1 Productos Notables

2

Productos Notables

Productos Notables

1. Si:

{𝑥3 + 𝑦3 = 5 … (1)

𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) = 1 … (2)

Calcular (𝑥 + 𝑦)2

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4 E) 5

2. Si 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 +

𝑏𝑐; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+

Calcular:

𝐾 = √𝑎𝑛 + 5𝑏𝑛 + 3𝑐𝑛

𝑏𝑛

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

3. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0

Calcular:

𝑀 =(𝑎+𝑏−3𝑐)2+(𝑏+𝑐−3𝑎)2+(𝑐+𝑎−3𝑏)2

𝑎2+𝑏2+𝑐2

A) 15 B) 16 C) 17 D)

18 E) 19

4. Si:

√𝑥 + 2𝑦𝑧 + √𝑥 − 2𝑦𝑧 = 8𝑦𝑧

Calcular:

√𝑥 + 2𝑦𝑧 − √𝑥 − 2𝑦𝑧

A) 1 B) 1/2 C) 1/6

D) 4 E) 5

5. Calcular

𝐹

=(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐)

1 − 𝑎𝑏𝑐

Sabiendo que:

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3 ∧ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

= 2

A) 1 B) 2 C) 4 D)

3 E) 5

6. Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ tal que:

𝑥2 + 𝑦2 = 8

calcular el mayor valor que puede

asumir “x + y”

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

7. Si: 1

𝑥 + 𝑎+

1

𝑎 + 𝑛=

4

𝑥 + 2𝑎 + 𝑛

Calcular:

𝑥2 + 𝑥 + 𝑛2 − 𝑛

(𝑥 + 𝑛)2

A) 1/3 B) ½ C) 6 D)

2 E) 1

NIVEL I

3

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8. Si:

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 4𝑧(𝑥 + 𝑦)

Calcular:

𝑅 =𝑥 − 𝑧

𝑦+

𝑦 − 𝑧

𝑥

A) 2 B) 4 C) 1 D) -2

E) -4

9. Si 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Hallar: 𝑥2+𝑦3+1

3; sabiendo que:

𝑥2 + 𝑦2 + 13 = 6𝑥 + 4𝑦

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

E) 2

10. Si:

𝑥 −57

𝑥= 1

Dar el equivalente de:

𝑅 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 7)(𝑥 − 8)(𝑥

+ 2)

A) 667 B) 345 C) 243 D)

49 E) 51

11. Si 𝑥3 = −𝑦3 ∧ 𝑥 ≠ −𝑦

Calcular:

𝑅 = (𝑥

𝑦)

3

+ (𝑦

𝑥)

3

A) 2 B) 1 C) -1 D) -

2 E) 3

12. Sabiendo que:

(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑐 − 𝑎)(𝑏 − 𝑐)

Calcular:

𝐾 =𝑎4(𝑏 + 𝑐)

𝑎(𝑏𝑐)2+

𝑏4(𝑎 + 𝑐)

𝑐(𝑎𝑏)2

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

E) 9

13. Si 𝑛−2 − 𝑛−1 =6

7

Obtener el equivalente de:

𝑀 = √(3𝑛 + 2)(2𝑛 + 1)(6𝑛 + 1)(𝑛 + 1)

A) 2√6 B) 3√3 C) 2√3 D)

3√2 E) 6√2

14. Si: 𝑎

(𝑏−1)(𝑏+1)=

𝑏

(𝑎+1)(𝑎−1); 𝑎 ≠

𝑏

Calcular:

𝐾 =(𝑎 − 𝑏)2

1 − 3𝑎𝑏+

𝑎2 − 𝑏2

1 − 𝑏(𝑎 + 2𝑏)

A) 1 B) 2 C) -1 D) -2

E) 0

15. Simplificar:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎3 − 𝑏3) + (𝑎 − 𝑏)(𝑎3 + 𝑏3)

𝑎4 − 𝑏4

A) 1 B) 4 C) 2 D) 8

E) 16

16. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0

Simplificar:

4

Productos Notables

𝑎9 + 𝑏9 + 𝑐9 + 3(𝑎3 + 𝑏3)(𝑏3 + 𝑐3)(𝑐3 + 𝑎3)

6(𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3) − 15𝑎𝑏𝑐

A) 9𝑎2𝑏2𝑐2 B) 9𝑎3𝑏3𝑐3

C) 9𝑏2𝑐3

D) 9abc E) 0

17. Si 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏

Reducir:

𝑎2 + 𝑏2

1 + 𝑎𝑏+

1 + 3𝑎𝑏

(𝑎 + 𝑏)2

A) 1 B) 3 C) 2 D)

4 E) 5

18. Si: 𝑎2 + 𝑏2 = 4𝑎𝑏

Evaluar:

𝑎𝑏(𝑎4 + 𝑏4)

𝑎6 + 𝑏6

A) 7 B) 7/26 C) 26 D)

26/7 E) 14

19. Si: 1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐= 0

Calcular: 𝑎 + 𝑏

𝑐+

𝑏 + 𝑐

𝑎+

𝑎 + 𝑐

𝑏

A)-2 B) 0 C) 2 D)

-3 E) 3

20. Calcular: 𝑥5 +1

𝑥5

Si: 1

3 − 𝑥= 𝑥

A) 120 B) 201 C) 123 D)

49 E) 125

21. Si: 𝑥 − 1 = √3 + 1

Proporcionar el equivalente de:

(𝑥4 + 1)2

𝑥8 + 1

A) 98/97 B) 97/98

C) 99/97 D) 98/99 E)

97/99

22. Si se cumple que: 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 =

3𝑎𝑏𝑐

Hallar el máximo valor de:

𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2

𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐

A) 10 B) 2 C) 8 D) 1

E) -2

23. Si: 𝑥

𝑦+

𝑦

𝑧+

𝑧

𝑥= 0; 𝑥𝑦𝑧 ≠ 0

Calcule:

(𝑥2 + 𝑦𝑧

𝑥2) (

𝑦2 + 𝑥𝑧

𝑦2) (

𝑧2 + 𝑥𝑦

𝑧2)

A) 0 B) xyz C) -1 D)

1 E) 1

𝑥𝑦𝑧

24. Halle el valor de:

(𝑎 + 𝑏)3 − (𝑎 − 𝑏)3

3𝑎−2 + 𝑏−2

Si 𝑏 = √0,33 , 𝑎 = √0,2

A) 0,12 B) 1,2 C) 0,06 D)

0,6 E) 0,02

NIVEL II

5

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25. Simplifique:

(𝑚 + 2 −2𝑚

)2

+ (𝑚 − 2 −2𝑚

)2

−8

𝑚2

𝑚2 [(𝑚 +1𝑚

)2

− (𝑚 −1𝑚

)2

]

A) m B) m2 C) 2 D)

1/2 E) 1

26. Si: 𝑎 +1

𝑎= 5

Halle: 𝐸 = √(𝑎5+𝑎3)(𝑎3+𝑎)

4𝑎6

A) 2 B) 1 C) 5/2 D)

5 E) 2/5

27. Si

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑐) = −1

Hallar el valor de:

𝑎−2+𝑏−2+𝑐−2

(𝑎−1+𝑏−1+𝑐−1)2

A) -2 B) -1 C) 3 D)

1 E) 2

28. Sean (𝑥, 𝑦) ⊂

ℝ, 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒

1

3𝑥 − 2𝑦+

1

2𝑥 + 3𝑦=

4

5𝑥 + 𝑦

Halle el valor numérico de 𝑥+2𝑦

2𝑥−𝑦

A) (7/9)−1 B) 5/3

C) 7/6

D) 5/4 E) (9/7)−1

29. Si x, y; z son tres números reales

que verifican la igualdad

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 14 = 2(𝑥 + 2𝑦 +

3𝑧)

Proporcione el valor de 𝑥𝑦𝑧

𝑥3+𝑦3+𝑧3

A) 1/6 B) 1/3 C) 3 D) 6

E) 4

30. Con

(𝑥 + 𝑧 + 𝑦 + 𝑧)2 + (𝑥 − 𝑧 + 𝑦 −

𝑧)2 = 8𝑧(𝑧 + 𝑦)

Reduzca la expresión S.

𝑆 = (𝑥−𝑦

𝑧−𝑦)

3+ (

𝑦−𝑧

𝑥−𝑧)

3+ (

2𝑧

𝑥+𝑦)

3

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

E) 10

31. A partir de:

4

𝑎+

4

𝑏=

42

(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2;

Determine el valor de M.

𝑀 = 4𝑎𝑏 + 3(𝑎2 + 𝑏2) − 2(𝑎3 +

𝑏3) + (𝑎 − 𝑏)2

A) 0 B) 2 C) -1 D)

1 E) 4

32. Si 𝑎 + √𝑎𝑐 = 𝑏 + √𝑏𝑐, además

𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0

Calcule el valor de S.

6

Productos Notables

𝑆 =𝑎

√𝑏𝑐+

𝑏

√𝑎𝑐+

𝑐

√𝑎𝑏

A) 0 B) 1 C) -3 D)

3 E) 3/2

33. Sabiendo que se cumple:

𝑎2𝑐 + 𝑏2𝑎 + 𝑐2𝑏

12= 𝑎𝑏𝑐

𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 + 𝑎2𝑏

18= 𝑎𝑏𝑐

Calcule el valor de

(𝑎 + 𝑏)2

𝑎𝑏+

(𝑏 + 𝑐)2

𝑏𝑐+

(𝑐 + 𝑎)2

𝑎𝑐

A) 3/2 B) 24 C) 2/3

D) 36 E) 32

34. Si 𝑥−𝑧

𝑧−𝑦+

𝑧2

(𝑥+𝑦)(𝑧−𝑦)= 1,

halle el valor de:

(𝑧 − 𝑥

𝑦)

2

+ (𝑥 + 𝑦

𝑧)

2

+ (𝑧 − 𝑦

𝑥)

2

A) 0 B) 3 C) 1 D)

-1 E) 12

35. Si 𝑎 + 𝑏 = √33

∧ 𝑎 − 𝑏 =

√23

, determinar el valor de:

4𝑎𝑏(𝑎2 + 3𝑏2)(𝑏2 + 3𝑎2)

A) 4 B) 15 C) 5 D)

10 E) 16

36. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 1,

Calcule el valor de:

𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 − 3𝑎𝑏𝑐

𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 − 4𝑎𝑏𝑐

A) 0 B) 2 C) -1 D)

1 E) -2

37. Si 𝑥+1

𝑥−1= −

1

𝑦; calcule el valor

de L

𝐿 =(1+𝑥2)(1+𝑦2)

(𝑥+𝑦)2 +(𝑥+𝑦)2

(1+𝑥2)(1+𝑦2)

A) 2 B) 2/5 C) 3/2 D)

5/2 E) 2/3

38. Siendo 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0, halle el

equivalente de M

𝑀

=(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2)(2𝑎3 − 𝑏3 − 𝑐3)

𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4

A) a B) -2a C) 2a D) –a

E) 3a

39. Halle el valor numérico del

polinomio

𝐸(𝑥) = 𝑥6 − 6𝑥4 + 9𝑥2 para

𝑥 = √√7 − √63

+ √√7 + √63

A) 28 B) 14 C) 12 D)

18 E) 16

40. Si 𝑥3 +1

𝑦3 = 𝑦3 +1

𝑧3 = 1

Calcule el valor de (𝑥𝑦𝑧)102 − 1

A) 2 B) -1 C) 0 D) 1

E) -2

ESCUELA DE TALENTOS CALLAO

Mat. Aldo Huayanay Flores