos obtener informacin cualitativa sobre las soluciones a la ecuacin diferencial si sabemos cundo dPldt es cero, dnde es positiva y dnde es negativa.

Si trazamos la grfica de la funcin cuadrticaf(vea la figura 1.4), observamos que ella corta al eje P en exactamente dos puntos, P = O y P = N. En cualquier caso, tenemos

flPl figura 1.4 Grfica del lado derecho

de la ecuacin diferencial logstica.

10 cAPITuLO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

dPldt = O. Como la derivada de P desaparece para toda t, la poblacin permanece cons-tante si P = a o P = N. Es decir, las funciones constantes P(t) = a y P(t) = N resuelven la ecuacin diferencial. Esas dos soluciones constantes tienen mucho sentido: si la pobla-cin es cero, permanecer en cero indefinidamente; si la poblacin es exactamente la aso-ciada con la capacidad de soporte, ni crecer ni disminuir. Igual que antes, decimos que P = a y P = N son puntos de equilibrio. Las funciones constantes P(t) = a y P(t) = N son llamadas soluciones de equilibrio (vea la figura 1.5).

P

P=N

p = O ---1---------

figura 1.5 Las soluciones de equilibrio de la ecuacin diferencial logstica

ti! = k(l _ L)p dI N'

El comportamiento a largo plazo de la poblacin es muy diferente para otros valo-res. Si la poblacin inicial se encuentra entre a y N, tenemos entonces f(P) > a. En este caso, la razn de crecimiento dPldt = f(P) es positiva y en consecuencia la poblacin P(t) est creciendo. En tanto que P(t) se 0ncuentre entre O y N, la poblacin contina incre-mentndose. Sin embargo, cuando tiende a la capacidad de soporte N, dPldt = f(P) se acerca a cero, por lo que esperamos que la poblacin se nivele cuando tienda a N (vea la figura 1.6).

figura 1.6 Soluciones de la ecuacin diferencial logstica

aproximndose a la solucin de equilibrio P = N.

Si pea) > N, entonces dPldt = f(P) < a y la poblacin est disminuyendo. y cuan-do tiende a la capacidad de soporte N, dPldt se aproxima a cero y esperamos de nuevo que la poblacin se nivele en N.

Finalmente, si P(O) < a (que no tiene sentido en trminos de poblaciones), tenemos tambin dPldt = f(P) < a. Vemos de nuevo que P(t) disminuye, pero esta vez no se nive-la a ningn valor particular ya que dPldt se vuelve ms y ms negativa conforme P(t) de-crece.

As, a partir slo del conocimiento de la grfica de f, podemos esbozar varias dife-rentes soluciones con condiciones iniciales diferentes, todas sobre los mismos ejes. La nica informacin que necesitamos es el hecho.de que P = a y P = N son soluciones de equilibrio; P(t) crece si O < P < N, Y P(t) disminuye si P > N o P < a. Por supuesto, los valores exactos de P(t) en cualquier tiempo dado t dependern de los valores de P(O), k y N (vea la figura 1.7).

p

Sistemas depredador-presa

1 . 1 Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales 11

Figura 1.7 Soluciones de la ecuacin diferencial logstica

Ninguna especie vive aislada y las interacciones entre especies proporcionan algunos de los modelos ms interesantes por estudiar. Concluimos esta seccin presentando un sim-ple sistema depredador-presa de ecuaciones diferenciales donde una especie "se come" a la otra. La diferencia ms obvia entre ste y los modelos previos es que tenemos dos can-tidades que dependen del tiempo. Nuestro modelo tiene entonces dos. variables dependien-tes que son ambas funciones del tiempo. En este caso llamaremos a la presa "conejos" y a los depredadores "zorros", y denotaremos la presa por C y a los depredadores por Z. Las hiptesis de nuestro modelo son:

Si no hay zorros presentes, los conejos se reproducen a una tasa proporcional a su po-hlacin y no les afecta la sobrepoblacin.

Los zorros se comen a los conejos y la razn a la que los conejos son devorados es pro-porcional a la tasa a la que los zorros y conejos interactan. Sin conejos qu comer, la poblacin de zorros declina a una razn proporcional a ella misma.

La tasa de nacimientos de los zorros va en proporcin al nmero de conejos comidos por zorros que, por la segunda hiptesis, es proporcional a la razn a la que los zorros y conejos interactan.

Para formular este modelo en trminos matemticos, necesitamos cuatro parmetros adicionales a nuestra variable independiente I y a nuestras dos variables dependientes Z y C. Los parmetros son:

a = coeficiente de la razn de crecimiento de conejos, {3 = constante de proporcionalidad que mide el nmero de interacciones

conejos-zorros en las que el conejo es devorado, r = coeficiente de la razn de muertes de zorros, 15 = constante de proporcionalidad que mide el beneficio a la poblacin

de zorros de un conejo devorado.

Cuando formulamos nuestro modelo, seguimos la convencin de que a, {J, y y 8 son todos positivos.

Nuestras primera y tercera hiptesis anteriores son similares a la que plantea el mo-delo del crecimiento ilimitado, visto antes en esta seccin. En consecuencia, ellos dan trminos de la forma aC en la ecuacin dC/dl y -"Z (ya que la poblacin de zorros de-clina) en la ecuacin para dZldl.

tI CAPITuLO 1 Ecuadones diferendales de primer orden

La razn a la que los conejos son devorados es proporcional a la razn de inte-raccin entre los zorros y los conejos, por lo que necesitamos un trmino que modele la ra-zn de interaccin de ambas poblaciones; que crezca si CoZ aumenta, pero que desa-parezca si C = O o Z = O. Una notacin que incorpora esas hiptesis es CZ. Modelamos as los efectos de las interacciones conejo-zorro sobre dC/dt por medio de un enunciado de la forma - {3CZ. La cuarta hiptesis da un trmino similar en la ecuacin para dZldt. En este caso: cazar conejos ayuda a los zorros, por lo que aadimos un trmino de la for-ma BCZ.

Al plantear esas hiptesis, obtenemos el modelo

dC dI = aC - {3CZ

dZ dt = -yZ + IlCZ.

Consideradas juntas, este par de expresiones se llama sistema de primer orden de ecua-ciones diferenciales ordinarias (slo primeras derivadas, pero ms de una variable depen-diente). Se dice que el sistema es acoplado porque las razones de cambio de C y Z de-penden tanto de C como de Z.

Es importante notar los signos de los trminos en este sistema. Como (3 > O, el tr-" mino "-{3CZ" es no positivo, por lo que un incremento en el nmero de zorros disminu-ye la razn de crecimiento de la poblacin de conejos. Adems, como Il > O, el trmino "IlCZ" es no negativo. En consecuencia, un incremento en el nmero de conejos incre-menta la tasa de crecimiento de la poblacin de zorros.

Aunque este modelo puede pareGer relativamente simple, ha sido la base de algunos interesantes estudios ecolgicos. En particular, Volterra y D' Ancona usaron con xito el modelo para explicar el incremento en la poblacin de tiburones en el mar Mediterrneo durante la Primera Guerra Mundial, cuando la pesca de las especies "presa" decreci. El modelo puede tambin usarse como base para el estudio de los efectos de los pesticidas en la poblacin de insectos depredadores e insectos presas.

Una solucin para este sistema de ecuaciones es, a diferencia de nuestro modelos previos, un par de funciones, CCt) y Z(t), que describen las poblaciones de conejos y zorros como funciones del tiempo. Como el sistema es acoplado, no podemos determinar cada una de esas funciones en forma aislada. Ms bien, debemos resolver ambas ecuacio-nes diferenciales en forma simultnea. Desafortunadamente, para la mayor parte de los valores de los parmetros, es imposible determinar de modo explcito frmulas para C(t) y Z(t). Esas funciones no pueden expresarse en trminos de funciones conocidas tales co-mo polinomios, senos, cosenos, exponenciales y otras parecidas. Sin embargo, como ve-remos en el captulo 2, esas soluciones existen, aunque no hay esperanzas de encontrarlas jams exactamente. Como los mtodos analticos para resolver este sistema estn destina-dos a fallar, debemos usar procedimientos cualitativos o numricos para "encontrar" CCt) y Z(t).

Los enfoques analtico, cualitativo y numrico Nuestro anlisis de los tres modelos de poblacin en esta seccin ilustra tres enfoques di-ferentes para el estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. El enfoque ana-ltico busca frmulas explcitas que describan el comportamiento de las soluciones. Vimos aqu que las funciones exponenciales dan soluciones explcitas al modelo del crecimiento exponencial. Desafortunadamente, un gran nmero de ecuaciones importantes no pueden

1.1 Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales 13

tratarse con el mtodo analtico; simplemente no hay manera de encontrar una fnnula exacta que describa la situacin. Nos vemos entonces forzados a recurrir a mtodos alter-nativos.

Un procedimiento particularmente poderoso para describir el comportamiento de las soluciones es el enfoque cualitativo. ste implica usar la geometra para tener un pano-rama del comportamiento del modelo, tal como lo hicimos con el modelo logstico del cre-cimiento de la poblacin. No lo utilizamos para dar valores precisos de la solucin en tiempos especficos, pero s para detenninar su comportamiento a largo plazo. Con fre-cuencia, sta es justamente la clase de infonnacin que requerimos.

El tercer enfoque para resolver ecuaciones diferenciales es numrico. La compu-tadora aproxima la solucin que buscamos. Aunque no ilustramos ninguna tcnica de aproximacin numrica en esta seccin, veremos pronto que son una herramienta podero-sa para darnos ideas respecto a las soluciones que deseamos.

Los tres mtodos que usamos tienen sus ventajas y tambin desventajas. Algunas veces ciertos mtodos son tiles mientras que otros no lo son. Una de nuestras principa-les tareas al estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales ser determinar qu mto-do, o combinacin de stos, funciona bien en cada caso especfico. En las siguientes tres secciones veremos con ms detalle esos tres enfoques.

EJERCICIOS PARA LA SE.CCIN 1.1 1. Considere el modelo de poblacin

dP ( P ) dt = O.4P 1 - 230 '

donde PCt) es la poblacin en el tiempo t. (a) Para qu valores de P est en equilibrio la poblacin? (b) Para qu valores de P est creciendo la poblacin? (e) Para qu valores de P est decreciendo la poblacin?

2. Considere el modelo de poblacin

donde P(t) es la poblacin en el tiempo t. (a) Para qu valores de P est en equilibrio la poblacin? (b) Para qu valores de P est creciendo la poblacin? (e) Para qu valores de P est decreciendo la poblacin?

3. Considere la ecuacin diferencial

dy _ = y3 _ y2 - l2y. dt

(a) Para qu valores de y est y(t) en equilibrio? (b) Para qu valores de y est y(t) creciendo? (e) Para qu valores de y est y(t) decreciendo?

t 4 CAPTuLO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

4. La siguiente tabla proporciona el rea de terreno en Australia colonizada por el sapo marino americano (Bufo marinis) cada cinco aos desde 1939 hasta 1974. Modele la migracin de este sapo usando un modelo de crecimiento exponencial

dA = kA dt '

donde A(t) es el rea de terreno ocupada en el tiempo t. Haga predicciones acerca de la superficie de terreno ocupada en los aos 2010, 2050 y 2100. Hgalo

(a) resolviendo el problema de valor inicial, (b) determinando la constante k, (e) calculando las reas predichas, y (d) comparando su solucin con los datos reales. Cree usted en su prediccin?

Ao rea ocupada acumulativa (km2) 1939 32800 1944 55000 1949 73600 1954 138000 1959 202000 1964 257000 1969 301000 1974 584000

(Observe que hay muchos modelos de crecimiento exponencial que puede usted for-mar usando estos datos. Hay un modelo ms razonable que los otros? Note tambin que el rea de Queensland es de 1 728 000 km2 y que el rea de Australia es de 7619000 km2 )'

Observacin: El sapo marino americano fue introducido a Australia para controlar los escarabajos de la caa de azcar y, en las palabras de J. W. Hedgpath (vase Scien-ce, julio de 1993 y The New York Times, 6 de julio de 1993),

Desafortunadamente los sapos comen en la noche y los escarabajos estn ausen-tes durante el da, mientras los sapos duermen bajo rocas, troncos de madera y en surcos. Por la noche, estos batracios medran, se reproducen fenomenalmente bien y devoran todo lo que encuentran. Los cultivadores de caa de azcar fueron ad-vertidos por Walter W. Froggart, presidente de la Sociedad Naturalista de Nueva Gales del Sur, que la introduccin no era una buena idea y que los sapos se co-meran la fauna nativa. Froggart fue inmediatamente denunciado como un entro-metido ignorante. Pero l tena razn.

*Todos los datos fueron tomados de "Cumulative Geographical Range of Bufo marinis in Queensland, Aus-tralia from 1935 to 1974", por Michael D. Sabath, Wa1ter C. Boughton y Simon Easteal, en Copeia, Nm. 3, 1981, pp. 676-680.

1 . 1 Modelacin por medio de ecuaciones diferenciales t 5

Los ejercicios 5 al 7 consideran un modelo elemental del proceso de aprendizaje: si bien el aprendizaje humano es un proceso extremadamente complicado, es posible construir modelos de ciertos tipos simples de memorizacin. Por ejemplo, considere una persona a quien se le da una lista para estudiar, y posteriormente se le hacen prue-bas peridicas para determinar exactamente qu tanto de la lista ha memorizado. (Por lo general las listas consisten en slabas sin sentido, nmeros de tres dgitos genera-dos al azar o entradas de tablas de integrales.) Si L(t) es la fraccin de la lista apren-dida en el tiempo t, donde L = O corresponde a no saber nada del listado y L = 1 corresponde a saberlo por completo, podemos entonces formar un simple modelo de este tipo de aprendizaje con base en las hiptesis:

La tasa dLldt es proporcional a la fraccin que queda por aprender.

Como L = 1 corresponde a saber la lista entera, el modelo es

dL = k(l - L) dt '

donde k es la constante de proporcionalidad.

5. Para qu valor de L, O:s; L :s; 1, ocurre ms rpidamente el aprendizaje? 6. Suponga que dos estudiantes memorizan listas de acuerdo con el mismo modelo:

dL dt = 2(1 - L).

(a) Si uno de los estudiantes aprende la mitad de la lista en el tiempo t = O y el otro no memoriza nada de ella, qu estudiante est aprendiendo ms rpidamente en este instante?

(b) Alcanzar el estudiante que comienza sin saber nada de la lista al estudiante que empieza sabiendo la mitad de la lista?

7. Considere las dos siguientes ecuaciones diferenciales que modelan las tasas de me-morizacin de un poema por dos estudiantes. La tasa de Juan es proporcional a la can-tidad por aprender, con una constante de proporcionalidad de k = 2. La tasa de Berta es proporcional al cuadrado de la cantidad por aprender y cuya constante de propor-cionalidad es k = 3. Las ecuaciones diferenciales correspondientes son

dL = 2(1 - L) dt y dLB = 3(1 _ L )2 dt B ,

donde L(t) y LB(t) son las fracciones del poema memorizadas en el tiempo t por Juan y Berta, respectivamente.

(a) Qu estudiante tiene una tasa ms rpida de aprendizaje en t = O, si ambos em-piezan la memorizacin juntos y nunca antes han visto el poema?

(b) Qu estudiante tiene una tasa ms rpida de aprendizaje en t = O, si ambos co-mienzan a memorizar juntos habiendo aprendido la mitad del poema?

(e) Qu estudiante tiene una tasa ms rpida de aprendizaje en t = O, si ambos co-mienzah la memorizacin juntos y habiendo aprendido un tercio del poema?

t 6 CAPITuLO 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

En los ejercicios 8 a 12, consideramos el fenmeno de la desintegracin radiactiva que, por experimentacin, sabemos que se comporta de acuerdo con la ley siguiente:

La tasa a la que una cantidad de un istopo radiactivo se desintegra es pro-porcional a la cantidad del istopo presente. La constante de proporcionali-dad depende slo de la partcula radiactiva considerada.

8. Modele la desintegracin radiactiva usando la notacin

t = tiempo (variable independiente), r(t) = cantidad del istopo radiactivo particular presente en el tiempo t

(variable dependiente), - I. = tasa de desintegracin (parmetro).

Observe que el signo menos se usa para que I. > O. (a) Usando esta notacin, escriba un modelo para la desintegracin de un istopo ra-

diactivo particular. (b) Si la cantidad del istopo presente en t = O es ro, establezca el problema de valor

inicial correspondiente para el modelo en la parte (a).

9. La vida media de un istopo radiactivo es la cantidad de tiempo que toma a una can-tidad de material radiactivo desintegrarse a la mitad de su cantidad original. (a) La vida media del carbono 14 (C-14) es de 5 230 aos. Determine el parmetro 'A

de tasa de desintegracin del C-14. (b) La vida media del iodo 131 (I-131) es de 8 das. Calcule el parmetro de tasa de

desintegracin del 1-131. (e) Cules son las unidades de los parmetros de tasa de desintegracin en las par-

tes (a) y (b)? (d) Para estimar la vida media de un istopo, podramos comenzar con 1000 tomos

del istopo y medir la cantidad de tiempo que le toma a 500 de ellos desintegrar-se o podramos comenzar con 10 000 tomos del istopo y medir la cantidad de tiempo que le toma desintegrarse a 5 000 de ellos. Obtendremos la misma res-puesta? Explquelo.

10. El fechado por carbono es un mtodo para determinar el tiempo transcurrido desde la muerte del material orgnico. Las hiptesis implcitas en el fechado por carbono son que

El carbono 14 (C-14) constituye una proporcin constante del carbono que la ma-teria viva ingiere segn una base regular, y

una vez que la materia muere, el C-14 presente se desintegra, pero ningn tomo nuevo es agregado a la materia.

Entonces, al medir la cantidad de C-14 que an permanece en la materia orgnica y al compararla con la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva, puede calcular-se el "tiempo desde la muerte". Usando el parmetro de la tasa de desintegracin que usted estim en el ejercicio 9, determine el tiempo desde la muerte si (a) 88% del C-14 original an est presente en el material. (b) 12% del C-14 original an est presente en el material.

1.1 Modeladn por medio de ecuadones diferendaJes 17

(e) 2% del C-14 original an est presente en el material. (d) 98% del C-14 original an est presente en el material.

Observacin: Se ha especulado que la cantidad de C-14 disponible en los seres vi-vos no ha sido exactamente constante durante largos periodos (miles de aos). Esto hace que un fechado preciso sea mucho ms difcil de determinar.

11. Para aplicar la tcnica del fechado por carbono del ejercicio 10, debemos medir la cantidad de C-14 en una muestra. Qumicamente, el carbono 14 (C-14) y el carbono regular se comportan idnticamente. Cmo podemos determinar la cantidad de C-14 en una muestra? [Sugerencia: Vea el ejercicio 8.]

12. El istopo radiactivo 1-131 se usa en el tratamiento de la hipertiroides. El 1-131 admi-nistrado a un paciente se acumula en forma natural en la glndula tiroides, donde se desintegra y acaba con parte de la glndula.

(a) Suponga que se requieren 72 horas para enviar el 1-131 del productor al hospital. Qu porcentaje de la cantidad originalmente enviada llega al hospital? (Vea el ejercicio 9.)

(b) Si el 1-131 es almacenado en el hospital 48 horas adicionales antes de ser usado, qu tanto queda de la cantidad original enviada por el productor cuando el ma-terial radiactivo se utilice?

(e) Qu tiempo le tomar al 1-131 desintegrarse completamente de manera que el hospital pueda deshacerse de los residuos sin precauciones especiales?

13. Suponga que una especie de pez en un lago especfico tiene una poblacin que sigue el modelo logstico de poblacin con razn k de crecimiento, capacidad N de soporte y tiempo t medido en aos. Ajuste el modelo para tomar en cuenta cada una de las si-tuaciones siguientes. (a) 100 peces son cultivados cada ao. (b) Un tercio de la poblacin de peces es cultivada anualmente. (e) El nmero de peces cultivados cada ao es proporcional a la raz cuadrada del n-

mero de peces en el lago.

14. Suponga el parmetro k = 0.3 de razn de crecimiento y la capacidad N = 2500 de soporte en el modelo logstico de poblacin del ejercicio 13. Y tambin que prO) = 2500. (a) Si 100 peces son cultivados cada ao, qu predice el modelo para el comporta-

miento a largo plazo de la poblacin de peces? En otras palabras, qu da un an-lisis cualitativo del modelo?

(b) Si cada ao se cultiva una tercera parte de los peces, qu predice el modelo pa-ra el comportamiento a largo plazo de dicha poblacin?

15. El rinoceronte es actualmente muy raro. Suponga que se aparta suficiente terreno pa-ra su preservacin y que hay entonces suficiente espacio para muchos ms territorios de rinocerontes que rinocerontes. En consecuencia, no habr peligro de una sobrepo-blacin. Sin embargo, si la poblcin es. muy pequea, los adultos frtiles tendrn di ficultad en encontrarse cuando sea el tiempo de apareamiento. Escriba una ecuacin diferencial que modele la poblacin de rinocerontes con base en esas hiptesis. (No-te que hay ms de un modelo razonable que se ajusta a esas suposiciones.)

t 8 cAPITuLO t Ecuadones diferendales de primer orden

16. Considere las siguientes hiptesis respecto a la fraccin de una pieza de pan cubierta por moho.

Las esporas de moho caen sobre el pan a una razn constante. Cuando la proporcin cubierta es pequea, la fraccin del pan cubierto por el mo-

ho se incrementa a una razn proporcional a la cantidad de pan cubierto. Cuando la fraccin de pan cubierto por el moho es grande, la razn de crecimien-

to disminuye. Para sobrevivir, el moho debe estar en contacto con el pan.

Usando estas hiptesis, escriba una ecuacin diferencial que modele la proporcin de una pieza de pan cubierta por moho. (Observe que hay ms de un modelo razonable que se ajuste a esas hiptesis.)

17. La siguiente tabla contiene datos sobre la poblacin de bhos amarillos (autillos) en Wyman Woods, Oxford, Inglaterra (recopilados por Southern).' (a) Qu modelo de poblacin usara usted para modelar esta poblacin? (b) Puede usted calcular (o por lo menos hacer estimaciones razonables) los valores

del parmetro? (e) Qu predice su modelo para la poblacin actual?

Ao Poblacin Ao Poblacin 1947 34 1954 52 1948 40 1955 60 1949 40 1956 64 1950 40 1957 64 1951 42 1958 62 1952 48 1959 64 1953 48

18. Para los siguientes sistemas depredador-presa, identifique qu variable dependiente, x o y, es la poblacin presa y cul es la poblacin depredadora. Est limitado el creci-miento de la poblacin presa por otros factores ajenos al nmero de depredadores? Tienen los depredadores fuentes de alimento aparte de las presas? (Suponga que los parmetros a, {3, y, 8 y N son todos positivos.)

(a) dx - = -ax + f3xy dt dy dt = YY - 8xy

(b) dx x2 - = ax - a- - f3xy dt N dy dt = YY + Oxy

19. En los siguientes modelos de poblacin depredador-presa, x representa la presa y y re-presenta los depredadores.

dx dx (i) - = 5x - 3xy (ii) - = x - 8xy dt dt dy 1 dy - = -'-2y + -xy dt = -2y + 6xy dt 2

'Vea J. P. Dempster. Animal Population Ecology, Academic Press, 1975. p. 99.

1.2. Tcnica analftica, Separadn de variables t 9

(a) En qu sistema se reproduce ms rpidamente la presa cuando no hay depreda-dores (cuando y = O) e igual nmero de presas?

(b) En qu sistema tienen los depredadores ms exito de cazar presas? En otras pa-labras, si el nmero de depredadores y presas son iguales para los dos sistemas. en qu sistema tienen los depredadores un mayor efecto sobre la razn de cam-bio de las presas?

(e) Qu sistema requiere ms presas para que los depredadores logren una tasa de crecimiento dada (suponiendo nmeros idnticos de depredadores en ambos ca-sos)?

20. El sistema

dx -=ax -byJx dt dy dt =cyJx

ha sido propuesto como un modelo para un sistema depredador-presa de dos especies particulares de microorganismos (donde a, b y e son parmetros positivos). (a) Qu variable, x o y, representa la poblacin depredadora? Qu variable repre-

senta la poblacin presa? (b) Qu pasa a la poblacin depredadora si la presa se extingue?

21. Los siguientes sistemas son modelos de las poblaciones de parejas de especies que compiten por recursos (un incremento en una especie disminuye la tasa de crecimiento de la otra) o cooperan (un incremento en una especie aumenta la razn de crecimien-to de la otra). Para cada sistema identifique las variables (independiente o dependiente) y los parmetros (capacidad de soporte, medidas de interaccin entre las especies, etc.). Compiten o cooperan las especies? (Suponga que todos los parmetros son po-sitivos.) (a) dx x2

dt = ax - a N + f3xy dy - =yy+llxy dt

t.2 TCNICA ANALTICA: SEPARACIN DE VARIABLES Qu es una ecuacin diferencial y qu es una solucin?

(b) dx dt =-yx-Ilxy

dy - =ay - f3xy dt

Una ecuacin diferencial de primer orden es una ecuacin para una funcin desconocida en trminos de su derivada. Como vimos en la seccin previa, hay tres tipos de "varia-bles" en las ecuaciones diferenciales: la variable independiente (casi siempre el tiempo t en nuestros ejemplos), una o ms variables dependientes (que son funciones de la varia-ble independiente) y los parmetros. Esta terminologa es estndar pero un poco confusa. La variable dependiente es en realidad una funcin, por lo que tcnicamente debera lla-marse funcin dependiente.

La forma estndar para una ecuacin diferencial de primer orden es

dy - = J(t,y). dt

20 CAPITuLO 1 Ecuaciones diferendales de primer orden

Aqu el lado derecho depende por lo comn tanto de la variable dependiente como de la independiente, aunque a menudo encontramos casos en que t o y estn ausentes.

Una solucin de la ecuacin diferencial es una funcin de la variable independien-te que, al ser sustituida en la ecuacin como la variable dependiente, satisface todos los valores de la variable independiente en la ecuacin. Es decir, una funcin y(t) es una so-lucin si satisface la relacin dyldt = y'(t) = f(t, y(t. Esta tenninologa no nos dice cmo encontrar soluciones, pero s cmo verificar si una funcin candidato es o no una solucin. Por ejemplo, considere la simple ecuacin diferencial

dy = y dt

Podemos comprobar fcilmente que la funcin y (t) = 3e' es una respuesta, mientras que Y2(t) = sen t no 10 es. La funcin y (t) es una solucin porque

dy = d(3e') = 3et = y para toda t. dt dt

Por otra parte, Y2(t) no 10 es ya que

dY2 d(sent) - = --- = cost, dt dt

y ciertamente la funcin cos t no es la misma funcin que yz(t) = sen t.

Verificacin de que una fundn es una soludn para una ecuadn Si nos fijamos en una ecuacin ms complicada tal como

dy y2_1 dt = t2 + 2t'

tenemos entonces considerablemente ms trabajo en encontrar una solucin. Por otra par-te, si alguien nos propone una funcin y(t), sabemos cmo verificar si se trata o no de una solucin.

Por ejemplo, suponga que encontramos tres autores de textos sobre ecuaciones di-ferenciales, digamos, Pablo, Roberto y Juan, en la cafetera de la Universidad y les pedi-mos que encuentren soluciones para esta ecuacin diferencial. Despus de algunos minu-tos de furioso calcular, Pablo afinna que

y(t) = 1 + t

es una solucin. Juan dice que

Y2(t) = 1 + 2t

es una solucin. Despus de varios minutos ms, Roberto dice que

es una solucin. Cul de esas funciones es una solucin? Veamos quin tiene razn sus-tituyendo cada funcin en la ecuacin diferencial.

1.2 Tcnica analftica: Separadn de variables 21

Primero ensayamos la funcin de Pablo. Calculamos el lado izquierdo de la ecua-cin diferenciando y(t). Tenemos

dy d(l + t) -=---=1 dt dt .

Sustituyendo y(t) en el lado derecho, encontramos

(y(t))2 - 1 (l + t)2 - 1 t2 + 2t t 2 + 2t = t2 + 2t = t2 + 2t = 1.

El lado izquierdo y el lado derecho de la ecuacin diferencial son idnticos, por lo que Pa-blo est en lo correcto.

Para verificar la funcin de Juan, calculamos de nuevo la derivada

dY2 d(l + 2t) dt = dt =2.

Con Y2(t), el lado derecho de la ecuacin diferencial es

(YZ(t))2 - 1 (2 +2t

(l + 2t)2 - 1 (2 +2t

4t2 +4t 4(t+l) t2 +2t =~

El lado izquierdo de la ecuacin diferencial no es igual aliado derecho para toda t ya que el lado derecho no es la funcin constante 2. La funcin de Juan no es una solucin.

Finalmente, revisamos la funcin de Roberto de la misma manera. El lado izquier-do es

dY3 = d(1) = O dt dt

ya que Y3(t) = 1 es una constante. El lado derecho es

Y3(t)2_11-1 :..::...c.-_= -- =0

t2 + t (2 + t .

Tanto el lado izquierdo como el derecho de la ecuacin diferencial desaparecen para toda t. Por consiguiente, la funcin de Roberto es una solucin de la ecuacin diferencial.

Las lecciones que aprendemos de este ejemplo son que una ecuacin diferencial puede tener soluciones que se ven algebraicamente muy diferentes una de otra y que, por supuesto, no toda funcin es una solucin. Dada una funcin, podemos comprobar si s-ta es una solucin sustituyndola en la ecuacin diferencial y viendo si el lado izquierdo es idntico aliado derecho. ste es un buen aspecto de las ecuaciones diferenciales: siem-pre podemos verificar nuestras respuestas. Entonces, nunca deberamos equivocarnos en esto.

Problemas de valor Inicial y la solucin general Cuando encontramos ecuaciones diferenciales en la prctica, suelen aparecer con condi-ciones iniciales. Buscamos una solucin de la ecuacin que presupone un valor dado en un tiempo particular. Una ecuacin diferencial junto a una condicin inicial se llama pro-blema de valor inicial. La forma usual de un problema de valor inicial es

dy dt =1(t, y), y(to) = yo

22 CAPTuLO 1 Ecuadones diferendales de primer orden

Buscarnos aqu una funcin y(t) que sea una solucin de la ecuacin diferencial y que ten-ga el valor Yo en el tiempo to. A menudo, el tiempo particular considerado es t = O (por ello el nombre de condicin inicial), pero podra especificarse cualquier otro tiempo.

Por ejemplo,

dy =: t3 _ 2sent, y(O) = 3. dt

es un problema de valor inicial. Para resolverlo, observe que el lado derecho de la ecua-cin diferencial depende slo de t y no de y. Debemos encontrar una funcin cuya deriva-da sea t3 - 2 sen t. ste es un problema comn de antidiferenciacin, por lo que todo lo que necesitamos es integrar esta expresin. Encontrarnos

f t4 (t 3 -2sent)dt = '4 +2cost+c, donde c es una constante de integracin. Entonces la solucin de la ecuacin diferencial debe tener la forma

t 4 y(t) = '4 + 2cost + c.

Usarnos ahora la condicin inicial y(O) = 3 para determinar c: 04

3 = y(O) = -+ 2cosO + e = 0+21 + c = 2 + c. Entonces, c = 1, y la solucin de este problema de valor inicial es

t 4 y(t) = '4 + 2cost + 1.

La expresin

t4 y(t) = '4 +2cost +c

se llama solucin general de la ecuacin diferencial porque podemos usarla para resol ver cualquier problema de valor inicial. Por ejemplo, si la condicin inicial es y(O) = 71', es-cogeramos entonces e = 71' - 2 para resolver el problema de valor inicial dy/dt = t3 - 2 sen t, y(O) = 71'.

Ecuaciones separables Ahora que ya sabernos revisar si una funcin dada es una solucin de una ecuacin dife-rencial, la pregunta es: cmo obtenernos una solucin? Desafortunadamente, es raro el caso en que podemos encontrar soluciones explcitas para una ecuacin diferencial. Puesto que muchas de estas igualdades tienen soluciones que no pueden expresarse en trminos de funciones conocidas corno polinomios, exponenciales o funciones trigonomtricas. Sin embargo, existen unos pocos tipos especiales de ecuaciones diferenciales para las cuales podernos obtener soluciones explcitas, y en esta seccin analizaremos uno de esos tipos de ecuaciones.

La ecuacin diferencial de primer orden comn es dada por la forma

dy dt = f(t, y).

1.2 Tcnica analitlca: Separacin de variables 23

El lado derecho de esta ecuacin contiene generalmente tanto la variable independiente t como la variable dependiente y (aunque hay muchos ejemplos importantes en los que t o y estn ausentes). Una ecuacin diferencial se llama separable si la funcinfit, y) puede escribirse como el producto de dos funciones: una que dependa slo de t y otra que de-penda slo de y. Es decir, una ecuacin diferencial es separable si puede escribirse en la forma

dy dt = g(t)h(y).

Por ejemplo, la ecuacin diferencial

dy dt = yt

es claramente separable y la ecuacin

dy dt = y + t

no lo es. Podramos tener que trabajar un poco para evidenciar que una ecuacin es sepa-rable. Por ejemplo,

dy t + 1 dt ty + t

es separable ya que podemos escribir la ecuacin como

dy (t + 1) (t + 1) ( 1 ) dt=t(y+I)= -t- y+l'

Dos importantes tipos de ecuaciones separables se presentan si t o y estn ausentes en el lado derecho de la ecuacin. La ecuacin diferencial

dy dt = g(t)

es separable puesto que consideramos el lado derecho como g(t) . 1, donde 1 constituye una funcin (muy simple) de y. De manera similar,

dy dt = h(y)

es tambin separable. Este ltimo tipo de ecuacin diferencial se llama autnnma. Mu-chas de las ecuaciones diferenciales de primer orden ms importantes que surgen en apli-caciones (incluidas todas las de nuestros modelos en la seccin previa) son autnomas. Por ejemplo, el lado derecho de la ecuacin logstica

dP =kP (I-~) dt N

slo depende de la variable P, por lo que esta ecuacin es autnoma.

24 CAPITuLO 1 Ecuadones diferendales de primer orden

C.mo resolver ecuaciones diferenciales separables Para encontrar soluciones explcitas de ecuaciones diferenciales separables, usamos un procedimiento comn del clculo. A fin de ilustrar el mtodo, consideremos la ecuacin diferencial

Se antoja resolver esta ecuacin simplemente integrando ambos lados de la ecuacin con respecto a t. Esto da

-dt = -dt, f dy f t dt y2 y, en consecuencia,

y(t) = f ;2 dt. Ahora estamos atorados. No podemos evaluar la integral en el lado derecho porque no co-nocemos la funcin y(t). De hecho, sta es precisamente la funcin que queremos encon-trar. Slo hemos reemplazado la derivada por una ecuacin integral.

Tenemos que hacerle algo a esta ecuacin antes de tratar de integrarla. Volviendo a la ecuacin diferencial original

dy t dt = y2'

efectuamos algo de lgebra "informal" y reescribimos esta ecuacin en la forma

idy = tdt.

Es decir, multiplicamos ambos lados por y2 dt. Por supuesto, no tiene sentido escindir dy/dt multiplicndola por dt. Sin embargo, esto debe recordarle la tcnica de clculo inte-gral conocida como sustitucin-u. Veremos pronto que esa sustitucin es exactamente lo que estamos haciendo aqu.

Integramos ahora ambos lados: el izquierdo con respecto a y. y el derecho con res-pecto a t. Tenemos

fidY=ftdt,

10 que da

Tcnicamente, tenemos una constante de integracin en ambos lados de esta ecuacin, pe-ro podemos agruparlas en una sola constante c a la derecha. Para ello, reescribimos esta expresin como

( 2 ) 1/3

y(t) = 3~ + 3c ; o como c es una constante arbitraria, podemos representarla ms compactamente como

( 2 ) 1/3

y(t) = 3~ +k ,

1.2 Tcnica analtica: Separadn de variables 25

donde k es una constante arbitraria. El paso siguiente consiste en comprobar que esta ex-presin es realmente una solucin de la ecuacin diferencial, y a pesar de la dudosa sepa-racin que acabamos de efectuar, obtenemos al final una respuesta.

Vea que este proceso ofrece muchas formas de solucionar la ecuacin diferencial. Cada valor de la constante k da un resultado diferente.

Qu pasa realmente en nuestra lgebra Informal? Si ley usted atentamente el ejemplo previo, es probable que un punto de l lo ponga ner-vioso. El tratar dt como una variable es una advertencia de que realmente est ocurriendo algo ms complicado.

Comenzamos con una ecuacin separable

dy dt = g(t)h(y),

que reescribimos como

1 dy h(y) dt = g(t).

Esta ecuacin tiene en realidad una funcin de t en cada lado del signo de igual porque y es una funcin de t. Deberamos entonces escribirla como

1 dy h(y(t dt = g(t).

En esta forma, podemos integrar ambos lados con respecto a t para obtener

! 1 dy ! h(y(t dt dt = g(t)dt. Ahora el paso importante: hacemos una "sustitucin-u", tal como en clculo, reemplazan-do la funcin y(t) por la nueva variable, digamos y. (En este caso, la sustitucin es en rea-lidad una sustitucin-y.) Por supuesto, debemos tambin reemplazar la expresin (dy/dt) dt por dy. El mtodo de sustitucin del clculo nos dice que

y por tanto podemos combinar las dos ltimas ecuaciones para obtener

! _l_dy = !g(t)dt. h(y) Por consiguiente, podemos integrar el lado izquierdo con respecto a y y el lado derecho con respecto a t.

Separar variables y multiplicar ambos lados de la ecuacin diferencial por dt es sim-plemente una convencin notacional que nos ayuda a recordar el mtodo. Es justificable por el desarrollo anterior.

26 cAPTULO 1 Ecuadones diferendales de primer orden

Soluciones faltantes Si es posible separar las variables en una ecuacin diferencial, parecera que resolver la ecuacin se reduce a calcular varias integrales. Esto es cierto, pero hay algunos escollos ocultos, como lo veremos en el siguiente ejemplo. Consideremos la ecuacin diferencial

dy 2 dI = y

sta es una ecuacin autnoma y por tanto separable; su solucin parece ser directa. Si se-paramos e integramos como es usual, tenemos

/ ~; = / di 1

-- = I +c y

1 y(t) = --o

I+c

Se antoja decir que esta expresin para y(t) es la solucin general. Sin embargo, no pode-mos resolver todos los problemas de valor inicial con soluciones de este tipo. De hecho, tenemos y(O) = -l/e, por lo que no podemos usar esta expresin para resolver el proble-ma de valor inicial y(O) = O.

Dnde est el error? Observe que el lado derecho de la ecuacin diferencial desa-parece si y = O. Entonces la funcin constante y(t) = O es una solucin para esta ecuacin diferencial. En otras palabras, adems de las soluciones que obtuvimos usando el mtodo de separacin de variables, esta ecuacin diferencial posee la solucin de equilibrio y(t) = O para toda t, y con ello se satisface el problema de valor inicial y(O) = O. Aun cuan-do est "ausente" de la familia de soluciones que obtuvimos al separar variables, es la que necesitamos si queremos resolver todo problema de valor inicial de esta ecuacin diferen-cial. La solucin general consiste entonces en funciones de la forma y(t) '= -1I(t + e) jun-to con la solucin de equilibrio y(t) '= O.

Cayendo en un atolladero Como ejemplo adicional, consideremos la ecuacin diferencial

dy y dI = 1 + y2

Igual que antes, esta ecuacin es autnoma. Separamos primero las variables para obtener

( 1 + y2) -y- dy=dt. Lue